（基础数学专业论文）几类具有a性质的空间.pdf

，l 冬 0 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。本声明的法律责任由本人承担。， 论文作者签名： 盛聋 日期： 么芝：篁：趁 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：篮萄聋导师签名： 期： 一 目录 中文摘要i 英文摘要i i 符号说明i i i 第一章引言1 第二章( a ) 空间及其推广4 2 1 背景知识4 2 2 主要内容7 2 3 小结1 2 第三章几类( a ) 空间的映射性质1 3 3 1 基本概念1 3 3 2 主要内容1 3 第四章( f ) 空间的性质1 7 参考文献1 9 致谢2 1 c o n t e n t s c h i n c s ca b s t r a c ：乞：i e n g l i s ha b s t r a c t i i d e f i n i t i o ns y m b o l i i i c h a p t e ri i n t r o d u c t i o n 】【 c h a p t e r2 ( a ) s p a c ea n ds p a c e sw i t hp r o p e r t y ( a ) 4 2 1b a c k g r o u n dk n o w l e d g e 4 2 2m a i nc o n t e n t s 7 2 2 3s u m m a r y 1 2 c h a p t e r3m a p p i n gp r o p e r t yo fs p a c e aw i t hp r o p e r t y ( a ) 1 3 3 1b a c k g r o u n dk n o w l e d g e 1 3 3 2 m a i nc o n t e n t s 1 3 c h a p t e r4t i l ep r o p e r t yo f ( f ) s p a c e 1 7 r e f e r c n c e s 1 9 a c k n o w l e d g e m e n t s 2 1 山东大学硕七学位论文 中文摘要 度量空间在数学中有着广泛的应用，因此空间的可度量化问题是一般拓扑研究 中的一个重要的问题在这一研究过程中逐渐形成了( a ) 空问，( g ) 空问和( f ) 空 问，这三种空间类具有很多良好的拓扑性质，已然成为现在拓扑学研究的一个重要 领域 本文由四章组成，主要讨论了几类具有( a ) 性质的空间 第一章，引言部分对于( a ) 空间的发展进行了概括性的回顾介绍了( a ) 空 间，( g ) 空间和( f ) 空间的概念，以及( a ) 空间的一些性质 第二章介绍了几类具有( a ) 性质的空间：降( a ) 空间、一致( a ) 空间、邻域 ( a ) 空问、弱( a ) 空问、降的弱( 4 ) 空间、一致弱( a ) 空问和邻域弱( a ) 空问，并 主要研究了他们的一些等价刻画性质，扩充了( a ) 空间的关系架构 文章的第三部分是映射保持性的讨论，主要是关于有限对一映射和伪开映射的 性质：开的k 对一映射和伪开的k 对一映射都可以保持弱( a ) 性质，但是会削弱 ( a ) 性质闭的有限对一映射保持降弱( a ) 性质，但会将降( a ) 空闻映为降弱( a ) 空问 最后本文还对( f ) 空间进行了讨论，得到了关于降。一( f ) 空间的一个性质 关键词：( a ) 空间；弱( a ) 空间；有限对一映射；伪开映射；降。一( f ) 空间 山东大学硕七学位论文 a b s t r a c t h lm a t h e m a t i c s ，m e t r i cs p a c eh a sb e e nw i d e l y u s e d s o ，m e t r i z a b l es p a c ei sa ni n , - p o r t a n tq u e s t i o ni ng e n e r a lt o p o l o g y d u r i n gt h es t u d yo fm e t r i z a b l es p a c e ，( a ) s p a c e j ( g ) s p a c ea n d ( f ) s p a d 3 a r ef o u n d e d t h e ya l lh a v em a n y 鲫，dt o p o l o g i c a lp