（基础数学专业论文）一类由非局部源耦合的退化抛物型方程组的渐近估计.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本论文主要研究了具有耦合非局部源的退化抛物方程组的临界指标，以及关于奇 性解的渐近性分析，例如爆破速率、爆破集、p r o f i l e 等问题我们特别引进了与方程组 的参数有关的特征代数方程组，以简洁而本质地刻划各非线性指标之间的相互作用 本文前言中主要介绍了本文所研究问题的实际背景，回顾了非线性抛物方程( 组) 发展历史及发展现状在第二章中介绍了有关抛物方程( 组) 基础知识在第三章中 我们首先对所考虑的方程组做等价变换，然后利用正则化方法证明了所研究的抛物方 程组存在局部古典解在第四章我们首先引入与方程组的参数有关的特征代数方程组， 用以统一而简洁地刻画所研究问题及其等价问题的临界指标等关键特征，随后利用临 界指标我们得到了方程组解的整体存在性和非整体存在性的判定准则接下来在第五 章中我们通过引入特征代数方程组简洁描述了该抛物型方程组解的爆破速率、p r o f i l e 问题最后在第六章，我们对本文所得的结果进行了讨论 关键词：非局部源；退化抛物型方程组；爆破；整体解；临界指标；爆破速率；p r o f i l e ； 爆破集 大连理工大学硕士学位论文 a s y m p t o t i cb e h a v i o rf o rad e g e n e r a t ep a r a b o l i cs y s t e m c o u p l e dv i an o n - l o c a ls o u r c e s a b s t r a c t t h i st h e s i sd e a l sw i t ha s y m p t o t i cb e h a 、d o ro fs o l u t i o n st oad e g e n e r a t ep a r a b o l i c s y s t e mc o u p l e dv i an o n l i n e a rn o n - l o c a ls o u r c e s ，s u c ha sc r i t i c a le x p o n e n t s ，b l o w - u p r a t e ，b l o w - u pp r o f i l en e a rt h eb l o w u pt i m e ，e t c w ew i l li n t r o d u c ed i f f e r e n tl i n e a r a l g e b r a i cs y s t e m st od e s c r i b et h ec r i t i c a le x p o n e n t sa n dt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro f s o l u t i o n s ，r e s p e c t i v e l y i nt h ei n t r o d u c t i o n ) w eg i v et h eb a c k g r o u n dt ot h es t u d yo fn o n l i n e a rp a r a b o l i c e q u a t i o n s i nc h a p t e r2 ，w es t a t es o m ep r i m a r yt o o l sr e l a t e dt ot h i sp a p e r i nc h a p t e r 3 ，w es h o wt h el o c a le x i s t e n c eo fc l a s s i c a ls o l u t i o n sf o rt h et r a n s f o r m e ds y s t e m i n c h a p t e r4 ，w ef i r s t l yi n t r o d u c et h es oc a l l e dc h a r a c t e r i s t i ca l g e b r a i cs y s t e m sd e s c r i b i n g t h ec r i t i c a le x p o n e n t si nc h a p t e r5 ，w ee s t a b l i s ht h eb l o w - u pr a t ea n dp r o f i l ef o rt h e p r o b l e m f i n a l l y , i nt h el a s tc h a p t e r w eg i v es o m er e m a r k so nt h ec o n c l u s i o n so b t a i n e d i nt h i sp a p e r k e yw o r d s ：n o n - l o c a ls o u r c e ；d e g e n e r a t ep a r a b o l i cs y s t e m ；g l o b a le x i s t e n c e ；b l o w - u p ；c r i t i c a le x p o n e n t ；b l o w - u pr a t e ；p r o f i l e , b l o w - u ps e t i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学或其他单位的学位或证书所 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 作者签名：量生垄：日期作者签名：羔至：1 苎：日期 伽f 、f z ， 王利东：一类由非局部源耦合的退化抛物型方程组的渐近估计 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使 用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和 电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编学位论文。 作者签名 导师签名 羔孟! ! 盘 箜堕年旦月j t 日 3 8 1 前言 本章我们首先介绍本文所研究问题背景、例举实际应用中的模型、概 述目前的发展现状以及本文的主要内容 1 1 引言 非线性科学是当代科学重要而活跃的研究领域在数学、物理、化学、计算机、天 文及生物等领域中，人们遇到了大量的非线性现象，而且随着研究的深入，有些原先可 以用线性偏微分方程做近似处理的问题，也必须考虑非线性项的影响，这些现象的定 量描述模型往往是非线性偏微分方程( 组)因此，这一方向对其他许多分支都有影响 同时，非线性偏微分方程理论本身也在与其他分支的相互结合中得到了促进，这是这 一理论发展的主要动力 到目前为止偏微分理论的兴起已有两百多年的历史了早在1 9 0 0 年，希尔伯特 ( h i l b e r t ) 在巴黎的国际数学家大会上提出了著名的2 3 个问题，其中第1 9 、2 0 、2 3 问 题均涉及建立系统的偏微分方程理论的必要性这就形成了现代偏微分方程理论的萌 芽之后，泛函分析方法，广义函数论( 即分布理论) ，f o u r i e r 积分算子等方法为处理 线性非线性偏微分方程提供了强有力的框架和工具，并在实践中得到广泛的应用 二阶非线性抛物方程( 组) 是比较典型的二阶非线性偏微分方程( 组) ，通常具有 明确的实际背景，因而受到广泛的关注和实际应用渗流理论、图像处理、生物化学 及天文等领域都提出了这类方程非线性抛物方程( 组) 问题的极端复杂性，直接反 映了自然现象的极端复杂性，非线性抛物方程( 组) 中的非线性可以来自反应项、对 流项、扩散项( 高阶项) 、边界项，以及经由它们所形成的各种不同的耦合关系所 有这些各不相同的非线性项都有可能导致解的奇性的产生：解在有限时刻内的b l o w - u p 、e x t i n c t i o n 、q u e n c l f i n g ( 导数b l o w - u p ) 等，这些现象都具有相应的实际意义，分别 对应于( 固体燃料) 爆炸、( 种群) 灭绝、( 金属) 淬火等现象特别地在许多情形下，所 提出的方程( 组) 具有退化性和其它奇异性但是，这类方程比线性方程和不具有退化 性或其它奇异性的方程更能反映物理实际，例如扰动传播的有限性这类方程的研究 对数学也提出了许多挑战性的问题，因此正引起愈来愈多的数学家、物理学家、化学 家、工程师的注意为了克服由退化性和其它奇异性带来的特殊困难，人们发展了许 多新的思想和工具，大大丰富了偏微分方程理论 王利东：类由非局部源耦合的退化抛物型方程组的渐近估计 为进一步介绍二阶非线性抛物方程( 组) 的实际背景，下面列举若干经典模型 1 2 模型举例 l 图像处理中的a l v a r e z - l i o n s - m o r e 方程【l l 赛刮i v g 舢w l a i v ( 品) ( 1 z - ) 其中g 。