（基础数学专业论文）sn×r中的刚性定理.pdf

中文摘要 摘要 在庞大的微分几何研究中，子流形的研究占很大的比重，而子流形的几何性 质在很大程度上取决于这个子流形浸入到外围空间的第二基本形式b ，所以人 们就对一些具有特殊第二基本形式的子流形进行研究其中，极小子流形是子流 形中很重要的一个分支，它在应用和理论方面都有很重要的意义本文主要考虑 xr 中子流形的刚性性质 第一部分简要介绍子流形的研究背景及本文的研究内容 第二部分回顾了子流形的基本性质，介绍了铲r 中子流形的基本性质和 球面中的刚性定理 第三部分是本文的主要内容首先我们计算了舻xr 中的紧致极小定向子 流形的第二基本形式的迹一l a p l a c e x 7 2 b ，并给出伊r 中的g a u s s 和c o d a z z i 方 程；然后得到 的一个和t 有关的估计，其中t 是r 上的单位向量 旦o t 在子流形的切向投影；最后我们利用s t o k e s 公式分别得到余维数为1 和余维 数大于1 的曲面的刚性定理 关键词：铲x 瓞；刚性定理；g a u s s 和c o d a z z i 方程；第二基本形式；迹 一l a p l a c e 算子 湖北大学硕士学位论文 a bs t r a c t i nt h er e a s e r c ho fd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , t h es t u d yo fs u b m a n i f o l da c c o u n t sf o ra g r e a tp r o p o r t i o n a sw ek n o w , t h eg e o m e t r i cp r o p e r t i e so fs u b m a n i f o l dd e p e n dl a r g e l y o nt h es u b m a n i f o l dt ot h ee x t e r n a li n t r u s i o no ft h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r mo fs p a c e b ，s os o m ep e o p l es t u d yo nt h es u b m a n i f o l do ft h es p e c i a ls e c o n df u n d a m e n t a lf o r m t h em i n i m a ls u b m a n i f o l di sav e r yi m p o r t a n tb r a n c hi ns u b m a n i f o l d ，w h i c hh a sa g r e a ti n t e n t i o nb o t hi ni t sa p p l i c a t i o na n dt h e o r e t i c a la s p e c t s t h i st h e s i si sm a i n l yt o s t u d yt h er i g i d i t yn a t u r eo fas u b m a n i f o l di n 伊r i nt h ef i r s tp a r t ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fs u b m a n i f o l d ，a n dt h ec o n t e n t so ft h i st h e s i s i nt h es e c o n dp a r t ，w ef i r s to v e r a l lr e v i e wt h eb a s i cp r o p e r t i e so fs u b m a n i f o l d ，a n d t h e ni n t r o d u c et h ep r o p e r t i e so fs u b m a n i f o l di n 伊酞a n dt h er i g i d i t yt h e o r e m so fa s u b m a n i f o l di nt h es p h e r e 。 