r o p e r t i 瞪a n d h a v eb e e ns t u d i e db ym a t h e m a t i c i a n s i l lt h i sp a s s a g e ，t h e r ea r ef o u rc h a p t e r s a n dt h em a i ni d e ai st h ep r o p e r t yo fs o m e k i n d so fs p a e 燃w i t hp r o p e r t y ( a ) c h a p t e rl i si n t r o d u c t i o n i nt h i sc h a p t e rt h eh i s t o r yo f ( a ) s p a c ei ss h o w e da n dt h e d e f n i t i o n so f ( a ) s p a c e ，( g ) s p a c ea n d ( f ) s p a c ea l eg i v e n a n d8 0 m ep r o p e r t i e so f ( 锄 s p a c ea n dm e t r i z - a b l es p a c ec a nb ef o u n d i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s sd e c r e a s i n g ( a ) s p a c e ，u n i f o r m ( a ) s p a c e ，n e i g h b o r h o o d ( a ) s p a c e ，w e a k ( a ) s p a c e ，d e c r e a s i n gw e a k ( a ) s p a c e ，u n i f o r mw e a k ( a ) s p a c e a n dn e i g h b o r - h o o dw e a k ( a ) s p a c e a n dg e tt h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o no ft h e s es p a c e s t h ei m a g eo ft h e s es p a c eu n d e rs o i i l em a p sa r eg i v e ni nc h a p t e r4 w es e et h a t t i mo p e na n dp s e u d o - o p e nm a p sp r e s e r v ew e a k ( a ) s p a c e b u tt h e yc a z m o tp r e s e r v e ( a ) s p a c e c l o s e df i n i t e - t oo n em a p sc a np r e s e r v ed e c r e a s i n gw e a k ( a ) s p a c e i nt h ee n dw eo b t a i nap r o p e r t yi nd e c r e a s i n gd e c r e a s i n g 乜一( f ) s p a c e k e y w o r d s ： ( a ) s p a c e ；w e a k ( a ) s p a ( e ：n n i t e - “h m em a p ；p s m d o - o p e nm a p ；d e c r e a s i n gn 一( f ) s p a c e i i 山东大学硕十学位论文 符号说明 空间 点 集合 集族 映射 空集 正整数集 集合a 中元素的个数 x z u 矿 ， o m 山东大学硕士学位论文 第一章引言 度量性质在分析学中有着广泛的应用，许多常见的空间如数直线r ，n 维欧氏空间舻，连续函数空间，希尔伯特空间等都是度量空间同时度量 空间也是一类重要的拓扑空间类，它给出了许多拓扑概念的适当的直观 描述 定义1 1 f - l 设x 是一个集合，如果对于x 中的任意两点x , y ，可以定 义一个非负值函数，( z ，s ，) 满足： ( 1 )f ( x j 们= 0 当且仅当z = 耖， ( 2 )f ( x ：可) = ，( ! ，z ) ( 3 )f ( x ：掣) f ( x ，z ) + f c y ，z ) ，v z x ，( 三角不等式) 则称f ( x ，y ) 