（基础数学专业论文）某类单叶解析函数的部分和性质及具有负系数解析函数的相关性质.pdf

t h ep r o p e r t i e so fp a r t i a ls u m so fs o m e 一 一 - 1 u n i v a l e n ta n a l y t i cf u n c t i o n sa n d ， j1 c e r t a l na n a l y t i c 士u n c t l o nw 1 t nn e g a t l v e ，1 n i c o e m c l e n t ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：l iy u a n l i n s u p e r v i s o r ：p r o f p e n gz h i g a n g h u b e iu n i v e r s i t y w u h a n ，c h i n a 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即：按照 学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷 本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化 或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部 分或全部内容( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名：杏又林 签名日期：伽f o 年1 月；日 导师签名：翅弓蹄f 签名日期：沙f 。年肖弓e l 湖北大学硕士学位论文 摘要 本文讨论了复分析中定义在单位开圆盘u = z ：z c ， 1 ) 内两类函数 族的性质第一类是系统的研究了单叶解析函数y ( z ) 的部分和序列厶( 名) 的 性质，通过定义新的函数和利用分式线性变换原理有效的估计了厶( z ) 相关性 质的上界，并通过对c k ，6 赋以不同的值，得到一些特殊函数的部分和序列的 上界另一类则通过定义新的函数族耳( n ，入，o t ，卢) 得到耳( n ，a ，o t ，卢) 的系数估 计，偏差定理，积分算子等相关性质 本文分为四章，第一章叙述了文章的研究背景，主要介绍一些基本概念和 一些相关的函数符号，并讨论了f r a s i n ，s i l v e r m a n ，s o w a 及v p g u p t a p k 等的 一些主要结论；第二章讨论单叶解析函数( z ) 的部分和序列厶( z ) 的性质； 第三章讨论品( n ，入，a ，p ) 的相关性质；第四章是对本文的总结和展望 关键词：解析函数；单叶函数；部分和序列；系数估计； a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sp a p e rd i s c u s s e st h ep r o b l e mo nt h eg e n e r a l i z a t o no ft w ok i n d so ff u n c t i o n s i nc o m p l e xa n a l y s i s ，w h i c ha r ed e f i n e di nt h eo p e nu n i td i s ku = z ：z a 1 ) w eo b t a i nab e t t e re s t i m a t i o no ft h eu p p e rb o u n d so ft h e 厶( z ) b yd e f i n i n gf u n c t i o n a n dt h et h e o r yo f l i n e a rf r a c t i o n a lt r a n s f o r m a t i o n ，w h i l ew eg e ts o m eu p p e rb o u n d so f p a r t i a ls u m so ft h es p e c i a lf u n c t i o n sw h e nc k 6h a v ed i f f e r e n tv a l u e si nt h ef u n c t i o n o nt h eo t h e rh a n d ，w eg e ts o m ep r o p e r t i e so fan e wc l a s so f 易( n ，入，a ，卢) s u c ha s c o e f f i c i e n te s t i m a t e ，g r o w t ha n dd i s t o r t i o nt h e o r e m s ，f r a c t i o n