t h et h i r dp a r ti st h em a i nc o n t e n ti nt h i sp a p e r w ef i r s tc o m p u t et h et r a c e l a p l a c e o ft h es e c o n df u n d m e n t a lf o r mo fac o m p a c to r i e n t a b l em i n i m a ls u b m a n i f o l di n 伊r ： a n dt h e no b t a i nae s t i m a t eo f w i t hr e s p e c t i v et otb yt h eg a u s sa n d c o d a z z ie q u a t i o ni n 铲r ，w h e r eti st h ep r o j e c t i o no ft h eu n i tv e c t o r 岳i ns n 酞； f i n a l l y , w eg i v et h er i g i d i t yt h e o r e m so fas u b m a n i f o l di ns n rw i t hc o d i m e n s i o n e q u a lt o1 a n dc o d i m e n s i o n g r a t e rt h a n1r e s p e c t i v e l yb ys t o k e st h e o r e m k e yw o r d s ：s n 酞：r i g i d i t yt h e o r e m ；g a u s sa n dc o d a z z ie q u a t i o n ；t h es e c o n d f u n d m e n t a lf o r m t r a c e - l a p l a c eo p e r a t o r 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名：嘲诖经 签名日期：4 年f 月艿日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，i i ： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可 以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文：在不以赢利为目 的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容( 保密论文在解密后遵守 此规定) 作者签名：胡歪霞 指导教师签名：李j i f 汉 i ii i ：哆年f 月艿日 日期：7 年r 月7 7 日 1 1 曲率流的研究背景 1引言 在庞大的微分几何的研究中，子流形的研究占很大的比重而子流形的几何 性质在很大程度上取决于这个子流形浸入到外围空间的第二基本形式b ，所以人 们就对一些具有特殊第二基本形式的子流形进行研究其中就有一类子流形，它 们的第二基本形式的迹日为零，称作极小子流形极小子流形是子流形中很重要 的一个分支，它在应用和理论方面都有很重要的意义我们知道，在不考虑重力的 情况下，一根铁丝围成的圈中的肥皂膜的面积是以这个铁丝为边界的所有曲面的 面积的最小值我们用数学的术语来讲就是：这个肥皂膜的面积是所有以这个铁 丝为边界的体积变分的最小值，我们还知道这个肥皂膜就是三维欧氏空间的极小 超曲面实际上有更一般的结果： 设m 是一个紧致r i e m a n n 流形，是一个等距浸入且平均曲率向量为日令 五，t ，f 0 = f 是一族光滑浸入，满足： 8 m = f , 1 8 m ， 记y = 警i 括。是沿，的变分向量场，那么 知驯瑚一 捌 从上式我们可以知道m 是体积变分的临界点时有h = 0 ，即m 极小 s i m o n s 在1 9 6 8 年【9 】9 中利用b o c h n e r 技巧对极小子流形进行了研究，并揭 示了s n 中的刚体性质： 定理2 3 3 9 】令m _ s 卅1 是单位球中的一个紧致定向极小超曲面，第二 基本形式为b 如果i i b i l 2 n + 丽1 当n = 3 时，如 果i i b l l 2 3 ，则i i b l l 2 6 之后还有很多关于陈省身的这个问题方面的文章如：【3 】，【4 】，【8 】，【1l 】，但是 直到现在这个问题还是没有完全解决 1 2 主要结果 本文主要是考虑乘积空间伊r 中的刚性定理： 定理a 令m _ s nxr 是s nxr 中的一个紧致定向极小超曲面，第二 基本形式为b 若育n + ll i t i l 2 1 ，则必存在m 的某一点z ，在z 点有i | b i i s 2 n ( 1 一n + - - 一盟ll l t l l 2 ) ，若在m 每一点都有f l b f f 2 2 n ( 1 一百n + l | | ? 