（基础数学专业论文）涉及重值与导数的亚纯函数族的正规定则.pdf

n o r m a l i t y c r i t e r i o no ff a m i l i e so f m e r o m o r p h i cf u n c t i o n s w i m m u l t i p l ev a l u ea n d d e r i v a t i v e j i a n gy a h b e ( j is h o uu n i v e r s i t y ) 2 0 0 8 ( c h a n g s h au n i v e r s i t yo fs c i e n c e t e c h n o l o g y ) 2 0 11 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e m p u r em a t h e m a t i c s l n c h a n g s h au n i v e r s i t yo fs c i e n c e t e c h n o l o g y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rh u a n gb i n m a r c h ，2 0 11 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名：日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅 本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文同时授权 中国科学技术信息研究所将本论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过 网络向社会公众提供信息服务 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密囹 ( 请在以上相应方框内打“4 ) 作者签名：辑 导师签名：柳 日期：别f 年y 月2 7 日 日期洌年f 月2 _ ) 日 摘要 1 9 0 7 年，p m o n t e l 引入了正规族的概念，从此正规族理论成为复分析中的一个重要 的研究方向，而在正规族理论中寻找新的正规定则成为一个重要的课题，国内外许多学 者对此做了大量卓有成效的研究工作研究亚纯函数族正规定则所涉及的因素很多，本 文主要研究了涉及重值与导数的亚纯函数族的正规性问题 本文主要研究亚纯函数的正规族理论全文共分四章 第一章介绍了正规族理论的研究背景与发展概述，给出了研究正规族理论所需的预 备知识和结论，以及文章所要证明的重要结果 第二章研究了一族亚纯函数，其零点重级k4 - 2 ，极点重级2 ，且其k 阶导函数 不取一个不恒等于零的亚纯函数的条件下的正规定则，它是在已有的正规定则基础上涉 入k 阶导函数，以此讨论导函数数对零点、极点重级的条件限制 第三章主要研究了亚纯函数族涉及高阶微分有理函数的一个正规定则它是将高阶 微分有理式的表现形式复杂化，并在已有正规定则条件不变的情况下得出了相同的结 论，本章还讨论了高阶微分有理式的值分布问题对零点重级的限制条件，得到定理1 5 1 0 第四章研究了涉及零点重级与高阶导数的亚纯函数族的正规定则，这是h a y m a n 猜 想的进一步推广，涉及高阶微分有理式的取值问题，利用第三章的结论得到了一个新的 正规定则，并将这个正规定则的条件从分担值的角度来考虑，继而又得出一个新的正规 定则 关键字：亚纯函数族；正规定则；导数；重值 a b s t r a c t s i n c e19 0 7t h ec o n c e p to fn o r m a lf a m i l yh a sb e e np r o p o s e db ye m o n t e l ，t h et h e o r yo f n o r m a lf a m i l yh a sb e c o m ea ni m p o r t a n td i r e c t i o ni nc o m p l e xa n a l y s i s ，t h e nf m d i n gn e w c r i t e r i o n so fn o r m a lf a m i l yi s l a c i n g as i g n i f i c a n tp r o b l e m m a n ys c h o l a r sg a i nf r u i t f u l a c h i e v e m e n t so ni t m a n yf a c t sa r cr e l a t e dt ot h ec