（基础数学专业论文）vague集及基于vague相等的vague代数结构的若干结论.pdf

中文摘要 美国学者l a z a d e h 于1 9 6 5 年首次提出了f u z z y 集，通过隶属函数来表示论域中的 元素对f u z z y 集合的隶属程度，因而比经典集合有更强的表现力。保加利亚学者 a t a n a s s o vk 于1 9 8 3 推广了f u z z y 集，提出了i n t u i t i o n i s t i cf u z z y 集，随后台湾学者 w l g a u 和d j b u e h r e r 简化了i n t u i t i o n i s t i cf u z z y 集，提出了v a g u e 集。v a g u e 集有肯定 和否定两个隶属度，相比f u z z y 集能更好的表达和处理不确定性信息。本文以v a g u e 集 为研究对象，主要研究了v a g u e 集的扩展原理及性质，v a g u e 集的相似度量和v a g u e 熵， 以及生成的v a g u e 子群及性质。 本文主要分为四部分，结构和主要内容如下： 第一章简要介绍了本文研究的问题背景，发展现状等，指出了本文的创新之处和研 究的意义。 第二章以张新波等提出的v a g u e 集的截集及分解定理为基础，把f u z z y 集上的扩展 原理推广到v a g u e 集上，提出了v a g u e 集的扩展原理以及性质。 第三章给出经过优化改进后的模糊度量中的两个常用公式，v a g u e 集的相似度量和 v a g u e 熵，对比已有的方法，通过实例说明了它的合理性和优越性。 第四章根据学者d e m i r c im 提出的v a g u e 群的定义和生成的v a g u e 子群的定义，提 出了改进的生成v a g u e 子群的定义，通过实例说明，改进的定义是原来的一般化叙述， 并给出了改进的生成v a g u e 子群的一系列重要性质。 关键词 f u z z y 集，v a g u e 集，相似度量，v a g u e 熵，v a g u e 集扩展原理，生成v a g u e 子群 a b s t r a c t i n19 6 5 ，p r o f e s s o rl a z a d e hf i r s tp u tf o r w a r dt h ef u z z ys e t s ，w h i c hr e p r e s e n t e dt h e d e g r e ed i s c o u r s ee l e m e n t sa t t a c h e dt ot h ef u z z ys e tb ym e m b e r s h i pf u n c t i o n ，t h u st h e r ei s m o r et h a nt h ec l a s s i c a ls e to fe x p r e s s i o n i n19 8 3 ，b u l g a r i a ns c h o l a r sa t a n a s s o vk p r o m o t e d t h ef u z z ys e t ，a n d p r o p o s e di n t u i t i o n i s t i c 晒s e t s ，t h e ni n t u i t i o n i s t i cf u z z ys e t s w a s s i m p l i f i e da n dv a g u es e t sw a sp u tf o r w a r db yt a i w a ns c h o l a r sw l g a u a n dd j b u e h r e r t h e r e a r et w om e m b e r s h i pd e g r e e s p o s i t i v ea n dn e g a t i v eo fv a g u es e t s ，w h i c hc o m p a r i n gt of u z z y s e t si sm u c hb e t t e ri nt h ee x p r e s s i o na n dt h ep r o c e s s i n go fu n c e r t a i ni n f o r m a t i o n i nt h i s p a p e r , v a g u es e t s a st h er e s e a r c ho b j e c t , m o s t l yr e s e a r c h e dt h ed e c o m p o s i t i o nt h e o r e mo f v a g u es e t s ，v a g u es e t sa n dv a g u es i m i l a r i t ym e a s u r ee n t