（基础数学专业论文）市场结构风险下双指数跳扩散模型期权定价与最优投资消费.pdf

摘要 自从fb 】k ，ms c h o l e s 和rm e r t o n 等三人在确定金融衍生产品价值的创 造性贡献以来，数学金融学的理论与应用研究得到了快速发展，取得了丰 硕成果随着金融实际研究的不断深入，特别是近年来重大金融突发事件 的发生以及金融变革中的诸多问题，人们发现经典b l a c k s c h o l e s 模型已不 能完全适应现代金融市场的变化1 9 7 6 年，m 叭o n 首次建立了标的资产 价格的跳扩散模型，且在非系统跳风险、跳跃大小分布为正态的假设条件 下研究了期权定价问题至此在m e r t o n 工作之后，许多学者进行了广泛研 究，取得了丰富的研究成果尽管b 1 a c l 【一s c h o l e s 与m e r t o n 模型已成功应用到 金融市场，但是近来经验研究表明：在刻划资产价格波动上，它们与实际 还存在大偏差主要表现为：( 1 ) 跳风险是不容忽视的，可能蕴涵了某种 重要的经济现象；( 2 ) 资产回报分布可能具有非对称、非高斯的尖峰厚尾 特征此外，金融市场中存在大量反映市场结构变化的不确定性因素这 些因素不仅影响资产波动，而且给投资者带来市场结构性风险因此，本 文综合考虑市场结构风险与跳扩散模型的两者优势，研究双指数跳扩散组 合模型的期权定价与最优投资消费问题研究结果表明了该组合模型有较 好的拟合性，能充分反映现实市场结构与资产的波动本文的主要研究工 作和所取得的结果为： 第一章介绍期权定价与最优投资消费问题研究的必要性和意义，从四 个方面展望了国内外研究现状及不连续市场模型的发展动态由此，提出 本文选题依据和主要研究内容 第二章引入股价为双指数跳扩散模型及相关知识在常利率和股价波 动率的条件下，利用鞅方法推导出欧式期权定价公式，并应用数值计算分 析了期权隐含波动率和定价偏差现象给出了4 种特殊奇异期权及一类非 线性支付的指数期权价格闭式解；进一步，在利率和股价波动率满足v a s c e k 或e i r 随机模型的条件下，第三章研究了两类组合模型的欧式期权定价 利用u r i e r 反变换和p de 方法得到了期权价格闭式解，推广了第二章结 果同样地，应用数值计算比较了b l a c k s c h o l e s 模型与这两类组合模型的期 权价格，考察了市场结构参数对期权的影响和隐含波动率最后，假定利 率、波动率都服从多因素c i r 随机模型，应用r i c a t t j 方程得到了多因素组 合模型的期权定价闭式解，推广并解决了d u 毋e ( 2 0 0 0 【1 1 2 1 ，4 3 ) 的定价问题 第四章讨论股价有连续红利支付的美式期权定价首先，给出了永久美 式期权、美式二值期权定价的闭式解和计算实例其次，假定股价波动率满 足c i r 随机模型，利用随机分析方法讨论了美式看跌期权函数性质，得到 了期权定价的分解定理( 即积分表达式) 最后，由分解定理、引理4 】5 ( p6 6 ) 及f 0 u r i e r 反变换法建立了期权定价和最佳实施边界的有效数值算法，给出 了波动率分别为常数或随机时的期权值及最佳实施边界图形该算法是利 用梯形、辛普森和n e w t o n - r a p l n 方法来处理最佳实施边界的积分方程， 具有处理长期限期权定价及多维情形的优点它克服了有限差分法在处理 多维模型的不足，为跳扩散模型的美式期权定价引入了一种新解法 第五章首先建立了公司总资产的市场组合模型，在信用结构方法内， 利用第三章的研究结论分析了该模型的公司风险债券的信用价差期限结 构其次，进一步假定利率服从多因素v a s i c e k 随机模型，研究了固定与浮 动两种不同收益率风险债券的信用价差，比较了这两种价差差额质量并给 出了其期限结构曲线由于我们不仅考虑了市场利率的作用，而且还引入 了资产波动率的不确定性等因素，所以该模型比m e r t o n 结构模型的结果 能更好的拟合实际最后，假定利率与价差相关，建立了一种即时价差简 化模型，考虑即时价差有跳风险的均值回复过程，并研究了风险债券的信 用价差和违约发生概率等内容 第六章考虑投资者分别投资于股票、债券和银行存款的多资产最优组 合投资问题假定股价的额外回报率，市场通货膨胀率及利率等状态变量 都服从v 翻c e k 随机模型，应用动态规划原理及随机分析方法得到了终期 财富期望效用最大化的值函数所对应的砌b 方程，从而给出了最优组合 投资策略的隐式表达式最后，当效用函数为c r l t a 类时，求解出最优组 合投资策略的近似解并分析了跳风险、投资偏爱和投资水平期等情况下的 股票投资策略变化规律 第七章考虑股价满足一般l v y 过程且市场存在固定加比例交易费用 时的脉冲最优投资与消费问题，推广了o k s e n d 出( 2 0 0 2 【9 5 ) 和k o h - ( 1 9 9 9 f 9 3 】) 在 b 1 a c ks c h 0 1 e s 模型及消费仅允许在离散交易时间点发生条件下的研究工作 当值函数满足一定正则性与光滑性条件时，应用拟变分不等方程( q v i ) 给 出了最优投资与消费策略的数学表达式( 即判定定理) 最后，借助粘性解 理论证明了值函数为一类带状态空间约束的q v i 一刖b 方程唯一粘性解这 些结果为数值计算和进一步研究作好了理论基础 第八章总结本文研究结论及提出一些有待研究的课题 最后，值得说明的是，本文所有计算结果( 除少数标记出处外) 及图表 都为作者编程( m 舢。e m 乱i c a 或m a l l a h ) 所得 关键词：双指数分布， 跳扩散模型，欧式美式期权，信用价差， 市场结构风险，最优投资与消费 i i a b s t r a c t s i n c efb l a c l ( ，msc i l o l e sa n dr m e r t o nm a d eam a j o rb r e a k t h r o u g hi nt h ep r i c i n g 。