（基础数学专业论文）一类具有加权非局部源的非线性扩散方程.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 f 铭t 训铭) ( u 州z ) 上雌d z ) ，( 蛳) q ( o ，t ) ， 牡( z ，亡) = o ， ( z ，艺) a q ( o ，t ) ， 【珏( z ，o ) 2 咖( z ) ， z q ， 其中qcr 是个具有光滑边界的有界区域，p 0 ，口( z ) 是一个连续有界的正函数 我们得到的主要结果有：当o p 1 时方程的解只可能整体存在，但是当p 1 时根 据非局部源的权重口白) 的取值范围不同，解可能整体存在也可能在有限时刻内爆破另 外，我们得到当非整体存在时解的爆破速率 绪论主要介绍带有非局部源的非线性退化抛物问题的实际背景及发展现状第二章 介绍与本文相关的基础知识第三章引入所要研究的问题，并且给出这些问题的解发生 有限时刻爆破及整体爆破的条件在第四章证明上一章给出的爆破条件最后一章对于 所得的结果进行完整的分析、讨论 关键词：退化的抛物方程；非局部源；整体解；有限时刻爆破；爆破速率 一类具有加权非局部源的非线性扩散方程 an o n l i n e a rd i f j h s i o ne q u a t i o nw i t hw e i g h t e d n o n l o c 以s o u r c e s a b s t r a c t i nt 1 1 i sp a p e r ，w es t u d yp o s i t i v es o l u t i o n s0 ft h en 0 i l u n e a rd e g e n e r a t ee q u a t i o n 耐t h w e i g h t e dn o n l o c a ls o u r c e 饥= 厂( u ) ( u 十口( z ) 如矿( z ，亡) 出) s u b j e c tt oh o m o g e n e o u s d i r i c m e tb o u n d 哪c o n d i t i o n w eo b t a i nt h a tt h e 砌u t i o l l sa u r e 舀o b a li f0 2 ) 分别在心= o 和l v 钍 = o 时退化渗流指的是流体在多孔介质中的运动，是自然界 中一种普遍存在的现象它的研究对于地下水资源的开发，石油天然气的开采以及农业 生产都有着重要的意义由于具有退化性的非线性方程比线性方程更能反应某些物理实 际，因此，早在三十多年前就吸引了国内外众多数学工作者的注意另一方面，近几十 年来对带有非局部源的退化抛物方程的研究也取得了很大的进展【4 ，5 ，2 1 】有关这类方 程的理论和应用方面的研究，包括解的存在性、唯一性、整体存在性爆破性以及渐近性 质等等 1 一类具有加权非局部源的非线性扩散方程 解的爆破理论首先是在上世纪四、五十年代s e m e n o v 链式反应，绝热燃烧和爆炸理 论的研究中提出的自七十年代起，随着气体动力学、激光核聚变核燃烧等领域的深入 研究，非线性发展方程解的爆破理论引起了研究者极大的兴趣最典型的爆破模型是 地= 钍+ 矿 h f u j i t a 在文献【6 】中研究了上述半线性问题的临界指标，得到的主要结论是；仇( ) = 1 十2 ，( i ) 若1 o 时，有 如下结论；记入1 和垂( z ) 分别是下述问题的主特征值和相应的特征向量。 一圣( z ) = 入圣( z )z q ；圣( z ) = 0 z 娩 ( 1 2 2 ) 2 大连理工大学硕士学位论文 则如果入l 0 为一个常数记妒( z ) 是下述线性椭圆问题的唯一正解： 一妒( z ) = 1z q ；妒( z ) = o z a q ( 1 2 4 ) 则当厶妒( z ) 出 1 肛并且，l ( s 厂( s ) ) 凼 1 并且1 ( s ，( s ) ) d s o 。