（基础数学专业论文）框架的必要条件.pdf

框架的必要条件 摘要 框架的概念是由r j d u f f i n 和a c s c h a e f f e r 在1 9 5 2 年引入的自上 世纪八十年代以来，在小波理论的研究中框架概念得到了应用对于小 波理论中常见的函数族，有些已建立起了它们构成框架的完美的刻划定 理，有些则还只是建立起一些充分条件和必要条件1 9 9 0 年i d a u b e c h i e s 建立了g a b o r 框架的必要条件本文的第一部分中我们将建立若干新的 必要条件，使得它们在紧框架的情形同时也是充分的 本文的第二部分考虑仿射框架的必要条件这是论文的主要部分已 发表在中国科学杂志上1 9 9 0 年i d a u b e c h i e s 建立了仿射框架的第 一个必要条件后来，c k c h u i ( 崔锦泰) 和x l s h i ( 施咸亮) 于1 9 9 3 年证明了一个更强的结果目前国际流行的许多小波专著上都引用这些 结果作为仿射框架的必要条件本文的第二部分是建立一组新的必要条 件，这组条件在紧框架的情形同时也是充分的 本文的第三部分考虑仿射框架的充分条件关于仿射框架的充分条 件最早的结果也是i ，d a u b e c h i e s 建立的最近施咸亮和石棋玲给出了不同 形式的判别法本章就仿射框架的充分条件做出一些新的准则 本文的第四部分是介绍二重级数的一种新的求和方法，称为a 进求 和法它在仿射小波的研究中特别有效我们将介绍它的应用与计算 关键词：g a b o t ，框架，仿射框架，必要条件，a 进求和法 框架的必要条件 a b s t r a c t t h ec o n c e p to ff r a m ew a si n t r o d u c e db yr j d u f f i na n da c s c h a e f f e ri n 1 9 5 2s i n c e8 0 so ft h el a s tc e n t u r yf l a m e sh a v eb e e nf r e q u e n t l ya p p l i e di ns t u d yo f w a v e l e t s f o rs o m ep o p u l a rf a m i l i e so ff u n c t i o n si nw a v e l e tt h e o r y ，p e o p l ee s t a b h s h e d s o m ep e r f e c tc h a r a c t e r i z a t i o no nf r a m e s ，b u tf o ro t h e r ss u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa n d n e c e s s a r yc o n d i t i o n sw e r ee s t a b l i s h e ds e p e r a t l y i n1 9 9 0 ，i d a u b e e h i e s o b t a i n e da n e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rg a b o rf r a m e s i nc h a p t e r1o ft h i sp a p e rw ep r o v e da s e t o fn e wn e c e s s a r yc o n d i t i o n s ，t h e s ec o n d i t i o n sa r ea l s os u f f i c i e n tf o rt i g h tf r a m e s i nc h a p t e r2o ft h i sp a p e rw ec o n s i d e rt h en e c e s s a r yc o n d i t i o nf o ra f f i n ef r a m e s t h i si st h em a i np a r to ft h i sp a p e r i n1 9 9 0i d a u b e e h i e so b t a i n e dt h ef i r s tr e s u l t o nn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o ra f f i n ef r a m e s a n dt