f 矗n a n c l 出d e n v a t i v e s ，r a p i dp r o 口e s sh a sb e e ng 甜n e di nt h et h e o 。ya n da p p l i c a t i o l lo fm a t h e m a t i c a l 矗n a n c ew i t ht h ed e e p n e s so fs t u d yi n6 n a n d a lp r a c t i c e ，c s p e c i a l l y l f r o mt h es e r i o u si m p a c tc o n c e m i gr e c e n tr a r en n a u c i a le v e n t sa n d m a n yq l l e s t i o n so f 矗n a nc i a lr e f o r m ，e t c t h eb l a c ks c h o l e sm o d e li sf o u dt ob en o t a p p r o p r i a l ef o rc h a n g e so ft h em o d e r nr n a c a lm a r k e ti n1 9 7 6 ，m e r l 0 ne s t a b l i s h e d n r s t l ya 1 u m p d i 开u s l o nm o d e lw h e r et h ej u m pr i s k sa r eu n s y s t e m a t i ca n dt h ej u m p i n a g n i t u d eo ft h el o go ft h ea s s e tp r i c ei s a s s u l n e dt ob ean o r m a ld i s t “b u t l o n ，a n d c o n s l d e ro p t i o np r i c i i 培o fe u r o p e a no p t i o n h e r e a f c e rm e r t o n sw o r k ，m a n yr e s e a r c h a c h l e v e m e n t sh a v eb e e ng a i n e dd e s p i t et h es u c c e s so ft h eb l a c k - s c h o l e sa n dm e 卜 t o nm o d e j ，r e c e n 七e m p i r i c a lw o r k si n d l c a t e 恤ei n a b i l i t yo fs u c ht w om 。d e l st oc a p t u r e 山et r u ef e a t u r e so fa s s e ta u c t u a t i n g ，a n ds u g g e s t ： ( 1 ) t h ej u m pr i s k sc a n o t b ei g n o r e d ，a n dm a yl m p l i c a l es o m ei m p o r t a n te c o n o m i c a li n t e r p r e t a t i o n ；( 2 ) l h ea s s e tr e t u r n sm a yr e p r e s e n tn o n g a u s s i a na n da s y m m e t r i cl e p t 。k u r t i cf e a t u r e s o n t h eo t h e r h a l l d ，t h e r ea r em a n yu u c e r t a i n a c t o r sd e s c r i b i n gm a r k e ts t r u c t u r ec h a i l g e s t h a tn o to n l yn u c t u a c et h ea s s e tp r l c e sb u la 】s ob r i n gt h em a r k e ts t r u c t u r er i s k st o i v e s t o rt h e r e f o r e ，i nt 1 1 i sd i s s e r t a t i o nw ci n v e s t i g a t eo p t i o np r ic l n ga n do p t i m a li n v e sc m e n l c o n s u m p t i o nl nac o m b i n e dm o d e lw h i c h1 n c o r p o r a t e st w oi n g r e d i e l l t 8 ：t h e m a r k e ts t l u c t u r er i s k sa n daj i l m p d 碾u s l o nm o d e lw h e r et h ej u m p8 l z eo ft h ea s s e t d n c ef o l l o w sd o u b l ee x d o r m n t i a ld i s 拈南u t i o na sar e 8 u l t ，心em o d e li sc a p a b l eo fn t t i n gt h ee m p i r i c a lf a c ta n dd e s c r i b i n gb o t ht h et r u em a r k e ta n da s s e t 日u c t u a t i o no u r l a i nc o t r i b u t i o n sa r ea sf o l l o w ： c h a p t e r1p r o v i d e sa ni n t r o d u c t i o nt ot h en e c e s s i t ya n ds i g n m c a n c eo fr e s e a r c l l 。