为x 上的度量( 或距离) ，集合x 带有度量，后称为度量空 间( 或距离空间) ，可以记为( 置，) ，或简记为x 度量空间具有非常好的拓扑性质，例如：度量空间是完备正规空间； 度量空间是仿紧空间；度量空间具有盯离散基；紧的度量空间是全有界 的等等( 见【1 】) 定义1 2 f l 】设( 置，) 是度量空间，对于每一个z x ，置最( z ) = 秒： f ( x ，! ) o ：z x 和空集0 为基 叮以形成x 上的一个拓扑这一由度量，导出的x 上的拓扑称为度量拓 扑 由定义1 2 可知度量空间( 墨，) 的度量，可以导出一个x 上的拓扑， 在这个意义下，度量空间是一类特殊的拓扑空间，这类空间的应用很广， 并且可以用开球来表示它的基，在论证中有着很大的直观性，因此人们 自然会考虑“怎么的拓扑空间存在一个可以导出原拓扑的度量”这就是 拓扑空间的可度量化问题 定义1 3 【l 】拓扑空间x 称为可度量化的，如果在x 上存在度量，使 山东大学硕士学位论文 得由，导出的度量拓扑就是x 上的拓扑 从上个世纪二十年代开始，拓扑空间的可度量化问题就成为拓年学 研究中的一个重要问题，1 9 2 4 ，u r y s o h np 给出了u r y s o h n 度量定理( f 2 】) ，给 出了可分的可度量化空间的等价条件，部分解决了可度量化问题之后 又相继出现了n a g a t a - s m i r n o f i 定理( 【3 ，4 】) ，b i n g 定理( 【5 1 ) 等可度量化定 理。在1 9 8 4 年，c o l l i n s 和r o s c o e 得到了一个新的可度量化定理： 定理1 1 f 6 1 丑空间x 是可度量化空间，当且仅当降的邻域( a ) 空间。 在这一篇文章中c o l l i n s 和r o s c o e 对( a ) 空间和( f ) 空间进行了定义 定义1 4 【6 l设矽= ( z ) ：z x 是空间x 上的集族，其中圹( z ) ： ( n ，z ) ：n ，并且z w ( n ，z ) x 对于所有的z ，n 成立如果对于任意 的z x 和x 中包含z 的开集u ，存在一个包含z 开集v = v ( x ，c ，) 和一个 正整数s = s ( z ，u ) ，满足对于v y v 有z w ( 8 ，剪) u ，那么我们说满足 ( a ) 性质如果x 上有一个集族矽满足( a ) 性质，那么我们称x 是( a ) 空 间 定义1 5 1 6 】我们称空间x 中的集族满足( f ) 性质，如果= ( z ) ： z x ) ，每一个缈( z ) 都是由x 中包含z 的子集构成的，并且满足：对于 任意的含有z 的开邻域u ，存在一个包含z 的开集v = y ( x ，c ，) ，对于每一 个y v ，存在w 矽( 秒) ，使得z 仇? cu 如果x 上有一个集族满足 ( f ) 性质，那么我们称x 是( f ) 空间 ( a ) 空间是一类很有价价值的空间，它具有很多良好的性质，如( 1 ) 降 ( a ) 空间等价于b o r g e s 正规空间；( 2 ) 具有伪特征的降( a ) 空间是层空间；( 3 ) 第一可数的降( a ) 空间是n a g a t a 空间等( 见【7 】) 1 9 8 5 年，z o l t f i nb a l o g h 提出了一个新的空间定义为( g ) 空间： 定义1 6 【8 l空间x 上有一个集族= ( z ) ：z x ，其中( z ) = ( n ，z ) ：他 ，并且z w ( n ，z ) x 对于所有的z ，n 成立如果对于 2 山东大学硬十学位论文 忱x 和x 中包含z 的开集u ，存在一个开集v = y ( z ，u ) 包含z ，满足对 于掣l 存在某个w ( 可) ，使得z w u ，那么我们说满足c o ) 性 质如果空间x 上有一个集族缈满足( g ) 性质，我们称x 是( g ) 空间 本文重点研究了( a ) 空间和具有( a ) 性质的空间上的一些性质，这些 性质中有一部分在( g ) 空间中也是成立的在本文的最后，我们对( f ) 空 间的性质也略做了一些讨论 注：在以下的章节中，为了讨论的方便，我们认为所涉及到的拓 扑空间x 均为矸空间 3 山东大学硕士学位论文 第二章( a ) 空间及其推广 2 1 背景知识 在第一章我们介绍了( a ) 空间的定义，如果在其中的集族上加上 不同的限制就可以得到下列空间 定义2 1 11 9 1 设是( a ) 空间x 上满足( a ) 性质的集族，如果对于 v n ，z 有( n + l ，z ) w ( u ，z ) 则称x 是降( a ) 空间 定义2 1 2 1 9 1 设矽是( a ) 空间x 上满足( a ) 性质的集族，如果对于 v n w 伽，z ) 都是包含z 的开集，则称x 是开( a ) 空间 定义2 1 3 1 9 1 设纱是( a ) 空间x 上满足( a ) 性质的集族，如果对于 v n w ( n ，z ) 都是z 的邻域，则称x 是邻域( a ) 空间。 