（基础数学专业论文）关于g2型双参数量子群的中心.pdf

t h e s i sf o rm a s t e rd e g r e e ，2 0 1 0u n c o d e ：1 0 2 6 9 s t u d e n ti d ：5 1 0 7 0 6 0 1 0 1 8 e a s tch i n an o r m a lu n i v e r s i t y o nt h ec e n t e ro ft w o - p a r a m e t e r q u a n t u m g r o u p s d e p a r t m e n t ： m a j o r ： 珥，s ( a 2 ) ma t h e m a t i c sd e p a r t m e n t p u r em a t h e m a t i c s d i r e c t i o n ：l i ea l g e b r a sa n dq u a n t u mg r o u p s s u p e r v i s o i e r v l s o r s ： a u t h o r ： p r o f e s s o rh un a i h o n g g a ns h u a n g s h u a n g m a y2 0 1 0 郑重声明 是在华东师范 行的研究工作 包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意 作者签名：垃篮鱼 日期： 砷年弩月；。日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 关于g 2 型双参数量子群的中心系本人在华东师范大学攻读学位 期间在导师指导下完成的砸企博士( i l i 勾选) 学位论文，本论文的研究成 果归华东师范大学所有本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此 学位论文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和”知网”送交 学位论文的印刷版和电子版：允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数 据库被查阅、借阅：同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建 单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印 或者其它方式合理复制学位论文 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的”内部”或”涉密”学位论 文幸，于年月日解密，解密后适用上述授权 力2 不保密，适用上述授权 聊摊v r l 刎) - - , l - 本人签名：煎壹盔 础年哆月知日 木“涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会 审定过的学位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文”涉密”审批表 方为有效) ，未经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文此声明栏不填写的，默 认为公开学位论文，均适用上述授权 甘霜霜硕 姓名职称单位 备注 时俭奋教撬丛师太散学最 主席 篙禾、囊投疆犁i j 币t 傲学系 糕磊鬲l i 敫接生，而士极学采 目录 摘要i i a b s t r a c t ：i i i 第一章引言 1 1 1 研究背景 1 第二章预备知识 2 2 1 。( g 2 ) 的定义 2 2 2 h o p f 代数结构 4 2 3d r i n f e l dd o u b l e s 5 2 4 。( a 2 ) 的表示理论 6 第三章珥，。( g 2 ) 上的不变双线性型 7 第四章 珥，。( a 2 ) 的中心1 0 第五章坼，。