（基础数学专业论文）李超代数及可解李代数的一些结果.pdf

摘要 迄今为止，李超代数及其相关课题的研究已成为数学中最活跃的领域之一 它们与李代数，同调，以及物理学等都有着密切的联系在这篇论文里，我们主 要研究了该领域的一些有趣的问题，除此之外，我们还研究了一种特殊的可解李 代数，并对其进行了完全分类下面，我们简单介绍一下本篇论文的主要内容 第一章是简介，其中我们回顾了该论文研究中所需要的背景知识，介绍了我 们所研究的具体问题，并简单列出了该论文的一些主要研究结果 第二章主要介绍了l e i b n i z 超代数及其( 上) 同调的基本定义，并给出了l e i b - n i z 超代数的中心扩张问题的一些一般理论 由于一个李超代数g 同时也可以看作是一个l e i b n i z 超代数，因此在第三 章，我们用不同的方法研究了一般李超代数，二次李超代数，l o o p - l i k e 型李超代 数的有平凡系数的l e i b n i z 二上同调群( h l 2 ( g ，) ) ，分别给出了具体的表达式和 相应的例子有了这些结果，对于一些李超代数，我们不用复杂的计算就能很快 的比较出它们在l i e 范畴和l e i b n i z 范畴内一维中心扩张的差别 在第四章，我们研究了经典y a n g - b a x t e r 方程在李超代数中的算子形式，给 出了超d 算子的定义和它与经典y a n g - b a x t e r 方程的张量形式之间的关系 我们的主要研究结果是定理4 1 根据这个结果，我们可以得到李超代数中的经 典y a n g - b a x t e r 方程和左对称超代数的关系特别的，对于李超代数中的经典 y a n g - b a x t e r 方程存在着由左对称超代数构造的自然解 在第五章，我们给出了所有具有仿f i l i f o r m 根基的有限维不可分解可解李 代数，证明了该类可解李代数的维数至多为d i m + 3 关键词：李超代数；l e i b n i z 超代数；中心扩张；经典y a n g - b a x t e r 方程；超p 算子；左对称超代数；可解李代数；仿f i l i f o r m 李代数 学科分类号：0 1 5 a b s t r a c t u pt on o w ，t h es t u d yo fl i es u p e r a l g e b r a sa n dr e l a t e dt o p i c sh a sb e e no n eo f t h em o s ta c t i v ef i e l d si nm a t h e m a t i c s t h e ya r ec l o s e l yr e l a t e dt ol i ea l g e b r a s ， h o m o l o g ya n dp h y s i c s i nt h i st h e s i s ，w em a i n l yc o n s i d e rs o m ei n t e r e s t i n gp r o b - l e m si nt h i sf i e l d i na d d i t i o n ，w ew i l la l s os t u d yap a r t i c u l a rs o l v o b l el i ea l g e b r a a n dg i v eac o m p l e t ec l a s s i f i c a t i o n n o w ，w eg i v eab r i e fa c c o u n to ft h ec o n t e n t s o ft h i st h e s i s c h a p t e r1i si n t r o d u c t i o n ，i nw h i c hw er e c a l lt h eb a c k g r o u n dn e e d e di no u r s t u d y , g i v et h ep r o b l e m sw ew i l lf o c u so na n dl i s tt h em a i nr e s u l t si nt h i st h e s i s i nc h a p t e r2 ，w em a i n l yi n t r o d u c et h eb a s i cd e f i n i t i o n so fl e i b n i zs u p e r a l g 争 b r aa n di t s ( c o ) h o m o l o g y i na d d i t i o n ，8 0 m eg e n e r a lt h e o r i e so fc e n t r a le x t e n s i o n s o fl e i b n i as u p e r a l g e b r a sa r ei n v e s t i g a t e d al i es u p e r a l g e b r agc a na l s ob ev i e w e da sa l e i b n i zs u p e r a l g e b r a 。s oi n c h a p t e r3w es t u d yt h es e c o n dl e i b n i zc o h o m o l o g yg r o u p sw i t ht r i v i a lc o f f i c i e n t s ( h l 2 ( g ，f ) ) f o rg e n e r a ll i es u p e r a l g e b r a s ，q u a d r a t i cl i es u p e r a l g e b r a s ，a n dl o o p - l i k el i es u p e r a l g e b r a sb yd i f f e r e n tm e a n s ，a n dt h e ng i v et h ee x p l i c i te x p r e s s i o n s a n ds o m ee x a m p l e s ，r e s p e c t i v e l y b a s e do nt h e s er e s u l t s ，f o rs o m el i es u p e r a l - g e b r a s ，w ec a ng e tt h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h eo n ed i m e n s i o n a lc e n t r a le x t e