（基础数学专业论文）三维homlie代数.pdf

东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学 位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文 本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外， 允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的 公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理 坠卫啡唑过l 摘要 h o r n l i e 代数是l i e 代数的形变本文的主要目的是研究三维h o m l i e 代数的分类及表示 文章首先证明了，如果两个h o m l i e 代数( l 1 ，0 1 1 ) 与( l 2 ，a 2 ) 是同构的， 则线性变换q 。与o l ：的初等因子相同因此，根据口的初等因子的不同情形， 我们将三维h o m l i e 代数分成a 、b 、c 三种类型，并且将这三种类型的 三维h o m l i e 代数进行了完全分类在此基础上，我们给出了全部的三维单 h o r n l i e 代数 同时，我们研究了s f 2 型h o m l i e 代数的表示，对二维表示进行了完全分 类 关键词：h a m l i e 代数；三维单h o r n l i e 代数；三维单h o r n l i e 代数表示 a b s t r a c t h o r n - l i ea l g e b r a si sc o n s i d e r e dt ob ead e f o r m a t i o no fl i ea l g e b r a s t h i sp a p e r m a i n l yd i s c u s s e sc l a s s i f i c a t i o n sa n dr e p r e s e n t a t i o n so f3 - d i m e n s i o n a lh o r n - l i ea l g e b r a i ti sf i r s t l yp r o v e dt h a ti fh o r n - l i ea l g e b r a ( l 1 ，o t l ) a n d ( l 2 ，口2 ) a r ei s o m o r p h i c ，t h e n 摘要 a b s t r a c t 第一章 1 1 1 2 第二章 2 1 2 2 2 3 第三章 3 1 3 2 3 3 3 4 第四章 4 1 4 2 4 3 目录 引言 1 问题的背景 1 本文的主要工作 2 预备知识 1 0 h o r n l i e 代数的概念及其例子1 0 h o m l i e 代数的同态及同构1 1 低维l i e 代数的分类1 2 三维h a m l i e 代数的分类 1 4 三维a 型h o r n l i e 代数1 4 三维b 型h o m l i e 代数2 5 三维c 型h o r n l i e 代数3 2 三维单h o r n l i e 代数3 4 s f 2 型h o m l i e 代数表示的一些注记 3 5 h o m l i e 代数模的概念及简单性质3 5 s z 2 型h o m l i e 代数模的例子及初步结论3 6 s f 2 型h o m l i e 代数二维模的分类3 8 参考文献 附录一致谢 1 1 1 4 3 4 6 第一章引言 1 1 问题的背景 1 1 1 三维l i e 代数 l i e 代数的分类及表示是l i e 代数研究的一个重要任务三维l i e 代数，尤 其三维单l i e 代数s 1 2 对于研究l i e 代数的结构和表示起十分重要的作用 假设l 是特征零的代数闭域f 上的半单l i e 代数，日是l 的极大环面子 代数，西是相应的根系，则l 可以分解为根空间的直和。l = h + a 垂l a ，其 中，每个根空间k 是一维的，而且，比圣，0 z q l a ，存在y a l a 使得 【z n ，弘】= h a ，其中z 口，h q 是l 的三维单子代数& 的典型基从这一角度看， l 是由s f 2 堆砌而成的 如上的三维单子代数& 对理解l 的自同构起重要的作用半单l i e 代 数大部分的自同构是由w e y l 群所诱导的我们知道，如果是给定的素根 组，w e y l 群是由单反射 ，o l ) 所生成的这些单反射在日上作用的扩 张得到l i e 代数相应的自同构事实上，设z 口，蜘，h 。