（基础数学专业论文）几类几乎单群与2vk1设计.pdf

摘要 自2 0 世纪8 0 年代有限单群的分类问题解决后，群和t - 设计分类 问题引起了世界群论界各学者的广泛关注和致力研究，2 - ( v , k ，1 ) 设计 的分类就是其中一个很热门的话题。本文为解决这一分类问题做了一 些工作，并得出了创新性的结论 k a n t o r 禾l j 用单群分类定理获得了在点集上2 传递自同构群设计的 分类。在1 9 9 0 年，由6 位数学家组成的团队完成了2 一( v ，k ，1 ) 旗传递设 计的分类。更弱条件下，点本原自同构群设计的分类及线传递自同构 群设计的分类问题被相继提出，本文考虑 p r e a g e r 在这方面提出的一 个问题。接着还讨论了这方面的一种特例。下面介绍本文的结构： 第一章中，我们将介绍群论与设计( 线性空间) 理论的背景知识及 研究历史与现状由此，我们可以知道群论和设计( 线性空间) 当前的发 展情况以及他们之间存在的联系 第二章中，我们将介绍一些关于群论的基础知识这些都是本文所 要用到的相关概念和结论，从而我们就建立起了本论文的基本理论体 系和构架 第三章是本文的重点首先我们介绍本文问题的提出背景以及本 文证明所用到的引理。接着给出了本文的证明及结论： 主要定理1 ：设s = ( p ，c ) 为有限线性空间但不为射影平面，群g a u t ( s ) 使得t _ , 3 g a u t ( t ) ，其中t 为非交换单群。若g 作用在s 上线传递，则t 作用在s 上点传递。 主要定理2 设t 兰p s l ( 2 ，g ) 筘a u t ( t ) ，g 线传递作用在2 一( v ，k ，1 ) 设计s 上，且s 不是射影平面，则： ( 1 ) 若t 线传递，则s 同构于w i t t b o s e s h r i k h a n d e 平面。 ( 2 ) 若t 不线传递，则t 点传递，进一步地，当q 为偶数时，则 ( a ) 瓯= 0 2 。州，：( 筝) ，其中f 的阶为，d ，t 为奇素数，并且 g = p i l ( 2 ，2 7 4 ) 。 ( b ) 当q 疋：( ，) 时，有瓦 七 五的正整数。设p 是一个有y 个点的集合， c 是p 中一些七一子集( 也称为区组或简称为区) 的集合。如果p 的任意r 个点 恰好位于名个区组中，则s = ( p ，c ) 被称为一个f 一( 1 ，后，名) 设计。 定理1 1 1 【1 j 设1 i 0 使任一点p 的重复度 0 2 ， 证对，= 1 ，由定义可得对t 2 ，由定理1 1 1 与2 一设计的正则性即得结 论 从而一个t 一( 1 ，七，五) 设计有5 个参数，6 ，七与五，其中v 叫设计的阶，克叫区 组容量，旯叫平衡数，6 叫区组个数，叫重复数，当，= 2 时，2 一平衡数即为平衡 数，= l 时，1 一平衡数即重复数 推论1 2 设s = ( p ，) 为，一( v ，后，见) 设计，则 6 = 厶= a ( ：，) ( 多) 硕十学位论文第一章绪论 嘲= 悄) ( m 且当r 2 时， 以( ，一1 ) = ( 七一1 ) 由于当t - ( v ，后，五) 设计存在时，对0 f ( 坐半一1 ) z 屈( 1 4 ) ； 4 k 4 0 ( 1 3 ，1 8 ) ； 5 g 有一个作用在p 上不超过7 ( 1 4 ) ； 6 g 作用p 上有一个正则子群( 1 4 ) ； 7 s o c ( c ) 兰以( 2 3 ) ； 9 s o t ( g ) 兰p s l ( 2 ，g ) ，芝( g ) ( 【2 4 】) ； 10 s o c ( g ) 兰3 皿( g ) ，g 2 ( g ) ( 【2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 8 ) ； 11 s o c ( g ) 兰2 0 2 ( 9 ) ，2 f 4 ( q 2 ) ( 2 9 ，3 0 ，3 1 ，3 4 ) ； 1 2 s o c ( g ) 兰p s l ( 3 ，g ) ( 3 5 ) 对于线传递设计的分类，现在有很多的结果。