1 2 ) ，则或者i f b f | 2 = 2 n ( 1 一”- - + - ! i i t i l 2 ) ，或者i i b i l 2 = 0 ，即m 是全测地的 定理b 令m m _ 驴xr ，( m 礼) ，是铲r 中的个紧致定向极小子 流形，第二基本形式为b ，若n + - - - t l l t i l 2 1 ，必存在m 的某一点z ，在z 点有 s l l 2 攀裂( 1 一n 咒+ l l l t i l 2 ) ， 若在m 的每一点都有i l s l l 2 错( 1 一i n + li i t i l 2 ) ，则或者 俐2 = 等剖( 1 一n n + _ 1 1 1 t | 1 2 ) ， 或者f i b i 2 = 0 即m 是全测地的 我们在本文第三节给出了s i m o n s 在【9 】9 中证明定理2 3 3 和定理2 3 4 的细 节，利用相似的方法来证明定理a 和定理b 我们通过s i m o n s 的证明可以看到， 定理2 3 3 和定理2 3 4 得到的方法是对 的估计，其中利用到了s n 的局部对称性和其他性质，而我们这里s n r 也是局部对称的，另外b d a n i e l 的 一篇文章【2 】中给出了铲r 中的子流形的g a u s s 和c o d a z z i 方程，这使得我们 给出s ”xr 中的曲面的 的估计成为可能 2 2 预备知识 2 1 子流形的基本性质 2预备知识 设m 是一个死维黎曼流形，它等距浸入到一个扎+ k ( k 0 ) 维的黎 曼流形丽中，v 和v 分别是m 和丽的l e v i c i v i t a 联络对m 的每一 点p ，蜀砑可以分解为耳m 和它的正交补空间p m 的直和，所以我们有 切丛竹订在m 上的限制的一个正交分解：t 砑l m = t mo n m 所以对 x ，y f ( t m ) ，瓦y ，也有这样的一个分解： g a u s s 公式： v x y = v x y + b ( x ，】厂) 其中v x y f ( t m ) ，b ( x ，y ) f ( n m ) ，b 是一个对称算子，称作m 在丽中的 第二基本形式同理对于x r c t m ) ，z ，p ( n m ) 也有这样的一个分解： w e i n g a r t e n 公式： v x u = 一a p x + v 支 其中屯x f ( t m ) ，v 支f ( n m ) ，算子a ，：t m _ t m ，称为形状算子v 上 是法丛m 的l e v i c i v i t a 联络称为法联络，并且形状算子和第二基本形式之间 有如下关系： = = 其中 是砑中的黎曼度量和m 中的诱导度量的统一记号 定义2 1 1 若b 兰0 ，则m 称作砑中的全测地子流形 定义2 1 2b 的迹称作平均曲率向量，记为日，即： 肚n l t r a c e ( b ) = 去窭球舻囊 其中( 色) 是m 上的局部幺正标架 定义2 1 3 若h 兰0 ，则m 称作丽中的极小子流形对于x ，z f ( t m ) 3 湖北大学硕士学位论文 ，定义m 上的曲率张量r 如下： r ( x ，y ) z = 一v x v y z + v y v x z + v x ，y z 丽中的曲率张量瓦类似定义则我们有 命题2 1 1 ( g a u s s 方程) - - - - + 一 其中x ，z ，w f ( t m ) 命题2 1 2 ( c o d a z z i 方程) ( v x b ) ( kz ) 一( v r b ) ( x ，z ) = 一( 瓦( x ，y ) z ) 上 其中x ，z ，f ( t m ) 命题2 1 3 ( r i c c i 方程) - - - - + ( 一 ) i = 1 本节命题不加证明，参见【1 2 2 2s nxr 中的子流形的基本性质 首先考虑铲xr 上的向量场x ，若点( m ，t ) 酽r ，则向量x ( m ，t ) 丑吐。) ( 驴xr ) 可以分解成x ( m ，t ) = ( x 圣。( m ) ，x 嚣( t ) ) ，其中，对每个t r ，x 是 伊上的向量场，对每个仇铲，x 嚣是r 上的向量场，即磺= ，爱，其中岳是r 上的单位向量场，是r 上光滑函数令页是铲r 的r i e m a n n 曲率张量m 是铲r 中的定向超曲面，对应的单位法向为 4 2 预备知识 命题2 2 1 对x ，z ，w r ( t m ) ，我们有 = 一 一 一 + + ； = 王，( 一 ) 其中，= ，t 是爱在t m 上的投影，即t = 袅一u n 证对于x ，k z ，w r ( t ( s n 酞) ) ，我们有分解 所以 x = ( x s - ，x r ) ，y = ( y s - ，) ，z = ( z s - ，z r ) ，w = ( w s n ，) = + = = 一 ( 2 2 1 ) 我们有海= x 一 爱，因此若x f ( t m ) ，我们有 同理有： 。= x 一 爰； 5 a 一纠 a 一纠 a 一况 t t 一 驷 叩 咿 一 一 一 卜 肛 肛 n n m 孙 峙 湖北大学硕士学位论文 把它们代入( 2 2 1 ) 式，得： = 一 “- k 勺 xr 砖 b 竹脚 = t y xr b 竹芦 湖北大学硕士学位论文 因此。 