（基础数学专业论文）一类丢番图方程整数解的研究.pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 本论文的主要工作是： 一利用简单同余法、分解因子法等初等方法，给出了方程2 p y 。= 2 矿+ 3 x 2 + z 无正整数缌的条件 = 讨论了四类方程d 护+ 1 = y v ( p 5 且p 为素数，d = 3 1 ，4 7 ，7 1 ，7 9 ) 非零整数解的问题，得出 1 当p = 5 时，即 口+ 1 = 矿( 1 ) 1 ) 如果2 t y ，若方程( 1 ) 有非零解，则y 2 0 d + 1 ； 2 ) 如果2fy ，当d = 3 1 ，7 1 时，若方程 1 ) 有非零解，则分别有y ； 2 ，8 ( m o d 3 1 ) ，y ；5 ，2 5 ( m o d 7 1 ) ；当d = 4 7 ，7 9 时，则方程( 1 ) 无非零解； 2 ，当p 5 时，方程d x 2 + 1 = y p 在d 取值3 1 ，4 7 ，7 1 ( p 7 ) ，7 9 ( p 1 3 ) 时 无非零整数解 三考虑了关于方程一2 p = 圹的求解问题，给出当q i 以一 的类数为 1 ，2 p 一1 = 3 t 时，则 1 若n = 3 ，方程无解 2 存在某一大于等于2 的整数a 1 ，当t ；1 ( m o d 2 1 1 + 1 ) ，n 兰3 ( m o d 2 m “) 时，方程无解 关键词：丢番图方程；方程的整数解；同余 西北大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h em a i nw o r ko ft h i sp a p e ri s ： f i r s t w e g e t t h ec o n d i t i o n t h a t t h ee q u a t i o n2 p y 2 = 2 x 3 + 3 x 2 + z h a v e n op o s i t i v e s o l u t i o nb yt h em e t h o do fs i m p l ec o n g r u e n c ea n dd e c o m p o s i t i o n ， s e c o n d ，w e d i s c u s s t h e p r o b l e m o f f o u rc l a s se q u a t i o n d x 2 + l = 旷加5 a n d p i s ap r i m e ，d = 3 1 ，4 7 ，7 1 ，7 9 ) w i t h o u tn o n z e r oi n t e g e rs o l u t i o n w eo b t a i nt h ef o l l o w i n g r e s u l t s ： 1 i f p = 5 w e h a v e d 护+ 1 = 矿( 1 ) 1 ) i f2 十y ，t h ee q u a t i o n ( 1 ) h a sn o n - z e r oi n t e g r a ls o l u t i o n s ，t h e ny 2 0 d + 1 ； 2 ) i f2y ，l e td = 3 1 ，7 1 ，t h ee q u a t i o n ( 1 ) h a sn o n - z e r oi n t e g r a ls o l u t i o n s ，t h e n ye2 ，8 ( m o d 3 1 ) ，y 罩5 ，2 5 ( m o d 7 1 ) ；l e td = 4 7 ，7 9 ，t h ee q u a t i o n ( 1 ) h a sn on o n - z e r oi n t e g | s o l u t i o n s ， 2 1 i fp 5 ，t h ee q u a t i o nd x 2 十1 = 矿h a sn on o n - z e r oi n t e g r a ls o l u t i o n sw h e n d = 3 1 ，4 7 ，7 1 佃7 ) ，7 9 1 3 ) t h i r d ，c o n s i d e rt h es o l v a b i l i t yo ft h ee q u a t i o nz 2 一劫= y “，i ft h ec l a s 5n u m b e r o f q v t p i s1o r2 p 一1 = 3 t ，t h e n 1 ) i fn = 3 ，t h e nt h ee q u a t i o nh a sn os o l u t i o n s ； 2 ) t h e r ee x i s t si n t e g e ro i 2 ，t h ee q u a t i o nh a sn os o l u t i o n sf o rt l ( m o d 2 a l + 1 ) ， e3 ( m o d 2 0 l ”) k e y w o r d s ：d i o p h a n t i n ee q u a t i o n ；t h es o l u t i o nt od i o p h a n t i n ee q u a t i o n ；c o n - g r u e a c e 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 1 学位论文作者签名：兰：! 