（基础数学专业论文）一类含有在无穷远处超线性或渐近线性不连续项的dirichlet问题.pdf

硕士毕业论文 摘要 本文的主要目的是研究一类含有不连续非线性项的d i r i c h l e t 问 题 篡裂0 弋叭l r 。一 “：i 募 ( p 1 ) lu ( z ) = ，o a q 7 和 j 一u 3 m ，u ( z ) ) ，i nq f p 2 1 iu = 0 ， o n 刮2 、 正解的存在性，得到一些新的存在性定理，其中qcr 是具 有光滑边界的有界区域，函数，：豆r _ r 是局部有界的可测 函数且在无穷远处是超线性或渐近线性的。我们的结果改进 和发展了前人的一些相应的结果。 关键词：临界点局部l i p s c h i t z 函数广义梯度( c ) 条件 硕士毕业论文 a b s t r a c t 1 l t h em a i np u r p o s eo ft h ep a p e ri st os t u d yt h ee x i s t e n c eo fap o s i t i v es o l u t i o nf o r ac l a s so fd i r i c h l e tp r o b l e mw i t hd i s c o n t i n u o u sn o n l i n e a r i t i e s ： j 一u ，一( 。，u ( 。) ) ，+ ( 。，缸( z ) ) ， i nq lu = 0 ， o na q ， 高- ，曼裂 ( p 1 ) ( p 2 ) a n ds o m en e we x i s t e n c et h e o r e m sa r eo b t a i n e d w h e r eqcr ni sab o u n d e d d o m a i nw i t hs m o o t hb o u n d a r y , ，：q r _ ri s l o c a l l yb o u n d e da n di s s u p e r l i n e a ro ra s y m p t o t i c a l l yl i n e a ra ti n f i n i t y o u rr e s u l t si m p r o v ea n dd e v e l o p p r e v i o u ss o m ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t s k e y w o r d s ：c r i t i c a lp o i n t ，l o c a l l yl i p s c h i t zf u n c t i o n ，g e n e r a l i z e dg r a d i e n t ， ( c ) c o n d i t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进 行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经标 明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：否芡次 2 0 0 6 年5 月19 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文 的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权云 南师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存和汇编本学位论文。 学位论文作者签名：名灭嵌 2 0 0 6 年5 月19 日 勰撕签名：翔 础j - 月卢日j 硕士毕业论文 1 1 引言 我们假设，：丽r - r 是一个局部有界的可测函数，考虑d i r c h l e t 问题 一a u = f ( x ，u ) ，z q ，u h i ( q ) ( p ) 其中q 是r ( 1 ) 中有界的光滑区域。 