（工程力学专业论文）混凝土细观损伤与断裂的数值模拟.pdf

摘要 摘 混凝土材料由于其自身诸多的优点 要 多年来一直在土木工程中被广泛应用。 混凝土是一种由骨料和砂浆构成的非线性材料。由于混凝土浇铸初期的| 二燥过程 和水化作i e | ，使得骨料和砂浆结合面处存在大量的初始裂缝。很多研究表明：混 凝士的非线性就是由于这些裂缝的张爿：、闭合和发展造成的。混凝上损伤过程涉 及许多重要的细观力学机制，如裂缝的闭合、丌裂、分叉及摩擦效应等。日前国 际上已经丌始注意剑从混凝土细观尺度出发研究混凝土宏观损伤与断裂过程的许 多优点，尤其是当今讣算机技术的发展，为从细舰层次研究宏观层次的力学问题 开辟了广阔的前景。 本论文立足于对混凝土材料特性的认识，提出一个进行混凝七损伤与断裂过 程模拟的细观数值模型。从细观角度，混凝土可视为砂浆、骨料和两者之间的粘 结面组成的三相复合材料，将混凝土中的原始缺陷认为是初始损伤，通过统计理 沦中的w e i b u l l 分布来实现了这种随机损伤的随机性分布，建立了数学模型。形成 了多种混凝土数值试件，并对混凝土数值试样拉压、单边裂纹数值试样拉伸以及 三点弯曲粱数值试样进行了损伤与断裂模拟研究；并对三点弯曲梁的破坏全过程 进行了尺寸效应分析。研究表明，本文提出的计算模型接近实际构件，对混凝土 1 f 线性描述具有相当高的精度。 【关键词】混凝土、损伤与断裂、数值模拟、有限元、w e i b u l l 分布、阈值 a b s t r a c t b e c a u s eo fi t se x c e l l e n c e ，t h em a t e r i a lo fc o n c r e t eh a sb e i n gu s e df o rs o m ey e a r s r h ec o n c r e t eb e i n gm a d eu po fb o n ea n ds a n ds l u r r yi sak i n do ft h en o n l i n e a rm a t e r i a l d u et ot h ep r o c e s so f m o l d i n g c o n c r e t ei n i t i a ls t a g e d r y n e s sa n d h y d r a t a b i l i t y , t h e r ea r e al o to fi n i t i a lc r a c k si nt h eb o n ea n ds a n ds l u r r y c o m b i n a t i o n m a n ys t u d i e ss h o wt h a t t h en o n l i n e a ro fc o n c r e t ei sc a u s e db yt h e s ec r a c k s c r a z i n ga n d e x p a n d i n g t h ep r o c e s s o fc o n c r e t e d a m a g ei si n v o l v e di nag r e a td e a lo ft h em i c r o c o s m i cm e c h a n i s m ，f o r e x a m p l et h ec l o s eo l c r a c k s ，c r a z i n g ，f r a c t u r ea n ds oo n a tp r e s e n t ，t h ea d v a n t a g eo f t h em i c r o c o s m i cm e c h a n i c st o s t u d yt h ep r o c e s so fc o n c r e t e d a m a g ea n df r a c t u r ei s b e i n gn o t i c e d e s p e c i a l l y ，t h ed e v e l o p m e n to fc o m p u t e r ，i ti n a u g u r a t e s t h ev a s t f o r e g r o u n d t o s t u d y t h e m a c r o s c o p i c a lm e c h a n i c a lp r o b l e mt y o mt h em e s o s c o p i c m e c h a n i c s t h i sp a p e ri sb a s e do nt h eu n d e r s t a n do ft h ec o n c r e t em a t e r i a l ，t h em a t h e m a t i c m o d e lt o s t u d yt h