c a m i n a 证明了以下定理： 引理1 2 6d 6 设g 是线性空间s 上的一个线传递点本原的自同构群，则g 的基柱 要么是初等交换群要么是单群。 我们知道，如果f 一设计的自同构群在它的线集合上是传递的，则它是线传递 的( 3 7 ) 现在旗传递2 一( ，k ，1 ) 设计一定是点本原的( 3 8 3 ) 但无论如何，区传 递2 一( 1 ，k ，1 ) 设计不能推出点本原d e l a n d s h e e r 和d o y e n 证明了 定理1 2 7 【4 0 1 设d 是一个区传递，非点本原的2 一( 1 ，k ，五) 设计，则 ，七、 1 ，( i1i - 1 ) 2 二 r a y c h a u d h u r i 和w i l s o n ( 4 1 ) 证明了一个区传递4 一设计的自同构群是 2 一齐次的，因而是点本原的因此，对于一个区传递，非点本原的f 一设计来说，参 数f 至多为3 在 4 1 中，c a m e r o n 和p r a e g e r 证明了：对于区传递非点本原 3 一( v ，k ，允) 设计，如果a u t ( d ) 保持q 的这样的分划：要么是两个非本原区，要么是 每个非本原区的长都不是2 则一定有 6 硕七学位论文第一章绪论 他们利用计算机验证了当k 7 0 时，上述不等式也成立但是对于一般的情形， 这仍然是一个公开问题 猜想1 2 2 对于一个区传递，非点本原的3 一( 1 ，k ，旯) 设计来说，一定有 v 阱 当，= 2 时，对于d e l a n d s h e e r d o y e n 的上界，c a m e r o n 和p r a e g e r 证明了下面 的： 定理1 2 8 【4 2 1 设d 是一个2 一( v ，k ，五) 设计，k 3 ，4 ，5 ，8 ，且 y ：( f ：1 一1 ) 2 ，g 彳甜，( d ) 是区传递但非点本原则存在瓯的2 一传递子群正， - 乃，下面之一成立： ( a ) 正疋g a u t ( r 1 ) a u t ( 7 2 ) ： ( b ) 互”g a u t ( t i ) w r s 。 这罩所有出现的设计中的参数五是很大的设计的数目虽然与s 。中的2 一传 递子群有关，但是，如果次数为m 的2 一传递群只有4 和瓯，那么恰好有三个非 同构的设计满足定理的假设对k = 3 ，4 ，5 和8 ，上述分类还没有完成，对这些k 的 值而言，m 是素数幂在彳= 1 时，分类已经得到 对于区传递非点本原的设计，文献 4 2 ，4 3 ，4 4 ，4 5 ，4 6 ，4 7 中有许多信息我们 在此不一一叙述 1 3 关于本文的工作 1 扫 3 6 1 1 3 7 1 我们知道线传递群g a u t ( s ) 作用在集合p 上有以下三种方式： ( 1 ) g 有一个最小的j 下规子群非传递作用在p 上； ( 2 ) g 有一个初等交换正规子群正则作用在p 上； ( 3 ) g 是几乎单群。 本文主要讨论了上面的第三种情况主要证明了两个定理，第一个就考虑几 乎单群和区传递的问题：给定线性空间s = ( p ，c ) 和群g sa u t ( s ) ，使得 7 硕十学位论文 第一章绪论 丁够a u t ( t ) ，这里t 是一个有限单群。进一步，我们讨论了基柱t 兰e s l ( 2 ，g ) 的 几乎单群的情形，事实上，我们得到了更好的结论。 