（基础数学专业论文）关于代数几何码的构造及其渐近界.pdf

摘要 1 9 8 0 年前后，前苏联数学家v d g o p p a 利用代数曲线构造了一种漂亮的线性码 1 9 8 2 年，t s f a s m a n 等人证明了一个惊人的结果：存在渐近好的代数几何码，超过g i l b e r t - v a r s h a m o v 界于是关于标准函数口口 ) 的t v z 界被多人改进 本文主要研究了最大函数域上代数几何码的构造问题，给出了具有指定参数的代 数几何码的一个存在条件，并用同样的方法研究了x i n g ，h a r a l dn i e d e r r e i t e r 和k w o k y a hi a m 给出的推广的代数几何码 关键词：代数几何码，代数函数域，渐近界，最大函数域 3 a b s t r a c t a r o u n d1 9 8 0 ，g o p p ad i s c o v e r e dab e a u t i f u lc o n s t r u c t i o no fl i n e a rc o d e sb a s e do na l g e b r a i cc u r v e s i n1 9 8 2 ，t s m a s m a ne ta 1 p r o v e dt h e r ee x i s ta s y m p t o t i c a l l yg o o dc o d e sa c h i e v - i n gt h et s f a s m a n - v l a d u t z i l l l 【b o u n d ，w h i c hb e a t st h eg i l b e r t - v a r s h a m o v b o u n d i nr e c e n t y e a r st h et s f a s m a n v l a d u t - z i n kl o w e rb o u n do nt h es t a n d a r df u n c t i o n 口口) w a si m p r o v e d b ys e v e r a lm a t h e m a t i c i a n s i nt h i st h e s i s ，w es t u d yt h ec o n s t r u c t i o np r o b l e mo fa l g e b r a i cg e o m e t r yc o d e sf r o mm a x - i m a lc u r v e s w eg i v eac o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fa l g e b r a i cg e o m e t r yc o d e sw i t ht h ep r e ， s c r i b e dp a r a m e t e r s w ea l s os t u d yt h eg e n e r a l i z e da l g e b r a i cg e o m e t r yc o d e si n t r o d u c e db y x i n g ，n i e d e r r e i t e ra n d l a i n k e yw o r d s ：a gc o d e ，a l g e b r a i cf u n c t i o nf i e l d s 。 a s y m p t o t i cb o u n d s ， m a x i m a l f u n c t i o nf i e l d s 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说 明并表示谢意。 作者签名i 斗亘l 日期i 2 蔓坠垒l 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的 学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：丑也 日期： 翌! 量：6 导师签名：翌垒墨坌导师签名： 羔垄苎 日期： 加。