r o p y , a sw e l la s t h es u b g r o u p g e n e r a t e db yv a g u ea n dn a t u r e t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t of o u rp a r t s ，t h es t r u c t u r ea n dm a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： c h a p t e rib r i e f l yd e s c r i b e st h eb a c k g r o u n dt ot h ei s s u eo ft h i ss t u d y , t h ed e v e l o p m e n to f t h es t a t u sq u oa n ds oo n ，t h i sa r t i c l ep o i n t so u tt h es i g n i f i c a n c eo fi n n o v a t i o n sa n dr e s e a r c h c h a p t e ri ii sb a s e do nn e ww a v eo fv a g u es e t so fc u ts e t sa n dt h ed e c o m p o s i t i o nt h e o r e m b r o u g h tf 0 础b yz h a n gx i n b o t h ea u t h o re x t e n d e df u z z y s e t so nt h ee x t e n s i o nt ov a g u es e t s ， t h e np r o p o s e dp r i n c i p l e sa n dn a t u r eo ft h ee x p a n s i o no fv a g u es e t s c h a p t e ri i ig i v e st w oc o m m o n l yu s e df o r m u l a so ft h ei m p r o v e do p t i m i z e df u z z y m e a s u r e ，v a g u es e t sa n dv a g u es i m i l a r i t ym e a s u r ee n t r o p y , c o m p a r i n gt oe x i s t i n gm e t h o d s ， i l l u s t r a t e si t sr a t i o n a l i t ya n ds u p e r i o r i t yb ya ne x a m p l ec o m p a r i n g c h a p t e ri vg i v e st h ei m p r o v e dd e f i n i t i o no fv a g u es u b g r o u pw h i c hi s b a s e do nt h e d e f i n i t i o no fv a g u eg r o u p sa n dg e n e r a t e st h ev a g u ed e f i n i t i o no fs u b g r o u p sp r o p o s e db y d e m i r c im s o m ee x a m p l e sw e r eg i v e nt or e v e a lt h ei m p r o v e dd e f i n i t i o ni sag e n e r a l i z a t i o n o ft h eo r i g i n a ln a r r a t i v e ，a n di tg i v e sas e r i e so fi m p o r t a n tc h a r a c t e r st oi m p r o v ev a g u e s u b - g r o u p s 。 k e y w o r d s f u z z ys e t s ，v a g u es e t s ，s i m i l a r i t ym e a s u r e ，v a g u ee n t r o p y , e x t e n s i o np r i n c i p l eo fv a g u es e t s ， g e n e r a t ev a g u es u b g r o u p s 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 、， 学位论文作者签名： 幽五 指导教师签名：圣堡! 