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欧拉型无界时滞微分方程的扳动性研究 摘要 本硕士论文主要研究欧拉型无界时滞微分方程、中立型微分方程解 的振动性，建立了它们的解振动的若干准则全文共分四章 第一章简述了本文所研究的几个问题产生的背景以及我们所做的 主要工作。 在第二章中，我们研究了下列具有正负系数的欧拉型无界时滞微分 方程 一( t ) - 4 - a z ( m t ) 一哦。( 展t ) = 0 ，t t o 0 ， ( o 1 ) 。忙1i = 1 这里鼽 0 ，哦0 ，a ，屈( 0 ，1 ) ，江1 ，2 ，佗利用分析技巧，建立了其所 有解振动的一些充分条件，所得结果改进了已有文献的相关结论 第三章讨论了欧拉型无界时滞中立型微分方程 盖( z ) 一a t ( a t ) ) + i j 蚤- - p z ( 反) = 0 ，t o o ， ( o 2 ) 解的振动性问题，这里0 c o ，o t ，展( 0 ，1 ) ，i = 1 ，2 ，n 对于 乱= 1 的情况，依据其相应的”特征方程”，得到了所有解振动的一充分 必要条件，并由此出发，建立了一些充分条件；而对于n 1 的情形， 利用不等式技巧，建立了其解振动的一充分条件我们的结果改进相 应文献中的结论。 在第四章中，我们研究了以下具有正负系数的中立型微分方程 磊d 叫枷( 俐+ 华。( a t ) 一半啦) _ 0 ，t t o o ， ( o 3 ) 解的振动性问题，这里p , q ，r g ( t o ，o o ) ，舻) ，n ，7 ( 0 ，1 ) p ( o ，1 】利 用新的分析技巧，建立了包括”h i l l e 型振动准则在内的若干振动准则 关键词：振动性；时滞微分方程；中立型方程；无界时滞； 欧拉型 高校教师在职硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i st h e s i so fm a s t e r ，w ei n v e s t i g a t e8 0 m ed e l a ya n dn e u t r a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n so fe u l e rt y p ew i t hu n b o u n d e dd e l a y s s o m eo s c i l l a t i o nc i r i t e r i aa r e e s t a b l i s h e d i tc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s a st h ei n t r o d u c t i o n s ，i nc h a p t e r1 ，w eb r 谢且ya d d r e s st h em a i nw o r ko ft h i s p a p e ra n dt h eb a c k g r o u n d i nt h ec h a p t e r2 ，w ei n v e s t i g a t e st h ef o l l o w i n gd e i a yd i f f e r e n t a i le q u a t i o ni n e u l e rt y p ew i t hp o s i t i v ea n dn e g a t i v ec o e f l i e c i e n t s 1n 1n 一( t ) + 鼽( m t ) 一岱z ( 岛t ) = o f t o 0 ， ( o 1 ) 。= 1。i x l w h e r e 鼽 ，叮l 0 ，o t i ，屈( 0 ，1 ) ，i = 1 ，2 ，t 1 s o m es u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r t h e o s c i l l a t i o no fa l is o l u t i o n so fe q ( o 1 ) a r eo b t a i n e db yu s eo fa n a l y t i ct e c h n i q u e o u rr e s u l t si m p r o v et h er e l a v e n to n e si nt h el i t e r a t u r e c h a p t e rt h r e ed e a l sw i t ht h ef i r s to r d e rn e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o no fe u l e r t y p ew i t hu n b o u n d e dd e l a y s 磊d 扛( t ) 一凹( 耐) ) + ；耋啦。( 展t ) = 。，t t 0 。， ( 。2 ) w h e r e0 e 0 ，口，风( 0 ，1 ) ，i = l 2 n f o r 仃= 1 ，w ei n t r o d u c e i t sc h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o na n de s t a b l i s ht h en s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r t h eo s c i l l a t i o no fa l ls u l o t i o n so fe q ( o 2 ) ，m o r e o v e r ，a ne x p l i c i to s c i l l a t i o nr e s u l t i sp r e s e n t e d ，a n df o