当，p ，力e ( 豆月) 在无穷远处是渐近线性而不是超线性时，2 0 0 2 年周焕松在文献 8 中研究了问题( p ) 正解的存在性并得到了下面的定 理： 定理a 设 ( h 1 ) f ( x ，t ) a ( 孬r ) ，对任意的z 豆，( z ，0 ) 三0 且 m 銎却l 矧 ( 凰) 对几乎所有的z q ，豇挚关于t 0 是不减的； ( h 3 ) l i m 豇字= p ( 。) ，墨恐且笋= q ( 。) 0 ，其中p ( 。) ，q ( 。) l 0 。( q ) 且 恻l 。 0 是特征值问题 - - a u 。，= ：i 募 的第一特征值。则 ( i ) 当人 1 时，问题( p ) 在础( q ) 中没有正解； ( i i ) 当a 0 是达到a = i n f f a1 wj 2 出：u 嘲( q ) ，如g ( 。) u 2 d x = 1 ) 的函数( 参见文献【4 】) 。 当f ( z ，t ) c ( 西r ) 在无穷远处是超线性而不是渐近线性时，2 0 0 2 年周焕松在文献【8 中研究了问题( p ) 正解的存在性并得到了下面的定 理： 定理b 设条件( 日1 ) 一( h 3 ) 成立，且g ( 。) 三+ o 。若存在一个常数r 满足当n 2 时，r ( 2 ，鹈) ，或当n = 1 ，2 时，r ( 2 ，+ ) ，使得 l i m t + 悃 鳟= 0 对。q 一致成立，则问题( p ) 在日3 ( f 2 ) 中至少有一个 正解。 1 9 7 6 年，c l a r k 在文献 2 】2 中引入广义梯度，1 9 8 1 年，c h a n g 在文献 【3 】中应用广义梯度研究了不可微函数的变分法并获得了几个临界点定 硕士毕业论文2 理。作为这些临界点定理的应用，c h a n g 在文献【3 中研究了具有不 连续非线性项的偏微分方程。自此之后，c h a n g 在文献【3 】中的结果便 成为研究具有不连续非线性项的微分方程的基本工具。最近，k y r i t s i p a p a g e o r g i o u 在文献【5 】5 中，w u 在文献 7 】中研究了在非光滑( c ) 条件 下不可微函数的临界点定理，b o n a n n o - g i o v a n n e l l i 在文献 1 】中研究了 非光滑的特征值问题，m a r a n o - m o t r e a n u 在文献 6 】中研究了在非光滑 ( p s ) 条件下的非线性边值问题。作为应用，k y r i t s i p a p a g e o r g i o u 在文献 5 中，w u 在文献【7 】中研究了半变分不等式解的存在性。 在这篇文章中，我们的主要目的是研究当，：孬r r 是局部有 界可测函数时，问题( p ) 的正解的存在性，我们的主要结果包含了定 理a 和定理b 作为其特殊情形且与文献 1 ，5 7 】的结果完全不同。而 且，我们的结果说明定理a 和定理b 中的函数可减弱为局部有界的 c a r a t h e o d o r y 函数。 为此，我们先介绍一些有关的概念、记号和一些基本的工具定理。 2 预备知识 2 1 基本的定义 设x 是一个实的b a n a c h 空间，x + 是x 的共轭空间，用( ，- ) 表示x 4 和x 的对偶对。 定义2 1 设q 是r “中的l e b e s g u e 可测集，日是q r 上的实函 数，我们称日为一c a r a t h e o d o r y 函数，是指： ( 1 ) 对几乎所有的z q ，日( 茁，u ) 是u 的连续函数； ( 2 ) 对每一个u r ，h ( x ，u ) 是z 的l e b e s g u e 可测函数。 定义2 2 称函数j ：x r 是局部l i p s c h i t z 的，如果对每个扎x ， 存在一个u 的邻域u 和一个常数l 0 有 j ( v ) 一j ( 训) isl i i ”一伽l | ， v v ，叫u 定义2 3 对任意u ，”x ，j 在u 处沿着方向”的广义方向导数 t ，o ( 让；口) 定义为 j 。( 仳；”) = ：甄； j ( 札+ + a ”) 一j ( u + ) 硕士毕业论文 定义2 4 j 在u 处的广义梯度o j ( u ) 定义为： o j ( u ) = 伽x + ：( 叫，u ) j 。( u ； ) ，v x ) ， 并记 川= 。m 。i 划n 悱 叫t a j 【uj 如果a ( u ) = 0 ，则称u 为t ，的一个临界点。 定义2 5 设x 是赋范线性空间，：x _ r 是局部l i p s c h i t z 泛函。 