( z ) = e a 一e x p ( 一筹) 是尺度为盯的高斯函数 2 大气污染扩散的微分方程模型 3 6 o c _ 0 ( k 塞) 一南( b 骞) 一袅( 也塞) + 未札+ 嘉”+ 嘉仙c - 2 。， 其中c ( z ，y ，。) 为大气污染物浓度，u 儿叫为大气平稳风速的三个分量，b ，k 。为弥 散系数 3 生态方程( 群体增长，传染病，病虫害等) 1 4 ；= + u 且矿c 札， ，+ f c uc z ，5 ， c z ，s ，d 8 。，o _ 疣v = + 口( u ， ) + z 。g ( u ( z ，s ) ，”( z ，s ) ) d s 其中m n ，f 1 g 为已知常数 4 燃烧方程 3 8 】 警= 甄t 坳唧( 一面e ) o n 饥= k 。a n - n e x p ( 一) o 2 4 其中t 为温度，为燃烧物质浓度，q 为反应热常数，甄，玛是介质扩散系数，e 是 活化能，r 是气体常数，e x p ( - 嘉) 为a r r e n h i u s 比率因子 5 核反应堆的一个数学模型f 3 2 1 “c d 札2 “( 抽一) 5 1 v t a v = 矿 、 其中u 是中子通量，可是反应堆温度，d ，r ，e 0 其它如液体渗透方程、液晶方程、半导体方程、反应器动力学方程、超导方程，反 映生命现象的众多数学模型，污染问题中出现的对流扩散方程等等，也都可以归于更 复杂的二阶非线性抛物方程( 组) 2 大连理工大学硕士学位论文 1 3 目前发展状况 对于抛物的方程( 组) 来讲，如果在存在局部解( 关于时间变量) 的前提下，解是否 关于时间整体存在；如果解整体不存在，判断的条件是什么，最大存在条件是什么，最 大存在时间如何估计；解在最大存在时刻附近的状态如何等等问题很难给出一个统一 的答案随着人们对事物的进一步认识及物理和化学现象的研究，人们发现了某些模 型的内在本质，得到了一些较为深刻结果，提出了解的整体存在、有限时刻爆破及i 临 界指标等概念近十年来，关于非局部反应项和局部化反应项问题的研究引起了许多 学者关注，下面我们就简述一下关于这类问题已有的部分结果 方程形式为毗= a u + 9 ( t ) ，其中9 ( t ) 可与u 有关，这类问题的模型是在文 献f 4 ，2 5 1 中提出的此后，许多数学工作者对此类问题的性质进行了研究，见文献 3 ，6 ，1 3 ，2 8 ，3 0 ，3 3 ，3 4 ，39 p a o 在文献【2 7 】中讨论了如下单个方程 u ( 。，0 ) = u o ( x ) ( x ，t ) q ( 0 ，? ) ， ( z ，) a q ( 0 ，丁) ， ( 1 3 - 1 ) z n ， 得到了整体存在与爆破条件在本文中证明了比较原理，此证明成为后来的关于非局 部源和局部化源方程( 组) 的比较原理证明的经典方法 c h a d a m ，p e i r c e 和y i n 在文献 6 】中讨论了如下的单个方程问题 毪一a u = ( u ) d z j n u ( x ，t ) = 0 ， u ，o ) = u 。( z ) ， ( 芏，t ) q ( 0 ，t ) ， ( z ，t ) 锄( o ，t ) ， ( 1 - 3 2 ) x q ， 并且得到了( 1 3 2 ) 的解对于大初值在有限时刻爆破只要，( 。) 收敛，( s ) 0 而且 去d s 0 ， p n ，q 2 2 0 ，礼，m 1 本文重点研究此抛物型方程组的临界指标、爆破速率以及p r o f i l e 等问题通过对 临界指标的讨论我们可以进一步得到抛物型方程组解的整体存在和非整体存在的判别 准则而且我们还特别引进了与方程组中的参数有关的四个特征代数方程组，以简洁 而本质地刻画所有非线性指标之间的这种相互作用下面简要介绍一下本文的结构安 排 在第二章中，我们就所研究问题的相关知识以及理论基础( 最大值原理以及比较 法则) 不加证明给予介绍，并且给出了比较定理的几个具体形式 在第三章中，为了方便讨论我们对所研究的模型进行等价变换，随后利用正则化 