整指导教师签名：二窿篷 7 亏年月厂日乙呻年石月6 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 j 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：立 采 p 7 年占月日 西北大学硕士学位论文 序言 1 9 2 1 年，n a g e l l 1 1 证明丢番图方程 d x 2 + 1 = 矿，p 是奇素数，d 2 无平方因子( 1 ) 当p t h 时，方程( 1 ) 如果有整数解z ，u ( u 1 ) ，则有2 iy ，这里h 表示q 厂万的 类数由此推出，当p t h 和d 7 ( m o d 8 ) 时，方程( 1 ) 仅有平凡解( z ，y ) = ( 0 ，1 ) 但对于有d = 7 ( r o o d 8 ) 的情形尚未解决 l j u n g g r e n ，柯召、孙琦，曹珍富等分别于1 9 4 2 年1 9 8 5 年、1 9 8 7 年完 全解决了d = 7 ，1 5 ，2 3 的情形，2 0 0 0 年，在计算机辅助的基础上，肖卿灿研 究了方程( 1 ) 当p 5 ，d 2 0 d + 1 ； 2 ) 如果2ly ，当d = 3 1 ，7 1 时，若方程( 2 ) 有非零解，则分别有y ； 2 ，8 ( m o d 3 1 ) ，y e5 ，2 5 ( m o d 7 1 ) ；当d = 4 7 ，7 9 时，则方程( 2 ) 无非零解； 序言 2 当p 5 时，方程d z 2 + 1 = 矿在d 取值3 1 ，4 7 ，7 1 p 7 ) ，7 9 ( p 1 3 ) 时 无非零整数解 二考虑了关于方程p 一2 p = 扩的求解问题，给出当q 【以_ 】的类数为 1 ，印一1 = 3 t 时，则 1 当n = 3 时，方程无解 2 存在某一大于等于2 的整数n l ，当t 兰l ( m o d 铲1 “) ，n ；3 ( m o d 2 4 1 + 1 ) 时，方程无解。 由于作者水平有限，论文中漏洞和不妥在所难免，恳切希望专家及同行 批评指正 西北大学硕士学位论文 第一章概述 1 1丢番图方程概述 方程一词源于我国古代最著名的数学著作瑶九章算术( 公元一世纪 左右成书) ，书的第八章叫做。方程章”，其内容相当于我们现在的线性方程 组由于古代采用。竹筹”记致，将长方形的系数由竹筹排列出来成为长 方形，然后变动长方形的竹筹阵以求解答，这种“列筹成方的课程”就称 为方程方程自古以来就是一个富有吸引力的数学研究课题 不定方程是数论中最古老的一个分支所谓不定方程，就是未知数的个 数多于方程的个数，但他们的解受某种限制( 如是整数，正整数或有理数 等) 的方程( 方程组) 例如求z 2 8 y 4 = 1 的正整数解( z ，y ) = ( 3 ，1 ) ，以及 求x 2 + 7 = 2 ”的整数解毛n 等，都是不定方程的求解问题古希腊数学家丢 番图于三世纪初研究过这样的方程，所以不定方程又称丢番图方程实际 上，我国古代周髀算经就提出了商高定理“勾三股四而弦五”，这表示 不定方程一十y 2 = 有一组整数解z = 3 ，y = 4 ，：= 5 ，早于丢番图的研究 不定方程的内容极其丰富，它的分类基本上是由方程的形式决定的例 如，可分为一次方程、二次方程、三次方程、高次方程，指数方程和一些特 殊类型的方程，以及和许多学科交叉渗透产生的新的类型在代数数论、 组合论和群论等数学分支中都提出了一些丢番图方程问题。因此，丢番图 方程与数学的其他分支有着密切的联系由于这种联系，近代许多优秀的 数学家如费马( f e r m a t ) 、欧拉( e u l e r ) 、高斯( g a u s s ) 、拉格朗日( l a g r a n g e ) ， 库默( k u m m e r ) 、希尔伯待( h i l b e r t ) 等都从事过不定方程的研究这些研究 大大丰富了不定方程的内容，促进了数论的发展 1 2丢番图方程的主要成就 丢番图方程历史悠久，近年来这一领域出现了许多嘱目的优秀成果，极 大的丰富了数论的内容，促进了数学的发展 第一章概述 1 9 5 5 年，k f r o t h 【4 】证明了一个著名的定理：设0 是一个n22 次的代 数数，则任意s 0 ，适合 1 0 - ；i 0 仅有有限组运用这一定理得出了二元n 次的不可约多项式 