（基础数学专业论文）公司价值评估问题的数值计算和粘性解分析.pdf

摘要 本模型的基本假设是公司以其价值最大化为目标来确定其财政政策 和投资政策，同时，这也是投资者的唯一目标该模型的基础是c o x ，i n g e r s o l l 和r o s s ( 1 9 7 8 ) 的资产价值评估偏微分方程组，该方程组是在证券价格函 数与理性期望相一致的假设下，运用b l a c k s c h o l e s 模型得到的我们运用该 模型来分析某一假想公司的财政政策和投资政策 本文用显示差分格式给出了方程组的数值解，证明了差分格式的稳定性 和收敛性，用m a t l a b 得到了数值解的图形表示，对假想的公司进行了数值计 算与此同时，运用粘性解方法证明了该模型涉及的非线性偏微分方程的解 的存在性，唯一性以及解的性质，并以此为基础，构造了该方程的上解和下 解，与数值分析解进行了比较，给出了解的误差估计 本文从理论上证明了一定假设条件下的比较原理，并以此为基础，证明 了粘性解是唯一存在的主要数值结果是，该模型存在稳定的差分格式，而 且数值解收敛于原问题的解 关键词：b l a c k - s c h o l e s 公式布朗运动差分格式稳定性收敛性 粘性解 l l a b s t r a c t i ti sa s s u m e dt h a tm a n a g e m e n ts e l e c t sf i n a n c i n ga n di n v e s t m e n tp o l i c i e s w i t ht h eo b j e c to fm a x i m i z i n gt h ev a l u eo ft h ef i r m so u t s t a n d i n gs h a r e s a n dt h a tt h i si sf u l l ya n t i c i p a t e db yi n v e s t o r s t h eb a s i so ft h em o d e li s t h ec o x ，i n g e r s o l l ，r o s s ( 1 9 7 8 ) p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sf o rt h ev a l u eo f a na s s e t ，t h i se q u a t i o ni si t s e l ft h er e s u l to fc o m b i n i n gt h eb l a c k s c h o l e s m o d e lw i t ht h ea s s u m p t i o nt h a tt h ep r i c i n gf u n c t i o nf o rs e c u r i t i e si sc o n s i s - t e n tw i t hr a t i o n a le x p e c t a t i o n s t h em o d e li su s e dt oa n a l y z et h ef i n a n c i n g a n di n v e s t m e n ts t r a t e g i e so fah y p o t h e t i c a lf i r m i nt h i sp a p e r ，an u m e r i c a ls o l u t i o na l g o r i t h mb ye x p l i c i td i f f e r e n c e s c h e m e si sg i v e nf o rt h ee q u a t i o n s w ea l s os h o wt h a tt h ee x p l i c i td i f f e r e n c e s h e m e sa r es t a b l ea n dc o n v e r g e n ta n dd r a wg r a p i l so fn u m e r i c a ls o l u t i o n o fh y p o t h e t i c a lf i r mu s i n gm a t l a bs o f t w a r e b yu s i n gt h ev i s c o s i t ym e t h o d s ，t h ee x i s t e n c ea n dt h eu n i q u e n e s so ft h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o na r e p r o v e d t h e n ，w ec o m p a r et h en u m