（基础数学专业论文）steinleinwalther双曲集上的各种伪轨跟踪性.pdf

摘要 本文在一种弱化的双曲集e - s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集上用强伪轨和反伪轨跟踪 性的概念来刻画b a n a c h 空间上的c 1 映射的稳定性，从而得到广义的跟踪性引理 全文共分三章 第一章对伪轨跟踪性及其它几种跟踪性的概念和成果做了简单介绍，给出了 本文所需要的符号和基本概念，阐述了本文的研究背景和主要结果 第二章给出了一个引理，并利用该引理证明了s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集上的 强伪轨跟踪性 第三章研究了s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集上的反伪轨跟踪性和强反伪轨跟踪性 如果是b a n a c h 空间上的c 1 映射，则在s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集上关于连续 方法的类以具有反伪轨跟踪性，并且迸一步证明了西关于类具有强反伪轨跟 踪性 关键词：s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集；强伪轨跟踪性：反伪轨跟踪性；强反伪轨跟 踪性；类 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw eg i v es o m ek i n d so fs t a b i l i t yo fc 1m a po naw e a kk i n do f h y p e r b o l i cs e t ，t h a ti s ，s t e i n l e i n - w a l t h e rh y p e r b o l i cs e t ，v i at h en o t i o n so fs t r o n g s h a d o w i n ga n di n v e r s es h a d o w i n g ，a n dh e n c eo b t a i nt h eg e n e r a l i z e ds h a d o w i n gl e m - m a 8 t h e r ea r et h r e ep a r t si nt h i sp a p e r i nc h a p t e r1 ，w es i m p l yi n t r o d u c et h ec o n c e p t so fs o m ek i n d so fs h a d o w i n g p r o p e r t i e sa n ds o m ek n o w nr e s u l t sa b o u tt h e m ，a n dt h e ng i v et h en o t a t i o n sa n d t h eb a s i cc o n c e p t s ，i n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n dm a i nr e s u l t so ft h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，w ec o n s t r u c tal e m m aa n dm a k eu s eo fi tt op r o v et h es t r o n g s h a d o w i n gp r o p e r t yo nt h es t e i n l e i n - w a l t h e rh y p e r b o l i cs e t i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h ei n v e r s es h a d o w i n gp r o p e r t ya n ds t r o n gi n v e r s es h a d - o w i n gp r o p e r t yo nt h es t e i n l e i n - w a i t h e rh y p e r b o l i cs e t i f 击i sac 1m a po fb a n a c h s p a c e ，t h e n 西h a st h ei n v e r s es h a d o w i n gp r o p e r t yo nt h es t