矿厶7 1 1引言 第一章基本知识和相关结论 1 9 8 0 年前后，前苏联数学家v d g o p p a 松j 造了一种漂亮的线性纠错码，g o p p a 是用 具有若干有理位的代数函数域来构造的线性码在g o p p a 的构造中，首先选取一个除 子g 和n 个有理位，使得任一个有理位均不属于除子g 的支集，贝, u r i e m a n n r o c h 空间中 的函数在这些有理位的值成为一个长度为n 的码具体映射如下： 妒：段g ) - 焉，h ( 厂( p 1 ) ，f ( p 2 ) ，f ( p n ) ) 现在这种码被称为g o p p a 几何码或代数几何码1 9 8 2 年，t s f a s m a n 等人证明了一个惊 人的结果：存在渐近好的代数几何码，超过g i l b e r t - v a r s h a m o v 界 1 】例如，如果q 4 9 是 一个平方数或口( 5 7 6 2 7 ) s 是一个立方数，则g v 界在一个开区间上被改进正是由 于t s f a s m a n 等人关于代数几何码的漂亮工作，代数几何码很快成为编码理论中的一个 热点 代数几何码的出现使得代数几何码的渐近界的研究成为一个热点在研究的过程 中，又出现了许多构造代数几何码的方式c h a o p i n gx i n g ，h a r a l dn i e d e 淝i 锨和k w o k y a hl a m 提出了两种构造代数几何码的途径其一是运用n 个函数在一个固定有理位的 局部展开，这些局部展开的系数被拿来形成线性码的校验阵【5 ，8 】其二是打破以前用 有理位来构造码的方式，选取任意次数的位来构造代数几何码【6 ，7 】尽管有些构造并 不能产生全新的代数几何码，有些是等价的【7 】，我们只得到一种新码一一推广的代数 几何码但这些方法提供了研究代数几何码的新的角度，使代数几何码的研究有了进 一步的发展 第一掌基本知识和相关结论 一 2 编码渐近理论的一个根本问题是寻找函数够) 的较好下界其中口鼋够) 是码的渐近 理论中的标准函数，即：给定渐近相对最小距离下目元码能达到的最大渐近相对信息率 在非线性码方面，对于6 【o ，1 】已有以下几种渐近界的改进： x i n g 界( 2 0 0 3 ) 1 4 】： 哪) 卜忐“+ e 注：l o g q ( 1 + 净) h n o z b u d a k 界( 2 0 0 4 ) 1 6 】： 州) 卜赢- 6 + l o g q ( 1 + 事x h n 0 z b u d a k 界的进一步改进【1 7 ，1 8 】： m 卜赤一6 + 1 ( 1 + 等) 4 - ， 其中心p ) 是一个复杂的非负函数 这些界的改进都是基于对g o p p a 拘代数几何码的构造作了如下改造而得到的 ( 1 ) 选取r i e m a n n r o c h 空间的一个子集s ，从而使构造的码为非线性码 ( 2 ) 利用高阶导数来构造映射： 妒l ：s _ 瑶，厂h 驴1 ( p 1 ) ，1 ( p 2 ) ，1 ( r ) ) ) ( i n g 界中码的构造选取了如下子集： s = m ，( c d ) ：= f z ( d ) ：妒es ，( c ) ) 其中s ，( c ) 表示以c 为中心，以，为半径i 拘h a m m i n g 球n o 界的改进得益于码的构造 选取了异于x i n g 界的子集，运用组合数学的技巧改进t x i n g 界，很容易证明n c 界 总是好于x i n g 界n o 界的进一步改进只是一个局部的改进，其中在码的构造方面 与x i n g 界唯一不同但却是制胜之处为选取了一个特殊的除子g ，使得对一族正除子d ， 有z ( g d ) = 0 1 本文我们主要对线性的代数几何码进行研究 我们首先介绍一些本文所需的基本知识 1 2 纠错码的基本概念和经典的界 本节主要介绍纠错码的基本知识，详细知识见【1 9 】 第一孝基本知识和相关结论 3 定义1 2 1 巧表示有限域如上的，l 维向量空间e 的每个非空子集合c 都叫做一佃元 码，其c n 霉 l 该码的码长，c 中向量叫做码字 用k 表示c 中码字个数，即k = l c i ，则i k 鼋| 1 k = l o g g 足叫做码c 的信息位数 为实数，0 k n ) ：叫做码c 的效争( 或叫信息率) 定义1 2 2 设a = 0 l ，锄) 和彦= ( b l ，) 蠲中两个向量，则向量a 的h 锄血n g 权 ( w e i g h t ) 定义为非零分量口f 的个数，表示成w 0 ( 园，即 