ep r o c e s so f c o n c r e t e sd a m a g ea n df r a c t u r ei sb e i n gp u tf o r w a r da t m e s o s c o p i cs c a l e ，c o n c r e t em a y b er e g a r d e da sat h r e e p h a s ec o m p o s i t ec o n s i s t i n go f c o a r s e a g g r e g a t e ，m o r t a rm a t r i x a n di n t e r n a l z o n e s o r i g i n a l i t yd i s f i g u r e m e n t o f c o n c r e t eb e i n gr e g a r d e di n i t i a l i z e d d a m a g e ，t h er a n d o md i s t r i b u t i o n i sb a s e do nt h e s t a t i s t i cw e i b u l l sd i s t r i b u t i o n t h em a t h e m a t i cm o d e li sb u i l tb yt h i sw a y m a n yk i n d s o fc o n c r e t em o d e l sc o m ei n t ob e i n g t h i s p a p e r sc o n t e n ti st h en u m e r i c a ls i m u l a t i o no f t h ed r a wa n dp r e s s u r et oc o n c r e t e ，t h ed r a wt ot h eo n es i d ec r a c kc o n c r e t ea n dt h r e e p o i n t sb e n d i n gg i r d e r sd a m a g ea n df r a c t u r e ，m o r e o v e r , t h ea n a l y s i so ft h ed i m e n s i o n l a wo ft h et h r e ep o i n t sb e n d i n gg i r d e r t h es t u d ys h o wt h a tt h em o d e li sc l o s et ot h e r e a ls a m p l e sa n dt h e p r e c i s i o no f c o n c r e t en o n l i n e a r k e yw o r d s c o n c r e t e ，d a m a g ea n df r a c t u r e ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ，t h ed i s t r i b u t i o no f w e i b u l l ，t h et h r e s h o l dv a l u e 第一章绪论 第一章绪论 1 1 问题的提出 混凝十作为主要的建筑材料已有百余年的历史，它被广泛应用于水利工程、 土木工程和采矿工程各个领域。长期以来，有关工程技术人员对混凝土的力学特 性也已进行了深入的研究，取得了令人瞩目的成果，但是对于混凝土损伤与断裂 扩展以及损伤与断裂机制等基本问题，还需要进一步的研究。工程中常将混凝上 视为宏观的均质各向同性材料，这在工程中足以解决具体问题，但这种宏观假定 很难具体的考虑到混凝土材料的细观组成以及力学性质的复杂性，因此，目前国 际上研究人员已经开始从混凝土细观尺度来研究混凝土宏观损伤与断裂过程，尤 其是当今计算机技术的发展，为从细观层次研究宏观层次的力学问题开辟了广阔 的前景。为此，本论文立足于对混凝土这个工程材料的认识，提出个进行混凝 土损伤与断裂过程模拟的数值模型，并对其在多种受力状态下的损伤与断裂过程 及其机制进行了数值模拟研究，并通过其计算结果研究了尺寸效应律，得到较好 结果。 以断裂力学或者损伤力学为基础的方法或模型均假定混凝土为均匀利料，这 种方法忽略了混凝土作为非均匀材料所具有的强度性质的随机性。混凝土材料是 由水泥砂浆、骨料混合而成的多相复合材料。如何反映各相材料的非均匀性，就 引出了本论文的出发点。随机方法假定混凝土的力学性质在空间分布上具有随机 性，由于混凝土作为非均匀材料的随机性，人们认为用随机方法研究混凝土的力 学性质是较为合理的。早在1 9 3 9 年，w e i l b u l l 以“最弱环假设”为基本假设，提 出了材料脆性破坏强度统计理论，并在此基础上提出了材料局部强度的分布函数 ( w e i b u l l 分布) 。