如果使 ，( 让。) _ c ， ( 1 + i l u 。1 1 ) a ( 钍。) _ 0 ，当n - 。 的每一序列 u 。) 有收敛子列，则称，满足( e ) 。条件。 广义方向导数和广义梯度的性质详见文献 3 。 2 2 两个基本命题 下面的临界点定理和命题是本文主要的研究工具： 命题2 1 ( 文献【7 】定理2 5 ) 设x 是一个自反的b a n a c h 空间，：x _ r 是一局部l i p s c h i t z 泛函。如果存在0 的邻域u 和点。o 岳u 以及常数 卢，使得 ，( o ) ，f ( x o ) o ( a 2 ) 对几乎所有的z q ，地t 盟关于t 0 是不减的； ( 小) l i r a 华= p ( z ) ，。l 。i m 。趔t = q ( 。) 0 ，其中p ( 岱) ，g ( 。) l 。( q ) ，且 圳。 0 是单重的、孤立的；a = i n f j ；n l v u l 2 d x ： 钍日j ( q ) ，如q ( x ) l u l 2 如= 1 ) ，且a 可由某个m 0 所达到，满足 ，ng ( z ) j 妒aj 2 d x = 1 ( 参见文献 4 ) 。 设x = 日3 ( q ) ，y = l 2 ( q ) ，寻找问题( p 1 ) 的弱解可以归结为求定义 在x 上的泛函 j ( u ) = 如i wl 2 d x 一岛f ( x ，u ) d x 的临界点( 其中f ( 茁，z ) = 后f ( x ，s ) d s ) 。 我们需要下面的引理： 引理3 1 设条件( a ，) ，( a 3 ) 成立。若q ( x ) 三+ o 。时，( a 。) 也成立。则 ( a ) 存在p ，卢 0 ，使得对所有的仳硪( q ) 且i l u l l = p 时，j ( u ) p ； ( b ) 若a 0 为a 。相应的特征函数。 证明：取2 r 2 + ，由( a 。) 和( a 3 ) 知，对任何的0 0 ，知存在充分大的p 0 ，使得对任 意u 掰( q ) 和恻= p ，有 ，( 札) ( 1 一警) p 2 = p ( b ) 的证明完全类似于文献f 8 】中的引理2 2 ( b ) 的证明。 定理3 1 如果条件( a t ) 一( a 4 ) 成立，则当a 1 时，问题( p 1 ) 在 日j ( n ) 中没有正解。 证明：假设u 础( q ) 是问题( p 1 ) 一个正解，则 厶i v u l 2 d x 厶，+ ( 训( 。) ) u ) d x 厶煳酬s u 刮p 。6 m ，洲z ) 出 j nd l i + m 。f f s 。u ( 。p ) k 6q ( 口) i l l u ( z ) d 茁 2 厶g ( 茁) j u l 2 d x 所以a 1 。因此若a 1 时，问题( p 1 ) 在明( q ) 中没有正解。 定理3 2 如果条件( a t ) ，( a s ) 和( a t ) 成立，则当a p 且j ( t o 妒h ) o 现在，我们证明l ，满足( g ) c 条件。事 实上，对任意序列 u 。) c 硪( q ) 使得j ( u 。) _ c 且( 1 + lj 。| | ) a ( u 。) - 0 ，我 们将证明序列 u 。) 有一个收敛的子列。由于a ( ”。) = r a i n 难。j ( 。) 妒怯， 则存在。：o j ( u 。) 使得a ( ) = i k 忆因而 i ( o i ，u n ) i a ( u n ) ( 1 - 4 - i i u n i i ) + 0 由于x n o j ( u 。) ，存在( z ) ，_ ( z ，让。( z ) ) ，+ ( 。，u n ( z ) ) 使得 ( z ：，妒) 2 厶v u n + v p d x 一厶( 。) l p ( z ) d x ，v c p x 因此 i i u 。| | 2 一如z n ( x ) u 。( x ) d x - 0 ( 3 1 ) 我们断言序列 让。 在x 中是有界的。否则，假定| | 仳。| f _ ，设 伽n = 尚，则序列 叫n ) 在x 中有界。由于x 是自反的b a n a c h 空间， 我们可以假定存在w x ，使得在x 中w n w ，在y 中w 。一w ，且 哭于a e 茁q ，有w 。