( g 2 ) 的中心3 在h a r i s h - c h a n d r a 同态f 下的同构象 2 2 致谢3 5 摘要 在特征为0 的代数闭域k 中，r ，s 是域k 上的两个非零元，且r s 本论文借助于双参数量子群。( g 2 ) 的代数结构和它的表示理论，定义 了珥，。( g 2 ) 上的不变双线性型，最后通过引入h a r i s h c h a n d r a 同态来确定 g 2 型双参数量子群的中心，证明了珥，。( a 2 ) 的中心同构于两个未定元的多 项式代数 关键字：量子群量子包络代数h a r i s h c h a n d r a 同态r o s s o 型斜 配对 i i a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，l e tkb ea na l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l do fc h a r a c t e r i s t i co f 0a n df i xn o n z e r oe l e m e n t sr ，si nt h ef i e l do fk h e r ew ea s s u m er 8 a c c o r d i n gt ot h ea l g e b r a i cc o n s t r u c t i o na n dt h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo f 珥，s ( 0 2 ) ，w ed e f i n ea ni n v a r i a n tf o r mo n 珥，s ( g 2 ) f i n a l l yw ei n t r o d u c ea n a n a l o g u eo ft h eh a r i s h - c ：h a n d r ah o m o m o r p h i s ma n du s ei tt od e t e r m i n e t h ec e n t e ro ft w o - p a r a m e t e rq u a n t u mg r o u p s ( a 2 ) t h a ti si s o m o r p h i ct oa p o l y n o m i a la l g e b r aw i t ht w ov a r i a b l e s k e y w o r d sq u a n t u mg r o u pq u a n t i z e de n v e l o p i n ga l g e b r ah a r i s h - c h a n d r a h o m o m o r p h i s m r o s s of o r ms k e w - d u a lp a i r i n g i i i 第一章引言 1 1 研究背景 1 9 8 5 年，由d r i n f e l d 和j i m b o 分别独立引入了碥( 夕) 一量子包络代数，它 们首先被用来构造量子y a n g - b a x t e r 方程的解，从那时开始，人们发现量子 群在很多领域都有着深刻的应用，范围遍及理论物理、辛几何、扭结理论与 约化代数群的模表示理论等数学家及物理学家在进行研究工作时所面对 的一些问题的复杂性导致了双参数量子群以及多参数量子群的产生近几 年来，双参数量子群受到越来越多的关注2 0 0 1 年，b e n k a r t w i t h e r s p o o n 受 d o w n - u p 代数的启发，引入了有限夕k ，s ? n 型双参数量子群的结构，并研究了 它们的表示理论，中心及r - 矩阵2 0 0 4 年，b e r g e r o n - g a o - h u 将双参数量子群 的结构推广到有限j e 7 c d 型李代数，同时还研究了有限b c d 型双参数量子 群的表示理论以及l u s z t i g 对称存在的条件随后，h u - s h i 和b a i - h u 分别研 究了有限g 2 和e 型双参数量子群 当数域k = q ( q ) 的特征为o ，口为q 上的超越元时，在研究单参数量子 