h e ni n1 9 9 3c k c h u ia n dx l s h io b t a i n e da ni m p r o v e m e n t m a n yb o o k si n t r o d u c e dt h e i rr e s u l t sa sn e c e s s a r y c o n d i t i o n so fa f f i n ef r a m e s t h em a i ng o a lo fc h a p t e r2i st oe s t a b l i s has e to f n e c e s s a r yc o n d i t i o n s t h e s ec o n d i t i o n sa r ea l s os u f f i c i e n tf o rt i g h tf l a m e s t h ea i mo fc h a p t e r3i st od i s c u s st h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o ra f f i n ef r a m e s t h ef i r s tr e s u l to ns u f f i c i e n tc o n d i t i o no fa f f i n ef r a m e si so b t s i n e db yi d a u b e c h i e s m s o r e c e n t l yx l s h ia n dq l s h ip r o v e dan e wc r i t e r i o n i nt h i sc h a p t e rw e e s t a b l i s h e dad i f f e r e n ts n m c i e n tc o n d i t i o n i nt h ef o u r t hp a r tw ei n t r o d u c e ds oc a l l e da - a d i cs u m m a b i l i t ym e t h o dw i t h a p p l i c a t i o n st oa f f i n ef l a m e s k e y w o r d s ：g a b o rf r a m e s ，a f f i n ef r a m e s ，n e c e s s a r yc o n d i t i o n ，a - a d i cs u m i n a b i l i t ym e t h o d i i i 框架的必要条件 前言 自从f o u r i e r 于1 8 0 7 年运用函数的三角级数展开来求解热传导方程开 始，f o u r i e r 分析便显示着广阔的应用前景此后，众多数学家都从事这 一领域的研究，极大地发展了以f o u r i e r 命名的级数理论，扩大了f o u r i e r 分析的应用范围 从f o u r i e r 分析的思想方法演变和发展起来的小波分析作为时一频分 析方法，比f o u r i e r 分析有着许多本质性的进步它是泛函分析、调和分 析、时一频分析、数值分析、逼近论和广义函数论等众多学科知识完美结 合的结晶，具有完善的理论体系众多的科学家( j m o r l e t 、g a r e a s 、 i f o u r g e a ua n dd g i a r d 1 ) j m o r l e t 2 ，a g r o s s m a n na n dj m o r l e t 3 等) 在 小波分析这一领域取得了令人瞩目的成就他们之所以取得成功有很多 方面的原因，一方面：小波分析作为近二三十年从工程、物理以及纯数 学理论发展起来的综合性学科，吸引着越来越多的来自不同行业的科技 工作者；另一方面：小波分析是一种精确而简单的数学工具，在许多行 业有着广泛的应用信号小波分析( r k r o n l a n d m a r t i n e t 、j m o r l e ta n da g r o s s m a _ 1 m 4 ，sm a l l a t 5 6 ) 、小波分析快速算法和积分变换( g b e y l k i n 、r c o i 缶l a na n dvr o k h l i n 7 ) 已经取得了令人兴奋的成绩，其他更广泛 的应用正在被研究，凭借其广泛的应用，小波分析引起了越来越多科学 家的兴趣 小波是基，框架是基的推广，它是过分完备的函数系框架的概念 