e r i c a ls o l u t i o nw i t hv i s c o s i t ys u p e m o l u - t i o na n dv i s c o s i t ys u b s o l u t i o nt og i v et h ee r r o re s t i m a t i o n o u rm a i nt h e o r e mi st h ec o m p a r i s o nt h e o r e ma n di ti su s e dt op r o v e t h ee x i s t e n c eo fv i s c o s i t ys o l u t i o n t h em a i nn u m e r i c a lr e s u l ti st h a tt h e d i f f e r e n c es c h e m e sa r es t a b l ea n dc o n v e r g e n t k e yw o r d s ：b l a c k - s c h o l e sf o r m u l a b r o w nm o t i o nd i f f e r e n c es c h e m e s t a b i l i t yc o n v e r g e n c ev i s c o s i t ys o l u t i o n n l 简介 公司目标经历了从利润最大化、经济效益最大化到公司价值最大化的 发展过程如今，公司价值最大化已成为人们普遍接受的公司目标假设，同 时，它也成为贯穿公司管理活动的一个基本思路，即所有的管理活动都以了 解公司价值为始，以公司价值最大化为终这是因为相对于利润最大化和经 济效益最大化而言，公司价值最大化反映了投资人的基本要求和公司内在发 展的基本规律，而且它更能适应现代企业制度的要求可以说，公司最终有 且只有一个目标，那就是公司价值最大化 价值评估的思想基础就是任何资产的价格必须反映该资产预期的现金 流入有人认为，资产的价格首先是由其持有人的看法决定的，如果其他的 投资者愿意支付这样的价格，那么这个价格就是合理的这种说法显然是荒 谬的投资者购买金融资产是因为金融资产会带来现金流入就是说，任何 资产的价格必须反映该资产预期的现金流入，在价值评估中这一点是不容置 疑的 评估师在价值评估实践中使用大量不同的模型这些模型从简单到复 杂，对于价值确定常常有着不同的假设前提，一般可以把价值评估的方法分 为三种第一，折现现金流量法依据预期的未来现金流量现值评估一项资 产的价值第二，相对比较法寻找确定可比较资产，根据某个共同的变量， 如收入、现金流量、帐面价值或者销售收入，通过可比较资产的价值来评估 标的资产的价值第三，或有要求权法就是通过期权定价模型对具有期权 特性的资产进行价值评估 期权定价理论在价值评估中有着广泛的应用，特别是在传统的折现现金 流量方法和各种常规方法难以发挥作用的领域即使在折现传统方法可以发 l v 筒介 v 挥作用的地方，期权定价模型也提供了市场价值的另一种有效的思路本文 就是结合期权定价理论对公司价值评估作进一步的探讨 本模型涉及到参数的优化问题，因此，在求解的过程中，既要考虑给定的 约束条件，又要考虑满足给定的方程组这是我们面i 临的困难之一对于这 种涉及到参数优化的方程般都是用对参数求导的方法来求解的，由于我们 仅考虑数值解，因此将参数的优化放到m a t l a b 程序中，而不再单独给出约束 条件也就是说，从形式上仍把它看做一般的方程组、然后在数值求解的时候 让参数循环，比较不同参数下的解，最终找到满足方程的最优解为了求解的 方便，我们选用了显示差分格式进而，我们用粘性解方法证明了该方程解 的存在性和唯一性，并用粘性上解和粘性下解估计了解的误差， 本文第一章主要介绍了期权定价的b l a c k s c h o l e s 公式，第二章给出了公 司价值评估的模型，第三章和第四章分别用数值计算方法和粘性解方法对该 模型作了较为详细的分析第三章证明了差分格式的稳定性和收敛性，给出 了数值解的图形表示第四章证明了比较原理以及解的存在性和唯一性 第1 章 期权定价理论 1 1布朗运动和i t 6 公式 定义1 1 如果随机过程( t ) 满足以下三条性质： 1 ，轨线连续w ( o ) = 0 ，w ( t ) 是t 的连续函数 2 增量正态分布 对固定t ，w ( t ) 一n ( o ，t ) ，以及对t s ，有 w ( t ) 一w 7 ( 8 ) 一n ( o ，t s ) 3 增量独立 w ( t 。) 一w ( t 。一1 ) ，w ( t 。一1 ) 一w ( t 。