（基础数学专业论文）脉冲微分系统解的存在性问题.pdf

摘要 本论文主要讨论了脉冲微分方程边值问题和周期解的存在性，一类 脉冲捕食者食饵生态微分方程正周期解的存在性和全局渐近稳定性 全文共分为五章 第一章简述了脉冲微分方程周期解和边值问题的历史与研究现状， 及本文的主要工作 第二章考虑了脉冲微分方程周期边值问题解的存在通过使用脉冲 不等式和分析方法，得到了一阶脉冲微分方程周期边值问题新的比较结 果，借助所给的新的上下解，结合单调迭代技巧，建立了一阶脉冲微分 方程周期边值问题极值解的存在结果同时，研究了二阶脉冲微分方程 周期边值问题，修正了已有文献中比较定理的不妥之处，并提出了新的 上下解 第三章研究了脉冲微分方程两点边值问题解的存在性，利用l e r a y - s c h a u d e r 度理论，得到了一类带导数项的脉冲微分方程两点边值问题解 的存在性与多解性结果，指出了已有文章中错误的地方；利用五泛函不 动点定理，获得了一类测度链上的具有p - l a p l a c i a n 算子的脉冲微分方程 两点边值问题至少存在三个解的充分条件 第四章讨论了一类含有参数的脉冲微分方程正周期解的存在性通 过将脉冲微分方程转换成非脉冲微分方程，利用k r a s n o s e l s k i u 不动点定 理和l e g g e t t w i l l i a m s 不动点理论，得到了这类脉冲微分系统正周期解的 存在个数与参数有着密切的关系，特别是给出了系统至少存在三个正周 期解的充分条件 第五章研究了一类脉冲捕食者一食饵生态微分方程正周期解的存在 性和全局渐近稳定性运用m a w h i n 度理论与解的先验估计，获得了周 期解的存在性结果推广和改进了已有的相应的非脉冲微分方程的结 论；利用l y a p u n o v 泛函，得到了该系统正周期解是全局渐近稳定的，从 而得到了周期解的存在唯一性，通过数值模拟来验证了所得到的结果 关键词：脉冲微分方程；边值问题；上下解； 不动点定理；周 期解；捕食模型 a b s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l ys t u d i e st h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n sa n db o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sf o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h ee x i s t e n c ea n dg l o b a la t t r a c t i 、m yo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o ri m p u l s i v ep r e d a t o r p r e ym o d e lw i t h d i s p e r s o na n dt i m ed e l a y s i ti sc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s a st h ei n t r o d u c t i o n s ，i nc h a p t e r1 ，t h eb a c k g r o u n da n dh i s t o r yo fp e r i o d i c - i t ya n db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r eb r i e f l y a d d r e s s e d ，a n dt h em a i nw o r ko ft h i sp a p e ra r eg i v e n c h a p t e r2c o n c e r n st h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a - t i o n sw i t hp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u e b yu s i n ga ni m p u l s i v ed i f f e r e n t i a li n e q u a l i t y a n da n a l y s i st e c h n i q u e ，w eo b t a i ns o m en e wc o m p a r i s o nr e s u l t so naf i r s to r d e r i m p u l s i v ep e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，a