（基础数学专业论文）基尔霍夫型方程的解的存在性和多重性.pdf

， 1 目录 目录 一 目录： i l 摘要 i i i a b s t r a c t 。v l l 第一章引言和文献综述j 1 第二章预备知识 3 第三章基尔霍夫型方程的解的存在性和多重性 7 3 1 主要结果7 3 2 主要结果的证明 9 第四章基尔霍夫型方程的共振问题 1 9 4 1 主要结果1 9 4 2 主要结果的证明2 0 分析与思考3 5 参考文献3 7 发表文章目录4 1 致谢4 3 1 1 j 1 - l 摘要 摘要 本文首先利用临界点理论中山路引理，局部环绕定理，喷泉定理和对称山路引 理研究了一类d i r i c h l e t 边界条件下基尔霍夫型方程的解的存在性和多重性，然后 利用环绕定理和最小作用原理研究了d i r i c h l e t 边界条件下基尔霍夫型方程的共振 问题 首先，考虑如下带d i r i c h l e t 边界条件的基尔霍夫型方程： 一( 。+ 6 矗i 吼1 2 出) 舭= f ( x ，u ) 1 2 , ( r ) 【u = 0 z a q ， 其中qc 风( = 1 ，2 ，3 ) 是有界光滑区域，a ，b 0 并且厂c ( axr ) 满足下列 条件： ( ) 存在常数c 0 和4 q 2 + 使得 i 厂( z ，t ) l c ( i t l p l + 1 ) 对所有的( z ，t ) qx 酞成立，其中当n = 3 时，2 + = 6 ；当n = 1 ，2 时，2 4 = ； ( ，2 ) 存在p 1 ，使得o c ( x ，t ) g ( x ，s t ) 对所有的( x ，t ) qxr 和8 【0 ，1 】 都成立，其中g ( x ，t ) = ，( z ，t ) t 一4 f ( x ，t ) ，f ( x ，t ) = s o ，( z ，s ) d s 我们主要结果如下： 定理1 假设厂满足( ) ，( ) 并满足下列条件： ( ) 当t 0 时，f ( x ，t ) 0 对所有的x q 都成立；当t 0 ，使得r ( z ，t ) ；a 1 t 2 对所有的l t i 0 和k n ，使得当i t l 6 时，我们有；k 亡2 + ：a 2 l q l t 4 f ( z ，t ) ；入南+ 1 亡2 + 丽bt 4 ，其中0 入1 0 ，g c ( r ，取) 满足( 9 1 ) ，h l 2 ( q ) ，并且f ( 一o c ) 一。， f 丽 一o 。， f ( - c 妁) + 。，并且 f n h vd x 一。o ， f ( + 。o ) + o 。，并且 f n h v d x 0 ，a n d ，c ( q 酞) s a t i s f y i n g ( ) i ，( z ，t ) l c ( i t l 9 1 + 1 ) ，f o rs 。m e4 q 0 ，s u c h t h a tf ( z ，t ) f i r s te i g e n v a l u eo f ( - a ，础( q ) ) ； ；入1 2f o ri tj 0a n dk n ，s u c ht h a t ；a 七亡2 + 五b 南2 l q l 亡4 f ( x ，t ) 墨a 七+ 1 t 2 + 霹b t 4f o ra l li t l 6 ，w h e r e0 入1 0 ，g c ( r ，r ) s a t i s f i e s ( 9 1 ) ，h l 2 ( f 1 ) a n d f ( 一o 。) 一o 。，f ( + ) 一o 。，f ( 一o o ) + a s s u m et h a tt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o ni ss a t i s f i e d f n h v d x 一o 。