兰 i 沙o 年多月f 曰fp 年6 月日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 矽p 年莎月，厂日 西北大学硕十学位论文 第一章绪论 本章首先简单介绍了f u z z y 集和v a g u e 集的产生背景、目前的发展情况和应用：然 后介绍了基于v a g u e 集的v a g u e 相等、基于v a g u e 相等的v a g u e 代数结构的发展与不 断完善；最后概述了本文的主要工作与整体内容结构。 1 1 f u z z y 集和v a g u e 集的产生背景及其应用 1 1 1 f u z z y 集的产生背景及其应用 德国著名数学家康托尔于1 9 世纪末创立了集合论，2 0 世纪以来大量的数学研究表 明，不仅微积分理论的基础实数理论是以集合论为基础，而且各种复杂的数学概念 都可以用集合论定义出来。可以说，现代数学中几乎所有分支都会用到集合这个概念。 所以，从某种意义上来说集合论就是全部数学的基础，并且有力地促进了数学各个分支 的发展，被称为数学大厦的根基。 随着数学的不断向前发展，一系列没有想到的数学中的奇特现象，也就是我们现在 所说的逻辑矛盾问题，在集合论的边缘逐步被发现了，如英国哲学家兼数学家罗素在 1 9 0 3 年提出了非常有名的“理发师悖论”，即“只给那些不给自己刮脸的人刮脸，试问， 该理发师该不该给自己刮脸? ，用集合论的语言表示出来如下： “一切不包含自身的集合所形成的集合是否包含自身? ，把全部的集合分两类， 第一类中集合以其自身为元素，记为x ，第二类中集合不以自身为元素，记为】厂，则有： x = 彳ia a ，y = 彳ia 盛a ，问y x 还是y y ? 集合论中逻辑矛盾问题的出现冲击了康托尔创立的集合论，绝对严密的数学陷入了 自相矛盾之中，这就是众所周知的数学史上的第三次数学危机。危机产生之后，大量的 数学家投入到解决危机的研究中去。随后，z e r m e l o 于1 9 0 8 年提出了公理化集合论，经 过后来的改进形成了无矛盾的集合论公理系统，简称z f 公理系统。这也就是集合论发 展的第二阶段：公理化集合论。 与公理化集合论相对应，我们一般称由康托尔创立的集合论为朴素集合论。1 9 0 8 年由z e r m e l o 所改进的公理化集合论是对朴素集合论的改进处理，它继承了朴素集合论 有价值的理论并且消除了其可能存在的悖论，比较成功地解决了第三次数学危机。 集合论是现代数学的基础。从一个侧面来看集合论，它的重要意义在于把数学抽象 简单化、明朗化，触及到人类认识的深处。一组对象能确定一类属性，我们可以用属性 l 第一章绪论 来说明概念，也就是内涵，还可以指出对象来说明它。符合概念的对象的全体我们一般 叫做概念的外延，外延的实质就是集合。从这个侧面来看，集合可以表现为概念，集合 论中的运算与关系又可以表现为推理与判断，所有现实的理论系统都可以归纳到用集合 来描述的数学框架。然而，数学的发展又是分阶段性的，经典集合论仅能表示有确定外 延的概念与事物上，它明确地限定：任意的集合都必须由确定元素构成，元素对集合的 隶属关系要求是明确的，不可以模棱两可。对于那些外延不明确的概念和事物，经典集 合论是无法表示的，模糊数学就是在这种情况下诞生的。 模糊数学是2 0 世纪6 0 年代刚刚发展起来的一门新兴学科，美国控制论专家、数学 家l a z a d e h 于1 9 6 5 年首次在杂志i n f o r m a t i o na n dc o n t r o l 上发表了论文f u z z ys e t s 1 1 ， 第一次创造性地提出了模糊集的概念，开创了模糊数学的根基。模糊集的核心思想是把 经典集合论中取值为1 和0 的特征函数扩展到可以在区间f o ，1 1 中任意取值的隶属函数。 现实的生活中，常常遇到一些事物，没有明确的数量界限，需要使用一些模糊的词句来 描述和表达，例如好、还行、漂亮等等。在经典集合中，元素对集合的隶属关系必须是 明确的，不可以模棱两可；而在模糊集中，给定范围内元素对模糊集的隶属关系并非只 有“是”或者“否 ，也就是我们通常所说的“1 或“o ”这两种情况，而是用o ，1 1 之 间的实数来表示隶属程度，还存在中间过渡状态。例如，“年轻人 是个模糊概念，2 5 岁以下肯定属于年轻人，它的隶属程度是l ，4 5 以上肯定不算年轻人，它的隶属程度为 0 ，根据l a z a d e h 给出的公式，3 0 岁应该属于比较年轻，隶属度为0 8 。l a z a d e h 认为，指明各个元素的隶属度，就相当于给定了一个集合。当隶属度取值于o ，1 1 时，就 是模糊集合。 由于客观世界存在着大量的模糊现象，所以现在模糊数学发展非常迅速，经过几十 年的发展，它现在已经初步应用于模糊决策【2 1 、模糊聚类分析f 3 j 、模糊识别【4 】、模糊控 制【5 】、系统理论、模糊评判、生物学、医学、信息检索等各个方面，特别是在结构力学、 气象、心理学、控制【6 l 等方面已有具体的研究成果。 