时，不存在( 1 2 5 ) 的整体非负解；当如a ( z ) 妒( z ) 出1 并且，1 ，( s ) 曲一o 。时， 存在( 1 2 5 ) 的整体非负解进一步地，他们得到了当，( u ) = 妒( 0 0 ，入1 和( z ) 为( 1 2 2 ) 的主特征值和特征向量，则有结论： 口 入1 如妒如且铷( 。) 矽( z ) 成立时( 1 2 6 ) 的解有限时刻爆破，口a l 如妒出且 u o ( z ) ( z ) 成立时( 1 2 6 ) 的解整体存在在文章【2 9 ，3 4 】中讨论了更为复杂的情况： 饥= u r ( u + 。矿上u 如) ( 1 2 7 ) 其中，0 0 是连续 函数，a 锄表示在a q 上的外法向导数我们给出了解古典解的局部存在性，并给出了 主要的结论 第四章关于前一章中所得的有关临界指标和爆破速率分析的结论进行了系统的证 明在第五章，将本文的工作与前人所得到已有近似结果作比较 4 大连理工大学硕士学位论文 2 预备知识 本章首先介绍了反应扩散系统的相关知识以及本文所凭借的主要理论工具：最大值 原理和比较法则，最后介绍了本文的研究问题以及主要结论 2 1 相关基本概念 本文主要介绍反应扩散系统的爆破理论，故在本节中我们介绍一些与本文研究相关 的基本概念首先引入具有如下初边值条件的抛物型方程的一般形式： 豢扎忙m ) ， ( 州) 嘞， 鼠：如t ) ，( z ，亡) & ， ( 2 1 1 ) 缸( z ，o ) = ( z ) ， z q ， 其中 伽一赫以础) 鑫+ 赫蝴) 是， b u = 。关+ 6 ( 础) 乱， ( 州) 岛， ( 2 1 2 ) r 让= 警地牡， q t = q ( o ，t ) ，s t = a q ( o ，t ) ， ( z ，t ) ，( z ，亡) c ( q t ) ，一r 是q t 上的抛物算子 定义2 1 1 一致抛物如果存在常数p o ，使得对任意的( z ，芒) q ? 和所有的实向量 e = ( 臼，厶) 舻，都有 ( z ，t ) q 白叫2 j = 1 则称算子羞+ l 在q t 上是一致抛物的 定义2 1 2 爆破若存在常数t ( o o 在以上假设下，我们有如下强极值原理： 定理2 1 设u ( z ，亡) 俨，1 ( q t ) ，且在q t 中满足地一乱o ( 让t 一u o ) 如果u ( z ，亡) 在q t 中某点( z o ，t o ) 使u ( z o ，t o ) 最小值m 绒最大值驯，那么在q t 中，札( z ，t ) = m 绒牡( z ，亡) = 冽j 即若u ( z ，亡) 在q t 内不为常数，则u ( z ，亡) 只能在r t 上取得最大值和 最小值，如果触还满足内球条件且在r t 上的某点( z o ，t o ) 达到最小值绒最大值， ，那 么当牡( z ，t ) 在q t 内不为常数时，在( 跏，) 处有若 o ) 定理2 2 设u ( z ，t ) c 2 ，1 ( q t ) n c ( 国t ) ，对于任意( z ，亡) q ? ，c ( 。，亡) o 且l u o ( o ) 若在q t 内某点 1 ，芒1 ) 达到负的最小值m 绒正的最大值驯，则在国中， u ( z ，亡) = m 绒钆( z ，亡) = m 进一步，若勰满足内球条件且“( z ，亡) 在q t 内不为常 数，那么若在r t 上的某点( z 1 ，1 ) 达到负的最小值m 绒正的最大值m ，) ，则在( z 1 ，1 ) 处有关 0 ) 有了强极值原理作为基础，我们就可以引用解决实际问题时常常用到的比较法则 首先对于单个方程的情况引入一个正性引理( 1 8 】第5 4 页引理2 1 ) ： 引理2 2 1若u c ( 国t ) nc 1 ，2 ( q t ) 使得 一 饥一乱+ c ，亡) 让o ， ，亡) q t ， n ( 州) 赛+ 6 ( 叫) u 0 ，( 州) h u ( z ，o ) o ， z q ， 口( z ，亡) o ，6 ( z ，亡) o ，口( z ，亡) + 6 ( z ，亡) o ，而c ( z ，t ) 是一个定义于q t 的有界函数，则 u ( z ，芒) o 于国t 而且若在国? 