方法证明了所研究的模型存在局部古典解 在第四章中，首先介绍我们所研究的问题( 一类由非局部源耦合的退化抛物型方 程组的渐近估计) ，得到了方程组解的整体存在和非整体存在的判别准则，并且在引入 与方程组中的参数相关的特征代数方程组的概念后，准确地刻画了方程组的临界指标 等关键特征 在第五章中，我们引入另一类特征代数方程组，简洁地描述了所提出的模型及其 等价问题在一定的附加条件下奇性解的破速率和p r o f i l e 问题，进而揭示了模型中各非 线性指标特别是反应项的非局部性对奇性解的渐近行为的影响 6 2 抛物型方程( 组) 的预备知识 本章主要介绍了抛物型方程组的相关知识以及本文所凭借的主要理论工具：最 大值原理和比较法则，及相关的不等式 2 1 基础知识 本文主要介绍抛物型方程组的爆破理论以及奇性传播问题下面我们不加证明地 给出其相关的基础知识 2 1 1 相关基本概念 本节我们介绍一些与本文研究相关的基本概念，首先引入具有如下初边值条件的 二阶偏微分方程： 豢+ 伽= m ，姐) ， ( 州) 既 b “：9 ( z ，t ) ，( z ，t ) s ， ( 2 11 ) 乱( o ，0 ) = ( z ) ， o q ， 其中 伽一磊吲刈) 赫+ 善址差， b 。珏= 8 丽0 u + 姚 ) 岛，( 2 - 1 ，2 ) r 乜= 警“札， q ? = qx ( 0 ，t ) ，勤= a q ( 0 ，t ) ， 其中系数a i j ( x ，t ) ，b _ i j ( x ，t ) e ( q 丁) ，a i j = a j i 如果矩阵a i j ( x ，t ) 是正定，即对任意实 向量 0 ，则称方程( 2 1 i ) 在点( z ，力是抛物 的，r 称q t 上的抛物算子如果方程在国r 上的一切点都是抛物的，则称方程在国t 上是抛物的 定义2 1 致抛物如果存在正常数p 和l ，使对任意的实向量( 和一切点( z ，t ) 国t 都有 n v 。( z ，t ) q 白曼川 1 2 l j = i 7 王利东：一类由非局部源耦合的退化抛物型方程组的渐近估计 则称方程俾j j 在国t 上是一致抛物的 定义2 2 退化抛物方程如果a i j ( z ，t ) 仅非负定的，即对任意实向量e 及某些点 ( o o ，t o ) q t 有 a t j ( x o ，如) 6 白= 0 e ，j = l 则称方程俾纠是退化抛物的 定义2 3 爆破若存在常数t ( 0 l ，q 1 ，且i 1 + ；= 1 ，则有 口6 曼竺+ 竺矿+ b q pq 特别地，当p = g = 2 时有 称之为c a u c h y 不等式 n 6 i “去6 2 引理2 2 ( 带e 的y o u n g 不等式) 设。和b 为正实数，e 0 ，p l ，q l ，且；+ ；= 1 则有 。6 茎竺堡+ e - q p b q e 。p + e g 厅垆 pq 特别地，当p = q = 2 时有 称之为带的c a u c h y 不等式 。6 茎i 扩+ 去6 2 8 大连理工大学硕士学位论文 引理2 3 ( h s l d e r 不等式) 设p i , q 1 ， ，g l 1 ( q ) ，且 若，三9 ( q ) ，g 9 ( q ) ，则 ：l ，( z ) 9 ( z ) l d 。( ( 1 _ ，( z ) l ，d z ) 1 印( ：1 9 ( z ) l 。d z ) 1 7 。 特别地，当p = q = 2 时有 ( f ，( z ) 9 ( 。) f d 。( ( 1 ，( z ) f 2 d z ) 17 2 ( ( 1 9 ( z ) f 2 d z ) 1 7 2 称之为s c h w a r z 不等式 2 2 基于最大值原理的比较法则以及上、下解方法 本节我们给出在抛物型方程( 组) 中经常使用的一些基本原理和方法 2 2 1 最大值原理和比较原理 最大值原理和比较法则是抛物方程( 组) 的理论基础，通过这些原理可以引出研究 抛物方程( 组) 解的有效工具一上下解方法，也可以对解的上下界进行估计由于这些 原理在研究问题时经常使用，故在此我们不加证盟的给出最大值原理和比较原理的几 种形式 设q 是r 中的区域，z = ( x l ，z 2 ，x v ) q ，q t = q ( 0 ，t ) ，曲= a n ( o ，丁) 记 l - 击一l o + c ( 地( 州) 址薹啡，t ，丽0 2 + p n 句差 b 札叫州) 关舶( 州) u ，( 州) 岛 对上述算子，我们假设： ( 1 ) a j ( z ，t ) ，b i ( x ，t ) ，c ( x ，t ) 都是q 丁中的连续函数； ( 2 ) l o 在q r 内一致椭圆，此时，l 在q t 内是一致抛物的 ( 3 ) c ( x ，t ) 在q r 内有界； ( 4 ) a ( x ，t ) ) b ( z ，t ) 在岛上非负连续且a ( x ，t ) + 6 ( z ，t ) 0 在以上假设下，我们有如下强极值原理： 定理2l 设“( 。