（基础数学专业论文）几类非线性边值问题解的存在性的研究.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 几类非线性边值问题解的存在性的研究 摘要 随着科学技术的不断发展，各种各样的非线性问题越来越引起人们的广泛关 注，而非线性泛函分析是数学中的一个重要分支，因其能很好的解释自然界各种 现象而受到了国内外数学界和自然科学界的重视，近年来人们对非线性泛函分析 的研究得到了一些新成果而具有奇异项的非线性微分方程边值问题又是近年来 讨论的热点，本文利用锥理论，不动点理论，拓扑度理论，l e r a y - s c h a u d e r 连续 性准则以及不动点指数理论并结合上下解方法，研究了几类非线性微分方程边值 问题的解及解存在的充分与必要条件，并把得到的主要结果应用到菲线性积分微 分方程的边值问题 本文共分为三章： 第一章主要利用上下解方法和s c h a u d e r 不动点定理，在更广泛的条件下研究 了一类带p l a p l a c i a n 算子的四点四阶奇异边值问题 fk ) ) 】，= 邢删) ，t e ( o 1 ) t ( o ) = 讹( ) ，u ”( o ) = b u ”( 叼) ， ( 1 1 r 1 ) 【u ( 1 ) = d u ( 毒) ，“”( 1 ) = b u ”( 刀) ，t o ，1 l ， 的对称正解的存在性克服了对非线性微分算子【怖( u ”) 】”l 五e d h o l m 抉择定理和极 大值原理不能使用的困难，改进并推广了最近的一些已知结果 第二章利用l e r a y - s c h a u d e r 连续性准贝q 研究了三阶非线性微分方程边值问 题； lu 1 1 ( t ) = f ( t ，t ( 幻，u ( 亡) ，t ( t ) ) ，口e t ( 0 ，1 ) ， ( 2 1 1 ) iu ( o ) = u ，( 0 ) = 0 ，t ( 1 ) = 让( 叼) ， ( 2 1 2 ) 其中，：c o ，1 j r 3 一r 满足如一c a r a t h d o r d o r y 条件( 1 p 1 的情况下至少有一个变号解，推广并改进了一些已知的结果 第三章利用锥拉伸与压缩不动点定理，在非线性项一个为超缵陛另一个有界 及非线性项一个可以分解为超线性与次线性另一个有界的情况下，给出一类二阶 边值问题 2 一缸“( 。) = 巾，删+ 9 ( 。，让( 2 ) ) ，o t 1 ，( 3 1 i ) ia u ( o ) 一卢札7 ( o ) = 0 ，, u ( 1 ) + 仃t ( 1 ) = 0 曲阜师范大学硕士学位论文 有一阶可导正解的充分必要条件，推广并改进了一些已知的结果 关键词：三阶边值问题；变号解；l e r a y - s c h a u d e r 连续陛准则；p l a p l a c i a n 算子；奇异边值问题；上下解；对称正解；s c h a u d e r 不动点定理；正解； 锥；超线性与次线性；充分必要条件 一 堂皇堕整盔堂塑圭堂垡堡塞 _ - _ _ - h - _ _ 一一 a b s t r a c t a l o n gw i t hs c i e n c e sa n dt e c h n o l o g y sd e v e l o p m e n t ，v a r i o u sn o n - l i n e a rp r o b - l e mh a sa r o u s e dp e o p l e sw i d e s p r e a di n t e r e s td a yb yd a y , b e c a u s ei tc a nw e l le x - p l a i nv a r i o u st h en a t u r a lp h e n o m e n o n s o ，t h em a t h e m a a t i c a lw o r l da n d t h en a t u r a ls c i e n c ew o r l da t t a c hi m p o r t a n c et ot h en o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s t h e y h a v eo b t a i n e ds o m en e wr e s u l t sf o rt h en o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sa n di t sa p - p l i c a t i o n s t h es i n g u l a rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m i sa l s ot h eh o ts p o tw h i c hh a sb e