群的中心的时候，我们能够找出中心在h a r i s h - c h a n d r a 同态下的象并能证 明中心与象是一一对应的关系d r i n f e l d ，e t i n g o f 等人对于有限维单李代数 和k a c - m o o d y 代数的量子群中心做了很多研究在这些论文中，大家普遍定 义一个在伴随作用下不变的非退化双线性型，再定义h a r i s h - c h a n d r a 同态， 并且很容易证明它是单同态最大困难在于确定h a r i s h - c h a n d r a 同态象在 关于a 型双参数量子群时，b e n k a r t ，k a n g 和l e e 也是这样处理，不过佗分 奇、偶时，结果相差很大段佳、石聿兴分别刻画了b 2 型、岛n 型双参数 量子群的中心本文完全确定了g 2 型双参数量子群的中心的代数结构，从 而有助于进一步了解代数自身的结构性质 1 第二章预备知识 2 1 珥，s ( g 2 ) 的定义 首先我们介绍由 h s 】给出的g 2 型双参数量子群的定义设k 是 特征为0 的代数闭域，西是g 2 的根系，且把西看成欧式空间的子集， 是单根系，( ，) 是欧氏空间r 3 的内积 g l ，g ：2 ，3 ) 是r 3 的标准正交基，则 = q 1 = 1 - - 6 2 ，0 1 2 = - - 2 i + 6 2 - s ，垂= 士口1 ，= e a 2 ，士( 及2 + a 1 ) ，士( q 2 + 2 q 1 ) ，土( a 2 + 3 0 l i ) ，士( 2 0 2 2 + 3 q 1 ) ) 。 定义2 1 设r ，s 是域k 上的两个非零元，且r s ，u = 珥，。( g 2 ) 是域k 上 由e l ，e 2 ， ，f 2 ，u 1 ，崂1 ，u ，士1 ，u 笋1 生成的一个结合代数，生成元满足以 下关系( g 1 ) 一( g 6 ) ： ( g 1 ) u 手1 ，u 手1 ，u 产1 ，u 笋1 互相交换，且u l w i - 1 = 叫2 u i l = u 1 1 w 1 - - 1 = u 2 1 u 2 - 1 = 1 ； ( g 2 ) ( g 3 ) w l e l w i = r s e l ， 1 u l e 2 u f l = 8 3 e 2 ， w 2 e l w 2 1 = r - z e l ， w 2 e 2 岈1 = r 3 8 3 e 2 ， 叫1 1e l u l i - - 1 = r - 1s e l ， u ：e 2 u ，- 1 = r 3 e 2 ， 屹e 1 - - 1 = 8 - 3 e 1 ， u ：e 2 疗1 = - - 3 8 3 e 2 ， ( g 4 ) 对1 i ，j 2 有： 【e i ，j c f 】= 如 2 w l f l w 7 1 = ， - - l s f l ， u 1 如u f l = s - 3 f 2 ， 忱 岈1 = r 3 ， u 2 如町1 = r - 3 s 3 f 2 ； 叫： 竹1 = r s - 1 ， u ! l j 2 1 i - - 1 = r - 3 f 2 ， ! ，1 叫2 i - 1 = 8 3 ， w 。，g 。w 。s - 1 = 1 3 8 3 1 2 ； 姚一“ n s 3 2 2h o p f 代数结构 由( h s 】可知，代数。( g 2 ) 是一个h o p f 代数 定理2 1 。( g 2 ) 是一个h o p f 代数， ( 时1 ) = 时1p 辟1 ， a ( e i ) = e i 1 + o ) ioe i ， ( u 产1 ) = e ( u 1 ) = 1 ， s ( 时1 ) = 町1 ， s ( e i ) = 一町1 e i ， 其余乘，余单位和对映体满足： ( “士1 ) = “士1p “士1 ， ( 五) = 1o 五+ 五圆“， s ( 龟) = e ( 五) = 0 ， s ( “士1 ) = “千1 ， s ( ) = 一五“一1 令q = z 垂，对于q 中的任何一个元素= q q l + q q 2 ，令咄= u 姑，= u 产u 引理2 1 设 = q q l 十q a 2 ，则 w c