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江苏省第十七届初中数学竞赛试题初二年级第二试2002年12月22日8：3010：30一.选择题（每7题分，共56分）以下每题的4个结论，仅有1个是正确的，请将正确答案的英文字母填在题后的括号内1下列四个数中等于100个连续自然数之和的是（）A1627384950B。234578910C。3579111300D。46925814702在体育活动中，初二（1）班的n个学生围成一圈做游戏，与每个学生左右相邻的两个学生的性别不同，则n的取值可能是（）A43 B44 C45 D463在ABC中，B是钝角，AB=6，CB=8，则AC的范围是（ ）A8AC10 B8AC14 C2AC14 D10AC144图（1）是图（2）中立方体的平面展开图，图（1）与图（2）中的箭头位置和方向是一致的，那么图（1）中的线段AB与图（2）中对应的线段是（ ）AB图（1）fhagkjdi图（2）Ae Bh Ck Ddh5若a、b、c、为三角形的三边，则下列关系式中正确的是（ ）Aa2b2c22bc0 Ba2b2c22bc=0 Ca2b2c22bc0 Da2b2c22bc06一个盒子里有200只球，从101到300连续编号，甲、乙两人分别从盒子里拿球，直到他们各有100只球为止，其中甲拿到102号，乙拿到280号，则甲拿到的球的编号总和与乙拿到的球的编号总和之差是（ ）A10 000 B9 822 C377 D9 6447如果关于x的不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等到式组的整数对（m,n）共有（ ）A49对 B42对 C36对 D13对8如果x2-x-1是ax3+bx2+1的一个因式，则b的值为（ ）A-2 B-1 C0 D2一 填空题（每小题7分，共56分）9美国篮球巨星乔丹在一场比赛中24投14中，拿来下28分，其中三分球三投全中，那么乔丹两分球投中_球，罚球投中_球。10已知：.11若y1= -x-4,y2=,则12x表示不超过x的最大整数，如3.2=3，已知正整数n小于2002，且，则这样的n有_个。AEDBCG（第13题）（第14题）13ABC中，BD和CE分别是AC和AB上的中线，且BD与CE互相垂直，BD=8，CE=12，则ABC的面积是_.A14如图是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为和4，则直角三角形的两条直角边边长分别为_.（第16题）15已知a2+4a+1=0,且=5，则m=_.16将2、3、4、5、6、7、8、9、10、11这10个自然数填到图中10个格子里，每个格子只填一个数，使得“田”字形的4个格子中所填数字之和都等到于p，那么p的最大值是_.二 解答题（每题12分，共48分）17如果多项式x2-(a+5)x+5a-1能分解成两个一次因式（x+b）、（x+c）的乘积（b、c为整数），则a的值应为多少？18某城市有一段马路需要整修，这段马路的长不超过3500米，今年甲、乙、丙三个施工队，分别施工人行道、非机动车道和机动车道，他们于某天零时同时开工，每天24小时连续施工，若干天后的零时，甲完成任务；几天后的18时，乙完成任务；自乙队完成的当天零时起，再过几天后的8时，丙完成任务，已知三个施工队每天完成的施工任务分别为300米，240米，180米，问这段路面有多长？ADCBACB19ABC中，已知C=600，ACBC，又ABC、BCA都是ABC形外的等边三角形，而点D在AC上，且BC=DC（1） 证明CBDBDC；（2） 证明ACDDBA；（3） 对ABC、ABC、CAB，从面积大小关系上，你能得出什么结论？20一个长方体水箱，从里面量得它的深是30cm，底面的长是25cm，宽是20cm，水箱里已盛有深为acm（a30）的水，现在往水箱里放入棱长为10cm的立方体铁块后，水深多少cm?2002年四川省初中数学竞赛一试一、 选择题（每小题6分，共36分）1、若x1，则|+|等于（ ）（A） 1（B）3-2x(C) 2x-3(D) -22、如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端的滑动距离（ ）8m10m（A）等于1米（B）大于1米 （C）小于1米 （D）不能确定3、设a,b都是正实数且，那么的值为（ ）（A）（B）（C）（D）4、若x1,x2是方程x2+2x-k=0的两个不相等的实数根，则x+x-2是（ ）（A）正数（B）零（C）负数（D） 不大于零的数5、如果等腰梯形的下底与对角线长都是10厘米，上底与梯形的高相等，则上底的长是（ ）厘米。