（基础数学专业论文）路余代数上的hopf代数结构.pdf

摘要 摘要 自h h 。p f 研究紧李群同调时提出了h o p f 代数概念之后，人们发现它与李 代数、微分几何、代数拓扑及统计物理具有广泛的联系过去几十年间，在构造 和分类h o p f 代数方面取得了许多重要结果人们兴趣于寻找一种好的非交换非 余交换的h o p f 代数，即广义上的量子群，然后研究其结构性质及其表示性质 为了得到量子群的具体有意义的例子，探讨一些具体的h o p f 代数的构造方法显 得尤为重要另一方面构造狭义量子群的办法有多种模型，例如；r i n g e l h a l l 代数构造方法；f r t 构造方法；l u s z t i g 几何的构造方法；d r i n f e l d j i m b o 的 方法等构造h o p f 代数方法现有的大体有以下几种： h o p f 代数的对偶方法； 群代数构造方法；h o p f 代数扩张方法；d r i n f e l dd o u b l e 方法；h o p f 箭图的构 造方法等本文是利用c i b i l s 和r d s s o 的方法在h o p f 箭图上构造h o p f 代数 本硕士论文首先给出有关背景知识和主要结论；讨论了h o p f 箭图的一些性 质，给出了对应于循环群的箭图为h o p f 箭图的一个判定定理；然后利用c i b i l s 和r o s s o 的方法构造了h o p f 箭图q ( 口) 上的h 0 p f 代数q ( o ) 。，得到了q ( n ) 上的形变预投射代数耶( q ( o ) ) ，其上有一个h o p f 代数结构；最后给出了七q ( n ) 。 的d r i n f e l dd o u b l e9 ( q ( o ) ) ，进而证明了作为h o p f 代数9 ( q ( 口) ) 与礤( 0 ( o ) ) 是同构的 关键词h o p f 箭图，h o p f 代数，形变预投射代数， d r i n f e l dd o u b l e a b s 屯r 8 0 t a b s t r a c t w h 雠嚣越o p f8 t 球l i e 娃矗eh o m 琏球g yo fe o 糙p 鑫越b 艳g r o u 轨圣l eg 释僧毫 ec o m c e p to f 拦。西8 l g e b r a w j 妇e w 谯毡ti t 镪e x t e l l s l v e l ye 。n n e c t 醴w l t hl i e 戚g e b r d i 蠢e r e n t 溺黔。拄l e t 戳鑫l 黔b r 越e o p o l o g y 鞠d 懿a i s t i g 越p 努s i e s o 黼g o tm 8 帮 浊p o r t 氇n 棼r e 8 u l t s 如o u tg o n s t u e i n g 嬲dd a s 8 i 每i n gh o p f 越g e b r a so v e rt h ep a s t s e v e r 越d e c a d e s 。w 每t r yt oe n dac l a 8 so fi m n c 礅h 毫8 毒i v en o 孙c o m m u t a t j v e 王壬o p fa l g e b r 巍，镰e nt o8 伯蠢y 镰es t r t 王e n r ep r o p 档t i e 杂8 n dr e p r e s e 豁t 浇i o np r o p e r t i e 8 o f 搬e m 。l no r d e rt og e 电8 0 m ec o n c r e t ee x a m p l e s q 娃毪n t 凇群o u p 8 ，i ti 8i m p 毒氇贰e ol 醯v e s 鲢g 龟主e 氇e o 珏s t 挂e t i 珏gm e t h o do | 鞑。菇a l g e b 鲻s e r 最m 霉t 轴d s 躐母 k n o w nt oe o n s t u c taq u a 飘t u m 誉o u p sn o 8 u c h 鹅r i n 醪珏a l la 埭e b r aa p p r o 嫩， f r ，rm e 七h o d ，t h el u 档t i g sg e o m e t r ym e t h o d ，逝ed r i n 齄l d j i m b om e t h o d ，a n 娃 s oo n ，i | h e r e 氇r em 8 n yi 驳棘h o d s oe o n s t l 王c ta 壬王o p fa l g e b r 氇，s h e h 鞋s 矗em e 鲢琏 o fd u a 王蕊王 o p f 蕊g e b r a ，t h em e t h o do fg r o u p 越g e b r t h ee 鼬e 蛾i o nm e t h o d h o p fa