模糊数学的研究对象是不确定性现象，模糊集的诞生是数学为了描述复杂现象的需 要，l a z a d e h 所提出的模糊集理论使得模糊现象加以明确化，从而使不确定现象的数 学与确定性现象的数学得以沟通、联系，使得确定性现象以及随机现象不完备的地方， 得到了弥补。当前，模糊数学已经有众多的分支，如模糊群论【7 l 、模糊概率、模糊拓扑 学、模糊图论、模糊逻辑学【8 】、模糊语言学等。 2 西北大学硕士学位论文 当前，世界上一些发达国家正致力于研究和实验具有智能化的模糊计算机，比如日 本山川烈博士在1 9 8 6 年第一次试验并且成功研制模糊推理机，其计算推理速度是1 0 0 0 万次秒；我国汪培庄教授指导下的几位博士也于1 9 8 8 年成功的研制出一台模糊推理机 分立组件样机，其推理速度为1 5 0 0 万次秒。自1 9 8 8 年以来，国家自然科学基金每 年都在模糊数学领域投入了大量的资金，并且我国的很多学者也在这一领域取得了国际 认可的重要成就，如刘应明教授、郭桂蓉教授、王国俊教授、张文修教授等等。 我们一般称由l a z a d e h 所提出的模糊集为f u z z y 集，基于f u z z y 集所进行的一系 列数学研究称为f u z z y 数学。 1 1 2 v a g u e 集的产生背景及其应用 集合论是数学研究的根基，自从l a z a d e h 于1 9 6 5 年首次创造性地提出了f u z z y 集的概念以来，集合论的应用范围更为广阔，给定范围内元素对模糊集的隶属关系不一 定只有“是”或者“否 ，也就是我们通常所说的“l 或“0 ”这两种情况，而是用f o ，1 1 之间的实数来表示隶属程度，并非经典集合中用f o ，1 l 来表示非此即彼的关系，这种表示 使得集合的边界不是那么的分明，适用的范围更加的广阔，并产生了多个数学分支。 随着社会经济环境的日益复杂性和未来的不确定性，科研人员进一步发现，有一些 生活中的数学模型，由于人们在认知过程中表现出来的不确定性，或者表现出来一定程 度的知识匮乏，用f u z z y 集来解决会出现一些弊端，比如我们实际中常见的“投票模型 来决策问题，既有赞成票、反对票，也有弃权票，用f u z z y 集来处理，我们往往是只考 虑赞成票，也就是常说的报喜不报忧，却不考虑反对票与弃权票。为了弥补这类问题的 不足，保加利亚学者a t a n a s s o v 于1 9 8 3 年和1 9 8 6 年扩展了f u z z y 集，提出了直觉模糊 集【9 j0 1 ，它是对f u z z y 集理论的进一步推广和延伸，紧接着台湾学者g a u 和b u e h r e r 在 1 9 9 3 年提出了与直觉模糊集非常相似的v a g u e 集理论【l ，b u s t i n ch 和b u r i l l op 在文献 1 2 中说明了v a g u e 集与直觉模糊集在本质上是一致的，但是在处理不确定数据方面， v a g u e 集的表示形式更为简洁，而且在现实中表示的实际意义更容易被人接纳，我们在 本文中都用v a g u e 集来说明问题。v a g u e 集主要是采用真假隶属度函数的思想，对不确 定现象分别给予刻画，论域中的元素与论域上的集合之间的关系不再是f u z z y 集中的“一 定程度上属于的关系，而是“在一定程度范围之内属于 的关系，这种元素对集合之 间关系的新界定，最突出的优点是它可以直观的描述，现实生活中人们对不确定事物的 第一章绪论 未知性而表现出来的思维的不确定性。 自从1 9 9 3 年v a g u e 集第一次被提出，十几年的时间已经有了一定的发展和应用， 已经被成功应用于智能系统【1 3 】、信息融合等，而且在数学的很多分支中也有所渗透，比 如v a g u e 集的相似度量【1 4 - 2 0 、v a g u e 熵1 2 1 。2 羽等，特别是以v a g u e 集为基础的群、环、域 结构也有了初步的发展，开拓着以v a g u e 集为基础的各种代数结构的提升。 1 2 基于v a g u e 相等的v a g u e 代数结构的发展与完善 模糊关系是模糊数学中的一个重要概念，下面我们首先给出f u z z y 代数中模糊关系 的概念。给定论域x 和y ，一个从x 到y 的关系r 实际上就是由x y 的一个子集唯 一确定的，也就是说x y 的一个子集r 就表示一个从x 到j 厂的关系。 定义1 2 1 1 2 9 1 我们称x y 的一个f u z z y 子集灭为一个从x 到】，的f u z z y 关系，记为 x 】，对于( x ，y ) x xy ，称实数r ( 而y ) 为x 与y 对于模糊关系的相关程度。 在文献 2 9 中，给出了f u z z y 关系的合成，f u z z y 等价关系等，它们是f u z z y 代数中非 常重要的概念，我们在这里不再一一列出。 