上让( z ，o ) 不恒等于零，则u ( z ，t ) o 于q t 对于方程组的情况我们也引用一个正性引理( 【1 8 】第4 8 0 页引理5 1 ) ： 引理2 2 2若函数6 1 2 ，幻1 ，g t 和鼻= 1 ，2 ，) 在它们的定义域中都是非负的，且阢o ( z ) 7 一类具有加权非局部源的非线性扩散方程 f ；f = 1 ，2 ，非负且不恒为零，则如下方程组存在唯一正解 ( 阢) t 一厶阢一q 阢= 吼，( z ，亡) q t ， 尝：魄1 仉+ 兢2 观+ 危t ，t ：1 ，2 ，( z ，芒) r t ， 硼 。一 矾( z ，o ) = 阢o ( z ) ， z q 2 2 2 上、下解方法 在过去的几十年中，对研究非线性抛物方程解的性质主要有以下三种方法： 1 上、下解方法，是讨论解在有限时刻爆破的有力工具若能找到方程的一个在有 限时刻爆破的下解，再利用比较原理即可证明方程的解( 若存在) 一定在有限时刻爆破， 经常借助常微分方程构造上、下解这种方法的技术性很强 2 凸性方法，借助于凸函数的性质讨论爆破问题，它对于解的光滑性有较高的要求 3 能量方法，定义一个能量函数，满足一定的初值条件，使得解在有限时刻爆破 需要用到很强的估计，有时可以结合主特征值函数共同处理爆破问题 本文均使用了上、下解的方法来研究给出的数学模型，下面我们就来详细介绍这种 方法 考虑抛物方程的初边值问题 缸t 一牡= ，( z ，亡，牡) ，( z ，t ) q t ， b “= 夕( z ，u ) ，( z ，t ) r t ， 乱( z ，o ) = 铷( z ) ， z q ，在q t ，( j 是某个适当的区间) 中是一致日况d e r 连续的 定义2 2 1 若有函数面( z ，亡) c ( 国t ) nc 1 ，2 ( q t ) 满足 砚一面，( z ，t ，豆) ，( z ，亡) q t ， b 面9 ( z ，亡，面) ，( z ，亡) r t ， 卺( z ，o ) t 正o ( z ) ，z q ， 则称面( z ，亡) 为( 2 2 1 ) 一( 2 2 3 ) 的上解；类似地，若有函数笪( z ，亡) 满足 笪t l o 笪，( z ，t ，笪) ，( z ，t ) q t ， j e j i 笪夕( z ，笪) ，( z ，亡) r t ， 笪( z ，0 ) 乱o ( z ) ， z q ， 8 ( 2 。2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 大连理工大学硕士学位论文 则称丝( z ，亡) 为( 2 2 1 ) 一( 2 2 3 ) 的下解 根据最大值原理和比较法则，我们容易得到如下定理： 定理2 3 设豇( z ，亡) ，型( z ，亡) 分别是( 2 2 1 ) 一( 2 2 3 ) 的上、下解，且，关于u 是c 1 的，则 雹( z ，) 笪( z ，亡) 若乱+ 是( 2 2 1 ) 一( 2 2 3 ) 的解，则岔( z ，t ) u + ，丝( z ，亡) u 。 