一2 ) ，慨) 一( t 1 ) 与w ( t 1 ) 都是互相独立的( 0 0 1 t 2 t n ) 那么随机过程( t ) 称为布朗运动或w i e n e r 过程，w ( t ) 可简写为吼 定理1 1 ( i t 6 公式) 设= y ( s ( t ) ，t ) ，v 是二元可微函数若随机过 程s ( t ) ：= 适合随机微分方程 则 d s t = p ( s t ，t ) d t + 口( 岛，t ) d v c t 啦( 面o v 叩12 ( 蹦) 等) 出十筹a & = ( 罾十弘( 岛，。丽o v + i 1 以& ，) 0 2 v 出+ a ( ) t ) 筹d m ( 1 1 ) 1 第l 章期权定价理论 2 证明：由7 i 对1 0 r 展开式 d k = o 眦vt + o d v sd s t + ；丽0 2 v ( d s t ) 2 + o ( d t d s t ) ( 1 2 ) 根据参考文献 3 ， ( d s t ) 2 = 似( 岛，o d t + 口( 岛，t ) d w t ) 2 = 0 - 2 ( 鼠，t ) ( d 眠) 2 + 2 f u a d t d w t 十p 2 d t 2 = 0 - 2 ( & ，t ) d t + o ( d t ) 把它代回( 1 2 ) ，得到 d k = ( 罾岬12 ( s t , t ) 等) 出+ 瓤( 即) d t + a ( s t m d 吲+ 。( 即( 1 1 ) 成立 1 2b l a c k - s c h o l e s 方程 期权为持有人提供了一种权利，持有人在确定的时间，按确定的价格向 出售方购买或销售一定数量和质量的某种原生资产的协议，但他不承担必须 购入或出售的义务在期权合约中，确定价格称为实施价格或敲定价格，确定 日期称为到期日，按期权合约规定执行或销售原生资产称为实施 期权按合约中购入和销售原生资产来划分，可以分为看涨期权和看跌期 权看涨期权是一张在确定时间，按确定价格有权购入一定数量和质量的原 生资产的合约看跌期权是一张在确定时间，按确定价格有权出售一定数量 和质量的原生资产的合约期权按合约中有关实施的条款来划分，可以分为 欧式期权和美式期权欧式期权只能在合约规定的到期日实施美式期权能 在台约规定的到期目以前( 包括到期日) 任何一个工作日实施 第1 章期投定价理论 3 设k 是敲定价格，t 是到期日，则在到期日期权的收益( 即期权的价值) v t 为 坼= ( ：二妻；：霎蒺篓袭： c t 渤 这里| s 表示原生资产在到期日t = t 的价格 1 9 7 3 年，f i s c h e rb l a c k , m y r o ns c h o l e s 建立了看涨期权定价公式 v = s n ( d 1 ) 一k e - r t n ( d 2 ) 这个公式的创新之处在于不依赖于投资人的偏好它把所有投资人引向 同一个以无风险利率作为投资回报率的风险中性世界1 9 9 7 年由于这个 光辉的公式以及由此产生的期权定价理论方面的一系列贡献，m s c h o l e s 和r m e r t o n ( f b l a c k 已故) 获得诺贝尔经济学奖下面我们将详细地介 绍b l a c k - s c h o l e s 公式的推导过程 基本假设 ( a ) 原生资产价格演化遵循几何布朗运动 掣：芦出+ 口d 胍 d t 其中卢是期望回报率( 常数) ，口是波动率( 常数) ，d w , 是标准布朗运动 e ( d w j ) = 0 ， v a r ( d w t ) = d t ， ( 1 4 ) ( b ) 无风险利率r 是常数， ( c ) 原生资产不支付股息， ( d ) 不支付交易费和税收， ( e ) 不存在套利机会 设y = y ( s ( t ) ，t ) 是期权价格，它在期权的到期b t = t 时满足( 1 3 ) ，设 第1 章期权定价理论 4 在时刻t 形成投资组合n ，并在时段( t ，t 十d t ) 内，不改变份额那么由于n 是无风险的，因此在时刻+ d t ，投资组合的回报是 坠筝旦：，出 t 。 邑口 d 一a d 岛= r h t d t = r ( v t 一最) d r ( 1 5 ) 由于 k = y ( & ，t ) ， 其中& 是由随机微分方程( 1 4 ) 确定的随机过程，因此由i t 6 公式 砒= ( 面o v + i 1 2 s 2 等+ 胪筹) 班+ a s 丽o v a 吼 把它代x ( 1 5 1 得 ( 百o v + 百1 a 2 s 2 等+ p s 丽o v - a # s ) 砒+ ( a s 丽o v - a a s ) a = r ( y a s ) d r ( 1 6 ) 由十，苷式石端是尢风险的，凼此等式左端随机i 史d w t 的系数必为0 ，即选取 = 筹 将它代入( 1 6 ) ，并消去出得到 罾十22 孬0 2 v 筹- o 这就是刻画期权价格变化的偏微分方程一b l a c k _ s c h o l e s 方程 为了确定在合约有效期i o ，t 1 内期权的价值，就要在区域 第1 章期权定价理论 ：f 0 s ，0 t 2 上求解以f 定解l 司题： f 面o v 坷12 s 2 筹丽o v 州_ 0 i ( 刚强 1y k t = 三二；：莩娄翥袭： 。