l g e b r a ，t h em e t h o do fd r i f e l dd o u b l e ，t h em e t h o do fh o p fq u i v e r ，a n de t c i nt h i sp a p e r ，w ea p p l yc i b i l sa n dr o s s o sm e t h o dt oc o n s t r u c tah o p fa l g e b r a o nag i v e nh o p fq u i v e r i nt h j st h e s i s ，w eg i v et h eb a c k g r o u n d8 n dm a i nr e s u l t s ，a n dt h ep r o p e r t i e s o fh o p fq u i v e r ac r i t e r i af o raq u i v e r ，w h i c hi sc o r e s p o n d i n gt oac y c l i cg r o u p t ob eah o p fq u i v e r ，i sg i v e b yt h em e t h o do fc i b i l sa n dr o s s ot oc o n s t r u c t ah 。p fa l g e b r a 七q ( 。) 。o nq ( o ) ，、粑c o n s t r u c tad e f o r m e dp r e p r o j e c t i v ea l g e b r a 。( q ( o ) ) a v e rq ( 口) ，w h i c hh a sah o p fa 旭e b r as t r u c t u r e 、v ea l s od e s c r i b et h e 北京工业大学理学硕士学位论文 d r i f e l dd o u b l e9 ( q ( 凸) ) o f 惫q ( 口) 。t h e i li ti s8 h o w nt h a t9 ( q 缸) ) i si s o m 。r p h i c t o 。( q ( n ) ) a sh o p fa l g e b r a s k e y w o r d sh o p fq u i v e r ，h o p f8 1 9 e b r a ，d e f o r m e dp r e p r o j e c t i v ea 遮e b r a ，d r i n f e l d d o u b l e i i i 独创幛声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得 北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意。 签名衄日期； 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以 公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：童晕蛳导师签名 拯摊嘿止q 第1 章绪论 1 1 概念与记号 第1 章绪论 本硕士论文，我们总假设是特征为零的代数闭域 群g 的一个分歧数x 是群环g 的正中心元，x ：= g 。f g l x c g ，是带有非 负系数的形式和，这里k ( g ) 表示群g 的共轭类；相应分歧数：= c 。 g ) x 。c 的h 0 p f 箭图以群g 中元为顶点集，且对v z g ，c g 有) ( e 条从。到c 。的 箭，其中g 一( g ) 如果分歧系数x 。茎1 则称此分歧数为基本分歧数，对应此 分歧数的h o p f 箭图称为s c h u r i a h o p f 箭图 1 2 背景知识和主要结果 1 9 4 1 年，hh o p f 州在研究紧李群同调时提出了h o p f 代数概念量子群是 8 0 年代新兴的数学分支，最早于1 9 8 5 年由v g dr i n f e l d 侧和mj i m b o 【4 。l 在 研究量子y j n g b “t e r 方程中相互独立地提出的1 9 8 6 年，d r i n f e i d 在国际数 学家大会上的报告引起了人们对量子群的兴趣过去几十年间，在对构造和分类 i o p f 代数方面取得了许多重要结果，如第一个关于h o p f 代数分类的结果是由 h o 蚝l e r 乩y 和b o r e l 给出的，他们的工作被m i h l o r 和m 0 0 r e 吼c u t i e r 【9 ，7 “， k 0 8 t a n t 1 0 1r “33 】进行了推广，得到了c a r t i e r k o s t a n t m i l n o i _ m o o r e 定理，即： 域上一个余交换的h 叩f 代数是一个群代数和一个李代数的包络代数的半直 积，特别的，域女上一个有限维的余交换的h o p f 代数是一个群代数关于这方 面还有许多问题有待解决，其中大部分都是建立在v g d r i n f e l d 引入的量子群 或量子d 。