方程当n23 时解的个数有限1 9 6 8 年前后，英国数学家a b a k e r 5 ， 6 j 成功 地将g e l f o n d 和s c h n e i d e r 有关h i l b e r t 第七问题的结果推广到一般的情况， 给出了一大类丢番图方程的整数解的绝对值的上界a ，b a k e r 的工作给数 论中包括丢番图方程的许多领域带来了突破性进展 1 9 7 3 年，r d e n g n e 7 证明了关于有限域上不定方程l ( x ，z 。) = 0 的解的个数的猜想，即著名 的a w e i l 猜想1 9 8 3 年，g f a l t i n g s ；【8 】证明了l j m o r d e l l 猜想，即有理数 域里亏格2 的代数曲线上仅有有限个有理点由此可以导出f e r m a t 方程 扩+ y n = 扩，( z ，y ) = 1 在n24 时最多有有限组正整数解1 9 8 5 年，利用 g f 。a l t i n g s 定理，d r h e a t h - b r o w n 9 证明了z t m 华= 0 ( 8 一o 。) ，这里( s ) 表 n 8 使扩+ 旷= 扩 2 ) 有正整数解的那些n 的个数即对。几乎所有” 的正整数n 2 ，方程护+ 旷= 扩均没有正整数解 因为k f r o t h ，a b a k e r ，r d e l i g n e 和g f a l t i n g s 的杰出贡献，他们分别于 1 9 5 8 年、1 9 7 0 年、1 9 7 8 年和1 9 8 6 年获得了国际数学家大会的f i e l d s 奖 1 3解丢番图方程的困难性 解丢番图方程由于没有一个一般的方法，因而它向人类的智慧提出了 挑战尽管有一些丢番图方程的问题叙述简单，容易理解，但解决起来却 相当困难，例如求不定方程 1 + x 2 = 2 y 4 ( 1 ) 的正整数解为y 的问题，在很长一段时间，数学家们只知道它有两组解( z ，y ) = ( 1 ，1 ) ，( 2 3 9 ，1 3 ) ，但要证明它是否存在另外的解却不容易直到1 9 4 2 年，w l j u n g g r e n 1 0 1 研究了四次域的单位数之后，用了大量的现代数论的成果最终才得以证明： 方程( 1 ) 最多有两组正整数解 2 第一章概述 w ，l j u n g g r e n 的证明复杂又不初等，且方法上的技巧又太特殊，不能为 多数人接受，故大数学家l j m o r d e l l 1 1 1 提出了一个公开性的问题：是否能 找到一个简单的或初等的证明? 这个问题直到现在仍未解决 对于不定方程 矿旷= z 。，z 1 ，y 1 ，( 2 ) 著名数学家p e r d b s 猜想它没有正整数解1 9 4 0 年，我国著名数学家柯召 【1 2 证明了这一猜想是错误的，他证明了方程( 2 ) 有无穷多组解： z = 2 2 ”1 一“) 恤( 2 “一1 ) 2 ( 2 a - - 1 ) y = 2 2 + q 扩一”一1 ) ( 2 ”一1 ) 2 ( 2 n - i ) + 2 。= 2 2 ( 2 “”1 ) + ”1 ( 2 ”一】) 2 ( 2 n - - 1 ) + 1 其中n 1 1 9 5 9 年，w h m i l l s 1 3 1 发现柯召得到的解均满足4 x y = z 2 的条 件，因而证明了：1 ) 如果4 x y z 2 ，则方程( 2 ) 没有正整数解；2 ) 如果4 x y z 2 ， 则柯召找到的解是( 2 ) 的全部正整数解在1 9 8 4 年，s u c h i y a m a 1 4 证明了： 如果4 x y 2 ) p e r d 3 s 和r o b l 5 t h 1 l 】解决了方程当p 2 时的情况，但对p = 2 无能为 力g j s i m m o n s 提出，方程硝= ( m 一1 ) r e ( m + 1 ) 是否仅有正整数解( m ，n ) = ( 2 ，3 ) ，( 3 ，4 ) ，( 5 ，5 ) ，和( 9 ，6 ) ? 这个问题也没有得到解决 丢番图方程的类型繁多，有关丢番图方程解的猜想也十分丰富而且复 杂在这些方程的研究过程中，有一部分猜想得到了肯定的回答，有一部 分被证明是不成立的，还有一部分到目前为止，既未得到肯定的回答，又 没有否定的结论因此，丢番图方程的研究范围仍然非常广阔，需要数学 家不断的努力 3 第一章概述 1 4丢番图方程的求解原则 丢番图方程的内容异常丰富，但又没有一个统一的研究方法就其研究 目的而言，人们希望尽可能找到某种类型的一个一般性的求解过程，以便在 更多的场合更好地应用有些问题在整数环上已经解决了，为了得到新的 解题方法，人们把它拓展到代数整环上去研究有些问题用高深的方法解 决了，人们还想将其转化为容易处理的问题，以期找到较为初等的方法解 决通过这些研究能不断产生新的结构或新的技巧，而构成这种新结构或 新技巧的往往可能是新数学分支的萌芽，也可能对科学技术的发展产生某 些特殊的应用 实际上，解决丢番图问题的方法自古至今从来都是不同问题采用不同 方法一般说来，我们只能给出丢番图方程的求解原则，即综合利用各种初 等的，高深的方法，将丢番图方程转化为若干容易处理的或有熟知结果的 方程 对于一个具体的丢番图方程 y ( x l ，z 。) = 0 ，z 。