主要定理1 设s = ( 7 9 ，c ) 为有限线性空问但不为射影平面，群g s a u t ( s ) 使得 丁雯a u t ( t ) ，其中t 为非交换单群。若g 作用在s 上线传递，则t 作用在s 上点 传递。 主要定理2 设t 兰p s l ( 2 ，g ) 箩a u t ( t ) ，g 线传递作用在2 一( v ，k ，1 ) 设计s 上， 且s 不是射影平面，则： ( 1 )若t 线传递，则s 同构于w i t t b o s e s h r i k h a n d e 平面。 ( 2 ) 若t 不线传递，则t 点传递，进一步地，当q 为偶数时，则 ( a ) 瓯= d 2 ( 州) ：( f ) ，其中f 的阶为，d ，t 为奇素数，并且g = e r z ( 2 ，2 ，) 。 ( b ) 当q 兀：( f ) 时，有死 是一个有限集合，其元素称为点品表示q 上的 对称群g 在q 上的作用矽指的是g 到s o 内的一个同态，即对每个元素x g ，对 应q 上的一个置换 矽( x ) ：口h 口。， 并且满足： ( 口) y = i ：z x yx ，y g ，口q 如果k e r ( f k ) = 1 ，则称g 忠实地作用在q 上，这时g 看作q 上的置换群如果 恐r ( 矽) = g ，则称g 平凡地作用在q 上 定义2 1 2 2q = xe g a = 口。) ，则q 是g 的一个子群，称之为点a 的稳定子 群对于任意的j ，g ，都有q ，= j ，1 瓯y 定义2 1 2 3 设群g 作用在集合q 上，称二元素口，q 为等价的，记作口一， 如果存在x g ，使得口。= 易验证“ 关系是q 上的等价关系q 对“”的 一个等价类叫做g 在q 上的一个轨道一个轨道所包含的元素的个数叫做该轨 道的长 对于口q ，令口g = 口。k g ，则口g 是包含口的轨道 定义2 1 2 4 如果g 在q 上只有一个轨道，即q 本身，则称g 在q 上的作用是 传递的 1 2 硕士学位论文 第二章基础知识 定义2 1 2 5 群g 传递地作用在q 上令s q ，如果对于任意的g g ，都有 g = 或gn = 囝，则称是g 作用在q 上的一个区显然，q ，空集。以及单 点集缸 都是的区，则称它们是g 的平凡区如果g 仅有平凡区，就称g 作用在q 上是本原的 定义2 1 2 6q 上的一个置换就是q 到自身的一个一一映射如果我们根据 公式口胛= 位，) ，来定义q 上置换p ，q 的乘积，那么q 上的全部置换对于上述运算 构成一个群，称之为对称群，记为s q 并且，s q 的子群称为置换群 定义2 1 2 7设g 和a 是有限群，q 是一个有限集，称三元组似，g ，q ) 是一个 例外，如果它满足： ( 1 ) g 是a 的正规子群： ( 2 ) g 和么是q 上的传递置换群： ( 3 ) q q 的对角是g 和a 在q q 上的唯一公共轨道 特别地，称( a ，g ，q ) 是算术例外，如果存在g b a ，满足( b ，g ，q ) 是例外， 且别g 是循环的 定义2 1 2 8设g 是q 上的一个置换群，如果对于任意口q ，都有q = l ，则 称g 是半正则的如果g 是传递的，则称g 是正则的 定理2 1 2 1 设群g 作用在有限集合q 上，口q ，则j 口g i = i g ：瓯1 特别地，轨 道口。