w ( a d = 1 1 1 i l l isn ，a i 0 1 而向量a 和彦之间的h 咖i n g 距离是指它们相异位的个数，表示成妇似，功，即 妇( 五两= # i l l i 万，a i b i 定义1 2 3 设c 是码长为刀的g 元码( 即c 为嵋的非空子集合) ，k = i c l 2 ，定义c 的最 小距离为不同码字之间h a m m j n g 距离的最小值，表示成以c ) ，即 d = d ( c ) = 如l i n 烈苞孑) l 己c ，孑1 一个有限域f q _ l ：的q 元纠错码c 有以下3 个参数 码长n ， 码子个数k = i c l ( 或用信息位数k = l o g 口回，0 k 咒) ， 最小距离d = d ( c ) ，0 d 忍 我们把这个纠错码表示成( 咒，墨田曰或者m ，k ，切口，( 万，墨西9 ，i n ，k ，明口分别对应非线性码和 线性码 定义1 2 4 向量空间e 的一个b 上的线性子空间c 叫做留元线性码即孵的一个非 空子集合c 叫做譬元线性码，是指若苞? c ，则对任意a ，a f 口，均有口才4 - a ，c 记七= d i m v , ( c ) ( f q - 向量子空间c 的维数) 则k = i c l = 矿 引理1 2 1 对于线性码c ，吠a = m i n w ( c ) 1 0 己c ，即d 为c 中所有x 一1 个非零码 字c 的h a m m i n g 权的最小值 定理1 2 1 ( h a m m i n g 界) 如果存在窖元码( k , a 9 ，则 矿墨叫博 第一章基本知识和相关结论 定理1 2 工( s i n g l e t o n 界) 如果存在口元码c ，1sd 万一1 ，则 k 矿卜“1 即n 七十d 一1 定理1 2 3 ( 二元码的p l o t l d n 界) 如果存在二元码，瓦d ，并且材n , 9 4 七偿翻 - 1 ，耋x k 妻孚嚣【2 ，当为奇数时 1 3 码的渐近理论和代数函数域 4 首先给出码的渐近理论的相关知识，详细见【l 】 对于定义在f 口上的线性码c ，我们分别用以( c ) ，妖c ) ，政c ) 表示码c 的长度，维数和最 小距离 嘴是序对 固r 2 的集合，使得存在一族上的线性码的无穷序列c 1 ，c 2 ， 当n ( c i ) 叶o o 时， 扯m l i r ad 厅( ( 万c i ) 尺= 舰丽k ( c i ) 命题1 3 1 存在一个连续函数口妒 ) ，6 【o ，1 】使得 u = 励r 2 ：0 r 口( 6 ) ，0 6 1 另外，吩( o ) = 1 ，哆p ) = o 又十- t - 6 【譬，l 】，口p ) 在【o ，譬】上递减 对于0 6 1 ，定义鸟元熵函数 ( d = 5 1 0 9 q ( q 1 ) 一d l o g q 一( 1 5 ) l o g q ( 1 6 ) 令如y 国，d = 1 一峨 ，则g v 界为 哆m 断。，孚) 下面介绍代数函数域的相关知识，详细见【l 】 定义1 3 5 l 如个元素的有限域，其中g 是素数p 的幂次，有理函数她( 力是b 上关于 自变量x 的有理函数全体构成的域，即 日= 舞，占b m ：g ( 劝。) 第一孝基本知识和相关结论 5 设l 为包含k 作为其子域的域，则l k 称为域的扩张考虑l 作为k 上的向量空间，它 的维数称为l k 的扩张次数，记为陋：网若 l ：网 0 所以位尸的剩余类域砟= 啡m p ，它是k 的有限次扩域，所以我们有 定义1 3 9 域的扩域昂k 的次数称为位p 的次数，记为d e g p 定义1 3 1 0 ，k 的次数为1 的位p 被称为f k 的有理位，等价地说，p 是有理位p 的剩 余类域。等于x 第一聿基本知识和相关结论 6 定义1 3 1 1 州k 是k 上的代数函数域，除子d 是一个和，d = p ，y n t , p 其中唧z 除了有 限多似的位尸，n p = o 所有除子的集合记为d ， 对于除子d = n t , p ，d e g d = d e g p p f脚。 