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东北大学硕士学位论文 一类功能性反应模型的动态特性与最优调控 摘要 具功能性反应的捕食与被捕食模型具有非常复杂的动态性质，特别是在线性状 态反馈和常数收获下，该模型呈现了各种各样，纷杂多变的动态特性，其中包括 正平衡点及其稳定性的变化，各种分叉的产生以及周期解和极限环的出现。掌握 这些动态特性后，可以对种群资源施予合理开发，使之在不灭绝的情况下能不断 地为人类提供资源。 本文的主要工作如下： 首先研究了线性状态反馈对一类功能性反应模型的动态性能的影响，得到了该 反馈控制模型在不同条件下平衡点数目的不同( 即出现静态分叉) ，以及存在稳定 正平衡点的充分条件。 其次，研究了加入常数收获项后，该模型的动态性质发生的变化，得到了该模 型存在稳定正平衡点，产生各种分叉以及在h o p f 分叉附近产生周期解和极限环的 若干充分条件。 然后，讨论了收获两种群的投入随时间，种群密度，市场价格，捕获成本等因 素而变化的动态开发系统的动态性质，得到了动态开发系统稳定的充分条件。 最后，利用最大值原理，研究了在生态平衡的前提下，使资源拥有者获得最大 的经济利润问题，得到了存在最优控制的必要条件，到达最优平衡种群密度的最 优到达路径，以及经济利润与折扣率的关系。 关键词：平衡点稳定性分叉周期解极限环最优平衡种群密度 最优控制 变j ! 叁兰堡! 兰壁堡兰 些! ! 坠! ! d y n a m i cp r o p e r t i e sa n do p t i m a lc o n t r o lo fap r e d a t o r - - p r e y m o d e lw i t haf u n c t i o n a l r e s p o n s e a b s t r a c t t h ep r e d a t o r - - p r e ym o d e lw i t haf u n c t i o n a lr e s p o n s eh a sv e r y c o m p l i c a t e dd y n a m i cp r o p e r t i e s e s p e c i a l l y u n d e rl i n e a rs t a t e f e e d b a c ka n ds o m ec o n s t a n th a r v e s t t h i sm o d e ld i s p l a y s v a r i o u s c o m p l i c a t e dd y n a m i cf e a t u r e ，i n c l u d i n gc h a n g e s o ft h e p o s i t i v e e q u i l i b r i u ma n ds t a b i l i t y , a sw e l la se m e r g e n c e o f b i f u r c a t i o n ，p e r i o d i c s o l u t i o na n dl i m i tc y c l e s a f t e rl e a r n i n gt h e s ed y n a m i cp r o p e r t i e s ，w e c a n p r o p e r l yd e v e l o p t h e s er e s o u r c e sa n du s et h e mf o r e v e r t h i st h e s i sm a yb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： f i r s t l y , w es t a yt h ee f f e c to f l i n e a rs t a t ef e e d b a c ko nt h ed y n a m i c a l c h a r a c t e r i s t i cf o rs u c h m o d e l ，o b t a i n t h ed i f f e r e n tn u m b e r so f e q u i l i b r i u mu n d e rv a r i e dc o n d i t i o n s ( s t a t i cb i f u r c a t i o n ) a n ds o m e c o n d i t i o n sf o rs u c hm