为& 的典型基，若定义 亿= e x p a d x 口e x p a d ( - y a ) e x p a d x a ，则丁口与作用在日上的效果是一致的 三维单l i e 代数s f 2 的表示是研究半单l i e 代数表示的基础和出发点由 w e y l 定理，如果l i e 代数l 是半单的，则l 的任意有限维模都是完全可约的 假设l = h + a 圣l n 是关于极大环面日的根空间分解，鼠是如上的三维单子 代数，则每个l 模y 都可视作& 模，并且，对于给定的素根组a ，向量 班 关于l 的极大向量当且仅当对于每个正根o t ，u 是关于最的极大向量由于每个 不可约l 模均由极大向量生成，据此原理，我们可以通过研究& 的表示理解半 单l i e 代数l 模的结构 1 - 1 2 h o m l i e 代数 量子群是l i e 代数的形变，h a m l i e 代数是l i e 代数另一种形变在 文献 9 】中， j o n a st h a r t w i g 、d a n i e ll a r s s o n 、s e r g e id s i l v e s t r o v 利用o - 导 子构造了w i t t 代数和v i r a s o r o 代数的形变，引入了h a m l i e 代数的概念 1 东南大学硕士学位论文第一章引言 2 h o r n l i e 代数是一种满足反对称性和a - j a c o b i 等式( h a m l a c o b i 等式) 的 非结合代数目前，在不同文献中h a m l i e 代数的定义方式略有差别文献 【9 】是这样定义的t 设l 是域f 上的线性空间，o l 是l 上的线性变换， 一，一】 是l l l 的映射( 称为方括号) ，如果满足下列公理；( i ) a 保持乘法，即 q ( k ，可】) = 【a ( z ) ，a ( ) 】，( i i ) 一，一】是反对称的，即【x ，y = 一b ，z 】，( i i i ) 一，一 满足h o m - j a c o b i 等式，即o 【( 纪+ a ) ( z ) ，【y ，z 】 = o ( v x ，y ，z l ) ，则称( l ， 一，一】，a ) 为日d m l i e 代数而文献 1 6 ， 3 2 】则将h o m - j a c o b i 等式改为o 钏，挈【q ( z ) ， y ，z 】= 0 ( vx ，y ，z l ) h o r n l i e 代数与其他代数结构有着广泛的联系同l i e 代数与结合代数、 l i e 容许代数之间的关系类似，h o r n l i e 代数与h a m 结合代数、h o r n l i e 容许代数也有密切的联系( 见【1 6 ) h o m l i e 代数在数学物理中也有重要应用文献 9 】构造了g 一形变 w i t t 代数及作为其中心扩张的q 一形变v i r a s o r o 代数，g 一形变w i t t 代数 和g 一形变v i r a s o r o 代数在物理和数学中有重要应用( 【3 】， 2 1 ， 2 5 ) h o m 结 构还被应用得到h o m 双代数( 【3 0 】) ，h a m h o p f 代数( 【2 】，【1 9 】) 文献【3 2 】讨 论了h o m y a n g b a x t e re q u a t i o n 的解文献【3 4 1 ， 3 5 】， 3 6 】研究了h o r n 量子 群，量子h a m y a n g b a x t e re q u a t i o n 对h a m 结构的研究还可参见文献 【1 ， 5 】， 6 】， 7 1 ， 8 】， 1 3 】， 1 4 】， 1 5 】，f l7 】，【1 8 】， 2 2 】，f 2 3 】， 2 4 】， 2 8 】， 2 9 】， 3 0 】，【3 1 】 1 2 本文的主要工作 本文的主要目的是研究三维h o r n l i e 代数 1 2 1 三维h a m l i e 代数 三维l i e 代数在研究l i e 代数的结构及表示中具有重要的作用h o r n l i e 代数是l i e 代数的一种形变，自然地，理解三维h o r n l i e 代数的结构及表示对 于研究一般的h a m l i e 代数的结构及表示也有重要意义 一些作者曾尝试研究三维h a m l i e 代数的分类当o l 的初等因子为 入一a ，入一b ，入一b 时，【1 6 】对三维h o r n l i e 代数进行了初步分类作者列出了 2 0 种可能的乘法表由于计算极其复杂，作者没有给出完全分类 东南大学硕士学位论文 第一章引言 3 本文将给出三维h o r n l i e 代数的彻底分类，并对其表示进行探讨本文 中的h o r n l i e 代数均采用文献【3 2 】的定义 1 2 2 主要结论 关于分类 首先我们给出下述引理 引理2 1 如果两个h o m l i e 代数( l 1 ，0 1 1 ) 与( l 27 0 l 2 ) 