e i n l e i n - w a l t h e rh y p e r - b o l i cs e tw i t hr e s p e c tt oac l a s so fc o n t i n u o u sm e t h o d 以，a n di t ss t r o n gi n v e r s e s h a d o w i n gp r o p e r t yw i t hr e s p e c tt oac l a s so fc o n t i n u o u sm e t h o d0 矗bi sp r o v e df u r - t h e ra sw e l l k e yw o r d s ：s t e i n l e i n - w a l t h e rh y p e r b o l i cs e t ；s t r o n gs h a d o w i n gp r o p e r t y ； i n v e r s es h a d o w i n gp r o p e r t y ；s t r o n gi n v e r s es h a d o w i n gp r o p e r t y ；c l a s s i i 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果论文 中除特别加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的 研究成果，其他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了 明确的声明并表示谢意 学位论文作者签名： 飞认 日期：c 渊f 、 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅本人授权辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文保密的论 文在解密后使用本授权书 学位论文作者签名： 罢砍 指导教师签名 日期 第一章引言 微分动力系统的研究最早起源于上世纪末p o i n c a r 6 等人关于常微分方程定性 理论的开创性工作上世纪二、三十年代，点集论与常微分方程定性理论相结合产 生了拓扑动力系统这两方面的工作为后来微分动力系统的发展作了不少概念和方 法上的准备六十年代初，拓扑学与常微分方程定性理论结合，立即促成了微分动 力系统这一崭新的数学分支的蓬勃兴起微分动力系统是常微分方程理论、微分拓 扑学与现代微分几何学等学科融合而成的边缘学科，这是一门涉及面广、综合性 强、在理论与实践中都有重要意义的数学分支，因而引起了人们的极大关注 在现代动力系统的各个分支中，伪轨的概念时常出现，而跟踪性更是在动力 系统中扮演着十分重要的角色伪轨跟踪性刻划的是动力系统的整体行为，它是伴 随着动力系统扰动理论的研究与发展而产生的1 9 7 5 年b o w e n 首次对一般微分同 胚给出了跟踪引理( 见 1 1 ，【2 】) ，这标志着动力系统跟踪性研究的开始 1 1 伪轨跟踪性简介 伪轨及其跟踪性就理论上来讲，任何一个扰动系统的轨道均可被原系统的伪 轨所逼近，而从实际应用上来说，当用计算机进行模拟计算时，总有舍入误差存 在，因而，所得到的轨道都不是系统的真正轨道，而是一个伪轨伪轨跟踪性指 出：当计算误差充分小的时候，一个真正的轨道逼近伪轨经过30 r 年的研究与 发展，伪轨跟踪性不仅成为了动力系统理论研究中的重要概念之一，而且也成为 了动力系统中最重要的动力性质和技术性工具其本身的性质可参见f 3 1 ，从文献【2 ， 4 ，5 ，6 ，7 ，8 】可以看到与其相关的研究几乎涉及到动力系统的各个内容 首先，我们给出伪轨及跟踪性的定义 以下设( x ，d ) 为紧度量空间，：x _ x 是连续映射z 表示整数集 定义1 1 1 ：对给定的6 0 ，如果一个序列= 瓢：k z ) 满足： d ( ( z 七) ，x k + 1 ) 0 ，存在艿 0 ，使得西的任意一个6 伪轨 f = 瓢：k z ) 都被x 中某点x 所e 跟踪，即： l s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集上的各种伪轨跟踪性 d ( z 七，毋膏( z ) ) 0 ，存在自然数 7 = ，( 6 ) ，使得对任意的佗n 7 ，i z 都有： 去喜郴。