a lc a l c u l u sa n ds oo n t h i sp a p e rc o n t a i n sf o u rc h a p t e r s o u rf i r s tc h a p t e ri n t r o d u c e st h er e a s e a r c h b a c k g r o u n do ft h i sp a p e r ，w h i c hi sm a i n l yt h ep r e s e n t a t i o no fs o m eb a s i cd e f i n i t i o n s a n dt h es i g n so ff u n c t i o n ，a n dd i s c u s s e st h em a i nc o n c l u s i o n so b t a i n e db yf r a s i n ， s i l v e r m a n ，s o w a ，v p g u p t a p ka n ds oo n i nt h es e c o n dc h a p t e rw ed i s c u s st h e p r o p e r t i e so ft h e 厶( z ) i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ed i s c u s st h ep r o p e r t i e so ft h ec l a s s o f 耳( n ，入，q ，p ) f i n a l l y , w eg i v et h ee x p e c t a t i o no ft h i sp a p e ri nt h ef u t u r e k e yw o r d s ：a n a l y t i cf u n c t i o n ；u n i v a l e n t ；p a r t i a ls u m s ；c o e f f i c i e n te s t i m a t e ； 致谢2 6 第一章引言及预备知识 第一章引言及预备知识 1 1 引言 众所周知，复变函数论是分析学的一个重要分支，它所研究的主要对象 是解析函数国内外的许多数学工作者很早就开始了这方面的研究，并取得了 极大的成效同时，一些数学工作者对经典的复变理论，如整函数、亚纯函数 理论、解析函数边值问题等也有研究，且有了新的发展和应用，并且，还开辟 了一些新的分支，如复变函数逼近论，黎曼曲面，单叶解析函数论、多复变函 数论、广义解析函数逼近论和拟共形映射等 另一方面，在种种抽象空间的理论中，复变函数还常常为我们提供新的思 想模型，但对于各种解析函数类的研究一直是很重要的并且是非常有意义的， 至今依然是函数论研究者侧重之处h a l l e n b e c k ，d j ，p l d u r e n 等国外数学家 们相继引入并且研究了标准化单叶解析函数族，星形函数族，凸函数族，近于 凸函数族，正实部函数族等这一系列的经典函数类( 见文献【1 】【2 】【3 】【4 】【5 】【6 】) 随 着后继研究工作的深入和发展，研究者们除了对函数族固有的数学特性如系 数、偏差、映射情况、互容关系等作了大量具体的工作外，还与拓扑知识和测 度积分知识相结合，建立了关于函数族极值点和支撑点等新方向的探索，已 经产生了比较完整的函数类研究体系这对于解决极值问题和扩充理论领域 开辟了新的道路立足于先前的理论体系，不少数学工作者还定义和研究了 h ( z ) 函数族，函数族的系数、偏差定理、极值点等性质这些工作是重要的， 它们都从不同的侧面反映了函数族的特有性质 近年来b 。af r a s i n 与h s i l v e r m a n 等数学工作者做了很多对单叶解析函数族 中的函数与其部分和的相关比的性质的研究( 见文献8 】【9 【1 0 】) h a l i t o r h a n ， m u h a m m e tk a m a l i 和m k a o u f 等曾讨论过实系数解析函数的一些子类如和 等的系数、h a d u n a r dp r o d u c t 、极值点、偏差、从属等性质( 见文献【1 1 1 2 1 ) 最近，h e d a r w i s h 等对函数的系数、h a d a m a r dp r o d u c t 、极值点、从属关 系及星形函数族和凸函数族的半径关系等作了更深入地研究( 见文献【2 2 f 2 6 】) 1 湖北大学硕士学位论文 本文共分为四个部分，第一部分为预备知识，主要介绍些基本概念和相关 的结论 第二部分是在s 族函数中的元素f ( z ) ，定义f ( z ) 的部分和序列厶( z ) ，文 中主要推出厶( z ) 的性质 第三部分是新定义函数耳( n ，a ，q ，p ) 且使它具有负系数，本文主要是研究 耳( 扎，a ，a ，p ) 的一些偏差定理，系数估计，极值点，积分算子等的相关性质 第四部分是对本文工作的总结和展望 2 化) = z + a k z 七 ( 1 1 ) 所组成的集合 s 是由，( z ) a 且f ( z ) 在u 内单叶解析的函数组成的集合 s + ( q ) 表示o t 阶星形函数作成的类( 0 q q 成立 k ( a ) 表示q 阶凸函数作成的类( 0 q o ，k 2 ) 咒曲( ，6 ) ( 【7 】 8 】) 是s 子集且它的元素s ( z ) = z + a k z 七满足 c k t a k l o )( 1 2 ) 设，n ( z ) 是f ( z ) = z + a k z 的部分和序列且给定如下形式t 厶( z ) = z + 蟛膏 3 湖北大学硕士学位论文 ? 。( a ) = ，：f ( z ) = z 一a k z 知，a k o ) ，t + ( q ) cs ( q ) g ( q ) = ，：f ( z ) = 名一a k z k ，a k o ) ，c ( a ) ck ( q ) 昂( 竹) 是由y ( z ) = 矿一a k z 知所作成的类，其中a k o ，p ，t i , n ， z u 礼，p n 耳( n ，a ) 是由f ( z ) 昂( n ) 且满足 r e 错) a 所作成的类，其中0 q p 所作成的类，其中0 a 1 , 0 p a 1 h o l d e r si n e q u a l i t y 和的表现形式： 三0 0 a k b k s k = l 胛九k 飘= l p r s 蚓p p i k l p 卜 七= 1 、，、7 定义1 2 2 1 3 2 5 设x 是线性拓扑空问，u 是x 的一个非空子集，z o 是 u 的一个元素，如果z o 不能表示成u 的两个不同元素的真线性凸组合，则称 z o 是u 的一个极值点记u 的极值点集为e u 命题1 2 i 2 5 1t e u 的充分必要条件是若0 t l , u ，z ，y u 且 t = t x + ( 1 一t ) y ，则z = y 定义1 2 3 设，( 名) = 名+ a k z 七，9 ( z ) = z + b k z 七，则，( z ) ，9 ( z ) 的卷积 为 ( ，芈夕) ( 名) = z + a k b k z 知= ( 9 木，) ( z ) p r a s i n 关于厶z ) 的一些主要结论( 【7 】【8 】) ， 定理1 2 1 若，( 名) = z + a k z 七且，( z ) 咒毋，6 ) ，则 r e 怒) 等( z eu ) 其中 c 七 疋= 2 , 3 , 4 , - 一，礼 l c n + l ，= n + l ，礼+ 2 ， 第一章引言及预备知识 定理1 2 2 若f ( z ) = z + a k z k 且f ( z ) 咒庐( c 岛，6 ) ，则 k = 2 其中 畔铬) 羔( z eu ) c 。+ 。耋正 七i 二三二：二：。2 ， o o 定理1 2 3 若f ( z ) = z + a k z 七且，( z ) 冗西，6 ) ，则 k - - - - 2 其中 r e 勰) 学 r e 锱) 丽c , n + l ( z u ) ( z u ) 畦k + 巍，2 翟篡心 h s i l v e r m a n ，s o w a 及v p g u p t a p k 等的一些主要结论( 2 8 】一【3 9 】) ： 定理1 2 4 若t + ( 口) cs ( q ) ，c ( q ) ck ( q ) 则t ( q ) ，c ( q ) 中的元素均具有 o o f ( z ) = z p 一a k z ka k 0 的形式 k = n + p 定理1 2 5 若f ( z ) = z + a k z 知，f ( z ) s + ( q ) 充分条件是 k = 2 定理1 2 6 若f ( z ) = z + a k z 七，y ( z ) k ( q ) 充分条件是 k = 2 定理1 2 7 若f ( z ) = z 一a k z 七，f ( z ) s 。( 口) 充分必要条件是 k = 2 。o ( 七一q ) l a k l 1 一口 5 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 口一1 工 一 七 0 n 一 七 脚 q一 一 七 oo一詹 脚 湖北大学硕士学位论文 定理1 2 8 若，( z ) ：z 一曼口七，( z ) k ( q ) 充分必要条件是 k - - 2 定理1 2 9 若，( z ) ：矿一曼口七昂( n ) ，则，( z ) 耳( n ，q ) 的充分必 k = n + p 要条件是 o o ( 后一a ) a k p q ( n ，p ) 6 口一l 一 0q一而后 脚 k - - 2k = n + 1 t l 1 + a k z 七一1 k - - - 2 关键要证明l u ( z ) i 1 由于上面可以得到 因此 u ( 名) = i u ( z ) i = 0 0 一学a k z 卜1 k = n + 1 n 2 + 2 a k z 枉1 一半a k z 扣1 k = 2k - - - - n + 1 一字七。