考虑抛物方程组的初边值问题 警= 吲u 汁施 u ，吣 鼠地= 仇( 让1 ，u m ) ，( z ，亡) r t ， ( z ，t ) q t ， “t ( z ，o ) = u t o ( z ) ， z q 0 = 1 ，2 ，m ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 己优是形如l o 的算子，肠= o i 鬻+ 魄，其中系数锄，玩满足吼，玩o ，锄+ 玩 o ， 五( z ，亡，乱1 ，u m ) ，俄( u ”u m ) 关于哟，歹 递增，t ，歹= 1 ，2 ，仇类似地我们也可以 定义上下解：将( 2 2 4 ) 一( 2 2 6 ) 中的口= ”号都变为“”时，称为上解，而将( 2 2 4 ) 一 ( 2 2 6 ) 中的“= ”号都变为氍”时，称为下解通常我们记上解为( 雹1 ，冠m ) ，下解 为( 笪1 ，型m ) 根据比较法则，我们容易得到如下定理： 定理2 4 设砚( z ，芒) ，甄( z ，亡) 分别是( 2 2 4 ) 一( 2 2 6 ) 的上、下解，且五一= 1 ，2 ，叫关 于彩= 1 ，2 ，州是c 1 的，则砚( z ，) 煦( z ，t ) 若磁是( 2 2 4 ) 一( 2 2 6 ) 的解， 则砚 ，亡) “：，乾 ，亡) u ：，i = 1 ，2 ，仇 关于上下解的有序性的理论及证明，见文献【2 2 】中第三章第四节以及第五章第二节 的有关内容 对于一致抛物的初边值问题，其局部解( 相对时间变量t ) 总是存在的，那么解的最 大存在时间是有限的还是无限的，即解是在有限时刻b 1 0 w - u p 还是整体存在；在最大存 在时间t 0 ，口( z ) 是正的有界连续函数， ， 0 是连续 函数，a 凯表示在a q 上的外法向导数 另外，在这篇文章中，我们需要以下几条假设： ( h 1 ) u o ( z ) o ，z q ，铷( z ) c 2 + a ( q ) nc ( q ) ，o 口 o ； ( h 5 ) 铷+ 口 ) 厶“g d z 一晶铝o ，其中品= 知宁嚣警告( 瓦犁) 南l q i ，n 记垆( z ) 是下述线性椭圆问题的唯一正解： 一妒( z ) = 1z q ；妒( z ) = 0 z a q ( 3 1 2 ) 为方便，我们记q t = q ( o ，t ) ，曲= 硼( o ，t ) ，囝t = q ( o ，t ) ，力 l l 毛t，l，【 u u 让 ，、 一类具有加权非局部源的非线性扩散方程 3 2 古典解的局部存在性 在这一节中，我们通过五个引理来证明方程( 3 1 1 ) 古典解的局部存在性 首先我们需要给出在本文中多次用到的一个比较定理( 参见 9 】中l e i n m a2 1 ) ，我们 省略其证明 引理3 1 假设u ( z ，亡) 伊，1 ( q t ) nc ( 爵) 并且满足： d ( z ，亡) u c 1 ( z ，亡) u + c 3 ，亡) 厶c 2 ( z ，亡) u ，亡) d z ， ( z ，亡) q t ， ) o ，( z ，亡) 踯， 0 ) 0 ， z q ， 其中q ( 。，t ) 一= j ，2 矽是有界函数，c 2 ( z ，亡) ，c 3 ( z ，t ) o ，d ( z ，t ) o 于q t 则有u ( z ，亡) o 于国 由于在边界上u ( z ，亡) = o ，我们知道( 3 1 1 ) 不是一致抛物的，不能直接运用经典的 抛物方程理论 1 8 】来得出古典解的存在性因此，我们需要考虑如下的正则化问题： 卜训牡e ) ( 舭s + 0 ( z ) 上钍s 协) 出) ，( 州) 印( 0 ，巩 ( z ，t ) ：g ， z a q ( o ，t ) ， ( 3 2 1 ) i ( z ，o ) = u o ( z ) + ， z q ， 其中o o 使得( 3 2 1 ) 有一个唯一有界解m ( 亡) o 于国妨 显然，由引理3 1 有u m ( 亡) 口 引理3 。3 令规范化后的由( 3 1 2 ) 所定义，入1 为其主特征值，m ( z ，t ) = 七e 一咖( z ) ，其 中p = 入1 i i 川p 且足够小满足蚴( z ) s 缸o ( z ) 那么( 3 2 1 ) 的解满足( z ，t ) 仇( z ，t ) 于国蜀 1 2 一 而t，l，l “ u u ，i-1-l 大连理工大学硕士学位论文 证明：将m 协，t ) 代入万崔【2 1 ) ，戎1 门 导垒i j 矾一，( m ) ( m + 。 ) 上m ( z ，亡) p d z ) = 一p 尼e 一成( z ) 一，( m ) ( 一后e 一入( z ) + 。( z ) 舻e 一彬z 妒出) = 一南e 一矽( z ) ( p a l ，( m ) ) 一，( m ) o ( z ) 矽e 一彬护d z i ，q 0 又由于在边界上满足m ( z ，t ) = o ，且在q 上m ( z ，o ) 如扛) ，从引理3 1 我们得到 在囝而上，有u 。 ，亡) m ( z ，亡) 口 引理3 4 假设俾和俾矽成立，则正则化问题( 3 2 1 ) 的解满足t o 于q 而 证明：记钐= 蚝，则有 仇= 弛。) 幽+ 锱nm 。) 口( z ) 上斌。1 池 由( h 1 ) 和( h 2 ) ，可得到在边界鼠上u = o ，且在q 上有秽( z ，o ) = ，( 乱( z ，o ) ) ( 咖+ 口( z ) 厶铷出) o 由引理3 1 ，有口= o 在国乃成立 口 引理3 5 设让e ，和u 。2 是正则化问题( 3 。2 1 ) 的两个解，0 s l 2 1 ，则有，u ： 于q 是。 证明：令伽= t ，一u 由中值定理可知 毗= ，( 让一( u s ，+ 口( z ) 上昭d z ) 一，( 心a ( 牡s 。+ 口( z ) 上屹血) = ，( 让一叫+ ，( ，) 口( z ) 上联_ 1 姆叫血+ ，( ) u 啦( 缸。十。( z ) z 吃出) 伽， 其中9 1 ，7 7 2 由引理3 3 和引理3 4 立即可得出f o ，乱9 0 ，嘶20 又由于在 边界s 毛上叫( z ，t ) = 9 1 一e 2 o 以及t ，( z ，o ) = s 1 一s 2 o 于q ，则由引理3 1 ，l u 。2 在q 五，上成立 口 由引理3 2 ，引理3 3 和引理3 5 可知t e 是有界函数，且关于g 是单调不减的因此 极限 u ( z ，亡) 2 姆( z ，t ) ( 3 2 3 ) 对于任意的( z ，亡) q 硒都是存在的进一步还可证明乱俨，1 ( q t ) nc ( 砩) ( 参考文献 【3 0 】中定理a 1 ) 由此可知u 是问题( 3 1 1 ) 的古典解唯一性的证明方法是标准的，在 此我们省略之 1 3 一类具有加权非局部源的非线性扩散方程 3 3 主要结论 本论文主要研究非局部源对解的爆破性质的影响，分0 p 1 和p l 两种情况， 主要结论有： 定理3 1当0 o 有 旷1 s ，( s ) d s 0 ，使得 q ( t t ) 一1 ( p + g 一1 ) m 螫缸( z ，t ) q ( t 一亡) 一1 ( p + 口一 茁s 2 大连理工大学硕士学位论文 4 结论的证明 在本章中，我们将给出上一章最后所给出的主要结果的证明首先我们给出( 3 1 1 ) 的爆破分析的证明 4 1 爆破分析的证明 本节我们将证明定理3 1 一定理3 4 4 1 1 0 0 ，有 m 一，( w ) ( + 。( z ) 上驴d z ) = ，( m 妒) ( m 一。( z ) 胛上护d z ) m ，( m 妒) ( 1 一。舻一1 舻o 另外，w ( z ，t ) = m k o 对z a q ， o 成立，在q 上( z ，0 ) = m 妒m k u o ( z ) 因此( z ，t ) u ( z ，亡) 在q t o ) 上成立，故u 是整体存在的 口 1 5 一类具有加权非局部源的非线性扩散方程 4 1 2 p 1 的情形 定理3 2 的证明； 令皿( o ，t ) = 妒，其中妒为椭圆问题( 3 1 2 ) 的解则 雪t 一肿) ( 皿+ 。