x i + k + l m ， 则称为咖的一个6 平均伪轨 定义1 1 4 ：对于给定的e 0 ，存在6 0 ，使得西的任意一个6 平均伪轨 f = 瓢：k ) 都可以被x 中某点z 所e 跟踪，即： 熙s u p - - 熹喜m ) 0 和品 0 ，使得对任意的正0 6 0 ，使得的任意j 伪轨= 钆： k z ，可以被x 中某点z 弱e 跟踪，即： 【) 七zcn ( e ，o ( z ，砂) ) ， 一3 一 s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集上的各种伪轨跟踪性 则称西具有弱伪轨跟踪性 c o r e l e s s 和p i l y u g i n 在文献【1 7 】中构造了2 维环面严上的一个具有有限非游荡集 的微分自同胚妒具有弱伪轨跟踪性的等价条件s a k a i 在文献【1 8 】中证明了在光滑闭 曲面m 上，如果w s p ( m ) 表示m 上具有弱伪轨跟踪性的微分自同胚所构成的集 合，则w s p ( m ) 具有伊拓扑的c 1 内部中的每一元都满足公理a 和无环条件，因 而是a n o s o v 微分同胚， 设日是一个b a n a c h 空间，是日上的c 1 映射，i i 表示日上的向量范数z 表示整数集 定义1 1 9 ：对给定的数6 0 ，如果日上的一个序列f = h ：k z ) 满 足i ( ) 一z 七+ l i 0 ，若序列= z 詹7 h ：k z ) ，存在z h ， 满足l z 知一扩( z ) i 0 ，存在艿 0 ，使得西的任意强6 伪轨都可以 被日中某点强e 跟踪，则称西具有强伪轨跟踪性 定义1 1 1 2 ：称的一个6 伪轨族x ( 咖，6 ) 为的一个方法，并称的方法集合 p ( ) = 【x ( ，6 ) ：6 o ) 为的一个方法的类 定义1 1 1 3 ：类以( ) 对应一个日上的连续映射序列 仇 ，使得对任意z h 和k z ，有i c k ( z ) 一( z ) l 0 ，对 任意点z h 和任意方法x ( ，6 ) 以，存在6 伪轨7 7 = 玑要x ( ，6 ) ，使得 i 纨一扩( z ) l 0 ，存在6 0 ，对任 意点z h 和任意方法x ( 砂，j ) 钆，存在强j 伪轨叩= 【弧) 器x ( ，6 ) ，使得 i 鲰一扩0 ) i 0 ，使得r ( t ) cv ，其 中r ( t ) 表示t 的7 邻域； ( 2 ) 对于任意的z t ，在t 上存在互补的投影映射p ( z ) ，q ( z ) ( p + q = ，) ， 以及存在( 0 ，1 ) ，蜀，c 0 使得p ，q 在t 上一致连续，且不等 式i i p ( x ) l l ，i i q ( x ) l i k 1 成立令s ( z ) = p ( x ) h ，u ) = q ( x ) h ，使得s ) ，u ( z ) 具有如下性质： ( 2 1 ) d ( z ) s ( z ) cs ( ( z ) ) ； ( 2 2 ) s ( ( z ) ) + d ( z ) u ( z ) = 日； ( 2 3 ) i d e 七( z ) u i c 增i v l ， s ( z ) ，k o ； i q ( 七( z ) ) d 七( z ) u l r i v l ，钉u ( z ) ，k 0 一5 一 s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集上的各种伪轨跟踪性 1 3 研究背景及本文主要结果 1 9 7 8 年，e a s t o n 最早在文献2 2 1 中提出了强伪轨跟踪性的概念，一个系统具 有强伪轨跟踪性意味着伪轨与真正轨道的单步累积误差在指定误差范围内，所以 与其他伪轨跟踪性相比强伪轨跟踪性对模拟计算的精度要求更高p f l y u g i n 在【5 】中 证明了一个微分同胚在其双曲集的某个邻域中具有强伪轨跟踪性，文献【2 3 】论证了 如果度量空间上的一个连续自映射具有强伪轨跟踪性，则其链回归集与极限集相 同提升系统的强伪轨跟踪性在文献【2 4 】中给出了证明强伪轨跟踪性的一些其他 性质可参见文献 2 5 1 、f 2 6 众所周知，伪轨跟踪性考虑的是系统的伪轨附近是否有真正轨道的问题从 其反面考虑，一个自然的问题是：系统的真正轨道能否被伪轨所跟踪呢? 