u b l e 构造基础上的在过去二十年问，人们发现量子群与许多数学和 物理分支有密切地联系，例如： 物理分支有密切地联系，例如t 北京工业大学理学硕士学位论文 ( 1 ) 统计力学中的可解格模型； ( 2 ) 连结和纽结的拓扑不变量理论； ( 3 ) k a c m o o d y 代数的表示理论； ( 4 ) 代数结构的表示理论，例如，h e c k e 代数； ( 5 ) 拓扑量子场理论； ( 6 ) 几何表示理论； ( 7 ) 一代数 因此量子群就显得十分重要，广义地说，量子群是一类非交换，非余交换的 h o p f 代数，狭义地说，它是k a c - m d y 代数的泛包络代数的形变为了得到量子 群的具体有意义的例子，探讨一些具体的h o p f 代数的构造方法显得尤为重要构 造狭义量子群的办法有多种模型，例如： l u s z t i g 几何的构造方法；r i n g e l - h a l l 代数的构造方法等构造h o p f 代数的方法现有的一般有以下几种 ( 1 ) 通过对偶方法：当日是一个有限维的h 0 p f 代数时，则它的线性对偶 日+ 仍是一个h o p f 代数，这里对偶是通过对其基本向量空间及其所有结构映射 进行对偶，具体可以参考文献 3 0 ( 2 ) 通过群构造方法：令g 是一个有限群代数g = ，i ，：g 一 是 一个带有逐点乘法和余乘( 西) ( g ， ) = 咖( g h ) ，反极s ( ) ( 9 ) = 币白_ 1 ) ，余单位 e ( ) = 曲( 1 ) 其中曲七g ，g ，g ， g 特别地，g = ，l ，：g 一) 的对偶 h o p f 代数是群代数k g ( 3 ) h o p f 代数扩张方法：构造h o p f 代数一个很自然的想法，类似于群理论 从一个小维数的h o p f 代数扩张到一个较大维数的h o p f 代数这种方法已经被 第1 章绪论 很多人通过不同的方向考虑过，如： g i k a c 【l l 】构造了有限维的9 一h o p f 代 数； s i n g e r 【1 q 考虑了在所谓a b e l i 吼情况下的连通h o p f 代数；还有m a j i d 【1 3 1 和m a j i d s o i b e l m 眦【1 4 】；h o f s t e t t e r 【1 5 l ；以及文献【1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 等都 考虑过这种构造方法 ( 4 ) 扭的方法：( a ) 一种是对余乘的扭，令a 是一个h 。p f 代数，f a o j 4 是一个可逆元令f = f f _ 1 ：a a o a ，则p 仍是一个代数映射，而 且它是余结合的当切仅当 ( 1 0 f ) ( 纪 ) ( f ) = ( f 0 1 ) ( o d ) ( f ) 矿( ) 成立，其中v a a a 中心化( o d ) ( a ) ，另外它是余单位当切仅当 ( d ) ( f ) = ( e i d ) ( f )( * - ) 是a 的中心如果( 十) 式和( + * ) 式成立，则a f ( 与a 是同一个代数，但是带有 余乘f ) 也是一个h o p f 代数这种构造起源于d r i n f e l d 【2 3 】和r e 8 h e t i k h i n 【2 4 l ； 在文献 2 5 ，2 6 ，2 7 】中这种方法被应用于群代数 ( b ) 另外一种是对乘法的扭，令a 是一个h o p f 代数，盯：a a 一七是一 个可逆的2 一c o c y c l e ，即t 口( z ( 1 ) ，分( 2 ) ) 仃( z ( 2 ) 暑，( 2 ) ，。) = 盯( 掣( 1 ) ，z ( i ) ) 仃( z ，驴( 2 ) = ( 2 ) ) 口( 1 ，1 ) = 1 ，v 。，y ，2 a 则如( 同一个a 但是带有下标。乘法) 仍是一个h o p f 代数，其中z ，可= 盯( z ( 1 ) ，剪( 1 ) ) z ( 2 ) 掣( 2 ) 盯一1 ( z ( 3 ) ，可( 3 ) ) 北京工业大学理学硕士学位论文 ( 5 ) b o s 。n i z a t i o n 方法：这是一种比较成熟的扩张方法它首先是由r a d f o r d 发现的，并由m a j i d 【2 8 】用辫子范畴的术语所解释 ( 6 ) d r i n f e l dd o u b l e 方法：令日是一个有限维的h o p f 代数，则( 日) c 。qh 具有一个h o p f 代数结构，称之为日的d r i n f e l dd o u b l e 记作d ( 日) 这是构造 h o p f 代数最重要的方法之一，由d r i n f e l d 【2 。