皿 ，i = 1 ，n( 3 ) 其中，( ，x 。) 是关于未知数钆，z 。的整系数多项式，虮( i = 1 ，n ) 是未知数的取值集合，一般情况下，我们需要解决下列问题： 1 方程( 3 ) 是否有解( 轧，z 。) ? 2 方程( 3 ) 有解时，它的解是否为有限组? 3 a 如果方程( 3 ) 的解是有限多组，能否可以具体找出各组解? b 如果方程( 3 ) 的解是无限多组，能否可以找到一个统一的求解公 式? 4 西北大学硕士学位论文 第二章解丢番图方程的几类方法 2 1简单同余法和分解因子法 一简单同余法 简单同余法，是指取某个正整数d ( d 1 ) 为模，对丢番图方程求模d 同余，制造矛盾的方法例如 1 5 m 6 】中所体现的那样，这种方法的关键是 根据所给丢番图方程的特点，选择恰当的模d 一般来说，主要有下列几种 选择模d 的方法 1 选择模2 d ( n 1 ) 例1 证明方程x i + = 4 x 3 + 3 没有整数解 证明：给方程z ；+ z ；= 4 x 3 + 3 两边同时取模4 ，求同余得； x ；+ z 净3 ( m o d 4 ) 对于任意整数z ，都有z 2i0 ，l ( m o d 4 ) ，因此x ；+ x ；0 ，1 ，2 ( r o o d 4 ) ，这与同余 式x ；+ x ；i3 ( m o d 4 ) 矛盾所以方程z + x l = 4 x 3 + 3 没有整数解 例1 中的模d = 2 2 ，即模d = 2 a 1 ) 的特例利用掣( a 1 ) 为模解不 定方程主要用到以下一些事实： 1 ) 对任意x z ，有z 2 i0 ，l ( m o d 4 ) ； 2 ) 如果z e l ( m o d 2 ) ，则z 2 i l ( m o d 8 ) ； 3 ) 对任意z z ，有z 2 “2 ；0 ，l ( m o d 2 ) 4 ) 2 选择模3 。( n 1 ) 例2 证明方程x i + z ；+ x 3 - 9 x 4 土4 没有整数解 证明：给方程雹+ 碹+ z ；= 9 x t 4 - 4 两边同时取模9 ，求同余得： 霹+ z 2 + z ；兰= t = 4 ( m o d 9 ) 对于任意整数z ，都有护蔓0 ，+ l ( m o d 9 ) ，所以 司+ 通+ 霹i0 ，士1 ，士2 ，+ 3 ( r o o d 9 ) ， 与方程得出的同余式矛盾，即此方程无整数解 5 第二章解丢番图方程的几类方法 有些三次丢番图方程还需取模7 ，例如方程斫+ 2 x ；= z ( x ；+ 2 x 4 a ) 无正整 数解 3 选择模p 为奇素数) 例3 设n 无平方因子，口含有4 k + 3 形的索因子，证明方程z ；+ z ；= 。z i 无正整数解 证明：设方程的解满足( x 3 ) = 1 由a 含有素因子p ；3 ( m o d 4 ) 知， 方程z ；+ 谚= n z ；得出z ；三一x ；( m o d p ) ，由于p l 勋推出p i 矿i 凹；又a 无 平方因子，故pj 与( x 2 ，x 3 ) = 1 矛盾所以p t $ 1 x 2 ，砰i x ；( m o d p ) 给 出1 = ( 誓) = ( 孚) = ( 予) = 一1 ，这不可能( ；) 表示勒让德符号 对于三次、四次丢番图方程，需要用到三次剩余和四次剩余的某些结 果k 次剩余符号( ；) ，我们定义为：设k 1 ，p 一1 = k q ，p 为奇素数，则有( ；k = ( n a ) ，( n ) ，表示口模p 的绝对最小剩余，即( n ) ， 一孚，一l ，0 ，1 ，孚 对于k = 3 ，4 时一般有一下几个常用的结果： 1 ) 设p i l ( m o d 6 ) 则( ：) 3 = 1 号存在整数，口使得p = “2 + 2 7 v 2 2 ) 设p ；l ( m o d 8 ) ，p = 0 2 + 6 2 ，4l 口，贝4 ( ：) 4 = ( 一1 ) ： 3 ) 设p l ( m o d 4 ) ，则( 寻) t = ( 一1 ) 宁 还有一些方程，需要用到二次互反律例如，证明方程+ g = p ，p ，q 是素数，在p = 3 ( m o d 4 ) ，qi1 ( r o o d 4 ) 时无整数解 由上述讨论可知，一般来说，简单同余法用来得出丢番图方程无正整数 解对于丢番图方程 ，( z l ，z 。) = 0( 1 ) 选择恰当的模d 1 ，通过解同余式 f ( x l ，z 。) 