o d e lt oh a v es t a b l ep o s i t i v e s e c o n d l y , w ed i s c u s st h ec h a n g eo ft h ed y n a m i c a lc h a r a c t e r i s t i c f o rs u c hm o d e la f t e ra d d e dc o n s t a n th a r v e s t o b t a i ns o m ec o n d i t i o n s f o rs u c hm o d e lt oh a v es t a b l e p o s i t i v e 。e q u i l i b r i u m 、b i f u r c a t i o n p e r i o d i cs o l u t i o n sa n d l i m i t c y c l e s t h i r d l y , w es t u d yt h ed y n a m i cp r o p e r t i e sa n ds t a b i l i t i e so ft h i s d y n a m i cd e v e l o p i n gs y s t e m ，w h o s et h r o wc h a n g e du n d e rt h ee f f e c t s o ft i m e a n i m a lc o m m u n i t yd e n s i t y , m a r k e tp r i c ea n dt h ec o s to f c a p t u r e ，o b t a i nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rs u c hs y s t e m t os t a b i l i z e a tl a s t w ed i s c u s sh o wt om a k ep o s s e s s o r so fn a t u r a lr e s o u r c e s g a i n t h em a x i m a le c o n o m i c p r o f i tb y m a x i m u mp r i n c i p l eu n d e r e c o l o g i c a lb a l a n c e o b t a i nt h ee s s e n t i a lc o n d i t i o nf o rt h er e s o u r c et o h a v e o p t i m a l c o n t r o la n do p t i m a lr o u t et or e a c hs u c h o p t i m a l e q u i l i b r i s t i c a n i m a l c o m m u n i t yd e n s i t y , a sw e l l a st h er e l a t i o no f e c o n o m i c p r o f i ta n d d i s c o u n tr a t i o k e yw o r d s ：e q u i l i b r i u m ；s t a b i l i t yb i f u r c a t i o n ；p e r i o d i cs o l u t i o n s ； l i m i t c y c l e s ；o p t i m a le q u i l i b r i s t i c a n i m a lc o m m u n i t y d e n s i t y ；o p t i m a lc o n t r o l - i i i - 声明 本人声明辑呈交的学位论文是在鲁辱镌指导下完成瓣。论文中取 得的研究成果除加以栎注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。 与我一霹王馋过煞厨志对本 舞究所锻酶任俺贡献均基奁论文中作了蹲 确的说明并表示感谢。 本人签名：狼国0 日期：2 0 0 4 年月，日 东北大学砸 ：学位论文 第章绪论 第一章绪论 1 - 1 研究背景 近几十年来生命科学得到很大的发展，与生命科学相联系的一系列边缘学科相 继产生，像生物化学，生物物理和生物经济学等，生物数学是其中最为年轻的边 缘学科之一。