定义2 1 4 1 1 1 设是空间x 上的集族，如果对于x 中一点z 和z 的 任意开邻域u ，存在中的一个元素a ，使得z acu ，那么我们称 是点z 的网。 定义2 1 5 f 9 | 设缈是( 以) 空间x 上满足( a ) 性质的集族，如果( z ) 中 的任意尢限子集族是z 的网，那么我们称x 是一致( a ) 空间 根据上面的定义，我们可以得到关于这几类( a ) 空间的一个关系图： 开的降( a ) 空间 一 邻域降( a ) 空间 一 降( a ) 空间 ili 开的一致( a ) 空间一邻域一致( a ) 空间一一致( a ) 空间 土ll 开( a ) 空间邻域( a ) 空间， ( a ) 空间 1 9 8 5 年z o l t d nb a l o g h 在( ( t o p o l o g i c a ls p a c e sw i t hp o i n t n e t w o r k s ) ) 中给出了 关于降( g ) 空间的一条重要性质：降( g ) 空间是仿紧空间( 见【8 ，1 0 】) 从( g ) 空间的定义，我们很容易看出，如果x 是( a ) 空间，那么它一定是( g ) 空 4 山东大学硕十学位论文 间所以有下面的结论： 引理2 1 1 降( a ) 空间是仿紧空间 理解引理2 1 1 时用的会用到以下两个定义： 定义2 1 6 f 1 】设罗= r ：n a ) 是空间x 上的集族，如果对于每一个 z x ，存在z 的一个邻域u ，使得c ，n r 国仅对有限多少个口成立，则 称夕是局部有限的集族 定义2 1 7 i t l拓扑空间x 称为仿紧空间，如果x 的每一个开覆盖具 有局部有限的加细开覆盖 ( ) 性质是一种相对较强的性质，如果我们适当的放宽一下条件，就 可以得到弱( a ) 性质： 定义2 1 8 设= ( z ) ：z x 是空间x 上的集族，其中( z ) = ( n ，z ) ：n ，并且z w ( n ，z ) x 对于所有的z ，n 成立如果对于任 意的z x 和x 中包含z 的开集u ，存在一个包含z 开集v = y ( z ，u ) 和 一个有限的正整数集s = s ( z ，f ) ，满足对于i 厂，存在某个s s ，有 茁弭，( s ，夕) u ，那么我们说满足弱( a ) 性质如果x 上有一个集族 满足弱( a ) 性质，那么我们称x 是弱( a ) 空间 同样，对应与定义2 1 1 ，2 1 2 ，2 1 3 ，2 1 5 ，我们可以相应的定义下列空 间： 定义2 1 9 设圹是( a ) 空间x 上满足弱( a ) 性质的集族，如果对于 v n ，z 有w ( n + 1 z ) ( n ，z ) 则称x 是降弱( a ) 空间。 定义2 1 1 0 设缈是( a ) 空间x 上满足弱( a ) 性质的集族，如果对于 v n w ( n z ) 都是包含z 的开集，则称x 是开弱( a ) 空间 定义2 1 1 1 设锣是( 以) 空间x 上满足弱( a ) 性质的集族，如果对于 v n w ( n ? z ) 都是z 的邻域，则称x 是邻域弱( a ) 空间 定义2 1 1 2 设矽是( a ) 空间x 上满足弱( a ) 性质的集族，如果( z ) 5 山东大学硕士学位论文 中的任意无限子集族缈7 是z 的网，那么我们称x 是一致弱( a ) 空间 相同的，我们也可以做出弱( a ) 空间的关系图： 6 开的降弱( a ) 空间一邻域降弱( a ) 空间 降弱( a ) 空间 开的一致弱( a ) 空间一邻域一致弱( a ) 空间一一致弱( a ) 空间 开弱( a ) 空间 一 邻域弱( a ) 空间 一 弱( a ) 空间 山东大学硕十学位论文 2 2 主要结论 定理2 2 1 空间x 是降( a ) 空间当且仅当x 是满足局部降( a ) 的仿紧 空间 证明：必要性由上一节的引理2 i 1 我们知道降( a ) 空间是仿紧空间， 现在我们只需要证明降( a ) 空间是局部降( a ) 空间 对于x 中的任意开集u ，令圹= 圹k ) ：z ，其中协) = 缈( z ) r c 厂= wnu ：w ( z ) ，将w ，( n ，z ) nu 记为协，z ) ，因为x 是降( a ) 空间，所 以彬( n + 1 ，功cw ( n ，z ) ，因此有协+ 1 ，z ) cw 7 ( n ，z ) 对于任意的z 和u 中 包含z 的开集h ，因为u 是开集，所以h 是x 中包含z 的开集，所以存 在开集y ( 上，日) 和正整数s ，使得对于v y v ( z ，日) ，有w ( s ，暂) 圹( 剪) ，满足 z w ( s ：秒) ch 令v = v ( x 日) nu ，对于任意的。