的长是l g i 的因子 定理2 1 2 2 ( f r a t t i n i 论断)设g 作用在q 上，并且g 包含一个子群，它在 q 上的作用是传递的，则 g = q n ， v 口q 2 1 3s yi o w 定理 在抽象代数中，我们有s y l o w 定理，我们把它们总结成以下三个定理： 第一s y l o w 定理：若g 是有限群，p 是素数设l l l g l ，即矿0 g l ，t g p 肿1 不整除 i g l 则g 中必存在p ”阶子群，叫做g 的s y l o wp 一子群 1 3 硕士学位论文第二章基础知识 第二s y l o w 定理：g 的任意两个s y l o wp 一子群皆在g 中共轭 第三s y l o w 定理：g 中s y l o wp 一子群的个数，z ，是l g l 的因子，并且 兰l ( m o d p ) 在群论中的以下两个定理和抽象代数中所学的是一致的 定理2 1 3 1 【5 川 设p 是素数，群g 的阶为p a ，, 1 ，这里不要求p 和，z 互素以 n ( p 口) 表示g 中p 口阶子群的个数，则有n ( p 口) 兰l ( m o dp ) 特别地有 n f p “) l ，即g 中存在p 口阶子群 显然，我们可以看出这个定理包含了上面的第一s y l o w 定理和第三s y l o w 定 理为它的特例 定理2 1 3 2 5 0 1 设g 是有限群，p 。i i i g i 再设p 是gi 拘- - + p “阶子群，q 是g 的任一p 一子群，则必存在g g 使q p g 这个定理告诉我们，每个p 子群都属于一个p 口阶子群这就推出g 中的极 大p 一子群必为p “阶的也就是说，我们以极大p 一子群作为有限群的s y l o wp 一 子群的定义和f j 面第一s y l o w 定理中叙述的s y l o wp 一子群的定义是一致的 另外，在定理2 1 3 2 中，取q 为另一p 口阶子群，就得到所有s y l o w - 子群的共轭性 即第二s y l o w 定理 下面再叙述几个与s y l o w 子群有关的结果，它们在有限群中十分重要 定理2 1 3 3 ( f r a t t i n i 论断)设qg ，pes y l p ( ) ，贝l jg = n z ( p ) n 定理2 1 3 4 例 设p ( g ) ，h g ( 尸) ，则日= ( h ) 定理2 1 3 5 5 川设户是g 的任一p 一子群，n 司g ，且( 1 f ，p ) = l ，则 n g f n t p n7n 、= n 【1 ( p ) n n 定理2 1 3 6 。5 。1 若酆，p s y l p ( g ) ，则p 厂、$ ( ) ，尸s y l p ( g n ) 1 4 硕士学位论文 第二章基础知识 2 1 4 传递成分g a 定义2 1 4 1设g 是q 上的一个置换群，简言之：g s n 如果q 的一个子集 满足= g ，我们就说是g 的一个不动区，或者说在g 下不动，这时，每个 g g 诱导出上的一个置换g a 由所有g g 诱导出的g 的全体组成的集合 g 称为g 在上的成分g 是上的一个置换群显然，g 寸g 是一个同态映 射：gjg 如果这个映射是一个同构映射，即i g l = i g | ，那么成分g 就称为真 实的 显然，g 的两个不动区的交与并还是不动区，对每一个子集r 冬q ，g 的包含 r 的最小的不动区是严 q 上的每个群g 都有平凡不动区和q 如果g 没有其它不动区，g 称为传 递的否则就成为非传递的当( a ) 是一个极小不动区时，成分g 是传递 的在这种情形，称为g 的一个轨道或传递集 定义2 1 ，4 2设g s o ，a q g 中那些使中每个点都保持各自不动的置 换组成g 的一个子群g 如果只包含一个点口，我们就记g = 瓯 定理2 1 4 1 【5 l 】 每个点口q 恰属于g 的一个传递集= 口g 两个点口和属 于同一个传递集当且仅当对某个g g ，= 口占 定理2 1 4 2 【5 l j 如果是g 的一个传递集并且s s o ，那么岔是s 一1 伪的一个 传递集 定理2 1 4 3 对每个g g 和q ，有g 一1 g g = 吆特别地，如果g 保持 不动，另v - , g 酆，6 g l , 兰g 定理2 1 4 4 ( 轨道长定理) f c o l 口g - - i g i 定理2 。