1 9 7 4 年，联合国教科文组织己把生物数学作为独立学科编入目录中， 而且近十几年来生物数学的发展更为迅速。借助于数学工具与在物理学，力学中 所熟知的动力学方法，生物学家与数学家共同建立了各种生态动力学系统 2 l 。 早在1 0 0 多年前，m a l t h a s ( 1 8 3 4 年) 首次提出了人口模型 x ( t ) = r x ( t )( 1 1 ) 其中膏( r ) 表示时刻，时人口的密度，r 表示人口密度随时间的相对增长率，也称 之为内禀增长率。由于该模型没有将环境因素考虑进去，因此，根据这一模型得 出的“人口指数无穷增长”的论述是不正确的。1 9 3 8 年，p f v e r h u l s t 提出用如下 l o g i s t i c 模型 x ( f ) ：蹦( 1 一三终( 1 2 ) k 来描绘人口或其他生物种群的增长规律。这里，是内禀增长率，k 是环境的容纳量 ( k 0 ) 。从该模型可以看出，x = k 是模型的稳定的平衡点，即种群将始终稳定在 x = k 触k 平上。然而，多年的实践表明，有些种群不但不会稳定在某水平上， 反而会出现某种随机现象一混沌。这意味着l o g i s t i c 模型不能用于描绘所有的种 群。1 9 7 4 年，m a y 将l o g i s t i c 模型差分化，得到如下离散系统模型 z ，+ 1 = x t 1 + r ( 1 一孚) 】( 1 3 ) 并发现，这一模型可以用于描述一些不能由模型( 1 2 ) 所描述的出现混沌现象的种 群。 上述模型都是描述单一种群的模型。在自然界中，许多种群都是生存在同一环 境之中，并相互作用，相互影响的。因此，描述两种群相互作用的模型应运而生。 1 9 2 5 年，针对生物学家d a n c o n a 提出的问题，著名数学家v o l t e r r a 建立了大鱼与 东北大学顺士学位论文第一章绪论 小鱼相互作用模型 。“一岫 ) y = c x y d y 这里x ( t ) 和y ( t ) 分别表示大鱼与小鱼的密度。口为小鱼种群的内禀增长率，d 为 大鱼种群的死亡率，b 和。表示两种群相互作用的系数。使用这个模型，可以预测 生存在同一海域内大鱼的数量与小雨数量具有周期性：大鱼多时，小鱼的数量少， 但过一段时间，大鱼数量变少，小鱼的数量则增多，再过一段时间，大鱼增多， 小鱼减少，成周期振荡。另外，捕捞对小鱼的增长有利，而对大鱼不利。 1 9 3 5 年，g a u s e 和w i t t 认为对于非常简单的种群( 例如酵母，细胞) ，可以用 如下方程来近似表示 x = x ( 6 + 口”x + 口1 2 j ，) ( 1 ，5 ) y = y ( b 2 + a 2 1 + 口2 2 y ) b l ( f - 1 ，2 ) 分别表示两种群的内禀增长率：。 d 。由文 2 】可知，模型( 2 1 ) 表达了一类无脊椎动物之间的捕食与 被捕食关系，如虾、蟹等海洋生物。显然，模型( 2 1 ) 比l o t k a v o l t e r r a 模型更具有 实际意义，它可以模拟许多再生性资源的增长特性。本章，我们将对该模型及其 在线性状态反馈控制下的模型的动态性质进行定性分析。 2 1 一类功能性反应模型的动态性质 2 1 1 捕食与被捕食模型的平衡点及其稳定性 为简便起见，做如f 无量纲代换 n = 缸，p = y ， f = 盯，口= 一c ，= b k ，6 = 一d n fr 则式( 2 1 ) 化为 _ d x = x ( 1 一砷一叫( 1 一e 一皿) = ，( x ，y ) d r( 2 2 ) 兰= 一f l y + a y ( 1 一e 一肛) = g ( x ，y ) “ 其中口，艿均大于零，口 占。 东北大学硕士学位论义第二章一类上j j 能降反应模型矗线性状态反馈下的动态特忡 设 故 由f ( x ，y ) = g ( x ，y ) = 0 可求出该系统( 2 2 ) 的三个非负平衡点 r o ( o ，0 ) ，r 1 ( 1 ，0 ) ，r 2 ( x ，j ，4 ) x + = 一古n c 一言，y + = 詈t ，+ 去t n c 一言， 4 = ( 荔7 缸c g x 荔7 ；8 98 9a y ) p 一肛) 一x ( 1 + 印已一皿)一x ( 1 一e 一皿) 1 c r f l y e 一皿一万+ 口( 1 8 一肛) 胛d = 0 _ 卸功= ：一0 ：2 ， 一c x + ，y + ，= - x ( 1 + f l y e 一肛) 一z + ( 1 0 一口一肛) a ( 0 ，o ) 的特征多项式为： 1 2 - a = l i 1a ：占| = c 旯一，c 丑+ 占，= 。 