no p c i o np r i c j n ga n do p t i m a l l n v e s t m e n t c o i l s u m p t i o ni nm a t h e m a t i c a l 疗n a n c en o m f o 吡a s p e c t s ，w es u r v e yt h ea c a d e i i l i cl i t e r a t u r ea n dt h e1 a t e s td e v e l o p m e n t 。fad i s c o n t i n u o u sm o d e lo ft h i sp r o b l e mf u r t h e r m o r e ，w ep r o v i d eo u rm o t i v a t i o n sa n dm a l n s t u d yt o p i c sm t h i sd i s s e r t a t i o n i n c h a p l e r2 ，w es t a r t b y i n t r o d u d n g a d o u b l ee x p o e n t i a l j u m p d i f r u s i o n m o d e l ( 曲r s h o r td e x p j ) f o rs t o d ( p r i c ea n dr e l a t e dp r e l l m i n ar i e sf i r s t ，t h ep r i c i n gf o r m u l a sf 。r e u r o p e a no p t l o na r et h e nd e r l v e db yu s m gm a r t l n g a l em e l h o do nm ec o n d i t i o nt h a t t 1 1 ev o l a t i l i l vo fs t o c kp r i c ea n di n t e r e 8 tr a t e sa r eb o t hc o n s t a n t ，a n dt h ec a s e so fi h 卜 i i i p l i e dv o l a “l i 妙a n dp r i c l n gc r r o ro no p c i o nv a l u a t o n sa r ea na l y z e dw l t hn u m c r i c a l c x a m p l e s 、v ea p p l ya l s ot h er e s u l t st op r i c cdt y p e so fs p e c l a le x o t i co p n o n sa n d a nn o n l i n e a rp a y o 往so p t i o ns e c o n d ，i nc h a p t e r3w ee x t e n dt h er e s u l t si nc h a p t e r 2t om o r eg e n e r a lo c c a s i o n si nt w o 虹n d 8m o d e lw h e r et l l ei n c e r e s tr a t e sf 0 u o wv a _ s i c e ko rc l rs o c h a s t i ca n dt h ev o l a t i l i t yo f s t o c kp r i c e se v o l v e sc i r o e ，a n dd e r i v e c l o s e df o r ms o l u t i o n sf o re u r o p e a ns c o c kca 1 1o p t i o n sb ya p p l y i n gf b u r i e ri r e r s i o n 旺a n s f 0 1 l m sa n dp a r t i a ld i 骶r c n t i a le q u a t l o nm 舶d si nt h es 黜ew a y ，w ed e v o t et o n u m e r i c a la l l 越y s i so fl h eo p t i o n ”i c e sa n di m p l i e dv o l a t i l i t y ，a n dt oc o m p a r i s o n sw i t h r e s u l t s 矗o mt h eb l a c l ( 一s c h o l c sm o d c lf i n a u y ，w ec o n s i d e ram u l t i f a c t o rc i rn l a r k e t s 缸u c t l j i em o d e la n du s e 尉c a t t ie q u a t i o nt od e v ead o s e df o r m u l a 。f 。