（基础数学专业论文）利用距离正则图的子空间构作距离双正则图.pdf

河北师范大学顷士学位论文 中文摘要 设r 是个直径d 3 且具有几何参数( d ，b q ) 的d - 界距离正则图，p ( z ) 是r 中 包含。的子空间的集合，e ( x ，m ) 是p ( z ) 中的直径为m 的子空间的集合。1 s m d 用e ( x ，m ) 和p ( z ，m + 1 ) 中的子空问集分别作为二部图r 的顶点集矿的两个分划q 和 工，对任意l q ，a 2 厶 l ，2 ) 是r 的边集e 中的条边当且仅当1 2 证明 了r 是个直径为m “ 2 m m m ，d - m ，2 m i n m + i ，a - , n - 1 ) ，2 m i n m ，d - m - 1 + 1 ) 的距离双正则图，同时计算了其交叉数特别当r 的直径d ；2 m + 1 芝3 时，r 是一 个直径为2 m + 1 的距离正则图，并计算了它的交叉数 主要结果是t 定理3 1 设r = ( e 两如上所述，那么下面的( i ) 一( i i i ) 成立 ( i ) 对任意l ，2 q ，伊( l ，2 ) = 2 i 当且仅当d ( lf l 2 ) = 仇一 ，其中 0 s i s m i n m ，d m ； ( i i ) 对任意l ，2 厶伊( l ，2 ) = 翻当且仅当d ( 1n 2 ) = m + 1 一i ，其中 0 t s m i n m + l ，d m 一1 ) ； ( i i i ) 对任意l g 2 l ，a ( h 2 ) = 2 i + 1 当且仅当d ( l n 2 ) = m i ，其 中0 s i r a i n 价，d m l 定理3 2 图p = ( 矿，劲是直径为m x 2 n 血 m ，d m ，2 m i n m + l ，d m l ，2 m i n m ，d 一研一1 ) + l 的距离双正则图，并且它的交叉致为 妒二p 护， 胪= m + 1 】庐， 露= 乩，o _ i _ m i n ( m ，d - 毗 商一乩，0 _ i m i n ( m “d m _ 1 ) ， 岛。；阿 庐，0 _ i _ m i n ( m 小m - 1 ) ， 文。= 阿 肛，o s t m i n ( m d m 叫 其中 爿舻表示基为6 2 的g a u s s i m n ：项式系数 2 利用距离正则图的子空间构作距离双正则匿 疋蠼3 3 征足埋3 2 田条仟r ，当d = 2 m + l23 时，图l = ( v ，聊是互，倥为 2 m + 1 的距离正则图，并且它的交叉数为 老= 一1 】庐， 锄= 【i 】庐，o ts m ， + t = + 1 1 】庐，o s t m “。【j 庐，os 。s m 其中r 】。表示基为6 2 的g a u 蒯a n = 项式系数 关键词t 歪离正则图，雁离双正则图，正界距离正则图，强闭包子图，子空阀 河北师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t l e tfb es td - b o u n d e dd i s t a n c e - r e g u l a rg r a p hw i t hd i a m e t e rd23a n dw i t hg e o - m e t r i cp a r a m e t e r s ( d ，坟口) p i c kz y r ) a n dl e tp ( z ) b et h es e to fs u b s p a c e sc o n t a i n - i n gz s u p p o s ep ( z ，m ) a n dp ( x ，m + 1 ) a r et w os e t sc o n s i s t i n go fs u b s p a c e si np ( z ) 衲t hd i a m e t e rma n dm + 1 ，r e s p e c t i v e l y , w h e r e1sm d w r i t ep ( 。