是同构的，则a 1 与0 t 2 的初等因子相同 由引理2 1 知，要对三维h a m l i e 代数分类，我们首先要对o l 的初等因子 进行分类o l 的初等因子为a a ，入一b ，入一c 的三维h o m l i e 代数称为a 型 h o m l i e 代数，q 的初等因子为a a ，( a 一6 ) 2 的三维h o r n l i e 代数称为b 型h a m l i e 代数，o l 的初等因子为( 入一口) 3 的三维h o m l i e 代数称为c 型 h o r n l i e 代数显然，不同类型的三维h o m l i e 代数是不同构的我们将对 三类h a m l i e 代数分别进行讨论 当q = 0 时，l 就是一个具有反对称乘法的线性空间当a 是恒等变换时， h o r n l i e 代数是l i e 代数，对于三维l i e 代数的结构我们已经非常清楚所以， 本文对于a = 0 与n = i d 的情形不再进行讨论具有平凡乘法的h o r n l i e 代数 也不单独列出 对于a 型h a m l i e 代数，我们证明了每个三维a 型h o r n l i e 代数必与 表1 1 中的某个代数同构表内每个h o m l i e 代数名称括号内的三个参数表示 a 的三个特征值，其中同一个名称里的参数a ，b ，c 是互不相同的于是，参数不 同的h o r n l i e 代数是不同构的不同序号的h o m l i e 代数也是不同构的如 果该代数名称中含有参数k ，则表示此种情形下存在一系列的h o m l i e 代数， 同一系列内代数的同构分类见表的第三栏 东南大学硕士学位论文第一章引言 4 表1 1 序号名称同构的充要条件是否为单代数 1 a ( o ，b ，c ) ( 6 0 ，l ；c 0 ，1 ) 否 2 a ( n ，b ，詈) ( 6 一1 ，0 ，1 ； 否 口一b ，0 ，1 ，b 2 ) 3 a 1 ( n ，6 ，1 ) ( o 0 ，1 ；b 0 ，1 ； 否 a b 1 ) 4 a 2 ( o 6 ，1 ) ( o 0 ，1 ；6 0 ，1 ；a 2 ( 口，b ，1 ) 笺a 2 ，( n ，b ，1 ) 管后= 忌7 否 a b l ；后0 ) 5 a 1 ( 口，一口，一1 ) ( n 一1 ，0 ，1 ) 否 6 a 2 ( n ，一口，一1 ) ( o 一1 ，0 ，1 ) 否 7 a 1 ( o ，b ，1 ) ( 6 0 ) 否 8 a 2 ( o ，b ，1 ) ( 6 0 ) 否 9 a 3 ( o ，6 ，1 ) 0 0 ) 否 1 0 a 2 ( o ，b ，1 ) ( 6 o ；七0 )a 2 ( o ，6 ，1 ) 竺a 2 ，( o ，b ，1 ) 铮七= 7 否 1 1 a 1 ( 口，石1 ，1 ) ( n - 1 ，o ) 否 1 2 a 2 ( 口，石1 ，1 ) ( o - 1 ，o ) 否 1 3 a 2 ( n ，五1 ，1 ) ( 口一1 ，o ；忌o )a 2 ( 9 ，云1 ，1 ) 竺a 2 ，( n ，石1 ，1 ) 营七= 后7 否 1 4 a 4 ( 口，若1 ，1 ) ( o - 1 ，o ) 是 1 5 a ( o ，b ，6 ) ( 6 1 ) 否 1 6 a ( 铲，b 6 ) ( b 一1 )否 1 7 a 1 ( n ，1 ，1 ) ( 口0 ) 否 1 8 a 2 ( n ，1 ，1 ) ( o 0 ) 否 1 9 a 2 ( n ，1 ，1 ) ( o o ：南0 )a 2 ( 口，1 ，1 ) 竺a 2 ，( n ，1 ，1 ) 营后= 七7 否 2 0 a 1 ( 1 ，6 j 6 ) ( 6 - 1 ，0 )否 2 1 a 2 ( 1 ，b ，6 ) ( 6 一1 ，0 )否 2 2 a 3 ( 1 ，b ，b ) ( 6 一1 ，0 ) 否 2 3 a 2 ( 1 ，6 ，6 ) ( 6 一1 ，o ；七0 )a 2 ( 1 ，b ，b ) 竺a 2 ，( 1 ，6 6 ) 错忌七7 = 1 否 2 4 a 1 ( 口，0 ，0 ) 否 2 5 a 2 ( a ，0 ，0 ) 否 2 6 a 3 ( o ，0 ，0 ) 否 2 7 a 4 ( 口，0 ，0 )否 2 8 a 5 ( n ，0 ，0 )否 东南大学硕士学位论文第一章引言 5 序号名称同构的充要条件是否为单代数 2 9 a 6 ( n ，0 ，0 ) 否 3 0 a t k ( a ，0 ，o ) ( 七0 )a 7 ( n ，0 ，0 ) 竺a ，( n ，0 ，0 ) 铮k k 7 = 1 否 3 1 a 1 ( 1 ，一1 ，一1 ) 否 3 2 a 2 ( 1 ，一1 ，一1 ) 否 3 3 a 3 ( 1 ，一1 ，一1 ) 否 3 4 a 4 ( 1 ，一1 ，一1 ) 否 3 5 a 5 ( 1 ，一1 ，一1 ) 否 3 6 ( 1 ，- 1 ，- 1 ) ( k 0 )a 2 ( 1 ，- i ，- 1 ) 笺4 2 ，( 1 ，- 1 ，- 1 ) 骨k k 7 = 1 否 3 7 a 7 ( 1 ，一1 ，一1 ) 是 3 8 a 2 ( 1 ，- 1 ，- 1 ) ( k 0 )a 2 ( 1 ，- 1 ，- 1 ) 笺a 2 ，( 1 ，- 1 ，- 1 ) 铮k k = 1 是 注1 1 表中h o r n l i e 代数的乘法表见引理3 4 对于b 型h o m l i e 代数，我们证明了每个三维b 型h o m l i e 代数必与表 1 2 中的某个代数同构表内每个h a m l i e 代数名称括号内的两个参数表示a 的特征值，其中第二个参数是二次的于是，参数不同的h o r n l i e 代数是不同 构的不同序号的h a m l i e 代数也是不同构的如果该代数名称中含有参数k ， 则表示此种情形下存在一系列的h o r n l i e 代数，同一系列内代数的同构分类见 表的第三栏 表1 2 序号名称 同构的充要条件是否为单代数 1 b ( 0 ，6 ) ( 6 0 ，1 ) 否 2 b ( 6 2 ，6 ) ( 6 一1 ，0 ，1 ) 否 3 b 1 ( 1 ，6 ) ( 6 一1 ，0 ，1 ) 否 4 b ：( 1 ：6 ) ( 6 - 1 ，0 ，1 )b 2 ( 1 ：b ) 竺b 2 ，( 1 ，b ) 铮k = 否 5 b 1 ( n ，1 ) ( n 1 ) 否 6 b 2 ( o ，1 ) ( o 1 ) 否 7 b 2 ( o ，1 ) ( n 1 ；k 0 )b 2 ( n ，1 ) 竺b 2 ，( o ，1 ) 骨k = k 否 8 b 1 ( 1 ，0 ) 否 9 b 2 ( 1 ，0 ) 否 1 0 b 3 ( 1 ，0 ) 否 1 1 磁4 ( 1 ，0 )磁( 1 ，0 ) 竺磁，( 1 ，0 ) 错k = 否 1 2 b 1 ( 1 ，一1 ) 否 1 3 b 2 ( 1 ，一1 ) 否 1 4 b 3 ( 1 ，一1 ) 否 东南大学硕士学位论文第一章引言 6 序号名称同构的充要条件是否为单代数 1 5 磁( 1 ，- 1 )j e 7 2 ( 1 ，- 1 ) 竺b 2 ，( 1 ，一1 ) 兮k = k 7 否 1 6 b 1 ( o ，o ) ( o 0 ，1 ) 否 1 7 b 2 ( n ，o ) ( n 0 ，1 ) 否 1 8 b 3 ( 口，o ) ( n 0 ，1 )否 1 9 b 4 ( o ，o ) ( o 0 ，1 )否 2 0 b 1 ( 1 ，1 ) 否 2 1 b 2 ( 1 ，1 ) 否 2 2 b 3 ( 1 ，1 ) 否 2 3 b 4 ( 1 ，1 ) 否 2 4 b 5 ( 1 ，1 ) 否 2 5 b 6 ( 1 ，1 ) 否 2 6 b 7 ( 1 ，1 ) 否 2 7 b 2 ( 1 ，1 )磁( 1 ，1 ) 竺b 2 ，( 1 ，1 ) 铮k = k 7 否 2 8 b 2 ( 1 ，1 ) ( 七0 )磁( 1 ，1 ) 竺b 2 ，( 1 ，1 ) 甘k = 恐 否 2 9 b 2 0 ( 1 ，1 ) ( 七0 )b 0 ( 1 ，1 ) 竺磁p ( 1 ，1 ) 骨k = k 7 否 3 0 b 1 ( o ，0 ) 否 3 1 b 2 ( o ：0 ) 否 3 2 b 3 ( o ，0 ) 否 3 3 b 4 ( o ，0 ) 否 3 4 b 5 ( o ，0 )否 3 5 b 6 ( o ，0 ) 否 3 6 b 7 ( o ，0 ) 否 3 7 b 8 ( o ：0 ) 否 3 8 b 9 ( o ，0 ) 否 3 9 b 1 0 ( o ，0 ) 否 4 0 b 2 1 ( o ，o ) ( 0 )b 1 1 ( o ，0 ) 竺饿1 ，1 ( o ，0 ) 骨k = k 7 否 4 1 磁2 ( o ，o ) ( 七0 )磁2 ( o ，0 ) 竺磁( o ，0 ) 营k = 否 注1 2 表中h o r n l i e 代数的乘法表见引理3 8 对于c 型h o r n l i e 代数，我们证明了每个三维c 型h o r n l i e 代数必与表 1 3 中的某个代数同构表内每个h o r n l i e 代数名称括号内的参数表示q 的特 征值于是，不同序号的h o m l i e 代数也是不同构的如果该代数名称中含有 参数k ，则表示此种情形下存在一系列的h o r n l i e 代数，同一系列内代数的同 构分类见表的第三栏 东南大学硕士学位论文 第一章引言 7 表1 3 序号名称同构的充要条件是否为单代数 1 c 1 ( o )否 2 c 2 ( o )否 3 c 1 ( 1 )否 4 嚷( 1 )嚷( 1 ) 竺嚷，( 1 ) 铸k = k 7 否 5 c 3 ( 1 ) 是 注1 3 表中h a m l i e 代数的乘法表见引理3 1 1 ， 关于表示 研究表明，同l i e 代数相比，三维h o r n l i e 代数的表示要复杂得多特别 地，我们证明了。 ( i ) 对于任意正整数n ，都存在n 维不完全可约的h o m l i e 代数模 ( i i ) 对于s z 2 型h o m l i e 代数及每个正整数n ，均存在n 维h o r n l i e 代数模， 使得h 的作用不是半单的 我们给出了s 如型h a m l i e 代数二维模的完全分类 引理4 1 设( ，口) 与( ，a k ) 是h o r n - l i e 代数( 厶【一，一】，a l ) 的两个h o m l 一 模如果线性映射西是从k 到的同构，则q m 与n 比有相同的初等因子组，且 西将m 的特征子空间映到q 相应的特征子空间 设z ，y ，h 是s z 2 型h o r n l i e 代数的典型基，如果z ，y ，h 在模y 上作用都是平 凡的，则称( k q y ) 是平凡模我们将对非平凡的二维模进行分类根据引理4 1 ， 我们先对口矿的初等因子进行分类0 l v 的初等因子为入，a m ( m 0 ) 的二维模 称为j 型；n y 的初等因子为入一m ，a + m ( m 0 ) 的二维模称为j ，型；0 l v 的初等 因子为入2 的二维模称为i i i 型；q v 的初等因子为a ，入的二维模称为j y 型 我们证明了占如型h o r n l i e 代数每个非平凡的二维模必与表1 4 中的某个模 同构表中不同序号的模是不同构的，同序号内若含有参数m ，对于不同的m 也是不同构的设a y ，h ，z ，y 在y 的某组基下矩阵分别为m ，日，x ，y ，在下表中参 数m 不为零 表1 4 序号名称 mhx y 同构的充要条件 ，m0 、 ( ： ：)( ：) i i ( a ，b ) 兰 ( 口，6 ，) 告兮a = a 7 ，b = 6 ， 1 j r l l o o 夕 o 东南大学硕士学位论文第一章引言8 序号名称m h x y 同构的充要条件 ，m0 、 ( ： 三) 00 屯( 竹) 垒1 2 ( n ) = 争佗= n 7 2 屯 l o o 夕 扎0 3i i ( 苫二)( 苫三)( ；：) ，07 7 7 , 2 、 lo o 4 i i h ( ：。i )( ：苫) f ，帅、 ( ：) l l l t ( n ，g ，b ) 望i h d n ， 00 矿) 兮亿= 犯7 ，n = 口， b = 6 ， 5 i i l 2 ( ： ：) f ，mn 。、 00 1 1 1 2 ( n i ，n 2 ) 掣h x 2 ( n 1 ， 0 佗1 ( t z l 0 )呓) 仁兮n l = n i ，1 7 , 2 = 呓 6 j 00 ( 吉三)( ：三) j ( 0 1 眈，6 1 ，k ) 矣n 气 口1 0 , 2 ( 口i ，口5 ，m ，) 铺( ，：z i ，a 2 ) = ( c i i ，n ：) 且( b l ，6 2 ) = ( m ，) 或( a l ，眈) = ( 必， ) 且( 6 1 ，b 2 ) = ( ，6 i ) ，n0 、 7 ， o0 il任意 ，k ( 口，y ) 兰j ( 0 ，y ，) ， 0 口 目a = a 7 ，y 与y 相似 厂al 、 ( ：) j k ( n ，b ，c ) 垒，蚝( n 7 ，6 ，d ) 8 j 00 ll 0 n 乍号口= a 7 ，b = 6 ，c = c ， 9 ，k 0 ( 苫：) ，00 、 ( ：) i v 4 ( n ，g ，b ) 垒l v d n ，a 7 ，b 7 ) il 0 口 佗0 骨n = 佗7 ，口= a 7 ，b = 6 ， 1 0 ， 0 任意 00 h 与h 枢似 1 1 ， o ( 苫一0 佗) 0 ( ：。1 ) ，( n ) 呈j ( n t ) t t , r + 号n = 1 2 九弓0 r no 、 0 ( ； ：) n ( 佗，b ) 皇j ( ，6 ，) 0 一n n r - 4 -骨佗= b = 6 ， ，n0 、 ( ：。1 )( ： ：) ，( n ，b ) 兰，( n 7 ，6 ，) 车= 争 1 3 j 0 lon n r +他= b = 6 ， 东南大学硕士学位论文第一章引言 9 序号名称 mhx y 同构的充要条件 1 4 ，k 0 ( 。7 , 二) ，0n 、 ( ：苫) i v 9 ( n ，a ，b ) 兰i v 9 ( n 7 ，a ，6 ，) 铮 lto 夕 t t r + t g ：l - t t ，a = a 7 ，b = b 7 1 5 n 气0 0 ( ：。1 ) 0 ( ：三) i v z o ( b ) 型i v l o ( b 7 ) 错b = 6 ， b 0 1 6 n 气1 0 ( ：。