七少1 no 。 2 + 2 a k z 肛1 一字a k z 扣1 k = 2k = n + 1 。 字 k = n + 1口七m 七一1 n 2 + 2 a k z 1 一字a k z “1 k = 2k = n + 1 7 湖北大学硕士学位论文 学i a k i 下生型二r 2 2e i a k i 字i a k 假设 孕ei a k i 百生竺l 气广一1 ( 2 1 )n。o：、， 2 2 j a k l _ 半e 恢i k = 2 k - - - n + 1 成立，则i u ( z ) i 1 现在来证明( 2 1 ) 成立由于的范围，可得 由( 1 2 ) ，可得 所以 所以 即 0 0 警m 1 k = 2 0 0 + 警i 。膏 k - - n + 1 。 这就证明了( 2 1 ) 所以l u ( z ) i 1 因此 1 + u ( z ) 1 一u ( z ) 是一个分式线性变换根据分式线性变换的性质，它把单位开圆盘映射成一个 实部大于0 的区域，所以就有 r e 瑚) = 芋r e 【等一器 8 础 础 一6 一j n脚脚 一 一 芋 + 。脚 一 毗 一 芋 + n 脚 一 o 。脚 + o 一 芋 一 芋 一 。脚 一 一 卅 字 1 + u ( 名) c n + 1 6r c n + l 厶( z ) 1 1 一u ( 彳) 6 。c n + l 一6f ( z ) c n + 1 a k z 七一一c n + 1 a k z 七一1 + 6 a k z 七一1 + 6 = _ _ - _ _ _ _ 。一 0 0 6 ( 1 + a k z 一1 ) k = 2 n 0 0 1 + o k - 1 + 警钆_ 1 k = 2k = n + 1 0 0 1 + a k z 一1 k = n + l 关键要证l u ( z ) i 1 由( 2 2 ) ，可以得到 所以 u ( 名) = l u ( z ) i = o o0 0 半a k z n l + a k z 扣1 k = n + 1k = n + 1 no o 2 + 2e 口知驴一1 + e k = 2k = n + 1a k z 1 + 学钆驴。 k = n + 1 他0 00 0 2 + 2e a k z 七一1 + a k z 惫一1 + 鱼产a k z 一1 k = 2 k = n + 1k = n + 1 9 ( 2 2 ) 湖北大学硕士学位论文 若 ( 1 + 竿) i o 七i ! 三! ! 一t io o 2 2 i o 知i 一( 1 + 鱼乒) l n 七 o o ( 1 + 警) i 口七 k = n + 1 no o 2 2e l 口知i 一( 1 + 鱼护) ei n 知 k = 2k = n + l 成立，则l u ( z ) i 1 下证( 2 3 ) 是成立的 由于仇的范围和( 1 2 ) ，有 所以 即 川+ ( 1 + 竿) k - - 2 。 k - - - - n - i - 1 2 川+ 2 0 + 竿) m 2 k = 2 。 k - - n + 1 1 ( 2 3 ) ( 1 + 警) m 2 2 蚓一( 1 + 苄) i 毗 k = n + 1k = 2k = n + 1 因此i u ( z ) i 1 ，所以 r e 铬) 羔 眯观 在定理2 4 ，取= 七一a ，6 = 1 一q ，0 a 1 ，就有： 推论2 5 若f ( z ) 如( 1 1 ) 且满足( 1 3 ) ，则 r e 铬) 喘兰 在定理2 4 ，取= 七( 七一a ) ，占= 1 一n ，0 q 杀粼 1 0 陋 仇一6 。 + 础 站 一6 一占 n警脚 第二章解析函数厶( z ) 的性质 o o 定理2 7 若f ( z ) = z + a k z 知且f ( z ) 咒毋( c k ，6 ) ，则 k = 2 其中 r p 盟 “。i 丘z ) 日! 已j 型 “l ，协) 坠! ! ! 1 2 1 c n - i - 1 c n + z 一l 付+ j j d ( z u ) ( z u ) k + 巍，2 竺飘 证明定义一个函数u ( z ) 且 1 + u ( z ) c n + lr c 。+ l + ( 礼+ 1 ) 6 ，7 ( z ) 1 1 一u ( z )( n + 1 ) 6 。c n + l 矗( z ) 。 1 + k a k z 扣1 一高蜘k a k z 扣1 k = 2 、 k = n + 1 = _ _ _ _ _ _ _ - - - _ - _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。