是1 9 5 2 年r j d u f f i n 和a c s c h a e f f e r 8 1 提出的框架的过分完备性有助 于消除噪音的影响，使信号处理达到更好的效果，所以在小波的发展过 程中框架理论也受到了重视( 参见r m y o u n g 【9 、a g r o s s m a n na n dy m e y e r 1 0 、c h e i la n dd w a l n u t 1 1 】) 对于小波理论中常见的函数族， 有些已建立起了它们构成框架的完美的刻划定理，有些则还只是建立起 硕士学位论文 一些充分条件和必要条件仿射框架是小波理论中最基本的框架关于 仿射框架的刻划至今尚无完美的结果1 9 9 0 年i d a n b e c h i e s 1 2 1 建立了仿 射框架的第一个必要条件后来，c k c h u i ( 崔锦泰) 和x ls h i ( 施咸 亮) 13 于1 9 9 3 年证明了一个更强的结果目前国内外流行的许多小波书 籍中都以这些结果作为仿射框架的必要条件( c k c h u if 1 4 ，i d a u b e c h i e s 1 5 ，j pk a h a n e 和pg l e m a r i e 一r i e u s s e t 1 6 ，g k a i s e r 1 7 ，o c h r i s t e n s e n 【1 8 】s m a l l a t 1 9 】a n dd w a l n u t 2 0 ) 本文的目的是进一步探讨g a b o r 框架 和仿射框架的必要条件第一章选自 2 1 ，第二、三章选自发表在中国 科学杂志的 2 2 - 主要结果是第二章的定理2 1 我们通过新的方法导出 了一些新的条件，这些条件对于紧框架的情形同时也是充分的此外， 对于仿射框架还给出了新的充分条件 框架的必要条件 第一章g a b o r 框架的必要条件 姐1 引言 本章中我们将对g a b o r 框架建立一组新的必要条件，使得它们在紧 框架的情形同时也是充分的为了陈述我们的结果，首先引入一些记号 和概念 设n 和b 是给定的正数对于任意的函数g l 。：= l 2 ( r ) ，称函数族 咖，( z ) ：= e i 2 ”k b x g ( x j a ) ，j ，z( 1 1 1 ) 为由函数g 产生的g a b o r 函数系 假如存在常数a 和b ，0 0 且g l 2 假如函数族( 1 1 1 ) 组成l 2 中以a 和b 为界的框架，那么几乎处处成立着 a bsg ( x ) b b ， ( 1 14 ) 其中g ( z ) 是由( 1 1 3 ) 定义的函数 ( 见 1 2 ， 1 5 或 1 8 ) 一3 一 硕士学位论文 对于”t z ，我们将记 ( z ) 一eg ( z j ) g ( z 一扣一m b 。) ， ( 1 1 5 ) j z e m ( z ) ：= 磊1 ( g ( z ) + g ( z m b 。) ) 一a ， ( 1 t 1 6 ) 和 垂m ( 司：= b 一磊1 ( g ( z ) + g ( z m b - 1 ) ) ， ( 1 1 7 ) 并且以k 表示k r o n e c k e r 符号，即 啦r 喜篡 我们将证明下述的 定理1 1 设，b 0 且g l 2 假如函数族( 1 1 1 ) 构成l 2 中以a 和b 为界的g a b o r 框架，那么对于一切m z 几乎处处成立着 r a i n ( 0 。( z ) ，圣。( z ) ) ( 1 一，0 ) j b 一1 e k ( z ) i ， ( 1 1 8 ) 其中h m ，o 。和西。分别由( 1 1 5 ) ，( 1 1 6 ) 和( 1 1 7 ) 式定义此外，当a = b 时，( 1 1 8 ) 对于g a b o r 框架也是充分的 定理1 ，1 是下述更一般定理的推论 定理1 2 设n ，b 0 且g l 2 假如函数族( 11 1 ) 构成驴中以a 和b 为界的g a b o r 框架，那么对于一切m z 以及任意的复数f 和7 7 几乎处 处成立着 a s r m ( 。) b ， ( 1 1 9 ) 其中 r m ( ，q ，z ) ：= t 高 g ( 。) 十i f l 2 g ( z m 6 1 ) + l q l 2 c ( x + m b1 ) + 2 ( 1 一，o ) r e 匿丑_ ( z ) + q 月r 一。( z ) + 轫飓。( 。