在f u z z y 等价关系的基础上，m u s t a f ad e m i r c i 于1 9 9 9 年在文献 3 0 中提出了f u z z y 函数和f u z z y 相等的概念，并且给出了它们的一些性质，接着m u s t a f ad e m i r c i 又在文献 3 1 中给出了v a g u e 相等的概念，并且给出了基于v a g u e 相等的v a g u e 群的定义，在 这些定义的基础上，v a g u e 群的相关定义和性质不断的被提出和证明，推动了v a g u e 代 数不断地向前发展，现在已经有学者把v a g u e 群中的相关定义和性质推广到了v a g u e 环和v a g u e 域，不断地改进和完善v a g u e 代数结构。 1 3 本文的主要工作及内容安排 本文主要分为四部分，第一章绪论，介绍了f u z z y 集和v a g u e 集的产生背景，以及 相关内容的一些基本概念，基于v a g u e 相等的v a g u e 代数结构的发展与完善，是本文的 概要部分。第二章介绍了f u z z y 集理论与v a g u e 集理论的一些初步知识，把f u z z y 集上 的扩展原理推广到v a g u e 集上，并给出了v a g u e 集扩展原理的一系列重要的性质，这是 我们关于v a g u e 集方面的一个重要工作。第三章给出了v a g u e 集的两个应用，第一个是 基于未知度的v a g u e 集( 值) 的相似度量，分析了现有v a g u e 集相似度量的不足，给出 了一个经过改进优化的新的v a g u e 集的相似度量，另一个是分析了现有v a g u e 集模糊熵 4 两北大学硕士学位论文 的不足，给出了新的v a g u e 集的模糊熵，并通过实例对比说明了它的合理性。第四章是 基于v a g u e 相等的v a g u e 群，我们首先根据学者d e m i r e im 提出的v a g u e 群的定义，提 出了生成的v a g u e 子群的两个定义及相关的性质。其中v a g u e 集的扩展原理、新的v a g u e 集的相似度量及新的v a g u e 集的模糊熵，和生成v a g u e 子群的定义及性质是本人的主要 成果。 5 第二章f u z z y 集与v a g u e 集的初步知识 第二章f u z z y 集与v a g u e 集的初步知识 2 1 f u z z y 集理论初步 2 1 1f u z z y 集的基本概念 在经典集合论中我们已经知道，集合是具有某种特定属性的对象集体，常用大写字 母彳，b ，c 来表示。但是在研究具体问题时，我们总是限定定范围内的对象进行讨论， 全体的对象就称为论域，常用大写字母z ，只z 来表示，论域中的每一个对象就称为元素， 常用小写字母x ，j ，z 表示。对于论域x 中的任意一个元素x 和一个给定的经典集合彳， 要么有x a ，要么有x 仨a ，必有一种情况成立，这种关系可以表示如下： 以：x 专 。，1 ) ，x i 一九( x ) = 0 二三三， 在这里，九称为a 的特征函数。我们在第一章已经说过，经典集合只能表现具有明确 外延的概念，不可表示模糊的概念，为了定量的刻画模糊现象和模糊概念，l 。a z a d e h 在1 9 6 5 年提出了f u z z y 集，把经典集合中的隶属关系进行扩展，使元素对集合的隶属 度从只能取0 和1 ，扩充到可以取区间【o ，1 】中的任意一个值。 定义2 1 1 【1 1 设彳为论域x 上的一个模糊集合，则彳可以用如下形式来表示： 九：x 寸 o ，1 ) ，xl j 以( x ) ， 其中函数值以( x ) 称为x x t a 的隶属度，九称为a 的隶属函数。 通过上述定义我们知道模糊集合a 中的元素是不确定的，但是我们可以通过隶属函 数以来认识和掌握模糊集合彳。函数值以( x ) 的大小体现了论域x 中的元素x 对于模 糊集合彳隶属程度的高低，九( x ) 的值越接近于1 ，表明x 隶属于a 的程度越大，e i 2 _ ， 以( x ) 的值越接近0 ，表明x 隶属于彳的程度越低。在特别的情况下，如果函数值九( x ) 取 0 或1 ，则模糊集彳就退化成经典集合。 今后我们把论域x 上模糊集合的全体记为f ( x ) ，因为模糊集合彳是由它的隶属函 数九来刻画的，为了方便起见，我们今后也经常用记号彳( x ) 来代替以( x ) ，所以在本 西北大学硕上学位论文 文中模糊集合与它的隶属函数的记号将不加区别。 2 1 1f u z z y 集的常见表示方法 自从l a z a d e h 提出f u z z y 集以来，很多学者给出了f u z z y 集的表示，常见的有以 下两种。 ( 1 ) z a d e h 表示法 当论域x 中元素只有有限个，即x = 五，屯，以) 时，论域x 上的模糊集合彳可以表 示为 彳刊( _ ) 再+ 彳( ) 恐+ + 彳( ) 吒， 其中彳( 薯) 五表示元素t 隶属于模糊集彳的程度，“+ 是一种联系符合，并不是我们通 常意义下的加号。 ( 2 ) 向量表示法 设论域x = 西，恐， ) ，则论域x 上的模糊集合彳可以表示为 彳= 么( _ ) ，彳( 恐) ，么( ) ) 。 至于f u z z y 集的其它初步知识我们可以参考文献 3 2 3 7 ，在这里不再赘述。 2 2v a g u e 集理论初步 我们在前面提到，l a z a d e h 于1 9 6 5 年首先提出了f u z z y 集理论，推广了经典集合 论，解决了一些经典集合论所不能解决的一类问题。但是f u z z y 集的隶属度是一个单一 的值，不能同时表示支持和反对的证据。为了更全面的描述不确定现象，g u a 和b u e h r e r 于1 9 9 3 年提出了v a g u e 集理论【1 1 1 ，论域中的元素与集合之间的关系不再是f u z z y 集中 “一定程度上属于的关系，而是“在一定范围之内属于的关系，这种对论域中的元 素与集合之间的新界定，最突出的优点是它可以描述人们对未知事物的未知性而表现出 来的思维的不确定性。 定义2 。2 1 【l l 】设x 是一个点( 对象) 空间，其中任意一个元素用x 表示，x 上的一个 v a g u e 集彳用一个真隶属度函数( x ) 和一个假隶属度函数厶g ) 表示，( x ) 是从支持x 的证据导出的x 肯定隶属度的下界，厶 ) 是从反对x 的证据所导出的工否定隶属度的下 界。( x ) 和厶 ) 将区间【o ，1 】中的一个实数和x 中的每一点联系起来。即 7 第，二章f u z z y 集与v a g u e 集的初步知识 乙：x 叫o ，1 】 x 卜( x ) 六：x - - , o ，1 】 x l - , s ( x ) x 关于v a g u e 集4 的隶属度表示为区间n ( x ) ，1 一厶( x ) ，其中f a o ) + 厶l ，我们不 妨称元素x 关于v a g u e 集的隶属度为元素x 关于v a g u e 集的v a g u e 值，参照f u z z y 集的 表示方法，可简单记为圪o ) ，即圪( x ) = ( x ) ，1 一i n ( x ) 。 特别地，当乙( x ) + 兀( x ) = 1 时，它就退化为普通模糊集。 设4 为论域x 上的一个v a g u e 集， 当x 离散时将其表示为：彳= 瓴) ，l 一无 ) 】心，t x ， 当x 连续时将其表示为：彳= i k ( x ) ，1 - f a ( x ) x ，石x 。 我们今后把论域彳上v a g u e 集的全体记为v ( x ) 。 v a g u e 集4 中，元素x 关于v a g u e 集的隶属度用一个区间函数 “( x ) ，1 一厶( x ) 来 表示，其中一个对象x 的支持度、反对度、未知度分别用( z ) ，以( x ) ，1 - t a ( x ) - f 一( x ) 来表不，作为普通模糊集的扩展，它i 司时提供了支持和反对的证据，凶而能更有效的刻 画不确定数据。 定义2 2 2 称( x ) = g ) 一厶g ) ( 一1 咒( x ) 1 ) 为元素x 的核，它表征现有证据对元 素x 支持和反对两种力量的对比，看作整体支持( 肯定) 度。 定义2 2 3 称乃( x ) = 1 一f ( x ) 一厶( x ) ( o 旯 为a 的力强截集。 定义2 3 2 设彳f ( x ) ，名【o ，1 】，定义五和彳的乘积旯4 为 ( 五彳) ( x ) 全元 彳( x ) ，v x ex ，其中符号 表示取最小值。 显然，我们有( 名彳) ( x ) = 三( x ) 三主2 ，故可以理解为五彳是由么的特征函数压缩而得到 的。根据此定义容易得到 ( 1 ) a 彳如彳：( 2 ) a b a as t b 。 定理2 3 3 ( f u z 巧集的分解定理1 ) 设4 f ( x ) ，则彳2 五鬈1 1 旯鸣。 证对坛x ，( z 掣1 l a 彳) ( x ) = s u p 五人4 ( x ) f 名【。，1 】) = s u p 五【o ，1 】l x 4 ) = s u p 五【0 ，1 】i 彳( x ) a = 4 0 ) 所以有彳2 五掣，1 1 旯以。 类似地，我们有下面的结论。 定理2 3 4 ( f u z z y 集的分解定理2 设4 f ( x ) ，则a = 名。u 2 4 砷。 定理2 3 5 ( f u z z y 集的分解定理3 ) 设4 f ( x ) ，映射日：【o ，1 - - - f ( x ) ，名i 一日( 名) 满 足4 a ) 日( 五) 4 ，v a , e 0 ，1 】，则 ( 1 ) a = ua , h ( a 1 ； x d o 1 1 7 9 第二章f u z z y 集与v a g u e 集的初步知识 ( 2 ) 五 五j 日( ) h ( 五) ； ( 3 ) 以= n 日 ) ，见o ；4 五) = n 日 ) ，旯1 。 