_ _ _ 。一 n 1 + k a k z 一1 k = 2 高靠k a k z k 扣1 莉厶。 船= 礼十i 1 上ek a k z 七一1 显然，l u ( z ) i 1 ，所以 吨器 掣( z eu ) 第一个不等式得证 现在来证第二个不等式同样我们定义u ( z ) 且 可以得到 1 + 4 z )c n + l 一( n + 1 ) 5r c ，l + 1 矗( z ) 1 1 一u ( z )( 礼+ 1 ) 6。c n + 1 一( r t + 1 ) 6，( 名) 1 + k a k z 扣1 + 蠢赫k a k z 扣1 ： 墨三!：! 三2 ! 0 0 1 + k a k z 七一1 ，、 一+ k a k z k - 1 k = n1+ 赫k = 蠹n1 梳七1 ，、 + + u 【z ) 2 斧百r 1 万一 2 + 2 k a k z 七一1 + k a k z 知一1 + 而c 邢n + l k a k z 七一1 k = 2k = n + 1 。k = n + 1 1 1 湖北大学硕士学位论文 因此 一k a k z 1 + 高靠k a k z b l u ( 名) l = i 百里旦百广二j 璺旦飞广一 2 + 2 k a k z 一1 + k a k z 七一1 + 看竿南k a k z 七一1 k = 2k = n + 1 、 k = n + 1 ( 1 + 高靠) k l a k i ! 三：! ! 一 i t0 0 2 2 k a k i - 1 + 高蜘k l a k i 若 ( 1 + 赫) 。，k l a k l 百尘型l 万一1 ( 2 4 )n。o=、， 2 2 k a k | _ ( 1 + 高靠) k a k i k = 2 、 k = n + 1 成立，则有i u ( z ) i 1 现证( 2 4 ) 成立由于的范围和( 1 2 ) ，有 所以 即 ) k a k k = n + 1 2 ( 1 + 丽c n + + 1 1 ) 6 ，知：n + l k i i + 2 k = 2 i 口七l 2 ( 1 - 4 - 尚) 七三。i 2 _ 2 k - - - - 2m 奄i 邮+ 赫) k i k = n1 、。一，。 上 所以l u ( z ) i 1 ，所以 r e 口 当z 取实数且当z 一1 一时有 a + p c r + ( 1 一a 功( p 一1 ) 一盼+ k a + ( 1 一q ) 七( 七一1 ) k p k = n + p 即 协+ 后q + ( 1 一a ) k ( k 1 ) 】口知a + p c t + ( 卜q ) p o 1 ) 一p k - = n + p 反之，由于 i z p 【a ，+ q z ，+ ( 1 一q ) 名2 ，】一协+ p q + ( 1 一q 汩( p 一1 ) 】i = a + k a + ( 卜q ) 七( 后一1 ) a k k = n + p a + p a + ( 1 一q ) p p 一1 ) 一p 1 4 则 则 ( 七2 + 1 一k ) a k p 2 - p + 1 一p k - - - - n + p r e z - p ( s + z 2 ，) ) 卢 取a = 1 ，o t = 1 ，就有 推论3 4 若，( z ) = z p ea k z 2 昂( n ) ，且满足 k = n + p ( 1 + k ) a k 1 + p 一卢 r e z p ( ，+ z ，7 ) ) p 推论3 5 若，( 名) = z p 一a k z 知昂( n ，入，o l ，卢) ，则 k = n + p 七争而鬻箐絮 1 5 湖北大学硕士学位论文 推论3 6 若，( 名) ：扩一登钆名耳( n ，a ，q ，p ) ，则 七耋p k a k _ 篙鬻鬻舞揣 推论3 7 若，( z ) = z p 一a k z 七昂( n ，a ，n ，p ) ，则 。七絮岩寄错 其中七= n + p ，n + p + 1 ， 定理3 8 若 化) = 矿一a k z 膏t p ( n ，入，q ，p ) ，= r 1 ， k = n + p 则 p一研蔫筹筹裟褊if(1p 1 i , 列 a + ( n + p ) n + ( 一q ) ( n + p ) ( 他+一) “川 p + 而蔫筹鲁娑赫 及 一一点端芳拦意端- i f 川 矿- 1 + 南端等拦意端 证明由于 一a l z l 膏l y ( z ) l i z l p + 妣坩 k = n + p k = n + p 及 p 一k a 知坩一1 i 他) l - - - p ， k = n + p 若 则 球) = 字t 。- l f ( 岫 f ( z ) t ( n ，p ，q ，卢) z 证明由f ( z ) = 字f t 1 ( t ) d t ，得 0 f ( 名) = 儿如，( 也= ；毒。