n du s i n gt h em e t h o do fu p p e ra n d l o w e rs o l u t i o n sc o u p l e dw i t hm o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e ，w eo b t a i nt h ee x i s - t e n c eo fe x t r e m a ls o l u t i o na b o u tp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s m e a n w h i l e ， w er e c o r r e c tt h ew r o n gc o m p a r i s o nr e s u l to fs e c o n do r d e ri m p u l s i v ep e r i o d i cb o u n d - a r yv a l u ep r o b l e m si nt h ep r e v i o u sp a p e r ，a n dp r e s e n tn e wd e f i n i t i o n so fu p p e ra n d l o w e rs o l u t i o n s i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t ht w o - p o i n tb o u n d a r yc o n d i t i o n i nt h ev i e wo ft h ee x i s t e n c eo f u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ，b yu s i n gl e r a y s c h a u d e rd e g r e et h e o r y , w eo b t a i nt h e e x i s t e n c er e s u l ta n dm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n sa b o u tt w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b - l e m s b ym e a no ff i v ef u n c t i o n a l sf i x e dp o i n tt h e o r e m ，w ee s t a b l i s ht h ee x i s t e n c e o fa tl e a s tt h r e ep o s i t i v es o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rp - l a p l a c i a n i m p u l s i v ef u n c t i o n a ld y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s i nc h a p t e r4 ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o ri m - p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hap a r a m e t e r c o n v e r t i n gi tt on o n i m p u l s i v e d i f f e r e n t i a le q u a t i o na n du s i n gk r a s n o s e l s k i l l sa n dl e g g e t t w i l l i a m sf e dt h e o - r e i n s ，w eo b t a i nt h a tt h ee x i s t e n c ea n da m o u n to fp o s i t i v es o l u t i o n si sc o n c e r n e d w i t ht h ep a r a m e t e r e s p e c i a l l y ，w ee s t a b l i s hs u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c e i i o ft r i p l ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n s i nc h a p t e r5 ，w ef o c u so na ni m p u l s