s o o 作自变量代换 z = l a s r = t t e 述定解问题转化为常系数抛物型方程的c a u c h y 问题： 5 0 ，一o 。 z 0 0 ，0 丁t ， ( 1 7 ) 一o o z o o 仅考虑看涨期权，求解问题( 1 7 ) 作函数变换 v2u e a r + f l x ( 1 8 ) 通过适当选取常数o ，口使得问题( 1 7 ) 转化为热传导方程的c a u c h y 问题由于 w = e a t 4 - 肪阻r + a u ， k = e 。7 十肛 u 。十加 ， k 。= e 。7 + 触【u 。+ 2 触。+ z 2 u 将它们代入( 1 ，7 ) 的第一式，消去e n 什胁得到 口2 扎r i z 取 卢a 2 + r - - 昏+ h ( r 一譬) p = ；一嘉 譬舢0 1 彤捉抚+ 期期鬻冀 p 刚即押丽妒僻 ，矿= 一 卸 型撕 第1 章期权定价理论 一r + p 一 譬) + 譬卢2 = 一r 一2 - f i l ( r 一譬) 2 2 一”一 i ”一ij 6 这样在变换( 1 8 ) 下，问题( 1 7 ) 就变为( 仅考虑看涨期权) f 筹一生2 象一o ， ( 1 9 i ， j ，28 睁 ，0 ，k ， e a 。】+ 1 j ，k e l a 。 j ，2 0 ( 2 1 5 ”) ( 2 1 6 ”) ( 2 1 7 ”) ( 2 1 8 ”) ( 2 1 9 ”) ( 2 2 0 ”) ( 2 2 l ”) ( 22 2 ”) ( 2 2 3 ”) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ”) 其中陋1 表示取z 的整数部分 以上格式在给定的终值条件和边界条件下可逐层计算，称为显式格式 在m a t l a b 计算过程中，给，g 取定不同的值，并比较不同，g 下的e 值，得到 满足最优条件的e ，仍然记为e ，同时也得到了，此时， ：；筹。+ ( 一筹一尝础( h 胪( 州皿+岛j ，七一l = 互j 王；丁岛一1 j ，十i 一j 王：万一j 王i n l j g j j u g u 。1 。 ”r 三2 丝a z 2 十筹 + a t “z g c j a m 8q 口 女i e g 一 ( e 卜 + 舭 k，j_r， e k 、一 第3 章公司价值评估方程组的数值分析 再把计算得到的，代入到关于6 的方程组，于是得到 1 9 吣卜= ：a 鲥t a 2 b “ * + ( 一筹一尝础( m 沪( 州皿，) b i , j , k + 1 2 & 舻t a 2 + 譬) b 嘶t + 州，+ o ) j 心+ 。m ( 3 9 ) 为了叙述方便，我们将( 3 - 8 ) 和( 3 9 ) 用向量统一表示为 。u ，k _ 硼1 - - - - - - h m + h ( 3 1 0 ) 其中u k 一1 = ( u l ，1 ，七，u 2 ，l ，女，“工1 ，1 ， ，“2 ，2 ，南，“l l ，m 一1 ，k ) t 对不同的方 程，所对应的矩阵h 和h k l 不同，假定边界值的计算是精确的，设在最后 层引入误差e t ，并用噶表示当最后一层存在误差即时由( 3 1 0 ) 得到的解，也 就是说u ；应满足方程 j ，u ：一l = h 峨+ h k 一 iu = 妒+ e r ， 误差= u ；一u k 应满足的方程是 由此可知 因此 i “一l = h ，k = t a t ，i t 引一1 ，3 ，2 le t 为初始误差， 1 1 墨1 i h i i i e t 第3 章公司价值评估方程组的数值分析 定义3 1 若铅在一定范数下满足不等式 氏1 | g 1 1 e r 扎( k 1 ) 则称差分格式是稳定的，其中g 是与步长z ，a m ，a t 无关的常数 差分格式( 3 1 0 ) 稳定的必要充分条件是存在与步长z ，a m ，a t 无关的常 数c ，使得对任何( o 0 ，0 冬1 7 1 1 ，0 t 0 , 0s m 1 , 0 。 