p t j o n ，w h j c h s o l v e sa n de x l e n d st h e ”o b l e ma d v a c e db yd u m e ( 2 0 0 0 1 1 2 】，43 ) i nc h a p t e r4 ，w ei n v e s t i g a t ei nd e x p jm o d e la na m e l i c a no p t l o nw h i c ht h es t o c k p a y sc o n t j r l u o u s l yac o n s t a n t d w i d e n dn r s t ，t h ec l 。s e df o r ms o l u t i o n sf o rp e r p e t u a l a m e j j c a ”o p t l o na n da m c c a nb n l a r yo p t j o na r ed e 王i v e da n ds o m e 门u 1 er i e a 】e x a m p l e sa r e9 1 v e ns e c o n d ，w ee x t e n dt h l sm o d e lt o 恤ev o l a t l l i t yo ft i l es t o c kp r i c e sb e l n g c l rs c o c h a s t l c ，a n da 托e ra na a l y s 工so ft h ep r o p e r t i e so f 山ea m e r i c a np u to p “o n p r i c ef u n c t i o n ，w eo b t a i ni t sd e c o n l p o s l t l o nt h e o r e mf i n a l l y ，w eg a i ni m e g r a lr e p r e s e l l t a t o n so fa na m e r i c a np u tp r i c ea n dt h eo p t i m a le x e r c i s eb o u n d a r yw h l c ha r e b a s e do nt h ed e c o i l l p o s i t i o n 曲e o r e m ，ak e y1 e m m a ( l e m m a41 5 ，p a g e6 6 ) a n df b u 上1 e r i n v e r s i o nt r a n s f o r m st h et w or e p r e s e r l t a t i o n sc a nb ea p p l l e d 协d e v e l o pn u m e r i c a l s c h e n l e sf o ra m e r i c a np u to p t i o na n dn g u r e so fi t se x e r c i s e b o u n d a 。yu n d e rb o t h s t o c h a s t l ca d o rc o n s t a n tv o l a t i l i t yt h ea d v a l l t a g eo ft 1 1 i ss c h e r n e8 h o w 8i nt h a li t i sb u i l to nt h ec i a s s i c a jt 1 1 a p e z 。i d a i ，s i m p s o i la i l dn e w c o n r a p h s o l lt e c h n i q u e sa n d i sa ne a s i e r 印p i o a c l lf o 上p n c i n gal o n g t e r n lo p t i o no rp r i c l n go p t i o ni nam u l t 卜 d i i u e n s l o nr n o d e lt h es c h e m ed e v e l o p san e ws o l u t i o ni 1 1aj u m p d i 行u s i o nm o d e la n d a v o i d ss o m e 。fc h es h o l t c o n l i l l g so ft h e 矗n i t ed 1 珏b r e n c ea p p r o a c ht op r ic l n ga m e r i c a n o d t l o ni nam u l t 卜d i l c n 8 i o nm o d e l c h a p t e r5 ，d i r e c c l yd e r i v e df r o mc h a p t e r3 ，e s t a b l i s h e sac o m b i e dc r e d i ls t r u c l u r a ln l o d e l ，a n dd l s c u s s e st e r m s t r u c t u r e so ft h ec r e d i t8 p r e a d 8o fc o r p o r a t i o nd e f a u l t a b l eb o n d a n dt h c nw ef u r t h e ro u rs t u d vo nt h ea s s u m d t i o n st h a ti n t e r e s tr a t e s f o l l o wam u l c i f a c t o rv a s i c e ks t o c h a s t i c ，n om a t t e rw h e t i l e rt h ed e f a 【l l tp r e m i u mi s d e 丘n e db yb o t h 矗x e dr a t e so rb y 丑o a t i n gr a t e sr i s k yd e b t 8m o r e o v e r ，w ea na l y z et