特征根为 = 1 ，五= 一占，显然丑 0 ，如 0 。 a ( 1 ，o ) 的特征多项式为： iae-ai=i旯+1丑一一占1+-口e-(b0l e 一4 ) 】l = ( 五+ 1 ) 【 + 占一口( 1 一e 一4 ) 】= 。l丑一 一占+ 口( 1 一一卢) 】l 。 特征根为： = 一1 ，如= 一占+ 口( 1 一e - p ) ，因此，当o c ( 1 一e - # ) j 时 o ，y 0 ) ，b d r + = ( z ，一) 1x = o 司眵= 0 ) 。 2 1 2 数值仿真 令 r = 0 5 ，b = l ，f = 2 0 ，d = 1 9 ，k = 1 0 0 ， 姒u 口= 4 0 ，= 1 0 0 这样( 2 2 ) 化为： x = x ( 1 一x ) 一叫( 1 一e - l o o x ) j ，= 一3 8 y + 4 0 y ( 1 一e - i o o x ) 它对应的原模型为： = 。5 ( 1 一甜n a n p ( 1 - - e - n ) p = 一1 9 p + 2 0 1 , ( i e - n 1 则a ( 1 一e - a ) = 4 0 x ( 1 一e 1 ”) 3 8 = 占，满足定理2 1 1 中( 2 ) 之条件，故该系统在 r + u 6 积+ 上有三个平衡点，r ( 。，。) ，r ( 1 ，o ) ，r ：( 了l n 丽2 0 一，百2 0 ( 1 一面i n 2 f 0 ) ) ，r ( o ，o ) ， r 。( 1 ，o ) 是鞍点，r ：面l n 2 矿0 ，西2 0 【1 一i i n 护2 0 ) 为渐近稳定的平衡点( 如图所示) 。 * 8 一 东北人学硕 ：学位论文 第一章一类功能性反应模型稿线性状态反馈下的动态特性 x = 2 0 ：y ( 0 ) = 3 0 圈2 1 f i g u r e 2 i 2 2 状态反馈模型的动态特性 2 2 1 状态反馈模型的平衡点与稳定性分析 掌握了模型的动态性能之后，如果进一步了解“收获”与调控对这两种群有 何影响，制定出有利于可再生性资源的生长开发决策，使之源源不断的为人类提 供物资与财富，将具有十分重要的意义。下面，我们将研究如下模型。 ：r n ( 1 一掣) 一a n p ( 1 可“) 叫 庀 ( 2 - 3 ) p = 一d p + c p ( 1 一p 一“) 一”2 作变换： _缸，p_二弘弘亿詈，卸t扣罟，w=_b11ar i g ，w 2 号甜zrrr 一 则式( 2 3 ) 化为 拿= z ( 1 一x ) 一x y 0 一e 一肛) 一 a ，y ：- 印+ a y 0 一b 一肛) 一w 2 东北大学硕卜学位论文第一二章一类功能性反应模型在线性状态反馈下的动态特性 其中口，p ，5 均大于零，口 占。 先研究状态反馈对系统( 23 ) 的影嗣 令w = k l x ，w ：= k 2 y ，则反馈后的系统化为， d _ x ：j 1 一a 1 一x y ( 1 一p 一厨) 】 拿：儿一万一女：+ 口( 1 一e 一肛) 系统( 2 4 ) 存在如下平衡点 r o ( o ，0 ) ，r ，( 1 一t ，o ) ，r ：( x + ，y ) 其中 x + 一扣一等川= 焘 1 - k , + 1 kph ”学) 8 、 饯。 6+，p 1 瑾 显然，系统( 2 4 ) 的线性化矩阵与系统( 2 2 ) 的线性化矩阵类似。 故易求出： 4 c 。，。，= ( 1 i 毛一。占：。：，) 4 c 一，。，= ( 七1 i 1 一。占( k + 1 。- ：1 ，) + ( 1 口- 。e ，- 一e 。- 一k ， ) 。) 一。， ( 24 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 舭+ ，= r 茹h 弋h 0 堆) 口， 则可得如下结论： 定理2 2 1 ： ( 1 ) 当k ， 1 时，系统( 2 4 ) ：i ! e r + u b d r + 上，只有1 个平衡点r o ( 0 ，o ) ，且它为稳 定结点。 ( 2 ) 当 1 + 扣l 一半m l ，口( 1 - e - l ，( 1 - k ) 1 时，显然，在r + u b d r + 上，只有1 个平衡点r 。( o ，0 ) ，并且由( 2 5 ) 可知，a ( o ，o ) 的特征值 0 ，如 0 ，如= 一( 占+ k t ) 0 ， r 。