南) k = n + p 1 7 湖北大学硕士学位论文 所以就有 【a + 尼q + ( 1 一a ) k ( k 一1 ) d k k = n + p = 。圣队+ 南n + ( 1 一q ) 七( ) 】而c + p n 知 盼+ 七q + ( 1 一q ) 后( 后一1 ) a k k = n + p a + p a + ( 1 一a 场( p 一1 ) 一卢 所以 f ( z ) 耳( n ，a ，q ，卢) 定理3 1 1 令 工m+p一-(z)=zp，(z)_=zp-垒二；j；!；i：j；ij!赭z七， 若f ( z ) 耳( 几，a ，a ，p ) ，则f ( z ) 当且仅当可以展成 o o 北) = , t k a ( z ) k = n + p - 1 o 。 的形式，其中e讯= 1 ，吼0 ， ( 七= 佗+ p ，n + p + 1 ，) k = n + p - 1 证明若 则有 。oo o ， ) = 啦 p ) ， 啦= 1 ，吼0 ， k = n + p - 1k = n + p - 1 他) =, 7 k a ( z ) k = n + p - 1 = 耵。耋。彬一等等趟糕字力 r = n + p ：。，扩+ 虽m f z p 一查翌竺! ! 二竺! 翌鱼二! ! 二垒、 2 + p _ 1 肌。三。北l 错吾若耥) 胃= n + p = c 。妻p 彬一k = 耋np 讯等等鬻 = ( + p 一- + 讯) 扩一讯尘 署嘉芋吾兰等警群 七= n + p+ p 、 一一七妻p 班等篙黼少 第三章 函数族耳( n ，a ，o l ，p ) 的性质 由于 所以 o o k = n + p a + p a + ( 1 一q ) p 0 1 ) 一pa + k a + ( 1 一q ) 七( 七一1 ) q k a + k a + ( 1 一o ) 尼( 七一1 )a + p a + ( 1 一q ) p 一1 ) 一p 0 00 0 = 吼=啦一+ p l = 1 一+ p 一1 1 k = n + pk = n + p - 1 主a+ka刊m叫】讯絮岩杀黜k + ( 1 一o ) 后( 七一1 ) 】讯等篝昔芒甓杀簪 - - - n + p 、 sa + p a + ( 1 一q ) p 0 1 ) 一p 由此可得 ，( z ) 昂( n ，入，q ，p ) 反之，若，( z ) 昂( n ，a ，o r , p ) ，由 a 七s 絮岩杀错 令 。a + 七q + ( 1 一q ) 南( 南一1 ) 。 饥2 可i 耳百= 高矿确 及珊+ p 一1 = 1 一饥，则有 ，( z ) = 扩一a k z 知 k = n + p = 弘七妻口仉害昔篱 = 扩一讯( 矿一 ( 孑) ) = z p 一，k z p - 4 - k f k ( z ) = + p 一1 f - + p l + , s k ( z ) k = n + p = 讯 ( z ) k - - n + p - 1 推论3 1 2t p ( n ，a ，a ，卢) 的极值点是 厶圳甜蒯= z p - - 岽岩害赭以 】9 仉 p 一 + p 孑 奄 町 p 一 七 一 = 湖北大学硕士学位论文 具甲k = n + p ，钆+ p + 1 ， 与定理3 8 相关的一个 定理3 1 3 令，( z ) t p ( n ，a ，q ，p ) ，则，( z ) 将 1 的圆盘映成一个包含 小i + 研等爿鲁黔赫 的区域 证明由定理3 8 可知 i f ( z 胚p + 而麓爿篙潞赫一 令r 一1 时，就有 i f ( z ) l 外研蔫筹鲁裟赫 定理3 1 4 若，( z ) ，夕( z ) 乃( n ，a ，q ，p ) ，则f 木g 乃( n ，入，a ，y ) ， 其中 7 = a + p q + ( 1 - a ) p ( p 一，) 一天了弋导 鼍襄 等i 三鼍亨若 i 犏 证明由定理3 1 可得 。耋。击+ p a 等糕n 矧七等p a + ( 1 一q 功( p 一1 ) 一p ”一 。耋。熹+ p a 精糕6 斛彖，a + ( 1 一q ) p p 一1 ) 一p 峭一 所以就有 七妻p 崭籍器妣一 妻a + k a + ( 1 - a ) k ( k - 1 ) _ + p a 万6 七卜 | 3 w3 2i 有h o l d e r 不等式有 。三o o 。击+ p a 筹端瓜惫身pa + ( 1 一q ) p o 一1 ) 一卢 雌。 或 熹p a 篇篙黼1 瓜l a + + ( 1 一口) p 0 一) 一p ”。8 。 第三章 函数族乃( 礼，a ，口，p ) 的性质 所以 熹p 籍a1 篙黼1土、- 4 石7 ( 3 2 ) a + + ( 一q ) p p 一) 一p 一 、u 一7 关键要找最大的，y ，使得 要使( 3 3 ) 成立，假若 嵩等篙黼m t 崭等篙耥丽1 由( 3 2 ) 便可得 7sa + p q + ( 1 - a ) p 。