0 ，0 5 m s l ，0s t 0 ，0 m 墨l ，0 s t 0 ，0 墨m 1 ，0 t 0 ，0 m 1 ，t t 7 0 ，0 m s l ，t t 7 o ，0smsl ，t t 0 ，0 m l ，丁一 0 ，0 s m 1 ，t t 0 ，0 m 1 ，t t ，t t + a t 5 心 f 扩r p 护 l 一一一 l t 一 一 一 一 一 f r p r 圹 ；1 l 一一一一一 m m m m m 一一一 + 茹 o z 茁 z 第4 章牯性解分析 e t ( z ，m ，r ) 满足， 百r f 百+ 口百z + ( ，9 ) 竹l 百mp 一9 ) 百+ z 一9 一 c m k + ，6 = 0 ， 茁 0 ，0s m 1 ，t 亡， 0 ，0 ms1 ，t t 7 0 ，0 ms1 ，t t 7 0 ，0 m 1 ，t t 0 ，0 m 1 ，t ， 0 ，0sm 1 ，t t tst t + a t 用反证法假设存在内点( 。o ，m o ，t o ) ，使得 a a t ( z 0 ，m o ，匍) o ， 因此m o o 故极值点不能在m o = 0 处达到 若“o = 1 ，由于 百t ( z ，1 ，丁) 苣t ( 。，1 ，r ) sm a x a t ( z ，0 ，f ) 一而，0 】一m a 【6 t ( 。，0 ，t ) 一而，0 】 se t ( x ，0 ，r ) 一赢 第4 章粘性解分析 百t ( $ ，0 ，丁) 一芭t ( ，0 ，下) 故极值点不能在m o = 1 处达到所以o m o 0 若9 3 0 = 0 ，那么 t ( 0 ，r n ，r ) 墨0 ，故极值点不能在$ o = 0 处达到 若。o = o 。，极值点不能在o = o 。处达到( 证明见附注) 所以0 f r g ) h 0 因此矛盾! 所以对任意的( z ，m ，r ) ，有h a t 0 当r g 0 可以求得该定解问题的解为 心) = c 3 e x p ( c 1 卅q e x p ( 仍2 ) + 两1z + 芒弃+ 焉 其中 c 1 ：二垒之蟹土翌! ! 二盟 d 。一丘一、面f 干i 孑气两 岛：! 二她甚堡型 盯 n 1c 2 c 2 h o l 32 一百_ 丽乙丁f _ = = _ 歹可石_ = 1 酉一石- 二石i 苞_ 丽十 3 l q e d ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) 丘q 一一g ) 2 ( c l q ) ( 4 1 1 ) q = 再志丽+ 再瓣面一再篇而( 4 1 2 ) 由于c l q ，故只需考虑c 1 0 的情形 令 = e e x p 一( c 1 + 1 ) 。) ， 显然 i z ：o = 0 ，l 。：0 = 0 当z - 。时， _ 0 籍一 第4 章粘性解分析 3 2 根据比较原理，我们可以进一步得到问题( 4 5 ) 解的存在性和唯一性 定理4 2 ( 存在性和唯一性定理) 定解问题( 4 5 ) 存在唯一的粘性 解e ( z ，m ，r ；a t ) 证明? 由于0 。 o 。，0 m 1 ，一a t ! t t ，故b 有界，因此 z g c m k 十f b l i h o 其中日。为常数令 球= c 3 e x p ( c 1 卅c 4 e x p ( c 2 卅两1 。+ 南+ 墨， 6 z x t = 岛“p ( q 。) + 瓯e x p ( q z ) 十i 1 刁z + f 兰矛一竺， 其中常数既0 = 1 ，2 ，3 ，4 ) 由( 4 9 ) - ( 4 1 2 ) 确定显然上述e t 和弘t 是定解问 题( 4 5 ) 的粘性上解和粘性下解 q e d 推论4 3 1 1 e t ( t ，m ，7 ) 一e f ( ，m ，r ) 1 1 l 。岛( 0 ( 与m ，t ，a t 无关) ，当j i ( z ，m ，r ) 一( z 7 ，m ，一) i i d 时，有 i i e t ( ，仇，t ) 一e t ( 正，m ，) l | e 证明：由推论4 ，3 即得q e d 推论4 6 存在 a t ) 的子序列 ， ，当，_ 0 时，有 e a t ( x ，m ，t ) _ e ( $ ，m ，t ) 且e ( $ ，m ，t ) 就是定解i ；1 题( 4 4 ) 的解 ( 4 1 3 ) 参考文献 1 】m i c h e lj b r e n n a na n de d u a r d os s c h w a r t z ，v a l u a t i o no fc o r p o r a t e c l a i m s ，t h ej o u r n a lo ff i n a n c e ，v 0 1 x x x i x n o 3 ，1 9 8 4 2 f r i e d m a na v n e r ，p a r t i a ld i f f e r e n t f l 功n a t i o n so f p a r a b o l i c7 y p e ，p r e n - t i c eh a l l ，1 9 6 4 3 姜礼尚，期权定价的数学模型和方法，高等教育出版社，2 0 0 3 【4 