( o ，o ) 为鞍点：a ( 1 一k l ，o ) 的特征值 = 尼i - 1 0 ， = 一( 占+ 盘1 ) 十口( 1 一e - a ( i - l q ) ) 0 ，如= 一( 占+ k 1 ) 1 ) ，两个 种群将同时灭绝，不论对捕食种群的收获多么少甚至不收获。适当地减少食饵种 群的收获，则可能保证食饵种群的持续生存，但不能对捕食种群的收获超过一定 的数量( 口( 1 一e - x ( i - k t ) ) 一占 | i 2 d 一5 ) ，只有将收获保持在适当的范围内r 才有可 能保证两个种群稳定在正平衡点处。 下面给出定理2 2 1 的两种特殊情况。 推论1 ： 若屯= 0 ，即系统( 2 4 ) 化为： 拿：碰卜x y ( 1 一p 一皿) 】 簟 ( 2 1 0 ) 譬= y h 一2 + 口( 1 8 一肛) a r ( 1 ) 当a ( 1 一e - 4 ) 一万 k 2 时，系统( 2 1 0 ) 在r + u b d r + 上，有2 个平衡点，民( o ，o ) 为鞍点，r ，( 1 , 0 ) 为稳定结点。 ( 2 ) 当0 k 2 1 时，糸统( 21 1 ) 任r u b d r 上，只有1 个半衡点r o ( 0 , 0 ) 一h ，。e 为 稳定结点。 ( 2 ) 当l 十万1l n ( 1 一要) t 。 1 时，系统( 2 1 1 ) 在r + u 6 凇+ 上，有2 个平衡点 r o ( 0 ，o ) ，r ，( 1 一k ，o ) ，r o ( o ，0 ) 为鞍点，置( 1 一a ，o ) 为稳定结点。 ( 3 ) 当o t ， 1 时，该系统在r + u b d r + 上，只有1 个平衡点r 。( o ，0 ) ，它为稳定结点； 当l + 志1 n ( 1 一百3 8 + k 2 ) 七。 i ，2 - 4 0 e - w 。( 1 - k o 后： 2 时，该系统在 r + u b d r + 上，有2 个平衡点，r 。( o ，0 ) 为鞍点，r 。( 1 - k 。，0 ) 是稳定结点； 当k 1 占。 显然当h 1 4 时，系统( 3 3 ) 存在如下平衡点 蹦丢( 1 1 - 4 i l 丽) ，o ) ，州圭( 1 + - 撕- 4 h ) , 0 ) 心口) 其中 z + = 一l 卢l n ( 1 - 5 1 0 r ) ，y + = 詈 1 + 万1l n ( 1 - 8 1 口) + 熹 设 4 。，y ) = ( 荔；萎船o f ，o 砂y f 1 一，一x y ( 1 一e 一盘) 一x ( 1 + 局旧一肛)一z ( 1 一p 一犀)1 la f l y e 一肛一( 5 + m ) + 口( 1 一p 一庳) 故 爿障，。) = ( 千于- 一- - 怒t - - ( 1 可- e 描；) a ， 机) - p 公堆h ( 1 百0 厨) s ， 设 州( 1 删1 - f i l 口) 】2 【业基鬻杀型】 啊= 一l n ( 1 - 5 1 c t ) 1 + 铲1 ( 1 - 5 1 c c ) 】，矗z = 丢 则可得如下结论。 定理3 1 1 ： ( 1 ) 若 啊 h h 2 ( 3 6 ) 则系统( 3 3 ) 在r + u a d r + 上存在2 个平衡点r 。与r 。其中民是鞍点或不稳定结 点；r ，是鞍点或稳定结点。 蔓j ! 查堂竺。! 兰些堡塞塑三要：娄些堂堂垦壁堡兰塑兰塑! 坚茎! 堕塑查堑生 h h o h i h 2 ( 3 7 ) 则系统( 3 3 ) 在r + u a d r + 上存在3 个平衡点r 。、r l 、r ：。其中凡是鞍点或不稳 定结点；r 是鞍点或稳定结点；r ：是f 的稳定焦( 结) 点。 ( 3 ) 若 h o h h i ( 3 8 ) 则系统( 3 3 ) 存在不稳定的正平衡点r ：b ，y ) ，它是不稳定的焦( 结) 点。 证明：由式( 3 4 ) 可知，在( 3 6 ) 式成立的条件下，当 一万+ 口6 - ep ( 1 。丽m ) ) 0 时，r o 是鞍点或不稳定结点，r 。是稳定结点；如果 h 0 驴( 彳) ：( 1 z + + 难一皿占) h - x 6 + c q 3 ( 1 一x + ) p 一皿+ 6 其中x = ( 一1 f 1 ) l n ( 1 一占口) 。故当( 3 ，7 ) 成立时，护( 爿) 0 。 3 2 极限环的存在性 定义3 2 1 f 1 4 1 ：考虑系统 x = x ( x ，y ) y = y ( x ，_ y ) 此系统的一个闭轨线r 称为是此系统的极限环。 了解平面上一个给定的动态系统是否具有极限环是非常有用的，如果该系统 有极限环，那么它将做周期性的摆动而不是稳定于一个不变的平衡点。