，哟= qa n d p 0 ，m + 1 ) = ld e f i n eab i p a r t i t eg r a p hrw h o s ev e r t 期s 吐i sb i p a r t i t i o nqu 工，a n d f o ra n ya 1 q ，锄l ，a li sa d j a c e n tt o 2i fa n do n l yi f l a 2 w ep r o v et h a t 亍 i sad i s t a n c e - b i r e g u l 丑rg r a p hw i t hd i a m e t e rm a x t 2 m i n m ，d m ，2 m i n m + 1 ，d 一，n l ，2 m i n m ，d 一 7 1 1 + 1 ) a n dc o m p u t ei t si n t e r s e c t i o nn u m b e r s i np a r t i c u l a r ，i ft h e d i a m e t e r o f r i s d = 2 m + i 之3 , t h e n r i sa d i s t a n c e - r e g u l a r g r a p h w i t h d i a m e t e r2 m + 1 ， i t si n t e r s e c t i o nn u m b e r sa l ea l s oc o m p u t e d t h ef o l l o w i n gi so u fm a i nr e s u l t s ： t h e o r e m3 1l e trb et h eg r a p hc o n s t m c t e da b o v e t h e nt h ef o l l o w i n g ( i ) 一( i i i ) h o l d 。 ( i ) f o ra n ya 1 ，a 2 q ，伊( l ，a 2 ) = 2 ii fa n do n l yi fd ( 1n 2 ) ：m i ，w h e r e 0 i s m i n ( m ，d t n ； ( 缸) f o r a n y l ，2 l ，矿( l ，a 2 ) 2 i i f a n d 伽蚵i f 硪a i n a s ) = m + 1 一t w h e r e 0 s i m i n m + 1 ，d m 一1 ； ( i i i ) f o ra n ya i q ，2 l ，矿( l ，a 2 ) = 2 i + 1i f a n do n l yi f d ( ln 2 ) = m i ， w h e r e0 s i m i n m ，d m 1 ) ； t h e o r e m 3 2p i s a d i s t a n c e - b i r e g u l a r g r a p h w i t h d i a m e t e r m a x 2 m i n m ，d m ) ，2 r a i n m + 1 ，d m l ，2 m i n m ，d m 一1 + l a n d i n t e r s e c t i o nn u m b e ma r e 妒： p 炉 胪= 一1 】庐， i v 利用距离正则图的子空间构作矩离双正则图 文= 阻，0 i _ m i n m ，d m ) ， 砭= 【；】庐，o 冬i 蛐 m + 1 d m 一1 文。= 】护1 0 t m i n r a ，d m _ 1 ) ， 磕+ ，= 庐，o s t _ m i n m d - m _ 1 ) w h e r e a r e g a u s s i a nb i n o m i a lc o e f f i c i e n t sw i t hb a s i s6 2 t h e o r e m3 3l fd = 2 m + 1 3 ，t h e nfi sad i s t a n c e - r e g u l a rg r s p hw i t hd i a m e t e r 2 m + 1a n di n t e r s e c t i o nn u m b e r sa r e c 2 c 2 + t p + 1 1 【1j 庐 w h e r e 吲萨m g a u s s i a nb i n o m i a lc o e f f i c i e n t sw i t hb a s i sb 2 k e y w o r d s ：d i s t a n c e - r e g u l a rg r a p h ，d i s t a n c e - b i r e g u l a rg r a p h ，d - b o u n d e dd i s t a n c e - r e g u l a r g r a p h s ，s t r o n g l yc l o s e ds u b g r a p h s ，s u