e l a ) _ 1 = r 钮一3 q s 一钮e l ， 咄 町1 = r - l + 3 2 8 钮 ， 蚨! e 1 吣i - 1 = r - e l s n 一硒e 1 ， 嵋1 = 7 q 8 一钮+ 硒 ， 4 w c e 2 w f l = r 硒s 如一硒e 2 ， 蚨，2 町1 = r - 3 2 8 3 q + 硒 ， e 2 咋1 = r 铀- - 3 2 8 e 2 ， 0 ，2 咋1 = r - 砘+ s 一厶 2 3 d r i n f e l dd o u b l e s 令b 表示由e i ，潆- 0 ：1 ，2 ) 生成的子代数，b 7 表示由五，斧1 “= 1 ，2 ) 生成的子代数 定理2 2 ( h s 】) 在h 。p f 4 弋数b 7 和b 间存在唯一斜配对( ，) ：b 7 b k 满足以下等式： ( ，勺) = 如 0 ：，w 1 ) 1 s i n = r s ， ( u ：，u 1 ) = s 3 ， ( “士1 ，町1 ) = ( u ：士1 ，屿) 一1 = ( “，屿) 私， ( 1 i ，j 2 ) ， ( u ：，u 2 ) = r 一， ( 叫：，忱) = r 3 s ， ( 1 i ，j 2 ) ， 所有其他生成元对为0 对n b ，b b ，我们有( s ( 口) ，s ( 6 ) ) = ( 口，6 ) 推论2 1 设 = q q l + q a 2 ，则 ( u ：，u 1 ) = r 钮s 一钮+ 砘， ( u ：，咄) = r 钮- 3 2 8 ， 由推论可得： 5 ( u ：，u 2 ) = r 一砘+ s 一硒， ( u ：，叫) = r 3 q s 3 钮一 咄五町1 = ( u ：，咄) 一1 五， 叫7 ，t 叫i - - 1 = ( u ：，u 1 ) 阳 印 咄厂“触 l i o ； = 器哄 2 4u 7 ，8 ( g 2 ) 的表示理论 记人是g 2 的权格，令沪表示珥，。( g 2 ) 中由访1 ，“士1 ( t = 1 ，2 ) 生 成的子代数，令夕：u o _ k 是一代数同态，y 夕是一个一维u o ( 由 e t ，时1 ，“士1 ，i = 1 ，2 生成的子代数) 模，令m ( j f ) = u 圆u 。v 少，则m ( y ) 是以夕为最高权的v e r m a 模，令l ( 5 d ) 表示m ( j ) 唯一的一个不可约商 模 对于权格a 中的任何一个元素a ，定义代数同态矿：u o _ k 满足 矿( ) = ( u i ，) ，矿( q ) = ( q ，叭) ，j = 1 ，2 对于权格a 中的任何一个元素入，记m ( a ) = m ( 矿) ，三( a ) = l ( q a ) 引理2 2 对于权格中的任意元素入，设玖是m ( 入) 的最高权向量，则 三( 入) = m ( 入) ( u 矗凡a 1 h 1 玖十u 以毗v 3 “玖) 设m 是有限维u 模且u o 作用在m 上是半单的，则 m = o m x ， 刀 其中z ：u o _ k 是一个代数同态， m x = m m w i m = 石( 她) m ，“m = 彤( “) m ，i = 1 ，2 ) 设w 是相应根系西的w e y l 群，记地= 坳 定理2 3 若r s 一1 不是单位根和a a + ，则 d i ml ( 入) p = d i m 己( a ) 仃( p ) 对所有肛人，d r 形 6 第三章珥，s ( g 2 ) 上的不变双线性型 由定理2 2 我们知道在h o p f 代数b 7 和b 间存在唯一斜配对 根据余乘的定义，显然对于 a ( x ) 因此，对于任意的i ，i = 1 ，2 ， 程( z ) 满足 2 a ( x ) = zo 1 + 这里 i = i 咐中的任意元素z 有 。嘻y 圆秽， o i ，s p 啦中的任意元素z ，在嘻a 。中存在鼽( z ) 和 鼽( z ) 咄oe i + 8 1 = 蛳圆z + s 。o 嘻舢q 时， 2 i = 1 e i w p a 反 ) + 8 2 ， s 2 o 喀舢固时 0 spsp p 口 令s l = s ，r 1 = r ，s 2 = s 3 ，r 2 = r 3 o s l ，sp p p a 引理3 3 ( 【p h r ) 对任意的z 时，y u 一，i = 1 ，2 我们有 ( 1 ) ( 五可，z ) = 百i ，。