定义1 3 1 2 一个非零元素，f 对应的除子定义为= 善尸，和式取遍所有 的f 的位p ，称为主除子 定义1 3 1 3 i t s , - - 乎d = 唧p 被称为正除予，即d o 如果饰芝0 ，对所有位p p f 对于一个除子d ，我们考虑下面的集合 以d ) = f f 0 1 1 ( f ) + d 0 u 0 这是k 上的有限维向量空间，其中d 的维数d i m d 记作d i m x 以伪 定义l o 1 4 卿1 _ - - ：f p 称为吖k 的主除子群它是研的子群，从而可定 义吖k 的除子类群 c ，：= ：d f 字 f c ，中的元素记作【d 】，其中d ：d f 次数为d e g t d = d e g d 两个除子d “现称为等价，若存在非零元素f f 使得d l 一仍= 珲：= d d f ：d e g d = o l 表示f k 的零次除子群定义i f ：= 砩尹f = 【d 】，d e g d = o ，d d ，l 。令 ( ，) 表示函数域f 的除子类数，定义为h ( f ) 7 - l j f i 存在常数，z 使得对所有的除子a 所，有 d e g a d i m a y 所以有 定义1 3 1 5 函数域州k 的亏格定义为 g1 - - - - _ m a x l d e g a d i m a + 1 ：a d ， 亏格是函数域中最重要的不变量在以上亏格的定义中，令a = 0 ，贝j j d e g ( 0 ) 一 d i m ( 0 ) + 1 = 0 ，所以g 0 第一章基本知识和相关结论 定义1 3 1 6 函数域州k 的础跆是指一个映射 口：p ，一只p 卜o t p 满足对几乎所有的p 砟有口p o p ( 即只有有限4 , a p 垡o e ) 舅，：- - 口：口是州k 的a d e e 称为f k 的a d e l e 空间砒所，定义 y l f ( a ) ：- - 口舅，：v p ( o r ) 一印似) ，对所有的p p ，1 7 显然，y l r ( a ) 为贝，的足一予空间 定义1 3 1 7 函数域的w e i l 微分是指一个肛线性映射t o ：舅f 一匠满足对某个除 予a d ，在y i f ( a ) + f 上消失( 即w ( y i f ( a ) + ，) = 0 ) 定义 q ，：= 叫：叫为可k 的w e i l 微分1 q ，为k 上的模，称为f k 的w e i l 微分模对a d ，定义 q f ( a ) ：- - - - - q ，：t o 在y i f ( a ) + f 上消失 为了将w e i 撒分u o 与除子联系起来，考虑如下除子集合 m ( ：- - a d f ：0 1 在y l f ( a ) + f 上消失1 设0 叫q ，则存在唯一除子w m ) ，使得对任意a m ( t o ) 有a w 记与1 , 0 相对 应的这个除子w 为( 神 定义1 3 1 8 除子w 被称a g f k 的任意一个典范除子，如果对某个叫q ，有w = ( ) 定理1 3 4 ( r i e m a n n r o c h 定理) 设w 为州k 的典范除子则对任意a d ，有 d i m a = d e g a + 1 一g + d i m ( w a ) 由r i e m a n n r o c h 定理，我们可以得到如下重要定理 定理1 3 5 对于任意的除d r - d ，有d i m d d e g d + 1 一g - ： i d e g d 2 9 一1 时，等号成立 第一聿基本知识和相关结论8 下面给出代数函数域州f 口的f 函数的一些知识参考文献【1 1 】用代数曲线的语言 给出t f i f 鼋的函数，而代数曲线与代数函数域的关系详见【9 】 对于亏格为g 的代数函数域f 几，对于f 1 ，令 7 ：f 是，f 口的次数为f 的位的个数 a 表示次数为i o 的所有正除子的个数则a o = 1 ，a l 是州玛的所有有理位的个数， 令n 是f g 有理点的个数，a o a l = n f f q 眦函数定义成如下的幂级数 z ( 丁) ：= y a f ， 面 乒函数可以写成如下的一个有理函数 z c 耽= 鼎 其中以r ) 是次数为2 9 的整系数多项式以丁) 的所有根的倒数的绝对值都为锕以r ) 被 称为是州瓦的厶多项式 以r ) = a o + 口l 丁+ + a 2 9 t 2 9 z 【r 】 其e e o o = 1 ，a l = n 一( 口+ 1 ) ，口2 暑= 矿，嗡i = g r a i 这个函数同样可以表达成如下形式 z ( 丁) _ e x p ( 羔和 i = i 1 4 代数几何码及其渐近界的改进 代数几何码的相关知识详见【1 】，下面只给出其构造及参数 ，b 是亏格为g 的代数函数域，p l 一，r 是其，1 个不同的有理位，选取一个除子g ， 使得sz 仰( g ) n p 1 ，r ) = 饥则o 对所有的1 f 万，任取，z ( g ) ，定义如 下映射 妒：以g ) _ e 厂hf f ( p o ，八p 2 ) ，八r ) ) 映射妒的象形成的嵋的子空间被定义为代数几何码，记为c ( 尸l ，巴；g ) 第一事基本知识和相关结论 9 命题1 4 2 州f q 是亏格为g 的代数函数域，p l ，r 勋个不同的有理位，选取一个除 子g 满恕d c 甙g ) g ，( 二) a 一 1 是实数，l 是正整数假骷是正实数使得o o r 1 一如n 是整 数，则 割”妒 ( 2 ) 钿是正整数，0 6 1 是实数使釉n 是整数，则 ? 聊， 命题1 4 5 钾满足o 1 + a 1 喝c 寺舢 我们定义函数 。矗= 吾+ 2 ( 1 0 9 哼2 ) 2 ( 2 ) 贝j j a ( x ) e x ( d ，1 ) 是连续且严格递增的，所以反函数存在另外对于任意的实数“ 【0 ， + 2 l o g q2 7 维a c x ) = m 存在唯一的解 定义函数h q ( y ) 如- f ： 眇悟 如果o ) ， 素， 否则 则k 劬是良好定义的且在区间( o ，斋) 上连续 定义函数 尺国，6 ) ：= 1 - 6 - x 1 + l h q ( 1 + l 。岛彳等) - a l o 岛2 ) 飓 ) 定理1 4 6 若a a ( g ) 是正数，则对于任意的o 6 o 的代数函数域，对于o s l 2 萼2 a ： ) t i -t)-h(q-矿1)s-1 q e t 2 s + r 1 a ：t f 命题1 4 9 令州l 是亏格为g o 的代数函数域，对于o s n = ：1 葛i - - o 2 a i _ 2 = 石h ”1 莩煮+ 万s - 1 懈州， 1 2 第一章基本知识和相关结论 其中w l ，w 2 9 y 黾j l - 多项式厶( r ) 的2 9 个根的倒数，特别地有 a p 予璺学 c l 一昙，r 1 ( 对于任意的lsi 幻4 - s 一2 ) 1 3 令尹= p 1 ，p 2 ，r l 是代数函数域州匕的有理位的集合，对于两个正整数t ，z 满 足z 纠 巩( 竹= d 羁：d 尸1 t 1 。p 。e 。- 一 p a 4 f j ( 约= h + d ：日, 9 i t ，d s 1 1 ( 尹) 1 帆( 劝的个数记为地f ( 叨，巩( 卿的个数为( ：) 与命题1 4 3 一样我们有命题 命题1 4 1 0 4 f i f q ，是亏格为g 的代数函数域，尹= 只，b ，焉 是有理位的集合 4 - t ，z 是两个非负整数z n ，t + z g ，若坂，( 卿小于除子类数允则存在次数为f + z 的除 子g 使得s u p p ( g ) n 尹= 0 且c 伊；g ) 是上的一个i n ，k ，棚线性码满足 k = i ( g ) d e g ( g ) 一g + 1 = t + l g + 1 ，d n 一1 + 1 另夕卜，- 若d e g ( g ) 2 9 一1 ，则七= d e g ( g ) 一g + 1 由上述结果可知关键是找帆f ( 功一个的更好的上界 引理1 4 7 慨( 卿= 圭( o f ) a 暑 推论1 4 4 尹是如上定义的有理位的集合，则 蛳鼍磐掣乳卜1 引理1 4 8 令州b 是具有以个有理位的亏格为g 的代数函数域，对于两个非负整数z ，f 满 足咒，z + l g ，只要 三墨等吝g + n 0 c g l ，广卜卜l 1 就存在上的鸟元线性码满足 k = l ( g ) d e g ( g ) 一g + 1 = t + 1 一g + 1 ，d 以一1 + 1 第一章基本知识和相关结论 1 4 定理l 4 7 代数几何码达到g - v 界，对任意的o 6 1 一昙 注此定理的证明由g v 界，找到必要的参数，只要运用命题来说明存在这样的码满 足条件即可 参考文献【1 2 】将参考文献【1 1 】中的思路运用到最大函数域上，得到了以下主要结 论 定义1 4 1 9 亏格为g 的代数函数域州f 被称为最大的，若有理位的个数= ( ，) 的个 数b _ j 1 h a s s e - w e i l k 界，即 n = 矿+ 1 + 2 9 q 则对于最大代数函数域 以丁) = ( q