i v ep r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hd i s p e r s i o n a n dt i m ed e l a y s t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o ni so b t a i n e db yt h e h e l po fm a w h i nc o n t i n u a t i o nc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r ya n dt h eg l o b a la t t r a c t i v i t y o fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o ni sp r e s e n t e db yl y a p u n o v em e t h o d k e yw o r d s ：h n p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；b o u n d a yv a l u ep r o b l e m ；f i x e d p o i n tt h e o r e m ；l o w e ra n du p p e rs o l u t i o n s ；p e r i o d i cs o l u t i o n ；p r e d a t o r p r e y m o d e l i l l 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做 出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识 到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 够械 泖彩月夕日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，研 究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密d ( 请在以上相应方框内打“ ”) 1 3 2 日期：如声月3 日 日期：枷7 年石月5 日 岳尹 磊 辑 矽申 各轹签签者师怍导 脉冲微分系统解的存在性问题 1 绪论 脉冲扰动现象源于时间演化过程的外部干扰问题，它是系统内部演 化( 一般为连续) 过程和外部干扰引起的状态跳跃的交叉与混合，在现 代科技各个领域的实际问题中普遍存在，其突出的特点是能够充分考虑 瞬时突变对状态的影响，因而能够更深刻、更客观现实地反映事物的变 化规律 脉冲微分方程的研究始于1 9 6 0 年的m i l m a i l 和m y s h k i s 的工作【6 专著【1 - 3 ，1 2 的问世是脉冲常微分方程理论的逐步形成并趋于成熟的标 志近三十年来，人们对脉冲微分系统的研究已取得了丰富的成果 如文【1 6 , 3 4 】研究了解的整体存在性和唯一性，文【4 ，1 4 】研究了解对初值 和参数的连续依赖性和可微性，文1 9 1 ，1 1 6 ，1 1 9 】研究了解的振动性，文 【8 2 ，8 9 ，9 3 】讨论了脉冲控制混沌现象，文【6 9 给出了极限环的存在性，文 【7 0 ，9 4 ，9 7 - 9 9 研究了解的有解性和稳定性以及文【1 0 4 ，1 0 6 ，1 1 5 分析了脉冲 生态系统的定性性质同时我们注意到脉冲微分方程周期解和边值问 题的研究也是当前热门的课题之一，吸引了众多学者的关注，并取得了 许多较好的成果【1 0 ，1 8 - 3 1 ，3 5 3 9 ，1 2 8 - 1 3 3 但是脉冲微分方程周期解和边值 问题的研究还需进一步深入，特别是多解性的研究还比较少因此脉冲 微分系统周期解和边值问题的研究具有十分重要的理论意义和现实意 义 下面简述与本文直接有关的几个问题的研究现状，并介绍本文的主 要工作 1 脉冲微分方程周期边值问题 目前研究周期边值问题的主要工具有：上下解结合单调迭代技巧 【5 , 9 ，i i ，1 3 ，2 0 ，3 2 ，不动点理论【1 7 ，2 5 】，拓扑度方法【2 3 】等 2 0 0 3 年，n i e t o 和r o d r i g u e z - l o p e z 7 ，8 】讨论了下面的泛函微分方程周 1 湖南师范大学2 0 0 9 届博士学位论文 期边值问题 u 7 ( 。) 