n 8 i o n s o ft h e s el i es u p e r a l g e b r a si nl i ec a t e g o r ya n dt h o s ei nl e i b n i zc a t e g o r yw i t h o u t c o m p l i c a t e dc o m p u t a t i o n s i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt h e o p e r a t o rf o r m so ft h ec l a s s i c a ly a n g - b a x t e re q u a - t i o ni nl i es u p e r a l g e b r a s w ei n t r o d u c et h en o t i o no fs u p e ro - o p e r a t o r sa n dg i v e t h e i rr e l a t i o nw i t ht h e ( s t a n d a r d ) t e n s o rf o r mo ft h ec l a s s i c a ly a n g - b a x t e r e q u a - t i o n o u rm a i nr e s u l ti ss t a t e da st h e o r e m4 1i ns e c t i o n4 3 a c c o r d i n gt ot h i s r e s u l t ，w ec a l lg e tt h ec l o s er e l a t i o n sb e t w e e nt h ec l a s s i c a ly a n g - b a x t e re q u a t i o n i nl i es u p e r a l g e b r a sa n dl e f t s y m m e t r i cs u p e r a l g e b r a sw h i c hc a nb ei n t e r p r e t e d t h r o u g ht h es u p e ro o p e r a t o r s i np a r t i c u l a r ，t h e r ea r en a t u r a la n de x p l i c i ts o l u - t i o n so ft h ec l a s s i c a ly a n g - b a x t e re q u a t i o ni nl i es u p e r a l g e b r a sc o n s t r u c t e df r o m l e f t s y m m e t r i cs u p e r a l g e b r a s i i i i v ab s t r a c t i nc h a p t e r5 ，a l lf i n i t e - d i m e n s i o n a li n d e c o m p o s a b l es o l v a b l el i ea l g e b r a s ， h a v i n gt h eq u a s i f i l i f o r ml i ea l g e b r ara st h en i l r a d i c a l a r ec o n s t r u c t e da n dc l a s - s i f t e d i tt u r n so u tt h a tt h ed i m e n s i o no ft h i sk i n do fs o l v a b l el i ea l g e b r ai sa t m o s td i mr + 3 k e yw o r d sa n dp h r a s e s ：l i es u p e r a l g e b r a ；l e i n i zs u p e r a l g e b r a ；c e n t r a le x - t e n s i o n ；c l a s s i c a ly a n g - b a x t e re q u a t i o n ；s u p e ro - o p e r a t o r ；l e f t s y m m e t r i cs u p e r - a l g e b r a ；s o l v a b l el i ea l g e b r a ；q u a s i f i l i f o r ml i ea l g e b r a a m s2 0 0 0s u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n s ：1 7 b ：8 1 r 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：艳 2 0 * 7 年岁月2 6 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：王艳 a 。7 年岁月“日 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n l e i b n i za l g e b r a s ( s o m e t i m e sc a l l e dl o d a ya l g e b r a s ) w e r ei n t r o d u c e db yl o d a y ( 【3 7 】) i nt h ec o n t e x to fc y c f i ch o m o l o g y t h en o t i o no f l e i b n i za l g e b r a si sn a t u r a l l y s u p e r i z a b l ea n dl e a d st ot h en o t i o no fl e i b n i zs u p e r a l g e b r a s ( o rz 2 一g r a d e dl e i b n i z a l g e b r a s ) ( s e e 【12 ，3 6 】) m a n yr e s u l t so nl i es u p e r a l g e b r a sh a v e b e e ne x t e n d e dt o l e i b n i zs u p e r a l g e b r a s ( s e e 3 4 ，3 5 】) i np a r t i c u l a r ，d