rn 1 s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eo s c i l l a t i o no fa l l s o l u t i o n sa r es e t a b l i s h e d t h er e l a v e n tr e s u l t si nt h ep u b l i c a t i o na r ei m p r o v e d i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w ei n v e s t i g a t et h ef o l l o w i n gn e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a - t i o nw i t hp o s i t i v ea n dn e g a t i v ec o e f f i c i e n t s 差叫啦+ 华删一半职) = 0 t t o o ， ( 0 3 ) w h e r ep q ，r e ( ，o o ) ，f 矿) ，q ，1 ( o ，1 ) ，j 9 ( 0 ，1 1 s o m eo s c i u a t i o nc r i t e - r i a ，i n c l u d i n g h i n e ”t y p eo s c i l l a t i o nc r i t e r i o n ，a r eo b t a i n e db ym e a n so f8n e w t e c h n i q u e i i 欧拉型无界时滞微分方程的振动性研究 k e yw o r d s ：o s c i l l a t i o n ；d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；n e u t r a le q u a t i o n ；u n - b o u n d e dd e l a y ；e u l e rt y p e i i i 高校教师在职硕士学位论文 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全 意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 笺鲋 l 细8 年| 塌| 8 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位沦文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在一一一年解密后适用本授权书 2 、不保密口 作者签名 导师签名 相应方框内打“) f t 期：加年，f j ，孑日 日期：知z 年，上月谚日 欧拉型无界时滞微分方程的振动性研究 第一章绪论 微分方程是现代数学的一个重要分支，它广泛应用于几何学、力 学、天文学、物理学等众多的科学技术领域早在十八世纪中期，e u l e r 提出了一个古典的几何学问题，由此导出了已知的、历史上的第一个泛 函微分方程1 4 随着科学技术的飞速发展，人们发现在动力学系统中 时滞通常是不可避免的，如电路信号系统、生态系统，化工循环系统， 遗传问题，流行病学、动物与植物的循环系统、商业销售问题、财富分 布理论、资本主义经济周期性危机、运输调度问题、工业生产管理、自 动控制等领域中都普遍存在着时滞现象，且很多的问题均可用时滞微 分方程为数学模型来加以描述，这使得对时滞微分方程的研究更具有 实用价值上世纪七十年代以来，有关这类课题的研究成果开始逐步 获得并取得迅速发展相继有数本专著同世，如文献f 1 - 6 等 众所周知，关于二阶欧拉( e u l e r ) 常微分方程 矿( t ) + 芸z ( t ) = 0 ，t t o 0 ， ( 1 1 ) 有下列著名的结果：如果p ，则方程( l 1 ) 的所有非平凡解振动；如 果p ，则方程的每个非平凡解都是非振动的 对于一阶欧拉型常微分方程， 一( t ) + 车z ( t ) = 0 ，t t o 0 ，( 1 2 ) 这里p 0 为常数，我们容易求得其通解为：x ( t ) = 叫伊，其中c 为任 意常数此表明方程( 1 2 ) 所有非平凡解都是非振动的若考虑有限时 滞的情况，也就是考虑下列微分方程t 一( t ) + 兰。0 一下) = 0 ，t t o 0 ，( 1 3 ) 这里p o ，r o ，容易验证当t 充分大时，有 t d s t计 1 p 上。了2 p m 爵 o ，以 0 ，i = 1 ，2 ，n ，被许多数学工作者所研究，取得了丰富 的研究成果，如文献【2 - 5 ，7 ，1 l ，1 2 ，3 7 ，3 8 4 ，其中最有代表性的成果是通 过建立方程( 1 5 ) 的特征方程 a + ! 翟l 鼽e 一觇= 0 ，( 1 6 ) 得到了方程( 1 5 ) 解的振动性与特征方程( 1 6 ) 有无实根之间的内在联 系 2 欧拉型无界时滞微分方程的振动性研究 作为方程( 1 5 ) 较为一般推广形式的变系数时滞微分方程 o ) + p d t ) = ( t 一 r i ) = 0 ， ( 1 7 ) 士= l 也被人们所研究，取得了相当丰富的结果1 2 , 3 ，5 1 2 , 舡删，这里a ( t ) o ，矗 0 ，i = 1 ，2 ，以根据现有的文献，我们认为变系数时滞微分方程方 程( 1 7 ) 与常系数时滞方程( 1 5 ) 最大的区别在于r 我们无法通过找到其 相应的特征方程并由此出发来讨论解的振动性，而只能够利用不同的 技巧来建立此类方程解的振动准则特别地，在方程( 1 7 ) 中，如果取 p 4 c t ) = p d t ，我们便得到下列方程 1 7 1 , 一( t ) + p i x ( t t ) = 0 ( 1 8 ) 。