b s p a c e s 选 一 一 l 且8 i 0 时的距离正则圈的分类 高镇劂，郭军刘稳研究了垂界距离正则图的子空间的计数定理，并用子空阅构 作了几何格 本文用出界距离正则图的子空间构作了一类新的距离双正则图，计算了它的参数， 2 利用距离正则酉的子空问椅作距离双正则图 并证明了当r 的直径d = 2 m - i - 1 3 时，这个距离双正则图也是距离正则的 打靶师范大学j 勇士学位论文 3 1 2 本文综述 本文共分三章第一章阐述了课题背景及发展概况第二章为预备知识，着重介绍了 第三章中要用到的一些符号，概念和基本结论第三章用具有几何参数出界距离正则图 的子空闻构作了一个新的距离双正则图，计算了它的参数，并证明了当d 一2 m + 12 3 时，这个距离双正则图也是距离正则图主要结果是s 设r 是个直径d 3 且具有几何参数( d ，6 o ) 的击界距离正则图，p ( x ) 是r 中 包禽善的予空闻的集合，p 扛，m ) 是p ( $ ) 中的直径为m 的子空间的集合，1 s m d 用p ( x ，m ) 和p ( z ，m + 1 ) 中的子空间集分别作为= 部图f 的顶点集矿的两个分划q 和工，对任意i q ，2 l ， l ，2 ) 是r 的边集露中的一条边当且仅当l 凸崆 对任意1 2 驴，用扩( l ，2 ) 表示它们之间的距离 定理3 1 设r = ( 矿，动如上所述，那么下面的( i ) 一( i j i ) 成立 ( i ) 对任意l ，2 q ，矿( h 2 ) = 2 i 当且仅当d ( a ln 2 ) = m i ，其中 0 i 5 m i n m ，d 一 l ； ( i i ) 对任意l ，2 l ，伊( l ，2 ) = 2 i 当且仅当d c a ln 2 ) = r n + 1 一i ，其中 o i s m i n m + 1 ，d m l ； ( i i i ) 对任意l q ，2 厶伊( l ，2 ) 一2 i + 1 当且仅当d ( ln 2 ) 一m 一 ，其 中0 m i n m ，d m l 定理3 2 图r = 缈，蜀是直径为m a x 2 m i n m ，d m ，2 m i n m + l ，d m 一 1 ，2 m i n m ，d - m l + 1 ) 的距离双正则图，并且它的交叉数 觯。 胪。 d m l l + 1 l ， 庐 庐 4 利用距离正则图的子空闻构作距离双正则匿 露一 喀一 鑫。一 吐+ l m m i + 1 ；二， l 0 m i n ( m ，d m ) ，0 s t s m i n ( m + l ，d m 1 ) ， 庐，o 曼l m i n ( ，d m 1 ) ，0 t s n l i n ( m ，d m 一1 ) 庐 其中【：】萨表示基为6 2 的g c 一而觚二项式系数 定理3 3 在定理3 2 的条件下，当d = 2 m + l 3 时。图r = 形两是直径为 2 m + 1 的距离正则圈，并且它的交叉数为 七= 勉2 c 2 + l 。r 1 1 ，0 墨is m llj 舻 其中【：】护表示基为6 2 的g a u s s 衲= 项式系数 推论3 4 设d = 3 ，劐定理3 3 中的圈f = 形动是直径为3 的距离正则图，并且它 的交叉数为 k= 2 l ；”1 1 ，0 t 1 l lj 护 其中【 】护表示基为6 2 的g a u s s 溉：项式系数 一 0 畦 + l 护 玎 l l l 一 1 i + l 或l j + 1 ( 4 ) 赶商z = 磅或一岛矗 命题2 2 设r 是个直径为d 的价为的距离正则圈那么 ( 1 ) 缸= c f + k + n i “= 0 ，l ，一，正) ( 2 ) 匈= n o = b = 0 ，c l = 1 且如= ( 3 ) 令岛：= 建i 则玩= q + l + lo o ，l ，d 1 ) + ( 4 ) 设和。是r 的两个点且w - ec ( 口，1 i ) 那么c ( w ， ) c ，口) 且b ( w ，口) b ( t ， ) ( 5 ) c i s 钳l 且岛6 件l ( 0 i ，j s d 一1 ) ( 6 ) 设，口，埘r 如果 昂( t ，) = 昂扣，t c ，) + 砩( w ，。 那么g ( u ，w ) g 曰( 口，t f ，) ， ( 7 ) 魄0 ，如果i + j d ( 8 ) 岛，如果0 5 i sj 且 + 歹s d ( 9 ) 这些具有单峰性，即存在整数h 和f ( 1 sh z d ) 使得 1 害蚝 七l 幻i 河北师范大学硕士学位论文 ( 1 0 ) 设0 s i - - - a i ；类似地，存 在 a 2 使得o ( y ，t c ，) ；i ，其中a 扛， ) = m ，而且z ，t | 。