这实际上是从概率统计学的角度研究结构的宏观统计强度，进 而研究脆性材判组成结构的可靠性，这样就根据脆性破坏的统计断裂理论发展起 来概率断裂力学【1 1 。 混凝土在其浇筑成形过程中，一方面由于水化热作用、泌水作用和骨料的无 规则性和质量不均匀性等原因，不可避免地存在着毛细孔、孔隙及裂隙等初始缺 陷： - - t j n ，混凝土体内水泥砂浆与骨料的交界面是薄弱处，在外界因素作用 下，将脱开而形成界面裂隙，并发展成微裂纹。 河海大学硕士学位论文 由于混凝上的损伤与断裂过程与其中含有的微裂纹有关，因此混凝土对拉应 力特别敏感，是种脆性材荆。尽管如此，由于混凝土材料本身的非均匀性，使 得其损伤与断裂过程更加复杂，如何对这种复杂的损伤断裂到失稳过程进行研究， 一直是固体力学家为之奋斗的难题。 卜2 混凝土损伤与断裂的细观研究尺度 1 2 1 细观力学的研究尺度 细观力学是研究材料细观结构对载荷及环境因素的响应、演化和实效机理， 以及材料细观结构与宏观性能的定量关系的一门新兴科学”“，它是固体力学1 j 材 料科学紧密结台的产物。细观力学将连续介质的概念与方法直接应用到细观的材 料构元上，利用多尺度的连续介质力学的方法，引入新的内变量，来表征经过某 种统计平均处理的细观特征、微观量的概率分布及其演化。 细观尺度只是一一个相对尺度，并没有严格定义哪个几何尺寸范围为细观尺度 的大小，对于不同的材料和研究对象，该尺度的范围是不同的。混凝土的细观尺 度只不过是人们针对混凝土的结构而提出的。细观力学的研究需要实验、理论和 计算三方面的密切配合。实验观测提供了细观力学的物理依据和检验标准；理论 研究总结了细观力学的基本原理和理论模型；计算分析是细观力学不可缺少的有 效研究手段，它既为理论研究的验证和广泛应用提供了先进有利的工具，又为实 验研究创造了高效经济的计算机仿真技术。人们可以利用介质细观力学的本构关 系，借助于计算机的巨大运算能力，对复杂的力学行为进行计算机的模拟。这样 的计算细观力学可以把材料在损伤和破坏过程的细观非均匀性作为研究的重点。 计算细观力学的现状和发展趋势主要沿着三个方向进行： ( 1 ) 将连续介质力学、损伤力学和计算力学相结合去分析细观尺度的变形、损 伤和破坏过程，以发展较精确的细观本构关系和模拟细观破坏的物理机制； ( 2 ) 基于对细观结构和细观本构关系的认识，将随机分析等理论方法与计算力 学相结合去预测材料的宏观性质和本构关系，对机构部件的宏观响应进行计算仿 真； ( 3 ) 将分子动力学、细观力学和计算力学相结合，构成宏、细、微观多重尺度 的、描述材料变形一损伤一破坏过程的统一理论框架和相应的计算软件； 第一章绪论 细观力学小1 h 提供了解决材料破坏问题的力学途径，更重要的是它指出厂研究 的思路，像岩石、混凝十之类的非均匀材料的脆性断裂过程，都完命i u 以借助丁 细观力学的思路来研究。 根据混凝土的破坏机理，按以下的方法进行混凝土结构物的应力分析和模型试 验才是合理的：首先，要知道硬化水泥浆和骨料以及它们结合面的力学性能，秒 浆及骨料缺陷的分布状况；然后，对这种组合体进行应力分析。这种方法才能真 正模拟实际混凝上受载时的应力状态和结构变化。 7 2 2 混凝土的细观结构特征 根掂混凝土组成材料颗粒的大小，破坏可以分为三级：硬化水泥浆、砂浆和 混凝土的破坏。硬化水泥浆和砂浆也不是均质的，其中包括一些未被水化的水泥 颗粒及孔隙，它们就是缺陷。水泥浆体的破坏可能从这些缺陷开始。剥于砂浆来 说，可视为水泥浆体为母体，砂为填料。砂和水泥浆的结合面为薄弱面，该处常 产生结合缝。对丁混擞士，可视砂浆为母体，粗骨料为填料、骨料和砂浆母体的 结合缝又比砂和水泥浆的结合缝大一个量级。在同样的应力状态下，骨判和砂浆 的结合面必先起裂。因此，从混凝土的结构来看，混凝土的破坏实际上是一个非 常复杂的结构变化过程。 混凝土是粗骨料、细骨料、水泥水化产物、未水化水泥颗粒、孔隙及裂纹等 组成的复合材料。混凝土的内部结构具有多尺度性。研究尺度可以分为微观 ( m i c r o s c o p c ) 、细观( m e s o s c o p i c ) 和宏观( m a c r o s c o p i c ) 。通常来说，混凝土的 细观是指1 0 - r , m ( 亚微米) 至1 0 2 m ( 厘米) 之间的尺度。但是，细观往往又是一个相 对尺度，针对不同的材料体系，按照上述物理模型的定义来调整对应的宏观和细 观的空间尺度范围，如混凝土的细观模型可以细到毫米或厘米的量级，丽地质和 地震研究中的细观模型可能粗到千米的量级。 细观尺度所包含的范围较大，在浚尺度下，颗粒结构是最重要的，可以观察 到骨料颗粒以及较大的孔隙，骨料颗粒与砂浆间的相互作用是混凝土的个基本 特征，并且材料非均质性本质上是由于材料内部结构的非均匀性引起应力集中， 从而导致强度降低而引起的，这些可以通过实验曳接观察或通过机械振动的潜线 观测。