+ m b - 1 ) m 此外，当a = b 时条件( 1 1 9 ) 也是充分的 框架的必要条件 1 2 几个辅助命题 为了证明定理1 1 和定理1 2 我们需要几个辅助引理 引理1 1 假设。，b 0 且g l z ，那么对于任意有紧支集的有界可测 函数，成立 是，咖d 1 2 2 i 1 上1 厂( 圳2 g ( z ) d z + ；上而_ ，( z 一；) 巩( z ) d x ( 见 1 5 】) 引理1 2 设n ，b 0 且9 l 2 函数族( 1 1 1 ) 构成三2 中以a 为界的紧 框架的充要条件是 ( 1 ) 几乎处处成立b - 1 g ( z ) = a ， ( 2 ) 对于一切m z o ) 几乎处处成立月_ m ( 。) = 0 ( 见 1 5 ) 引理1 3 设a ，b 0 且g l 2 假如函数族( 1 1 1 ) 构成l 2 中的框架， 那么对于任意的实数卢几乎处处成立着 事实上，由定理a 可知 夕 一j a ) 雨了再丽 j e z - j 。) 而了研j 1 0 且g l 2 假如函数族( 1 1 1 ) 构成l 2 中以a 和b 为界的g a b o r 框架，那么对于任意一组不全为零的复数a ：= 缸) 鉴一和 m z 几乎处处成立着 4 ；q 。( a ，z ) sb ， ( 1 3 4 ) 一7 一 硕士学位论文 其中 1 ，甸。高 n 把确改写为 n k ( a ，z ) = 缸瓦日- 。o4 - ( p s ) m 6 - 1 ) 妇 曲巩 扩 印 ，忸 乳 矗 一缸 删噬 妻一 土眦 框架的必要条件 由于对于s = 1 ，2 ，n ，我们有 和 也。( z + , a r a b 。1 ) = 9 ( z + # r o b 。1 j z n s m ( z + ( “一s ) m b 一1 ) = e g ( z + ( 肛一s ) m b 一1 一j n ) i e z = 风。( z + # m b - 1 ) ， 因此由( 1 3 1 3 ) ，( 1 3 1 4 ) ，( 1 3 1 6 ) ，( 1 3 1 7 ) 和( 1 3 1 8 ) 导出 2 nn l i r a 。p 2 ( a ) = ；r e ee 盔一s 皿。( + # r o b _ 1 ) ( 1 3 1 9 ) s 1 一n 几乎处处成立容易证明 _ 础= 时= | | a | | 2 p 假如函数族( 1 11 ) 构成l 2 中以a 和b 为界的框架，那么，由( 1 3 6 ) 一( 1 3 9 ) 和( 1 3 ，1 9 ) 导出 1 n a i i a l l 2 甜g ( z + # m b 1 ) f n 、， f1320)2n ， + 2 r ee e 瓦p 一。皿。( x + # r o b 一1 ) sb f l a f | 2 由假设当 时已= 0 所以， ( 1 3 2 0 ) 蕴含当m 0 时的( 1 3 4 ) 立 当p = 一，s n 一1 时矗一。= 0 于是 这就证明了( 1 34 ) 对于一切m z 成 当a = b 时( 13 4 ) 蕴含( 1 1 8 ) 由定理1 1 的证明可见当( 1 3 4 ) 成立时 奶，一h e e z 构成以a 为界的紧框架 证明完毕 硕士学位论文 1 4 几点注记 注记1 1 定理1 2 的推论 由定理1 2 可以得到下述的 系1 1 设。，6 0 且9 l 2 假如函数族( 1 1 1 ) 构成l 2 中以a 和b 为 界的框架，男v - , 对于任意的m z 和p 0 几乎处处成立着 a i 1 【 g ( z ) + p 再2 g ( 广z - m b - 1 ) 2 ( 1 一) 南f ( 删 茎b 在定理1 2 中置f = e 溉，q = e 溉，其中0 1 ，0 2 月假如函数族( 11 1 ) 构 成l 。中以a 和b 为界的框架，那么利用引理1 4 的方法可以证明 壶 g ( z ) + g ( z m b 一) + g ( z + m b - 1 ) + 2 ( 1 - 1 0 ) | ( z ) + 1 日二。( z ) 一f 凰。( z + m b 一1 ) 1 ) b ，8 e ， 类似地，也可以证明 去 g ( z ) + g ( x - - r n b 。) + + m b 。1 ) + 2 ( 1 一嘶川( 圳 一l h - 。( z ) i + 1 日2 。( z + r n b 一1 ) | 】) b ，。e 和 壶 g ) + g ( z m b 一1 ) + g o + m b 一1 ) + 2 ( 1 一矗印) 一1 日m ) i + 1 月r _ m ( z ) f + 1 日2 m ( z + t a b 一1 ) l 】) sb ，。