若系统的 正平衡点是不稳定的，则该系统在一定条件下将存在极限环，下面给出系统存在 东北大学硕卜学位论义 第= ，章一类功能性反腑模型铂常数收歆下的动态特- 陆 极限环的充分条件。 定理3 2 1 ：如果 。 a o ，i l x = - 去l n ( 1 一兰t 2 ) ，+ ) b c ：y = k x + h = m k x +k 0 c d ：x ：! 型! 二竺 d o ：y = 0 ( 1 ) ；。：( o1 ) 是a b 的外法向量，计算：。与系统的向量场的内积： ：。李生1 = d y o 纰1 i 言j = 出 0 因此，该系统的轨线经过直线段a b 时，是自外向内的。 ( 2 ) ；。：( - k1 ) 是b c 的外法向量，计算：。与系统的向量场的内积 - t 9 - 查些叁兰塑i ：兰堡堡兰 笙三! 二耋兰! 生壁垦坐堡型童堂塑坚茎! 堕竺堕! ! ! 生 珊。l f i - 云wj = 一七( x x2 一巧+ d ；e 一皿h ) + ( 口一占一一皿) 因为b c 在l ，的上方，所以x x 2 一x y + x y e 一一h 0 。 因此取i t i 充分大，就有：“， 妄老 。，这表明该系统的轨线经过直线段b c 时，是白外向内的。 f 3 ) c d 的外法向量为二。：( 1o ) ，计算二。与系统的向量场的内积： 二。r f 查立1 ：生 o 耻”l i 百j 2 石 u 因此经过直线段c d 的轨线也是自外向内的。 f 4 ) 线段o a ，d o 是轨线的一部分，因此，不会有其它的轨线穿过这条两条直 线。 所以，曲线o a b c d 为p o i n c a r e b e n d i x s o n 环域的外边界境线，系统( 3 3 ) 的轨 线经过它( 除去自身的轨线外) 时，都具有自外向内的性质，又根据已知条件，可知， 在p o i n c a r e b e n d i x s o n 所围成环域内只有唯一的不稳定平衡点r 2 b ，y ) ，因此， 在p o i n c a r e b e n d i x s o n 所围成的环域内至少存在一个极限环。 定理证完。 3 3 分叉、周期解及极限环 由定理 3 1 i可知，当控制参数 经过参数值 啊一去螂筇k ) 【1 十古鼢引硼时，系统。- 3 ) 的獭点由3 个变成2 爪。 当控制参数h 经过参数值 ：= 1 4 时，系统( 3 3 ) 将不存在平衡点或只存在一个正 平衡点。因此，有下述结论： 定理3 3 1 ： 。一i n ( 1 - a c o i l + 万1l n ( 1 一引口) 与a z 2 1 7 4 是系统( 3 3 ) 的2 个静态分叉。 定义3 3 1 【1 2 】：如果系统在正平衡点r ：g ，y ) 的线性化矩阵4 ( ) 在 = h o 处有 曼! ! 查兰坚兰竺堡兰 璺三望二：壅望堡堕垦壁堡兰塑蔓塑坚鉴! 兰塑查堑堡 一对纯虚根，则h 在h 。的一个邻域内作微小变化的时候，可能产生周期解或极限环。 称h = h o 是系统的一个h o p f 分叉值。 以下在f 删= 0 的情况下，考虑正平衡点r ：( x + ，y + ) 的性质。 定理3 3 2 ：若 o 0 故由文 1 】附录中的分叉定理可知，此时，当h 在的一个邻域内作微小变化的时 候，系统( 3 - 3 ) 在正平衡点r ：b + ，y + ) 的附近存在一个周期解。它的周期约为2 疗。 由于 ：、压丽巧瓦面矿两面矸面二两万万巧玎丽f 丽订i - 2 1 - 兰苎釜塑堕兰笙塑羔l 一一塑三兰二耋些壁。堕垦坐堡型堡塑鳖坚堑! 塑垫查堑堡 珊= f 丽牙面面j 瓦面面f 瓦丽再瓦而丽。 定理证完。 以下我们将讨论，当t r a ( x , y ) = 0 时，r 2 b + ，y + ，h o ) 在什么条件下是中心型稳 定( 不稳定) 焦点，从而得出系统( 3 3 ) 在h = 。的邻域内产生极限环的条件。 定理3 3 3 ：在定理3 3 2 的条件下，系统( 3 3 ) 发生h o p f 分叉后，若+ c l y + h 。，( 一h o ) 充分小a 则系统( 3 3 ) 在r ：( x + ，_ y + ，h o ) 附近至少有个稳定极 限环。它们当h 寸h 。时，趋于墨。其中 c o = 一1 i n ( 1 一艿c t ) + 岱，艿一3 f l ( a 一占) c l 2 一卢( 1 6 c r ) 1 l n ( 1 6 1 a ) + ( 1 一a 8 ) l n ( 1 - 8 1 a ) 1 2 + ( 1 a a ) 】 y 8 = 詈c t + 古n c l - 8 口，+ 南， 证明：为方便起见，将通过坐标平移把系统( 3 3 ) 的正平衡点r z & + ，y + ) 转化 为另一个系统的( o ，o ) 。