1 4 5 5 1 1 设p 是一个素数，p m 是p gj 的一个因子p 是g 的一个s y l o w p 一子群那么p ”也是i 口尸l 的一个因子 定理2 1 4 6 5 1 l 设子群u 瓯具有下述性质：q 的一个子群v 只要在g 中与 u 共轭，就一定在瓯中与它共轭设是u 在g 中的正规化子，如果g 在q 上是 硕士学位论文 第二章基础知识 传递的，那么在u 的全部不动点组成的集合上是传递的 定理2 1 4 7 5 1 1 在一个传递群g 中，q 的正规化子在g 口保持不动的点上是传 递的 定理2 1 4 8 t 5 1 1 在一个传递群g 中，眈的每一个s y l o w 子群u 的正规化子在 u 保持不动的点上是传递的 2 2 区组设计知识 2 2 1 设计的定义 参数为f 一( ，k ，a ) 的一个设计定义为符合以下条件的一对符号( q ，b ) ： ( 1 ) q 是一个1 ，个点的集合： ( 2 ) b 是q 的一组七一集合： ( 3 ) q 中任意给定的f 一子集都恰好含于b 的五个成员中 q 的元素称为点，b 的元素称为区组或区用d 表示，一( 1 ，k ，名) 设计，用b 表 示d 中区的个数，用，表示包含q 中指定点的区的个数我们也称点一区对 ( a ，三) l ) 为d 的旗( 1 ) 规定：所有参数都为j 下整数，并且满足v k t ，b 中的元素互不相同 在一些文献中，使用了线性空间的概念，用点和线来对应区组设计中的点和 区组，它们实际上是一致的本文中，由于文献的引用，我们也会交替出现不同的 名词 当b = ，时的设计，也就是线性空间中所指的射影平面 2 2 2 关联矩阵的定义 设( q ，b ) 是一个设计，其中 q = x l ，x 2 ，x ，) ，b = e ，岛，玩) 定义矩阵a = ( ) 。6 ，其中当t 9 ，时a v = l ，否则等于0 称a 为( q ，b ) 的一 个关联矩阵 1 6 硕士学位论文 第二章基础知识 2 2 3 设计的基本性质 定理2 2 3 1 【1 】一个，一设计d 也是一个s 一设计( 1 s r ) 如果d 作为f 一设计 的参数是r 一( v ，k ，兄) ，则它作为s 一设计的参数是s - ( v ，k ，丑) ，且 口，( 1 ，- s ) ( v s 1 ) ( 1 ，- t + 1 ) 几= 一 5 ( 七一s ) ( 后一j 1 ) ( 七- t + 1 ) 推论记凡= 6 = ，= 五，则 ( 3 ) r ( k - 1 ) = 4 ( v - 1 ) ： ( 4 ) 6 ，( f i s h e r 不等式) 特别地，当忙2 ，旯= 1 时，我们有 6 ：v ( v - x ) 。，：堕 k ( k 一1 、7 k l 而且还有下面几个重要的关于区组设计的定理： 定理2 2 3 2 1 1 设g 作用在2 一( 1 ，k ，1 ) 设 , - i - d = ( q ，b ) 上区传递，则g 作用在d 上也是点传递的 定理2 2 3 3 【1 】g 是旗传递可推出g 点本原 定理2 2 3 4 g 区传递且j | l ，则g 旗传递 定理2 2 3 5 1 1 】g 区传递作用在d = ( q ，曰) ，若g 中存在对合f ，f 不稳定任何点， 则g 作用在d 上旗传递 1 7 d d掣一珍一珍 二一 d 一 ： v 一七 垆 社七 一 卅 拈 1 2 q 汜 硕士学位论文第二章基础知识 2 2 4 设计的自同构群 定义2 2 4 1 设计( q ，b ) 的一个自同构是指具有下述性质的的一个置换：如果 b b ，则x ( b ) b 显然一个设计的所有自同构组成一个群，称为这个设计的自 同构群，记为a u