1 所引入这种方法的具体构造在本 硕士论文的第四章中有详细的叙述 ( 7 ) f r t 构造方法：所谓的f r t 构造方法由r e s h e t l n l n ，t a k h t a d z h y a n ， f 硐d e e v 等人提出，通过作用在一个向量空间张量积上的一个适当的算子( 称为 r 一矩阵) 出发来构造一个量子群，自提出后受到广泛关注 ( 8 ) h o p f 箭图的构造方法：早在1 9 9 1 年，c i b i l s 在一特殊的循环箭图上构 造了量子群的正部分以及其限制型的正部分，2 0 0 2 年，c i b i l s 和r ，o s s o 得到如 下结论“定理【1 】：如果q 是一个箭图，则其路余代数上存在一个分次h o p f 代 数结构的充分必要条件是q 是对应于某个群的某个分歧数的h o p f 箭图”具体 构造如下： 令q 是对于分歧数r = 9 ) 的循环群g = ( g ) 的一个h o p f 箭图令爿表 示后q 中起点为的长度为f 的路，如：霉= 一碍= 砚令七q c 表示q 上 的路余代数，其余乘定义为；对任意路o = 口。 ( 。) = o 。n i + 1 。o t 口， t = 0 n 一1 = q s ( ) + 。州圆8 t 。1 + t ( q ) a t = o 、 2 乙o ( 2 ) q 1 ) 一4 第1 章绪论 其中q ( 2 ) n ( t ) 是的分裂集合 o ，5 b ) ) u 口。n 一l ，o 。1 ) u t b ) ，n ) ，其 余单位定义为e ( ) = o ，如果f ( o ) l ，e ( u ) = 1 如果u 是一个顶点岛q c 上 的代数结构是由岛g h o p f 双模决定的，具体细节我们可以参考文献【1 令z n 表示以循环群 l ，g ，口”1 ) 为顶点且顶点间存在唯一的箭o t ：矿一 g 件1 ，ost n 一1 的h o p f 箭图，况( q ) 表示路余代数z 上的分次h o p f 代 数，如果g = 1 ，c h o r = 0 则七磊( 1 ) 表示由g ，o o 生成的h o p f 代数；q ( n ，g ) 表示路余代数后兹上分次h o p f 代数磊( g ) 的由9 ，o o 生成的所有路的长度 d ，d 2 的h 0 p f 代数；令a 器表示无限循环群( 9 ) 为顶点且顶点间存在唯 一的箭啦：矿一9 件1 ，i z 的h o p f 箭图，a 器表示路余代数忌a 器。上g ，口。 生成的分次h o p f 代数结构，其中q 不是单位根；而且器( 1 ) 是q = 1 的情况； 七a 篙( d ，q ) 表示路余代数a 器。上9 ，。生成的所有路长度sd ，d 2 的无限维 h o p f 代数结构 2 0 0 4 年n e d 皿o y s t a e y e n 和章璞【对文献 1 进行了推广，并给出了 s c h u r i a nh o p f 箭图上所有单点h o p f 代数的分类 定理【2 】：令q 是一个s c h u r i a nh o p f 箭图，日是q c 上分次h o p f 代数的 一个子h o p f 代数，则日是单点h o p f 代数当且仅当日同构于下列情形之一： ( 1 ) q ( 佗，q ) ，q 是乘法阶为d 芝2 的礼次单位根； ( 2 ) 磊( 1 ) ，佗三1 ； ( 3 ) a 器( q ) ，其中o g k 不是单位根； ( 4 ) 蔚a 器( d ，q ) ，其中q 是本原d 次单位根； ( 5 ) 七a 罂( 1 ) 其中佗1 北京工业大学理学硕士学位论文 l u s z t i g 用预投射代数的模簇观点给出量子群的几何描述，借助于其模簇还 与许多分支有着密切的联系c r a w l e 卜b o e v e y 和h 0 1 l a n d 等人把预投射代数加 以推广，得到形变预投射代数概念，无论其本身陛质还是与其它分支的结合，近 2 0 0 4 年杨士林在文献 3 】中给出了箭图上的形变预投射代数，并证明了其 上及其适当的商代数上具有h o p f 代数结构，当g 是单位根的情况下它和限制量 子群( s 2 2 ) 同构令q ( 口) 表示对应循环群g = 1 ，g ，扩q ) 的具有分歧数 = ( g 。) 的h o p f 箭图，本硕士论文是利用c i b i l s 和r o s s o 文献【1 1 中的方法， 在七q ( o ) 。上得到了一个h o p f 代数结构；另一方面，在q ( o ) 上构造了一个形变 预投射代数球( q ( o ) ) 其上也具有h o p f 代数结构，最后证明了作为h o p f 代数 它和9 ( q ( 口) ) 是同构的 本硕士论文的第一章给出了一些背景知识和一些主要结论；第二章讨论了 h o p f 箭图的一些性质，基本h o p f 箭图矩阵指的是；一个礼n 矩阵a = ( ) 。