e nd i s c u s s e di nr e c e n ty e a r s i nt h i sp a p e r ，w eu s et h ec o n et h e o r y , t h ef i x e dp o i n tt h e o r y , t h et o p o l o g i c a l d e g r e et h e o r y , l e r a y - s c h a u d e rc o n t i n u a t i o np r i n c i p l ea sw e l la st h ef i x e dp o i n t i n d e xt h e o r ya n dc o m b i n e dw i t hl o w e ra n du p p e rs o l u t i o n s t os t u d ys e v e r a l k i n d 8o fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rn o n l i n e a rs i n g u l a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n d w ea p p l yt h em a i nr e s u l t st ot h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o r t h es i n g u l a ri n t e g r a l d i f r e r e n t i a le q u a t i o n ，a n dan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c e f o ran o n l i n e a rs i n g u l a rs e c o n d o r d e rb o u n d r yp r o b l e m t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 i ti sc o n c e r n e dw i t ht h ef o u r t h - o r d e rs i n g u l a rb v p ( 1 1 1 ) u n d e rag e n e r a la s s u m p t i o n ，t h ee x i s t e n c eo fs y m m e t r i cp o s i t i v es o l u t i o n a l - e o b t a i n e db yt h em e t h o do fu p p e r - l o w e rs o l u t i o n sa n ds c h a u d e r sf i x e dp o i n tt h e - o r e m f r e d h o i ma l t e r n a t i v et h e o r e ma n dm i n i m a xt h e o r e m sa r ei n v a l i dh e r ea n d o u rr e s u l t sg e n e r a l i z em a n yr e c e n ts t u d i e s i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gn o n l i n e a rt h i r d o r d e rb o u n d r yp r o b - l e m ， lu m ( t ) = ，( 亡， ( 亡) ，u 心) ，u ( 亡) ) ，口e t ( 0 ，1 ) ， 【乱( o ) = 乱，( 0 ) = 0 ，u ( 1 ) = 乱( ? 7 ) ， ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) w h e r e ，：【0 ，1 】舻一ri s 岛- c a r a t h d o r d o r y , 1 p 1 i nc h a p t e r3 ，b yu s i n gt h et e n s i l ea n dt h ec o m p r e s s i o nf i x e d p i o n tt h e o r e m s i nc o n e ，an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c ef o rt h ef o l l o w i n g n o n l i n e a rs i n g u l a rs e c o n d - o r d e rb o u n d r yp r o b l e m 一缸”( t ) = f ( t ，珏( ) ) + 