( 。) + 叫( 。) 。 若叫= 0 ，则由( a - ) ，( a 3 ) 和( 3 1 ) ，有 12 舰亦厶( z ) 钍n ( 茁) 出 = l i mf n z 竺，叫轴 0 使得0 肌( 。) m 。故对任意妒x ，有 上( z ) 叫n ( 。) 妒( z ) 出= 上p n ( z ) 叫。( 。) 一伽( z ) 妒扛) d x + i n p n 协) 训( ) 妒o ) d x _ n 口( z ) 加( z ) 妒 ) d x 此外 i 正v 加n 。v 妒d x 一五p n ( 咖如) 咖) d x l = 志删 赢a ( u n ) 斗。 因此 ， 厶v 伽。v 妒出一厶q ( 茁) ( 咖( z ) d x = 0 这与a 0 且 厶v v 妒如2 厶。( 。) 妒 ) d x 之o 因而，由弱极大值原理，我们知道钍 0 ，i e u 田( q ) 是问题旧) 的 一个正解。 定理3 3 设，( z ，t ) 满足条件( a z ) ，( a 3 ) ，( a 4 ) 和( a 6 ) ，则当a 0 使得世= a t a 。 反之，若存在一个正常数o ，使 l l = 且对a e 茁q ，+ ( z ，u ( z ) ) ： q ( x ) u ( x ) ，则对任意妒础( q ) ，有 n 吼v p d x 跏厶即 w 出 硕士毕业论文1 0 = 0 l nq ( z ) m ( z ) 妒( 。) 出 = n 口( z ) u ( 茁) 妒( z ) 如 = n ，+ ( z ，钍( 。) ) 妒( z ) 如 因而札= 。姒是( p 1 ) 的一个正解。 如果q ( x ) 三f 0 ，则由上面的定理3 1 、定理3 2 、定理3 4 可得下 面的推论。 推论3 1 设条件( a 1 ) 一( a 4 ) 成立且q ( x ) 兰l 0 ， ( i ) 若a - l ，则问题( p 1 ) 在耐尸( q ) 中没有正解； ( i i ) 若a 0 ，则问题( p 2 ) 在掰( q ) 至少有一个正解。 证明：对任意0 0 ，使得 l i t o l p l l l p 且j ( t o 妒1 ) 0 。 现在证明j 满足( e ) 。条件。事实上，对任意序列 让。 c 硪( q ) 使得 j ( u 。) - c 和( 1 + 0 u 。i i ) a ( 钍。) _ 0 ，我们将证明 u 。) 有一个收敛的子列。 硕士毕业论文 1 1 我们断言序列 “。) 在x 中有界。否则，我们可以假定j | u 。j j - o o ，设 w n = 翻，则 叫n ) ， 伽嘉) 和 叫二 在x 是有界的( 训：和叫二分别是w n 正 部和负部) 。由于x 是一个自反的b a n a c h 空间，可不妨假定存在叫x 使得在x 中叫。一w ，在y 中w 。- w ，且w 。( z ) _ w ( x ) 对a e 。q 。 设q l = 缸n ：w + ( 。) o ) ，因为q ( x ) = + 。，应用似1 ) ，( a 3 ) 和( 3 i ) 知，当q - 的测度l q t i 0 时，有 12 溉高厶( 咖n ( z ) 出 = l i m 竺伽：出 r t - , - o o j n “n “ l i r a ，f n 掣( 蚶d x _ 。l ，i m 。，f n 。掣( 伽+ ) 2 d x 一+ + 。 产生矛盾。因而i q - l = 0 。因此，对a e z q ，叫+ ( z ) = 0 ，并且由r ( 2 ，2 + ) 和( 3 4 ) 知 l i m 。， nf ( x , 2 饰) 如= o 因此 。j ( 2 x f f c w n ) = 2 c 设夕( n ) = 如f ( x ，u ( z ) ) 如和o j ( u 。) 使得a ( 让。) = j 瞵m 则存在z n o g ( u n ) 使得 ( 口：，妒) 2 上v 札n 。v 妒如一( ，妒) ，v 妒x 由于 l ( z ：，珏。) a ( 让。) ( 1 + lu 。【| ) _ 0 ， 知 【i u 。1 1 2 一( ，u 。) _ 0 因此可以假定 一i 1 | i 让。1 1 2 一( z n ，札。) 去+ ( 胁) 】_ 五f ( 训。( z ) ) 如 = 一去一；( 巍，一岫一五聊胁( 圳如 一磊1 一矿i0 ( u n ；- - u n ) 一if ( 。