y ，反 ) ) ； ( 2 ) 妇五，z ) = 志( 秒，鼽( z ) ) ； ( 3 ) z z = 百毫0 t ) 姚一u ：疵( z ) ) 引理3 4 ( 【p h r ) 若r s 一1 不是单位根，q + 中的元素是非零元，则 ( 1 ) 若可旺，且对于任意的i = 1 ，2 ，有e i ，胡，则y 5 o ； ( 2 ) 若z 时，且对于任意的i = 1 ，2 ，有m ，卅，则z = o 引理3 5 ( 【p h r 】) 若r s 一1 不是单位根，则对于q + 中的任意一个元素 0 2 q = 姚= u 1 + 忱= 2 a 1 + 及2 + 3 a 1 + 2 a 2 2 5 q l + 3 i = 1 7 根据三角分解，我们有向量空间的同构 p ，王，q + u l , w v 。1o u oo 咐竺u 定义3 2 ( i ) 是u = 珥，。( g 2 ) 上的双线性型，它满足：对任意的z u ，x l u 矗，y u 二，y l u 二_ ，p ，p 1 ，工，q + ，7 ，叩1 ，1 q 有 ( ( 判1 ) “u 舻l ( 秒- 嵋1 ) “。w e 。z ) = ( 可，z - ) ( 秒- ，z ) ( “，) ( 嵋。，) ( r s 一1 ) ( 刖) 由定义可知： ( ( 1 ) “u 舻i ( 可u n i - - 1 ) “。z ) = ( 则1 i z - ) ( 嵋i “。叫咖。) ( z 1 秒。u n i - - 1 ) 引理3 6 若肛，p l ，u l q + ，除了p = n ，z ，= p 1 ，其他情况下有： ( 吒u o 嗡f 吒。u o ) = 0 定理3 4 双线性型( i ) 是a d - 不变的，即：对于任意的u ，口，口l u ( a d ( 乱) 秽iv 1 ) = ( 口la d ( s ( u ) ) v ) 对( 叩，) q q ，我们定义一个群同态渤，：q q 。k + 满足： ，妒( 7 7 ，) = ( 嵋，。) ( “。，) 引理3 7 假设一s l = 1 当且仅当七= l = 0 若洳，= m ，则( 叩，) = ( 刀7 ，) 证明： 兮刀= 同理令= jx 枷( o ，q 1 ) = ( 嵋，u 1 ) = r m s 咄+ 咖， l 妒( o ，口2 ) ：( 嵋，忱) ：r 一劬t + 3 7 2 s 一3 7 2 ， ，硫( o ，q 1 ) = ( ，u 1 ) ：r 7 i s 叫+ 蹦， 【确，( o ，q 2 ) = ( 嵋，忱) = r 一嘶+ 3 啦s 一， 口 定理3 5 若一s 2 = 1 当且仅当k = l = 0 则双线性型( i ) 在u 上非退化 8 证明：只要证明若u 吒u o 咐，且对所有的u v r 二- , u o 时都有( ul 钉) = o ， 则牡= 0 对p q + ，乱f ，u 乞是瞄的一组基，d i m 咐= 叱由引理3 5 可 知，我们可以取吒的一组对偶基 f ，鹾，吃，即( u ，蟛) = 如那么集合 咙v u p i - - 1 u ：u 毋蟛1 1 t d ，1 j 叱) 是u y u o 的一组基由双线性型的定义， ( u - “u 咖蟛i 1 3 w p i - - 1 u ；。u 咖。u ；，) = ( 嵋，u 咖。) ( 嵋。，娜) ( u 箸，喈) ( ，乱? ) ( r s _ 1 ) p = 如( “，。) ( u ：，) ( r s - 1 ) 掣 令u ：侠，歹而咖u ? u 纩1 嵋u 妒蟛， = v k “w p “嵋。蛳- 嘶，1 七叱，1 o 矗们，z ? d 由干忆l1 ，) ：0 0 ，我们可以得出 也，叼1 ，式兰q 由于( uiu ) = ，我们可以得出 仇 神( r s q ) ( 嵋，u 妒- ) ( 嵋- ，娜) = o ， 7 ，妒 ( 1 ) 等式( 1 ) 可以改写成仇，七而妒p s 一1 ) 2 ( x 町，妒= 0 再由d e d e k i n d 定理可知 。