9 ( t ，口( 亡) ，0 1 ，0 a ，b ，f ，露 l 是常数， ，c ( ( o ，1 ) x ( 0 ，+ 。) ，【0 ，+ 。) ) 在t = 0 ，t = l 或u = 0 处可能奇异 近年来，常微分方程边值问题在理论和应用中都起到很大的作用，它们主要是 用来描述大量的物理，生物和化学现象方程( 1 1 1 ) 出现在梁理论中见【1 - 2 ，用于 描述有很小变形的梁，满足量拉伸与压缩性质的梁等等此外，【3 】中t i m o s h e n k o 关于弹性的研究， 4 中s o e d e l 对结构形变的讨论等，都可以转化为某种形式的 四点边值问题的研究另外，还有许多关于弹性梁方程的文章，见文献睁9 】 最近，在p = 2 和，不具有奇异性的情况下，c h e ne ta 1 6 利用上下解方 法和不动点理论，讨论了下面的四阶四点边值问题的正解的存在性 iu ( 4 ( 亡) = ( t ，仳( t ) ) ，t ( 0 ，1 ) ， u ( o ) = u ( 1 ) = 0 ， lo u ” 1 ) 一b u ”( 专1 ) = 0 ，优”( 已) + d u ”7 ( 巳) = 0 ， 这里的，c ( 【o ，1 】【0 ，+ 。) ，【0 ，+ 。o ) ) 关于变量u 是非减的并且存在正常数 p 0 ，t o ，l j u 是对称 正解是指v t 0 ，1 】满足仳( t ) = u ( 1 一t ) 的正解 定义1 2 2a x ，称口是边值问题( 1 1 1 ) 的对称下解，如果a 满足 妒p ( q ” ) ) 。，( t ，口( t ) ) ，耽( 0 ，1 ) ， a ) = a ( 1 一t ) ，亡【0 ，1 】， 口( o ) o a ) ，a ( 1 ) n q ) ， 口”( o ) b a ”( ? 7 ) ，a ”( 1 ) k ”( 刁) 定义1 2 3 卢x ，称是边值问题( 1 1 1 ) 的对称上解，如果满足 仰( p ” ) ) r ， ，p ( 亡) ) ，v t ( 0 ，1 ) ，p ( t ) = 3 ( 1 一t ) ，t 【0 ，1 1 ， z ( o ) 8 多) ，( 1 ) p 移 ) ，卢”( o ) 5 8 ”( 卵) ，多”( 1 ) b z ”( 刁) 引理1 2 i n 令0 n ；，c 0 , d 0 如果y c o ，1 】且y 0 ，那么方 程 lu ”( t ) + y ( t ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， lu ( o ) = c ，牡( 1 ) 一口札 ) = d 有唯一解u 满足u ( 亡) 0 ，t 【0 ，1 】 引理1 2 2 边值问题 1 一u ”( t ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， l 锃( o ) = 心( 1 ) = 纰( f ) 和 l 一钍”( 幻= o ，t ( 0 ，1 ) ， iu ( o ) = 乱( 1 ) = 阮( 7 7 ) 2 曲阜师范大学硕士学位论文 的格林函数分别为 和 其中 则 证设 从而有 又因为 将c l 代入上式得 g 垆聊 5 ) + 掣 她s ) = 盹s ) + 皇塑1 - 幽b ? ，= s o - t ) , 蓦薹： 乱 ) = 一o o 。f ( m ，u ) d m d s + 晚舌+ 吻， 乱( o ) = c 2 = o u ( ) ， 珏( 1 ) = 一0 i 0 8 f ( m ，让) d m d s + c - + 饧= q ， c 22 c ，= o 0 8 ，( m ，让) 加d s 仳( f ) = 一z 0 5f ( m ，u ) d m d s + c l + c 2 ， 一吐噫；| b ；u ) d m d s 丰呔念f of ( m ，u ) d r n d s 1 一o 3 ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) 第一章带p l a p l a c i a n 算子的四点四阶奇异边值问题的对称正解 所以 邮) _ _ 0 2z 8f ( m 批+ 亡z of ( m 批 一q 睫琵| h ，u ) d m d s + 呔l ：姥f ( m ，u ) d m d s l o = z 1 陋s ，+ 掣k 岫 兵甲 k c t ，s ，= s ( 1 - t ) , 三茎；三：三： 因此 g s ) _ 邵，s ) + 掣， 同理可证 即，s ) - - - - k ( 如) + 掣 考虑下面线性边值问题 善 ( 让”( 亡) ) ”= ( t ) ，亡( 。