随着v a g u e 集概念的提出，人们自然会想到把f u z z y 集中的分解原理推广到v a g u e 集上，下面在f u z z y 集的基础上，我们给出v a g u e 集分解定理的相关定义和定理。 定义2 3 6 【3 8 1 ( v a g u e 集的截集) 设v a 矿( x ) ，口【o ，1 】， 0 ，l 】， 称以- - x xlt a a 2 ，屈 - - t z ，i n f ( a f ( x ) l y = g ( x ) = g ( 4 ) ( 力口j l g ( a f ) ( ) ，) j y ( g ( 么) ) 口， j ( g ( 么) ) 口，声2g ( 以) ； ( 2 ) v xe ( g 一1 ( b ) ) 。，卢g - ! ( 召f ) ( x ) 口且g 一1 ( 岛) ( x ) 岛( g ( x ) ) 口且琢( g ( x ) ) 营g ( x ) 吃x g 一1 ( 吃，芦) ，故有( g 一1 ( b ) ) 口= g 一1 ( 吃。声) 。 类似地，有下面的结论。 性质2 3 1 8 设厂：x 专】，为映射，彳y ( x ) ，b ey ( 即，g 与g 一1 为v a g u e 集扩展原理2 中 所定义的映射，则对v 口，【o , 1 】， ( 1 ) ( g ( 彳) ) ( 。) = g ( 4 口，p ) ) ： ( 2 ) ( g 一1 ( b ) ) ( 口，声) - g 一1 ( 最口，口) ) 。 注意，性质2 3 1 8 ( 1 ) 比性质2 3 1 7 ( 1 ) 的结论更强，容易证明，当g ( 彳) ( 口，卢) 为g ( 么) 的口，一强截集，4 郇) 为么的口，f l _ 强截集时，等号成立。 性质2 3 1 9 设厂：x 寸】，为映射，a ，a ，a y ( x ) ，f t ，t 为指标集，g 为v a g u e 集扩 展原理中定义的映射，则 ( 1 ) a 互a jg ( a ) 互g ( a ) ； ( 2 ) g ( u a 。) = u g ( ) ； 1 4 两北大学硕十学位论文 ( 3 ) g ( n a ) c _ n g ( a ) 。 f e tl e t 证( 1 ) a 彳j v x 义，4 ( x ) 群( x ) ，4 ( x ) 鬈( x ) ( 奉) j 砂y ，g ( 4 ) ( y ) = s u p a r ( x ) l y = g ( x ) - s u p a r ( x ) l y = g ( x ) = g ( 4 ) ( j ，) j g ( a r ) g ( 群) 由( 书) 式4 ( x ) 群( x ) j 砂】，g ( 4 ) ) = i a f a , ( x ) l y = g ( x ) i n f 4 ( x ) iy = g ( z ) = g ( 4 ) ( j ，) jg ( a p ) c _ g ( a f ) ，i 故g ( a ) gg ( a 7 ) 。 c 2 ) v y e y , g ( g 雒) ) ( y ) = s 印 ( g 雒) ( 圳y = g ( x ) ) f e ri f e rj = s u p s u p 雒( x ) l te r jy = g ( z ) ) = s u p s u p 4 ( x ) ly = g ( x ) ) i te 丁 = s u p g ( 4 ) ( 少) l t e r = fu g ( g ) l ( 少) ，所以有g ( u 雒) ) = u g ( 雒) ) 。 t c tr e rf e r 同理g ( u 雒) = u g ( 雒) 。所以，g ( u 么) - - u g ( a ) 。 ( 3 ) v te t ，n 彳_ ca ，由( 1 ) 得，g ( n a ) g ( 彳) = g ( a a ) c _ n g ( a ) 。 根据v a g u e 集扩展原理第二部分和上述性质，类似可以得到下面的性质。 性质2 3 1 9i 爱f ：x y 为映射，b ，b ，b y ( d ，f 丁，丁为指标集，g - l 为v a g u e 集 扩展原理1 和v a g u e 集扩展原理2 中所定义的映射，则 ( 1 ) b b g 一1 ( 召) cg 一1 ( b ) ； ( 3 ) g - i ( n b ( o ) c _ n g 一1 ( b ) 。 fr“；r 以上我们在f u z z y 集的基础上，结合文献 3 8 中v a g u e 集的分解定理，推广了f u z z y 集的扩展原理，提出了v a g u e 集的两个扩展原理，并且给出了v a g u e 集扩展原理的一系 列重要性质。如何把f u z z y 集上的其它重要定理进一步推广到v a g u e 集上，是我们要进 一步研究的内容。 第三章两个新的v a g u e 集模糊度量方法 第三章 两个新的v a g u e 集模糊度量方法 l a z e d e h 于1 9 6 5 年首次提出了f u z z y 集理论【l 】，在接下来的几十年中，它不断地 得到完善和发展，而且在多个领域得到成功的应用，但是f u z z y 集的隶属度是一个单一 的值，不能同时表示支持和反对的证据。