2 我们断言， a ( z ，) = ，l + i 并且l + 2 = ；，椰事实上，在l 中取连接。和z 的条最 短路z = 让，她“，仇，v o = 氩其中联啦，q 1 ) = 1 ，t s f 主；在2 中取连接铲和留 的一条最短路y = 蜘，“l ，砘“地= ，其中a ，m ) 。1 ，1 lsi 下面我们证 明ta ( z ，撕) 一m + 1 ，其中0 l t 显然z = 0 时结论成立假设z 一1 时结论成立，那么a ( z ，“l 1 ) = 价+ z 一1 于是 o ( z ，撕) = m + l 一2 ，7 n + f 一1 或m + z 假设o ( z ，蛳) = m + l 一2 或m + 1 1 那么 锄c ( z ，铆一1 ) u a ( 。，询一1 ) ：，蛳一i 因为z ，铆一l 是包含i 和z ，铆的 子空问并且 善，寥i n 毛铆l n 2 ， 所以 l n 以“l = z ，掣 由命题2 4 得， d ( l + z ，铆) = d ( 1 ) + d ( 菩，铆) 一d ( l n $ ，铆) = m + 1 这与z ，柚一l 是个直径为m + l 一1 的子空间矛盾因此，烈：，u 1 ) = m + f ，其中 河北师范大学硕士学位论文 1 5 0 sr s i 趟唠酬z ，加) = m + l ，因此l + 锄= ：，t ， 设= t f l ，啦一l ，剐d ( a ) = m 并且由 l 和雄一l 是连接z ， 的最短路上的点 知，d ( l + ) = 价+ i 一1 ，d ( 2 + ) = m + 1 于是，由命题2 4 得，d ( a 1 n ) = m i + 1 ，d ( 2 n ) = f ，l 一1 由归纳假设得， 矿( l ，) = 2 “一1 ) ，矿( 2 ，) = 2 ， 因此，a ( l ，2 ) s2 ( i 一2 ) ，2 ( i 一1 ) 或2 i 如果0 ( a 1 ，2 ) 一2 “一2 ) 或2 0 1 ) ，则由 归纳假设得，d ( l n 2 ) = m i + 2 ，m i + 1 ，矛盾说嘎矿( 1 ，2 ) = 2 i ， 反之，设扩( i ，2 ) = 2 i 而且l = a 0 ) ，( i ”，( ”，( o ) = 2 连接l 和2 的最短路上的部分顶点，其中伊( ，o 一1 ) = 2 ，1 t i 我们断言：d ( l + 2 ) = 巩+ i 因为d ( “n “) = m 一1 ，1 t i ，所以由命题2 4 ，并对i 归纳可碍， d ( l + a ( i 1 ) + + ( 1 + 2 ) s m + i 因为l + 2 c l + a ( t 一1 + + ( 1 + 2 ，所以d ( l + 2 ) s ，n + 1 假设d ( a l + 2 ) = m + l m + i 那么由命题2 4 得，d ( l n 如) = m z 由归纳 假设。得到a ( l ，2 ) = 剑 2 i ，矛盾因此，d ( l + 2 ) ；m + i 再由命题2 4 得， d ( z l l n 2 ) = m i ( i i ) 当i = 1 时，对任意l ，2 仨厶矿( l ，2 ) = 2 当且仅当d ( z l l n 2 ) = m 事实 上，对任意“2 厶如果矿( l ，2 ) = 2 ，则存在a q 使得，l ，赴2 于是，ln 22 因为l a 2 ，所以d ( 1n 2 ) sm 再由d ( ) = m 和 ln 2 得，d ( ln 2 ) = m ，反之，设d ( ln 2 ) = m ，则ln 2 q 并 且l n 盘l ，l n 2 2 即矿( l n a 2 ，a 1 ) = 1 ，扩( i n 2 ，2 ) 盅1 因此。 伊( l ，2 ) s2 又因为伊( l ，2 ) 1 并且l 2 ，故扩( l ，2 ) = 2 因此。对任意 l ，2 厶矿( l ，2 ) = 2 当且仅当d ( i n 2 ) = m 1 6 利用距离正剐图的子空间构作距离双正则图 与上面类似可证：对任意l ，a 2 l ，扩( l ，2 ) = 2 i 当且仅当d ( a 1 n a = ) = m + l - i ， 其中0 s i s m i n ( m + 1 ，d m 一1 ) ( i i i ) 我们对f 归纳当 = 0 时结论成立假设i 一1 时结论成立，当 时有；如 果d ( a 1 n 2 ) = m 一 ，在2 中取一个直径为m 的子空问，使它包含l n a 2 ，则 1n 2 = ln 鸽，扩( 2 ，= 1 于是，由前面讨论知，矿( l ，：) = 2 z 进步， 伊( l ，a 2 ) = 2 i i 或2 i + 1 若矿( l ，2 ) = 2 i - 1 ，则由归纳假设得。