( z ) 上皿p 血) = 舭) ( 1 一口( z ) z 矿d z ) 0 z 蚍 o ， 皿( z ，t ) = 0 ， z a q ，t 0 ， 皿( z ，o ) = 妒( 刀) t 正o ( z ) ， z q 因此，里是方程( 3 1 1 ) 的一个与时间无关的上解，结论得证 口 定理3 3 的证明， 考虑下面的辅助问题t 怎5 呀) 三茎三饿 u ， 【缸 ( z ，o ) = t 正j o ( z ) 钍o ( z ) ， z q ， 其中伽o ( z ) 满足假设( h 1 ) 一( h 2 ) 且伽o ( z ) 妒( z ) 显然， 仇一，( 妒) ( 妒+ 口( z ) 上矿出) = ，( 妒) ( 1 一。( z ) z 矿如) 。，z q ， 。 同时，在a q 上妒= o ，在q 上妒伽o ( z ) ，由此可知对于( z ，t ) ( q l ( o ，t ) ) ，钮( z ，t ) 妒( z ) 构造 弘小咄 妒( z ) 由( 3 1 2 ) 所定义，则对于任意的q 1c cq ，一定存在常数岛，c 0 o 使得c 0 妒( z ) 岛在q 1 上成立令在( 4 1 2 ) 中6 = c 若，既然o ( z ) 1 厶矿( z ) 如且p 1 ， 则可得到 胁m 州z 上壶俐z 靠上( 等) p 拈咿 24 ，o 0 ， 刈 t ， 哦砚a z z z 大连理工大学硕士学位论文 由文献【2 8 】中定理1 可知当如口( z ) 妒( z ) 出 1 ，伊1 s ，( s ) d s o ，( 4 1 3 ) l 移( z ，o ) = 铷( 。) 毯o ( z ) ， z q 2 其中在q 2 上铷( z ) o ，在边界a q 2 上蜘( z ) = o 且对于o r r 满足铷( z ) = 如( r ) 和嵋( 7 ) o ，则有口( z ，t ) = 口( r ，t ) 及嘭( r ，亡) o 对o r r ，亡 o 成立显然由引理 3 1 ，有在z a q 2 ，t o 上口( z ，亡) u ( z ，亡) 记入2 o 和妒( z ) 分别是如下特征问题的主特征值和相应的特征函数， 一妒= 入妒，z q 2 ；矽( z ) = o ，z a q 2 且将妒 ) 规范化为j q 。妒( z ) 妇2l 由( 4 1 3 ) 可知 南2 秽+ 口( z ) 蝌 ( 4 1 4 ) 用矽( z ) 乘以( 4 1 4 ) 的两边并在z q 2 ，t o 上积分，有： z ：z 2 高俐池 = 肌妄e 町高始冲出 = 上。e 高俐z = 一a 2 上：z 矽( z ) 口d s d z + g ( t ) 上。口( z ) 砂( z ) d z 由假设( h 2 ) 知o ( z ) 是连续的，从而厶：d ( z ) 妒( z ) 出 0 使得 汐( t ) 岛( t 一亡) 一南( 4 2 3 ) 证明；考虑j ( z ，亡) 2 t 一6 0 妒十口，其中如满足假设( h 5 ) 中的定义既然南+ 器2 l ，由h 6 l d e r 不等式， 上删蚓吲i 半l | 1 l i 帮邛l 擀( 上让2 舛口- 1 d z ) 鼎江2 4 ) 另一方面，由y - o u n g 不等式可知 一。( 上让2 舛g 。出) 赤e 器筹暑珏枇。+ e 一擎奔音上r 旷警 ( 4 2 5 ) 一类具有加权非局部源的非线性扩散方程 其中o = ( 葫舞) 互焉两i q i 惫等寿直接计算即可得到 五一t 正口j 一2 6 9 护+ 口一1 j 一( z ) u 口矿一1 抛z =口u 一1 j 2 + 6 + 口) 0 + g 一1 ) 矿+ 2 口一2 l v 让1 2 + 6 2 9 u 2 舛2 q 一1 + 勋o ( z ) u 口t 正2 p + 口一1 d z 一6 ( p + g ) o ( z ) 口件幻一1 护d z 6 2 9 乱砌+ 幻一1 + 却o ) u 口乱2 p + 口一1 d z 一6 ( p + 口) 口( z ) 舻冲2 9 一1 矿d z 踊乱2 p + 妒1 地+ 口) 筹暑( 岳鲁) 南i q 伊妒1 ( ( 4 2 4 ) ( 4 2 5 ) ) = 曲u 聃2 口一1 ( 6 一如) 0 ，z q ，t 0 显然，由于在御上牡= o 则j ( z ，t ) = o 也在a q 上成立，另外，由假设( h 5 ) ，了( z ，o ) = 嵋( + 口( z ) 厶嵋d z 一6 诧) o 在q 上成立应用引理3 1 ，立即可得j ( z ，亡) o 子 ( z ，亡) q t ，也就是， 毗一晶9 o ，( z ，t ) q ( o ，t ) ( 4 2 6 ) 对( 4 2 6 ) 在( 亡，t ) 上积分，有 u ( ) 陋( p + 口一1 ) 】一再b ( t 一亡) 一再b 令q = 陋+ 口一1 ) 】_ 寿b 即为结论 口 大连理工大学硕士学位论文 5 讨论 本文研究的是一类带有权重的非局部源的退化抛物问题： f 地2m ) ( 舭+ 口( z ) 上雌如) ，( 州) 印x ( 0 ，r ) ， 1 t 正( z ，t ) = o ，( z ，亡) a q ( o ，t ) ， ( 5 o 1 ) i 让( z ，o ) = 铷( z ) ， z q ， 当o p 1 如矿( z ) 血，让o ( z ) 妒( z ) ，则方程的解在有限时刻爆破； ( 2 ) 若口( z ) 1 厶矿( z ) 如，则方程的解整体存在 且在( 2 ) 的前提下，若f1 ，( s ) d s = o o ，则解整体爆破另外，当，( 铭) = 妒时， 如果爆破时间为t ，我们得到了爆破速率为( t 一亡) 一1 ( 舛q 1 1 下面将得到的这些结果与前人已有近似的结果做比较并进行总结 文献【2 8 ，3 司所考虑的是本文的特殊情况，本文结论和他们关于临界指标与爆破速 率的结果是吻合的( 包括耦合方程组的情形f 3 3 】) 文献 2 9 ，3 0 ，3 4 ，3 8 】( 包括耦合方程组的 情形【3 7 1 ) 中研究的方程与本文的模型略有不同，但是有关临界指标的结果却大相径庭， 而关于爆破速率的结论在形式上是极为相似的 导致这两类方程关于爆破分析结果的巨大差异的主要原因是，前者的非局部项中不 含牡( z ，亡) ，而后者含有即前者【2 8 ，3 五，3 3 】的一般形式为： 饥= ，( 让) ( u + 口俨( z ，亡) d z ) ( 5 0 2 ) 后者的一般形式为： 饥= ，( u ) ( u + 6 9 ( u ) 矿( z ，) d z ) ( 5 o 3 ) 在研究( 5 o 2 ) 的爆破性质时，需要借助( 1 。2 2 ) 所定义的特征方程： 一圣( z ) = 入垂( z )z q ；圣( z ) = o z ，q 2 】 一类具有加权非局部源的非线性扩散方程 方程( 5 0 a ) 的解的爆破性质几乎完全由上述特征方程的主特征值来决定 在研究( 5 o 匐的爆破性质时，需要借助( 1 2 4 ) 所定义的特征方程： 一妒( z ) = 1z q ；妒( z ) = 0 z 地。 此时，方程( 5 0 匐的爆破性质就与上述特征方程的主特征值没有关系，而只与特征函数 有关( 本文定理3 2 以及3 3 ) 2 2 大连理工大学硕士学位论文 参考文献 f l 】c b 锄d l e ，h a l e 访n e o nt h ee 蜮s 七e n c ea n dn o n e x i s t e n c eo fg l o b 8 卫s o l u t i o 璐0 f 龇t i o n d i m 塔i o ne q u a t i o n si i ls e c t o r i a ld o m 础晦n a n s a m e r m a t h s o c ，1 9 8 9 ，3 1 6 ：5 9 5 - 6 2 4 【2 】k d e n g ，h a k i n e t h er o l e0 fc r i t i c a l 唧o n e n t si nb l 啡u pt