兰0 ( m o d d )( 2 ) 来判断( 1 ) 是否有解因为 定理如果丢番图方程( 1 ) 有整数解，则同余式( 2 ) 必有解 这种方法在研究丢番图方程的过程中经常用到，乐茂华【2 】利用同余给 出了方程z 2 一d = p n 的解数，l j m o r d e l l 1 7 借助同余求出了方程护+ 2 + z 2 + 2 x y z = n 的整数解 6 第二章解丢番图方程的几类方法 上述定理的逆命题一般不成立，如同余方程x 2 ；一l ( m o d 2 ) 有解，但丢 番图方程护+ 1 = 0 无整数解 二分解因子法 分解因子法，是将所给的丢番图方程经过整理，化为 f ( z l ，一，z 。) = d y “，n 1 ( 3 ) 然后分解，为两项乘积的形式，即f = 丘根据唯一分解定理，由( 3 ) 得 ，l = d l y ，2 = d 2 孵 其中d y n = d t d 2 ( y - 抛) ”这样使得问题得到简化这种方法的实质，是 把丢番图方程不断展开，化为容易处理的或有熟知结果的方程现在我们 举例说明这种方法的用法 例4 证明丢番图方程护+ y 2 = 。2 ，z 0 ， 0 ，z 0 的全部整数解可表 为( y 可互换) z = 2 a b d ，y = ( n 2 一b 2 ) d ，z = ( a 2 + b 2 ) d 其中d 是正整数，o b 0 ( a b ) = 1 且a ，b 一奇一偶 证明：设( x ，y ) = d ，由方程z 2 + y 2 = z 2 可得d k 故令z = 如l ，y = d y l ，。= d 。，( z l ，y t ，z l z + ) ，于是方程可化为 z ：+ 笋 = 2 ，( z l ，y 1 ) = l ，l ，y 1 ，2 l o( 4 ) 由于轧y l 同奇( 4 ) 可推出彳= z i + y 2 ( m o d 4 ) 的矛盾结果，故可设f - 一奇一偶，令z lio ( m o d 2 ) ，( 4 ) 可化为 ， ( 弘华= ( 半) ( 牮) ， ( 5 ) 、2 7 4 、 2 八 2 r7 由( ! 铲，! 。产) = ( z l ，f 1 ) = ( l ，z 1 ) = 1 ，( 5 ) 可得出! 血2 = n 2 ，! 气产= b 2 ，丑2 = a b ， 其中n b 0 ，( 口，b ) = 1 且a ，b 一奇一偶解出上式即z l = 2 a b ，y 1 = a 2 一b 2 ，z = n 2 + b 2 容易验算此命题正确 7 第二章解丢番图方程的几类方法 2 2 代数数论方法 代数数论方法，就是把所给丢番图方程放在代数数域中考虑，通过代数 整环性质的讨论，使问题得到简化或展开，综合运用其他方法( 一般是初等 方法) 处理这些展开或简化后的方程为了说明这种方法，下面列出在解丢 番图方程时主要用到的代数数论的概念和结果以下定义及结论参考文献 【1 8 】 定义1 设是二次域q ( 瓶) 的基数，q 是正有理素因数，则x ( n ) 是 模i 的实特征：x ( n ) = 0 ，( n ，) 1 ； f 驴 如果d _ “m o d 4 l 小) 刊啦) ： ( 。v 2 n ( i ) 如果d - = 3 ( m o d 4 ) ，( n f ) _ 1 l q t d 1 i ( - 1 ) 舻。v 8 + ”u 2 v 8 瓢如果d - 2 ( m o d 4 ) 定义2 l ( s ，x ) = 墨1 x ( n ) n 一，r es 1 ，x ( n ) 是定义1 给出的特征 结论1 设a ，b 是o ( o ) 上的理想数，如果存在n ，z 使得【o i a = 旧b ， 则称a ，b 属同一个理想数类，记为a b 由此关系可将q ( 口) 上的全体理 想数分类，其类数h 是一个有限正整数，称为q ( 口) 的理想类数( 简称0 ( 目) 的类数) 我们有：任给0 ( ) 中的理想数a ，总有n z 吲使得a “= ，由此 推出：如果( ：，h ) = 1 ，a t 是一个主理想数，则a 是个主理想数 结论2 设是二次域q ( 怕) 的基数，u 表示虚二次域q ( 怕) 的单位数 的个数，印是实二次域q ( 怕) 的基本单位数， ( ) 表示二次域q ( 、，伍) 的 类数，l ( 1 ，x ) 由定义2 给出，则d i r i c h l e t 类数公式； 一 豢譬翥蓁嚣 结论3 设o ( o ) 中的理想类数为h ，( 1 ，= 1 ，则丢番图方程z p = e z z ，( z ，y ) = l ( 这里z ，y ，。引卅是变元，c z o l 是给定的) 在z 上的全部解为 善= 1 c 1n f ，y = 已c 2 ，z = 6 n ( 6 ) 第二章解丢番图方程的几类方法 其中。已= 器，c l c 2 = c ，l ，已，矗是q ( o ) 中的单位数， c lq ，o ，卢z 卅，( c i ，c 2 ) = ( o ，p ) = 1 证明：为了使方程x y ：c ，( z ，y ) = 1 得到展开，把其化为理想数方程 m 【引= 【c 】旧由理想数的唯一分解定理知，上式给出 i x = 【c - 1 ，m = 【c 2 b 。