数学中的中国传统文化问题汇编.doc

数学中的中国传统文化一、算法问题1用更相减损术求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数为()A2 B3 C4 D5答案C解析(84,294)(84,210)(84,126)(84,42)(42,42)，一共做了4次减法2如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a为()A4 B2 C0 D14答案B解析由题意输出的a是18,14的最大公约数2，故选B.3用辗转相除法求459和357的最大公约数，需要做除法的次数是()A1 B2 C3 D4答案C解析4593571102，357102351，102512，459和357的最大公约数是51，需要做除法的次数是3.4秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，对于求一个n次多项式函数fn(x)anxnan1xn1a1xa0的具体函数值，运用常规方法计算出结果最多需要n次加法和次乘法，而运用秦九韶算法由内而外逐层计算一次多项式的值的算法至多需要n次加法和n次乘法对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以此算法极大地缩短了CPU运算时间，因此即使在今天该算法仍具有重要意义运用秦九韶算法计算f(x)0.5x64x5x43x35x当x3时的值时，最先计算的是()A5315B0.5345.5C3335366D0.5364351 336.6答案B解析f(x)0.5x64x5x43x35x(0.5x4)x1)x3)x0)x5)x，然后由内向外计算，最先计算的是0.5345.5.5若用秦九韶算法求多项式f(x)4x5x22当x3时的值，则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为()A4,2 B5,3C5,2 D6,2答案C解析f(x)(4x)x)x1)x)x2，乘法要运算5次，加减法要运算2次6已知函数f(x)6x65，当xx0时，用秦九韶算法求f(x0)的值，需要进行乘方、乘法、加法的次数分别为()A21,6,2 B7,1,2C0,1,2 D0,6,1答案D解析f(x)6x65，多项式的最高次项的次数是6，要进行乘法运算的次数是6.要进行加法运算的次数是1，运算过程中不需要乘方运算7中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图执行该程序框图，若输入的a依次为2,2,5，x，n均为2，则输出的s等于()A7 B12 C17 D34答案C解析第一次运算，a2，s2，n2，k1，不满足kn；第二次运算，a2，s2226，k2，不满足kn；第三次运算，a5，s62517，k3，满足kn，输出s17，故选C.8用秦九韶算法求多项式f(x)x33x22x11的值时，应把f(x)变形为()Ax3(3x2)x11B(x3)x2(2x11)C(x1)(x2)x11D(x3)x2)x11答案D解析 f(x)x33x22x11(x3)x2)x119用秦九韶算法求函数f(x)3x52x42x34x27当x2的值时，v3的结果是()A4 B10C16 D33答案C解析函数f(x)3x52x42x34x27(3x2)x2)x4)x)x7，当x2时，v03，v13224，v242210，v3102416.10用秦九韶算法求多项式f(x)x65x56x4x20.3x2的值，当x2时，v1的值为()A1 B7C7 D5答案C 解析f(x)x65x56x4x20.3x2(x5)x6)x0)x1)x0.3)x2，v0a61, v1v0xa51(2)57.11利用秦九韶算法求多项式f(x)6x45x32x6的值，当x3时，v3的值为()A486 B351C115 D339答案C解析f(x)6x45x32x6(6x5)x0)x2)x6，v0a46，v1v0xa363513，v2v1xa2133039，v3v2xa13932115.12秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例若输入n，x的值分别为4,3，则输出v的值为()A20 B61C183 D548答案C解析由程序框图知，初始值：n4，x3，v1，i3，第一次循环：v6，i2；第二次循环：v20，i1；第三次循环：v61，i0；第四次循环：v183，i1.结束循环，输出当前v的值183.13原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生多少天？()A1 326 B510 C429 D336答案B解析由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为173372276510.14用秦九韶算法计算多项式f(x)5x54x43x32x2x1，乘法运算次数为_加法运算次数为_答案55解析f(x)(5x4)x3)x2)x1)x1，乘法要运算5次，加法要运算5次15若f(x)x43x3x1，用秦九韶算法计算f()时，需要乘法m次，加法n次，则mn_.答案6解析f(x)x43x3x1(x3)x)x1)x1，用秦九韶算法计算f()时，乘法运算与加法运算的次数和等于6.16我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和 (a，b，c，dN*)，则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值我们知道3.141 59，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即0)，则D(0,0,0)，P(0,0,1)，B(，1,0)，C(0,1,0)，(，1，1)，因为点E是棱PC的中点，所以E(0，)，(0，)，于是0，所以PBDE.又已知EFPB，而DEEFE，所以PB平面DEF.因为(0,1，1)，所以0，所以DEPC，而PBPCP，所以DE平面PBC.由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEF，EFB，DFB.(2)解由PD平面ABCD，所以(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量由(1)知，PB平面DEF，所以(，1,1)是平面DEF的一个法向量若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，则cos |，结合0，解得，所以.故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，.四、其他问题1我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A134石 B169石C338石 D1 365石答案B解析抽样比是，那么1 534石米夹谷1 534169(石)，故选B.22016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子：a1c1a2c2；a1c1a2c2；c1a2a1c2；2a2,2c12c2，即a1a2，c1c2，a1c1a2c2，不正确a1c1|PF|，a2c2|PF|，a1c1a2c2，正确a1a20，c1c20，aa，cc.又a1c1a2c2，即a1c2a2c1，即ac2a1c2ac2a2c1，acca2a1c22a2c1，即(a1c1)(a1c1)(a2c2)(a2c2)2a1c22a2c1，整理得(a1c1)(a1a2c1c2)2a1c22a2c1.a1c1，a1a2，c1c2，2a1c2a1c2，正确c1a2a1c2，a10，a20，即，不正确故选D.3古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d ，人们还用过一些类似的近似公式根据3.14 159，判断下列近似公式中最精确的一个是()Ad Bd Cd Dd 答案D解析由V()3，解得d，令，则，选项A代入得3.375，选项B代入得3，选项C代入得3.14，选项D代入得3.142 857.故D项中的近似公式最精确4“勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是()A1 B.C. D.答案A解析设小正方形的边长为x，由于sin ，cos ，即，则x1，故飞镖落在小正方形内的概率是P1，故选A.5如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为，则tan _.答案解析由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为 2，210cos 10sin ，cos sin ，又为锐角，易求得tan .62002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为.那么cos 2的值等于_答案解析小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，每一个直角三角形的面积是6，设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，则两条直角边的长分别为3,4，又直角三角形中较小的锐角为，cos ，cos 22cos21.7数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是_答案解析三位数的回文数为ABA，A共有1到9共9种可能，即1B1、2B2、3B3、9B9，B共有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、A9A，共有91090个，其中偶数为A是偶数，共4种可能，即2B2、4B4、6B6、8B8，B共有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、A9A，共有41040个，三位数的回文数中，偶数的概率P.8欧阳修卖油翁中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐杓酌滴沥之，自钱孔入，而钱不湿，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止，若铜钱是直径为1.5 cm的圆，中间有边长为0.5 cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为_答案解析由题意可得铜钱的面积S()2，边长为0.5 cm的正方形孔的面积S0.52，所求概率P.92011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率，为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个学豆、10个学豆、20个学豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束设选手甲第一关、第二关、第三关闯关成功的概率分别为，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功互不影响(1)求选手获得5个学豆的概率；(2)求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率答案(1)P(X5).(2)设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A1，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A2，则A1，A2互斥，P(A1)(1)，P(A2)(1).P(A)P(A1)P(A2).10九章算术是我国古代数学成就的杰出代表其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积(弦矢矢2)弧田(如图)，由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”