在理论上，可以对组成材料的各单元的力学性质进行表征，按照细观力学 的方法研究混凝土的宏观力学响应。 河海大学硕士学位论文 在细观尺度下，假设混凝土是由砂浆基质、半日骨料和两者之间的粘结界丽组 成的三相复合材料，可以认为各相是均匀或非均匀的，按照复合材料的观点，用 数值方法研究混凝土的断裂过程。当然用于在细观尺度下输入的各相的物理力学 参数必须以实验数据为依据，而模拟的宏观力学响应也要接受该层次下的实验的 检验。由此可见，数值模拟和实验是相辅相成的，只有能够解释一些实验现象并 且经得起实验检验的数值模拟方法才能起到替代部分试验得作用。 卜3 混凝土细观模型国内外研究进展 在绍观尺度上，混凝土是以骨料为填料和以硬化水泥砂浆为母体组成的复合 材料，因此骨料和硬化水泥砂浆以及它们的结合面的力学性能必然影响混凝士的 力学性能。立足于对混凝土细观结构的认识，人们提出了许多研究混凝土断裂的 缅观力学模型和方法。 1 , 3 1 网格模型 以理论物理学为基础发展起来的网格模型( l a t t i c em o d e l ) 1 4 1 1 是典型的细观 数值模型。网格模型的使用已经有4 0 年的历史了。最初它被用来求解经典的弹性 力学问题，使用的网格是规则的三角形单元，单元由桁架组成。由于当时的计算 速度难以满足要求，网格模型仅仅是作为一个理论模型，没有发展形成相应的数 值模拟方法。到了2 0 世纪8 0 年代，随着计算机速度的提高，该模型重新引起了 一些理论物理学家的兴趣，被用来求解非均匀材料的脆性破坏问题。【s c h l a n g e n d v a nm i e r 最先应用网格模型来模拟混凝土的逐渐破坏过程。该模型首先把计算 的连续体离散化成三角形或者四边形网格，网格一般可由秆单元或者梁单元组成。 网格的泊松比依赖于网格的形状以及梁的弹性常数。为了模拟混凝土的非均匀性， 梁单元的参数必须认真选取。根据混凝土的细观结构，为组成网格的梁单元赋以 力学参数，该模型可以考虑骨料等细观结构的随机分布特性。梁单元被认为是弹 性的，当其应力状态满足给定的强度准则时，该梁单元可以从网格中剔除，剔除 梁单元意味着裂纹的产生。这样一来，就可以模拟混凝土的断裂过程。 网格模型在模拟受拉破坏所引起的断裂过程时非常有效的。但是该模型在模 拟混凝土等材料在压缩载荷( 包括单轴压缩和多轴压缩) 作用下的宏观响应时， 结果不理想。另外，用该模型得到的载荷位移曲线反映出比较脆的性质，与混 第章绗沦 凝土的实际不符，研究者认为这是由于该模，牲中忽略了较小的颗粒，以3 2 1 1 二i 维 模型研究三维问题所造成的。 1 3 2 粒子模型 粒子模型最早是由c u n d a l l 等人于1 9 7 1 年提出的，主要用于模拟颗粒固体 材料。该模型假定材料是由些随机分布的刚性的圆形颗粒组成。此后，陔模型 继续发展，形成了现在的离散单元法。z u b e l e w i c s 等把该模型应用于具有界面地 质材料中微结构变化和裂纹扩展的模拟。随机粒子模型( r a a d o mp a r t i c l em o d e l ) 也属于粒子模型的范畴，该模型考虑了粒子分布的随机性，以模拟混凝土的骨料， 但忽略丁相邻颗粒之间接触层的剪切和弯曲作用力。与c u n d a l l 模型的矸：同之处在 于颗粒被认为是弹性的，可以因受力而变形，而不是刚性的。这些粒子随机分布 在基体中，基体也被认为是弹性的。颗粒的周围是与基体的接触层陔层被假设 具有应变软化特性，当其应变达到给定的数值时，按照线性应变软化曲线来表示， 此处断裂能仍然被认为是一个材料参数。当单元卸载时，仍然保持原有的刚度。 1 3 3 m h 模型 m o h a m e d 和h a n s e n 4 3 1 在认识混凝土细观结构及破坏机制的基础上，也提出了 类似的微观模型( m i c r o m e c h a n i c a lm o d e l ，简称为m h 模型) 。实际上该模型叫作 细观模型更为确切，因为它也是从混凝土的细观结构出发，假定混凝土是砂浆基 质、骨料和两者之间的界面组成的三相复合材料，并用有限元进行了模型的实施。 模型中考虑了骨料在基质中分布的随机性以及各相组分的力学性质的随机本质， 各单元的性质是基于虚拟裂纹模型的概念，借用了其断裂能的概念，按照分布型 裂纹模型的方法描述单元受拉破坏的本构关系。同时，该模型认为拉裂是产生裂 纹扩展的主要原因，所以假定单元只发生拉破坏，没有剪切破坏。该模型在模拟 一些以拉破坏为主要原因的试验( 如单轴拉伸、单轴压缩、四点剪切等) 时，取 得了许多令人满意的结果。但是未看到模型模拟混凝土在双轴载荷作用下断裂的 文献报道。 