，1 ) ， ( 1 2 3 ) 【u ( o ) = u ( 1 ) = a u ( ) ，仳”( o ) = u ”( 1 ) = b u “( 7 7 ) ， 由引理1 2 1 可直接得到 引理1 2 3 令0 ，7 7 ( 1 刊1 _ 咄v t , s e ( 0 1 ) 故( i i i ) 成立引理证毕 6 曲阜师范大学硕士学位论文 1 3 主要结果 定理1 3 1 假设f 面的条件( h i ) 一( 丑3 ) 成立： ( 日1 ) ，( t ，u ) 6c 【( o ，1 ) ( 0 ，+ o o ) ，【0 ，+ 。) 】，并且y ( t ，u ) 关于变量u 是非增 的，f ( t ，铭) 关于t 是对称的，即f ( t ，珏) = ，( 1 一t ，锃) ( 1 - 1 2 ) 对任意的常数a 0 ， 。 0 ( t ) ， o 1 g ( t ，r ) 啄1 ( o1 日( r ，s ) ，( s ，6 ( s ) ) d s ) d r 口( 。) 那么边值问题( 1 1 1 ) 至少有一个对称正解u 满足；存在仇 0 ，使得u ( 亡) m t ( 1 一t ) 。 证令p = u6c o ，1 】：u ( t ) = u ( 1 一亡) ，3 k u 0 ，使得乱( t ) t ( 1 一亡) ，t 【o ，1 1 ) 显然，t ( 1 一t ) p 因此p 是非空的 现定义x 上的算子t 如下： t u ( t ) = 0 1 g ( 亡，r ) 啄1 ( o1 日( r ，s ) ，( s ，。( s ) ) d s ) d r ，讹( s ) p 对任意的u p ，根据p 的定义存在一个正数，使得让( 亡) k 。t ( 1 - t ) ，t 【0 ，1 】 由( 凰) 和( 凰) 有 0 1h ( r ，s ) ，( s ，钆( s ) ) d s 0 1 日( s ，s ) ，( s ，也s ( 1 一s ) ) d s 0 ，由引理1 2 4 得到 州归l g ( 妒) 啄1 ( z 1h ( r s ) m ，吣) ) d s ) 打 = z 1 器g ( 打时( 0 1 啪小刚( s ) 汹) 打 ( 1 3 2 ) ( 1 - a ) t ( 1 一t ) z 1g ( 。，r ) 垆i 1 ( 1 日( r ，s ) ，( s ，u ( s ) ) d s ) d r 于是2 ( 卅cp - 通过直接的运算可以得到 b ( ( 孔) ( 州7 = m ，u ( t ) ) ，亡( 0 ，1 ) ， ( 1 3 3 ) t u ( o ) = t u ( 1 ) = 口t 缸( 专) ，( t u ) ”( o ) = ( t u ) ”( 1 ) = 6 ( 7 k ) ”( 7 7 ) ，。( 1 3 4 ) 令b ( t ) = t a ( t ) ，那么由( h 3 ) 和算子t 非减的性质可得 a ( t ) t a ( t ) = 6 ( ) ，b ( t ) = t a ( t ) t b ( t ) ，t 【0 ，1 】( 1 3 5 ) 因为o ( 6 ) k t ( 1 一亡) ，由( 1 3 2 ) 易知t a ( t ) ，t b ( t ) p ，于是，由( 1 3 3 ) 一( 1 3 5 ) 可得 ( ( t 6 ) 币) ) ”一m ，t b ( 亡) ) ( ( 丁6 ) 7 ( t ) ) ，- 他，6 ( t ) ) = o ， ( 1 3 6 ) ( t 。) 7 ( 州7 一m ，t 口( t ) ) 仰( ( 丁口) 7 ( 州7 一馋，凸( 亡) ) 瓠( 1 3 7 ) 又( 1 3 4 ) 表明t 口( 亡) ，t b ( t ) x 满足边值条件( 1 1 1 ) ，因此由( 1 3 5 ) 一( 1 3 7 ) 知，o ( t ) = t b ( t ) ，罗( 亡) = t a ( t ) 分别是边值问题( 1 1 1 ) 的对称下解和对称上解 下证边值问题 f 仰( 仳”( t ) ) ”= 9 ( t ，让( t ) ) ，亡( o ，1 ) ， 钍( o ) ：铭( 1 ) ：n 珏( 芒) ， ( 1 3 t 8 lu ”( o ) = u ”( 1 ) = 甜( t 7 ) 8 曲阜师范大学硕士学位论文 有一个正解，其中 f ( t ，口( 亡) ) ，仳( 亡) ( ) 定义算子a ：r i o ，1 】叶r i o ，1 】如下： a 让( t ) = f 0 1g ( t ，r ) 啄1 ( z 1 日( r ，s ) 9 ( s ，u ( s ) ) d s ) 办 记陋，纠= “p ) 口( t ) 乱( t ) p ( 亡) ，t 0 ，1 b ，则h ，纠为c o ，1 】中的有界闭 凸集，且算子a 在k 用中的不动点就是边值问题( 1 3 8 ) 的一个对称正解 首先，a ：陋，纠_ 陋，纠事实上，v u 陋，剜，由a 的定义，通过直接计 算可得 b ( ( a u ) ”( t ) ) r = g ( t ，让( t ) ) ，t ( o ，1 ) ， ( 1 3 1 0 ) a u ( o ) = a u ( 1 ) = 口a u ( ) ，( a u ) ”( o ) = ( a u ) ”( 1 ) = b ( a u ) ”( 7 7 ) ，( 1 3 1 1 ) 由( t ，牡) 关于心是非增的，故有 ( t ，p ( t ) ) g ( t ，u ( t ) ) ( t ，q ) ) ，t 【0 ，1 】 ( 1 3 1 2 ) 据( 1 3 5 ) 和( 玩) 可得 ，( t ，6 ( t ) ) 9 ( t ，u ( t ) ) f ( t ，口( 砒t ( 0 ，1 ( 1 3 1 3 ) 又o ( ) p ，故由( 1 3 3 ) 可得 b ( ( p ) ”( 州7 = k ( ( a 口) ( 州7 = m 删) ，t 0 ，1 】 从而由( 1 3 3 ) ，( 1 3 5 ) ，( 1 3 1 1 ) ( 1 3 1 3 ) 可得 k ( ( 功( 右) ) ，- b ( ( a 缸) ( t ) ) ，= ，口( 亡) ) 一g ( 蝴) ) o ，舌m ( 卢一a “) ( o ) = 0 ，( p a 钆) ( 1 ) = o ( 一a t | ) ) ， ( p 一4 u ) ”( o ) = o ，( p a u ) ”( 1 ) = 6 ( 一a 乱) ”0 ) ( 1 3 1 4 ) 令z = 妒p ( p ”) 一仰( ( a u ) ”) ，则 名”( t ) 0 ，vt ( 0 ，1 ) ， 9 第一章带p l a p l a c i a n 算子的四点四阶奇异边值问题的对称正解 z ( o ) = 妒p ( p ”( o ) ) 一。知( ( a u ) ”( o ) ) = 0 ， z o ) 一l ，o p ( b ) z ( r 1 ) = 垆p ( p ”( 1 ) ) 一( ( a u ) ”( 1 ) ) 一( 6 p ”( 7 7 ) ) + i ，o p ( b ( a u ) ”( 即) ) = ( 矿i 1 ) ) 一( 印”( 7 7 ) ) 一 t p ( ( a u ) ”( 1 ) ) 一( 6 ( a 让) ”( 叼) ) = 0 由引理1 2 1 ，得z ( t ) o ，t 【0 ，1 】，因而有( 矿( t ) ) ( ( a u ) ”( 亡) ) ，t 【0 ，1 】 因为是单调增的，所以 p “) ( a u ) ”0 ) ，t 【0 ，1 】， 即 ( p a u ) ”( t ) 0 ，t 【0 ，1 】 结合引理1 2 1 和( 1 3 1 4 ) 可得 ( a u ) ( t ) 卢( t ) ，t 【0 ，1 】 同上证明，可得( a u ) ( t ) d ( t ) ，t 0 ，1 】从而a ：陋，用_ 陋，冈 其次，a 是紧算子一方面，由g 是连续知a 是连续又q ( t ) p ，故存在 一个正数，使得q ( 亡) k t ( 1 一t ) ，t 【0 ，1 】由( 飓) 得到 z h ( s ，s ) 夕( s ，口( s ) ) 幽o 1 日( s ，s ) ，( s ，q ( s ) ) 幽 厂1 日( s i s ) m ，s ( 1 一s ) ) d s ( 1 3 - 1 5 ) 0 使得对忱1 ，t 2 【0 ，1 】当it l t 2i 6 时，有 眠s ) _ g ) 8 ) l 丽西丽素面i 丽 且对所有的u ( 亡) o 0 ，1 ， a u ( h ) 一a u ( t 2 ) i o ，f ( t ，p ) 0 ，0 1 ，口0 ( t ) ，吼( ) 在( 0 ，1 ) 上非负连续且关于乱在 0 ，1 】 上是对称的，并且0 a i i ( i = 1 ，2 ，n ) 如果在【0 ，1 】上：l 啦( t ) 0 ，并且 和“，小+ 壹i = 1 琳咄c 1 卵) 蹴 o 使得u 0 ) m t ( 1 一t ) 证令f ( t ，钉) = a o ( t ) + 昌a i ( ) u 呻t ，t ( 0 ，1 ) ，在( 1 4 2 ) 的条件下易证定 理( 1 3 1 ) 的条件( 日1 ) 一( 尻) 满足令p = m a x l t n 啦 ，我们得到f ( t ，u ) ，( 印u ) r - f ( t ，u ) 对所有r 1 的都成立因为e ( t ) = t ( 1 一t ) p ，由 ( 1 3 2 ) ，t e p ，t 2 e p ，所以存在正数k ，z 使得t e k e ，p e l e 取常数 r o r a i n 1 ，忌，f 印) 则有 t ( r o o t e k e r o e ，t 2 ( 佝e ) 瞎2 t 2 e 培2 l e r o e 令a ( t ) = r o t ( 1 一t ) ，则定理1 3 1 的条件( 风) 满足从而由定理1 3 1 知方程 ( 1 4 1 ) 有解 注1 4 1 上述例子不但表明f ( t ，u ) 可以在亡= 0 ，亡= 1 或u = 0 奇异，而且 存在足够多的函数满足定理( 1 3 