，芦( 了西) ，v 一= ( 一u ) + t h e np r o b l e m ( 伤) h a sa tl e a s to n es o l u t i o n k e y w o r d s ：k i r c h h o f ft y p ee q u a t i o n ；r e s o n a n c ep r o b l e m ；( c e ) c o n d i t i o n ；m o u n - t a i np a s st h e o r e m ；l o c a ll i n k i n gt h e o r e m ；f o u n t a i nt h e o r e m ；s y m m e t r i cm o u n t a i n p a s sl e m m a 一 第章引言和文献综述 第一章引言和文献综述 变分法是把微分方程边值问题转化为变分问题，以证明其解的存在性、解的个 数及求近似解的方法变分问题有着极为丰富的源泉，从经典力学到场论，其中所 研究的一切物质的运动规律都遵从变分原理，即存在着某个泛函，使得对应的运动 方程是它的e u l e r 方程，因此求这些e u l e r 方程的解便化归为寻求对应泛函的临界 占 j 近几十年来，近代变分法( 又称为大范围变分方法) 逐渐完善并发展起来，近 代变分法主要包括极小极大理论和m o r s e 理论这两种理论都是依靠拓扑方法， 研究一般的、未必是极值点的临界点1 9 7 3 年，a m b r o s e t t i 与r a b i n o w i t z 在文献 f 37 1 中开创了以山路引理为代表的一种新的极大极小方法，它是临界点理论与非 线性微分方程理论发展的一个里程碑，应用这一理论a m b r o s e t t i 等一批数学家在 椭圆边值问题，特征值及共振问题的研究中取得了突破性进展随后的鞍点定理 ( s a d d l ep o i n tt h e o r e m ) 和环绕定理( l i n k i n gt h e o r e m ) 是对山路引理的进一步推 广 本文研究的基尔霍夫型问题最初来源于下面这个方程 u 一( n + 6 上i v u | 2 d z ) u = m 它是由k i r c h h o f f 在文献1 1 中研究可伸缩绳的自由振动的经典d a l e m b e r t 波动 方程过程中提出的一种实际存在的方程基尔霍夫型问题考虑可伸缩绳横向振动 的长度变化，早期在文献2 1 和3 1 中就给出了经典研究然而上述问题在文献 4 】 给出一个抽象框架之后引起了众人注意，一些重要而有意义的结果被得到，可参看 文献f 5 7 】近几年，文献 8 ，9 通过变分法得到了这类问题的正解特别是最近，出 现了许多用变分法研究基尔霍夫型方程的文献，给出了许多关于非线性项，在零 点和无穷远点的可解性条件例如：渐进线性情况( 参看文献 1 0 ，1 1 ，1 4 ，1 5 ) ；超线 性情况( 参看文献1 1 ，1 2 ，1 4 】) 和振荡情况( 【1 3 】) 等 本文的结构安排如下：在第二章中给出本文需要的一些预备知识，在第三章中 我们利用山路引理，局部环绕定理，喷泉定理和对称山路引理研究一类d i r i c h l e t 边 界条件下基尔霍夫型方程的解的存在性和多重性，在第四章中我们利用环绕定理 和最小作用原理研究d i r i c h l e t 边界条件下基尔霍夫型方程的共振问题 一 第二章预备知识 第二章预备知识 弟一早 耿亩刘联 为了对本文的结果作准确的说明，以下我们给出一些符号和定义，以及需要用 的定理 x ：= 砩( q ) 为h i l b e r t 空间，在其上定义内积( u ，u ) = 矗x t u v vd x ，所对应 的范数为i l u i i = ( u ，u ) 圭= ( 厶i v u l 2d x ) 1 2 i i q 表示l q 范数，i ej 表示e r n 的 l e b e s g u e 测度 0 a 1 0 。对任意的j n ，e j ：= o i p 使得 记 m a x i ( o ) ，( u 1 ) ) a 0 ，且存在序列 乱n ) cx 使得 i ( u n ) 一c ，( 1 + iu n i i ) i ( u n ) _ 0 进一步，如果，满足( c e ) 条件，那么c 是j r 的临界值 3 西南大学硕士学位论文 定义2 设x 为b a n a c h 空间且具有直和分解，x = x 10x 2 ，泛函i c 1 ( x ，r ) 如果存在r 0 ，使得 ( 1 ) i ( u ) 0 ，u x 1 ，l i u l l r ； ( 2 ) l ( u ) 0 ，让x 2 ，i | 让| i r 则称，关于( x 1 ，x 2 ) 在零点处构成局部环绕 如果，在零点构成局部环绕，那么0 是，的一个临界点( 平凡的) 考虑下面两 个子空间序列x c 粥c cx 1 和x c 霹c cx 2 ，且 x 1 = u 弼，x 2 = u 霹 n n 对于多重指标a = ( q 1 ，q 2 ) n 2 ，我们定义k = 砖。