v 有，：v ( x ，日) ，所以 存在w ( s ，z ) 缈( z ) 满足z ( s ，z ) ch ，即存在w 协，z ) 他) ，w 小，：) = w ( s ，z ) nu 满足z w ( s ，z ) ch ，所以x 是局部降( a ) 空间 充分性由已知条件，可以取空间x 的一个局部有限的开覆盖形，对 于每一个h ，形，有h = h ( z ) ：z h 满足降( a ) ，矽h ( z ) = w h ( 扎，z ) ： 竹u ) 。令罗= 丹，：h 澎 是形的闭加细f hch 令统= ：z f ，) ， 因为x 是仿紧空间，所以级是有限的。现定义w ( n ，z ) = n ( w 玎( n ，z ) ：h 玩 ，( 。) _ ( m z ) ：礼。 ，圹= 矿( z ) ：z x ，那么( z ) 是町数的，并 且h 7 ( n + 1 z ) cw ( n ，z ) 现在来证明y 够满足( a ) 性质。 对于忱x ，任取x 中包含z 的开集u ，令g = u nh 。n n 风n ( x u 助：z 岳助 ) ，其中凰现，1 = l 娩i 显然g 是包含z 的开集并且对 于每一个t ( 1 f n ) ，gc 皿令v = y ( z ，u ) = v 日t ( z ，g ) n n y 风( z ，g ) ， 对于每个日f ，y 皿( z ，g ) 是风中，由z ，g 决定的开集，那么存在正整数 s 产s i ( x g ) ，使得对于v y i 有h t ( 毛，! ，) 存在，满足z w n , ( s ，) cg cu 山东大学硕士学位论文 令舶= r a i n s i ，可知s o 由z 和g 决定耖v 必有y g ，那么可知ye 弓 必有z 弓，因此绲= 级，不妨设磊= h t ，h 七 ，七玑v u v ，有 z w ( s o ，) = n w h , ( s o ，掣) ：趣既 ( g 二一u 因此，矽满足( a ) 性质 引理2 2 1 如果空间x 是降弱( a ) 空间，则空间x 是仿紧空间 证明：因为降( a ) 空间是降( g ) 空间，所以可知降弱( a ) 空间是仿紧空 间 推论2 2 1 空间x 是降的弱( a ) 空间当且仅当x 是满足局部降弱( a ) 性质的仿紧空间。 证明：必要性由引理2 2 1 知，降弱( a ) 空间是仿紧空间降弱( a ) 空 间显然是局部降弱( a ) 空间( 诩：明与降( a ) 空间的局部降( a ) 性质的证明 方法相同) 由此可知必要性是显然成立的 充分性由已知条件，我们可以取得空间x 上的一个局部有限开覆 盖澎，对于每一个h 澎，有= 矽h ( z ) ：z 日 满足降的弱( a ) 性 质，形h ( z ) = ，阿( n ，z ) ：n u 令岁= f x ：h 第 是形的闭加细，其中 助c 日。取玩= 日：z 厢) ，由空间x 的仿紧性可知磊是有限的。现定义 i y ( n ，z ) = n w h ( n ，z ) ：h 爰) ，( z ) = i 矿( n ，z ) ：n u ) ，= ) ( z ) ：z y ， 那么矽( z ) 是可数的，并且有w ( n + 1 ，z ) c ( n ，z ) 现在我们来证明w 满足弱( a ) 性：对于比x ，任取x 中包含z 的开 集u ，令g = u n h l u n n ( x u f h ：z 厢 ) ，其中h e 现，n = i 玩i ， 令v = y ( z ，u ) = v t t i ( z ，g ) n ny 以( z ，g ) ，对于每一个厩，v i i i ( z ，g ) 是 在凰中，由z ，g 决定的开集，那么存在由z ，g 决定的有限正整数集 & = s ( z ，g ) ，对于坳v h , 有某个鲍& ，存在w 7 肌( s i ，夥) 矽风( 3 ，) ，使 得z 眠( 鳓，剪) cgcu 成立令s = u i s i ，可知s 是由z ，g 决定的 有限正整数集，即是由z ，【，决定的有限正整数集因为veg ，所以 可v 必有v g ，那么可知y 弓，必有z 弓，因此为c 玩，不妨设 8 山东大学硕七学位论文 既= h i ，t 2 ，凰) ，k n 对于妇v ，令暑o = t i f i n 吼( 1 i 札可知 3 0 s ，我们有z w ( 可) = n n , ( s o ，y ) ：峨羁 cu 因此满足弱( a ) 性质 定义2 2 1 l ：空间x 上的集族岁= ( r ：o t 入 称为是点有限的，如果 对于每一个上x ，仅有有限多少个q 满足z r 定义2 2 2 f - l拓扑空间x 称为亚紧空间，如果x 的每一个开覆盖具 有点有限的开加细覆盖 引理2 2 2 一致弱( a ) 空间是亚紧空间 证明：令汐= o o ：o t k ) 是x 上的一个开覆盖，令= 0 口一u 郇： p q ，显然，对于z x 有且仅有一个耽包含z ，我们将这个q 记为 o ( z ) 现定义= u y ( 奎，仉) ：z 耽 ，因为x 是一致弱( a ) 空间，所以 彩= ：q k 是汐的一个开加细覆盖。要证明x 是亚紧空间只需要证 明彩是点有限的。 现在我们来证明彩是点有限的 假设够不是点有限的，即存在x 中的一个点z ，使得彩中包含z 的 元素有无限多个。取o ( z ) q l q 2 n 。 o ( z ) 矛盾因此彩 是点有限的，所以一致( 以) 空间是亚紧空间 推论2 2 2 一致( a ) 空间是亚紧空间 推论2 2 3 空间x 是一致( a ) 空间，那么x 是满足局部一致( a ) 的亚 9 山东大学硕士学位论文 紧空间 定理2 2 2 空间义是一致弱( a ) 空间当且仅当x 是满足局部一致弱 ( a ) 的亚紧空间 证明：必要性由引理2 2 2 可知一致弱( a ) 空间是亚紧空间现在证 明一致弱( a ) 空间是局部一致弱( a ) 空间 对于x 中的任意开集u ，令= 协) ：z ( ， ，其中b ) = 珍s c x ) n v = n u ：w 缈( z ) ，将彬( n ，z ) n 【，记为w 协，z ) ，取( z ) 的任意一无限子 集族，与它相对应的( z ) 中的无限子集族为y 为z 的一个网，对于z 在u 中的任一开邻域o ，因为u 是开集，所以o 也是z 在x 中的一个开 邻域，因此存在少中的一个元素i ，使得z vco ，取= ynu ，l ， 且有z v 7co ，所以圹是满足一致性的对于任意的z 和u 中包含z 的开集h ，因为u 是开集，所以日是x 中包含z 的开集，所以存在开 集y ( z ，日) 和有限正整数集s ，使得对于v y y ( z ，日) ，存在某个s s ，有 w ( 8 ，可) ( 耖) ，满足z w ( 8 ，掣) ch 令v = v ( x ，圩) nu ，对于任意的：，7 有，z v ( x ，月) ，所以存在某个s s ，w ( s ，z ) ( z ) ，满足z w ( s ，三) ch ， 即存在w ，( s ，z ) 缈( 2 ) ，w 怡，z ) = w ( s ，z ) n u 满足z w ( s ，z ) ( - 日，所以x 是 局部一致弱( a ) 空间 充分性由已知条件，可以取得空间x 的一个点有限的开覆盖形，对 于每一个h 形，有h = 缈h ( z ) ：z 满足一致弱( a ) 性质，矽h f z ) = ( h ( n ，叫：n 。) 令职= 日：z 日 显然或是有限的现定义( z ) = u h c x ) ：h 必 ，那么( z ) 是可数的且是一致的 下面来证明空间x 是弱( a ) 空间对于比x ，任取x 中包含z 的开 集u ，令g = u n 比，其中h i 妩，如= m i n i 取y ( z ，u ) = v - o ( z ，g ) ，那么存 在有限的整数集弘( z ，g ) = s i o 。，s ，使得v y v 有w ( s ，! ，) 存在满足 z ( s ，可) cg c u 因为可g ，所以心蛹那么w ( s i o ，y ) 纱( ) ， 1 0 山东大学硕十学位论文 即存在w ( t l ，y ) = ( s ：o ，可) ，使得z w ( t i ，可) cu ，其中t i 由z 和u 决定 令t = “，则t 中元素的个数由i 驴 和i 确i 决定，因些丁中元素个数是有 限的，且t 中的元素是由z 和u 决定的。因此，空间x 是弱( a ) 空间 定理2 2 3 如果空间x 是满足局部( a ) 的l i n d e t s f 空间，那么空间x 是( a ) 空间 证明存在叮数开覆盖形= 口一，巩， ，风= 风( z ) ：z 峨) 是 日f 中满足( a ) 性质的集族，对于z x ，令i 。