e 类似地也可以考虑下界的估计倘若记 卢( z ) ：= t y t a x e l 月毛 ) l + 6 2 i h - 。扛) j + e aj h 2 。 + m b 一1 ) i ：c i = 士1 ，i 一1 ，2 ，3 ) 和 7 扛) ：= m i n 1 1 日毛( z ) l + e 2 i h 一。( z ) l + e 3 l h 2 。 + m b 一1 ) j ：岛= 土1 ，i = 1 ，2 ，3 ) ， 那么成立着下述的 一1 2 系1 2 设口，b 0 且9 三2 假如函数族( 1 11 ) 构成三2 中以a 和b 为 界的框架，那么对于任意的m z 几乎处处成立着 刍 g ) + g ( 一m 6 1 ) + g ( z + m 6 - ) + 2 ( 1 一卢 ) 】sb 和 4 s 刍f g ( z ) + g ( z m 6 1 ) + g 扛+ m 6 1 ) + 2 ( 1 矗，。) 7 扛) 】 注记1 2 现在转到定理1 3 在定理1 3 中，置岛：1 ，6 ：e 一，l ： 一1 ，一n ，其中岛r 又置矗= 0 ，若f _ 1 ，n 那么( a ，z ) 成为 志 g 扛+ # r o b _ 1 ) + 2 ( 1 一，。) r e e 卅憎s 风。( z + 肛础一，) 1 p = 一州 s = 1 “= s 一 上面的和有n 个0 。，即0 一“，0 咄可以自由的选择因此，若定义 n0 卢( z ) ：= m 。z 0 且9 三z 假如函数族( 1 11 ) 构成l 2 中以a 和b 为 界的框架，那么对于一切m z 几乎处处成立着 志 g ( z + # r o b 。) + 2 ( 1 _ 如删z ) 墨b 和 -0 a 志 ，g ( z + 芦疗1 ) + 2 ( 1 一，0 h ( z ) 】， 其中卢( z ) 和7 ( z ) 分别为由( 1 4 1 ) 和( 1 4 2 ) 定义的函数 1 3 沾 p + z m瓦岛 。一 d m盯 = 0“ 框架的必要条件 第二章仿射框架的必要条件 2 1 引言 1 9 9 0 年i d a u b e c h i e s 1 2 1 导出了仿射框架的必要条件后来， c k c h u i ( 崔锦泰) 和x l s h i ( 施咸亮) 【1 3 】于1 9 9 3 年证明了一个更强的结 果目前国际流行的许多小波专著上都引用这些结果作为仿射框架的必 要条件( 可参阅c k c h u i 1 4 ，i d a u b e c h i e s 1 5 ，j p k a h m l e 和p g l e m a r i e l 一r i e u s s e t 1 6 ，g k a i s e r 1 7 ，o c h r i s t e n s e n 1 s ，s m a n a t 1 9 a n dd w a l n u tf 2 0 1 ) 本章中我们将建立一组新的必要条件这组条件在紧框架 的情形同时也是充分的 设n 和b 是实数，n 1 且b 0 对于任意的妒l 2 ：= l 2 ( r ) ，称函数 族 奶，( 七) ：= 矿2 砂( a j x b k ) ，j ：k z ， ( 2 1 1 ) 为由函数妒产生的仿射函数族 假如存在常数a 和b ，0 a 曼b 0 ，记 皿( 卢) ：= p 。+ p e ，u 。+ p + e 设站( 茁) 是由 蠡( u ) 2 疠，( u ) + 最x 脚一( u ) 确定的函数对于任意的f l 。记 p j ( f ) ：= 卜壶惦蛐f 2 ，j z k e zk e z 和 p ( ”= 弓( n 3 z 设( 211 ) 构成以a 和b 为界的框架，那么由( 21 2 ) ： a l l f l l 2 p ( f ) b i i f l l 2 ( 221 ) 设j 是充分大的正整数，把p ( g e ) 的和分成两段 p ( 乳) = 弓( 雏) + b ( 驰) = q + q 2( 2 2 2 1 一o 。 ， 一jj f 0 是任意给定的数设 黯m i n ( 1 u 。l ，i u 。+ o l 。i ) ， 那么区间列a - ，( u 。一e ) ，n 一， 。+ e ) j ，j z 和 o 一7 ( + 。t e ) ，。一，( u 。+ t + s ) 】 j z 都是两两不交的i x _ r 司列因此只要l ，充分大就有 壹( a - 3 ( + s l 。