所以在z 点有 巩y l 霉= 瓦y i 零一v x y i 善= ( v x v ) 1 2 = b ( x ，y ) ， 可x p i z = 审x p l 茁一v x p l z = ( 弓k p ) l 二= 一a p ( x ) ， ( v 2 b ) ( x ，y ) = ( v 。v 。；b ) ( x ，y ) i - - - - 1 = 【v 。；( v 。b ) ( x ，y ) 一( v 。；b ) ( v 。x ，y ) 一( v q b ) ( x ，v 。；y ) l i = 1 = v 。 ( v x b ) ( e ，y ) + ( 面( x ，e i ) y ) 上】 = 1 = i v 如( ( v x b ) ( e t ，y ) ) + v 色( 再( x ，e i ) y ) 上】 i = l = ( 乳v x b ) ( e t ，y ) + v 岛( 瓦( x ，e o y ) 上】 i = 1 = ( v x v o i b ) ( e i ，y ) + ( r ( x ，e t ) b ) ( e i ，y ) + v 。；( 夏( x ，e o y ) 上】 i = 1 = v x ( v 。；b ) ( e t ，y ) + ( 冗( x ，e i ) b ) ( e i ，y ) + v 。；( 夏( x ，e o y ) 上】 t = 1 = v x ( v 。；b ) ( e i ，y ) + ( r ( x ，e i ) b ) ( e i ，y ) + v 。( 夏( x ，e ) y ) 上】 t = 1 = v x ( 页( 色) e t ) 上+ ( r ( x , e i ) b ) ( e ，y ) + v 。；( 瓦( x ，e t ) y ) 上】 = a + b + d ( 2 3 3 ) 分别计算( 2 3 3 ) 式的每一项 a = x ( 豆( e t ) e t ) 上】上 i = 1 = 【( v x 瓦) ( e i ) e + 页( b ( x ，y ) , e i ) e i + 爱( b ( x ，岛) ) 岛 = l + 再( e ) b ( x ，巳) 】上一b ( x ，( 再( e i ) e ) t ， 1 0 2预备知识 g = 阮( 页( x ，e t ) y ) 上】上 = 1 = 限；( 页( x ，e i ) y ) - 一v e 。( 面( x ，e i ) y ) t 】上 i = 1 = ( - e ；瓦) ( x ，e i ) y + 页( b ( x ，e i ) ，如) y + 页( x ，b ( e i , e i ) ) y i = 1 辐( x ，e t ) ( b ( e ，y ) ) 】上一b ( e i ，( 面( x ，e i ) y ) t ) = 【( e 。页) ( x ，e t ) y + - r ( b ( x ，e t ) ，e t ) y i = 1 + 赢( x ，e t ) ( b ( e ，y ) ) 】上一b ( e i ，( 再( x ，e o y ) t ) b = ( r ( x ，e ) b ) ( e ，y ) = 1 = r ( x , e i ) ( b ( e t ，y ) ) 一b ( r ( x ，e i ) e i ，y ) 一b ( e i , r ( x , e 3 r ) 由g a u s s 方程和c o d a z z i 方程知： 其中 因此 - - - - + ， - - - - + ， - - - - ， = b = 【冗( x ，e t ) ( b ( e i , y ) ) 】上一q 上( x ，e i ) b ( e i ，y ) 一b ( ( 面( x ，e ) e i ) t ，y ) i = 1 + b ( q t ( x ，巳) e i ，y ) 一b ( ( 瓦( x ，e t ) y ) t ，e i ) + b ( q t ( x ，e t ) e t ) ) 把以上三式代入( 2 3 3 ) 得 ( v 2 b ) ( x ，y ) = k ( x ，y ) + 旦( x ，y ) + 4 0 + 玩+ c o ( 2 3 4 ) 湖北大学硕士学位论文 其中 a o = 一q 上( x ，e i ) b ( e i ，y ) ， t = 1 b o = b ( q t ( x ，e i ) e i ，y ) ， i = 1 c o = b ( q t ( x ，e o y , e 1 ) i - - - - 1 现在来计算( 2 3 4 ) 式中的山，玩和g = 一 i = 1 = 一 i = 1 = 【 一 】 i = 1 = 【 i , j = l 一 】 = i d = l 一 】 n p = 【 i , j = la = l 一 】 n p = t = 1a = l 一 】 n p = 1 1 2 2 预备知识 = c t = l p = 乏二 = i - - - - 1 = i = l = i = 1 