t + 1 ) 2 s ，h = 以1 ) = ( 1 + 咖2 9 所以 引理1 4 9 令州f 是亏格为g 的最大函数域，则 得到 由于 所以得到定理 扯副2 ；g g1 q z ( k + 1 旱- o ，其懈2 9 掣= 丕胤( a = 互i = t 卜c 主i = o ( 书矿譬筹字， ，+ 、，1 、_ ， 定理1 4 8 令州脚是亏格为g 的具有咒= 矿+ 1 + 2 9 9 个有理位的最大函数域若 骞( ，：j 嚆，c 一c 善r ( 习矿譬筹 ，( 伊，l 一1 ， = c g + 1 一 则存在吩的浙，毛胡线性码满融= l + t g + 1 ，d 之携一z + 1 随着g o p p a 几何码的发展，又出现了推广的代数几何码的构造及其参数研究，以下 构造见文献【7 】 第一章基本知识和相关结论 1 5 令尸l ，只是不同的位，f l d e g ( p i ) = 岛，除子g 满足s u p p i g n 一，p ，l = 0 ，c l 一，g 是 n i ，岛，蝴线性码且有f 9 线性映射7 1 i ：f 乒_ g 令n = 竞? i 考虑线性映射 i = 1 7 1 ：以g ) _ 巧 ，h 确锨尸1 ) ) ，以吹只) ) ) ，r 的象称为推广的代数几何码，记为c ：= c ( p 1 p s ；g ；c 1 g ) 下面我们来看推广的代数几何码的渐近界及其改进，见参考文献 1 3 1 。 定理1 4 9 g 是素数幂次，则对于w 【o ，r q ( 2 ( 1 + 锕) ) 】，则存在一组长度为啦，维数 为岛，最小距离为盔的推广的代数几何码的无穷序列，使得d i n i 一最k i n i 一尺且满 j 淑r l ：= l 一2 6 1 ( 留一1 ) 文献 1 3 】运用了文献【1 0 】的方法对对尺l 进行了改进得到心，主要结果如下： 令州b 是亏格为g 的代数函数域，州匕上的次数为2 的价位，表示为p l ，b ，令凡m 是 整数使得s m ，m 是偶数 s 埘( p l ，b ) ：= p e ，p + d i l ；，尸r ，z v e t d e g ( p ) = m ，d 是次数为s m 的正除子 m 历= l s 朋i 命题1 4 1 1 令州f q 是亏格为g 的代数函数域，p 1 ，1 2 ，p r 是_ f f q 上的次数n 2 n 位， 文小是正整数，m 是偶数，使得m m i n s ，2 r e s g 令c 1 ，g 是 2 ，2 ，1 1 q 线性码， 若 厶 0 所以结论成立 在最大函数域州脚上，如有如下一些结论 a 1 = a 七= a k =坠堂罕婴(七29一1)1 口2 一 ”。一 - ， 1 7 研 妻一 + 衙 妒 矿 勰 ；磁七蜕七瑚七神 0 田 妻一 十 田 p 矿 妻一 一 毋 一 ， 瑚 第二聿最大函数域上的代数几何码 对于最大函数域，耳，文献【1 2 】中由于定理1 4 8 是由引理1 4 9 直接得到，而引理1 4 9 只 对忌幻成立 所以当k 2 9 时 引理2 1 1 0 令吖f 是亏格为g 的最大函数域，则 a 妒= 姜卜1 ，妒c 骞( 习矿可矿( i + l - r ) - 1 ，( 2 二0 + 圣k 。c 一- 广一( 1 + q ) 2 孑g ( q - = 撕- 广_ s + d _ 1 ) k 二j 证明： a 扣 善c - | ) 2 9 - - i a i ( 2 9 2 弘磊k ，卜叫七二j 芸c 州驯c 言( 习矿鲁，( 幻s ) + 丕k 。卜l 尘型萼车竿型( 七二j 所以有命题 命题2 1 1 3 令，f 乒是亏格为g 的具有n = 矿+ 1 + 2 9 9 个有理位的最大函数域若 孔n 胯2 9 叫q 台ii 2 歹x j 矿鲁，( 忍幻- l 一- ，j ) +i艺(-l蛐铲=2g + l 1 e 二；二 h = 固+ i ) 2 s 则存在的i n ，k ，切线性码满融= “t g + l ，d n z + 1 证明：由命题1 4 1 0 知 若尬，小于除子类数h ，则存在i n ，k ，切线性码满足 k = 故g ) d e g ( g ) 一g + 1 = t + z g + 1 ，d n z + i 而由引理1 4 7 知 所以由引理2 1 1 0 可得命题成立 慨= 厂， 一i _ - - ( 1 、n 7 i a ( n _ 第二幸最大堕耋堕兰丝丛耋丝笪堡 1 9 - ：_ _ _ - _ i _ _ _ _ l _ _ _ _ _ - _ l - _ _ _ - _ - - _ 。