0 霹：，且q p 令口l 卢1 ，q 2 侥，l 表示，在k 上的限制序列 q 几) cn 2 称为是相容的是指，对每 个o l n 2 ，都存在一个m n 使得当n m 时q n 乜 定义3 泛函i c 1 ( x ，r ) 满足( c e ) + 条件是指，对任意的序列乱a 。k 。满 足 o l 扎) 是相容的并且s u p ，( 乱q 。) 0 满足： ( a 1 ) a k ：= m a 墨。k ，i ：肌，( “) 0 ； ( a 2 ) k ：= i n f 。e z , ，：，( u ) _ + o 。，当k _ ； ( 4 3 ) 对任何正数c e m m i 条件成立，即对任何x 中的序列 满足，( 让n ) _ c 0 和( 1 + i l u n i i ) 1 7 ( 札n ) _ 0 包含一个强收敛的子序列 则，有一列无界的临界值序列 4 第二章预备知识 定义4 设x 是一个实b a n a c h 空间，a 是x 的一个子集a 称为是对称的如 果札a 蕴含一缸a 对于一个不包含原点的闭对称子集a ，我们定义a 的亏格 7 ( a ) 为满足存在从a 到r 七 0 的奇连续映射的最小整数k 如果不存在这样的 k ，我们就定义7 ( a ) = o 。进一步，我们假定7 ( d ) = 0 , f 南表示集合 acx ：a 是 闭对称子集且满足0ga ，7 ( a ) 尼) 为了本文证明的需要，下面我们给出亏格的一些性质，可以参考文献( 【2 3 ) ，命题1 ( i ) 如果存在一个从a 到b 中的奇连续映射，那么7 ( a ) ，y ( b ) ； ( i i ) 如果存在一个从a 到b 上的奇同胚映射，那么7 ( a ) = 7 ( b ) ； ( i i i ) 如果7 ( b ) 是有界的并且在x + 中当k _ o 。时，j 7 ( u 知) _ o 的点列u k _ 有一个收敛的子序列； ( b 2 ) 对任何庇n ，存在一个a 蠡r 七使得s u p u a 。i ( u ) 0 那么存在( 0 ，日和一个满足下列条件的单变量同胚族 矽：日x 0 ，1 】_ 日 1 当t = 0 或者当i 垂1 日( 让) 一i g 时，砂( 乱，) = 乱 2 对任意的乱h ，西i h ( 妒( u ，) ) 关于t 是不增的 3 如果圣f h ( 札) + ，那么西f 日( 矽( u ，f ) ) 一 4 对任意的t 0 和u h ，我们有妒( 一u ，t ) = 一妒( 让，) 定义5 设x ，y 是实的b a n a c h 空间，q 为x 上的具有相对边界a q 的子流 形s 是y 的一个闭子集，r 是c o ( o q ，y s ) 的一个子集我们说s 和o q 是r 环绕的，如果对任意的映射h c o ( q ，y ) 满足h l o n f ，则h ( q ) ns d 成立 5 西南大学硕士学位论文 r - 环绕定理( 【3 3 】) 假设x ，y 是b a n a c h 空间q 为x 上的具有相对边 界a q 的子流形，s 是y 的一个闭子集，r 是c o ( a q ，y s ) 的一个子集记 f + = c o ( q ，y ) ：九l 铀r ) 假设s 和a q 是f 环绕的而且，c 1 ( r ) 满 足： ( a ) 存在h o f + 使得s u p z qf ( h o ( x ) ) 0 并且f c ( q r ) 满足下列 条件： ( ) 存在常数c 0 和4 q 0 和k n ，使得当i t l 5 时，我们有；a 七2 + 互b 恐2 l q i 4 f ( z ，t ) ；a 七+ 1 t 2 + 南t 4 ，其中o a 1 a 2 0 使得 u l ，l l u i l ，v u x 函数 叉称为万程( r ) 的一个弱解，如果成立 ( a + b l l 扎1 1 2 ) 上v u v vd x = 上，( z ，u ) 秽出，v u x 容易知道，寻找方程( p 1 ) 的弱解等价于寻找c 1 泛函 m ) ：= 争1 1 2 + 扣1 1 4 一上即血，v u 瞄 的临界点，其中 即卅= 。