就进行混凝土断裂过程的数值模拟而苦，应用网格模型和m h 模型发表的数 值模拟结果较多，这两个模型是比较完善的，其有效性在混凝土断裂数值模拟中 也是得到广泛认可的，尽管如此，这两个模型都假定拉伸损伤为混凝土细观断裂 的唯一准则，m h 模型引用断裂能为细观单元的力学参数，在模拟复杂受力条件 ；一u 海大学硕十学位论文 下混凝土的断裂问题时具有一些局限性，网格模型使用脆性的本构关系，模拟的 绒荷一位移曲线偏脆陲，并 l 在模拟单轴乐缩断裂时的结果不甚理想；到目前为 止，还没有从混凝土细观尺度出发，模拟其在双轴载荷作用下的强度及其断裂过 程的文献报道。 在国内，一些学者也进行了类似的工作。如清华大学的刘光廷等也将混凝土 看作是由水泥砂浆、骨料利二者间粘结带构成的三相复合材料，根据混凝土骨料 的级配产生了混凝土结构，并将有限元网格投影到该结构上，根据不同类型，社厄 的位置确定单元的材料特性，用以代表混凝土的三相结构，采用非线性有限元技 术模拟了单边裂纹受拉试件从损伤到断裂破坏的全过程。 唐春安教授( 】于1 9 9 1 年提出了岩石缅观单元强度具有正态分布的假设，认为 细观非均匀性是造成准脆性材料宏观非线性的根本原因，用统计损伤的本构关系 考虑了岩石材料的非均匀性和缺陷分布的随机性。此后，考虑到求解上的方便， 用w e i b u l l 分布代替正态分布来表达这种随机性，把这种材料性质的统计分布假设 结合到数值方法( 如有限单元法) 中，并对满足给定强度准则的单元进行破坏处 理，使得非均匀岩石破坏过程及其声发射特性、岩层移动等工程问题、震源孕育 模式、脆性非均匀材料中的断裂扩展问题等方面的数值模拟研究，与实验结果表 现出较好的一致性。其模拟的数值模型如图1 1 和图1 2 所示。 图1 1 砂浆细观结构试样图1 2 混凝土细观结构试样 】。3 4 多边形随机模型 a 骨科模拟 目前工程上常用的混凝土以碎石混凝土居多。碎石混凝土在二维上表现为多 边形，因此可以用随机分布的多边形来模拟梁构件横截面上骨料的分布。首先应 筇一章绪论 刖蒙特卡洛法产生均匀分布的伪随机数，然后以这些随机数为基础构造混凝土骨 料的大小、形：恢、分布，即产生出随机骨料结构，这样可反映混凝土材料的非均 质性，如图1 3 所示。 f - 一，q ! 一hor 、- j r 。、ci 7 一 n ( j ，一 、( 、：l | ，十一 二o 二 一， ( 、。0 。_ t 、：1 ，i ! ：l 一、一_ j i 、t l ) 、o f j j h ，“、- 、川1 ：。 f 。j 图1 3 混凝士材料示意图 b 单元及材科划分 当受力构件带有裂缝时，裂缝尖端附近区域会出现很大的应力或应变，甚至 出现奇异性。为了对这样的构件进行比较精确的解析，使用奇异单元等方法是有 效的；也可采用这种方法，当对这些局部区域的单元划分较小时，其解析精度也 是足够的。所以采用矩形和三角形两种单元相结合的办法，将裂缝附近的区域加 密，直至精度满足要求为止。 有限元网格划分完成后，将其投影到骨料结构上，并分配不同的刚度等材料性 能给相应的单元。即单元位于骨料内部时，将骨料的材料性能分配给该单元：当单 元位于砂浆中时，将砂浆的性能分配给该单元；当单元位于骨料和水泥砂浆之i n j 时，将粘结带的材料性能分配给该单元。 1 3 5 球形随机模型 a 随机骨料模型的建立 假定已知级配的骨料形状为球形，按骨料达到最优密实度条件的f u l l e r 二二维 级配曲线，其级配曲线表达式为 y = 斟i ， 式中：y 为骨料通过直径为d o 筛孔的重量百分比；d 。，为最大骨料颗粒径。 w a l r a v e nj c 基于f u l l e r 公式，将三维级配曲线转化为试件内截平面上任一点 具有骨料直径d d o 的概率p f ( d s 。 d 。 1 丝生 ( 2 1 6 ) 【8 3占3 s c o d = d = 岛 s “ 毛 s 。o f 21 8 ) 占3 f c o 式( 2 1 6 ) 为三维状态下，脆性并带有残余强度的损伤变量的表达式；式( 2 1 7 ) 为软化曲线为幂函数并带有参与强度的三维状态下的损伤变量的表达式：式f 2 1 8 ) 为式( 2 1 7 ) 当不考虑残余强度时损伤变量的表达式。 2 - 3 混凝土拉伸损伤本构关系 在单轴受拉的应力状态下，我们采用m a z a r s 损伤模型，假定细观单元的弹性 损伤本构关系如图2 5 所示。该模型认为在峰值应力前应力应变为线性关系， 材料无损伤，或初始损伤不扩展；应力大于峰值应力后，为了研究不同的软化段 曲线对于宏观模拟结构的影响，这里分别研究了如图2 5 ( a ) 和2 5 ( b ) 所示的 两种损伤本构关系。图2 5 ( a ) 是脆性并带有残余强度的本构关系，图25 ( b ) 是幂函数软化并带有残余强度的本构关系。在图2 5 ( b ) 的本构关系中，当幂指 数1 1 取不同的常数时，又可以考虑软化快慢的影响。 、， o 一 ， t 一 。睁堡如 、， 。 巳 河海火学硕”学位论文 对于图2 5 ( a ) 所给出的本构曲线，损伤变量的表达式为 d = s c m g t o f 屯 ( 2 j 9 ) 占占m 式中：厶是单元的残余强度；s ，。