这被称作 “反跟踪”问题从实际应用上来说，如果系统就一类数值计算方法( m e t h o d ) 而 言具有反伪轨跟踪性质，则系统的任意一条真正的轨道能被由该类方法得到的 伪轨所跟踪，说明我们所采用的计算方法能够较准确的反映系统每一条轨道的 动力行为r c o r l e s s ，s p i l y u g i n 于1 9 9 5 年在文献【1 7 】中提出了反伪轨跟踪性的概 念，并且s p i l y u g i n 于2 0 0 2 年在文献【2 7 】中证明了结构稳定的微分同胚在1 1 维光滑 闭流形上关于连续方法的类具有反伪轨跟踪性y h a n 和g l e e 在文献【2 8 】中给出 了r i e m a n n 流形上的结构稳定的流关于连续方法的类具有反伪轨跟踪性的证明这 些都是在通常定义的双曲集上得到的结论 本文将用强伪轨跟踪性及反伪轨跟踪性的概念来刻画b a n a c h 空间上的c 1 映 射西在一种弱化的双曲集一s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集上的稳定性，得到了广义的跟 踪性引理它比通常意义下的双曲集更为一般，因为这种定义不再需要不稳定空 间u 在映射d e 之下的不变性，因而具有更广泛的研究意义s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲 集上的l i p s c h i t z 跟踪性已经在5 】中给出了证明本文将对这种弱化的双曲集上的 c 1 映射所具有的伪轨跟踪性质作进一步讨论主要的结果在第二章第二节和第三 章 第二章第二节研究的是强伪轨跟踪性问题这一节给出并证明了引理2 5 ，并 且利用引理2 5 证明了b a n a c h 空间上的c 1 映射西在s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集上具 有强伪轨跟踪性即定理2 6 第三章研究的是反伪轨跟踪性与强反伪轨跟踪性问题第一节证明了定 理3 1 ，即：b a n a c h 空间上的c 1 映射西在s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集上关于连续方 一6 一 s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集上的各种伪轨跟踪性 法的类以具有反伪轨跟踪性第二节中定理3 2 则进一步证明了咖关于类以。具有 强反伪轨跟踪性 一7 一 第二章s t e i n l e i n w a l t h e r 双曲集上的强伪轨跟踪性 2 1 本章准备工作 我们首先给出p i l y u g i n 的一个重要引理( 见 6 】) ，该引理是证明微分动力系统 跟踪存在性的一个有力工具，被广泛应用于构建多样的伪轨跟踪性质设 。_ 了。，1 4 一- o 。o 为b a n a c h 空间序列，i i 为玩上范数，i i i f 为风上线性算子的范数考虑映射序 列： 机：风_ 凰+ 1 ，口ha k v + z k + l ( v )( 2 1 ) 其中九为线性算子 ： 记劈= 【讥 器l 讥耳k ，s u pi 仇i 0 ，使得当m ，l 口，i a 时，有不等式 l + l ( ) 一魂+ l ( 移) i k i 一t ，7 i ； 并且满足k l - 一1 - 0 0 0 0 ) ，且| i 饥( o ) 川o o 艿如，则存在可= 魄器 留( r e s p 可= l k 1 + f - 。o ) ，使得妣( 讥) = u k + l ，并且恻i l 6 文献【2 9 】利用此引理证明了微分同胚在双曲集附近具有极限伪轨跟踪性即： 8 s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集上的各种伪轨跟踪性 定理2 2 ：如果人是微分同胚，的一个双曲集，则存在a 的一个邻域w 和一 个正常数品，使得，在上关于品有极限伪轨跟踪性 这是在通常意义的双曲集上得到的结论为了证明s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集上 的伪轨跟踪性质，p i l y u g i n 在【5 】中又构造了一个引理，即如下引理2 3 ，使之类似 于上述引理2 1 ，并证明它们有相似的结果 再次考虑空问序列h k ，k z ，以及映射序列机，使得式子( 2 1 ) 成立其 中a 七= b 七+ g ，并且b 南，以为线性算子 引理2 3 ：假设 ( a ) 存在一个常数入( 0 ，1 ) ，n 1 ，以及风上的投影映射r ，饥( 满足： 瓯( z ) = p k ( z ) h k ，巩( z ) = 仉( z ) 风) 使得 ( a 1 ) i i c k 0 ，i l r l i ，i i q k l i n ，最+ q 七= ，； ( a 2 ) 风& c 鼠+ 1 ，并且i i b ki 瓯i l 入； ( a 3 ) 风巩= u k + 1 ，并且0 b i li 巩+ ，i l 入； ( b ) 瓯i 鼠= 0 ，g u kcs k + 1 ； ( c ) 