，旧= a b ( 7 ) 其中【c 】= i v , 】，( c - ，c 2 ) = 1 又( z ， ) = 1 ，由定理1 知，a ，b 是q c o ) 上的主理想 数设a = 【o 】，b = 吲，卢z 由( 2 ) 式可得m = c l o 。 ，【鲥= c 。明，纠= 【n 纠， 即得方程的解( 6 ) 结论2 ，结论3 是我们利用代数数论解丢番图方程的一般方法及思路 在一些特殊问题中，主要用到的是二次域q ( , - 5 ) 下面我们举例说明代数数 论方法的应用 例1 证明丢番图方程 y 3 = 4 。+ 矿，( z ，y ) = i 仅有正整数解( z ，y ，z ) = ( i i ，5 ，1 ) 证明：如果所证方程有正整数解，显然有2 十z ，y ；l ( m o d 4 ) 由方程得 ( 2 。+ 。v c i ) ( 2 。一z f i ) = y a ， 因为2 t z ，q v 二i 的类数为1 ，所以给出2 。+ z ，= t = ( + ，= t ) 3 ，y = u 2 + 口2 ，由 此即知2 ：= u ( “2 3 v 2 ) ，由g i1 ( r o o d 4 ) 知，”一奇一偶，因此2 k “( 铲一3 铲) 给出“= 士2 ：，铲一3 v 2 = 5 ：1 ，即2 “一3 v 2 = 1 ，对此取模8 可得，。= 1 ，v 2 = 1 ， 给出y = 5 ，z = 1 1 ，即得方程仅有正整数解( y ，。) = ( 1 1 ，5 ，1 ) 本章主要讲述了解丢番图方程的两种初等方法和一种高等方法，这几 种方法是处理本文所要研究的几类丢番图方程问题的有力工具，曹珍富给 出它们对h a l l 方程矿一q “= 1 、h u g h - e d g a r 方程鲁= q ，和矿一q ”= 2 “( p ，q 均为素数) 的应用，得出了一系列结果【1 9 1 1 2 0 另外，我们简要说明一下柯 召一t e r j a n i a n - r o t k i e w i c z 方法 9 第二章解丢番图方程的几类方法 为了解决著名的c a t a l a n 方程护一1 = y p ，柯召【2 1 于1 9 6 2 年提出了计 算j a c o b i 符号( 吕揣) 来解决丢番图方程的方法，其中虢= 2 ；丰等，而后， t e r j a n i a n 2 2 】运用计算j a c o b i 符号( 告：黜) 的方法证明了费马猜想的一种情 形，其中2tm 他a i ( 置y ) = 毫 ，1 9 8 3 年，r o t k i e w i c z 2 3 】把柯召首先提出的 想法用来研究更一般的l e h m e r 数，通过计算j a c o b i 符号( 每) 来解决更多 的丢番图方程，其中弓表示l e h m e r 数，所以我们把以上的方法称为柯召 t e r j a n i a n - r o t k i e w i c z 方法例如，1 9 8 7 年，孙琦【2 4 】利用此方法完全解决了 方程d x 。+ 1 = y p p 是奇素数) 中d = 1 5 ，2 3 的情形这种方法的具体应用见 本文3 2 ，3 3 当然，在实际应用中，可能仅仅一两种方法得不到理想的结果，必须综 合使用各种可能的方法来求解例如本文2 3 就用到了p e h 方程法和递推 序列法及3 3 用到的柯召t e r j a n i a n - r o t k i e w i c z 方法 2 3方程2 p y 2 = 2 x 3 + 3 x 2 + z 解的讨论 关于丢番图方程6 y 2 = 2 矿+ 3 矿+ z ，许多学者均研究过它的整数解问题 ( 参考文献【2 5 ，【26 ， 27 “2 8 】) 利用上节介绍的几类方法本节将讨论方程2 p y 2 = 缸。+ 3 x 24 - z 解的状况首先我们引入几个引理。 引理1 1 2 9 3 0 1 设d = 2 p ，p 是一个奇素数，d 不是平方数，则方程 一一d y 2 = 1 d 0 除开d = 6 ，z = 7 ，g = 2 0 外，无其他的正整数解 引理2 设d 0 且不是平方数，则p e l l 方程z 2 一d y 2 = 1 至少有一组正 整数解 引理3 设x 0 + 珈、，伍是p e l l 方程z 2 一d y 2 = 1 的基本解，则方程x 2 - - d y 2 = 1 的全部整数解可表为 z + 河= 士4 - y o c - b ) n ，n z 引理4 设z l ，口l 是方程一d y 2 = 1 ( d 0 且不是平方数) 的一组正整 数解如果z - 1 y 一1 ，则x l4 - - 、面是方程的基本解 1 0 第二章解丢番图方程的几类方法 引理5 设8 o ，t 0 ，d = s ( s t 2 + 2 ) ，则方程护一d y 2 = 1 的基本解 x o + y o 万= 1 + s t 2 + t 万 引理2 , 3 ，4 ，5 来自于参考文献【3 1 】， 引理6 设以= 竽，k = 锈，其中e = n + 6 伽，i = n 一6 伽，p 为奇素 数则巩，k 满足下列性质： 1 ) 以+ m = 以u i + p k 2 ) ，k + 。