d ( a l n 2 ) = m + l 一 ，矛盾反之，设扩( l ，a 2 ) = 2 i + i ，到存在q ，使a - ( a ，2 ) = 1 ，伊( l ，) = 2 i 于是。c d ( a t n ) = m t 再由命题2 4 得 = d ( a l n ) d ( l n 2 ) = d ( 1 ) + d ( a 2 ) 一d ( l + 2 ) m + m + 1 一d ( l + ) = m i + 1 若d ( a l n a 2 ) = m a 1 ) ，由归纳假设得，矿( l ，a 2 ) = 2 i 一1 ，矛盾 定理3 2 图p = ( - ，两是直径为m a x 2 m i n m ，d m ，2 m i n m + 1 ，d m 1 ) ，2 m i n m ，d m l 卜r1 ) 的距离双正则图，并且它的交叉数 妒一 p 】庐， 舻= 【m + 1 】护， 露= 乩，o s t 血n ( 叫一m ) ， 喀= 嘲护，o s m i n ( m “d m 1 ) 露+ 。= 【 1 】庐，o i _ m i n ( m ，d m 一- ) ， 打北师范大学硕士学位论文1 7 砭+ 。= - 1 i - 1 】护，o f s m i n ( m ，d m 一1 ) 其中【： 萨表示基为6 2 的g a u s s j a n 二项式系数 证由命题2 6 知，r 是价 k o = n c m ，m + - ；田= 【4 j ” 护，p = c 0 , r e ；m + 1 ，= 【” 1 驴 的双正则图，并且 卷+ 蠼= n ( m ，m + 1 ；d ) ，0 s i s m i n ( m ，d m ) ； 吐+ 吆= n ( 0 ，m ；m + 1 ) ，0 i m i n ( m + l ，d r a 一1 ) ； 摆+ 1 + 曝+ l = n ( 0 ，m ；研+ 1 ) ，0 s l s m i n ( m ，d m 一1 ) ； 喀+ i + 囔+ l = ( m ，m + l ；d ) ，0 sm i n ( m ，d m 1 ) 我们先计算露对于取定的l ，2 q 由定理3 1 知，露是满足 d ( z l l n 2 ) = m i ，d ( l n ) = m i + 1 ，d ( , a n 2 ) = m ，a 2 的l 的个数我们m t - 言, 是满足d ( a l n ) = m i + 1 且包含2 的直径为m + l 的子空间，当且仅当a = 3 + 2 ，其中3 是1 中包含1 1 3 2 的直径为m 一 + 1 的子空间事实上，设是满足d ( l n ) = m i + 1 且包含2 的直径为m + 1 的子 空闻，则l n 是l 中包含1 n 2 的直径为m 一 + 1 的子空间由命题2 4 得。 d ( ( t n ) + 2 ) ；d ( l n ) + d 2 ) 一d ( l n n 2 ) = m + 1 再由( l n ) + 2 s a 和命题2 3 ( i i i ) 知，( a l n a ) + 2 = 反之，设= a a + 2 ， 其中3 是i 中包含l n 2 的直径为m 一 + 1 的子空间，则是包含2 的子空 1 8 利用距离正则图的子空间构作距离取正则图 间因为a 3 a l ，所以a 3 n 2 1 n 2 ，连一步，3 n 2 = a l n a 2 于是，由命 题2 4 得 d ( a a + 2 ) = d ( a s ) + d ( a 2 ) 一d ( a s n 2 ) = m + 1 再由命题2 4 得 d ( a x n 1 = d ( l n ( a s + 2 ) ) = d ( a 1 ) + d ( a s + 2 ) 一d ( a t + 3 + a 2 ) = f r t i + 1 显然，对任个取定的3 ，= 3 + 2 被3 惟一确定反之。取定a ，有3 n 1 由命题2 3 和d ( a l o ) = m l 十1 得，3 = n 1 说明3 被惟一确定于 是。