，t ) c 2 , 1 ( q 丁) 且在q t 中满足u l o u o ( u t l o u o ) 如果u ( x ，t ) 在q t 中某点( z o ，t o ) 使u ( z o ，t 。) 最小值m 焦最大值m ，那么在q 7 1 中，u ( x ，t ) = ? 7 。 9 王利东：一类由非局部源耦合的退化抛物型方程组的渐近估计 r 或u ( x ，t ) = m j i 即若u ( x ，t ) 在q r 内不为常数，则u ( x ，t ) 只能在s t 上取得最大值 和最小值，如果a q 还满足内切球条件且在s t 土的某点( z o ，t o ) 达到最小值r 或最大 值j ，那么当u ( x ，t ) 在q t 内不为常数时，在( x o ，t o ) 处有若 o ) 定理2 2 设u ( x ，t ) c 2 , 1 ( q t ) n g ( q t ) ，对于任意( z ，t ) 0 丁，c ( x ，t ) 0 且l u o ( so ) 若在q r 内某点( z 1 ，t 1 ) 达到负的最小值? n 绒正的最大值i 州，则在q t 中， u ( x ，t ) = mf 或u ( x ，t ) = m j ，进一步，若a n 满足内切球条件且“( z ，t ) 在q 丁内不 为常数，那么若在s 丁上的某点( z 1 ，t 1 ) 达到负的最小值m 绒正的最大值m ，则在 ( z 1 ，t 1 ) 处有等 0 ) ( ，7 0 有了强极值原理作为基础，我们就可以引用解决实际问题时常常用到的比较法则 首先对于单个方程的情况引入一个正性引理( 2 6 第5 4 页引理21 ) ： 引理2 3 ：若让c ( q r ) n c l , 2 ( q t ) 使得 毗一l o u + c ( 。，t ) u 0 ， 。( z ，t ) 丽a u 舶( z ，t ) 札。 u ( z ，0 ) 0 ，x q ， ( x ，t ) e q t ( z ，t ) s t 这里a ( x ，t ) 0 ，6 ( 。，t ) 0 ，a ( x ，t ) + 6 ( 。，t ) 0 ，而c ( x ，t ) 是一个定义于q r 的有界函 数，则u ( x ，t ) 0 于国t 而且若在国t 上u ( z ，0 ) 不恒等于零，则u ( 。，t ) 0 于q t 对于方程组的情况我们也引用一个正性引理( 2 6 第4 8 0 页引理5 1 ) ： 引理2 4 ：若函数b 1 2 ，b 2 1 ，吼和h 一= l ，2 j 在它们的定义域中都是非负的，且阢o ( z ) 一= 1 ，2 非负且不恒为零，则如下方程组存在唯一正解 ( 瓯) t l 。矾+ 岛阢= q i ，( 。，t ) q r ， 掣：b n 仉+ 6 。2 巩+ h i ，i ：1 ，2 ，( z ，t ) 岛， u 。n 以( 。，0 ) = 阢o ( 。) ，z q 注：以上所讨论的极大值原理和比较原理都是在方程一致抛物假设的基础上，然 而对于带有齐次d i l i c h l e t 边界条件的抛物方程( 组) ，上述正性引理的一致抛物条件 v 2 冬：。n 玎( 。，t ) 6 白s 肛2 可以替换为0 易：1a i j ( x ，t ) 6 白结论仍然成立 即，对于退化的齐次d i l i c h l e t 边界条件的抛物方程( 组) 也存在正性引理渗见 3 5 定 理8 1 5 1 2 2 2 上、下解方法 下面我们引入一些基本概念和解决问题常用的方法 1 0 大连理工大学硕士学位论文 考虑抛物方程的初边值问题 u t l o u = ，( z ，t ，u ) ，( 茁，t ) q t b u = g ( z ，t ，u ) ，( z ，t ) s t ， u ( 。