= k + 以 3 ) n 。= 以，亿。= 一k 4 ) = 暖+ p v ：= 2 醒一1 = 2 p 蜡+ 1 5 ) 。= 2 u k 证明： 1 ) “批= 等竿+ p 等等 e “+ 仇+ c n f m + e m + p + m r 一 ：竺竺：巩。 2 ” 同理可证2 ) ，3 ) ，4 ) ，5 ) 下面我们来证本节的主要定理 e ”+ m p f “一p e m + 矿+ m + p _ 矿一 定理1 设奇素数p i3 ( r o o d 4 ) 且p = 垆+ 2 ，“+ k 砸= ( x o + y o 砸) ”，其 中y o 是p e l l 方程z 2 一d y 2 = 1 的基本解，则n 满足下面两个条件时方程 2 p y 2 = 2 x s + 3 x 2 + 。无正整数解 ( 1 ) m 三1 ( r o o d 2 ) ；( 2 ) m ；o ( m o d 4 ) 证明：方程可整理为 2 0 2 = z + 1 ) ( 2 x + 1 ) 由于( 茁( 。+ 1 ) ，2 x + 1 ) = 1 ，故( 8 ) 给出 或 x ( x + 1 ) = 2 ：，2 x + 1 = p 谚，y = y l y 2 z 扛+ 1 ) = 2 p y i 2 ，2 x + 1 = y l ，y = y l y 2 1 1 ( 8 ) ( 9 ) ( 1 0 ) 第二章解丢番图方程的几类方法 由( 1 0 ) 得出y ；一2 p ( 2 y t ) 2 = 1 ，由引理1 知，此方程无解 现在我们用递推序列法证明( 9 ) 也是无解的由( 9 ) 的第二式得出z 2 旌， 若z = 2 鳍则4 醒+ 1 = 鲫；，对此方程两边取模4 ，又由已知p i3 ( r o o d 4 ) ，故可 得同余方程3 y 2 兰l ( m o d 4 ) ，这是不可能的于是( 9 ) 给出 z = 谚，z + 1 = 2 诟，2 x + 1 = 以孝，y l = y a y 4 这些方程给出丢番图方程组 2 嚣一胡= - 1 ，锁一硝= 1 ， 由( 1 1 ) 的第二个方程可得 由引理2 ，引理3 ，我们有 ( 磁+ 1 ) 2 一p ( 4 y 2 y 4 ) 2 = 1 ， 盈磋+ 1 + 4 y 2 y 4 抑= ( 跏+ y o v 回n , n 0 ( 1 2 ) 令+ k 伽= ( x o + y o 伽) “，e = x o + y o 扣，e = 粕一y o 砸，则( 1 2 ) 给出印谚+ 1 = 以= ! 笋，n 0 于是由( 1 1 ) 的第一个方程得4 y ；= 2 p 醒一2 = 以一3 ，即 由e = 勋+ y o 每可得递推序列 4 掘= 巩一3 ，( 1 3 ) 巩+ 2 = 2 x o + 1 一巩，k + 2 = 2 x o k + 1 一k ( 1 4 ) 于是由引理6 及( 1 4 ) 可推得下表1 几01 23 4 以 l x o2 x 3 1缸3 3 x os x 4 8 x 3 + 1 k 0 y o2 x o y o4 x 0 2 y o y o8 x s o y o 一4 x o y o 以( r o o d 8 ) 111 1 2 第二章解丢番图方程的几类方法 ( 1 ) 由已知p = t 2 + 2 ，可知p 满足引理4 ，引理5 中的条件，故可得 知= 。l = 1 + t 2 ，即2i 跏显然，由表1 得当n 满足，l 兰l ( m o d 2 ) 时，2 7 0l 巩 推出2 l 以，则( 1 3 ) 式不成立所以方程无解； ( 2 ) 当n 满足n 三o ( m o d 4 ) 时，由表1 得il ( m o d 8 ) ，对( 1 3 ) 式取模8 得同余方程a y l ；一2 ( r o o d 8 ) ，这不可能，则( 1 3 ) 式不成立所以方程无解 定理得证 特别，当，z 满足n ；2 ( m o d 4 ) 时，对于不同的p 有不同的结果例如 p = 3 ，仅当n = 2 时方程4 醒= 一3 有正整数解y a = 1 推论丢番图方程1 4 y 2 = 2 ：e 3 + 3 x 2 - t - 无正整数解 证明：类似于定理的证明，方程可整理为 1 4 y 2 = z 扛+ 1 ) ( 2 x + 1 )( 1 5 ) 由于( z + 1 ) ，2 x + 1 ) = 1 ，故( 1 5 ) 给出 x ( x + 1 ) = 2 ；，2 x + 1 = 7 谚，y = y x y 2 ， ( 1 6 ) 或 x ( x + 1 ) = 1 4 ；，2 x4 - 1 = 疆，y = y l y 2 ( 1 7 ) 由( 