_ 。o 。o 。一 。 2 2 最大函数域上的推广的代数几何码 l i 若m2 2 1 4 州b 的$ - - z e 细函数是z ( 曲( r ) = e x p ( i n ( f ：q ) l t + 萎心产r ) 命题2 2 1 5 对于代数函数域f f 孽，有下列等式成立： 、 z ( r ) = z ( r ) ( 1 一r ) 知e 2 5 r 其中o s 0 0 证明：因为寥d ( ，) = e x p ( i n ( f q ) i t + 量幽产) ，所以 趔曲( r ) = l 眠) i n i n f i - 2 s 未i ( f q ) l r + 艺掣严地艺孚 越 = 2 = 9 掣t + 2 s l n ( 1 一r ) + 2 s t i v i , p i tf li 一个、 一 。 ， 冒1 l i = = i n z ( t ) + 2 s l n ( 1 一r ) + 2 s t = i n ( z ( t ) ( 1 一r ) 2 。) + 2 s t 所以z 2 s ，则( 弩) 看作o 证明：因为z ( d ( x r ) = z ( 五r ) ( 1 一r ) 2 5 萨订，所以 宝舻=c弘喀叫饲丁呗艺和?n- - of = o户ol = o = c k = o c 娶池( 爿内c 艺l = o 鲁乃i + i = 七 、。7 = 艺( ( 池 书簪归一 一； 越 扫一 堇i ； 甜 = 第二孝最大函数域上的代数几何码 所以a = ( ( - l 泓f ( 书掣) h l = n “i = k “。“ 所以对于最大函数域有 命题2 2 1 7 对于亏格为g 的最大代数函数域州f 乒和非负整数s ( 州耳) ，有 非k + l = n 阻i - - - o1 嚷睁鲁仁培廿 令尬朋：= ， 令s 是次数为2 的s 个位的集合， 巩是所有次数为z 的正除子的集合， 司曲是所有次数为z 的正除子且支集与s 不相交的集合 对于1 是偶数，尹是所有次数为2 的位的集合，定灿j 伊) 是所有正除子d 的集合使得 d 蹦，尸且咖( d ) = 1 对于l 是非负整数，m 是非负偶数，0 i 1 2 ，令m 朋= h + d i d 凡+ 2 f ( ( 纠) 日 巩一2 i ，s u p p ( h ) n ( 尹一s u p p ( d ) ) = m l ，对于0 i j z 2 ，有朋mn i = 西，所以 幽 m l m = 乙m l 渺 若铆p = i 羁5 i ，是f b 上的次数为2 的位的个数，则 i ( 功i - m 2 + rd ) a 2 伊。 所以， 尬朋= 篓( m 2 r + 矿l 卜( r - 复m 伊p 上述结论的证明见参考文献 1 3 】，所以得到 命题2 2 1 8 令f f 矿是亏格为g 的最大代数函数域，p i ，t 2 ，p ，是州上的次数为2 的 位，4 c l ，c r 是【2 ，2 ，1 】线性码，若 窆i = o 乙，2 r + 0 ( 磊复【茗c 一1 户委( 习矿譬篝 ( 打- 七一m 歹- 2 7 + 驴k 卢警铲( 打- m - 2 7 】导) 一o 2 9 ， 则存4 生- 2 r , k ，切线性码c ( 一一，p r ；g ；c 1 ，c ) ，有七l + m g 1 ，d ，一罢+ 1 第二章最大函数域上的代数几何码 证明：由命题1 4 1 1 知 若尬朋小于除子类数h ，则存在【2 r ，屯司线性码满足 而 七= m + z g + l ，d r 一墨+ 1 m l m - 篓( m 厶乒铲。 所以由命题2 2 1 7 可得命题成立 2 1 参考文献 【1 】m a t s f a s m a na n ds g v l a d u t , a l g e b r a i n - g e o m e t r i cc o d e s ，b e r l i n ，g e r m a n y ： s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 3 【2 】a g a r c i aa n dh s t i c h t e n o t h ，a l g e b r a i c f u n c t i o n f i e l d so v e r