m ，s ) d s ，v ( 叫) q r 从而 ( 以毗u ) = ( 。+ 6 i i u i l 2 ) 上v 让v vd x - fs ( j 训) 池，v u 胙x ，f 2 ( 3 1 ) 引理3 1 假设- 厂满足( ) ，( 厶) ，( ) 和( ) ，那么泛函i ( u ) 满足( c e ) 条件 证明我1 门t f d 发t 乱n ，是一个( c e ) 序夕u ，也就是况对仕葸嗣c 酞，满足 ，( u 扎) = 互a n i l 2 + 知u 洲4 一上f ( z ，u 。) 出_ c ( 佗一o 。) ， ( 3 2 ) 且 ( 1 + l l u n i i ) ，7 ( u 几) _ 0 ( n 一。) ( 3 3 ) 由( 3 2 ) 和( 3 3 ) 知，当他充分大时，我们有 1 + c 刈u 一拟u 岫= 扣n i l 2 + 上( 丢m ，) u n - - f ( 州n ) ) 也( 3 4 ) 下面我们证明 u n ) 有一个有界的子序列若不然，则存在 u n ) 的一个子序列使得 当佗_ o o 时，l i 札nj j o o 记w 扎= 渤，则w n 是有界的因此存在w x 和w n 的一个子序列使得 w n w弱收敛于x ， 9 西南大学硕士学位论文 w n _ w 强收敛于( q )( 1 r 0 ，记叫佗m = ( 8 m b ) 1 4 w n 由( f a ) ，容易知道i f ( x ，) l c ( i t l a + 1 ) 又因为在l a ( q ) 中训n m 一0 ，由f 的连续性我们知道在工1 ( q ) 中，f ( ，伽n m ) _ o 因此 厂 l i m f ( x ，叫n m ) = 0 “一，q 由于当扎_ o 。时i l u n | | 一+ ，因此当n 充分大时，0 ( s m b ) 1 4 l l u 几i | 1 由 t n 的定义知， 1 0 m 编) 刈蜊= 互a 怕驯2 + 扣7 1 1 4 一上m ，蜊出 2 m 一上m ，吲d z m ， 釜耋! 型堡塑垫型丝堡壅塑丝墼一 从向 s ( t n u n ) _ + o 。( n 一。) ( 3 6 ) 由于，( o ) = 0 且s ( u 佗) 一c ，因此当n 足够大时，0 t 钆 一。o 使得 磐坐 毋， s 1 4 。 对所有的( z ，s ) q 贰成立由于当n _ 。时，l ：oi w 佗1 4d x _ 0 ，因此存在 a 一o o ，使得 上：。! 彳乏兰青譬尘i 叫n 1 4 d z 秽z ：。i 叫礼1 4 d z a - o 。 从而 这和( 3 1 4 ) 相矛盾 当w 0 时，证明过程和引理3 1 的情形类似 口 定理3 1 的证明在下面的证明中，我们将分两步找出泛函i ( u ) 的1 t 4 界点 第一步存在某个p ，p 0 ，使得对所有满足i l u l l = p 的u x ，成立i ( u ) p 事实上，由( ) 和( 厶) ，存在g 0 使得 f ( 州) 墨2 + c i l t l 。 1 3 西南大学硕士学位论文 对所有的( z ，t ) qxr 都成立由( 3 1 ) ，我们有 地) = 扣1 1 2 争1 1 2 扣1 1 4 + 兰l l u l bi i + 到u i l f ( x , u ) d z 一兰a 让2d z g 三l u i g d z q 1 9 ， 其中q = c 1 馏是一个常数注意到q 4 ，当p 充分小时，成立 p ：昙p 4 一c 乞j d 9 0 ， 从而i ( u ) 卢 0 对所有满足i l u l i = p 的u x 成立 第二步存在满足恻l p 的e x ，使得，( e ) 0 ，存在m 0 ，使得 f ( x ，t ) t 3 1 对所有的t m 及z 豆成立记c ( e ) = ( 1 e ) m 3 ，则对所有的 t 0 和z 西，成立 ，( z ，t ) 一1 _ t 3 一c ( ) 从而对所有的t 0 和z 豆，及0 s 1 成立 ，( z ，或) t 一上_ s 3 t 4 一c ( e ) t 对上述不等式两边同时关于s 在 0 ，1 】上积分，得到 f ( z ，) 去。