，钍。( z ) ) 出 一去一；五p ( 而世。( 础一越。( 圳出一五f ( 口，趾。( z ) ) 如 = 一磊1 + 丘加) 0 ；札。( z ) 厂( 训如) ) - f ( 训。( z ) ) 】出 因此，对任意t 0 ，1 】，有 ) 1f + t 2 + z 加) 0 钞1 ) i f + ( 叫。( 。) ) 一，( 圳。( 圳出+ m 。) 由于l q ，i = 0 知 k ) 0 如 ) i f + ( 圳n ( z ) ) 一厂( 叩n ( 圳出= o 因而 j ( 蚓百1 + t 2 十j ( u d 因此，对充分大的n ，有 坤伽加t ，( 篙u 胚帮1 + 淼) 圳u n ) 所以2 c c ，这与c 0 矛盾。因此序列 u 。) 在x 中有界。类似于文【3 】3 中定理4 3 ( 2 。) 的证明，我们可以证明序列( u 。 有一个收敛的子列。因 此t ，满足( e ) 。条件，由命题2 1 我们知道c 是j 的一个临界值。因而 存在让掰( q ) 和z ，一( z ，仳) ，+ ( 。，孔) 】使得j ( u ) = c 卢 0 且 五v u v 妒d x = a z ( 咖( z ) 如o 硕士毕业论文1 4 对任意非负函数l p 皤( q ) ，因而，由弱极大值原理，我们知道钍 0 ， i e 掰( q ) 是问题( p 1 ) 的一个正解。证明的剩余部分和定理3 3 的证 明相同，从略。 注3 2 ，若函数，( z ，t ) 是局部有界的c a r a t h e o d o r y 函数，条件( a 。) 和( a 6 ) 自动成立。因此，我们的定理3 1 一定理3 3 推广且改进了定 理a ( i ) ( i i ) ，定理3 4 推广且改进了定理a ( i i i ) ，定理3 5 推广且改进了 定理b 。 定理3 6 设条件( a - ) ，( a 3 ) 一( a ) 成立且q ( x ) 三+ o o ，若存在卢r 使得 l i m i n f 鱼坠：颦鲨堕2 o + o 。 “ 则问题( p 1 ) 在硪( q ) 至少有一个正解。 证明：从定理3 5 的证明知，只需证t ，满足( c ) 。条件即可。由( a ) ， ( a 3 ) 和( a 5 ) 知，存在一个常数c 。 0 使得 0 ，仁，t ) c 1 ( 1 + t l r - ) ，v t r 因此 f ( x ，t ) = 露，( z ，s ) d s c l + c 2 t ，v t 0 ( 3 6 ) 由 l 槲i m i 。n f 业帑型 o t + + o oi f l p 我们可以证明 l i mi n f t 。佃止世害! 0 ( 3 7 ) 事实上，存在g o 0 ，m o 0 使得 盟盟掣 钆v s m o 0 p 。 一 对每一固定的t m 0 + 2 ，当6 ( o ，1 ) 充分小，且对任意满足f f t i 0 ， m o + 2 ，g 蜓2 _ j ，堡t l - - l f 一! 掣 一挚。因而 t f ( x ，f ) 一2 f ( x ，t ) f ，( z ，) 一2 f ( x ，t ) 护一一万 、 2 f ( x ，f ) + 印刚一2 f ( x ，t ) 塑望些堡童 1 5 2 f ( x ，)2 f ( x ，t ) ，t p 一玎一r 十石i 5 0 詈 因此 l m i m i 。n f 盟唑等业 o t _ + + o ot p 假设 u 。) c 硪( q ) 使得j ( 札。) _ c 且( 1 + i i u 。i i ) a ( 钍。) - 0 ，其中a ( “。) = m i n 。a ，似。】怕忆则存在m 0 使得 i j ( 乱n ) 1 m ，( 1 + i l u n l l ) a ( u 。) m 选取w 。o j ( u 。) 使得| | 。| | = a ( 札。) ，则存在w 。o g ( u 。) 使得 ( ) 2 n v u n v v d 茹( 口) ，v 日3 ( q ) 因此，由( 3 6 ) 扣n i l 2 = j ( “。) + 五f ( 训。