r i t e r i o n so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，i nt h i s t h e s i s ，t h eb o t hf a c t st h a tm u l t i p l ev a l u ea r i dd e r i v a t i v ea r ed i s c u s s e di ne s t a b l i s h i n gn e w c r i t e r i o no fn o r m a lf a m i l y n e wc r i t e r i o n so fn o r m a lf a m i l ya r ew o r k e do u ti nt h i st h e s i s ，w h i c hi sc o m p o s e do ff o u r c h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e rg e n e r a lb a c k g r o u n da n dr e s e a r c hp r o c e e d i n g so ft h e o r yo fn o r m a l f a m i l ya lei n 协o d u c e d ，t h en e c e s s a r yb a s i ck n o w l e d g ea n ds o m ei m p o r t a n tc o n c l u s i o n so f n o r m a lf a m i l ya r es h o w e da l s o ，t h e np r o o fo ft h er c s u l t1 5 6a r ea r r a n g e di nt h el a s ts e c t i o no f t h i sc h a p t e r i nt h es e c o n dc h a p t e r , an e wc r i t e r i o no fn o r m a lf a m i l yi sp r o v e d , w h i c hu n d e rt h e f o l l o w i n gc o n d i t i o n s ：f o re v e r yf u n c t i o ni nt h em e r o m o r p h i cf a m i l y , o fw h i c ht h em u l t i p l eo f z e r o sa tl e a s tk + 2a n dt h ep o l e sa tl e a s t2 ，t h ed e r i v a t i v ef u n c t i o nw i t hk - o r d e rd o e s n t tt a k ea m e r o m o r p h i cf u n c t i o nw h i c hi s n ta l w a y se q u i v a l e n c ez e r o t h i sc r i t e r i o ni se s t a b l i s h e do nt h e b a s eo ft h ep r o v e do n e ，i t sa b o u tt h el i m i t i n gc o n d i t i o no nt h em u l t i p l eo fz e r o sa n dp o l e s ，a n d t h ed e r i v a t i v ef u n c t i o nw i t hk - o r d e r i nt h et h i r dc h a p t e r , an e wc r i t e r i o n so fn o r m a lf a m i l yw i t hm o r ec o m p l i c a t e dh i g h - o r d e r d i f f e r e n t i a lr a t i o n a lf u n c t i o na r ef o u n db u tn oo t h e rc o n d i t i o ni sc h a n g e d ，i ta l s oc o m ew i t ht h e s a m ec o n c l u s i o nw i t h i na d d i t i o n ，at h e o r ya b o u tv a l u ed i s t r i b u t i o nw i t hh i g h - o r d e rd i f f