，0 ) = z l 0 ( 。) ，茁q 这里，在q 丁j ( j 是某个适当的区间) 中是一致h s l d e r 连续的 定义2 6 若有函数面( z ，t ) g ( 国t ) nc 1 ，2 ( q r ) 满足 u t l o 面，( 卫，t ，面) ，( 茹，t ) q t b 面9 ( 。，t ，百) ，( 。，t ) s t ， 面( z ，0 ) 之1 1 0 ( z ) ，z q ， 则称面( 。，t ) 为( 2 2 1 ) 一( 2 2 3 ) 的上解；类似地，若有函数堑( 。，t ) 满足 u t l o _ u f ( x ，t ，堕) ，( z ，t ) q t ， b u g ( x ，t ，型) ，( z ，t ) s t ， 笪( z ，0 ) o ( z ) ，z q ， 则称型( z ，t ) 为( 2 2 1 ) _ ( 2 2 ，3 ) 的下解 根据最大值原理和比较原理，我们容易得到如下定理： f 2 2 1 1 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 定理2 3 设豇( 。，t ) ，型( z ，t ) 分别是偿2 圳偿2 到的上、下解，且，关于u 是c 1 的， 则百( 茁，t ) 型( z ，t ) 若u + 是俾2 j 户俾2 影的解，则面( z ，t ) “+ ，堕( z ，t ) u + 考虑抛物方程组的初边值问题 豢= l 腑( 乱。) + 五( 。，t ，让，乱。) 。( z ，f ) q ， b t u t = 仇( 札l ，乱m ) ，( z ，t ) s t ， “t ( z ，0 ) = u ：o ( z ) ，z q ( i = 1 ，2 ，? n ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 ，6 ) 这里三o i 是形如二d 的算子，最啦= 砚鬻+ 如，其中系数啦，钆满足吼，巩0 ， a i + b t 0 ，i ( 。，t ，z $ 1 ，“。) ，m ( u 1 ，札m ) 关于，j i 递增，i ，j = 1 ，2 ，m 类 似地我们也可以定义上下解：将( 2 2 4 ) 一( 2 2 6 ) 中的“_ ”号都变为“时，称为上 解，而将( 2 2 4 ) 一( 2 2 6 ) 中的“= ”号都变为“”时，称为下解通常我们记上解为 ( 面”，面。) ，下解为( u ”。鳊) 根据比较法则，我们容易得到如下定理： 定理2 4 设匾( z ，) 堡( z ，t ) 分别是偿2 4 ) - 2 纠的上、下解，且 丘= l 、2 ，7 n j 1 1 王利东：一类由非局部源耦合的退化抛物型方程组的渐近估计 关于qd = 1 ，2 ，m j 是g 1 的，则砚( 。，t ) 2 弛( z ，t ) 若札：是俾2 圳一俾2 ，纠的 解，则口t i ( x ，t ) 札：，鲍( 茁，t ) u ；，i = 1 ，2 ，m 关于上下解的有序性的理论及证明，见文献( 2 6 中第一章和第二章内容，或 3 7 | 中第三章第四节以及第五章第二节的有关内容 在局部古典解存在时，解的最大存在时间是有限的还是无限的( 即解是在有限时 刻b l o w - u p 还是整体存在) ；在最大存在时间t 0 ， q 1 1 ，p 2 2 0 ，p 1 1 ，q 2 2 0 ，礼，m 1 ，这就意味着抛物型方程组( 3 1 1 ) 是完全耦合的初 始条件u 1 0 ( z ) ， 0 ( x ) 0 满足相容性条件 在我们所要考虑的问题( 3 1 1 ) 中有两个非线性源均为局部源与非局部源之积的 形式，并且两个方程经由非局部源耦合也就是说系统的源由均匀部分( 只随时间变 化而变化) 和非均匀部分构成方程组( 3 1 1 ) 可以作为两种混合固体介质的热传导模 型，计表示两种介质的温度且在区域的边缘介质是恒温的此模型还可以描述带有非 局部增长项的种群增长模型，q 代表种群密度( 参见【2 ，5 ，8 ) 注意到方程组( 3 1 1 ) 中m ，扎 1 并且在边界上“l = l = 0 ，所以方程组( 3 1 1 ) 不是一致抛物的，不能直接运用经典的抛物方程理论为便于讨论，我们先对方程组 ( 31 1 ) 作等价变换： 扎? 弘弘( 竺n 1 而”：r = ( 去) t 1 3 王利东：一类由非局部源耦合的退化抛物型方程组的渐近估计 于是，( 3 1 1 ) 等价于 u t 。