2 g ( , u ( ) ，u ( 臼( ) ) ) ，osp ( ) ，【o ，7 1 ， ( 1 1 ) iu ( o ) = 札( 丁) 文中作者提出了新的上下解的定义，建立比较定理，结合单调迭代技巧 获得了方程( 1 1 ) 极值解的存在性结果 考虑到脉冲扰动的影响，2 0 0 5 年，d i n g ，m i 和h a n 1 1 研究了如下 脉冲微分方程周期边值问题 ，= 【0 ，卅， ( 1 2 ) 类似地，给出新的上下解定义，证明了上下解和单调迭代法依然有效 同年，罗治国在其博士论文中 1 2 3 也考虑了方程( 1 2 ) 的极值解的 存在性文中不仅讨论了下解不大于上解的情形，同时考虑了下解不小 于上解的情形 2 0 0 6 年，李建利 1 2 5 研究了如下脉冲微分积分方程周期边值问题 缸他) = g ( t u ( ) ，k u ( t ) ，s u ( ) ) ，t t k ，0 t l a u ( t 七) = 几( u ( 如) ) ，k = 1 ，2 ，p ， ( 1 3 ) u ( 0 ) = u ( 丁) 使用脉冲微分不等式，得到了新的比较定理和极值解存在性定理 2 0 0 8 年，l i u 等人在文 1 2 9 】中研究了如下具有多时滞的脉冲微分方 ( 1 4 ) 作者利用g a i n e s m a w h i n 重合度理论，在允许厶是超线性的条件下，得 到了方程( 1 4 ) 至少存在一个解 2 p 七 1 互 = 幻七 毋 ， 屯 如 l “p u 口l；札厶即甙i l 以 = 0 l | )邢舰邶 ，l-iijl_i-k 、i j如 2 l ，。l j f 、l ，、l ，、l ， ， ， n r ，、 ， 、l ，、1， ， q ， ， 0 一 七 d h 础枷，八m = 厶 d = “、一二 州巩“以 札卜= 对矾呱“ 程f、l 脉冲微分系统解的存在性问题 上述文章中，在使用单调迭代技巧时，需要讨论相应的线性化问题， 学者们都是利用g r e e n 函数和b a n a , c h 不动点定理得到线性问题解的存 在唯一性，因此会增加一些限制条件本论文第二章第一节，我们继续 讨论方程( 1 2 ) 解的存在性利用脉冲微分不等式和分析方程，得到一 些新的比较定理，这些定理改进了文【1 1 】中相应的结果，同时在讨论线 性化问题时，直接根据线性化问题的特点，结合所给的上下解和分析技 巧，获得了线性化问题解的存在唯一性，而不附加另外的条件 相对于一阶微分方程，有关二阶周期边值问题的结果比较少 2 0 0 4 年，d i n g 和y a n 1 3 4 对下面的二阶微分方程周期边值问题作了 研究工作 i 一( ) = f ( t ，u ( ) ，u ( p ( t ) ) ) ，t j = 【0 ，卅，。、 iu ( o ) = u ( t ) ，( o ) = ( t ) 同样利用上下解和单调迭代技，得到了方程( 1 5 ) 极值解的存在定理 然而，他们的主要结果是错误的文【1 3 5 指出了文【1 3 4 】的错误，并发 展了新的分析技巧解决了线性化问题解的存在唯一性 2 0 0 5 年，d i n g ，h e m 和m i 2 9 】研究了如下二阶脉冲泛函微分方程 ， l 一让( t ) = f ( t ，u ( t ) ，u ( p ( ) ) ) ，t t k ，t j = 【0 ，卅， a u l t ：t 。= 厶( u ( 七) ) ，。、 l u 化：“= 瑶( 让( t k ) ) ，k = 1 ，2 ，m ， iu ( o ) = u ( t ) ( o ) = t 正( 丁) 作者建立比较定理，给出新的上下解，结合单调迭代技巧，得到了方程 ( 1 6 ) 解的存在性定理 认真研读文【2 9 】，我们发现其中在证明比较定理时存在一些错误本 论文第二章第二节将继续讨论脉冲泛函微分方程周期边值问题( 1 6 ) ，修 正了文【2 9 中比较定理的不妥之处，建立新的比较定理，所得结果改进 了文 9 】中的结论同时也引入了新的上下解，其创新在于新的上下解 定义中可引进外部函数，这主要受到文【7 ，3 0 的启发 2 脉冲微分方程两点边值问题 3 湖南师范大学2 0 0 9 届博士学位论文 微分方程边值问题是当前研究的热点课题之一这主要由于其深远 的物理背景和广阔的应用空间关于常微分方程和泛函微分方程边值问 题的研究已有丰富的成果，见f 1 3 6 1 4 6 主要方法是不动点定理，锥理 论对于脉冲扰动方程，由于使用这些方法，难以将问题的解表示为算子 方程，或者即使可以表示为算子方程但可能形式复杂难以应用锥不动点 理论因此关于脉冲微分方程边值问题的研究成果较少【3 9 ，4 0 ，4 2 ，4 3 ，4 7 】 1 9 9 6 年，l i u 和l i 4 8 1 研究了如下非线性两点边值问题 u ) ，0 0 是参数文【4 5 进一步讨论了( 1 1 5 ) 更一般化的形式 可7 ( ) = - a ( t ) g ( y ( t ) ) y ( t ) 一a 九( ) ，( y ( 一7 ( ) ) ) ( 1 1 6 ) 用锥上的不动点指标定理，作者得到了( 1 1 6 ) 存在一个正周期解，两个 正周期解以及不存在正周期解的充分条件 如果考虑到脉冲的扰动影响，系统( 1 1 6 ) 应该修正为如下 一( ) = n ( ) g ( z ( 。) ) z ( 。) 