z h u m d i l d a e v ( 1 2 】) d e v e l o p e d as i m i l a rl e i b n i z ( c o ) h o m o l o g i e st h e o r yf o rs u p e rs t r u c t u r e s t h et h e o r yo fc e n t r a le x t e n s i o n sp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nr e p r e s e n t a t i o n t h e o r yo fl i ea l g e b r a sa n di sd e e p l yr e l a t e dt ot h e o r e t i c a lp h y s i c s ( s e e 3 0 1 ) s i r e - i l a r l y , c e n t r a le x t e n s i o n so fl i e ( l e i b n i z ) s u p e r a l g e b r a sh a v eb e e ne x t e n s i v e l yi n - v e s t i g a t e d ( s e e 【2 6 ，2 7 ，3 5 ，3 8 ，4 0 ，4 7 】) i ti sw e l l - k n o w nt h a tt h es e to fe q u i v a l e n c e c l a s s e so fo n ed i m e n s i o n a lc e n t r a le x t e n s i o n so fal i e ( l e i b n i z ) s u p e r a l g e b r ai si n o n et oo n ec o r r e s p o n d e n c ew i t ht h es e c o n dc o h o m o l o g yg r o u po ft h el i e ( l e i b - n i z ) s u p e r a l g e b r aw i t ht r i v i a lc o e f f i c i e n t s s oi ta p p e a r sv e r yi m p o r t a n tt os t u d y t h es e c o n dc o h o m o l o g yg r o u pw i t ht r i v i a lc o e f f i c i e n t s l e tg = g oog ib eal i e s u p e r a l g e b r ao v e raf i e l df i nc h a p t e r3 ，o u rm a i nf o c u sw i l lb eo nh l 2 ( g ，f ) ， w h i c hi sc a l l e dt h es e c o n dl e i b n i zc o h o m o l o g yg r o u p ( w i t ht r i v i a lc o e f f i c i e n t s ) o fg n o t et h a th e r egi sr e g a r d e da sal e i b n i zs u p e r a l g e b r a i ti sc l e a rt h a t h 2 ( g ，f ) h l 2 ( g ，f ) ，w h e r eh 2 ( g ，f ) i st h es e c o n dl i ec o h o m o l o g yg r o u po fg h e n c ean a t u r a lq u e s t i o ni sh o wo n ec a nm e a s u r et h ed i f f e r e n c eb e t w e e nh 2 ( g ，f ) a n dh l 2 ( g ，) i n s p i r e db yh u ，p e i ，a n dl i u sc h a r a c t e r i z a t i o n ( 2 5 】) o nl e i b u i z c e n t r a le x t e n s i o n sf o rl i ea l g e b r a s ，w eg i v et h ed e t a i l e di n v e s t i g a t i o n sf o rt h es e c o n dl e i b n i zc o h o m o l o g yg r o u p so fl i es u p e r a l g e b r a sa n dg e tt h ef o l l o w i n gt w o t h e o r e m si ns e c t i o n s3 1a n d3 2 t h e o r e m3 1l e tg = 9 60 g ib eal i es u p e r a l g e b r ao v e rf t h e n h l 2 ( g ，f ) h 2 ( g ， ) = k e r ( 圣) i np a r t i c u l a r ，h l 2 ( g ，f ) = h 2 ( g ，f ) i fa n do n l yi fk e r ( 圣) = 0 ，w h e r e 西：i n v ( g ；f ) _ 2 1i n t r o d u c t i o n h 3 ( g ，f ) i sas u p e r a n a l o g u eo fc a r t a n k o s z u lh o m o m o r p h i s m ( s e e 【5 】) d e f i n e db y 圣( ，) ( z ，y ，z ) = ( i x ，夕】，z ) ，vz ，y g ，i n v ( g ；f ) t h e o r e m3 2f o ra n yl i es u p e r a l g e b r ag = g o0 g io v e rf ，w eh a v e h l 2 ( g ，f ) 竺h 1 ( g ，g ) t h ea b o v et w ot h e o r e m sh o l df o ra n yl i es u p e r a l g e b r a f u r t h e r m o r e ，w ew i l l g i v et h ee x p r e s s i o no fh l 2 ( g ，f ) f o rq