（A）5（B）6（C）5 （D）66、关于的两个方程x2+4mx+4m2+2m+3=0,x2+(2m+1)x+m2=0中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是（ ）（A）-m-（B）m-或m-（C）-m（D）m-或m二、 填空题（每小题9分，共54分）1、 如果y=+2，则2x+y= .2、 设a是一个无理数，且a,b满足ab+a-b=0，则b= .2ABCDE34O3、在一长8米宽6米的花园中欲挖一面积为24米2的矩形水池，且使四边所留走道的宽度相同，则该矩形水池的周长应为 米。4、如图，D、E分别是ABC的AC、AB边上的点，BD、CE相交于点O，若SOCD=2， SOBE=3，SOBC=4，那么SADOE= 。1011511215、如图，立方体的每个面上都写有一个自然数，并且相对两个面所写出二数之和相等，若10的对面写的是质数a，12的对面写的是质数b，15的对面写的是质数c，则a2+b2+c2-ab-ac-bc= .6、ABC的一边为5，另外两边的长恰好是方程2x2-12x+m=0的两个根，则m的取值范围 .三、（20分）某公司生产电脑，1997年平均每台生产成本为5000元，并以纯利润20%标定出厂价，1998年开始，公司国强管理和技术改造，从而生产成本逐年降低，2001年每台电脑出厂价仅为1997年出厂价的80%，但公司却得到50%的利润，求以1997年生产成本为基数，1997年2001年生产成本平均每年降低的百分数（精确到0.01）.(计算时：=1.414, =1.732, =2.236)四、（20分）POCVBAD如图，P是O外一点，PA与O切于A，PBC是O的割线，ADPO于D，求证：PB：BD=PC：CD.五、（20分）将最小的31个自然数分成A、B两组，10在A组中，如果把10从A组移到B组，则A组中各数的算术平均数增加，B组的各数的算术平均数也增加，问A 组中原有多少个数？ 2002年全国初中数学竞赛试题（2002年4月7日上午 9：3011：30）一、选择题（每小题5分，共30分）1、设ab0，a2b24ab，则的值为A、 B、 C、2 D、32、已知a1999x2000，b1999x2001，c1999x2002，则多项式a2b2c2abbcca的值为A、0 B、1 C、2 D、33、如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则等于A、 B、 C、 D、4、设a、b、c为实数，xa22b，yb22c，zc22a，则x、y、z中至少有一个值A、大于0 B、等于0 C、不大于0 D、小于05、设关于x的方程ax2(a2)x9a0，有两个不等的实数根x1、x2，且x11x2，那么a的取值范围是A、a B、a C、a D、a06、A1A2A3A9是一个正九边形，A1A2a，A1A3b，则A1A5等于A、 B、 C、 D、ab二、填空题（每小题5分，共30分）7、设x1、x2是关于x的一元二次方程x2axa2的两个实数根，则(x12x2)(x22x1)的最大值为 。8、已知a、b为抛物线y(xc)(xcd)2与x轴交点的横坐标，ab，则的值为 。9、如图，在ABC中，ABC600，点P是ABC内的一点，使得APBBPCCPA，且PA8，PC6，则PB 。10、如图，大圆O的直径ABacm，分别以OA、OA为直径作O1、O2，并在O与O1和O2的空隙间作两个等圆O3和O4，这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的面积为 cm2。11、满足(n2n1)n21的整数n有 个。12、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d可以用p表示为 。三、解答题（每小题20分，共60分）13、某项工程，如果由甲、乙两队承包，天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？14、如图，圆内接六边形ABCDEF满足ABCDEF，且对角线AD、BE、CF交于一点Q，设AD与CE的交点为P。（1） 求证：（2）求证：15、如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2bxc的值都是平方数（即整数的平方）。证明：（1）2a、2b、c都是整数；（2）a、b、c都是整数，并且c是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x的整数值，x的二次三项式ax2bxc的值都是平方数？