t ( d ) ，这里d 表示该设计 由 1 中引理3 4 2 知，一个，一设计俾，b ) o 2 ) 的自同构群在b 上作用是 忠实的 以后我们用d 表示一个，一设计( q ，b ) o 2 ) 结合前面传递和本原的定义，我们引入点传递( 本原) 和区传递( 本原) 的定 义 定义2 2 4 2 设g a u t ( d ) ，如果g 作用在q ( b ) 上是传递的，则称g 是点 ( 区) 传递的：如果g 作用在n ( b ) 上是本原的，则称g 是点( 区) 本原的如果g 作 用在d 的旗集合上是传递的，则称g 是旗传递的这里旗表示点一区对 ( 口，b ) ( 口q ，b b ) 2 3 本文所用符号 本文所用的符号是标准和规范的： h gh 是g 的子群： hqgh 是g 的正规子群： l g i g 的阶： d ( g )g 的阶： 由元素g 生成的群： h 兰gh 同构于g ： s o c ( g ) g 的基柱： 0 ( 日) h 在g 中的正规化子： c g ( 日) h 在g 中的中心化子： z ( g )g 的中心： n xhn 和h 的直积： n ：h n 和日的半直积： n ：h群被群日的可裂扩张： x oy x 被】，的不可裂扩张： 1 8 硕士学位论文 第二章基础知识 【聊】 乙或，l p 钏挖 z 或矿 g f ( q ) f 4 p g ( n ，g ) g f ( n ，g ) f i x n ( h ) g s n 4 乜 瓯 q f i x o ( k ) l p ( g ) 2 4 本章小结 阶为m 的任意群： 阶为m 的循环群： p l 刀，但p “1 不整除刀： 阶为p ”的初等交换p 一群： g 个元素的有限域： 域f 中的非零元： 域g f ( q ) 上的7 1 维射影空间； 域g f ( q ) 上的，z 维仿射空间： 日作用在一个集合q 上稳定的点的集合： g 的导群： 刀个元素上的对称群： 胛个元素上的交错群： n 阶二面体群： 点口的稳定子群： 线z 的稳定子群： 子集k 的不动点集合； 群中的对合，即二阶元： g 中的对合的个数： 本章介绍了群论和组合设计的基本概念和相关定理让读者对子群、同构， 同态、正规子群、传递成分、s y l o w 定理、群在集合上作用及其性质有初步的了 解而对于设计，我们给出了其点本原、点传递，区本原、区传递等相关结论， 这些知识是本论文的理论基础 1 9 硕+ 学位论文 第三章2 - ( v , k , 1 ) 设计自同构群与p s l ( 2 ，q ) 3 1 介绍 第三章2 一( v ，k ，1 ) 设计自同构群与p s l ( 2 ，9 ) c h e r y le p r a e g e r 在d i s c r e t em a t h e m a t i c s 杂志上发表的论文 q u a s i p r i m i t i v i t y ：s t r u c t u r ea n dc o m b i n a t o r i a la p p l i c a t i o n s 2 0 1 中提出 下面问题： 设s 是一个线性空间，g 是一个几乎单群且线传递地作用在s 上。如果g 的 基柱是点传递的，则分类这种线性空间。 我们知道，如果一个群作用在一个集合上是传递的，但它的真的正规子群不 一定也是传递的。在一般情况下，g 线传递推不出g 的真子群点传递。但在本文 中我们证明了下面定理： 主要定理1 ：设s = ( p ，) 为有限线性空间但不为射影平面，g 为几乎单群满足 t 一 兀：( r ) 时，有兀 l ；因此 我们得到，对任意两点口和，l 乜：以，声l qq ：q ，芦i 。换句话说，考虑作用在夕 上的置换群h 和g ，h 和g 的公共轨道只有对角轨道，这种情况我们得到三集合 组( g ，丁，夕) 是例外的。 