1 ) ，0n 、 ( ：) ，l ( a ，b ) 垒n 气1 ( 口，b ，) 牟令 loo 夕 a 0 a = a b = b 7 1 7 i v y 2 o ( ：。1 ) ，口0 、 ( ：三) x y n ( a ，b ) 垒i v l 2 ( a 7 ，6 ，) 筒li 0 一口 n 0n = a t b = 6 ， 第二章预备知识 为方便起见，除非特别声明，本文中所有线性空间的系数域f 均是特征0 的代数闭域我们先回顾相关概念的定义，并给出一些初步的结果 2 1h o r n l i e 代数的概念及其例子 定义2 1 1 3 2 】设l 是域f 上的线性空间，口是l 上的线性变换，f - ，一】是 lxl l 的映射( 称为方括号运算) ，如果满足以下公理： ( 1 ) 【一，一 是双线性的，即【口z + 励，z 】- a 陋，z 】+ 觑耖，z 】， ( 2 ) 卜，一 是反对称的，即k ，圳= 一z 】， ( 3 ) q 保持乘法，即q ( p ，引) = 陋( z ) ，a ( 可) 】， ( 4 ) 【一，一】满足h o m j a c o b i 等式，即【q ( z ) ， y ，名”+ 陋( z ) ，p ，引】+ a ( 剪) ，k ，叫】= 0 ( vz ，暑，z l ；v 口，p f ) 则称( l 卜，一】，n ) 为h o r n l i e 代数 本文中，h o r n l i e 代数( l 【一，一】，q ) 常简记为( 厶q ) ，甚至l 显然，当o t 是恒 等变换时，h o r n l i e 代数就是l i e 代数 下面给出h o r n l i e 代数的一些例子 例2 1 设y 是域f 上的线性空间，定义k ，引= o ，vz ，y v ，n 是y 上的任意线 性变换，则( kq ) 是h o r n l i e 代数 例2 2 4 】设a 是域f 上的代数，口为a 上的的代数同态，线性映射d 满足； d ( a b ) = d ( o ) 6 + 盯( o ) d ( 6 ) ，va ，b a ，则称d 是a 上的一个矿一导子用以( a ) 表示a 上所有口一导子的集合下面构造仍( a ) 的h o r n l i e 代数结构 设f = 名，a = 名i x ，v ( z ) a ，定义数乘_ ，( z ) = n y ( z ) ，则a 是名上的u f d ( 唯 一分解整环) 取定虿名1 6 ，t ，并设盯是由下式决定的a 上唯一的自同态： 盯( z ) = 驴则 盯( ，( z ) ) = f ( q x ) ，vy ( x ) a 因为a 是u f d ，由【4 】的定理2 知，以) 是秩为l 的自由a 一模，即协( a ) = a d ( 其中d2 丽i d - a 。，) 设d d 盯( a ) 是由下式决定的 d ( ，( z ) ) = z 口( ，( z ) ) 一f ( x ) 东南大学硕士学位论文 第二章预备知识 1 1 可以证明( 见【4 ) ，d 是仇( a ) 生成元 因为d 是名上的多项式，故d 与口可交换，在讲( a ) 上定义乘法运算 _ ，一】口： 【，d ，g d 】圹= ( 口( ，) d ) o ( g d ) 一( 盯( 9 ) d ) o ( ，d ) ，g a 可以验证【一，一】矿满足： ( 1 ) 【，d ，g d ，= ( a ( f ) d ( g ) 一盯( 9 ) d ( ，) ) d ， ( 2 ) 反对称性：【，d ，g 驯口= - l q d ，驯矿， ( 3 ) h o m - j a c o b i 等式： ( 盯( ，) + ，) d ，b d ，h - d 盯】口+ 【( 盯 ) + g ) d ，【h d ，d 叮】口 “( 盯( ) + h ) d ，【，d ，g d 】，】，= 0 于是，( d 盯( a ) ， 一，一】矿，仃) 是h o m l i e 代数 例2 3 2 8 】设( l 【一，一】) 是l i e 代数，a 是l 上的代数自同态，定义新的方括 号运算【一，一k 如下：k ，引a = 【q ( z ) ，a ( 秽) 】- q ( 陋，们) ，vz ，耖l 于是，( l ，【一，一】，q ) 是 h o r n l i e 代数 设l 是h o r n l i e 代数，映射口d ：l e n d ( l ) ( v x ，l ，a d x ( y ) = 忙，可】) ，称为a d 为伴随映射设f 是l 的子空问，若比i ，y l ，有i x ，引i ，且n ( ，) i ，则称i 为 l 的理想如果l 没有非平凡理想，且l 7 = 【l ，l 】0 ，则称工为单纯h o r n l i e 代 数 命题2 1h o m l i e 代数l 的导代数l ，- 【l ，l 】是l 的理想 证明：比l 7 ，y l ，i x ，y 】【l 7 ，l 