4 一c ( e ) 对所有的t 0 成立显然由上述不等式得 f ( z ，妒1 ) 去t 4 妒；一c ( e ) t 其中妒1 是入1 所对应的特征函数不等式两边同除以t 4 得 塑型秽14t4一学，一4 eh3 7 从而 当t _ + 时， 1 4 上掣蛇上( 扣一学) 虹 由上式知对任意的 0 ，我们有 l i m i 嘶n ff 掣出l1 ；牡 第三章基尔霍夫型方程的解的存在性和多重性 由于 0 是任意的，因此当一0 时， 从而 l i m i n f f n 掣d x - - - - + o o 掣= 甭a 1 1 1 2 + 舢旷一上掣出_ 一o 。( t _ 删 这也就是说当t o 足够大时，只要我们令e = t o p o i ，就有i ( e ) 0 由山路引理及引理3 1 知，存在u x 使得，7 ( 钆) = 0 并且 i ( u ) = c p 0 由( ) 知u 是，的一个非平凡临界点，进一步由强极大值原理 知u 方程( p 1 ) 的一个正解从而完成了定理3 1 的证明 口 定理3 2 的证明我们将应用局部环绕定理来寻求泛函，的临界点 记x 1 = e ，x 2 = e k ，) = o t 4 ，因此当r l 0 足够小时，i ( u ) 0 对所有满足| l 札1 l r l 的u x 1 成立 对于满足i | u 0 r 2 ：= 6 c 2 的u x 2 ，由于d i m x 2 = k + o 。，我们有 i u i q i l u l i 6 从而由( ) 和h s l d e r 不等式知 讹) 弘酽+ 扣一t a a k 川；一五b 吲2q 懈 0 1 5 西南大学硕士学位论文 取r = m i n r l ，7 2 ) ，则，在。处关于( x 1 ，x 2 ) 构成局部环绕 第二步，满足( c e ) + 条件 考虑序列1 乱a 。) ，其中 q n ) 是相容的并且 u q 。k 。，s u p i ( u a 。) 0 使得1 g i 仳1 4 对所有的u 职0x 2 成立，从而 ，( u ) 等i l 札l i 2 + 昙i i u l l 4 一m i u ：+ h ( m ) l f 2 l 扣i 1 2 + ( 五b m 四) 忙1 1 4 + h ( m ) l f l l 取m 砑b ，则当i i u l i o 。，乱礁ox 2 时，我们有j ( 札) j 一 综上可知，满足局部环绕定理的所有假设因此由局部环绕定理知方程( r ) 至少有一个非平凡解从而完成了定理3 2 的证明 口 定理3 3 的证明我们选取x 的一组正交基【勺) ，并定义k = e l ，e 七) 且z k = 堪1 由引理3 2 及( ) 知，是偶泛函并满足( c e ) 条件下面只需证明当 k 足够大时存在p k r k 0 使得 ( a 1 ) a k _ m a y 咆e y k ，1 1 u i i ：p bj r ( 让) o ； 1 6 mc+u z 上蜥 出 一8 川 + u 2 2 以 m ，j_、 【 旧 m 厂厶 + + u u 6 4 6 4 + + u 0 2 o 一2 一 0 ，使得f ( x ，t ) 2 c 詹l t l 4 对所有的i t i r k 成立记眠= 2 c k r 2 - 4 - m a x i t i 0 是一个常数因此当p k 0 足够大时，我们有 a k = m a x u e y k ，i i u i i ：p ki ( u ) 0 ( a 2 ) 记 凤：=s u pi u l g ，忌= 1 ，2 ， t z k ，1 1 t 1 1 = 1 当七_ o o 时，我们有尻_ o ( 参看文献 1 6 】引理3 2 ) 取化= ( 6 - 1 c g 磁) 南，对于 满足l i = r k 的u 邑，我们有 ，( u ) 罢i l u l l 2 + 兰| | 札1 1 4 一e l u i f c i q i 墨i l u l l 2 + 扣1 1 4 一c 跏卜c j q i = a 2 、。