2002年湖北省数学竞赛试（2002年1月3日上午9：00-11：00）一、选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分）1、已知是正数，且=1，则等于（ ）（A）5 （B）3 （C）1 （D）32、如果某商品进价降低5%而售价不变，利润可由目前的a%增加到（a+15%），则a的值为（ ）（A）185 （B）175 （C）155 （D）1453、在直角坐标系中，已知A（1，1），在x轴上确定点P，使AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）个（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个4、为了调查学生的身体状况，对某校毕业生进行了体检，在前50名学生中有49名是合格的，以后每8名中有7名是合格的，且该校毕业生体检合格率在90%以上，则该校毕业生的人数最多有（ ）（A）180 （B）200 （C）210 （D）2255、如图，圆的半径等于正三角形ABC的高，此圆在沿底边AB滚动，切点为T，圆交AC、BC于M、N，则对于所有可能的圆的位置而言，MTN弧的度数（ ）（A）从30到60变动 （B）从60到90变动 （C）保持30不变 （D）保持60不变 6、用四条线段a=14，b=13，c=9，d=7作为四条边构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的最好大值是（ ） （A）135 （B）11.5 （C）11 （D）10.5二、填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分）7、 已知,则 8、 如图，在ABC中AB=5，AC=13，边BC上的中线AD=6，则BC的长是 9、 与铁路平行的一条公路上有一行人与骑车人同时向南行进，行人的速度是每小时3。6km骑车人的速度是每小时10。8km，如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是22秒，通过骑自行车的人的时间是26秒，则这列火车的身长是 m10、如图，在圆内接四边形ABCD中，A=60，B=90，AB=2，CD=1，则BC= 11、如图，在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP：PQ：QC= 三、解答题：（本题共3小题，每小题20分，共60分）13、已知关于x的方程（1） 求证：无论k取何实数值，方程总的实数根；（2） 若等腰三角形ABC的一边长a=6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长。14、如图，ABC的三边满足关系BC=（AB+AC），O、I分别为ABC的外心、内心，BAC的外角平分线交O于E，AI的延长线交O于D，DE交BC于H，求证：（1）AI=BD（2）OI=AE15、观察按下列规则排成的一列数：，（1） 在（*）中，从左起第个数记为F（m），当F（m）=时,求m的值和这m个数的积（2） 在（*）中，未经约分且分母为2 的数记为c，它后面的一个数记为d，是否存在这样的两个数c和d，使cd=2001000，如果存在，求出c和d；如果不存在，说明理由。答案：一、B、A、D、C、D、D；二12， 2， 286 ，2-2， 5：3：12， 179， 三、13、16或22 14、作IGAB，连结BI，则AG=（AB+ACBC），再证AGIBHD15、（1）、分组：（），（，），（，），（，），（，），（，），（，）。当F（m）=时，m=2003003积为：，（2）、c为某组倒数第二个数，d为每组最后一个数，设它们在第n组c= , d= =2001000 c= , d=第十一届“希望杯”数学竞赛初二第二试一、选择题：1, , , 这四个数从小到大的排列顺序是 （AA） （B） （C） （D）0，则的值是 （A）3 （B）1 （C）3或1 （D）3或15设实数a、b、c满足abc (ac0)，且|c|b|AC，AD、AE分别是BC边上的中线和A的平分线，则AD和AE的大小关系是AD AE。(填“”、“”或“”)14如图3，锐角ABC中，AD和CE分别是BC和AB边上的高，若AD与CE所夹的锐角是58，则BACBCA的大小是 。15设a2b21, b2c21，则a4b4c4a2b2b2c2c2a2的值等于 。16已知x为实数，且x2=3，则x3的值是 。17已知n为正整数，若是一个既约分数，那么这个分数的值等于 。18如图4，在ABC中，AC2，BC4，ACB60，将ABC折叠，使点B和点C重合，折痕为DE，则AEC的面积是 。19已知非负实数a、b、c满足条件：3a2bc=4, 2ab3c=5，设S5a4b7c的最大值为m，最小值为n，则nm等于 。20设a、b、c、d为正整数，且a7b6, c3d2, ca17，则db等于 。三解答题：21已知实数a、b满足条件|ab|1225题号1617181920答案22601三解答题：21|ab|1， a、b同号，且a0, b0, ab1(a-b)-10,()=()1-(a-b)=. 若a、b同为正数，由b， a-b=, a2ab=b, 解得b=,()=(1) = =. 若a、b同为负数，由a， a-b=, a2ab=b, 解得b=,()=(1) = =.