一1 ) 一坚# 等弓麦叠 云 当辫 令 ( 忌) = a + p q + ( 一q ) p ( p 一1 ) 一坚二妻号三麦罟吾乏 兰鼍群 显然咖( 七) 是关于k 的单调递增函数，所以 ( 3 3 ) ，y 咖( 七= ( n + p ) ) = 入+ p q + ( 1 - a ) p c p 一) 一x j = - 占拿；三等兰 ，舌i 三号考誊 幸犏 所以 7 = a + 艘”刊p p 叫一而端群持鬻犏 证毕 2 1 湖北大学硕士学位论文 第四章结果及展望 本文主要研究了单叶解析函数部分和性质和具有负系数的易( n ，a ，a ，卢) 的 相关性质，内容上覆盖了解析函数类所涉及的系数估计、偏差定理、哈达玛乘 积、族间关系等系列问题，本文所研究的函数族对象的确立不仅兼顾了当前函 数类研究的新动向，而且保证了与早期同行研究的衔接性对于具体问题的处 理都在一定程度上有了新的发现或者取得了较好的结果，但对于有些问题的 研究期望能够变得更加丰富，这主要表现在， ( a ) 对于解析函数部分和的性质只作了部分研究，其它的性质还未能解决 ( b ) 对具有负系数的耳( n ，入，q ，p ) 的从属结果的研究还有待进一步的研究 ( c ) 对于耳( n ，a ，口，卢) 和其他函数族问的关系还有待进一步的探究 2 2 参考文献 参考文献 【1 】d j h a l l e n b e c k s u b o r d i n a t i o nf a m i l i e s ，r o c k ym o u n t a i nj m a t h v o l u m e2 2 n u m b e r3 ( 1 9 9 2 ) 8 6 7 - 8 7 6 【2 】p l d u r e n u n i v a l e n tf u n c t i o n s ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ( 1 9 8 3 ) 【3 】d j h a l l e n b e c ka n dt h m a c g r e g o r l i n e a rp r o b l e m sa n dc o n v e x i t yt e c h - n i q u e si ng e o m e t r i cf u n c t i o nt h e o r y , m o n o g r a p h sa n ds t u d i e si nm a t h e m a t i c s ， v 0 1 2 2 ，p i t m a n ( 9 8 4 ) 【4 j a w g o o d m a n u n i v a l e n tf u n c t i o n s ，v o l sia n d i i ，m a r i n e rp u b l c o ，t a m p a ( 1 9 8 3 ) 【5 】m s l i u o nc e r t a i ns u b c l a s so fs t a r l i k ef u n c t i o n s ，j ，s o u t hc h i n an o r m a lu n i v 4 ( 2 0 0 2 ) 1 5 - 2 0 f 6 】m s l i u o nc e r t a i ns u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rs t a r l i k ef u n c t i o n s ，s o o c h o wj m a t h 4 ( 2 0 0 3 ) 4 0 7 - 4 1 2 【7 】b af r a s i n p a r t i a ls u m so fc e r t a i nc e r t a i na n a l y t i ca n du n i v a l e n tf u n c t i o n s a c t a m a t h a c a d p a e d n y i r 2 1 ( 2 0 0 5 ) 1 3 5 - 1 4 5 【8 】b af r a s i n g e n e r a l i z a t i o no fp a r t i a ls u n l so fc e r t a i na n a l y t i ca n du n i v a l e n tf u n c - t i o n s a p p l m a t h 2 0 0 7 【9 h s i l v e r m a n u n i v a l e n tf u n c t i o n sw i t hn e g a t i v ec o e f f i c i e n t ，p r o c a m m a t h s o c 5 1 ( 1 9 7 