一a p ( ) ，( ，z ( 。一7 - ( ) ) ) ，0 | e o ，。七， ( 1 1 7 ) iz ( t 考) 一z ( t k ) = b 知z ( t k ) ， k = 1 ，2 ， 7 湖南师范大学2 0 0 9 届博士学位论文 在第四章中，我们研究了上述含有参数的脉冲微分方程( 1 1 7 ) 正周期解 的存在性通过将脉冲微分方程转换成非脉冲微分方程，利用k r a s n o s e l - s k i l l 不动点定理和l e g g e t t w i l l i a m s 不动点理论，得到了这类脉冲微分系 统正周期解的存在个数与参数有密切的关系，特别是给出了系统存在至 少三个正周期解的充分条件 4 具扩散的脉冲捕食者食饵生物模型的正周期解与稳定性 目前，生物模型周期解的存在性和持久稳定性得到了广泛的研究， 见【1 0 6 1 1 4 近年来，人们开始关注具有扩散行为的种群生态系统的研 究，1 9 9 9 年，z h a n g ，c h e n 和c h e n 1 1 0 】研究了如下捕食者食饵扩散系 统 ) 一a l ( t ) x l ( t ) 一b l ( t ) y ( t ) 】+ d l ( z ) z 2 ( t ) 一z 1 ( ) 】 ) 二n 2 ( ) z 2 ( ) 】+ d 2 ( ) 陋l ( ) 一x 2 ( ) 】 ( 1 1 8 ) 一0 3 ( ) z 1 ( t ) 一b 3 ( t ) y ( t ) 一f l ( t ) ，k ( s ) y ( t + s ) d s 】 作者证明了在适当的条件下系统( 1 1 8 ) 是一致持久的，以及得到了系统 全局渐近稳定的充分条件z h a n g 和w a n g 1 i t 利用m a w h i n 重合度理论 建立了系统( 1 1 8 ) 存在正周期解的结论2 0 0 4 年，c h e n 等人【9 1 利用 新的先验估计也获得系统( 1 1 8 ) 正周期解的存在结果，所需要的条件改 进文f 1 1 7 中的条件 同年，x u ，c h a p l a i n 和d a v i d s o n 1 0 8 】讨论了下面的捕食者食饵扩散 模型 z j ( ) = z 1 ( ) r l ( ) z ：( ) = x 2 ( t ) r 2 ( t ) n 1 1 ( ) z l ( t ) a 2 2 ( t ) x 2 ( t ) a 1 3 ( t ) y ( t ) 】 a 2 3 ( ) 可( ) d 1 ( ) 【z 2 ( ) 一z 1 ( f ) 】， d 2 ( t ) x l ( t ) 一z 2 ( t ) 】， 利用拓扑度理论和l y a p u n o v 函数方法，作者获得了( 1 1 9 ) 正周期解的存 在性和全局渐近稳定性 8 叭以 r! 讲州h“0 z z 心 l | = _ m h 刊 ，l， “ z z y + + 、， 9l，l 川( 吃 一 y“：、，j 驺 n一 、l ， i = 一 2 z 幻， 弛 q+ 、i ， q 一厶 ，il l z 、l ，0 ； 0+ 幻，j 3 r一 -l、，耖 = 、l， 矿 脉冲微分系统解的存在性同题 在第五章，我们考虑了如下脉冲捕食者食饵扩散系统 ， iz i ( ) = x l ( t ) r l ( t ) 一a l l ( t ) 口：l ( t ) 一n 1 3 ( ) y ( ) + d 1 ( ) p 2 ( t ) 一z l ( ) ，t t k ， iz ：( ) = x 2 ( t ) r 2 ( t ) 一o a 2 ( t ) x 2 ( t ) 一0 2 3 ( ) y ( ) + d 2 ( t ) x l ( t ) 一z 2 ( ) 】，t 知， 可7 ( ) = y ( t ) - r 3 ( t ) + a z l ( t ) x l ( t 一丁1 ) + a z 2 ( t ) z 2 ( t n ) 一a 3 3 ( t ) y ( t 一丁2 ) 】，t t k ， ia x i ( t k ) = b i k x i ( t ) ，i = 1 ，2 ，k = 1 ，2 ， i 可( z ) = b z k y ( t k ) ，k = 1 ，2 ， ( 1 2 0 ) 运用分析技巧，得到了系统( 1 2 0 ) 的解的先验估计，结合m a w h i n 度理 论，建立了系统( 1 2 0 ) 正周期解的存在性结果所得结果改进了文 1 0 8 】 中相应的结果同时利用l y a p u n o v 泛函方法，得到了系统( 1 2 0 ) 正周 