令 x = 善+ 工+ ，y = 7 + _ y + 这里 x = 一l _ _ l n ( 1 - 8 o r ) ，y 2 詈【1 + 古l n ( 1 - 6 i o r ) + 志 则系统( 3 3 ) 化为 其中 以= 1 2 x + 一少( 1 + x + 肛一皿一p 一皿) ， a 1 3 = 一1 + ( 1 一犀) p 一皿+ ， q5 = ( - 1 + 肛2 ) f i e 一舻， a 2 1 = 卿一e 胪，口2 2 = 0 ， a 1 2 = 一x ( 1 一p 一肚) ， 口1 4 = 一1 - ( 1 一肛+ 2 ) 缈e 一肛， a 1 6 = ( 1 肛1 3 ) , 8 2 y + e 一肛。2 口2 3 = 础一， 盘2 4 = 一筇2 y + e 一胪2 ，a 2 5 = 一c 够2 e 一辟+ 2 ， 口2 6 = 够3 y e 一肚+ 6 显然，系统( 3 3 a ) 有平衡点( o ，o ) ，而且当h = 时，此系统在( o ，o ) 处的 线性化矩阵有一对纯虚特征值：与：( ) = + i r o ，其中 m h 置，泛沓蟮 鸭蜘 枣世 卜 + 渤砌哪哪q 吒 蔓! ! 查兰竺! 兰堡堡苎 ：笙三童二茎塑矍丝垦! 里堡兰! 鲎塑些堑! 塑垫查塑壁 c 0 = 二丽j 瓦面矿两而f 丽j 瓦而再瓦瓦矿两面 取变换矩阵： 和坐标变换： f 3 3 a ) 化为： “= b u u + b 1 2 v + b 1 3 u v + 岛t “2 + 6 l5 “2 v + b 1 6 z , 3 + - - = - - 0 wq - ，( ，v ) ( 3 3 6 ) v = 6 2 l “+ 6 2 2 v + b 2 3 u v + b 2 4 “2 + 6 2 5 7 , 1 2 v + 6 2 6 “3 十- - = 删+ g ( u ，v ) 其中 b 1 1 = 0b 1 2 = - - 0 ) b 1 3 = 砌x + 一日声雠一皿8b 1 4 = 一1 + ( 一1 + 肛2 ) 缈+ e 一皿 b 1 5 = e 日蚀一庳( - 1 + 肛+ 2 ) & +b 1 6 = ( 1 一肛+ 3 ) 2 y p 一皿+ 2 b 2 1 = ，b 2 2 = 0 ，b 2 3 = 啦一矿， b 2 4 = 一f l c o l 2 ，b 2 5 = 一筇2 p 一2 ，b 2 6 = 芦2 0 ) 6 先证明r 2 b ，y ，) 是系统( 3 3 ) 的一阶细焦点。即证明( o ，o ) 是( 3 3 a ) 的一阶细焦点。 设f t = f 2 万，这里 ，t = 2 a ( 1 + 卢2 c 2 + 3 c 3 + ) ，m 是满足初始条件：u ( o ) = c ，v ( o ) = 0 的解 “= “( f ) v = v ( t 、 转一圈后再回到“轴的时间，其中：，盹，是常数。 则( 3 3 b ) 化为： 瓦du=(一v+生“v+鲁“2+等+鲁”3+”)(1-2c2+3c3-i-)(33c09 ) d f出 磊d v = ( b 2 翌u v + b m 2 翌u 2 + b 2 5 u 2 v + b 2 6 “3 + ) ( 1 - i - , 1 2 c 2 + 2 3 c 3 t - )d fm 以“( o ) = c ，v ( ? ) = o 为初始条件的解为： 。詈 0 l ，l、 = f 叩 p r l 东北人学碗 学位论义第二苹一类功能性反应模型在常数收获f 的动态特十牛 其中 “l ( 0 ) = l ，“2 ( 0 ) = “3 ( 0 ) = 。= v l ( 0 ) = v 2 ( o ) = = 0 ( 3 1 0 ) 将( 3 9 ) 代入方程( 3 3 c ) ，比较c 的系数，得方程组 当；啊 d f 拿：虬 d r 。 满足初始条件”，( o ) = l ，v 。( o ) = 0 的解为 “1 ( r ) = c o s t ，v l ( r ) = s i n ( r ) 比较c 2 的系数，得方程组 堕：一v ：+ 垃s i n v c o s t + b 1 _ 2 _ 4c o s 2t ：一v ：+ 县 d r 功出 孥：。：+ 生。i n t c o s z + 堕。zt = 9 2 + q 2 d r彩 c o 因为