5 ) 1 0 9 - 1 1 6 【1 0 h s i l v e r m a n ，s i l v i ae m f i x e dc o e f f i c i e n t sf o rs u b c l a s s e so fs t a r l i k ef u n c t i o n s ，h o - u s t o nj m a t h 7 ( 1 9 8 1 ) 1 2 9 - 1 3 6 【1 1 jh o r h a n ，h k i z i l t u n c ag e n e r m i z a t i o no ns u b f a m i l yo fp - v a l e n tf u n c t i o n sw i t h n e g a t i v ec o e f f i c i e n t s a p p l m a t h 1 5 5 ( 2 0 0 4 ) 5 2 1 5 3 0 【1 2 h o r h a n an e wc l a s so fa n a l y t i cf u n c t i o n sw i t hn e g a t i v ec o e f f i c i e n t s a p p l m a t h c o m p u t 1 3 8 ( 2 0 0 3 ) 5 3 1 5 4 3 【1 3 h o r h a n ，m k a m a l i f r a c t i o n a lc a l c u l u sa n ds o m ep r o p e r t i e so fc e r t a i ns t a r l i k e f u n c t i o n sw i t hn e g a t i v ec o e f f i c i e n t s a p p l m a t h c o m p u t 1 3 6 ( 2 0 0 3 ) 2 6 9 2 7 9 【1 4 】m k a m a l i n e i g h b o r h o o d so fan e wc l a s so fp - v a l e n t l ys t a r l i k ef u n c t i o n sw i t h n e g a t i v ec o e f f i c i e n t s ，m a t h i n e q u a l i t i e s a p p l 4 ( 2 0 0 6 ) 6 6 1 6 7 0 2 3 湖北大学硕士学位论文 1 5 】m k a m a l i ac r i t e r i o nf o rp - v a l e n t l ys t a r l i k e n e s s ，v o l u m e4 ，i s s u e2 ，a r t i c l e3 6 ， 2 0 0 3 【1 6 】m k a o u f s o m ef a m i l i e so fp - v a l e n tf u n c t i o n sw i t hn e g a t i v ec o e f f i c i e n t s ，a c t a m a t h u n i v c o m e n i a n a ev 0 1 l x x v i i i ，1 ( 2 0 0 9 ) 1 2 1 1 3 5 【17 】m k a o u f n e i g h b o r h o o d so fc e r t a i nc l a s s e so fa n a l y t i cf u n c t i o n sw i t hn e g a t i v e c o e f f i c i e n t s ，i n t j m a t h m a t hs c i v 0 1 ( 2 0 0 6 ) ，a r t i c l ei d3 8 2 5 8 【1 8 】r m e l - a s h w a h ，m k a o u f , a o m o u s t a f a s t a r l i k ea n dc o n v e x i t yp r o p e r - t i e sf o rp - v a l e n th y p e r g e o m e t r i cf u n c t i o n s ，a c t am a t h u n i v c o m e n i a n a ev 0 1 l x x i x ，1 ( 2 0 1 0 ) 5 5 - 6 4 19 】m n u n o k a w a ，m k a o u f i o nc e r t a i ns u b c l a s s e so fu n i v a l e n tf u n c t i o n sw i t hn e g - a t i v ec o e f f i c i e n t ss u r i k a