是弹性极限所对应的拉伸应变，该应变可以 叫做拉仲损伤应变蚓值；s 。是单元的极限拉伸应变，当单元单轴拉付i 应变达到极 限拉伸应变时，单元将完全损伤，达到拉伸断裂( 破坏) 状态，即d = 1 。 魏性并带有觋= 采强鹱 f b ) 鞴避戢戢把特惟有战隶强虚 图2 5 细观单元单轴受拉时的弹性损伤本构关系 这里用s 。= r e ，o 来定义极限应变系数，7 ( u l t i m a t es t r a i nc o e f f i c i e m ，缩写为 u s c ) 。单轴拉伸应力状态下，定义关系式厶= 顽= 五玩s ，。是成立的，z 和五 ( 0 丑1 ) 分别为单轴抗拉强度和残余强度系数( r e s i d u a ls t r e n g t hc o e f f i c i e n t ， 可缩写为r s c ) 。因此，式( 2 1 9 ) 可以简化为 1 0 8 m d = l 一争 s s 气 ( 2 2 0 ) is ”。一 。 【 ， f 狐 这里残余强度系数五和极限应变系数玎都是用于细观单元本构关系中的重要 参数。对于图2 5 ( b ) 所对应的本构关系，其峰值后的本构曲线可以分成两段， 第一段是可以用幂函数表达的，后一段是表示残余强度的水平直线段。开始单元 按照幂函数软化，等其应力达到给定的残余强度水平后( 此时对应的应变为f ，) ， 。立即， 一 第二帝混凝土损伤理论的研究 一一 保持在残余强度。应焚。可以楸据幂函数软化曲线与残余强度线的交点求得 s 。= 朵 ( 2 2 1 ) 一丽 损伤变量d 的表达式为 d = ( r ， 棚占s 5 f ， ( 22 2 ) 占 s 8 占占m 当然，只要在满足s 。蔓s 。 。，此时就可忽略残余强度系 数 的影响，不考虑给定的残余强度。此时，损伤标量d 的表达式( s 。s ，。或 s 。s f “) 为 d = 5 ，。s s 。 ( 2 2 3 ) 占占 实际上，在式( 2 2 2 ) 和式( 2 2 3 ) 中，幂指数月也是一个重要的参数，当n 寸m 时，浚本构关系与式( 2 ，2 0 ) 的本构关系将接近。 以上介绍的本构关系是基于单元在单轴拉伸应力状态下得出的，这里假定单 元在三维应力状态下，其损伤仍然是各向同性的。当单元满足了最大拉应变准则 产生拉伸损伤时，按照m a z a r s 把一维损伤本构关系推广到三维的办法，这罩也司 以把该本构关系推广到三维应力状态。用等效应变f 代替式( 2 1 9 ) 、式( 2 2 0 ) 、 式( 2 2 1 ) 、式( 2 2 2 ) 中的拉应变s ，等效应变用下式定义 歹= ( 占、) 2 + ( f ：) 2 + ( 占，) 2 ( 2 2 4 ) 式中：；、岛、毛分别为主应变；( ) 是一个函数，其定义为 。净鲤。 一 一 河海犬。早：硕士学位论文 石o x 0 j m a z a r s 在1 9 8 2 年曾提出过三维应力：吠态下采用 其中 。= 掣 “ ”= 号f 箍s ：- e ：一仃： r 2 2 5 1 r 2 2 6 1 ( 2 2 7 ) 啡? 卜矗 咣 b ：s ， f 仍同式( 2 2 4 ) 。这里占? 表示损伤门槛值，、分别为混凝土峰值强度与相 应的应变。损伤型本构方程即 铲( 警旷盖仃。磊 ( 1 - 砂1 z 式( 2 2 6 ) ( 2 2 9 ) 应用较方便，但? 、s ? 也都要实验定出。 河海大学硕士学位论文 一一一 第三章有限单元法在本文中的应用 3 - 1 等参数单元的力学分析 3 1 1 等参数单元的概念 本论文采用线弹性有限元作为混凝土细观模拟的应力分析工具。与普通的有 限元分析一样，生成的非均匀材料是由均匀的网格组成的，该网格一方面是体现 材料非均匀性的基本单元，另一方面又可以作为有限元分析的网格，在有限元分 析中，把该均匀网格看作是四节点的四边形等参单元。 等参单元的基本思路是：首先导出规整单元( 称为母单元) 的形函数，然厉 采用坐标变换方法，从而导出一系列不规则单元的形函数和单元劲度矩阵。 等参数单元( i s o p a r a m e t r i ce l e m e n t ) 2 5 1 是位移型单元中应用最7 。的种单元， 它最早是泰格和埃昂斯提出和推广的。 3 1 2 单元的位移函数 为了能用节点位移表示单元内任意一点的位移、应变和应力，首先假定单元 内任一点的位移是节点位移的某种函数，称为位移函数。四节点等参元的位移模 式为： = = ，料 ( 3 1 ) 式中： ，) 为单元内任意一点的位移矩阵；p 8 为单元的节点位移列矩阵；【】 为形状函数矩阵。 