u r l ( 甑柚护上矿1 d 。) ，( 置牝队( 啦) ， v t = v r 2 ( 、v + b v q 2 上泸出) ，( 州) 印( o ，丁) ， ( 3 1 2 ) u ( x ，t ) = u ( z ，t ) = 0 ，( 。，t ) a q ( 0 ，t ) ， 让( z ，0 ) = u o ( 。) ， ( z ，o ) = v 0 ( z ) ， z q ， 其中r l = 1 一击，r 2 = l 一鲁，p 。= 警，吼= 警( i = 1 ，2 ) ，i t 0 = u 器，v 0 = 口l n o 此外，我们对初值做如下的假设： ( h 1 )“o ，v o 0z q ，u o = v o = 0z a n ； ( h 2 ) 挚，篱l a 。 砘“1 u + 栌上铲出，) 叫) 印疋， ( 3 圳 u=w=e ( x ，t ) f t , ， u ( z ，0 ) = 札dx ) + e ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) + e z q 由s c h a u d e r 不动点定理( 例定理a 4 ， 3 0 ) ，我们可以得出方程组( 3 2 1 ) 存在唯一的 定义在q b 上的古典解( ，) ，其中疋是( 啦，v e ) 的最大存在时间此外，如果 咖，u o c 2 + ”( 而) ( o 0 ，( 。，。) 和( “娃。) 是方程组p 2 定义在壶上 的解那么。i , 睢。2 于q 死，其中= 正，正： 口 令妒。是特征值问题 妒+ 入妒= 0z q ，妒= 0z a n ， ( 3 2 3 ) 对应于第一特征值知 0 的第一特征函数，则在q 内妒o 0 ，规范化为i i 妒o i o 。= 1 下面的引理将给出u 。，关于有一致下界： 引理3 5 令( 札：， 。) 是方程组p2 圳的解西( 茁，t ) = k 妒o ( x ) e 一1 。且满足对。q ， k 妒o ) m i n u o ) ，口o ) ) ， = m a x a o ( 七十1 ) ”，a o ( 足十1 ) ”) 则对z n t ，札s ，叱 击+ e 证明；将( 妒+ ，+ e ) 代入方程组( 3 2 1 ) 得， ( 咖十e ) t 一( + e ) 1 ( 毋+ s ) 叫恤 n 尸 曲 e ” n 付厂厶 m 印 0 + s 曲 十 0 曲 十 “1 、j e+ ，1 0 ，一a 一 e o 妒 一 吼 | 1 ，q 是r 有界区域且具有光滑边界a q 初值u l o ( z ) ， 1 0 ( z ) 满足条件( h 1 ) 一( h 3 ) 本章主要研究了该方程组解的整体存在和非整体存在性为了简洁清晰的刻划方 程组的临界指标，受 3 9 ，4 0 ，4 1 启发，我们引入“特征代数方程组”： ( m ：m 啦( ( ：) ， 汪n ， 也就是= q a l - q 2 2 + n ， p z = 鬲石= p 2 瓦2 - i p l l i + 而m p lp z 。q n - ( m - p i l ) ( n - - q 2 2 ) i 孬 ( 4 12 )2 p 22 鬲石= 瓦i i 而i 孬。j 对于方程组( 31 1 ) ，我们有如下主要结果： 定理4 1 若1 p 1 或1 p 2 0 ，则方程组pi i j 的解在适当大的初值下有限时刻爆破 定理4 2 若1 p 1 ，1 p 2 0 且p l l m q 2 2 几，则方程组p j ，的解整体有界 定理4 3 若( 1 p z ，i p 2 ) = ( 0 ，0 ) 且p n l 使得 了1 - - p l l ，我们容易得出 结论：如果h ( 0 ) 适当的大，那么h ( t ) 在某一有限时刻丑爆破 构造： 型( z ，t ) = h c 0 ) 9 l ( z ) 十s o ，型( z ，t ) = 九8 0 ) 9 1 ( z ) + e o 直接计算得： u l o a l = - l a a l = e o ， 型n ( 堕+ 世1 上眇d 。) = ( 妒恂p ( 蛳职卅。( 似咖，怕严上( 竹蛳z 怕严d z ) 扩1 晡( 吣，+ ( 。上1 泞d z ) h m c + q l d - c + l ) 芝c h 1 ( t ) 五心) 妒l = 甄 王利东：一类由非局部源耦合的退化抛物型方程组的渐近估计 类似有， r 2 ( 型+ 。