由引理2 6 得 露= n o n t m - - i + 1 ；m ) = ；】庐，o s i m i n ( m , d - m ) 类似可得， 吐 + 1 - - - - n ( m - i , m - i + 1 ；m + 1 ) = j 1 】萨，o _ m i n ( m ，d m 一1 ) 我们再计算吐对于取定的1 ，2 l ，由定理3 1 知，c 蠡是满足 d ( a l n 2 ) = m + 1 一i ，d ( l n ) = 1 t t 一 + 1 ，d ( a n 2 ) = m ，2 的q 的个数即a 2 中包含i n 口的直径为m 的子空间的个数由引理2 6 得， 喀= ( m - i + 1 , m ；m + - ) = 【；! 。 萨= 【i 】庐，o t m i n ( m + ，d m 一) 河北师范大学两士学位论文 1 9 类似可得， 露+ t = n ( m t ，m ；m + ，) = f ；1 庐= ：1 萨，o t _ m i n ( m ，d 一仇一- ) 定理3 3 在定理3 2 的条件下，当d = 2 m + 123 时，圈r = ( 矿，劲是直径为 2 m + 1 的距离正则图，并且它的交叉数为 七= c 2 = c + l = m + 1 1 1 j 护 m ，0 s m ， ij 萨 譬1 1 ，0 曼 s m 1j 庐 其中k 表示基为6 2 的g a u 8 8 i a n 二项式系数 证由定理3 2 - - f 得：列任意l ，a 1 q ，a ( 1 ，a 2 ) = 2 i 当且仅当d ( l n 2 ) = m - i ， ；中0 s t sr a ；对任意l ，2 工，矿( l ，a 2 ) = 2 i 当且仅当d ( a l n 2 ) = m + l i ，其 中0 i s m ；对任意a leq a 2 c ，矿( 1 ，a 2 ) = 2 i + 1 当且仅当d ( a l a a 2 ) = m i ， 其中0 i s m 由命嚣2 6 知，r 是价 后= ( m 肘- 舻一1 庐 的正则图。并且 + 坛= c a | + l + 坛+ l = 0 s i t 弼 0 s i s m 我们只计算c 2 f ，+ 1 的计算类似对于取定的l a 2 l ，是满足 d ( l n a 2 ) = m + 1 一i ，d ( a l n a ) = m i + 1 ，d ( a n a 2 ) = m ，a a 2 铲 护 1lj 1ij l l + l + l m m 1【，_l = l i 七 七 2 0 和用距离正则图的子空间构作臣离双正则圈 的a q 的个数即a 2 中包含a l n 2 的直径为m 的子空间的个数由引理2 6 得， 锄；n ( m - i + 1 , m ；m + z ) = l i ， 庐= 【； 庐，o t m 对于取定的l ，a 2 q ，是满足 d ( 1 n a 2 ) = ，7 i i ，d ( l a a ) = m i + 1 ，d ( a n a 2 ) = m ，a 2 a 的a 工的个数与定理3 , 2 的方法类似。我们仍可得 纯= ( m 一；+ ，端m + ，) = l ! 。 罅= 嘲护，o t s 一 由上面的讨论可知，仅与矿( l ，a 2 ) 有关，而与- 和2 的特殊选取无关。因 此，r 是个距离正则图。 特别，在定理3 3 中。令m = 1 则可得推论3 4 推论3 4 设d = 3 ，则定理3 3 中的图r = ( 矿，百) 是直径为3 的距离正则图。并且它 的交叉数为 其中【 护表示基为6 2 的g a u s s i a n 二项式系数 注记；不难看出，推论3 4 中的距离正则图与文献f 2 1 第2 7 2 页的双g r a s s m a n ng r a p h s ( d o u b l e dg r a m a n ng r a p h s ) 当口= 铲时有相同的交叉数文献【2 1 指出，双g r a 略m 髓n g r a p h s 是距离可迁圈人们自然会问，推论3 4 中的距离正则圈是否也是距离可迁图? 它和双g r a 8 s m a n ng r a p h s 是否同构? 这是今后应继续考虑的问题 一 1 1 一 一 1 o 一 ， o 庐 ， ，1j 0 k。 