x 。坼 有限，或者n = o 。) ，满足若存在唯一的正整数j 使得 m k _ 然后对以循环群g 为顶点的箭图是否为h o p f 箭图给出了一个判定方法 定理2 3 2 设g 是循环群或整数加群，q 是以g 为顶点集的箭图则q 是 h o p f 箭图当且仅当其邻接矩阵是基本h o p f 箭图矩阵的和 第三章给出了h o p f 箭图q ( o ) 上的h o p f 代数结构，同时给出q ( o ) 上形变 预投射代数( q ( 。) ) 的h 0 p f 代数构造主要结果为 第1 章绪论 定瑾3 3 1h 。 ( 8 怒一个王王o p f 筏数，其结梅为 路余代数结构 代数结构 及援为 ( g ) ( 耳2 ) ( 霹) e ( 爿) e ( 矿) 一臻缸霹， 8 + = = 瓒。圆掣， 3 + = 一0 ， ( 嚣。) = g ， = o ， ( 耳。) = o ， 碍1 节2 。缸( 2 t m ) 旷掣， z 。 砂彤”= a u ( 。m ) 俨磷f o g ”瑶发1 一璺计。= g 杆8 述1 瑾一g 。譬5 + 堪 碍= o ，耳= o ，f f o s ( 碍) 一( 一1 ) q 篡! g 她一“砭一 一k ， f o s ( 嚣。) 一( 一1 ) 2 9 ：“池+ “；甍 一葩， ； ；。 我们知道，路余代数q ( n ) 。有一个自然的h o p f 代数结构，辫四章回顾了 盎q ( 8 y 的d 班n f e l dd 。u b l e 妒 。) ) ，令四一g 警矿，其中矿是矿静对偶基， 南 o 驴 ( 。) ) = d ( q ( 。) ) ( 矿一增) ，得到 定理4 3 1 作为h o p f 代数9 ( q ( 。) ) 掣9 ( 印( 。) ) ， 0 选 0 o 2 ： l 妯 淦 北京工业大学理学硕士学位论文 2 。l 预备知识 第2 章h o p f 箭图的性囊 定义2 1 ，1 一个箭尉q 是由顶点撰q o 和箭集q l 以及映射s ，t ：q l 一q o 缭出鹣一令褰粕强其串s 是把赣映裂蒸起点娩欢魅，t 燕把蘩殃裂箕终点钓姨 瓣q d 稀国l 可以是纛限巢一条潞p 建一个舔逄辩懿露列p = 8 t ，郎 t ( 岱i ) = s 蕊+ 1 ) ，l = l ，虬一1 我雷j 令s ) = s 瘪1 ) ，t 扫) = t ( 吐。) 另卦，一个 疆点珏和它的趋点及终点莺合。路的长纛是箭序蓟的长度，顶点是零长度的路+ q 静幽毽b l e 戆曩q 怒对镣一娥戆a ：。q 如上一条发敷迄： j 一；褥辅懿。 定义2 1 2 群g 的一个分歧数x 是祥环g 的正中心元，x ：= g 。( 。) x g a ， 是带寿嚣负系数的彤式释，逸璧k ( a ) 裘拳懿g 懿共蜓类 定义2 1 3 令g 燕群，x 是一个分歧数，裙腹辩壬王o p f 箭黼璐群g 的嚣为 顶点巢，艇对比g ，c g 有x a 条从茁副的箭，其中g 一( g ) 对予分 歧数x ：s g 。f g ) 愆g ，姬聚分歧蔡数愆51 贝称此分歧数为藏本分歧数， 对应此分歧数的h 。p f 赞凰为s c h l 嫩妣l o 烈翡匿 近年米，荚予珏。p f 僚甏秘字勇秘努樊襻囊了一系列懿结暴。翔文献f l 】给出 了h o p f 箭图和分次h o p f 代数之间的对应关系文献 2 给出了s c h u r i a nh o p f 馈图楣应魏分次h o p f 代数的分类中绘出了判别一些特殊的镣图是磷为 建。p f 蘩露熬结论本章主娶聚突联雌蘩嚣戆一些熬本憋囊，势给出了对嶷键 环群或螫数热群魏蘩溪是否秀挺。落赞臻懿一个衣效懿翔是方法。 ，& 第2 章h d p f 箭图的性质 2 2 基本性质 首先对h o p f 箭图的基本性质进行一些讨论 显然，如果g 是交换群，则v g k ( g ) l g i = 1 ，其中i g i 表示g 中元素的 个数 命题2 2 1 令q 是对应交换群g ，分歧数为基本分歧数的一个h o p f 箭图， 则其d o u b l e 箭图仍是一个h o p f 箭图 证明：由于对应交换群的共轭类中只有一个元，不妨设此h o p f 箭图对应 的分歧数为x t = g ) ，对应此h o p f 箭图为q ，则q 是对q 的每一条箭加 上一条反向边 v ：z + = 9 。q 1 为q 中的箭，取x 2 = d - 1 则 j 。+ ：- g 一1 可= 9 - 1 9 可= 。由的任意住知口是q 的d o u b l e 箭图，又因为 g _ 1 g ，且是g 的一个共轭类，取) ( = x 1 + x 2 = 9 卜 9 _ 1 ) 时对应的h o p f 箭图恰是q 故q 是一个d o u b l e h o p f 箭图 口 命题2 2 2 设q 是对应任意群g 的具有基本分歧数) ( = g ，c k ( g ) 的一 个h o p f 箭图，且g 。