为了解决这个问题，台湾学者g u a 和b u e h r e r 于1 9 9 3 年提出了v a g u e 集理论【l l 】，论域中的元素与集合之间的关系不再是f u z z y 集中 “一定程度上属于 的关系，而是“在一定范围之内属于 的关系，这种对论域中的元 素与集合之间的新界定，最突出的优点是它可以描述人们对未知事物的未知性而表现出 来的思维的不确定性。 现今v a g u e 集已经被成功应用于智能系统、信息融合等，我们在这部分给出v a g u e 集的两个主要应用新的v a g u e 集的相似度量和v a g u e 集的模糊熵，对于v a g u e 集的 相似度量和v a g u e 集的模糊熵众多学者已经提出了不少方法，我们提出的新方法与之比 较，更具有优越性。 3 1 基于未知度的v a g u e 集( 值) 的相似度量 在v a g u e 集的应用中，相似度量起到重要的作用，因此研究v a g u e 集的相似度量意 义重大。目前，从不同的侧重点出发，已经有多种度量方法【1 4 之o 】，都有各自的优点与局 限，在实践中可以根据需要进行选取。大多数的学者出发点都是肯定和否定各占一半的 思想，本文充分考虑了未知信息的重要性，提出一种全面考虑未知度的v a g u e 集之间相 似度量的新方法。 3 1 1 已有v a g u e 集( 值) 之间的相似度量方法及不足 我们首先来看两个v a g u e 值之间的相似度量，然后推广到两个v a g u e 集上。目前v a g u e 值之间的相似度量方法很多，如下是有代表性的： 设彳是定义在论域x 上的一个v a g u e 集，x 和少是论域x 中的元素，x 和少的两 v a g u e 值分别记为( x ) = 乙( x ) ，1 - f a ( x ) ，圪) = 已( y ) ，1 一无( y ) ，在不引起混淆 的情况下可以简单记为圪( x ) = k ，1 一五】，v a ( y ) = t y ，l - l 。 方法1 ，在文献 1 4 中，c h e n 等定义的v a g u e 值( x ) 和( y ) 之间相似度量公式为： 1 6 西北大学硕士学位论文 为： 岭一睑掣小吐掣趔； 方法2 ，在文献 1 5 中，h o n g 等定义的v a g u e 值形( x ) 和圪( y ) 之间相似度量公式为： 吣，一掣： 方法3 ，在文献 1 6 中，李凡等定义的v a g u e 值呢( z ) 和匕( y ) 之间相似度量公式为： m 一一睑掣一掣； 方法4 ，在文献 1 7 中，李艳红等定义的v a g u e 值兀( x ) 和圪( 少) 之间相似度量公式 m o 2 方法5 ，在文献 1 8 中，夏少云等定义了v a g u e 值圪( x ) 和圪( y ) 之间相似度量公式 m z = 1 一l 儿( x ) 一儿( y ) l ，这里心( x ) ，鳓( y ) 是元素x 和y 对v a g u e 集彳的精 确隶属度，而且满足纨( x ) h ( x ) ，l 一厶( x ) ，鳓( x ) 巳( y ) ，1 一无( y ) 。 上面的v a g u e 集之间的相似度量方法分别是从不同角度提出的，可以解决一定范围 内的实际问题，但都不能适合一般情况，认为未知度不为零的两个相同元素v a g u e 值的 相似度为1 是它们比较明显的缺陷。造成这些不足的原因是没有充分考虑未知度大小对 相似度的影响。现在完全符合客观事实和直观感觉不存在反例的相似度量方法还没有找 到，需要根据实际情况进行选取。本文充分考虑未知度大小对v a g u e 集相似度量的影响， 从另一角度提出了一种新的度量方法。 3 1 2 v a g u e 集之间的相似度量方法的一般准则 在文献 1 3 - 1 8 中，众多学者在研究v a g u e 集相似度量方面逐渐形成的一些共识， 本文将这些共识总结为如下的一般准则。 设a 是定义在论域x 上的一个v a g u e 集，x 和) ，是论域x 中的元素，x 和y 的两 个v a g u e 值分别记为屹( x ) = h ( z ) ，1 - f a ( x ) ，屹( 少) = 乙( y ) ，l 一无) ，m ( x ，y ) 表 1 7 第三章两个新的v a g u e 集模糊度量方法 示两个v a g u e 值之间的相似度，贝um ( x ，y ) 应该满足下列准则： 准则1 o m ( x ，y ) 1 ； 准则2 m ( x ，y ) = m ( y ，x ) ； 准则3 m ( x ，y ) = o 呢( x ) = 【o ，o 】，呢( y ) = 【l ，1 】或屹( x ) = 【1 ，1 】，匕( j ，) = 【o ，o 】； 准则4 m ( x ，y ) = 1 营圪o )