山+ a - j ( “o + a o t + 5 l l z 山) d = - o 一7帅+ o r 0 11 c ，、 j 西( u ) j 2 d w + c j 西( “) j 2 d u 2 a 。i “七l ( 1 + 。) 一1 1 u 1 o o j 2 n 。i o + o o t i ( i + b ) 一1 1 w 1 o o 。 、。 这就证明了 卟。圳驯斟l 塾旷陋 + 去- ”i + ：托妻1 4 ( u 。) i 。训 + 矗上。+ 。t 一。，兰 1 2 山 。 一1 9 一 硕士学位论文 令e 一0 导出 一0 一j 甄l i m 嘶+ e ( j 西( n 一) j 2 + i 西( 。一( u 。+ 。r ) ) n ( 2 t 2 6 ) j = 一o oj = 一o 。 下面估计q 。，我们有 耻去，黑。篆。上渊讯矽嗽a 。伽m 矿姒“凼 对上式中第一个积分号内的函数进行周期化处理并将级数关于k 作和后 导出 q 2 上础胎妣m 丁) 莎( a - j w + s t ) d 这里对作和的方式进行变更的可行性基于上述级数的绝对收敛性我们 略去绝对收敛性的证明，因为第二个级数的绝对收敛性蕴含在下面的证 明之中由( 2 2 ，7 ) 我们有 q 。焘 止肌) 陬。气) 阳 ( - j , s ) 厶( o ) ，h l 量， 。仙 + 丽1 ( - j , s ) e i o ( 未舛。上麒w + a o t 腑腑瑚肌 一，班* 募州一上讪w - a o t 肌灿1 打) 幽 + 丽1 蒹，。刊乩。萎上氩烈w + a t a e a ( a ) o - d + l j o o ) 2 拍 厶厶 k ”p ，* 、 7 ，d o ，。o ( 一，5 ) j n ( a ) ， 。且 审( o j u ) 声( o 一，“+ s 丁) d o ：q 2 ，i + q 2 ，2 + q 2 ，3 十q 2 ，4 ( 2 28 ) 利用( 2 1 3 ) 可以看出，q 。山q ，：和q 。，。中的级数都是绝对收敛的此外， 对于固定的j 有 l i i n 2 赤帆一u ) 1 2 + 怖一。+ t ) ) 1 2 ，呲( 2 舢) 灿乃 盯 沈 ( u 如 = 砂 u 1 缸 母 io + u 站 u f 船 工 k 坯小 l 。一啡 r o b 6 ，撕，一h 框架的必要条件 和 l i m q 2 3 ：磊1 e n 4 7 r d 下面估计q 2 。记 ( 一 8 ) l ( n o ) ，一j + 1 9 。o ( 一 s ) k ( 一o o ) ，一j + l g o 。 妒( n 一u ) 妒( n 一“o + s t ) 。a e f 2 2 1 0 1 西( 口1 u ) 西( n 叫+ s t ) ，。f 2 2 1 1 ) g ：= 也。( 一o 。t ) u 巩。( o ) uh 2 。( o 。t ) 若e 1 充分小，那么可以使得g 的三个区间是互不相交的对于。 a ( n ) o ，一。，。) ，当u 。+ a 。tgg 时有 虞( ) 蟊( + q 丁) = 0 以功表不使f 三式至少有一个式子成立的s 的全体： j a y s 一。i 等， ( 2 2 1 2 ) q i s + 。i 婺( 2 2 1 3 ) 或 a j , s l 芸 ( 2 2 1 4 ) o 那么，我们有 魄a 。丽1 删。，岳州，眯妻，。马 ，五( 。) 蠡( u + q t ) 西( 。一。) 声( 。一，。+ 。t ) 山 下面证明，倘若j 充分大，则当j j 时功= 0 事实上，若s d j 则无 论( 2 2 1 2 ) ，( 2 2 1 3 ) 或( 2 2 1 4 ) 哪一个成立都有 i s i n ，( 。i + 筝) s 。一( i h 了2 e ) 因为i s i 1 ，只要取j 使。一。( | 。i + 擎) i 1 的话上式便不可能成立因此 对于充分大的j ，我们有 q 。，铲赢 “性。o ，“o ( - i ，3 ) l ( 。) ，一j + 1 9 j 五( w ) 蟊( u + t ) 西( n j “j ) 审( o 一u + s t ) d u “ 回到级数( 2 2 7 ) 我们见到，对于每个j z ：对应的和式中只含有有限 个异于零的项所_ 以上述级数实际上是有限项之和，因而也是绝对收敛 的令s 一0 取极限便可以导出 酶q 2 ，4 = 0 ( 2 2 1 5 ) 综合( 2 2 2 ) ，( 2 2 6 ) ( 22 1 1 ) 以及( 2 2 1 5 ) 我们得到 1 甄l p ( 吼) 赤( 胁。) 