e r e n t i a l r a t i o n a lf u n c t i o ni sc o n f a x n e dt o o ，w h i c hi sv e r yu s e f u li nt h ep r o o fp r o c e s s i nt h el a s tc h a p t e r ，o n ec r i t e r i o n so fn o r m a lf a m i l yi sg i v e no nt h eb a s i so ft h et i l i r d c h a p t e ，w h i c hi se x t e n s i o no fh a y m a nc o n j e c t u r et os o m ee x t e n t , a n dw i t ht h ev i e wo fs h a r e v a l u ep r o b l e m ，a n o t h e rn e wc r i t e r i o no fn o r m a lf a m i l yi so b t a i n e dt o o k e yw o r d s ：m e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ；m u l t i p l ev a l u e ；n o r m a l i t yc r i t e r i o n ；d e r i v a t i v e 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第一章绪言 1 1 正规族理论的研究背景与发展概况。l 1 1 1 正规族理论的研究背景。1 1 1 2 正规族理论的发展概况l 1 2n e v a n l i n n a 基本理论概述。2 1 2 1 重要定义2 1 2 2n e v a n l i n n a 基本理论。3 1 3 正规族基本理论概述4 1 4z a l c ma n 方法5 1 5 本文的主要结果7 第二章涉及重值的亚纯函数族的正规定则 2 1 重要引理1 0 2 2 定理1 5 6 的证明1 0 第三章涉及导数的亚纯函数族的正规定则 3 1 重要引理的证明1 5 3 2 定理1 5 1 0 的证明。2 2 2 第四章涉及重值与导数的亚纯函数族的正规定则 4 1 重要引理2 4 4 2 定理1 5 1 3 的证明一2 4 4 - 3 定理1 5 1 4 的证明2 4 总结及展望2 8 参考文献3 0 致谢3 3 附录( 攻读学位期间发表的论文) 3 4 第一章绪言 1 1 正规族理论的研究背景与发展概况 亚纯函数族正规族的研究有着百年历史，它应用复分析的理论和方法，其主要工具 是n e v a n l i n n a 值分布论( 例如界囿消值法) ，m a r t y 定则和m i r a n d 定则，z a l e m a n 法等， 研究复平面上亚纯函数族满足正规的条件，建立一系列的正规定则研究正规定则的基 本因素是涉及亚纯函数的导数与重值问题，近年涉及分担值、分担函数、分担集的正规 定则也是热点问题，这对导数与重值的研究程度要求越来越高，另外正规族在复解析动 力系统中的重要地位越来越受重视，因此涉及导数与重值的亚纯函数正规族的研究在整 个复分析领域有着奠基石的作用，意义非凡 1 1 1 正规族理论的研究背景 平面上任一无限点集至少存在一个聚点( 有穷或无穷) ，这就是点集的列紧性但 一族函数就未必具有上述性质，1 9 0 7 年，p m o n t e l 引入了正规族的概念，他把具有某种 列紧性的函数族称为正规族，这是一个非常重要的概念，在证明正规定则时，函数值分 布论常常起着关键的作用同时它也是复分析中一个有力的工具，从8 0 年代开始十分活 跃并且正在蓬勃发展的复动力系统，就是以正规族作为一个极其基本的概念的 法国著名数学家a b l o c h 曾注意到：如果开平面上的一个全纯( 或亚纯) 函数满足 某条件即蜕化为一常数，则在区域内一族全纯( 或亚纯) 函数一致地满足该足条件时应 该是一正规族简单地说，即相应于l i o u v i l l e p i c a r d 型定理，必有一正规定则，顺着 这个方法，以往预言的关于正规定则的问题上个世纪都得到解决与证实，近年来在b l o c h 法则、h a y m a n 猜想的基础上，用z a l c m a n 引理来猜测新的正规定则已成为研究正规族理 论中的一个重要方向 1 1 2 正规族理论的发展概况 关于正规族理论最初由m o n t e l 、m a r t y 和m i r a n d a 建立，b l o c h 与v a l i r o n 建立了 涉及导数和重值的正规定则，随后h