1 ) 的条件 1 2 ， ， 、l，、l， 1 2 1 2 ，f l 、，- i 、 ” u u 1 4 l 一4 第二章非线性非局部三阶边值问题的多个解 2 1引言 奇异边值问题有着较为深刻的实际背景，人们最早在研究大气对流，天体演 变及一些流体力学问题中提出，其中三阶边值问题备受关注，见文 3 9 4 2 】及其 中的参考文献近期在 2 2 】中，h e n d e r s o n 和y i n 得到了时标上的两点和兰点 边值问题多个解的存在性在【2 3 】中a g a r w a l 和j i a n g 研究了无限维空间上的 奇异三点非线性边值问题正解的存在唯一性在【2 4 】中m a 在共振情况下得到 了解的存在性s u n 和g r a e f 和y a n g 在【2 5 】中利用k r a s n o s e l s k i 不动点定 理讨论了三点边值问题的正解w o n g 在 2 6 】中利用上面提到的定理结合非线 性l e r a y s c h a u d e r 准则得到了一类边值条件和【2 2 】相同的边值问题的一个或多 个不变号解在 2 7 】中c h u 和z h o u 利用k r a s n o s e l s k i 不动点定理和非线性 l e r a y - s c h a u d e r 准则也得到了正解的存在性本文主要考虑下面三阶非线性微分 方程边值问题 lu m ( t ) = ，( 亡，u ( t ) ，u 俅) ，缸( 亡) ) ，a i e 。t ( 0 ，1 ) ， i - u ( o ) = 乱，( 0 ) = 0 ，( 1 ) = u ( 7 7 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 解的存在性，其中，：【o ，1 】r 3 _ r 满足l p - c a r a t h d o r d o r y 条件，1 p 1 则微分方程 以力2 g ( t ) 1 0 e 涎( 0 1 ) ( 2 2 o ) 【u ( o ) = u ，( 0 ) = 0 ，( 1 ) = 乱( ? 7 ) 的解满足 l l u ( a , i l g l l p ，i = 0 ，1 ，2 ， ( 2 2 1 ) 其中 州 肛( 1 ( s 一百8 2 + 两1g s ) ) 击幽广 ( 2 2 - 2 ) 忙s + 寿g s ，) 寿幽广 仁2 固 咖( 0 1 ( 1 + 寿g 溉s ，) 6d s 广 2 q 证对( 2 2 ，0 ) 积分可得，对所有的t o ，1 】，有。 邶) = o 。如+ 0 1 ( _ 1 + 上2 - 7 7 2g 慨s ) ) 如油， 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 + 以垆0 2 ( h m s ) + 0 1 ( 南一一t ) 9 ( s ) 如 酢) = ：lf o ( h 内( s ) 如+ o 1 ( 掣肚舢s 油 f 让朋( 亡) = 0 ， o e t ( o ，1 ) ， 【u ( o ) = 让，( o ) = 让( 1 ) = 0 g c t ，s ，= 二拿+ 萼。兰乏二 t 1 ， 从而 ， l - u ( o ) = 让，( o ) = ( 1 ) = 0 直接计算可得 从而 于是 仳( o ) = 叫( o ) + ：3 = c 3 = 0 ， 让他) = w 他) + 2 c l t + c 2 ， 札7 ( o ) = w 7 ( 0 ) + c 2 = c 2 = 0 1 5 第二章非线性非局部三阶边值问题的多个解 因此 故 而且 ( 亡) = w ( t ) + 2 c l ， 铭( 1 ) = w ( 1 ) + 2 c 1 = 缸( 7 7 ) ， 1 ，、 e l = 石缸( ? 7 ) 二 缸( 叩) = 叫( 7 7 ) + c 1 刀2 ， c z = 南f 0 1 g ( ) 如) d s 婶) = z 1 g s m 帕+ 南z 1 g h s m s ) d s = z 1 g ( 抽j + 两t 2 i s ) m s ) 如 础一悸蒙l 眺一乍参 和 跳= 窿- 1 + 2 _ 一 22 ) ，g 毗 1 6 0 8 t 1 ， 0 t 8 1 0 s 亡1 ， 0 t 8 1 0 s t 1 ， 0 亡 s 1 ( 2 2 。5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 由( 2 2 5 ) - ( 2 2 7 j 易得 乱( ( 亡) = 且( t ，s ) 9 ( s ) 如，t 【o ，l 】，i = 0 ，1 ，2 ，( 2 。2 8 ) j 0 设；1 + 弓1 = 1 ，根据h s l d e r s 不等式可得 ，上 iu ( ( t ) l i 凰( t ，s ) l j9 ( s ) ld s l i g , ( t ，)