1 7 ) 得出y ；一1 4 ( 2 y - ) 2 = 1 ，由引理1 知，此方程无解 现在我们用递推序列法证明( 1 6 ) 也是无解的由( 1 6 ) 的第二式得出z 2 薅若= 幻玉则4 镌+ 1 = 嘲，对此方程两边取模4 ，得同余方程3 y 2 ； l ( m o d 4 ) ，这是不可能的于是( 1 6 ) 给出 z = 掘，z + 1 = 2 货，2 x + 1 = 7 谚，y l = y z y a 这些方程给出丢番图方程组 2 露一7 旌= 一1 ，4 谚一7 谚= 1 ， ( 1 8 ) 由( 1 8 ) 的第二个方程可得 ( 1 4 谚+ 1 ) 2 7 ( 4 y 2 y 4 ) 2 = 1 ， 1 3 第二章解丢番图方程的几类方法 由引理2 ，引理3 ，我们有 1 4 谚+ 1 + 4 y 2 y 4 、亍= ( 8 + 3 、亍) ”，1 20 ( 1 9 ) 令巩+ k 、，= ( 8 + 3 、，厅) ”，e = 8 + 3 、，厅，f = 8 3 、，亍，则( 1 2 ) 给出1 4 谚+ 1 = 以= 5 芋，n 20 于是由( 1 8 ) 的第一个方程得4 谵= 1 4 谚一2 = 一3 ，即 4 y l = 巩一3 ，( 2 0 ) 由引理6 的讨论，当p = 7 ，o = 8 ，b = 3 时，即得下列的性质； 以+ m = 巩+ 7 v ； k + 。= 【k i i + v ，m 以； n 。= 巩，让。= 一k ； 巩。= 瑶+ 7 略= 2 职一1 = 1 4 1 2 + l ； k 。= 2 u k 由e = 8 + 3 行可得递推序列 以+ 2 = 1 6 + 1 一以，k + 2 = 1 6 k + 1 一k ( 2 1 ) 故计算有下表2 ： n 0l23 4 56 巩 181 2 72 0 2 43 2 2 5 75 1 4 0 8 88 1 9 3 1 5 1 k 0 34 87 6 51 2 1 9 21 9 4 3 0 73 0 9 6 7 2 0 ( m o d 7 ) l1ll l 11 由表2 及( 2 1 ) 可推出巩三t ( m o d t ) ，礼z + ，对( 2 0 ) 式4 醒= 巩一3 两边 取模7 ，得同余方程 4 y le - 2 ( m o d t ) ， ( 2 2 ) 显然( 2 2 ) 式无解，故方程1 4 y 2 = 2 x 3 + 3 x 2 + z 无正整数解 1 4 西北大学硕士学位论文 y g = 章丢番图方程d x 2 + c = 旷解的研究 3 1研究背景 对于丢番图方程d x 2 + c = 圹，当n = p 为奇素数) c = 1 时，一些学者 做了许多研究1 9 2 1 年，n a g e l l 1 】证明丢番图方程 d x 2 + 1 = 矿，p 是奇素数，d 2 无平方因子( 1 ) 当p t h 时，方程( 1 ) 如果有整数解z ， 1 ) ，则有2 ly ，这里h 表示q 厂万 的类数由此可推出，当pth 和d 7 ( m o d 8 ) 时，方程( 1 ) 仅有平凡解 ( $ ，y ) = ( 0 ，1 ) ，但对于d 三7 ( r o o d 8 ) 情形尚未解决 关于方程 7 矿+ 1 = y p( 2 ) 1 9 4 2 年，l j u n g g r e n 3 2 】证明了方程( 2 ) 当p = 3 的情形，得到方程( 1 ) 仅有整 数解( ，y ) = ( 0 ，1 ) ，( 4 - 1 ，2 ) ，( 士3 ，4 ) ，( 1 - 3 9 ，2 2 ) 1 9 6 2 年，柯召在文【2 0 】中提出了计 算j a c o b i 符号( g 措) 来处理丢番图方程的方法，曹珍富 3 3 在1 9 8 5 年证明 了方程( 2 ) 当p 3 时仅有平凡解( z ，y ) = ( 0 ，1 ) 对于方程 1 5 x 2 + 1 = y p 和2 3 x 2 + 1 = y p( 3 ) 柯召和孙琦【3 4 1 1 3 5 】在1 9 8 1 年证明了方程( 3 ) 当p = 3 时仅有平凡解( z ，y ) = ( 0 ，1 ) ，孙琦【2 4 1 又于1 9 8 7 年解决了p 3 时方程( 3 ) 的两种情形 2 0 0 0 年，在计算机辅助的基础上肖卿灿 3 6 研究了d 0 时，即为方程 矿+ c = 旷( 4 ) 学者们也做过许多研究例1 9 5 4 年，n a g e l l 3 7 证明了丢番图方程( 4 ) 当 c = 2 时有唯一解( z ，g ，n ) = ( 5 ，3 ，3 ) ，2 0 0 0 年b s u r y 3 8 】对此方程作了新的简 单证明 1 5 第三章番图方程d x 2 + c = 旷解的研究 1 9 9 3 年，j h e c o h n 3 9 得出了当c 1 0 0 时丢番图方程( 4 ) 除了c = 7 4 ，8 6 的全部整数解，并猜想c = 7 时方程( 4 ) 仅有解扛= 1 ，