h e q u a l i t ys p r e a dd i f f e r e n t j a l so fd e m a n d sf o rt h ea b o v e m e n t i o n e dt w ot y p e so fd e b t s b e c a u 8 eo fc o n s i d e r i n gt h ee 任e c t so ft h eu n c e r t a j nf a c t o r sb o t hi n t e r e s lr a t e sa n d v o l a t m t m t h ef a c ti nl h ec o m b i n e dc l e d i ts t r u c t u r a lm d d e li sm o r ea p p r o p “a t ef o r t h a ti nm e r t o n sf i n a l l y ，w es e tu pai n s t a n t a n e o u ss p r e a dr a t e sr e d u c e f o r mm o d e l w l t hj u m pr l s k s ，a n ds t u d y 恤ec r e d i ts p r e a da n dp r o b a b i l i t yo fd e f a u l tt i m ew h e n i n t e r e s tr a t e sa n ds p r e a d sa r er e l a t e dt oe a c ho t h e r i nt h e6 t l _ lc h a p t e r ，w ec o n s i d e ra no p t i m a lp o r t f o l i oc h o i c ep r o b l e mf o ra i n v e 8 t o rw h oc a ni n v e s th i sw e a l t hi ns t o c k ，b o n da n dc a s ha c c o u tj nd e x d j1 n o d e l w h c r et h cs h o r tn o m i n a ll t e r e s tr a t e sa sw e l la st h ei 【l h a t i o nu n c e r t a i n t va n dt h e e x c e s sr e t u r no fs t o d ( a r ea s s u n l e dt of o l 】o wc o r r e l a t e dv a 5 i c e km e a n r e v e r t i n gp r o c e s s e sg u i d e db yd v n a l 工c p r o g r a m r 血n gp “n c i p l ea n ds t o c h a s t i ca n a l y s i s ，w eg d i n ah a m i l t o n j a c ob i b e l l m a ne q u a t i o nw h i c hc o r r e s p o n d st ot h ev 出u ef u n c t j o nw i t h m a x h n u mu t 血t yo v e rt e r m i n a lw e a l t h ，a n d 让eo p t i m a lp o n f o l i os t r a t e 舀e sl ni m p l l c j t o r mf i n a l 】y ，j nt h ec a s eo fc r r au t i l i t yf u n c t l o n ，w ed e t e r r n j n ea p p r o ( i m a t e d e x p l i c l ts o l u t i o n sf o rt h ep o r t f o i i oc h o i c e ，a n di l l u 8 t r a t et h eb e h a v i o r so f i n v e s l m e n t s l r a t e g yc os t o c kb ye x a m i n i n gt h ei m p a c t so fj u m p s ，r i s k a v e r s i o np a r a m e t e r sa n d d l f r e r e n ti n v e s t m e n tt i m e1 1 0 r i z o n s 一 c h a p t e r7i n v e 8 t i g a t e sa nl m p u l s eo p t l m a 】i n v e s t m e n ta n dc o n s u m p t i o np r o b l e m w h e r et h er i s k ya s s e ti sg o v e r n e db yag c n e r a ll d v ym o d e la n dt h e r ee 妇s t sat r a n s a c t i o nc o s t 恤乱c o n s i s t so fas u mo ran x e dc o s lp l u sac o s tp r o p o r c i o n a lt ot h es i z e o ft h et r a n s a c t i o ni nt h e 矗n a n 西a 1m a r k e t ，t h em o d e lm a yb er e g a r d e da sa ne x t e n s l o no fo k s e n d 出( 2 0 0 2 