h e o r e m s ：t h es 即【e 1 j m a 七h a i l a l a p p l ，2 0 0 0 ，2 4 3 ：8 5 - 1 2 6 f 3 】m e 8 c o b e d o ，m a h e r r e r 0 b o u n d e d z l 锶sa n db l a w - u p 五as e m i l i l l e a rr e a c t i o n - d i 伍l s i o n 盯s t e mi nab o u n e dd o m a j n j d i 能r e n t i a le q u a t i o 珊，1 9 9 1 ，8 9 ：1 7 弘2 0 2 【4 】c o m p a r i i l ie ao n e i d i m e 璐i o n a lb i n g h 锄f l a w j m a t h a n a l l a p p l ，1 9 9 2 ，1 6 9 ：1 2 7 1 3 9 【5 】d i b e n e d e t t oe d e g e 啷| a t ep a u r a b 0 1 i ce q _ u a t i n o s s p i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 3 ，n i e wy 0 r k ，i n c f 6 】h f w i t a o nt h eb l a 祈n gu p0 f 蚓u t i o n so f t h ec 8 u d l yp r o b l 眦五d r 魄= t 正+ 牡1 托j f k s c i u i l i v t ( k y 0s e c t i ，1 9 6 6 ，1 3 ：1 0 9 _ 1 2 4 【7 】g a l a k t i o n 0 、rv g 缸驴叩t o t i cb e h a 、r i o r0 fu n b 0 1 m d e d l u t i o n s0 ft h en o n h n e 盯p 盯a b o u c e q u a t i o n = ( 矿) 霉+ t 1 桕d i 拍r e n t i a le q u a t i ( ) 璐，1 9 8 5 ，2 1 ：7 5 1 7 5 9 f 8 】g 8 l l a k t i o n o yv g p - 0 0 fo ft h el o c 越z 8 t i o n0 fu n b o u n d e ds o l u t i o 璐0 ft h en 彻1 i e 盯 p 盯a b o u ce q u a t i o n = ( u 口) 霉+ t p d i 髓r e n t i a le q u a t i o 璐，1 9 8 5 ，2 1 ：1 5 _ 2 3 【9 】m x w 抽g ，y m w a n g p r o p e r t 洒0 fp o s i t i v es o l u t i o 璐五d rn o n _ 1 0 c a lr e a c t i o n d i 缸i o n p r o b l e m 8 m a t h m e t h a p p l s c i ，1 9 9 6 ，1 9 ：1 1 4 1 1 1 5 6 【1 0 】v a g a l l 出i o r l o 、，h a l e 访n e ag e n e r a l 印p r o a 血t oc r i t i c 8 l 蕾w i t a 麟p o n e i l t 8 缸d s y s t e 盥i tn o n l i n e 盯a n 以t m a ，1 9 9 8 ，3 4 ：1 0 0 5 1 0 2 7 【1 1 】b h u ，h m y i n t h ep r 0 矗l en e a rb h 弘u pt i i n ef o rt h