= m i n i ：z 风 定义 f 肌( z ) ， z 风，( 1 a ) 彩( z ) ： 一 ”、 【纱矾z ( z ) ：z 隹凰( 1 b ) 矽( z ) = 彩1 ( z ) ，a h , t t ( z ) ，显然( z ) 是可数的比x ，任取x 中 包含z 的开集u ，令g = u f i t t ；。，取y ( z ，) = v h , 。( z ，g ) ，那么存在一个整 数s 缸= s i 。( 丁，g ) ，使得v y y ( z ，) ，有z w h i t ( s i 。，暑，) cg c u ，w 凡( s i ；，y ) ( ! ，) 。即存在w ( t ，! ，) = w h t f ( s 。彭) ，满足z w ( t ，可) cu ，由z 和u 决定。 因些空间x 是( a ) 空间 推论2 2 3如果空间x 是满足局部弱( a ) 性质的l i 礼a l e l 6 f 空间，那么 空间x 是弱( a ) 空间 证明：存在可数开覆盖澎= h 1 j ，甄= ( 风( z ) ：z 凰 是 甄中满足( a ) 性质的集族，对于z x j 令i 。= m i n i ：z 风) 。定义 够c z ，= 二：i三主三： ( z ) = 够1 ( z ) ，彩n ( z ) ： ，显然( z ) 是可数的x ，任取x 中 包含z 的开集u ，令g = u n h 幻取v ( x ，u ) = v h , 。( z ，g ) ，那么存在一个有 限正整数集& 。= & 。( z ，g ) ，使得v y y ( z ，c 厂) ，有s j & ，彳w 日坛( 勺j 秒) c gc u ，w u , ，( s i ，) ( 耖) 。即存在w ( t j ，可) = 峨r ( 勺，) ，满足z w ( t ，y ) cu ， 令t = 幻：与t j 相对应的s j s i , ) 可知t 由z 和u 决定有限自然数集因 些空间x 是弱( a ) 空间。 山东大学硕士学位论文 2 3 小结 由上一节的内容，我们可以对2 1 中得到的) 空间和弱( a ) 空间的 关系图进行补充： 仿紧+ 局部降( a ) 一 亚紧+ 局部一致( a ) l i n d e l o f + 局部( a ) |tl 降( a )一一一致( a ) 一， ( a ) l il 降弱( a ) 一 一致弱( a ) 一 弱( a ) illi f 仿紧+ 局部降弱( ) 一亚紧+ 局部一致弱( a ) 一l i n d e l o f + 局部弱( a ) 由上面的关系图，我们自然有下面二个问题 问题l ：满足局部一致( a ) 性质的亚紧空间是否是满足局部( a ) 性质 的l i n d e l f f 空间? 问题2 ：满足局部一致弱( a ) 性质的亚紧空间是否是满足局部弱( a ) 性质的l i n d e l i i f 空| 日j ? 1 2 山东大学硕士学位论文 第三章几类( a ) 空间的映射性质 3 1 基本概念 定义3 1 1 i 】拓扑空间x 到拓扑空间y 内的映射称为闭映射，如果x 中每一个闭集f 的象，( f ) 是y 中的闭集。 定义3 1 2 【1 拓扑空间x 到拓扑空间y 内的映射称为开映射，如果x 中每一个开集u 的象，( ) 是y 中的开集 定义3 1 3 1 a l 一个映射f ：x y 被称为有限对一映射，如果对于任 意的耖y ，广t ( y ) 是x 中的有限集一个映射，：x l 被称为k 对一映 射，如果对于任意的鲈y ，厂t ( 3 ，) 中有后个元素 定义3 1 4 b 一个映射厂：x y 称为伪开的，如果对于任意可y 和 1 - 1 ( 可) 的任意邻域u ，( u ) 是y 的一个邻域 3 2 主要结论 定理3 2 1 闭的有限对一映射将降( a ) 空间映成降弱( a ) 空间 证明：空间x 是降( a ) 空间，圹= 圹( z ) ：z x ，：x y 闭的有 限对一映射定义h 协：可) = ( u w ( n ，z ) ：z f - i ( 扩) ) ，显然有w + l ，可) c w 可) ，协) = 协，剪) ：川；u 是可数的 下面证明空间y 是弱( a ) 空间 对于任意的可y 和y 中包含的开集u ，令v b ，u ) = y f ( x u y ( z ，- 1 ( 扩) ) ：z f - 1 ( 拶) ) v z v ，有f - ! ( z ) cu y 扛，一( c ，) ) ：z - i ( 秒) 。 