假设h 在s 上不传递。由f r a t t i n i 论断，对所有的p s y t 。( 日) ，其中p 为 整除 hl 的素数。如果n o ( p ) s 瓯，那么g = 瓯h ，从而h 是点一传递，这与假 设矛盾。因此，由引理3 2 3 ，p 瓯，p s y l p ( h ) 可得p 互q 。 现在令6 = | h ：吼i 和y h = ih ：以l 。如果p 整除i hl 但不整除v n ，那么y o 包 含h 的p - s y l o w 子群p ，所以有p h z 。这意味着p c b 。换句话说，整除6 的 素数也必定整除v 。进一步有b = j k 和v = s v h ( 因为这里由引理3 2 5 得 g ：= 日：和瓯= 以) 。因此整除b 的素数必定也是v 的因子。所以不存在重要素 数，继而s 是射影平面。 考虑作用在点集p 上对合的轮换分解，我们发现有下面的引理。下面有个非 常有用的不等式，对定理2 的证明很有帮助。 引理3 2 6 【3 1 l 设群g 线传递作用在线性空间s = ( p ，c ) ，参数记为( 6 ，厂，七) 设f 为g 。的一个对合，l c 记石= l 凡砀( ) i ，五刊尼k ( ) 1 那么下面情况成 立： ( i ) 若彳= 0 或凡b ( ) l 对某个l c 成立，并且忌为偶数，那么 石= v k ： ( ii ) 若石= 1 ，那么根据k 为偶数和奇数，五分别为( 1 ，一1 ) k 和 ( ( v - 1 ) ( k 一1 ) ) ： ( ii i ) 其他情况，z 七 硕士学位论文 第三章2 - ( v , k , 1 ) 设计自同构群与p s l ( 2 ，q ) 然而，不等式正 七一1 对上面三种情况都成立 证明：考虑作用在尹上的对合f 的轮换分解我们知道f 有( v 一石) 2 个长度为2 的 轮换对合f 稳定五条线令 i = ( t z i ，届) ( 哎，屈) ，其中j = ( v - f ) 2 显然( i ) ，( i i ) 成立因此，外面假设石 2 对任意口p ，若口萑凡b ( ) ，那么 存在，l f s ，使得口 留，屈) 因此口彳：厶u u 气若口只( ) ，那么 存在另一个点础p ( ) 使得过a ，的线l 被f 稳定从而我们有口a 然而 在这种情况下，我们有pc _ a ，进而有p = a 注意到la i 2 时同 构于z 2 ，且1 1 k 忠实地作用在四元群o u t d i a g ( k ) 上。 引理3 2 9 设s = ( p ，c ) 为有限线性空间但不是射影平面，丁娟a u t ( t ) ， g = t k ，其中t 为非交换单群，k 为交换群，若g 作用在s 上线传递，则t 作用在5 上 点传递。 证明：由g 线传递，且s 不为射影平面故存在素数gb ，g y ，其中b ，v 分别 为线的条数和点的个数，使得q s y t ( o ) 满足q g 口( 了口p ) ，q z o , ( w 三) 。 下面对q 分三种情况讨论： ( i ) 若9i i 丁i 且gi lkl ，则取q s l y q ( t c 、k ) ，q l 是t 的q 一群，也是k 的q 一群。 2 4 硕士学位论文 第三章2 f f v ，l 1 ) 设计自同构群与p s l ( 2 ，q ) 再取q 3 s l y q ( k ) 满足q q 。由s y l 一定理，存在q s l y q ( g ) ，使得q q 。记 q = q n t ，由t 一 1 3 得鲛s t y x ( t ) 。由前面知a q ( 了口p ) ，q ；g t ( v i l ) 。 所有q 瓯，珐瓯。 当q ：a g , ( v l l ) 时，由引理3 2 3 有g ( q ) q ，再由f r