】陋，l 】= l ，又a 保持乘法，即： a ( l 7 ) = q ( l ，l 】) 陋( l ) ，q ( 三) 】陋，l 】= 于是，导代数l 7 是l 的理想 2 2h o r n l i e 代数的同态及同构 定义2 2 3 2 】设( l l ，卜，- 1 ，口1 ) 和( l 2 ，【一，- 1 ，o l 2 ) 是域f 上的两个h o m - l i e 代数， 妒是l l 到l 2 的线性映射，如果满足下述条件： ( i ) 妒保持乘法，且口；妒( 【z ，】) = 【妒( z ) ，妒( 可) 】，vz ，y l ， ( i i ) 图 如i _ 如 上 上 l 虮 l 东南大学硕士学位论文 第二章预备知识 1 2 是交换的，即妒oa 1 = 口2o 妒 则称妒是l l 到l 2 的同态 如果同态妒是一一映射，则称妒是l 1 到l 2 的同构如果存在l 1 到l 2 的同 构，则称l 1 与l 2 是同构的 引理2 1 如果两个h o r n l i e 代数( l 1 ，0 1 1 ) 与( l 2 ，0 1 2 ) 是同构的，则o l l 与o l 2 的 初等因子相同 证明设妒是l l 到l 2 的同构，线性变换a l 在l l 的一组基x l ，x 2 ，x 3 下的矩阵为 a l ，即t ( a l ( z 1 ) ，a 1 ( z 1 ) ，o e l ( x 3 ) ) = ( x l ，x 2 ，x 3 ) a 1 线性变换a 2 在l 2 的一组基吐，z ：，z 3 下的矩阵为a 2 ，即：( q 2 ( z j ) ，a 2 ( z ：) ，a 2 ( z 3 ) ) = ( z i ，z ；，z 3 ) a 2 因为妒是l 1 到l 2 的同构，所以存在可逆矩阵t ，使得( z i ，z ：，z 3 ) = ( 妒( z 1 ) ，妒( z 1 ) ，妒( 黝) ) t 可改写为： ( 妒( z 1 ) ，妒( z 1 ) ，l p ( z 3 ) ) = ( z ：，z ；，z ：) t 一1 又妒oo 1 = o l 2o 妒，从而有： a 2 ( z ：，z ：，以) = a 2 ( 妒( z 1 ) ，妒( z 1 ) ，妒( z 3 ) ) 卅= a 2o 妒( z 1 ，x l ，x 3 ) t = 妒o a l ( z l ，z 2 ，x 3 ) t = 【o ( x l ，x 2 ，x s ) a 1 t = ( z i ，z ：，z ：) t 一1 a i t 由此即得a 2 = t a 1 t 命题得证 引理2 2 若妒是从h o m l i e 代数( l 1 ，o i l ) 到( l 2 ，o l 2 ) 的同构，则妒将o l l 的特征 子空问映到o e 2 的特征子空间，并且，对应的特征值相等 证明若妒是从( l 1 ，n 1 ) 到( l 2 ，q 2 ) 的同构映射，则妒oq l = 0 1 2o 妒，即下图可换： 设入。是0 1 1 的一个特征值，7 为其特征向量，即：a z ( u ) = a o r 由图的可换性知， a 2 ( 妒( 7 7 ) ) = o r 2o 妒( 叩) = 妒oa 1 ( 1 ) = 妒( q l ( 叩) ) = 妒( a o 叩) = 入。妒( 叩) 命题得证 2 3 低维l i e 代数的分类 如果f 是特征为零的域，则f 上维数不超过3 的l i e 代数的分类见【1 1 】为 嘞 如如 9 i t 9 i t l m l 东南大学硕士学位论文第二章预备知识 1 3 完整起见，我们将结果总结如下t ( 1 ) 一维l i e 代数均是交换的 ( 2 ) 二维l i e 代数只有两类：一类是交换的，另一类是存在一组基z ，y ，使得【z ，y 】= z ( 3 ) 三维l i e 代数的分类如下： a b e ll i e 代数 存在一组基x l ，x 2 ，x 3 l ，满足：陋1 ，x 2 】= x 3 “x l ，x 3 】= 【x 2 ，x 3 】= 0 存在一组基z l ，x 2 ，x 3 l ，满足l 【x l ，x 3 】- x l ， x l ，x 3 】- 【x 2 ，x 3 卜o 存在一组基z 1 ，x 2 ，x 3 l ，满足； 胁l x 2 j = 0 ，陋l ，2 ；3 】= z 1 + 励2 ，p 2 ，魏】= 如2 ， 其中展6 f ，且6 0 存在一组基t , 1 ，x 2 ，x 3 l ，满足：陋1 ，x 2 】- x 3 ，陋1 ，x 3 】_ o c = l ， x 2 ，x 3 】- 触2 ，其中 a ，p f ，且0 ：p 0 第三章三维h o r n l i e 代数的分类 这一章我们主要讨论三维h o r n l i e 代数的分类问题对于三维h o r n l i e 代数( la ) ，若a 在基x l ，x 2 ，x 3 下的矩阵为若当形矩阵，称基z 1 ，x 2 ：x 3 是l 关于a 的 特征基在本章证明中，要涉及到h o m l i e 代数的基变换，我们始终保持变换 前后的基都是l 关于o l 的特征基在下文中，各个代数的乘法表中，没有给出的 基向量的乘积均指其积为零 3 1 三维a 型h o r n l i e 代数 本节考虑三维a 型h o r n l i e 代数 引理3 1 设( l 1 ，q 1 ) 与( l 2 ，a 2 ) 是两个三维a 型h a m l i e 代数，a , b ，c 互异，如 果妒是从l 1 到工2 的同构，基x l ，x 2 ，x 3 和硝，z ：，z 分别是l l 和l 2 的特征基，则妒 在此基偶下的矩阵是非退化的对角阵 证明由引理2 1 知，存在l 1 的一组基：z 1 ，z 2 ，使得q 1 在这组基上作用为 a l ( z 1 ) = a x l ，q 1 ( x 2 ) = b x 2 ，q 1 ( x 3 ) = c x 3 ；存在l 2 的一组基：z i ，z ，z ，使得q 2 在这组 基上作用为q 。( ) = n ，q 2 ( ) = k 5 ，口2 ( 硝) = 凹3 设 l ，v ( x 1 ) = a l 吐+ a 2 x 1 2 + 0 3 妒( z 2 ) = b l x i + 6 2 z ：+ b 3 妒( z 3 ) = c l x i + c 2 x 2 + c 3 z 3 由于妒oo t l = q 2o 妒，我们有： 妒oq i ( x 1 ) = 妒( a x l ) = a a l g c t l + a a 2 x ：+ a t 2 3 q 2o 妒( z 1 ) = a 2 ( a l x i + a 2 x 2 + a z x 3 ) = a a l x i + b a 2 x ：+ c a 3 x 1 3 比较上面两个等式，可得： 伽 鹏 郦 = = i l m l 2 3 0 口 0 口 凸 o ，ii_iiijll_ 东南大学硕士学位论文 筮三童三丝堕堕二l i e 代数的分类 1 5 妒cz，z。，zs，=cz：，zs，zs，(喜虽量) 引理3 2 设( l 1 ，c e l ) 与( l 2 ，c t 2 ) 是两个三维a 型h o m l i e 代数，口b ：c 时， 如果妒是从l 1 到l 2 的同构，基x l ，x 2 ，x 3 和z i ，z 5 ，z 3 分别是l 1 和己2 的特征基，则 妒在此基偶下的矩阵是非退化的，且可以写成形式 嘲 证明与引理3 1 的证明方法类似 引理3 3 三维a 型h a m l i e 代数，其初等因子只能是以下形式： ( 3 ) a ( b 2 ，b ，6 ) ：入一b 2 ，入一b ，入一b ( 7 ) a ( a ，云1 ，1 ) ( o 一1 ，o ) ：a 一口，a 一云1 ，a 一1 ( 1 0 ) a ( a ，b ，詈) ( n 0 ，5 2 ；b 0 ，1 ) ：a n ，a b ，入一詈 证明由命题2 1 可知，l 7 是l 的理想，则l 7 在线性变换q 下是不变的，因 此，我们先考虑q 的不变子空间 设存在特征基z i ，吐，x ；l ，使得口( z i ) = 口z ：，口( z ；) = 蟛，口( 呓) = c 呓我们不妨 分两种情况：( a ) a ，b ，c 互异，( b ) a b = c 东南大学硕士学位论文 第三章三维h a m l i e 代数的分类 1 6 ( 2 ) 当d i m l ，- 1 时，若l ，- l ( x 1 ) ，设 【z i ，】= 七1 z i ，【z i ，z 3 】= 砣z i ， z ：，z ：】= k 3 x i( 3 0 ) 由于q 是代数同态，即： q ( k i ，z ：】) = 【q ( z i ) ，q ( z ；) 】，q ( 【z i ，z ：】) = 【q ( z i ) ，q ( z ：) 】，q ( 1 z ：，z ：】) = a c z l ) ，口( z ：) 】 又h a m j a c o b i 等式成立，故有下列方程组： a ( b 1 ) k l = 0 n ( c 一1 ) k 2 = 0 ( 6 c o ) b = 0 七1 k 2 = 0 ( 3 0 1 ) ( 3 0 2 ) ( 3 0 3 ) ( 3 0 4 ) 1 ) 当a = 0 时，由( 3 0 3 ) 知，得k s = 0 有乘法表：【z j ，z 纠= k l x 1 ，阱，z 纠= 乜硝 且满足七1 k 2 = 0 2 ) 当n 0 时，分以下几种情况讨论： 若b = 1 ，则= k s = 0 ，有乘法表：m ，z 锚= l z 5 当b 1 时，分两种情形： ( i ) 若c = l ，则k l = b = 0 ，有乘法表：【z i ，z 纠= 乜z i ( i i ) 若c 1 ，则k l = 乜= 0 ，c = 詈，有乘法表：阮，z