= g ，这里g _ 1 表示对共轭类g 中的每个元求逆后的集 合则q 仍是一个h 。p f 箭图 证明：因为g 一1 = g 故对vg g ，| 9 1 cv q l ，。：。一= 笋，萝c ，3 乎一1 g 使得+ ：f + 夕一1 = g 一1 9 z = z 所以要使此h o p f 箭图所 对应的分歧数加倍即可得到它的d o u b l eh o p f 箭图 口 推论2 2 3 设q 是群g 的对于分歧数x = g 且g e 的h o p f 箭 g e ( g ) 图，则q 是对应分歧数) ( = 2 g ，且c e ) 的h o p f 箭图 g k f g l 证明：由以上结论即可证得 口 北京工业大学理学硕士学位论文 命题2 2 4 对应群g 的h o p f 箭图是连通的充分必要条件是g = ( g ) 其中 a k ( g ) ，g 的系数在分歧数中非零 证明；设g 生成g lcg ，g = 。l ，n 2 ，a 。) 则vz g g l 都有 。嚣1 n 孑o 嚣“z 其中m j o 的整数，j = 1 ，2 l ，i 2 ，是1 ，2 ，n 的任意一个排列，且v 可g ，嗳1 0 警0 0 z 所以由h o p f 箭图的定义，找 不到一条箭，：c p = z ；另一方面，由vz g g 1 不能由g 生成知， 不存在z 。( g ) 的箭，这是因为如果存在z 。( e ) 的箭则由h o p f 箭图定义 不妨设有箭乜：。+ g z ，其中g a ，g z ( a ) 则西_ 1 使得9 1 弘( g ) 即 z ( g ) 与茁荜( g ) 矛盾所以不存在一条z + ( g ) 的箭，所以如果( g ) g 则此h o p f 箭图不能连通 口 例2 2 5 置换群岛；对应分歧数= ( 1 2 3 ) ，( 1 3 2 ) 的h 0 p f 箭图如下： ( 1 2 3 ) 生= = 写( 1 3 2 )( 1 3 ) ! = 互；( 2 3 ) 图2 1 ：h o p f 箭图 f i g 2 1 ：h o p fq u i v e 。 因为( 1 2 3 ) ，( 1 3 2 ) 不能生成置换群s 3 ，所以此h o p f 箭图是非连通的又因为 ( 1 2 3 ) ，( 1 3 2 ) 。= ( 1 2 3 ) ，( 1 3 2 ) ) 所以由命题2 2 ，3 知上面的h o p f 箭图d o u b l e 后是对应于分歧数) ( = 2 ( ( 1 2 3 ) ，( 1 3 2 ) ) 的h o p f 箭图 一1 0 l 第2 章h o p f 箭图的性质 例2 2 6 对于整数加群：磊= 1 ，2 ，n ) 对应分歧数) ( = l 的h o p f 箭 图如下： 1 _ 2 _ 3 _ 叶_ n _ 1 因为a = ( 1 ) 能生成磊所以此h o p f 箭图是连通的，且其d o u b l e 箭图 i ；12 ；兰3 ；! ；! n ；! l 图譬2 ：d o u b l e 箭图 f 培2 2 ：d o u b l eq u i v e r 是对应于分歧数x = 1 ) + ( n 一1 的h o p f 箭图 2 3 判定定理 眠卅一 ： 北京工业大学理学硕士学位论文 证明t 设g 是整数加群或循环群，显然g 的共轭类中只有一个元素因为 对应分歧数为基本分歧数且只有一个分歧系数是l ，不妨设x = 矿) 或) ( = ) 所以由h o p f 箭图的定义知，只有矿窖卅或j 一+ j 闯存在唯一的一条 箭( 注；若有z 与可的箭则对应矩阵中元素为”= 血。= 1 ) 故有向图的邻接 矩阵是基本h o p f 箭图矩阵 反之，设q 的邻接矩阵为基本h o p f 箭图矩阵则知此矩阵中的非零元素 为： o n 0 1 ) ，口( n 一1 ) o 一2 ) ，o ( n j + 4 ) 3 ，o ( n j + 3 ) 2 ，( n j + 2 ) 1 其对应的有向图为 1 一j 一2 j l 一3 卜2 2 一j + l 一2 j 一3 j 一1 一 th j + i l 一2 j + 2 3 j + 一3 _ 设g = z 是整数加群，则上面的有向图恰是z 对应分歧数x = d 一1 所对应的 h o p f 箭图；如果对循环群g = ( g ) 我们可以令9 l 对应图中的顶点i ，则上图是 对应循环群g = ( g ) 分歧数x = g 卜1 所对应的h o p f 箭图，引理得证 口 定理2 3 2 设g 是循环群或整数加群，q 是以g 为顶点集的箭图则q 是 h o p f 箭图当且仅当其邻接矩阵是基本h o p f 箭图矩阵的和 第2 章h o p f 箭图的性质 称对应于分歧数为) ( ：= g 。