存在常数k ，a 0 ，使得当川，i t ，i a 时，有不等式 i 张+ 1 ) 一魂+ 1 ( 钉，) | k i t ，一i ； 并且满足k 2 0 ，如果对于k z ，不等式i 机( o ) i 6 品成立，则存在一 组序列v k 凰，满足机( v k ) = 移蠹+ 1 ，并且i i l 6 文献【5 】利用此引理证明了c 1 映射在s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集合上的l i p s c h i t z 跟踪性即： 定理2 4 ：设h 为一个b a n a c h 空间，：v 一日为日上的一个开子集y 上的c 1 映射，如果tcy 为矽的s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集合，则在t 上具有 l i p s c h i t z 跟踪性 2 2s t e i n l e i n w a l t h e r 双曲集上的强伪轨跟踪性 这一节我们将证明s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集上的强伪轨跟踪性问题证明之 前我们仿照引理2 1 与2 3 ，给出引理2 5 然后在引理2 5 的基础上证明s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集上c 1 映射具有强伪轨跟踪性 一9 一 s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集上的各种伪轨跟踪性 设 风 器为b a n a c h 空间序列，i i 为风上范数，| 1 i l 为风上线性算子的范 数考虑映射序列： 饥：凰_ 风+ 1 ，t 7ha k v + z k + l ( v ) 其中a 七= b k + g ，并且鼠，仉为线性算子 记9 = ) 4 一- 0 0i 仇凰，l 讥l 器勿，令俐j 1 = i v k l 于是( 勿，i i i1 ) 和( ，1 1 i1 ) 均为b a n a c h 空间 引理2 5 ：假设 ( a ) 存在一个常数入( 0 ，1 ) ，n 1 ，以及风上的投影映射最，饥( 满足： 鼠( z ) = 最( z ) 上k ，巩( z ) = 阢( z ) h k ) 使得 ( a 1 ) j i 仇i i ，i i r 0 ，l i q 七i i 冬n ，p k + q 南= j ； ( a 2 ) 风瓯c 鼠+ 1 ，并且i i b ki & l i a ； ( a 3 ) 风u k = 巩+ 1 ，并且l | 且譬1i 巩+ 。i i 入； ( b ) 瓯l s k = - - 0 ，g 巩c 鼠+ 1 ； ( c ) 存在常数k ， 0 ，使得当川，川a 时，有不等式 钰+ 1 ( v ) 一z k + 1 ( v 7 ) l l x k 0 口一v l l x 并且满足，c n s 1 ，其中n 3 = 糕 令品= 会，l = 亡如果对于映射序列 机) 蓦，不等式 机( o ) ) 器 9 ( r e s p 九( 0 ，+ 一o o 勿7 ) 且i i 机( 0 ) 1 1 1 6 晶成立，则存在一组序列可= 讥 器 勿( r e s p 虿= v ，1 + 一o o 9 ，) ，满足c k ( v k ) = 巩+ 1 ，并且i i v 知l l , l 6 证明：假设满足仡3 1 ，其中3 = n 告崭，令品= 会，l = 且1 - n a k 我们仅 就( 9 ，”0 。) 的形式给出证明，( ( 勿7 ，”i1 ) 的情况证明类似) 设映射 妣) 器满 足如上条件，e = 面= 。v 。1 + 一。o o 9 ：i i o l l u ) ，其中范数忙i i = i 仇| 令 i 奄l e z z ( o ) = 魂( 面) ，瑟 s t e i n l e i n w a l t h e r 双曲集上的各种伪轨跟踪性 在e 上定义一个算子r ，满足r ( 面) = 龇】- ，( m k = u ：+ 乱2 + 讥，其中： y k = 巧1 簖1 骗+ 1 ( 锄+ l ( 影) ) ； n = k 札：= r ( 级( 面) + g a y k 1 ) ； 七一1 u 2 = n = 一 b k 一1 风( r ( 面) + g 一1 一1 ) 令a k = b k + 倪，我们容易验证：魄+ 1 = a 知咄+ 镪+ 1 ( 面) 由m i n k o w s k i 不等式：若k ，a m n 0 ，p 1 则 可以推出： 蟊z ( ( b r e a m ，n ) p ) ；6 m ( n仇 0 0 川 缸z mn 嚷n ) ； 五1 五1 q n + 1 ( + 1 ( 面) ) l k e z n = k 入”m i 钳，( 百) 知zn = k 护i + 七( 面) i b z m - - 1 咎i i z ( 列1 1 u 纠i p k ( z k ( v ) + c 七一1 纨一1 ) i 缸z 七一1 缸! z( 1 + r 毛) i 张( 雷) i ( 1 + r 与) l i z ( 司) 1 1 1 ； 闻 b k 岛zk e z n = 一 a k - n n ( 1 七z n = 一 0 使得： + k e o 妻 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 又令= k 3 ，取n 3 = 。n v 研i + a - a ，则可以找到一个大于零的常数艽，满足不等式 k 3 1 ，并且假设2 f o 舻 仡成立选取a ( 0 ，r ) ( r 取自定义1 2 1 中( 1 ) ) ，使得 如下不等式成立： 一1 2 s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集上的各种伪轨跟踪性 ( s 1 ) 对z t ，有 + 口) = ) + d c k ( x ) v + x ( x ，秒) ，并且当m a ，i i a 时，不等式i x ( x ，口) 一x ( z ，v ，) i 成立 z r ( s 2 ) 对于z ，y t ，不等式i z y i a 表明： ( s 2 1 ) i p ( x ) 一尸( 可) i ，l q ( z ) 一q ) i 0 ，使得对任意的强6 伪轨= 瓢：k z ) ，满足： 七i l 。i m 佃f 一1 ( ) 一z 知+ l i = o b z 并且被日中某点z 强伪轨跟踪，且： l i m 篆k r 扩。) i - 0 则称西具有极限强伪轨跟踪性 这里指出，由于对( 勿7 ，” 1 1 ) 情形的证明与上述证明类似，因此我们可以得 出这样的结论：b a n a c h 空间上的c 1 映射西在s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集上具有极 限强伪轨跟踪性 一1 4 一 第三章s t e i n l e i n w a l t h e r 双曲集上的反伪轨跟踪性研究 这一章，我们将在s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集上探讨反伪轨跟踪性与强反伪轨 跟踪性问题 3 1s t e i n l e i n w a l t h e r 双曲集上的反伪轨跟踪性 本节证明了s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集上的g 1 映射关于连续方法的类以具有 反伪轨跟踪性 定理3 1 ：设h 为一个b a n a c h 空间，西：v _ 日为日上的一个开子集y 上的 c 1 映射，如果tcv 为的s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集合，则妒在t 上关于连续方 法的类以具有反伪轨跟踪性 证明：由于d ( z ) 在y 上的一致连续且一致有界性，可知日上存在与原来 的范数等价的范数，使得定义1 2 1 中的常数e = 1 h 的线性子空间5 r 0 ) ，v ( x ) 仍 然满足s ( x ) = p ( x ) h ，v ( x ) = q ( x ) h ，且h = s ( x ) + 扛) 同理由定义1 2 1 中 的( 2 2 ) 以及q ( ( z ) ) s ( ( z ) ) = o ) ，可以推出( 2 2 ) 式仍然成立，即：u ( ) ) = q ( 西( z ) ) d ( z ) u ( z ) 任取一点z t ，取一组序列f = 。x 1 + 一o o t ，使得瓢= 扩( z ) 对任 意k z ，令r = p ( x k ) ，r + 1 = p ( x k + 1 ) ，仇= q ( 钆) ，q 七+ 1 = q ( z k + 1 ) ，鼠= s ( z 七) ，仉= u ( 巩) 定义线性算子鼠，伉：h 一日，使得b k = d ( z 七) p k + 仉+ 1 d 咖( x k ) q k ，瓯= 最+ 1 d ( x k ) q k 则易知i i 伉0 n ，| i 最0 n ，i l 饥0 n 其中k = m a x k o ，k 1 ) ，k 3 = n 1 对定义1 2 1 中的( 0 ，1 ) ，令n 4 = 黼，选取( o ，r ) ( r 取自定义1 2 1 中( 1 ) ) ，坳= 金，使得如下结论成立： ( h 1 ) 对z t ，有砂( z + 钉) = 0 ) + d ( z ) 口+ x ( x ，口) 并且当川a 时，不 等式i x ( x ， ) i 警成立 令a k = b k + g ，则d ( 巩) = ( r + 1 + q 七+ 1 ) d ( 孤) ( r + 饥) 和q 七+ 1 d ( x k ) 最 = o ) ，推出d 砂( z 七) = a k 取v 瓯，由q 七 = 0 可推出b k v 鼠+ 1 由定义1 2 1 中的( 2 3 ) 可知： b k v i = i d ( x k ) v i 知i v l ，口鼠( 3 1 ) 令l = d ( x k ) u ( x k ) ，由u ( ( z ) ) = q ( 毋( z ) ) d 咖( z ) u ( z ) 可知b k u ( z k ) = 1 5 s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集上的各种伪轨跟踪性 q 膏+ 1 三并q 知+ 1 l = u ( 妒 ) ) ，因而风巩= v k + 1 由定义1 2 1 中( 2 3 ) 可知： b k v i = i q k + l d ( x l , ) v i 亡l v l ，口v k , 4 0 ( 3 2 ) 令6 譬，取定一个方法x ( 咖，d ) 以，令 饥) 为相应的连续映射序列，则 对于任意的z t 以及七z ，满足i c k ( z ) 一( z ) f 6 对川a ，可以定义两 个算子：s k ( v ) = 以( z 七+ 口) 一2 知+ l ，c k ( v ) = ( + 口) 一z 七+ 1 则有 西知( 秽) = 眵( z 知) 一z 知+ 1 】+ d 咖( z k ) v + x k ( x k ， ) = a k v + x k ( x k ，口) 其中瓢为( h 1 ) 上的在点巩处的对应映射 定义乘积空间e = 曰= 仇) 器t ：恫i 4 ) ，以及范数 恻i = s u pf | 对于一个序列面e ，定义映射z ( 面) = 魂( 面) ) 其中 i k l - * o o z k + 1 ( 乃) = x k ( x 知，) + 皿k ( v k ) 一垂七( 奄) 由i 眵i i a 可以推出 l z ( 西) i i i i x k ( x k ，锹) i i + i i 皿k ( v k ) 一吼( v k ) l l o 。 鲁+ 慨( + 仇) 一咖( 瓢+ v k ) l l 警+ 6 - 7 - 在e 上定义一个算子r ，满足r ( 面) = 蛾) ，其中峨= u ：+ 乱2 + y k ，以及： y k = 露1 爵1 q n + l ( + 1 ( 哥) ) ； n = k 让：= r ( 魂( 雷) + 伉一1 y k 1 ) ； 七一1 u 2 = 风一l 风( r z r i ( 面) + g 一1 一1 ) n = 一 下面证明冗把e 映到e 由( 3 1 ) 和( 3 2 ) 容易得出： 一1 6 s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集上的各种伪轨跟踪性 弧l n o o 谐斟1 慨雷) 瓯n a o 慨面) u ：i ( 1 + r 曳) i 魂( 面) l ( 1 + r 当) 一) f i z ) 1 1 ； 硼羔梆+ 击川驯胚等( 1 + 1 _ - 戛) 1 1 驯k 则i u 蠡l = i 札：+ 札2 + y k l i i z ( o ) l l 孕，可知 u ：i + l u 2 , l + l y k l 爷当蒂o z ( 移) | i = n 4 i i z ( o ) i i 由 i u 知ln 4 i i z ( 面) 怯 3 k o n 4 即r ( o ) = u = 魄) 器e 由风，g 的定义可以得出 风弧= - q k + 1 z k + l ( 0 ) + y k + x b k u = b k p k z k ( 面) + 玩r g l 瓠一1 = b k p k z k ( v ) + 玩g l y k 一1 ； 伉u ：= 0 b k u 2 = 仳玉l b k ( p k z k ( v ) + c k l 纵一1 ) ； 仉仳2 = 0 由此推出0 3 k + 1 = ( 风+ c k ) 魄+ 魂+ 1 ( o ) = a 知叫奄+ z k + l ( 面) 假设r 有不动点移e ，即r ( o ) = 面，则由磊( 面) 