9 5 】) a n dk o r n ( 1 9 9 9 9 3 ) w o r k e di nt h es e t t i n go fb l a ( | k s c h o l e s m o de 】a n dc o n s u m p t l o nb ea l l o w e do n l ya tl h ed i s c r e t et l m e so ft r a n s a c t i o n st h e o p l l m a l i n v e 8 佃1 e 呲a n dc o n s u m p t i o ns t r a t e g i e sa r el nt h ev e r i n c a t i o nt h e o r e m ) w h i c h i so b ta i n e db yl l s m gq u a s i v a l i a t i o n a l i n e q u a l l t i e se q u a t i o nw h e nt h ev a j u ef u n c t i o n s a t i s n e s8 0 m er e e u l 村c o n d i l l o n s f i n a u y ，i nv i e wo ft h ev i s c o s i t ys o l u t i o nt h e o r y h e v a l u ef u n c t i o ni sc h a r a c t e r i z e da st h eu n i q u ev i s c o s i t ys o l u t i o no fi t sa s s o c i a t e dq v i h j be q u a t i o ns u b j e c tt os t a t es p a c ec o n s t r 缸n t st h er e s u l t sh a v eb e e nb a s i so fa n u m e r i c a li m p l e m e n t a t i o na n df u r t h e rs t u d yi nt h e o r y i nc h a p t e r8 ，w es u m m 甜i z et h em a i nc o n c l u 8 i o n so ft 1 1 es t u d ya n ds u g g e s ts o m e u n r e s o l v e di s s u e sf o rf h r t h e rw o r k 1 nt h ee 丑d ，i ti sw o r t hn o t i n gt h a ta l ln u m e r i c a lr e s u l t si n c l ud i n gc h a r t sa r eg a i n e d v w i t ht h eh e l po fm a t h e m 眦i c ao rm a t 】a bc o d e sp r o f a m m e db yt h ea u t h o re x c 印tf o r f e w n e s sle m a r k e du 1t h i sd i s s e r t a t i o n k e y w o r d s ：d 。u b ke x p o n e n t i a ld l s t r l b u t l 。n ，j u m pd i 仟u s j o nm o d e l ，e u r o p e a 【l a m e i l c a n o p t l o n ， c r e d i ts p r e a d ， m a r k e ts t r u c t u r er l s k s ， o p t i i n a li n v e s 恤l e n t c o n s u m p t l o n 邓国和：市场结构风险下双指数跳扩散模型期权定价与最优投资消费 1 第一章绪论 金融衍生产品定价与最优投资消费问题，是现代金融学理论研究领域 中的核心内容，也是金融学理论应用于实际的主要理论基石，更是近三十 多年来应用数学在经济、金融等投资领域内前沿热点研究课题无论是理 论上的探讨还是实际应用上的分析，它都具有重要的学术价值和社会经济 意义本章论述它的研究意义和必要性，介绍期权定价与资产组合投资问 题的国内外研究现状，由此提出本论文主要研究内容 1 1 研究意义与必要性 在过去的半个世纪里，金融学的定量研究已经越来越引起人们的足够 重视和广泛兴趣尤其是2 0 世纪9 0 年代的全球性金融危机和近年来国际 金融界发生的许多重大金融事件，让人们清楚看到：人们对金融变革过程 中存在的诸多问题产生了极大的关注，不论金融界还是学术界都加强了 金融理论研究和应用但同时人们也越来越深刻地体会到，没有定量研究 的思想方法，要驾驭“金融市场”简直是天方夜谭然而定量研究的思想 方法要直接依赖于数学现在，数学化的思想和方法，已经深入广泛地应 用到金融领域的研究过程中随着现代信息技术的快速发展、成熟和广泛 应用，以及全球经济紧密联系、互动性强、一体化程度越来越高，各种新 型衍生金融产品的出现和迅猛发展是近十多年来国际金融中最重要的事 件据美国幸福杂志在2 0 0 0 年报道，目前国际金融市场上已知金融衍 生工具已近2 0 0 0 余种一些银行、证券公司还在不断地推出新的“组合” 衍生金融工具金融创新的浪潮席卷全球，波及金融业务的各个领域，强 劲地推进着金融市场一体化和金融业务国际化的进程各种不同类型衍生 工具的场内外交易数量、规模、效益、金额都非常大作为当今“虚拟” 经济时代的产品衍生金融工具已经成为国际金融贸易中最大的交易 对象，每天的交易额已高达2 5 万亿美元，并每年以平均1 4 左右的速度 增长t 据统计，2 0 0 0 年年底全球虚拟经济的总量已达1 