( g ) ) ( g c ，vg k ( g ) ，的h o p f 箭图为完全 旷 例2 3 5g = 1 i2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，k ( g ) = “1 ) ， 2 ，t 3 ) ， 4 ) ， 5 ) ， 6 mx= l 对应的h o p f 箭图为 1 _ 2 _ 3 _ 4 _ 5 _ 6 _ l 一1 3 北京工业大学理学硕士学位论文 对应的基本h o p f 箭图矩阵为；a = x = 5 ) 对应的h o p f 箭图为 01 0oo0 001 0o0 o00lo0 00001o 0o0o01 l00000 1 _ 6 5h4 _ 3 _ 2h1 对应的基本h o p f 箭图矩阵为。b = ) ( = 1 ) + 5 ) 对应的h o p f 箭图为 o0oo01 lo000o olo0oo 001o0o oo01oo 00ool0 l ；2 ；3 ；兰4 ；土5 ；6 ；1 图2 3 ：h o p f 箭图 f i g 2 3 ：h o p fq u i v e r 一1 4 第2 章h o p f 箭图的性质 对应的基本h 。p f 箭图矩阵为：4 + b = l0oo1o 文献 6 中的例5 2 对于给出的一个图是否为h o p f 箭图它利用了h o p f 箭图 定义进行的判断，但是比较复杂，有了上面的定理，我们可以对文献 6 中的例 5 2 是否为h o p f 箭图给出简单的判断 9 l鲁 7 图2 4 ：哈密顿图 f 培2 4 ：h a m i l t o ng r a p h 例2 3 6 图2 4 中任两个顶点间都有两条互相反向的箭将其相连，所以对应 矩阵如下： 一1 5 北京工业大学理学硕士学位论文 因为它不是基本h o p f 箭图矩阵的和，由定理2 3 2 知此有向图不是一个h o p f 箭图 口 2 4 本章小结 本章中首先回顾了一些关于h o p f 箭图的基本知识，给出了h o p f 箭图的一 些基本性质主要结果是命题2 2 1 ，命题2 2 2 和命题2 2 4 在2 3 节中主要 对于任意一个以循环群或整数加群为顶点的箭图是否是h o p f 箭图给出了判定定 理主要结果是定理2 3 2 一1 6 一 l 0 o 1 0 1 o 0 1 0 1 0 o o o 0 1 l o 1 0 1 o 1 0 0 1 0 1 0 0 o 0 0 l 1 0 1 1 o 0 l 0 0 1 o 1 0 o l 0 0 l 1 o 1 1 0 0 o 0 o l o l 0 0 1 o 1 1 1 o l 1 0 o 0 o 0 1 0 1 0 0 1 o 1 o o 0 l 1 o o 0 o o l 1 第3 章 d o u b l e h o p f 箭图上的h o p f 代数 第3 章d o u b l eh o p f 箭图上的h o p f 代数 3 1 预备知识 令q ( 1 ) 是对应分歧数r = g ) 的循环群g = ( 9 ) 的一个s c h u r i a nh o p f 箭图，其中( 9 ) 表示由9 生成的循环群；令旧( 1 ) ) 印表示q ( 1 ) 的反向箭图， 耳表示终点为矿长度为f 的路，则耳o = 矿，耳1 = 口；：g 件1 ，一耳 n ：n 苒l 口斗( 1 1 ) 令碍表示q ( 1 ) 中起点为矿的长度为f 的路，如：砰= 矿，碍= 吼根据文献( 1 在q ( 1 ) 上有一个自然的余代数结构，且余乘定义为， 对任意路a = 口。o l ， ( q ) = n 。 t = 0 啦+ 1oo t 口1 + t ( a ) 固a t 一、 2 乙a ( 2 ) q ( 1 ) 其中o ( 2 ) a ( ，) 是a 的分裂集合如，s ( a ) u n 。n “，啦n u 0 陋) ，0 ：) ，其 余单位定义为e ( n ) = o ，如果l ) 1 ，e ( u ) = 1 如果u 是一个顶点 另外，如令可z = q z 可，则有 c 咖卜砉铲叫 其中系数( ：) g = 赫， 几q ! = n q ( 礼一1 ) 口- 1 口，n g = 1 + q + - + q ”一1 ，很 容易验证下列关系式成立： c a 2g ) 。叫( i n 1 7 _ “瑚 + s 0 a f f 北京工业大学理学硕士学位论文 3 2h 0 p f 箭图上的h o p f 代数 首先给出下面有用的引理 引理3 2 1 当s ；或tsm ，且忌m + f 时 。掣叫。( 2 ! ( ( 。n 证明：仅证s f 时，其它类似 对施行数学归纳法注意到( + 譬“) 。= ( h ：= 一) 。，令 姗；。掣叫( 一： ( ：) 。 s + = b 、 v、q l 。当= o 时，即s = t = 0 时显然成立 2 。当= l 时，即s = 0 ，t = 1 ；或s = 1 ，t = o 时 姗刮c + 了一) 。+ ( 。晋1 ) 。刮( 2 篡a + ( ：。1 ) 。 由高斯二项式系数公式 ( n 亨1 ) 。= ( ：) 。+ z + 1 一( 。二。) 。 可知l 日s = ( 嚣) 。