= 广翟山 口 仇，知，= 0 因此，可以推出u = 0 u 9 第四章 珥，s ( g 2 ) 的中心 整个部分都假设：r k 8 2 = 1 当且仅当k = z = 0 在这种假设下，我们可以 得到： u=。，=“引w，似，-。1：=pw(wo，、u：=rleq w i z l 厶3 ip ( w i ) u ：= = 我们用3 表示u 的中心，由( 2 ) 可得3 矾 定义代数同态，y p ：u o u o 满足 ，y - p ( w i ) = p p ( 姚) 咄= ( 以，姚) 。1 咄； 7 - p ( “) = p p ( w 。i ) 叫= ( “，) “ 因此我们得到 一y p ( u ；u f l ) = p p ( u i ) p p ( 叫i - 1 ) w i 叫i - 1 = p s 一1 ) p ，n l u i u i 1 ，y p ( 以町1 ) = p p ( 以) p p ( 岈1 ) u ；岈1 = ( r s 一1 ) 舭2 w ：w 2 1 定义4 3 h a r i s h - c h a n d r a 同态f ：3 _ u o 是限制映射 7 一p 。丌1 3 ：ju o - u o ， 其中7 r ：砺_ u o 是典范映射 定理4 6 f 是一个单代数同态 证明：u o = u oo k ，这里k = o ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 吒u o 时，k 是的双边理想和7 r 的核因为7 r 和，y 一户都是代数同态，所以也是代数同态若z z ( u ) ， f ( 彳) = 0 ，则z = 勿，乃吒u o 时，z o = 0 取乃0 使q + o 】 最小( 关于q + 中的偏序关系) 分别选择吒和咐的基 纨) 和 z 1 ) ， 勿= e y k t k ，z 现，t k ，1 v o ， 知1 0 = e i z 一名e t ( e i 乃一龟) + ( e t 玑一玑e t ) 亡铆+ 弧( e t 如，l 视一t k , l x l e t ) 1 l ，七，l e i 讥一y k e i v - - o 。i ) 一) v o ，仅有 ( e t y k 一玑e 姚m 。) 矿砂 七 1 0 、， k 札广 咄 对任意的入，p a ，定义代数同态矿p ：u o k 满足 矿，p ) = ( u i ，w i ) ( r s 一1 ) p a i ； 矿，p ( u ：) ：( u ：，u a ) 一1c r s 一1 ) 似a t j 引理4 8 若u ：嵋蛳，r , q 假设砂p ( u ) = 1 ，对所有入，p a 则u = l i $ q l ：令刀= r h a t + 啦q 2 ，= l 矿，o ( u ；u 妒) 、产。( u 拟) 由推论2 1 得 从而得到 兮r 1 = 啦= 1 = 咖2 = 0 西1 q 1 + 西2 a 2 ，则 = ( 嵋，u 1 ) 一1 ( u i ，u 毋) = 1 ， = ( 嵋，忱) 以( w ：，) = 1 ， 1 1 口 l = = 忱 机 心 妒 撇 池 撕 懒 | | m m 0 = 仉 = 1 1 护懈嘞 一 叫 + 一 1 1 f i p 机 旷吼轨 + 一 + m 一 仉 啦 唧 旷辄辄 推论4 2 若u u o ，口a ，p ( 仳) = 0 ，对所有( 入，p ) a 人成立，则u ：0 证明： 厶，：( a ，p ) 一p 入p ( “) ，( 刀，) q q 是群a a 上的特征标 即 由引理4 8 可知，不同( r ，) 定义不同的特征标 假设u = ，咖嵋，锡，妒k ，则有 锡，妒矿，p ( 嵋) = 0 ，对所有( a ，p ) a a 叼， 6 1 7 ，咖厶，咖= 0 叩， 由不同特征标的线性无关性可知，妒= 0 ，所以让= 0 昭= oi i g o ：w 一呀，定义w e y l 群在卯的作用： 田q 口( 嵋u 一，) = 以( 卵) u 一盯( 叩) ，对所有盯w , n q 定理4 7 矿a p ( 钆) = 矿，p p 一1 ( 乱) ) ，对所有u w ，盯w 和入，卢a 证明：首先，我们证明旷( a ) ，o ( u ) = 0 a , o ( i t 一1 ( u ) ) 只要证明 扩哟 o ( “u 一七) = ，o ( i t 一1 ( 以u 一知) ) 对所有的i ，歹，k 1 ，2 ) 1 2 口 0 _ 1 1 21 矿t ( c l j ) ，o ：u i l 、 ， ：( u 坦! 