上望2 d 。) 2 野 此外，若u ( z ，0 ) = u 0 ( 。) h 。( o ) 妒1 ( z ) + 印， ( z ，0 ) = v o ( x ) h e ( o ) 妒1 ( z ) + e o ，那么对 于( z ，t ) n 1x ( 0 ，t ) 0 t o 使得1su 茎c 直接计算得： 砚= v 一兰0 百；一a 0 三一b ， 驴上萨出5 俐俨伊e m 如1 伊2 上泸出l a l a m 伊2 伊2 协 ( 42 7 ) ( 4 2 8 ) ( 4 2 9 ) ( 4 2 1 0 ) 注意到定理条件1 p 1 ，1 p 2 0 且p 1 l m ，q 2 2 n 等价l d ，l 卢 0 且p l ，q 2 1 则可得q l ( 1 一p 1 ) ( 1 一q 2 ) 屈2 ，因此对于任意的正常数七l ，k 2 均存在充分大的a ，b 使得 七1 b 。1 ( 1 9 1 j 0 ，百= b 0 ，( z ，t ) a qxr + 因此，( 面，o ) 是方程组( 3 1 2 ) 的与时间无关的上解定理得证 口 ( 4 2 1 1 ) ( 4 2 1 2 ) ( 4 2 1 3 ) ( 4 2 1 4 ) ( 4 2 1 5 ) 大连理工大学硕士学位论文 4 2 3临界情形 定理4 3 的证明：( i ) 众所周知，特征值问题( 3 2 3 ) 的第一特征值知连续地依赖于区 域q ( 定理3 3 1 3 ，【3 7 1 ) ，故对任意的a o 0 ，因此存在某个正常数2 0 使得在磊上妒。兰l o 0 构造 面= m “乒o ，雷= m 圯o ，( 4 2 1 7 ) 其中m 是待定的正常数，f 1 ，f 2 满足 黔篙兹蛩( 4 2 1 8 ，p 2 f 1 + ( q 2 1 ) f 2 = o 。 由定理条件知p 2 q l = ( 1 一p 1 ) ( 1 q 2 ) ，故( 4 2 1 8 ) 有正解，记为f l ，f 2 直接计算得： 露+ a 妒1 上萨如= m “。( 一天。+ 。9 0 p l - - 1 z 3 1 d z ) ， 。+ 晒“上舻2 出= m k 函( 一k + 。庐o q 2 - 1 上弼2 d 。) ， 若天o m a x ( l q 蠕1 ) 6 i n | f 乎- 1 ) ，则对于( z ，t ) n r + 下式成立 。= 砚1 ( 舳+ 耐1 上铲d z ) ， 。= 矾2 铲z l o + 舻上泸d 。) 选取m 适当的大使得 m 2 - b 1 1 “o ( 。) j j 。，m ：f o 三l j o ( z ) | i 。，z q ( 4 2 2 1 ) ( 422 2 ) ( 4 2 2 3 ) 故( 面，口) 是方程组( 3 1 2 ) 与时间无关的上解定理4 3 0 ) 得证 ( i i ) 我们将证明方程组( 3 1 2 ) 的解( u ，u ) 在充分大子区域q 1c cq 中有限时 刻爆破，即证明方程组( 4 2 2 ) 对于充分大的区域有限时刻爆破令妒l 是特征值问题 ( 4 2 4 ) 对应于第一特征值a 1 的第一特征函数，规范化为l i 妒1 怯= 1 由于在a q l 上 妒1 i a n 。一0 ，l v 妒1 l o 3 2 ，存在常数? 7 ，c 1 ( o ，1 ) 使得 v 妒1 1 2 ( 譬) 2 2 入1 妒 妒12c 1 ， z q 1 1 = z q 1 z q 1 2 = 。n 1 2 l d i s t ( z ，a q l ) 叩 ，( 4 2 2 4 ) d i s t ( z ，a n l ) 叩) ( 4 22 5 ) 坞 如 2 2 阻 h 一 三型查! 二耋虫! ! 旦塑堡塑全塑堡垡垫塑型立墨望竺塑堑笪盐 令挖( ) 是下列常微分方程的解 h 协) = c o h 8 ( t ) ，h ( 0 ) = h o 0 其中 ( 4 2 2 6 ) c o = m i l l 紫，煎8 1 2 矗( - a l c 2 + c 4 ，矗( - a i c 3 + c 4 ) t ， = 兰譬，= 兰，s=mic2c 3n f l r l + 1 ，研2 t 2 + 1 ) ，= 了， = ：了， s = 1 1 t 1 7 。1 十1 】 十1 c a = 曲 口2 上开，6 c q “上。萨d z ) 显然，若a l m i n c i l c 4 ，i l c 4