四节点等参元的位移模式为 ”= ，皓，口- ， v = ，皓，叩弘 r 32 、 式( 3 ，2 ) 表示了单元内任意一点位移与单元节点位移的关系式，同样，等参 元单元内任意一点的坐标与节点坐标的关系式 9 第三章有限单元法住本文中的鹰，h x = n ，皓，7 ) x ， 垆_ v ，( ，口机 对于i 乎面四节点等参元，形状函数为 m 皓，口) 2 j ( 1 f x l _ _ ) ：皓，印) = j o + 毒x 1 一玎) m 皓，口) 2 ：o 一瑚+ ) _ 。( 善，叩) = ；( 1 + x 1 + 玎) 3 1 3 单元的应变和应力矩阵 求应变的一般武为 缸 = 陋弦) 。 其中，陋】= 【8 ，b 。b 。b 。】 b = 10 a ， 9 n i a n 却缸 f 3 3 、 r 3 4 1 f 3 s 1 ( f = 1 ， 2 ， 3 ，4 )( 3 6 ) p ) 。= kv ，“：v ： “，v ，“。v 。r( 3 7 ： 式( 3 6 ) 中含有形函数m 对整体坐标0 ，y ) 的偏导数，需变换为对局部雀标 ( ，叩) 的导数，应用偏导数的变换可写成 d 茸 琵“l 扣胛 兰呐+ 幼 d c 兰= 口2 + 善 0 打 罢= 6 ：+ 6 ，孝 d r 2 0 f 3 8 ) 河海凡学硕一j ：学位论文 喵喏一劫等 0 一( a 2 o 万n i + o 一，”) 等d 亡。玎 0 o ：均f ) 等+ ，v ) 等 一。捣f ) 警一s ”) 等 ( 3 9 ) 由弹性力学物理方程可知，单元的应力一应变关系为 = 陋酗 ( 3 1 0 ) 式巾：p 】为单元的弹性矩阵；对于平面四节点等参元 1 0 忙 ：龇! j 。1 n zl 其中e = ( 1 一d ) e 。 ( 3 1 2 ) 式中：e 和e 。分别为损伤后的弹性模量和初始弹性模量；d 为损伤变量。 求应力的一般式为 p = 陋b p r = 陋弦) 。 ( 3 1 3 ) 其中，i s - i s ，s 。s ，s 。】 s ，= p k 。 ( f = 1 ，2 ，3 ，4 ) ( 3 1 4 ) 同样地，单元的应力公式也是用局部坐标善，叩为变量表示，因此求单元内的 应力，必须指定应力点的局部坐标才能求出应力值。因此在计算应力成果的同时， 还必须根据坐标变换 ，= 凇麓- 一( b 1 + 了b 3 ) b 由应力点的局部坐标算出它的整体坐标值，以便知道应力点的实际位置。 3 1 4 单元劲度矩阵 求陋 的一般式为 嘲= 舻r 瞄扣埘r ( 31 6 ) 应用式d a = i d i d 眚d , ，上式可表示为 专 l | 、，rlj t 匕_ 哎 ，f、【 = 睁 第一：章有限单元法在本文中的应刚 旧= n 时眵协，啪 ， 对j ：必结点等参数单元，将女写成分块的形式 ( 31 7 ) f 3 ，1 8 1 其中子矩阵的计算公式为 k 。= 虬研瞄k 陴 ( f ，j = 1 ，2 ，3 ，4 ) ( 3 1 9 ) 注意到式( 3 1 9 ) 中的被积函数均为掌，坷的函数，便可对考川进行积分。但是 b 。中含有川“项，使被积函数不是一般的多项式，而是分子和分母均有多项式的 函数，故要积分得出显式是很难的，常常需要用数值积分法去求其近似值。 有了单元的荷载列阵厍和劲度矩阵k 】，便可用集合的方法形成整体荷载列 阵 兄】和整体劲度矩阵啤】，从而建立起整体结构的结点平衡方程( 支配方程) 陬k = 阮 ( 3 2 0 ) 其中，阪 = 瞻k 化i ，魄) ：，慨) ：，皈) 。幌k 阮) 。阮) 4 ，j 7 在解方程求出结点位移后，便可逐个单元求得应力。 3 1 5 计算单元应力 计算出单元节点位移后，代入式( 3 1 3 ) 就可求出单元的应力。由于在刚度 矩阵求解中要进行数值高斯积分，所以只能求出单元高期点的应力值。本沦文中 把单元四个离斯积分点应力的平均值作为该单元的应力值。 3 2 有限单元法在本文中的应用 3 2 1 等参单元在本文中的应用 本文采用的本构关系是弹性损伤的本构关系，但是单元是不断损伤的，单元 的材料性质是不断弱化的。当某个加载步有单元破坏时，需要进行外部载荷不变 条件下的重复计算，直到该载荷条件下没有单元损伤为止，这实际上是个迭代 过程。 通过对单元循环，计算出每个单元的损伤阈值，在每一步的迭代过程中判断 m 岛岛缸如助如孙 ；： 觑起肛缸 乜如岛轧 河海人学影 _ ：学位论文 - 尊元是7 达到各自对应的损伤门槛值，来判定是否开始发生损伤，若条件满足就 通过麻变来计算各自的损伤度，进而计算出每个单元损伤后的力学性质。本文的 n 载步为位移加裁，采用的是全量法的迭代方法。 3 2 2 混凝土损伤与断裂有限元计算流程图 l 损伤与断裂有限 f 元计箨流程陶 3 3 本章小结 本章阐述了四边形等参单元的基本概念，并推导出了损伤本构关系在有限元 中的计算过程，为后面章节中的计算提供了坚实的理论基础。解释了有限单元法 计算混凝土损伤与断裂问题如何在本文中应用，通过自编有限元程序实现了计算 混凝土损伤与断裂过程，并简单介绍了该程序的基本计算步骤。