= ( 2 + 仇) 。成立 3 。假设当s + t = 时成立，即 沙州h ( 。三后) 。c ) 。= ( 。n 贝当s + t = 自+ 1 时，利用高斯恒等式 ( 向亨1 ) 。= = ( ：) 。+ z k + l 一( ；二1 ) 。 一1 8 s ) ( k + 1 8 ( 2 + 了二：1 ) 。( 2 ：1 ) 。 = 妻a ( 2 8 ) ( + 1 一s ( 2 + 了二? 一1 ) 。( ：) 。+ 薹。c h 一1 一s ，忙+ 1 一s ，( + ? 二耋一1 ) 。( 。_ 竺，) 。 = 塞。( 1 一s ) ( k + 1 一s ( 。+ i 二：一1 ) 。( ：) 。+ 妻a 。一3 ，辑一日，( 。：i 二_ 1 ) 。( ：) 。 = 沙州h ( 2 仁堞) 。= ( a 引理得证口 令q ( o ) 表示g = ( 咖对应于分歧数x = 扩) 的h o p f 箭图，此时碍表示 路吼+ ( z 一1 ) n n 件( f 一2 ) 口o ，其中o e ：矿_ 矿托令2 0 = n ( n ，o ) 引理3 ，2 2 路余代数七q ( o ) 。上存在h o p f 代数结构 其路余代数七q ( a ) 。定义为 ( 碍) = 磷缸。碍，f f 0 8 + t = f ( 碍) = o ，f f o e ( 碍) = o ，z 1 ( 碍) = l ， ! = o q ( a ) 。上的代数结构定义为 反极定义为 碍甲= rm 留 q a 碍= o ，t f o ； s ( 碍) = ( 一1 ) 2 q 2 1 警丑一“砭一。一c 。， f o 1 9 g m 鳓 = 凸 hl 北京工业大学理学硕士学位论文 证明：首先证明余代数余乘，余单位的余结合性 ( d ) = 0 d ) ；( eo t d ) = ( 记oe ) 对v 爿q ( 盘) ( t d ) ( 爿) = ( 。i d ) ( 珞把。碍) s + t = c = 毁蚶。 群纰。碍 ：嚣i = 磷掘。磺。耳 ：葺 = o d 。) ( 路缸。碍) o + = l = ( 记 ) ( 碍) 同理可证得0 t d ) = ( 纪oe ) 所以如上定义的是一个余代数下面证明代 数乘法的结合性t 即对任意的爿，弓“，贸q ( a ) ( 日。巧“) 只”= 耳2 ( 弓”一”) ( 爿节) 砑= q ( 叩器) = 所以只需证明 a u ( 。n 。鹳瓒 扩阱m ( 。n 。( 2 能礼) 矿嘲” 。咄( m 未扎) 。碍磷“ 扩阱础礼) 。c + 写栅) 铲啦“ ( 。n 。( 。能勺铲= ( m 以。( 写蜘) 矿 一2 0 第3 章 d o u b l e h 叩f 箭图上的h o p f 代数 由c i b i l s r o s s o 【1 】命题3 1 7 的证明过程知上面等式成立，结合性得证实际上 如上定义的余乘余单位是一个代数映射：当f + m 2 0 时， ( 碍p ) ：。坷f f + m 、) ( 留) 9 4 ：。坷r t m 、) 枇圆 。q4s + k l + “ ( 爿) ( 甲) ：( 圭啦 耳) ( 妻氍。巧) = 塞静_ 由( h 了二；“) 矿懦矗$ = 0t = 0 一 7 口4 一( 8 n 错 刊篆【驴叫缸( 2 艺m 川 = 。u l p ”4 ( i ：= - 8 ) l k o 卜橱“、。“叭吖驴j t ( m， 由引理3 2 1 得 另一方面，当f + m f o 时，由于q 是礼次单位根，所以，( 2 斗；“) 。= o 由上面 证明过程可知 ( 裂) ( 节) = o = ( 碍可) 所以是代数同态，同理可证得e 也是一个代数同态因而q ( o ) 。按上述 乘法定义了一个双代数。 2 1 硌 0 m铲 ， 0 以、碍 似 = = 甲 嘞 北京工业大学理学硕士学位论文 下面证嘱葳极s 是一个葳代数同态，鄄s ( 碍- 霉) 一s ( 哆。) s ( 碍) 测吲刮( 。m ) 矿双鹳哟) 一( 硝叩( 。m ) ，弘幽删) ( + m 啦k 咖 一s ( 掣) s ( 碍) 所以s ( 碍甲) = 5 r ( 甲) s ( 爿) 即s 是反代数同态，所以七q ( a ) c 是一个h o p f 代数 口 设q ( 一口) 是q ( o ) 的反向箭图，显然， q ( 一口) 对应于g = ( 计的分歧数为 ) ( = 9 _ o ) 的h o p f 箭图，因此忌q ( 一口) 。上也有h o p f 代数结构 路余代数q ( 一o ) 。 ( 耳2 ) ( 碍2 ) e ( 碍) = 0 ，f 芝1 ( 耳。) = 1 ， z = o 南q ( o ) 。上的代数结构定义如下 反极； p rp p p s ( 耳2 ) 一( 一1 ) 2 才i 1 笋+ “只! ，一z 。，z 如口 2 2 如 = =瞵 0 b 甲 脸一吼 = = m+ m 嘴 r 、 m 。b九、眨眈 i | = 第3 章 d o u b l eh