设，一1 ( 可) = z l ，丁住 ，v z ( 1 i n ) 存在整数锄，使得v v ( x i ，厂1 ( 【厂) ) 满 足z w ( s i ，后) cf - 1 ( u ) 。令s = s l 一，s 。 ，v u f - 1 ( z ) ，存在z 。f - i ( 妙) ，使得 u y ( z 。，f 一1 ( u ) ) ，满鼻三z 。w ( 8 。，t 1 ) c1 - 1 ( u ) 令s o = l l l a x 8 。：t 1 - 1 ( z ) ，8 0 s ，且可w ，( s 0 名) cu ，s 由可和c ，决定因此，空间y 是降的弱( a ) 空间 1 3 山东大学硕士学位论文 推论3 2 1 闭的有限对一映射将降弱( a ) 空间映成降弱( a ) 空间 证明：空间x 是降弱( a ) 空间，= ( z ) ：z x ，：x 1 7 闭的有 限对一映射定义w ( n ，们= ，( u 仉伽，z ) ：z s - ( ! ，) ) ) ，显然有彤，( n + l ，3 ，) c 7 ( n 。可) ，缈( 耖) = ( 缈，! ，) ：n ) 是可数的 下面证明空间y 是弱( a ) 空间 对于任意的y l 和y 中包含可的开集u ，令矿协，u ) = y i ( x u y ( z ，1 - 1 ( u ) ) ：z - , ( 暑f ) ) ) v z v ，有1 - 1 ( ：) cu y 扛，i - ( c 厂) ) ：z 1 - 1 ) 设1 - 1 ( ! ，) = 和。， ，地 ( 1 i n ) 存在一个有限正整数集s ，使得 v k y ( i - i ( c ) ) ，存在某个s s i 满足z ( s i ，七) ci - 1 ( u ) 令s = u ( & ： l i n ) ，s 是由s ，和u 决定的有限正整数集。v u 1 - 1 ( z ) ，存在z 。1 - 1 ( ! ，) ， 使得札y ( z ，i - ( u ) ) ，满足z 。( 异。，t ) c 厂1 ( u ) 。令s o = 瑚瞰 s 。：u ，一1 ( z ) ，s 0es ，且s ，( s o ，z ) cu ，s 由可和u 决定因此，空间】7 是降弱 ( a ) 空间 推论3 2 2 闭的有限对一映射将邻域( a ) 空间映成邻域弱( a ) 空间 证明：是x 中满足邻域( a ) 性质的集族，：x y 闭的有限对一映 射。v 秽y ，设i - 1 ( 秒) = z ”一，z k ) ，定义( n ”一，n k , ! ，) = ，( ( n l ：z 1 ) u uw ( n 七) ) ， 纱b ) = 7 ( n l ，一，n 七，妙) ： t i a ，矽，( 3 【，) 是可数的。矽7 = 矽锄) ：剪y 满 足邻域弱( a ) 。 定理3 2 2 开的后对一映射将( 月) 空间映为弱( a ) 空间。 证明：空间x 是( 以) 空间，= ( z ) ：z x 是x 中满足( a ) 性质的 集族，：x y 是开的七对一映射对于v y y ，设厂1 ( j ! ，) = z ：，z ：) ， 定义) 7 ( ! ，) = ( i 矿( n ，可) ：7 ( n ，可) = s ( w ( j ，z ：) ) ； = o 一1 ) k + i ；i ，j ；1 i 七 坳y ，任取y 中包含耖的开集u ，令y 7 = ，( y ( z 未厂z ( c ，) ) ) ，因为x 是( a ) 空间，对于z ：x 以及包含z ；的开集厂- ( u ) 存在整数s 1 对于 v z ，厂1 ( z ) ny ( z ；：厂1 ( u ) ) o ，那么必然存在z ：y ( z ；，厂1 ( u ) ) ，使得 1 4 山东大学硕士学位论文 z ；w ( s l ，z ：) cs - 1 ( u ) ，即y w ( t j ，z ) cu ，t = 幻：巧= ( s l 一1 ) k + i ；i ，1 i 七 显然t 由元素的个数由y 和u 决定，是有限的。所以空间y 是弱 ( a ) 空间 推论3 2 2 开的k 对一映射将弱( a ) 空间映成弱( a ) 空间 证明：空间x 是弱( a ) 空间，= ( z ) ：zex 是x 中满足( a ) 性质 的集族，：x _ y 是开的k 对一映射对于v y y ，设厂1 ( y ) = z ；：，z ：) ， 定义缈7 ( ! ，) = ，矿( n ，y ) ：w ( n ，可) = s ( w ( j ，。：) ) ；n = o 一1 ) k +