- 1 q + ( 丢一加_ 1 ) 南( 雠) 南一c i q i 由于4 0 ，当0 t 2 时h ( t ) = 1 ，当t 时h ( t ) = 0 令 妒( u ) = h ( 1 l u l l ) 我们考虑这样的截断泛函 吣) ：= 互a 1 1 2 + 扣1 1 4 - l ，o ( 乱) 上即m 电 1 7 西南大学硕士学位论文 其中f ( x ，t ) = s o ，( z ，s ) d s 容易知道西c 1 ( x ，酞) 如果我们能够证明圣在x 中存在一列趋近于0 的非平凡弱解 u n ) ，那么定理3 4 成立事实上，不难发现， 当l i u i i 0 ，存在j 0 ，使得当l t i j 时， 1 f ( x ，t ) 妄叼- 1 t z 对任意的k n ，记b = 0 i 凫k e r ( - a 一九) 则当乱鼠时，存在常数q 七使得 川口岛i l 乱l i 因此对任意的满足1 1 仳1 1 = p m i n 毒，；) 的缸鼠，当，7 7 任意小 时，我们有 这就是说 钆b ：i l u l i = p ) c 钆x ：西( 仳) o ) 由于a = 仳鼠：i i u i | = p ) 是b 中半径为p 的球面，且是玩的后一1 维的子空间，因此由命题l 中7 ( a ) = 后 因此7 ( u x ：西( 札) o ) ) x ( a ) = 后记a 南= 札x ：垂( “) o ) ，由上知 4 七n 并且s u p 札a 。西( 扎) 0 故( b 2 ) 也成立因此由对称山路引理可得定理 3 4 成立 口 1 8 zduzf 丘 、l - ， ) _ 驴 以 镌 一 。 旷1 尹 忆 一 6 4 4 6芝4 酽 + 让 2 一 争望2仉 = 0 ，g c ( r ，r ) 满足( 9 1 ) ，h l 2 ( q ) ，并且f ( 一。) 一。， _一_一 f ( + ) + o o 那么方程( r ) 至少有一个弱解 e 注1 存在函数夕满足我们定理4 1 的假设例如，任何有界连续函数满足我 们定理的假设而且我们考虑函数 夕c t ，= 一o 。， 一一 f ( 一。) + o o ，并且。 小出 一。o ， f ( + 。o ) 0 事实上，由( 4 2 ) ，我们有 互b ( 上i v 砰d z ) 2 砑b 上u 4 出= 分。 对所有的u h 成立因此，由儿的定义知a 七 0 为了证明k 是临界值，我们得首先证明泛函西1 日满足p a l a i s s m a l e 条件其 次，通过形变引理证明这些k 是特征值 引理4 1 西1 日满足p a l a i s s m a l e 条件 证明假设 乱n ) ch 是一个p a l a i s s m a l e 序列，也就是说，西( 乱n ) 是有界的并且 西l 鼻( u n ) _ 0( 4 4 ) 当n _ ( 3 0 时成立下面我们将证明u n u 由于( 圣i h ( u n ) ，缸n ) 一西( u n ) = ( 3 b a ) l l u n n 容易知道【乱n ) 在日中是有界的 因此存在正常数m o 使得i l u n i j m o 由( 4 2 ) 得i i n i | i i u 竹l | l t ( n ) 岛= v 厄c o 因此 一 害1 1 让1 1 m o ( 4 5 ) 对所有的n n 成立因此存在某u h 及子序列，不妨仍假设为( u 。) ，使得 j 让弱收敛于h ，( 4 6 ) 西南大学硕士学位论文 让n u 强收敛于( q )( 1 r 0 ，g c 假，r ) 满足( 9 1 ) ，h l 2 ( q ) ，并且f ( 一o 。) 一。o ， f ( + ) 0 使得 i 夕( ) i 3 + g ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) 2 3 西南大学硕士学位论文 l 上c 夕c 乱，一 ，叫d z i i 上夕c 让，伽d z i + 1 乞九叫d z l z 叭扎) 1 1 圳i 弭fl i i i 血 ，q 厶( i 仳1 3 + 圳叫id 蚪小i i jj 小z ， z 2 i i 札| i 羔t ( n ) i l w l l l t ( n ) + c , l a l l 7 2 i l w l l l 。( q ) + i l h l l l 。( n ) i i 彬i i l 。( q ) ( 四1 3 + c 2 ) l l w l i ( 4 1 6 ) 对所有的u x 成立，其中q = c o c ll q l l 2 +