a y m a n 提出了关于正规定则的涉及导数与重级的几 个猜想，直至8 0 年代，杨乐与张广厚研究导数与重值，获得了一个一般性的正规定则， 并由顾永兴改进和推广并证实了h a y m a n 的一个猜想，之后对正规族的研究进入快速发 展期，主要有几个方面的发展：从涉及分担值到分担函数、研究超越亚纯函数这种特殊 函数族的正规性、从高阶微分多项式到齐次多项式、从单复变亚纯函数到多复变亚纯函 数的正规性等涉及重点级数和导数、分担值的亚纯函数正规族方面的研究特别地，近 年来关于在已有的正规定则中将函数的取值问题予以考虑以及将复常数或全纯函数换 为亚纯函数等问题成为比较活跃的研究课题，这些方面尤其以顾永兴和庞学诚为主，取 得了很多优越的成果，经过方明亮，章文华等后继学者的改进和推广延伸了重值和导数 在正规族中的研究空间 1 2n e v a n l i n n a = 基本理论概述 正规族理论是以n e v a n l i n n a 所建豆明业纯凼效值分布理论为基础阳王妥包怙 n e v a n l i n n a 第一、二基本理论，对数引理等这里做简要的概述 1 2 1 重要定义 下面是展开n v 锄l i l l i m 理论需要用到的一些记号并设厂( z ) 为在h 灭，( o r ) 上 的非常数亚纯函数 定义1 2 1 崦坼胪芝1 定义1 2 2 埘( ，厂) # 去卜g + l 厂( 眇 册( ，) 是i 。) i 的正对数在k i = ，是的平均值，也记为历( 厂，) ，聊( ，7 与) 也记为 m ( r ，口) 定义1 2 3 ( ，力竽【盟半m f ) l 咿 丙( ，) # r 竺墅生2 芦+ 五( o ，f ) l 。g r 其中刀( f ，厂) 指函数( z ) 在h f 内按重数计算的极点数荔( f ，力指函数厂0 ) 在h f 内只 计算一次重级极点的极点数 ( ，) 称为f ( z ) 的极点的密指量( 或计数函数) ，也记为n ( r ，) ( ，_ 称为 ，一口 2 ( z ) 的口一值点密指量，也记为n ( r ，口) 丙( ，力称为厂的精简密指，一n ( r ，) 亦记作 丙( ，) ，丙( ，_ l ) 亦记作丙( ，口) ，( 口为常数) ，一a 定义1 2 4 r ( r ，) 声m ( r ，力+ n ( r ，厂) r ( r ，力称作，( z ) 的n e v 锄l i i l n a 特征函数它是n e v 锄l i 衄a 理论中最基本的概念 1 2 2n e v a n l i n n a 基本理论 本文中主要是第一、二基本定理的运用，详细内容请参考文献【1 1 定理1 2 1 ( n e v 勰l i l l r i a 第一基本定理) 设，( z ) 在i z l j 5 c ( o r 佃) 内的一非常数亚 纯函数若a 为任一有穷值，则当0 ， r 时有 m ，击) 钉( ，力“( 吖) 其中 i h ( a ，, ) l - l o g l c , l l + l o g + a i + l 0 9 2 ，( z ) 一口= c , z + c i + l z + 1 + l ( q 0 ) 定理1 2 2 ( n e v a n l i r m a 第二基本定理的特殊形式) 设厂( z ) 为h r ( o r o o ) 内非常数亚纯函数且厂( o ) o ，i ，及厂( z ) o ，则当 0 r r 时 丁( ，力( ，厂) + ( ，多) + ( ，i - ) 一l ( ，) + s ( 厂 门 其中 川( ，) ：2 n ( ，门一( ，f ) + ( ，_ 1 w 胁驴，争聊仉南g l 嘲扎9 2 定理1 2 3 ( n e v a n l i n n a 第二基本定理的一般形式) 设厂( z ) 为h o 使当刀，历 n 时，l 五( z ) ，厶( z ) i s ( z d 定义1 3 4 设六( z ) 伽= l ，2 ，l ) 为一函数序列均在一区域d 内亚纯则称l ( z ) 在d 上按球距内闭一致收敛，如暴工( z ) 在d 内任一有界闭域上按球距一致收敛 注：根据以上的定义，可以证实亚纯函数序列正( z ) 在d 上内闭一致收敛与它在d 上 按球距内闭一致收敛是等价的 4 赤。 