徐萃薇，计算方法引论，高等教育出版社，1 9 8 5 5 1 金颖，李燕平，债券的发行与转让，中国金融出版社，1 9 9 0 【6 】i s a p a r i u c ，m d m a r c o ia n dj e f l a h e r t y , an u m e r i c a la n a l y s i so fv a r i - a t i o n a lv a l u a t i o nt e c h n i q u e sf o rd e r i v a t i v es e c u r i t i e s ，a p p l i e dm a t h e m a t i c s a n dc o m p u t i o n ，2 0 0 3 【7 a y m a nh i n d y , c h i - f uh u a n ga n ds t e v e nh z h u ，n u m e r i c a la n a l y s i so f af r e e - b o u n d a r ys i n g u l a rc o n t r o lp r o b l e mi nf i n a n c i a le c o n o m i c s j o u r n a lo f e c o n o m i cd y n a m i c sa n dc o n t r o l ，v o l2 1 ，p 2 9 7 - 3 2 7 ，1 9 9 7 【8 】j o h nc h u l l ，o p t i o n s ，f u t u r e sa n do t h e rd e r i v a t i v e s ，p r e n t i c eh a l l ，1 9 9 7 【9 汤姆科普兰，蒂姆科勒，杰克默林，价值评估一一公司价值的衡量与管 理f 中文第二版) ，中国大百科全书出版社，1 9 9 8 【1 0 】黄本尧，期权与企业财务风险管理研究中国财政经济出版社，2 0 0 3 1 1 】阿斯沃思达蒙德理，价值评估证券分析、投资评估与公司理财，北京 参考文献 大学出版社，2 0 0 3 【1 2 罗杰莫林，谢丽杰瑞尔，公司价值，企业管理出版社，2 0 0 2 【1 3 】a v n e rf r i e d m a n ，p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so f p a r a b o l i ct y p e ，p r e n t i c e - h a l l ，i n c ，1 9 6 4 【1 4 】x i a o n a nw u ，z h i - z h o n gs u n ，c o n v e r g e n c eo f d i f f e r e n c es c h e m ef o rh e a t e q u a t i o nj nu n b o u n d e dd o m a i n su s i n ga r t i f i c i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s a p p l i e dn u m e r i c a lm a t h e m a t i c s ，v o l u m e5 0 ，i s s u e2 ，a u g u s t2 0 0 4 ，p a g e s2 6 1 2 7 7 【1 5 ln a t a l i ab o r o v y k h ，s t a b i l i 妒j nt h en u m e r i c a ls o l u t i o no ft _ h eh e a te q u a - t i o n 耐亡hn o n l o c a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，a p p l i e dn u m e r i c a lm a t h e m a t i c s ， v o l u m e4 2 ，i s s u e s1 - 3 ，a u g u s t2 0 0 2 ，p a g e s1 7 _ 2 7 【1 6 】r 6 b e r th o r v a t h ，m a x i m u mn o r mc o n t r a c t i v i t yj 丑t h en u m e r i c a ls o l u t i o no ft h eo n e - d i m e n s i o n a lh e a te q u a t i o n ，a p p l i e dn u m e r i c a lm a t h e m a t i c s ， v o l u m e3 1 ，i s s u e4 ，d e