趔二旦幽! 坦二 0 如，u 口，( a 。) ) 一1 ( u ：。( a ，) ，u 2 ) , i , - - 3 8 3 ：_ t 一1 ( 卅i ，叫口，( a 。) ) 一1 ( 以。( a 。) ，u 1 ) 1 卜r 。s !百 乖石面出；】! 丝譬 i ：，眈( a - ) ) 1 如【q ，) ，u 1 7 2= r 一3 8 3 22 1 i ，瓦( a 。) ) 1 赢。 ：= , 1 - - 3 8 3 222( w 1 2 , w a 2 ( 巡 一) 一1 j 、，u 2 ) 石，o ( 仃一1 ( u u i l ” ， -1 w 盯。( a 2 ) ，u 1 ) 一1 似，u 口( a 2 ) ) - - , - - 3 8 3 f - 、一l ( 叫靠。) ，叫2 ) “似，u 盯t 恤t ) ) = ，一3 8 3 匿t - 一- 1 w - l 和z ( a 。) ，u 1 ) 叫( “，u 盯。( a z ) ) = r 一3 8 3 p ：。( q ，) ， = r 一3 s 3 西砥( a 1 ) ) 。 忱) 1 ( u ：，u 口。( a t ) ) 下面我们证明矿，p ( 札) = 矿，p p 一1 ( 仳) ) 因为， 暑：黜一，三黑意k扩，p ，一叩) ) ；盯s 。) 、，1 显然上面这个式子成立 我们定义 ( 唧) w ：“钟i 盯( u ) = u ，协w ) 口 弓i 理4 9 若u u 。，矿( 砩，p ( u ) = 矿，p ( 让) ，对所有入，p a 和矿w 则u ( 卯) w 证明：若u = 叩，爷，妒叫：) u 妒砜，满足矿( ” p ( u ) ；矿 p ( u ) ，对所有入p a 和彤那么 融洲酬5 赢 细，妒) n ”7 矿腓p 姒蛳) ，对i = 1 ，2 ；入，p a 令。f 、。、= 矿，p ( 叫：u 西) 母( 入，p ) ：矿t ( ”，p ( 以娜) ，( 入，a a h ，驴( 入，曲= 矿 p 0 币) ，母( 入，p ) 2 矿n 4 h p i u c 娜。 川“ 1 3 ( 5 ) 则h ，曲和，c ；，砂， = 1 ，2 是a a 上的特征标那么( 5 ) 可写成 岛椰= 如舻知 ( 仍曲)( ( ，币) 等式( 6 ) 两边都是a a 上不同特征标的线性组合 若锡，咖0 ，则k 仉= k ，妒，对某个( e ，矽) a a 当i = 1 ，2 时，有b ，妒( o ，q i ) = k ；，妒( o ，) 专矿 a ( 嵋) = 矿 啦( 蛳) 兮( r s 一1 ) ( 付妒，a )= ( r s 一1 ) ( e 卅，q i ) 号刀+ = ( + 妒 兮 0 ，d e g x 2f ( x l ，x 2 ) 0 证明： 若t 0 ，t 0 ，s 0 ，那么五，。= 墨雹叫+ 其他， 若t 0 ，t 0 ，s o ，那么五，。= 墨驾+ 其他， 若t 0 ，t 0 ，s 一t o ，那么 ，。= x 1 嚣件。4 - 其他， 若t 0 ，t 0 的 令叫= m a x o ) ，则在f t ，。的表达式中总能找到一个单项式x i 搦7 满 足= d e g x 。 ，曩，s ，= d e g 尥 ，。，叫= m a x t ，s 7 此时我们记 ，善全 x 芝x 七垒l 善。矿 证明：对任意的亡 0 ，s 0 ， ，那么兰s 3 s 若耋s 亡3 s ，那么五，。：础弼+ 或 ，。：x i 弼一s + 若t 2 s ，那么 ，。= 墨磁+ 引理5 1 6 对任意的t z ，8 z ，。= 去 一2 ，。一。 ，。一五一。，。一五一。，。一。一五一3 ，。一。一五一3 ，矗一2 一五一4 ，。一2 ，。= 丢五一3 ，。一2 ，。一 ，。一。一 一3 ，卜。一 一3 ，。一3 一五一6 ，。一3 一五一6 ，。一