由定义1 3 3 和定义1 3 4 ，给出极限函数一个重要的性质： 定理1 3 1 在区域d _ h p q 闭一致收敛的亚纯函数序列z ( z ) 的极限函数厂( z ) 在d 内 或为亚纯函数恒为o o 下面给出正规族的定义及重要的性质： 定义1 3 5 设，是区域d c 内的一族亚纯函数如果对于f 中的任何序列z ，一 定存在一个子序列厶，使得厶在d 内按球面距离内闭一致收敛到一个亚纯函数或内闭 一致收敛到无穷，则称f 在d 内正规 定理1 3 2 i 发 f c z ) 为区域d 内的亚纯函数族，这个族在d 内正规的充要条件是它 在d 内每点都正规 定理1 3 3 设 ( z ) 为区域d 内的亚纯函数族，这个族在d 内正规的充要条件是 从这个族中每个函数序列五( z ) 仞= l ，2 ，l ) 可以选出一个子序列丘( z ) ( 七= l ，2 ，l ) 在区域 d 上按球距内闭一致收敛 定理1 3 4 设 厂( z ) ) 为区域d 内的亚纯函数族，若对任一点气ed ，存在圆域 c ( z o ) cd 及一正数足，使对任一，乜) 厂( z ) c ( z o ) 内或者恒有l 厂( z ) l k 或者恒有 i 高l k ，则族( 厂。) 在。内正规 1 9 3 1 年，e m a r t y 建立了一个著名的关于亚纯函数族的正规定则，有趣的是这个定则 所需的条件不仅充分而且必要，我们通常称芡j m a r t y i f 规定则 定理1 3 4 ( m a 啊定则) 设 厂( z ) 为区域d 内的亚纯函数族，则族 ( z ) ) 在d 内正 规的充要条件是，对任一有界闭域gcd ，存在一正数m = m ( g ) ，使对每个 厂( z ) 厂( z ) ) ，恒有 坦m ，( z 否) l + i 厂( z ) 1 2 其中d ： i ；鲁称为，在z 点的球面导数，记为尸c z ，文中出现的记号均为此意义 1 4z a l c m a n 方法 z a l c m a n 方法是在证明亚纯函数族的正规性时，根据z a l c m a n 弓i 理反证其在不正规的 条件下得出的结论与所给的条件产生矛盾的方法在z a l c m a n 方法出现以前，人们证明正 5 规定则时所用的方法是先建立界囿定理，再消去原始值，而z a l c m a n 另辟蹊径，从m a r t y 正规定则出发建立一族亚纯函数不正规的一个充要条件，称为z a l c m a n 弓l 理，并由此导 出了一个正规定则，很多学者利用这种方法证实和推广t h a y m a n 猜想，并由庞学诚等 推广了z a l c m a n 的正规定则 z a l c m a n 最早给出的引理，后来被庞学诚，顾永兴等推广，使z a l c m a n 弓i 理有了更丰 富的形式，并广泛地应用下面给出z a l c m a n 弓 理的简要发展 定理1 4 1 ( z a l c m a n 引理) 设f 是单位圆盘上的内亚纯函数族，k ，_ ，是正整数， 且族f 中每个函数的零点重级均七，极点重级均，设口为一实数且- j 口 o ，+ 鸭l ，嘎+ 吃2 ，定义 _ = z 。：u ( 砌一u k ) ) m + 石瓦蒜= 6 ) 对于夥f ，如果当z e ，时，存在m 0 ，使得if ( z ) 险m ，则f 是正规的 定理1 5 8 用到了“( 厂) ”一口的增长性，如果知道了厂“( 厂”) ”一口的增长性，那么 我们可以得出下面这个定理，它的证明在第三章将给出 定理1 5 1 0 设f 为区域d 内一亚纯函数族，口( 0 ) ，b ，啊，是正整数， 且吃= 啊，记 墨2 z d ：u ( z ) 八似砌呐+ 瓦而蒜- 6 对于夥f ，如果当z e ，时，存在m 0 ，使得l 厂( z ) 陋m ，则f 是正规的 1 9 9 3 年方明亮，徐万松在h a y m a n 猜想的基础上做了推广，得到涉及高阶微分多项 式取值问题的正规定则 定理1 5 1 l 口1 设f 为区域d 内一亚纯函数族，m ，k 为两正整数，若对于f 中的每一 个函数，均有：( 1 ) f ( z ) 的零点重级k ：( 2 ) f ”( z ) f t k ) ( z ) l ，则f 在d 内正规 2 0 0 9 年刘礼培在定理i 5 1 l 的基础上考虑了m = 2 时，2 ( z ) 厂( z ) 取l 值的情况，得 到如下结论 定理1 5 1 2 n 设f 为区域d 内一亚纯函数族，k 为一正整数若任意的函数 f ( z ) f ，f ( z ) 的零点重级至少为k ，且存在m 0 ，使得当f 2 0 ) ( z ) = l 时i f ( z ) i m ， 则f 在d 内正规 基于定理1 5 1 l 和定理1 5 1 2 我们考虑了厂”( z ) u 0 ) ) ”取某值和分担值的正规族 问题，得到如下两个结论，将在第四章给出证明 定理1 5 1 3 设f 为区域d 内一亚纯函数族，m ，k ，刀2 为一正整数若任意的函数 f ( z ) f ，f ( z ) 的零点重级至少为k ，且存在m 0 ，使得当厂”0 ) 盯( z ) ) ”= 1 时 if ( z ) | m ，则f 在d 内正规 并且我们讨论了关于分担值的正规族问题，得到了： 定理1 5 1 4 设，为区域d 内一亚纯函数族，m ，k ，r l 2 为一正整数，口( 0 ) ，b 是两个 有穷复常数若任意的函数f ( z ) f ，f ( z ) 的零点重级至少为k ，且厂”( z ) u ( z ) ) ”= a 厂( z ) = b 则f 在d 内正规 9 第二章涉及重值的亚纯函数的正规定则 本章将对定理1 5 6 给予证明：设，是d 内亚纯函数族，k e n ，甄z ) 声0 是d 上 的亚纯函数，对w f ，在d 内的零点之级k + 2 ，极点之级2 ，且( z ) 厅( z ) ， z d ，则f 在d 内正规 首先介绍所需的引理 2 1重要的引理 引理2 1 【5 】厂( z ) 是开平面上的有穷级亚纯函数，k n ，厂( z ) 满足： ( 1 ) f c z ) 的零点重数均k + l ； ( 2 ) f ( z ) 的极点重数均2 ； ( 3 ) 厂( z ) l 则厂0 ) 是一个常数 由引理2 1 易知，将条件( 3 ) 换为“( z ) 6 ，b 为非零复数”时结论仍成立 引理2 2 川f 是有理函数，且厂( z ) 1 ；g f 的零点和极点重数2 ，除了一个极点 ( 或一个零点) 例外，则f ( z ) 是一个常数 引理2 3 1 6 设 ( z ) 为区域d 上的一族亚纯函数，族中每一函数厂o ) 在d 内的一 切零点之级均不小于k ，则族 厂( z ) ) 在d 内正规的充要条件是对 厂0 ) 中任一有界闭 子域召，均存在一正数m = m ( 召) ，使对一切厂( z ) 0 ) ，恒有 熙m ( z 面 l + i 厂乜) r 、7 2 2 定理1 5 6 的证明 需证夥f ，在v z o d 处正规下面分三种情况讨论 情形1 h ( z o ) , o ， 假设f 是d 上不正规，由引理2 1x 寸- y a = 七，存在一个函数列 正) f ， 一个复 数列 乙 哼及一个正数列岛一o ，使得 g a d = 巧五( 乙+ 岛f ) 1 0 在的紧子集上一致收敛于一个非常数的亚纯函数g ( 善) ，g ( 古) 的零点重数和极点重 数均分别k + 1 和2 ，且g ( 孝) 的级2 断言对于v 孝d ，g ( 孝) h ( z o ) 因为 r ”( 乙+ p j ) - h ( z + 成孝) - + g 佧g ) 一h ( z o ) 在的紧子集上一致收敛，且z ( 乙+ p j ) - h ( z + 岛孝) o ，由h u r w i t z 定理知对 v 孝，g ( ( 孝) h ( z 。) ，由引理2 1 得出g ( 孝) 为常数，矛盾 因此，h ( z o ) o , o o l t 寸，可，在气处正规 情形2 若h ( z o ) = 0 ，则3 0 8 o ，又 正，在( 艿) ) 上内闭一致收敛于，则v 占 d ，刀充分大时， 0 d f i ( z ) l - g 。，使得l z 西1 i m ，则年在足上一致收 ，( i ) ，l 敛于o ，c 碗分机从而( 等 在足上也一致收敛于o ，( 七) 由于z ”o ) 乃o ) ，故在d 上有等一l o 记帕，气，g ；a ) 为u a z o ) 上g - a 的零点 厅 一 由 嘎8 z 知哆气，杰h 怕唰磐hll 专o 得出在唼，内，刀唔，气，布= 。，c 甩充分大，故等在j z 一气k 万2 内 无极点，( 疗充分大) ，则q ) 在i z - z oi 8 1 2 内无极点，即z ( z ) 在i z - z ol 处正规，- f e g 在气处正规，假设g ：i ! e z o 不正规，由引理2 1 ，存在函数序列岛e g ，复数序列乙- z o ，正数序列见一o ，使得 q ( 孝) = g ( 乙+ 岛孝) 专g o ( o 在上按球面距离一致收敛，g o ( o 是上非常数亚纯函数，a o ( o 的零点重数 2 与极点重数3 ，除了z = z o 例外 下证g o 不是超越函数，对于g 瓴+ 艄= 黜叫鼽因触栌。 ，取己= 鱼矛( 回 气) ，当栉充分大时，设熙鱼矛2 彘，则g ( 己) 专g ( 彘) g 在 己处的零点重数2 与极点重数3 ，但在磊的极点重数可能2 ，所以彘叠( 万) 气 ， 不妨设g ( 孝) = 话g 可o ( o( 若彘是g ( 毋的两重极点) 或g ( 孝) = 否g = o ( 丽o ( 若彘是g ( 孝) 的 一重下面的讨论以g ( 护器为例且舯等1 ，由h 一雌理， v f d ，有g o 偕) 1 ，用n e v a n l i n n a 第一、第二基本定理，有 邓 g 0 ( 纠鳓伊2 m ( 民器) o ( 1 0 9 万) + - ( 正南) + 丙( 疋雨1 m ( 玩g o ) 三w ，g o ) + 扣，扣邓，g o ) + d ( 1 0 9 8 ) 三邓，g o ) + j 1 邓去) 心( 万，g o ) 加( 1 0 鳓 - 三r ( r ，g o ) + s ( r ，g o ) + 0 0 0 9 # ) u 除掉一个有限测度集外，s ( r ，g o ) = o ( t ( r ，g 0 ) ) ( ，专) ，因此g o ( o 不是超越的，由 引理2 2 知，g o ( o 是一个常数，矛盾- 所以g 在( 万) 内正规 下证f 在z o 点正规 因为g 在( 回内正规，厅( z ) 在( 回 气 内解析， 所以对任何函数列 晶2 之一) c g ，j o 使得 在( 艿) 上存在子列( 仍设为) 一致收敛于g ( z ) ， 这里g ( z ) 为亚纯函数或。o 若g ( z o ) = 0 0 ( 或g ( z ) 暑o d ) ，则j 爨o l 在够”) 内成立，z ( z ) 在( ) 内无零点，于是由定理条 件易推得在吒( 艿”) 内五( 2 ) o ，且z ”0 ) 而( z ) ，h ( z ) - i f _ 吒( 万”) 内解析( 当万充分大 时) 由定理1 5 4 ，即知厂( z ) 在气处正规 综上所述当h ( z o ) 0 时，v f f 在气处正规 情形3 h ( z o ) = o o ，厂d ( z o ) o o ，厂( ) 0 0 同样j o 万 o ，使得 ) 在( 戈) 上存在子列( 仍设为) 晶 一致收敛于g 乜) ， 这里g ( z ) 为亚纯函数或0 0 x g ( z o ) = 0 ，必存在o 露 戈，使得当z ( s d 时，lg ( z ) i 1 ，从而当刀充分大 时，i g , ( z ) i 1 ，由此推得，在( s d 内无极点，由最大模原理，当刀充分大时，存 在( 孚，厅( z ) ) _ m ，则，是正规的 首先给出所需的引理 3 1 重要引理 引理3 1 【l l lm ，惕，l ，n k 是非负整数，朋1 ，m + n l + l + 心1 ，记d = 册+ 吩+ l + 厂 是超越亚纯函数，其亏值万( o ，厂) 赤，则对于任意非零值c ，”( ) 1 lu 似) 一c 有 穷多个零点 注：在文献【1 6 】中注明当m 2 时，对亏值函数的要求可以略去，我们在文章中只需 考虑聊2 ，仇21 ，k 2 且惕，l ，体一l 都为0 的情况 引理3 2f 是非常数有理函数，m ，以，k 2 为正整数，f 的零点重级k ，贝, l j f ”u ) ” 取到任意非零有限值 证明：假设，“u 似7 不取口( o ) ，f ( z ) = 善暑，p ( 巩q ( z ) 是复多项式，p ，口为非负整 数，d ( f ) = d e g p - d e g q ，d e g p = p ，d e g q - - q ， 首先证明a o r ”( 厂) ”) 0 ， 若d ( 门= o ，则厂可写为厂= 么+ 吞暑，其中彳。为常数，d ( g ( 砌d ( q ( z ) ) ，从而 八撕( 圳叫+ 黔w 器尸妒，i 由d e g ( 删 q ，由”( 厂) “a ，我们可以推断，则存在多项式函数h ( z ) ， 使得八w ( z ) 卜等 ( 3 1 - 1 ) 另外，由厂( z ) = 丢暑可以推出厂”( z ) u 。( z ) ) ”的分子分母次数差为+ 朋) ( p g ) 一础 由( 3 1 1 ) 得( 刀+ 历) ( p g ) = n k 且p - q 1 不妨设z = p g ，且厂。) = 矿+ l + + 尝暑，其中尺。) 和q ( z ) 为两互素的多项 式且d e g r - d e g q o 与d e g r d e g q 0 矛盾，所以厂”u ) ”取到任意非零有限值 引理3 3 厂( z ) 为复平面上的超越亚纯函数，其零点数至少为k ，_ rk ，m ，刀2 为正整数， 则厂”( 厂) ”不恒为常数。 证明：假设厂”( 厂) ”置c ，c 为常数，显然c 0 ，因此厂0 ，且 1 f ”“= c 。1 ( 厂耻) “f ”，从而有 r ( r ，厂1 鬲) = 地厂州) + d ( 1 ) = ( 肌+ 1 ) t ( r ，厂) + d ( 1 ) = ( 聊+ 1 ) m ( r ，厂) + d ( 1 ) 训卜c 争邶) = s ( r ，厂) 则推知t ( r ，厂) = s ( r ，) ，与f ( z ) 是超越函数矛盾。即证。 引理3 4f ( z ) 为复平面上的超越函数，零点数至少为k ，且七，m ，n 2 为正整数， 令g = f ”( 厂似) “- i ，h = g 厂州，则 1 6 1 ) ( 所+ 刀) 丁( 厂，厂) p ，厂) + ( 厂，三g ) 一( ，丢) + 仰+ 1 ) ( ，) + s ( ，厂) 以 ， 7 ( 3 1 1 ) 2 )