一 】 n p = 一 i = ln = 1 n p = 一 i - - - - - 1a = 1 p = 一 o = l p = 一 a = l = i = 1 = t = 1 = 【 一 】 i = l n p = i = 1a = 1 一 】 1 3 湖北大学硕士学位论文 n p = 【 i - - - - 1 ( ：x - - - - - 1 一 】 p n p = 一 t = l i = 1o t = l 因此 p = + 】 a = = l n p 一 i = 1 n = 1 p = 【 一 】 ( i = l p = 】一 a = l = 一 = ( 2 3 5 ) 把( 2 3 5 ) 式代入到( 2 3 4 ) 中，得到( 2 3 3 ) 式 如果外围空间砑是局部对称的，即丽三0 ，则五兰0 特别地，如果丽具有 常截面曲率c 时，除了r = 0 我们还可以证明星= n c b 事实上，由 我们有 r ( x ，y ) z = c ( y 一 x ) ， n 元( y , e d b ( x ，e ) = o ；( 豆e i ) e t ) t = c ( 1 一礼) y ； i - - - - 1 元( b ( x ，y ) ，e i ) e = - c n b ( x ，y ) ， i = 1 ( 詹( x ，e ) y ) t = c ( 岛一 x ) ； b ( e i ，( 豆( x ，e ) y ) t ) = - c b ( x ，y ) i = 1 1 4 2 预备知识 因此 由以上讨论，我们有： 盈( x ，y ) = n c b ( x ，y ) v 2 b ：一b 一豆+ n c b 定理2 3 2 【9 】设砑是一个具有常截面曲率c 的r i e m a n n 流形，m 是砑的 极小子流形，第二基本形式是b 那么 然后讨论超曲面的情况 v 2 b = 一旦一台+ n c b 如果m 的余维数为1 ，由定义可知旦= 0 ，进一步有， = = i , j ，k ，l = l = t j ，k ，l = l = i i b i l 4 在这种情况下，我们有 ( 2 3 6 ) = 一i i b l l 4 + n c l l b i l 2 ( 2 3 7 ) 定理2 3 3 令m _ 舻+ 1 是单位球中的一个紧致定向极小超曲面，第二基 本形式为b 如果i i b i l 2 n ，则b 三0 ，即m 是舻+ 1 中的全测地超曲面 1 5 湖北大学硕士学位论文 证对( 2 3 7 ) 式两端在m 上积分得到， 宰1 = ( 佗一i i b i l 2 ) i i b l l 2 , 1 。， 由s t o k e s 定理，左端 木1 = 一 宰1 。 如果l i b i l 2 不恒为0 ，那么右端为正，从而得到矛盾。 最后我们讨论余维数大于1 的情况 引理3 1 ( 2 一言) l l b l l 4 ( 2 3 8 ) 其中p 是余维数 证由b o b ：n m 一m 的对称性知道，存在一个局部法标架 n ，吻 使得，在考虑的点有b ob ( 蚝) = 镌 注意到： ppp 入三= = a = lq = 1v t = l p ，l = i i b i l 2 而 = = = i , j ，k ，1 = 1 p竹 = a ，卢= 1 囊k ，1 = 1 1 6 2 预备知识 我们还有： 注意到： 口，3 = 1i j ，k ，1 = 1 p n ，卢= 1 p a = l p 入鲁 p n = p ，i ff t r t - n f l - - - - 1i , j = l p a - - - - 1i j = l q ，p = 1 = = t r a c e ( a a a 即a 即) = p 【 a ，3 = 1 一 】 1 7 。p f l 渊p 湖北大学硕士学位论文 = a ，z = x 一 】 = n ，口= 1 一 】 = i i 【a 蚝，a 即川2 对对称矩阵c ，d ，我们来估计i i c ，d 】1 1 2 ： 因此我们有 并且 i i r d t l l 2 = = t r a c e t t d 2 t = = = t r a c e d 2 = i i d 旷 i i 【c ，d 】1 1 2 = i i c d d e l l 2 = ( 呶一吨) 2 兹2 ( 兹+ 霹) 兹 南t k # i = 2 曝+ 2 孝壤 缸t k # i 2 兹= 2 1 1 c i i 2 i l d i l 2 i a 1 2 h a 即l 2 = 2 a a 2 p 2 ， n pq p 1 8 ( 2 3 9 )4 口 入 p 耐 一 尸 2 a 入 p f l 2 = 2 p 一 2 q 一 醐 2+ 4 a a p l 日b+ b 一 2 预备知识 由s c h w m - z 不等式，我们得到： 因此，( 2 3 9 ) 式变为( 2 3 8 ) 式证毕 有了引理3 ，我们就可以得到： 定理2 3 4 【9 】令m n _ 伊+ p 是单位球中的一个紧致定向极小子流形，第二 基本形式为b ，如果 i b i | 2 勺 b 勺心 r 一 b r 一 勺 b 曲 e b 0 c 口 砖 b 勺0 b地 以 吩心 b 勺 b q pt 忙 b 勺 b 旬瓯 r b n 一 = 湖北大学硕士学位论文 定理a 的证明：由命题3 1 1 及引理4 知， = 一l i b i l 4 + 2 n ( 1 一n + n 1 1 1 t i l 2 ) i i b i l 2 对( 3 1 。