期解是全局渐近稳定的最后，通过例子和数值模拟来验证所给出的结 论 湖南师范大学2 0 0 9 届博士学位论文 脉冲微分方程周期边值问题 在本章中，我们研究了一阶与二阶脉冲微分方程周期边值问题解的 存在性具体地说，在2 1 节中利用脉冲微分不等式与分析方法巧得到 一些新的比较定理，然后结合上下解与单调迭代技巧，得到了一阶脉冲 微分方程周期边值问题存在解的结论在2 2 节中，我们修正了现有文 章中的一个错误的比较定理，同时定义新的上下解，利用上下解和单调 迭代技巧证明了二阶脉冲微分方程周期边值问题存在极值解 2 1 一阶脉；中微分方程周期边值问题 本节，讨论如下一阶脉冲微分方程周期边值问题( p b v p ) 1 l ，( ) = g ( t ，u ( ) ，( 6 i ( ) ) ) ，t t k ，t j = 0 ，t 】， a u ( t k ) = 厶( u ( t 七) ) ，k = 1 ，2 ，p ， u ( o ) = u ( t ) ， 其中g c ( j r 2 ，冗) ，0 o ( t ) t ，t z0 = t o t l t 2 t p t p + 1 = t ，i k c ( r ，r ) a u ( t k ) = u ( t 毒) 一u ( ) ，k = l ，2 ，p 如果o ( t ) = t ，那么方程( 2 1 1 ) 转变为文献 1 中所考虑的脉冲常微分 、方程周期边值问题 令j 一= ， 1 ，t 2 ，如) ，p c ( j , r ) = 乱：j _ 足仳( ) 除了在t = t k 外处 处连续，缸( 吉) 与u ( t i ) 存在并且乱( i ) = u ( k ) ，k = 1 ，2 ，p 】i ，p c 7 ( 以r ) = 【u ：j r ；缸他) 除了在t = t 七外处处连续，札他吉) 与乱心i ) 存在并且 乱7 ( i ) = u 7 ( t k ) ，k = 1 ，2 ，p ) e = 【乱i u p c ( zr ) np c 7 ( 正r ) ) 在范数 叫l e = s u p jl u ( ) i 下为一个b a n a c h 空间 如果函数u e 满足( 2 1 1 ) 中的各个等式，那么称乱为p b v p ( 2 1 1 ) 的解 1 0 脉冲微分系统解的存在性问题 5l 埋2 1 l l l 2 j 兮8 【0 ，? ) ，瓯0 ，a k ( k = 1 ，2 ，p ) 是常数并且 p ，q p c ( j , r ) ，z p c 7 ( zr ) 如果 l ( ) p ( t ) x ( t ) 十q ( t ) ，t 【s ，t ) ，t t k ， lz ( ； ) c k x ( t k ) + a 七，t h 丁) ， 则对t 【s ，卅有 邢，纠s + “s 疆t ，0 唧( 出灿) k 、。5， + ( 。 i i t k t c k ) 唧( 胁灿) 咖m +st(骁。0唧(肛灿)ktk t k “ 0 ，n 0 ，0 l 0 ，继续考虑函数v 其定义为v ( t ) = e m t u ( ) ，t 0 ，t 】，显然v ( o ) 0 ，v ( t ) 0 和v ( t 。) = i n f o ，丁1 钉 0 ，n 0 ，0 l k 0 ，n 0 ，0 l k t ( k = l ，2 ，p ) ，并满足 p h ( 1 一k ) m + n ，兰一一 ( 2 1 1 1 0 ) i i ( 1 一l k ) d s 。0 s t t 0 为此，我们考虑下面两种可能存在的情况 情形1 对所有的t 【0 ，7 1 ，m ( t ) 0 则m 他) 0 ，t j 一并由 m ( 毒) ( 1 一l k ) m ( 1 k ) 0 考虑下面的不等式 ， lm ) 0 ，t j 一， lm ( q ) ( 1 一k ) m ) 由引理2 1 1 可得 r e ( t ) m ( o ) i i ( 1 一l t ) o t k t 令t = t ，则有 r e ( t ) r e ( o ) h ( 1 一l k ) r e ( o ) ， 南= l 这与m ( o ) m ( t ) 矛盾 情形2 存在某个t 【0 ，卅使得m ( t ) 0 ，云( t i ，州 不 妨令f t t ( 如果f = ，可以用同样的方法证明) 因此, - n ( t ) 一入和 m ( 口( f ) ) 一a ，t 【0 ，7 1 ，故有 m 7 ( ) 一m m ( t ) 一n m ( o ( t ) ) ( m + ) a ，t j 一 】4 + 0 一 讯m m m ，_liil-，、i-【 脉冲微分系统解的存在性问题 考虑下面的不等式 lm ，( t ) x ( m + ) ，t t k ，t 匮列， im ( 毒) ( 1 一l k ) m ( t k ) ，k = i + 1 ，p 利用引理2 1 1 得 m ( ) m ( d1 7 ( 1 一l k ) + ( 1 一k ) 入( m + n ) d s k t k t 。