u a d r a t i cl i es u p e r a l g e b r a sa n dl o o p - l i k el i e s u p e r a l g e b r a s a c c o r d i n gt ot h e s er e s u l t s ，f o rs o m el i es u p e r a l g e b r a s ，w ec a n g e tt h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h eo n ed i m e n s i o n a lc e n t r a le x t e n s i o n so ft h e s el i e s u p e r a l g e b r a si nl i ec a t e g o r ya n dt h o s ei nl e i b n i zc a t e g o r y c l a s s i c a ly a n g - b a x t e re q u a t i o n ( c y b e ) f i r s ta r o s ei nt h es t u d yo fi n v e r s e s c a t t e r i n gt h e o r y ( s e e 1 3 ，1 4 】) i th a sap r o f o u n dc o n n e c t i o nw i t hm a n yb r a n c h e s o fm a t h e m a t i c a lp h y s i c sa n dp u r em a t h e m a t i c s ( 4 ，1 1 1 ) i np a r t i c u l a r ，c y b ec a n b er e g a r d e da sa “c l a s s i c a ll i m i t o fq u a n t u my a n g - b a x t e r e q u a t i o n ( s e e 3 ) ，w h i c h p l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d yo fc l a s s i c a li n t e g r a b l es y s t e m ( 9 ，2 0 ，4 9 ) t h e g e n e r a l i z a t i o no ft h eo r d i n a r yc y b ei nt h es u p e rc a s e ，n a m e l y , t h ec y b ei n l i es u p e r a l g e b r a s ，o rt h eg r a d e dc y b e ( 2 3 ，5 6 ) ，o rt h es u p e rc y b e ( 1 】) ，h a s b e e ns t u d i e dw i d e l ys i n c e1 9 9 0 s o n eo ft h em o t i v a t i o n st os t u d ys u c has t r u c t u r e i si t sr e l a t i o nw i t ht h es o l u t i o n so fq u a n t u my a n g - b a x t e re q u a t i o na s s o c i a t e dt o q u a n t u ms u p e r g r o u p so rq u a n t u ms u p e r a l g e b r a so rq u a n t i z e du n i v e r s a le n v e l o p i n g s u p e r a l g e b r a s ( 1 5 ，1 6 ，4 1 ，5 4 ，5 5 】) i nf a c t ，m a n yi m p o r t a n tr e s u l t so nt h i st o p i c h a v ea l r e a d yb e e no b t a i n e dl i k et h ec l o s er e l a t i o n sb e t w e e nt h ec y b ei nl i e s u p e r a l g e b r a sa n dl i eb i s u p e r a l g e b r a s ( 2 3 1 ) ，p o i s s o n l i es u p e r g r o u p s ( 1 】) a n d s oo n l e tgb eal i es u p e r a l g e b r aa n dr gp g t h es t a n d a r df o r mo fc y b ei n gi sg i v e ni nt h et e n s o re x p r e s s i o na sf o l l o w s ( 1 ，2 3 ，3 1 ) 【吼，r 1 3 】+ 1 1 2 ，t 2 3 】+ r 1 3 ，r 2 3 】= 0 ， w h e r eri sc a l l e das o l u t i o no fc y b ei nga n df o rr = a t b i ， i r 1 22口t 。b i 。1 ；r 1 3 = 口t 圆1 玩；r 2 3 = 1 。口t b i i i ( 1 1 ) n o t et h a te q u a t i o n ( 1 1 ) h a st h es a m ef o r ma st h eo r d i n a r yc a s e ，b u tt h ec o i n i n u - t a t i o nr e l a t i o ni si nt h eg r a d e ds p a c e s ，t h a ti s ， r 1 2 ，r 1 3 】= 他，r 2 3 】= ( 一1 ) i qj i 以i 【锄，】固玩pb j ， i ，j e a i b i ，】圆， z , 3 3 r 1 3 ，r 2 3 】= f ( - - 1 ) a j l l b , i o t p b i ，b j 1 j o nt h eo t h e rh a n d ，u n d e rab a s i so faf i n i t e - d i m e n s i o n a ll i es u p e r a l g e b r ag ， r g gs a t i s f y i n ge q u a t i o n ( 1 1 ) c a nb ee x p r e s s e db yam a t r i xw h i c hi sc a h e d ac l a s s i c a lr - m a t r i x an a t u r a lq u e s t i o ni sw h e t h e rac l a s s i c a lr - m a t r i xc a nb ea l l e x p r e s s i o no fal i n e a ro p e r a t o rs a t i s f y i n gc e r t a i nc o n d i t i o n s ( t h eo p e r a t o rf o r mo f c y b e ) l e t 百b ea l i ea l g e b r a i nt h eo r d i n a r yc a s e ，s e m o n o v - t i a n - s h a n s k yi n 【5 0 】p r o v e dt h a ta l i n e a rm a pr ：亩一百s a t i s f y i n g 【r ( z ) ，r ( 可) 】= r ( r ( z ) ，y 】+ 陋，兄( 秒) 】) ，vz ，可西， i se q u i v a l e n tt ot h et e n s o rf o r m ( 1 1 ) o fc y b ew h e nt h e r ee x i s t sa n o n d e g e n e r a t e s y m m e t r i ci n v a r i a n tb i l i n e a rf o r mo n 白a n dri ss k e ws y m m e t r i c l a t e r ，k u p e r - s h m i d ti n 【3 2 】p r o v e dt h a tw h e n ，i ss k e ws y m m e t r i c ，t h et e n s o rf o r m ( 1 1 ) o f c y b ei se q u i v a l e n tt oaf i n e a rm a pr ：百_ 百s a t i s f y i n g r ( z ) ，r ( 可) 】= r ( a d + ( r ( z ) ) ! ，一a d ( r ( 秒) ) z ) ，vz ，y 辱， w h e r e 百+ i st h ed u a ls p a c eo f 百a n da d i st h ed u a lr e p r e s e n t a t i o no fa d j o i n t r e p r e s e n t a t i o no ft h e l i ea l g e b r a 百m o r e o v e r ，k u p e r s h m i d tg e n e r a l i z e dt h ea b o v e a d t ob ea na r b i t r a r yr e p r e s e n t a t i o np ：白_ g t ( v ) o f 百，t h a ti s ，al i n e a rm a p t ：v _ 百s a t i s f y i n g 丁( u ) ，t p ) 】= t ( p ( t ( u ) ) 秽一j d ( t ( 口) ) u ) ，vu ，勘v s u c ha no p e r a t o ri sc a l l e da no o p e r a t o ra s s o c i a t e dt op f u r t h e r m o r e ，i n 【2 ，t h e a u t h o rf o u n dad i r e c tr e l a t i o nb e t w e e nt h ep o p e r a t o ra n dt h et e n s o rf o r m ( 1 1 ) o fc y b e w h i c hu n i f i e dt h ea b o v ed i f f e r e n tl i n e a ro p e r a t o rf o r m so fc y b ea n d m a d ec y b ec l o s e l yr e l a t e dt ol e f t s y m m e t r i ca l g e b r a s i nc h a p t e r4 ，w em a i n l yg e n e r a l i z et h ea b o v es t u d yt ot h es u p e rc a s e a s m a n yp e o p l eh e r ep o i n t e do u t ( s e e 1 5 ，2 3 】) ，s u c hg e n e r a l i z a t i o n sa r en o ta l w a y s s t r a i g h t f o r w a r d ，a n dc e r t a i nn e wq u e s t i o n sw i l la r i s ei nt h eg r a d e dc a s e s ，e v e n s o m ee x t r ac o n d i t i o n sm a yb en e e d e dt ob ea d d e d w em a yc o n c e n t r a t eo nt h e c a s et h a ti ，1 = 0 ( i e ri se v e n ) i ti sh a r dt os t u d yt h ec a s ew h e n ，i so d d ( s e e 2 3 ，5 6 】) 4 】i n t r o d u c t i o n i nt h el a s tc h a p t e r ，w ew i l lc l a s s i f yac e r t a i nt y p eo ff i n i t ed i m e n s i o n a ls o l v a b l e l i ea l g e b r a so v e rt h ef i e l dc w ef i r s tp r e s e n tt h em o t i v a t i o nt oc o n s i d e rt h i s p r o b l e m s o l v a b l el i ea l g e b r a sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nl