( z ) ) 出 m + n c 2 ( u ：( z ) ) 7 - _ | - c 1 d z 墨c 2 五( 钍者( z ) ) 7 如+ c 3 ( 3 - 8 ) 此外，由( 3 7 ) 存在常数c , 4 0 ，6 1 0 使得 t f ，t ) 一2 f ( x ，t ) c 4 1 t 4 ，v t n 由，的局部有界性，存在一个常数c 5 0 使得 l t ，一( z ，t ) 一2 f ( x ，t ) i c 5 ， v ost 6 1 因而 t l 一向，t ) 一2 f ( z ，t ) c 4 1 t l “一岛，v t 0 设g ( 让) = 如f ( 2 ，u ( x ) ) d x 。因此 3 m 2 j ( u 。) 一( w 。，u 。) = 一2 n f ( 训n ( 茹) ) 如一( 一) 硕士毕业论文 1 6 一2 f ( x ，壮。( z ) ) d z g o ( 。；一z ) j n 一2 f 删n ( z ) ) 如+ 上批) 0u n ( 茁) ，一( z ，u n ( z ) ) d 窖 = k ) 0 m z ) ，一( 舭n ( 岱) ) 一2 f ( 掣n ( z ) ) j 如 五【c 4 ( 钍) “一c 6 d x 因而如( u 吉( z ) ) 一出是有界的。因为卢r ，由( 3 8 ) 知i | u 。i | 是有界的。剩 下的证明完全类似于文献【3 中的定理4 3 相应部分的证明。 推论3 2 设条件( a 。) ，( a s ) 一( a e ) 成立且q ( x ) 三+ o o ，若存在“r 使得 l i m i n f 世盟掣 0 t - 4 + o o i t i ” 则问题( p 2 ) 在日3 ( q ) 至少有一个正解。 证明：参见定理3 3 的证明，这儿从略。 注3 3 即使函数f ( x ，t ) 是局部有界的c a r a t h e o d o r y 函数，定理3 6 和 推论3 2 都是新的。 塑圭堂些堕塞 1 7 r e f e r e n c e s 【1 】g b o n a n n o ，n g i o v a n n e l l i ，a ne i g e n v a l u ed i r i c h l e tp r o b l e mi n v o l v i n g t h ep - l a p l a c i a nw i t hd i s c o n t i n u o u sn o n l i n e a r i t i e s ，j m a t h a n a l a p p l ， 3 0 8 ( 2 0 0 5 ) ，5 9 6 6 0 4 2 】f h c l a r k e ，an e wa p p r o a c ht ol a g r a n g em u l t i p l i e r s ，m a t h o p e r r e s 1 ( 1 9 7 6 ) ，1 6 5 1 7 4 【3 】k c c h a n g ，v a r i a t i o n a lm e t h o d s f o rn o n d i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o n a l sa n d t h e i ra p p l i c a t i o n st op a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，j m a t h a n a l a p p l ， 8 0 ( 1 9 8 1 ) ，1 0 2 1 2 9 4 】m c u e s t a ，e i g e n v a j u ep r o b l e m s f o rt h ep - l a p l a c i a nw i t hi n d e f i n i t ew e i g h t s e l e c t r o n j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，2 0 0 1 ( 2 0 0 1 ) ，n o 3 3 ，1 - 9 5 s t k y r i t s i ，n s p a p a g e o r g i o u ，n o n s m o o t h c r i t i c a lp o i n tt h e o r yo n c l o s e dc o n v e xs e t sa n dn o n l i n e a rh e m i v a r