的定义有： 毗+ l = a k v t ：+ 魂+ 1 ) = a 七仇+ x k ( t k ，仇) + 、i l k ( v k ) 一圣后( ) ( 3 3 ) 即 七+ 1 = 皿知( 现) 由皿七( 口) = 饥( z 知+ 秽) 一z 知+ 1 得出饥( z 七+ v k ) = z 知+ 1 + v k + 1 令 玑= z 七+ ，则饥( 纨) = 弧+ 1 ，所以叩= 弧) 器x ( 以d ) 由于l 弧一x k i = i 仇is 蜘4 ，则帆一扩扛) i 劢4 e 成立这就意味着定理成立，因此我们只需证明 r 在e 上有不动点 如同文献 2 3 】可证明算子冗是连续的，象r ( e ) 在e 中相对紧并且由( 3 3 ) 式 可以看出r 把e 映到e 上，因此由s c h a u d e r - t i k h o n o v 定理，冗在e 中有不动点 从而定理得证 一1 7 一 僦 s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集上的各种伪轨跟踪性 3 2s t e i n l e i n w a l t h e r 双曲集上的强反伪轨跟踪性 文献【3 0 】研究的是结构稳定的微分同胚所具有的强反伪轨跟踪性问题，证明了 如果微分同胚，是结构稳定的，则它关于类以。( ，) 和钆( ，) 具有强反伪轨跟踪性 这一节，我们将在s t e i n l e i n - w 甜t h e r 双曲集上研究强反伪轨跟踪性，证明b a n a c h 空间上的c 1 映射关于连续方法的类具有强反伪轨跟踪性 定理3 2 ：设h 为一个b a n a c h 空间，西：v 一日为日上的一个开子集y 上的 c 1 映射，如果tcv 为的s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集合，则在t 上关于连续方 法的类钆具有强反伪轨跟踪性 证明：任取一点z t ，取一组序列= ) 4 一- o o t ，使得孤= 扩( z ) 设证明中出现的r ，最+ l ，饥，q 南+ 1 ，与定理3 1 证明过程中出现的定义相同 同样定义线性算子鼠，c k ：日一日，使得风= d ( 瓢) p k4 - q k + l d 妒( x k ) q k ， c k = p k + 1 d 砂( x k ) q k 对定义1 2 1 中的x o ( 0 ，1 ) ，令n 4 = ，堡( 1 - 尘a o 立) 2 ，选 取a ( 0 ，) ( 7 取自定义1 2 1 中( 1 ) ) ，坳= 金，使得定理3 1 中的( h 1 ) 成立，并且 通过推导可知式子( 3 1 ) ，( 3 2 ) 仍然成立 令6 警，取定一个方法x ( ，d ) 氏，令 仇) 为相应的连续映射序列， 则对于任意的z t 以及k z ，满足i 饥( z ) 一 ) l 6 其中两个算 子：皿七( 可) ，吼( ) 的定义与定理3 1 中定义相同 定义乘积空间e = 面= ) 器t ：l i 面1 1 1 伽眠) ，其中范数1 1 0 1 1 1 = l 讥i 如同定理3 1 ，在e 上定义一个算子r ，满足r ( 雷) = 魄) ，其中蛾= 蠡z u ：+ u 2 + 鲰，以及 u ：= r ( 魂( 面) 4 - c k l y k 一1 ) ； 七一1 u ：= 鼠一1 鼠( r ( 面) + g l 一1 ) n = 一 对于一个序列面e ，定义映射z ( o ) = 讯( 面) ) 其中魂+ 1 ( 移) = x k ( x k ，锹) + 皿七( 仇) 一吼( ) 利用m i n k o w s l ( i 不等式，我们得出：i i 蛾f 1 1 蔷粤| l z ( 面) | i l = 4 i i z ( 面) 忆类似定理3 1 中对i i z ( 面) l l o o 的估计，我们可以得到0 z ( 面) 1 1 1 孕，则 一1 8 一 ”h “nq簖耳 1 | 一 = 玑 s t e i n l e i n - w a l t h e r 双曲集上的各种伪轨跟踪性 可知l | 峨1 1 1 i 物4 即r 把e 映到e 上 下面证明r 在e 上有不动点 z + 表示正整数集，对m z + ，引入序列空间，其中 = 仇t ：l k l m ，i l i i l =m k o 4 k l m ，考虑算子7 厶局，它把可e 映成序列 以：k m ) ，其中 以= 一 + 露1 爵1 q n + 1 ( + 1 ( 面) ) + r ( 魂( 百) + c k l 玑一1 ) n - - - - k 七一1 b k 一1 最( r ( 百)