i et h e o r y af u n d a m e n t a l t h e o r e md u et ol e v i ( 3 3 】) a s s e r t st h a ta n yf i n i t e - d i m e n s i o n a ll i ea l g e b r agc a n b ed e c o m p o s e di n t oas e m i d i r e c ts u m g = 与+ r ， 陋，与】= 与，卜，叫= t ， 骞，叫r ， w h e r e 直i ss e m i s i m p l ea n dri st h er a d i c a lo fg ，i e i t sm a x i m a ls o l v a b l ei d e a l s e m i s i m p l el i ea l g e b r a so v e rt h e & l do fc o m p l e xn u m b e r sch a v eb e e nc o m p l e t e l y c l a s s i f i e db yc a r t a n ( 【6 】) ，o v e rt h ef i e l do fr e a ln u m b e r sr b yg a n t m a c h e r ( 1 8 】) s o t oc o m p l e t et h ec l a s s i f i c a t i o no fa l ll i ea l g e b r a sa m o u n t st oc l a s s i f yt h es o l v a b l e l i ea l g e b r a s h o w e v e r ，f o rs o l v a b l el i ea l g e b r a ss u c hc l a s s i f i c a t i o n se x i s to n l yf o r l o wd i m e n s i o n s ( s e e 【1 0 ，4 2 】) i t8 e e i n 8t ob ev e r yd i f f i c u l tt op r o c e e db yd i m e n s i o n i nt h ec l a s s i f i c a t i o no fl i ea l g e b r a gb e y o n dd i mg = 6 ，i np a r t i c u l a rs o l v a b l eo n e s i ti sh o w e v e rp o s s i b l et op r o c e e db ys t r u c t u r e i t i sw e l lk n o w nt h a ta n ys o l v a b l el i ea l g e b r agh a sa u n i q u e l yd e f i n e dn i l - r a d i c a ln ，i e m a x i m a ln i l p o t e n ti d e a l ，s a t i s f y i n gd i mn 百1d i m g h e n c ew e c a nc o n s i d e rag i v e nn i l p o t e n tl i ea l g e b r ao fd i m e n s i o n 竹a st h en i l r a d i c a la n d t h e nf i n da l lo fi t se x t e n s i o n st os o l v a b l el i ea l g e b r a s i np r e v i o u sw o r kt h ec l a s - s i f i c a t i o nh a sb e e np e r f o r m e do i lt h ef o l l o w i n gn i l p o t e n tl i ea l g e b r a s ：h e i s e n b e r g a l g e b r a s ( 凡1 ) ( 4 4 】) ，a b e l i a nl i ea l g e b r a sa n ( 凡1 ) ( 3 9 ) ，t r i a n g u l a r l i e a l g e b r a sk ( n 2 ) ( 5 2 】) ，f f l i f o r ml i ea l g e b r a sl n ( 钆4 ) ( 5 1 】) h e r e ，w ec o n c e n - t r a t eo nt h ec a s ew h e nt h en i l r a d i c a li saq u a s i f i l i f o r ml i ea l g e b r anw i t hab a s i s e l ，e 2 ，e n 】- a n dt h el i eb r a c k e t s e i ，e j 】_ 0 ，1 i ，j n ， e n ，e i 】= e i 一1 ，2 i 佗一2 ， e n ，e l 】0 ， e n ，e n 一1 】_ 0 s o l v a b l el i ea l g e b r a sw i t hn i l r a d i c a lne x i s tf o ra n yi n t e g e rn 3 f o r 亿= 3 ，w e h a v en 型a 3 ，w h i c hi st h r e ed i m e n s i o n a la b e l i a nl i ea l g e b r a t h em a i nr e s u l to f c h a p t e r5i sa sf o l l o w s ： t h e o r e m5 1a n ys o l v a b l el i ea l g e b r agw i t hn i l r a d i c a l w i l lh a v ed i m e n s i o n d i mg = 死+ sw i t h8 = 1 ，2 ，o r3 n e x t ，i ns e c t i o n5 5 ，w eg i v et h ec l a s s i f i c a t i o nf o rd i f f e r e n td i m e n s i o no fg 5 c h a p t e r2 p r e l i m i n a r i e s i nt h i sc h a p t e r ，w ew i