s t k t 令t = t ，有 r e ( t ) m ( dn ( 1 - l k ) + i i ( 1 一k ) a ( m + n ) d s t t k t 。 s t k t 。a n(1_k(m+n)fok=l。里t ( 1 - k ) d s ， 8 t k t 因为m ( t ) 0 ，所以 ( 1 一l k ) _ f 堡l 一 m + n ， 个 、 ， z 。旦r o 乩。d s 这与( 2 1 1 1 0 ) 相矛盾 ( i i ) 假设m ( t ) 0 ，则m ( o ) m ( t ) 0 故存在【0 ，t 】使得m ( 幻= i n f t 】m ( t ) = - - x 1 ，用情形( i ) 类似的证明方法，对t 【o ，t + 】可以得到下 面的不等式 im 讹) a l ( m + ) ，t t k ， i m ( t j ) ( 1 一l k ) m ( t k ) 则有 m ( t + ) s 仇( d ( 1 一l k ) + ，i i ( 1 一l k ) , k 1 ( m + ) d s ， i t 知 ， 8 “ 0 ，r e ( t 3 = 一入1 ，所以 o 一a 1 ( 1 一k ) + n ( 1 一l k ) , x 1 ( m + n ) d s ， 0 “ v0 s t k 1 5 湖南师范大学2 0 0 9 届博士学位论文 因此 0 ，n 0 ，0 l k 1 ( 尼= 1 ，2 ，p ) ，氏c ( r ，r ) ，盯 p c ( j , r ) 并且7 7 e 如果 盟m + 尝1 壹址1 ( 2 1 2 3 ) 。t 一鲁w r 7 那么( 2 1 2 1 ) 具有唯一解 证明对任意的u e ，定义算子f 为 ( f u ) ( ) = a ( t ，s ) p ( s ) 一n u ( a ( s ) ) d s 十 g ( ，“) ( 一l 知u ( “) ，0 l 一1 + 厶( 叩( k ) ) 一l k 叩( t k ) ) l ，t 【0 ，丁】， 其中的g 由引理2 1 2 1 给出 因为 卜如) d s = 击，蹄s ) ) = 嵩， 湖南师范大学2 0 0 9 届博士学位论文 所以对任意的z ，可e ，成立 i i ( f z ) ( ) 一( f y ) ( t ) l l e = l g ( ，s ) p ( s ) 一z ( 口( s ) ) d s 占 + 【g ( 屯t k ) ( - - l k x ( t k ) - 4 - 厶( 町( 七) ) + 饥7 7 ( k ) ) 】 知= l ，- t 一g ( ，s ) 【盯( s ) 一n y ( o ( s ) ) d s j o p 一【g ( t ，t k ) ( - - l k y ( t k ) - 4 - ( 叩( 如) ) + l k 7 7 ( 如) ) 】l k = l f t = i n g ( t ，s ) 【- z ( 目( s ) ) 一可( p ( s ) ) 】d s l 加p + 【- 厶g ( ，t ) ( z ( 如) 一可( “) ) l s ；：z tg c z ，s ，d s + 喜g ( t , t k ) l * _ ) l l z 一可i l e 嵩纠忙刊k 利用( 2 1 2 3 ) 与b a n a c h 不动点定理得，f 有唯一的不动点u + e 由引 理2 1 2 1 知，乱+ 同时也是( 2 1 2 1 ) 的唯一解证毕 下面通过定义上下解，利用分析技巧证明( 2 1 2 1 ) 存在唯一解 定义2 1 2 1 函数q e 称为p b v p ( 2 1 1 ) 的下解，如果满足 iq 7 ( t ) g ( t ，q ( ) ，q ( 6 ( ) ) ) 一n ( ) ，t t k ，t 正 i a a ( t k ) 厶( q ( k ) ) 一i k ，七= 1 ，2 ，p ， 其中 m ，2 草瞰卟咿儿絮篡 旷咿儿絮裟 定义2 1 2 2 函数卢e 称为p b v p ( 2 1 1 ) 的上解，如果满足 iy ( t ) g ( t ，( ，) ，( 一( ) ) ) + 厶( ) ， t k ，。， i p ( “) 氏( 卢( k ) ) + 2 ；， k = 1 ，2 ，p ， 脉冲微分系统解的存在性问题 0 ， m t + 1 n s r ( t ) 一+ l p ( 丁) 个i v 、j z ( o ) p ( 丁) ； 一p ( o ) 】，z ( o ) p ( 丁) ，。j 0 ， ( o ) 卢( t ) ； 5 i 墨争【p ( t ) 一p ( o ) 】，z ( o ) 0 ，n 0 ，0 k q ( t ) ，那么丘( o ) = a ( 丁) ，即a 是n 周期