2 1 1 1 1 = = = 七 勉 钒 坷北师范大学确士学位论文 参考文献 【l 】1b i g g sn l ，a l g e b r a i cg r a p ht h e o r y , c a m b r i d g et r a c t si nm a t h f i 7 ，c a m - b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，c a m b r i d g e ，1 9 7 4 1 2 】 b r o u w e ra e ，c o h e na m a n dn e u n m i e ra ，d s t a n c e - r e 掣d a rg r a p h s , s p r i n g e rv e r h g ，b e r l i n ，h e i d e l b e r g ，1 9 8 9 【3 1 b a n n a ie ，i t o t ，a g e b r a e c o m b i n a t o r i c sl ，c a l i f o r n i a , b e n j a m i n - c u m m i n g s ，1 9 8 4 【4 l r o s erc a n dm e s n e rd m ，o n n e a ra s s o c i a t i v ea l g e b r 邬c o r r e s p o n d i n kt o a s s o c i a t i o ns c h e m e so f p a r t i a l l yb a l a n c e dd e s i g n s , a n n m a t h s t a t i s t ，1 9 5 9 ， 3 0 ：2 1 3 8 【5 】b i g g sn l ，d e s i & m s ，f a c t o r sa n dc o d e si ng r a p h s , q u a r t j m a t h o x f o r d ， 1 9 7 5 ，2 6 ( 2 ) ：1 1 3 - 1 1 9 【6 】b i e rt ，l a t t i c e sa s s o c i a t e dt ot h e 眺n g l l f a ra s s o c i a t i o ns c h e m e , a r st o m - b i n ，1 9 8 7 ，2 3 ( a ) ：4 1 5 0 7 1 万哲先，戴宗泽，冯绪宁，阳本傅，有限几何与不完全区组设计的一些研究， 科学出版社，1 9 6 6 ：1 - 1 2 4 1 8 1 b a n n n ie ，c o d e s 缸b i p a r t i t 七d i s t a n c e - r e g u l a rg r a p h s ，j l o n d o nm a t h s o c ， 1 9 7 7 ，1 6 ( 2 ) ：1 9 7 - 2 0 2 【9 l b a n n a ie ，o np e r e c c o d e s 血t h eh a m m i n ks c h e m e 圈缸彩w i t hqa r n t r a r y , j c o m b i n t h ，1 9 7 7 ，2 3 ( a ) ：5 6 - 5 7 利用距离正则图的子空间梅作距离双正则图 【1 0 1b i g g sn l ，p e r f e c tc o d e s ag r a p h s ，j c o m b i n t h ，1 9 7 3 ，1 5 ( b ) ：2 8 9 - 2 9 6 【1 1 】d e l s a r t ep h ，a na l g e b r a i ca p p r o a c ht ot h ea s s o c i a t i o ns c h e m e so f c o d i n gt h e - o r y , p h m p sr e s e a r c hr e p o r t ss u p p l ，1 9 7 3 ，1 0 f 1 2 j 王仰贤，王春森，麻常利，特征为2 的有限域上二次登结合方案，科学通报， 1 9 9 8 ，4 3 ( 1 4 ) ：1 4 8 2 - 1 4 8 4 【1 3 h e m m e t e rj ，t h el a r g ec l i q u e si nt h eg r a p ho fq u a d r a t i cf o r m s , 耻j c o m b i n 1 9 8 8 9 ：3 5 9 - 4 1 0 【1 4 h u a n gt ，s o m er e s u l t so nt h ea s s o c i a t i o ns c h e m e so fb i l i n e a