1 2 + 阢一，( + a 。t ) ) i 2 ) 一焉 衍) 瓣，u 。+ s t ) 一川d “竺坯“。 一 一i 而2 。 妒( n 一u 。) 谚( n 一0 2 0 + s 丁) j ( - 3 ，3 j o ( - - c e 8j ，- j + l 0 假如函数族构成以a 和b 为界的 框架，那么对于一切。进数0 ：成立 r a i n ( e ) 。( 皿，u ) ，壬。( 皿，u ) ) ( 1 6 0 , o ) 1 a 。( 皿，“j ) i ，ne ( 2 3 2 ) 其中 “蛐) ：= 妻而( 删每z ( a j w + s t ) t = l ( j ，s ) 。( a ) e 。( 皿，u ) ：= ；( o ( 皿，u ) + a o ( 皿，u + r ) ) 一a 和 西。( 皿，u ) ：= b 一去( o ( 皿，u ) + o ( 皿，u + a 丁) ) 此外，当a = b 时，( 2 3 2 ) 对于框架也是充分的 2 4 框架的必要条件 第三章关于仿射框架的新准则 关于仿射框架的充分条件最早的结果也是i d a u b e c h i e s 1 2 】建立的 最近施咸亮和石棋玲 2 4 】给出了不同形式的判别法他们证明了下面的 定理 定理c 设妒l 2 ，a 1 和b 0 记 目：= 一s u p i 。( 妒，u ) i ， 口a ( 。) o 风：= e s ss u pl a 。( 妒，u ) h ，y ：= e s 8 i n f o ( 母，u ) 若目 7 风 0 记 p ：= 2 瓜 口a ( o ) ( 0 ) ，a o 假如p 7s 风 。，那么函数族( 21 1 ) 构成以 4 = 7 一p 和b = 岛+ p 为 界的框架 证明我们简要地叙述证明以r 表示l 2 中满足。 0 记 了：= e s s i n f o ( 皿，u ) ， 框架的必要条件 ：= | | 。( 皿，u ) 恬 。a 扯) o ) 和 口m ( n ) ：= i 。( 皿，u ) l i 。 假如0 0 记 芦m ：= 2 、佤五髓 再可 n ( n ) o ) ，d 0 假如蛐 0 ，币l 2 ( r ) ，记 奶， ( z ) = 2 妒( a j z b k ) ，j ，k z ( 4 2 1 ) 函数族( 4 2 1 ) 称为仿射函数族，数。称为伸缩因子假如 奶，一) 构成 l z ( r ) 中的就范正交基，那么妒称为以。为伸缩因子的小波，简称小波 小波的理论是上个世纪八十年代发展起来的数学分支当时数学家 和工程技术人员从两个不同的角度提出了构造形如( 4 21 ) 的就范正交基 的要求t o as t r s m b e r g 第一个做出了以2 为伸缩因子的小波( 参见 2 5 1 ) 后来i d a u b e c h i e s 构造了一族以2 为伸缩因子且有紧支集的小波。 i d a u b e c h i e s 构造小波的方法是所谓的多测度分析法，但是存在着不能用 多测度分析方法构造的小波于是人们提出了刻划全体小波的问题后 来e h e r n a n d e z ，x w a n g 和gw e i s s ( 参见【2 6 ) 对于a = 2 ，b = l 的情形给出 了小波的刻划他们证明，若a = 2 ，b = l 那么 奶，e 构成l 2 ( r ) 的就范正交 基的充要条件是 1 ) 1 1 砂1 i = i ， 2 ) 每( 2 ，w ) 1 21 ，n e j e z 以及 3 ) 对于一切5 z ， 妻事( 圳审( 嘶“2 s - 1 ) 2 7 v ) ) _ 0 ，础， d = o 其中mj 表示妒的驴( r ) 范数 对于一般实数伸缩因子和b 1 的情形小波的刻划是2 0 0 0 年在c k c h u i 和x ，l s h i 2 3 在引进a 进求和法的基础上获得的，他们证明了下述 的 3 n 堡墨竺坐墨墨生 一 定理d ( c k c h u i 和x l s h i ) 设 1 ，b o ，妒l 2 ( r ) ，那么妒、是小 波的充要条件是 1 ) l i 妒1 1 = 1 和 2 ) 对于一切a 进数凸：成立 i 1 融叫) 如叫+ 竿) 地m ( 4 删 。