通过对单元从损 伤到失去作用( 即此单元在计算过程中，将失去作用，很多文献中定义该情况下 的单元为“死单元”，在这里是将此单元的力学性质赋予很小的参数) 的有限元计 算全过程的描述，进一步明确蜕明了本文的计算步骤。 潮海久学硕l 学化论文 第四章混凝土细观损伤与断裂模型的建立 4 1建立数值模型的基本思路 人们已经广泛认识到混凝土材料力学性质的弱化是由于内部结构在受力后不 断损伤导致裂纹产生而引起的，这实际上是从混凝土细观结构上找到了其破坏机 理。从混凝土的细观结构八手，利用细观力学的研究方法，抓住混凝土材料及其 力学性质的非均匀性，结合理论和试验成果，建立数值模型，对混凝土材料的力学 性能和破坏过程进行研究，已成为国内外学者研究混凝土材料力学性能的主要研 究方法之一。对于混凝土内部结构弱化的研究，细观损伤力学是一有效的工具。 本论文基于对混凝土细观结构的认识，假定混凝土为由砂浆基质、骨料及它们之 间的界面组成的三相复合材料，为了考虑各相组分的非均匀性，各组分的材料性 质按照某个给定的w e i b u l l 分布来赋值。细观单元满足弹性损伤的本构关系。应用 弹性有限元法作为应力分析工具，计算分析本构关系的损伤闽值，即单元的应力 或者应变状态达到最大拉应力准则或摩尔库仑准则时，认为单无开始发牛拉仲或 者翦切初始损伤。 细观单元体尺寸取得越小，材料越均匀，这种弹脆性行为就越明显。从这 种意义上说，假定细观单元体是弹性材料是合理的 1 6 】旧【1 8 1 。在一一个统一的变形场 中，微破坏不断产生的原因除了荷载不均、形态不够光滑等结构因素形成应力集 中之外，更主要的是细观单元体力学性质的不均匀性。可以认为材料的非线性特 征与其细观非均匀性有真接联系。 由于混凝土的极度不均匀往，它们的性质在宏观、细观方面存在很大的差异。 尽管这里假定细观单元的力学特性比较简单用弹性损伤本构关系表达但是 一些复杂的破坏现象仍然可能通过它们的演化来描述，用细观层次简单的本构关 系描述宏观层次上的复杂现象，这也是细观力学的一个重要观点【4 0 j 。 材料的力学行为依赖于其内部的细观结构及其在外部因素作用下的演化，混 凝土的细观结构具有不均匀的特点，混凝土的破坏是由于其内部微裂纹的扩展和 汇合所致。混凝土细观材料的先天不足称为原始缺陷，即为初始损伤；由于微观 单元的初始损伤难以通过一个给定数值来反映，所以这种原始缺陷是通过w e i b u l l 分布赋值来反映的。 第四章浅凝士绍观损伤与断裂模型盼建范 4 - 2 混凝土细观数值模型的建立 4 2 1 随机概翠分布 为了描述材料性质的非均匀性，假定组成材料细观单元的力学性质满足 w e i b u l l 分布f 4 4 j ，该分布可以按照如下分布密度函数来定义： c “，= 嚣 毒厂1 e x p j ( 兰u 0 ” c 。， “ol ilj 式中：“代表满足该分布参数( 例如强度、弹性模量、泊松比等) 的数值：u o 是 个与所有单元参数平均值有关的参数，但其数值并不是该参数的平均值；形状 参数用定义了w e i b u l l 分布密度函数的形状。 “o 和m 为材料的w e i b u l l 分布参数，对于材料的每个力学参数都必须在给定 其w e i b u l l 分布参数的条件下按照式( 4 1 ) 给定的随机分布赋值。当“。= 1 0 0 ，m 分 别为1 5 、3 0 和6 0 时，w e i b u l l 分布密度函数的曲线如图4 1 所示。w 西b u l l 分布 参数m 反映了参数的离散程度，当其值由小到大变化时，材料细观单元强度分布 密度函数由宽而窄变化，细观单元强度分布变得较为集中，材料强度的均质性较 为均匀，材料内部所包含的大部分细观单元近乎相同，接近于给定的参数“。显 然，常数朋反映了数值模型中材料结构的均匀性，我们称之为均质度，m 越大， 组成材料的细观单元越趋于均匀。 赵 梅 格 莰 单元参数“。 图4 1 不同均质度i nn , j 单元参数的分布密度函数 w e i b u l l 分布的般表达式为 o 闸海大学顾七学位论文 一一 r 、“。打 ( 4 2 、 工 r 其均值为：e ( ) ：i f j + 土1 + y ，r ( ) 表示r 函数，州大于o 。 lm 当参数，= o 时，式( 4 2 ) 可简化为 ， 时式( 4 3 ) w e i b u l l 概率密度函数积分，得分布函数 解得 设v v ( o ，1 ) ，令 ( i t 一” y 高1 一p 东 3 ) 鬟 ( 4 a ) f 4 5 、 工= x o - l n o y ) 】毒( 4 6 ) 因为l y v ( o ，1 ) ，放 x = x o - - i n ( 4 7 ) 式( 4 7 ) 是各单元力学参数与均值之间的关系式，此式可以求出按w e i b u l l 分布 随机产生各单元的力学参数。 4 2 2 数值模型的建立 这里的理论分析和数值模拟都限于二维问题，只研究骨料在平面上的分柏， 奉论文模型中，研究对象被离散