综上所述，当a、b同为正数时，原式的结果为；当a、b同为负数时，原式的结果为22将ADF绕A点顺时针方向旋转90到ABG的位置， AGAF，GABFAD15，GAE153045，EAF90(3015) 45，GAEFAE，又AEAE，AEFAEG， EFEG，AEFAEG60，在RtABE中，AB，BAE30，AEB60，BE1，在RtEFC中，FEC180(6060)60，ECBCBE1，EF2(1)，EG2(1)，SAEGEGAB3，SAEFSAEG3.23 将第一个球先放入，有5种不同的的方法，再放第二个球，这时以4种不同的放法，依此类推，放入第三、四、五个球，分别有3、2、1种放法，所以总共有54321120种不同的放法。 将1号球放在1号盒子中，其余的四个球随意放，它们依次有4、3、2、1种不同的放法，这样共有432124种不同的放法。 (解法一)在这120种放法中，排除掉全部不对号的放法，剩下的就是至少有一个球放入了同号的盒子中的放法种数。为研究全部不对号的放法种数的计算法，设A1为只有一个球放入一个盒子，且不对号的放法种数，显然A10，A2为只有二个球放入二个盒子，且不对号的放法种数， A21，A3为只有三个球放入三个盒子，且都不对号的放法种数，A32，A n为有n个球放入n个盒子，且都不对号的放法种数。下面我们研究A n+1的计算方法，考虑它与A n及A n1的关系，如果现在有 n个球已经按全部不对号的方法放好，种数为A n。取其中的任意一种，将第n1个球和第n1个盒子拿来，将前面n个盒子中的任一盒子(如第m个盒子)中的球(肯定不是编号为m的球)放入第n1个盒子，将第n1个球放入刚才空出来的盒子，这样的放法都是合理的。共有n A n种不同的放法。但是，在刚才的操作中，忽略了编号为m的球放入第n1个盒子中的情况，即还有这样一种情况，编号为m的球放入第n1个盒子中，且编号为n1的球放入第m个盒子中，其余的n1个球也都不对号。于是又有了nA n1种情况是合理的。综上所述得A n1nA nnA n1n(A nA n1).由A1=0, A2=1, 得A3=2(10)=2, A43(21)=9, A54(92)=44.所以至少有一个球放入了同号的盒子中的放法种数为全部放法的种数减去五个球都不对号的放法种数，即1204476种。(解法二) 从五个球中选定一个球，有5种选法，将它放入同号的盒子中 (如将1号球放入1号盒子)，其余的四个球随意放，有24种放法，这样共有524120种放法。但这些放法中有许多种放法是重复的，如将两个球放入同号的盒子中(例如1号球和2号球分别放入1号盒子、2号盒子中)的放法就计算了两次，这样从总数中应减去两个球放入同号的盒子中的情况，得12012060(种)。很明显，这样的计算中，又使得将三个球放入同号的盒子中(例如1号球、2号球和3号球分别放入1号盒子、2号盒子和3号盒子中)的放法少计算了一次，于是前面的式子中又要加入20种，再计算四个球、五个球放入同号盒子的情况，于是再减去四个球放入同号盒子中的情况，最后加上五个球放入同号中的情况。整个式子为12012060205176(种)。2001年湖北省黄冈市初中数学竞赛试题一、填空题(满分30分,每小题5分)1.已知、互为相反数,、互为负倒数,的绝对值等于3.则3-(1+)2+(+)2001+(-)2002的值等于_.2.已知正数、,有下列命题:(1)若=1,=1,则1;(2)若= ,= ,则;(3)若=2,=3,则;(4)若=1,=5,则3.根据以上几个命题所提供的信息,请猜想:若=6,=7,则_.3.已知= ,且+2+9=6,则关于自变量的一次函数=+的图像一定经过第_象限.4.如图1,=45,角内有一点,=10,在角的两边上有两点、(均不同于点).则的周长的最小值为_.5.某公司规定一个退休职工每年可获得一份退休金,金额与他工作的年数的算术平方根成正比例.如果他多工作年,他的退休金比原有的多元;如果他多工作年(),他的退休金比原有的多元.那么,他每年的退休金是(以、表示)_元.6.已知在中,、是锐角,且= ,g=2,=29.则的面积等于_2.二、解答题(满分70分)7.(10分)观察:1234+1=52,2345+1=112,3456+1=192,(1)请写出一个具有普遍性的结论,并给出证明;(2)根据(1),计算2000200120022003+1的结果(用一个最简式子表示).8.(10分)如图2,已知中,=90,沿过点的一条直线折叠这个三角形,使点落在边上的点为.要使点恰为的中点,问在图中还需添加什么条件?(1)写出两个满足边的条件;(2)写出两个满足角的条件;(3)写出一个满足除边、角以外的其他条件. 9.(10分)在一次数学竞赛中,组委会决定用公司赞助的款购买一批奖品.若以1台计算器和3本数学竞赛讲座书为一份奖品,则可买100份奖品;若以1台计算器和5本数学竞赛讲座书为一份奖品,则可买80份奖品.问这笔钱全部用来购买计算器或数学竞赛讲座书,可各买多少? 10.(15分)如图3,是以(0,)为圆心、为半径的1的弦,过