f i n i t e f i e l d sw i t hm a n yr a t i o - n a lp l a c e s ，i e e et r a n s i a f t h e o r y , v 0 1 4 1 ，n o 6 ，p p 1 5 4 8 - 1 5 6 2 ，n o v 1 9 9 5 【3 】y i h a r a , s o m er e m a r k so nt h en u m b e ro fr a t i o n a lp o i n t so fa l g e b r a i cc u r v e so f f i n i t e f i e l d s ，j o u m f a c s c u n i v t o k y oi a ，v 0 1 2 8 ，p p 7 2 1 7 2 4 ，1 9 8 1 【4 】v g d r i n f e l d ，s g v l a d u t , t h en u m b e ro fp o i n t so fa na l g e b r a i cc u r v e ，f u n c t i o n a l a n a l a p p l 1 7 ，p p 5 3 5 4 ，1 9 8 3 【5 】c e x i n g ，h n i e d e r r e i t e ra n dk y l a m ，c o n s t r u c t i o n so fa l g e b r a i c g e o m e t r yc o d e s ， i e e et r a n s i n f t h e o r y , v 0 1 4 5 ，n o 4 ，p p 11 8 6 - 11 9 3 ，m a y 1 9 9 9 【6 】h n i e d e r r e i t e r , c e x i n g ，a n dk y l 孤玛an e wc o n s t r u c t i o no fa l g e b r a i c - g e o m e t r y c o d e s ，i na p p l i c a b l ea l g e b r ai ne n g i n e e r i n g ，c o m m u n i c a t i o na n dc o m p u t i n ga a e c c ， v 0 1 9 ，n o 5 5 ，p p 3 7 3 3 8 1 ，1 9 9 9 【7 】c e x i n g ，h n i e d e r r e i t e ra n dk y l 撇，ag e n e r a l i z a t i o no f a l g e b r a i c - g e o m e t r yc o d e s ， i e e et r a n s i n f t h e o r y , v 0 1 4 5 ，n o 7 ，p p 2 4 9 8 2 5 0 1 ，n o v 1 9 9 9 【8 】eo z b u d a ka n dh s t i c h t e n o t h ，c o n s t r u c t i n gc o d e sf r o ma l g e b r a i cc u r v e s ，i e e e t r a n s i n f t h e o r y , v 0 1 4 5 ，n o 7 ，p p 2 5 0 2 2 5 0 5 ，n o v 1 9 9 9 【9 】h s t i c h t e n o t h ，a l g e b r a i cf u n c t i o nf i e l d sa n dc o d e s ，b e r l i n ，g e r m a n y ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 3 参考文献 【10 】c p x i n g ，a l g e b r a i c - g e o m e r yc o d e sw i t ha s y m p t o t i cp a r a m e t e r sb e t t e rt h a nt h eg i l b e r t - v a r s h a m o va n dt s f a s m a n v l a d u t - z i n kb o u n d s