6 0 万亿美元，而当 年全球国民生产总值的总和只有约3 0 万亿美元，即虚拟经济的规模已达 实体经济的5 倍其中，股票市值和债券余额约为6 5 万亿美元，而金融 衍生工具柜台交易额为近9 5 万亿美元，几乎占了总份额的3 5 正因为如 1n o m b u i l d i n gt h eg l o b a lm a r k e t ：a4 0 0 0y e a rh i s t o r yo fd e r i v a t i v 豁b ye j s w a n 湖南师范大学博士学位论文 此，开展金融衍生产品的定价与最优投资消费问题的研究，才有举足轻重 的理论价值和社会实践意义 我国金融市场起步较晚，尚处在新生发展阶段，市场条件未完全成熟 对现代金融学理论和方法的研究相对落后，特别是金融实际问题的理论和 应用研究更是如此随着我国改革开放进一步加快和国民经济持续高速增 长，居民收入有了显著增加，个人收入与消费支出呈现多元化结构我国 经济金融环境发生了深刻变化，市场经济结构不断发育成长并逐步与国际 接轨、参与国际市场竞争各种金融衍生品的出现和新型市场的引入，已 是势不可挡特别是，随着股权分置改革、利率的市场化和汇率制度改革 的推进，将推动我国金融市场研究的不断发展和完善因此，建立符合实 际发展规律的金融市场模型，并研究各种金融衍生品的定价与最优投资消 费问题，不仅可以有效地规避资金运作的风险，吸引投资者，而且有利于 促进金融市场繁荣和提高管理决策能力 51 2 国内外研究现状 金融市场中有许多数学问题，期权定价( o p t i o np r i c i n g ) 与最优投资消 费( o p t i m a li n v e s t m e n t - c o n s 眦p t j o n ) 问题是直接影响投资者利益的两个主要内 容期权作为金融衍生工具的重要一员，是投资者进行资本套期保值的“超 级武器”，其定价研究是最广泛的最优投资消费问题是研究如何恰当地 选择各种交易资产，使投资者获取最大化利益因此，它们是金融市场研 究的核心，为了探讨它们，让我们先简单回顾数学金融学的发展史 金融学是从经济学分离出来的一门独立学科，早期金融学大多数是定 性描述金融现象和规律将数学理论和方法应用于金融，最早可追溯到1 9 0 0 年法国数学家l b a e h e l i e r 发表的博士论文“投机理论( t h e o r yo fs p e c u l a t i o n ) ”， 论文阐述了资本市场股票价格波动服从布朗运动这一理论宣告了一门新 的学科一数学金融学( 又称数理金融学、金融数学) 的诞生，它为现代期 权定价理论的建立奠定了基础经过5 0 多年后，1 9 5 2 年h m a r k o w i t z 发表 了“组合投资选择理论( t h e o r yo fp o r t f o l i os e l e c t i o n ) ”的论文，第一次从数量 经济学的角度，揭示了金融市场中，如何利用投资组合创造更多的可供选 择品种，来获取最大可能的预期收益率，以及如何通过分散投资来降低风 险这就是著名的证券组合投资理论，又称为均值一方差( m e a n - v a r i a b l e ) 模 邓国和：市场结构风险下双指数跳扩散模型期权定价与最优投资消费 3 型这一理论开创了现代金融投资分析理论研究的先河，标志了现代金融 学的开始在他之后，1 9 6 4 年、1 9 6 5 年和1 9 6 6 年，w s h a r p e ，j l i n t n e r ，j m o s s i n 三人分别独立地提出了著名的资产资本定价模型( c 印i t a la s s e tp r i c i n gm o d e l ， 又称c a p m ) ，这是第一个在不确定性的条件下研究资本资产定价的数学模 型，它为金融市场收益结构分析提供了理论依据1 9 5 8 年f m o d i g l i a n i 和 m h m i l l e r 在研究公司资产结构与企业价值时，共同提出了“公司价值与财 务政策无关”的论断( 即m m 无关性定理) 这一理论展现了无套利均衡思 想，从而成为数学金融学研究的重要分析手段，以及当今金融工程面向产 品设计、开发和实施的基本分析技术因此，1 9 9 0 年的诺贝尔经济学奖授 予m a r k o w i t z ，s h a r p 和m i l l e r 等三人这些研究成果为数学金融学的理论和方 法上的建立产生深刻影响 长期以来，金融学界对证券是否有一种内在定价机制一直争论不一， 期权定价问题长期困扰着人们1 9 7 3 年f b l a c k 和m s c h o l e s ( 1 】) 共同发表了 一篇关于期权定价的开创性论文，创造性地归纳出一条广泛应用于金融市 场期权定价显示表达式，即被人们称誉的著名b l a c k s c h 0 1 e s 公式它为金 融领域的经济评估奠定了定量分析的基础，并被理论界和金融实业界广泛 接受和使用同年，r c m e r t o n ( 【2 1 ) 将b l a c k sc | l o l e s 定价公式推广：股票可 以连续支付红利，无风险利率和标的资产价格的变异度不为常数m e r t o n 完善了衍生证券产品的定价，因此b l a c k s c h o l e s ，m e r t o n 获得了1 9 9 7 年的诺贝 尔经济学奖至此，由m a r k o 、v i t z s h a r p m i u e r 和b l a c k s 出l o l e s m e r t o n 等理论构 成了数学金融学的主要内容值得注意的是，这些理论都是建立在非常理 想的金融市场模型然而，现实市场不是理想模型，存在许多影响市场变 化的不确定性因素，这些因素对定价和投资组合等都会产生不同程度的影 响因此，在他们研究基础上，许多学者从不同角度来研究数学金融学的 理