1 ) 式两边在m 上积分，再由m 的紧性及s t o k e s 公式知， ：f i i b i l 2 i i b i l 2 - 2 n ( 1 一等i t 】jm i 厶 = - - f m 外jm 则当警i i t i l 2 1 时，2 n ( 1 一警t l t i l 2 ) 0 ，则易知定理a 成立 3 2 余维数大于等于1 的情况 ( 3 1 1 ) 设m ( m 礼) 维黎曼流形m 是伊r 中的极小子流形1 c a ， l n a + ：l l 为s n r 上的幺正标架，使得 e t 罂1 是m 的幺正标架，【， l n 。+ ：。l + l 是m 的幺正法标架，引 入下面几个记号： 儿 矿0 藏t = 矿0 a 妻。愧胯 m 极小，我们还是可以由第二节的讨论得到： v 2 b = 一百一垦+ 五十星， 同样由铲r 局部对称知蠢三0 ，所以，我们有： v 2 b ：一言一b + r 由第二节讨论我们还知道，余维数大于等于l 的情况下有： ( 2 一南) i i b i l 4 3s ”xr 中的刚性定理 所以要估计 ，与超曲面的情况类似，只需估计 ，在下面的引 理中我们可以看到它们的估计式也是一样的 引理5 设m ( m n ) 维黎曼流形m 是伊r 中的极小子流形则 2 n ( 1 一n + n1 1 1 t i l 2 ) i i b i l 2 证由旦的定义及对x ，y r ( t m ) ，叩r ( t 上m ) ，有： = 一 = 一 一 瓦，f 一 瓦0 = 一 故 的表达式和超曲面的情况下是一样的即 = c + d 其中c 和d 是引理4 中定义的我们来计算它们，首先有： b f l 2 = l i b ( e l ，e j ) 1 1 2 i , j = l 乞口 a 州一 qm 汹 = 勺 勖q a 勺 白q a 州一 a m 归 = 湖北大学硕上学位论文 故g 和d 式中所用到的s c h w a r t z 不等式便化为： m i , j ，k = l p t 知 i , j k = la = m + 1 p t 七 p t 知 ffp t 七 z z 一 一 五k = la = m + l p a q 勺”i l t 七九e 知 ( i i t a 口e , 1 1 2 ) c l = m + 1i = 1 n + 1 t nm ( i i t 1 1 2 ) ( i i & e d l 2 ) c l = m + 1i = 1 i = 1 = i i t i l 2 i i b i l 2 所以，c ，d 中的估计不变所以 2 n ( t 一+ ，1i t i l 2 ) i i b i l 2 证毕 最后我们来证明定理b 定理b 的证明：若m m 在s n r 中紧致极小，则由引理5 及前面的论述知 = ( 几一m + 1 故由s t o k e s 定理知 佗一m + 1 2 ) i i b j 4 + 2 n ( 1 7 n + 仉il i t i l 2 ) i i b i l 2 ， 一2 ) i i b i 4 + 2 n ( 1 一7 + 礼l l l t i l 2 ) i i b i l 2 】o ， 小m 。归m 叭嚣 口 。 从而定理b 成立。 2 7 湖北大学硕士学位论文 参考文献 【l 】s s c h e r n ，m d oc a r m o ，s k o b a y a s h i ，m i n i m a ls u b m a n i f o l d so fas p h e r ew i t hs e c o n df u n d a m e n t a lf o r mo fc o n s t a n tl e n g t h ，f u n c t i o n a la n a l y s i sa n dr e l a t e df i e l d s s p r i n g e r ( 19 7 0 ) ， 5 9 7 5 【2 】b d a n i e l ，i s o m e t r i ci m m e r s i o n si n t o 酽ra n dh “xra n da p p l i c a t i o n st om i n i m a ls u r f a c e s h t t p ：a r x i v o r g a b s m a t h 0 4 0 6 4