0 ，m ) ，( a ) 其中 驴r 篆： 4 3 仿射框架的充分条件 许多实际问题中 也，i ) 构成就范正交基的要求显得太高，于是框架 的概念被提了出来假如存在正数a 和b ，a b ，使得对于一切，l 2 ( r ) 成立 a i i f l l 2 i 1 2 b i i f l l 2 ， ( 4 3 1 ) ，k e z 那么称函数族( 4 2 ，1 ) 构成以a 和b 为界的仿射框架，简称框架常数a 和b 称为框架界当a = b 时对应的框架称为紧框架 i d a u b e c h i e s 1 2 建立了第一个仿射框架的判别法后来p g c a s a z z a 和0 c h r i s t e n s e n ( 参见 1 8 ) 发表了下述在某种程度上稍优的判别法 定理e ( p gc a s a z z a 和o c h r i s t e n s e n ) 设n 1 ，b 0 ，砂l 2 ( 冗) 假如 肚蕊，睦陬删一；j e z k # o 揪训弛令 。， 且 且2 川s 。u m p 。】j , k 。zi 西( 一 ) 审( 一+ ；) l 1 ，b 0 ，妒l 2 ( 月) 假如 a - = i 。i i 。n m f 。， 妻；i 审c 一”，】2 一；。怎。，l 。c 妒，叫，f 。 台1 = s u pl n ( 妒， ) l 1 ：对于某个j n 有a y z ) ， 岛：= 缸 1 ：对于某个j 数一为非整有理数 ， 岛：= a 1 ：对于一切j a 擞一为无理数) 先设。毋且，y 0 是使n 。：= 矿z 的最小的整数对每个非零。 进数a = 而r n o ，固定( 知，m o ) z 2 ，我们可写成 m o = 扎! t 其中0 t z ，而数礼。不能整除r 设( j ，m ) j ( a ) 因为嚣= a j 一”是有理 数，于是有j j 0 = 研，其中女z 成立所以，我们有 m 一7 n o a i j 。= r t t a t a k l = n p r 于是为使( j ，m ) 取遍所有的( o ) ，k 就要从一t 变到o o ，这样 。( 币，u ) ：= 书( 一u ) 毒( 矿w + r o t ) 。( j ，m ) e i ( o r ) 一 = 移( 1 n u ) 西( 蟛抽( a j ”竹u + n ) ) k = 一c o 。 = ；审( 咏) 西( 凡：( + t r ) ) 1 = o 其中f = o ，o “，u 另一方面 1 o o 。( 妒，“) = j 西( 一u ) 1 2 j = - z o _ 。 = ；f 审( 矿7 北 和 一 1 。( 妒，“+ a t ) 2i | 西( ( w + d t ) ) 1 2 j = 一o 。 1 o 。 = f 硒( 7 + n 舻r t ) f 2 ，7 = o 。 一3 4 框架的必要条件 这里= a 3 。一竹u ，j7 = j j 0 + 幻 上面的式子对任意的u r 成立，于是我们就得到： 系4 1 设1 0 是使1 z 的最小整 数令f = a j o - t , v w 如果( 4 2 1 ) 构成l 2 ( r ) 中以a 和b 为框架界的框架， 那么对任意的o i ( a ) m i n ( i i 。( 砂，f ) ，q 。( 妒，) ) ( 1 一如，0 ) 1 1 1 。( 妒，) i ，a e 冥中 舢= 去f 妻坝一钏：+ 妻揪一f + 世“ 汗) 一a ， j ；一j = 一o 。 q 。( 币，) = b 一去( 似f ) h 附+ n r t ) 吩 = 一。7 = 一。 和 、 酗蚓l = 唁西( 吃蝴嚏( f + t 槲 类似的，对于a 局，定理2 1 变成： 系4 2 设1 0 是使a - 是有理数的最小整数令= a j 。一“，“，如果( 4 2 1 ) 构成l 2 ( 月) 中的以a 和b 为框架界的框架，那么对任意的0 ：a ( n ) 成立 m i n ( i i 。( 妒，) ，n 。( 币，f ) ) 2 ( 1 一如，o ) i r 。( 妒，) l ，n e 其中 蹦姒，= 去c 塾谢+ j = 赫- o o 武坩叼坪) 以 嘣姒一去c 势谢+ ，章啦竹叼汗) ， 硕士学位论文 i r o o ( 妒，) l = 咕西( 程f ) 砒( 针q s t 丁) ) i ， ， j = o 和s = 0 ，1 ，t 0 ，且p ，q 不能整除t 证明设1 0 是使为有理数的最小整数对每个非零n 进数o = 鬻，固定 ( 氪竹1 0 ) z 2 ，即 m o = 矿矿t ， 其中“和w 是非负整数，而且ng 不能整除t 所以 竹z ：p “q ”t 。7 = p ( “十) q 扣一k ) t 当j = + u 或者s = u + ”时，严格地从一u k 茎u 或者0 jss ，这样 我们就能得到系4 2 证明