1 = 1 注意到，方程( 1 8 ) 所讨论的系数具有l i t 的e u l e r 形式，因此，我们可 以称之为欧拉( e t t l e r ) 型时滞微分方程。很自然地，对于方程( 1 8 ) ，我们 也无法通过建立其特征方程来研究它的解的振动性质 最近，安冉【13 】研究了下列欧拉( e l d e r ) 型无界时滞微分方程 1n ，( 舌) + a z ( 啦= o ，t t o 0 ， ( 1 9 ) 。d = l 这里p i o ，0 o ，毋0 ，0 0 4 ，岛 0 ( 1 1 3 ) = l 近年来，已有一些文献( 如【1 8 - 2 0 】) 研究下列具有变系数和变时滞的 中立型微分方程 or n 1 m 象一萎a ( 蝴一删j + 薹劬( 啦( t - 删) ) - 0 。孙( 1 1 4 ) 这里a ( t ) ，q a t ) ，力( t ) ，乃( t ) g ( t o ，+ ) ，舻) ，且u m “( 亡一兀( t ) ) = ( 3 0 ， h m “。0 一乃( t ) ) = 3 0 ，诘1 ，m j = 1 ，m 作者利用分析技巧和比较原 理，建立了此类方程所有解振动的若干充分条件。 在本文第三章中，我们研究下列中立型微分方程 羔 ( t ) 一c ( n t ) ) + a ( 臃t ) = 0 ，如 0 ， ( 1 1 5 ) 一” 。= l 这里0 c 1 ，0 1 的情形，我们则利用不等式技巧，建 立了其所有解振动的一充分条件我们的结果在一定程度上改进了文 献( 1 8 】和f 19 】中的结论 三、一类具有正负系数的中立型微分方程解的振动准则 申建华和唐先华等【2 5 ，2 9 ，3 6 ，3 9 】研究了具正负系数的常时滞中立 型微分方程 ：三陋( t ) 一r ( t ) z ( t r ) 】+ p ( t ) z o 一7 - ) 一q ( t ) z ( t 一盯) = 0 ， ( 1 1 6 ) 这里p , q ，r e g ( t o ，o o ) ，舻) ，r ( o ，o o ) ，l 盯i o ，c o ) 利用新的技巧建立了 该方程的所有解振动的一些新的充分条件据我们所知，对于具有正负 变系数变时滞中立型微分方程的振动性研究，尚无相关的文献报道 本文第四章，我们综合运用文( 2 5 和【3 6 】中的技巧，研究以下具正负系 数和无界时滞的中立型微分方程 爰阶m 删+ 华酗) 一华啦) = 0 , t 如 o ，o a r ) 这里 p q ，r c ( t o ，o o ) ，r + ) ，a ，7 ( 0 ，1 ) ，卢( 0 ，1 1 建立该方程每个解振动的若干判别准则 5 高校教师在职硕士学位论文 第二章一阶具有正负系数欧拉型无界时滞微分方程解的振 动性 2 1 引言 一阶常系数常时滞微分方程 n 一( t ) + p l x ( t 一, r i ) = 0 ， ( 2 1 1 ) i = 1 这里研 0 ，7 0 为常数，被许多数学工作者所研究，取得了非常丰富 的研究成果，如文献陋5 ，7 ，1 1 ，1 2 ，3 7 ，3 8 。特别地，1 9 8 3 年，l a d a s 和 s t a v r o u l a k i s ( 7 j 建立了下列著名的振动准则。 定理a 方程( 2 1 1 ) 所有解振动当且仅当对于所有的a 0 恒有 a + 距l p i e h 0 ( 2 1 2 ) 此定理也可以叙述为： 定理b 【2 - 5 方程( 2 1 1 ) 所有解振动的充分必要条件是它的特征 方程 a + 距l p i e 一挑= 0( 2 , 1 3 ) 无实根。 对于具有正负系数的时滞微分方程，也为不少数学工作者所研究 o a r i n o 等【8 1 研究了如下具有正负系数的微分方程 一( ) + p x ( t f ) 一q z ( t 一仃) = 0 ，( 2 1 4 ) 这里p ，q ，r ，口为正实数c h u a n x i 和l a d a s ( 9 】研究了方程( 2 1 4 ) 的更为 一般形式，即具有正负变系数的微分方程 一( t ) + p ( t ) z o r ) 一q ( t ) z 0 一盯) = 0 ， ( 2 1 5 ) 6 欧拉型无界时滞微分方程的振动性研究 其中p ( o ，g ( 0 0 ，l 盯( 0 ，+ o o ) e l a b b y 【1 0 等利用b l i 【1 1 】中的技 巧进一步地研究了多个变系数的时滞微分方程， 一( t ) + e a ( t ) z o 一几) 一q a t ) x ( t 一乃) = 0 ， ( 2 1 6 ) t = 1 = l 这里鼽( t ) o ，c t ) 20 以及几，为正数，i = 1 ，n ，j = 1 ，m 建立了 其所有解振动的判别准则 最近，文献【1 3 1 讨论了下列形式的时滞微分方程； 一0 ) + ；p i x ( a g t ) = 0 ，t t o o ， ( 2 1 7 ) 这里p i 0 ，0 0 ( 2 1 8 ) 应用定理c ，作者同时还给出了判断方程( 1 1 7 ) 的所有解振动的一些显 式充分条件 受文 8 - 1 0 】等的启发，在这一章，我们讨论下列具有正负系数的e u l e r 型无界时滞微分方程 ( 功+ ；( 以) 一i q z ( 廖) = o ，t _ t o 0 ， ( 2 1 9 ) 这里p q 0 ，0 n ，卢 0 ， ( 2 l 1 0 ) 。 = l 。i = l 其中0 0 ，0 口 0 ，( 2 2 1 ) 的最终正解，那么最终有 z ( 耐) s 面三而。( 。) ( 2 删 引理2 2 2 假设n 0 ，0 o 0 并且函数z ( t ) g ( h 如，o o ) ，r ) 满足不等式 z ( t ) n + 。2 娶t z ( s ) ，t t o ， ( 2 2 3 ) 那么( t ) 不可能为非负函数。 证明利用反证法假设对于t a t o ，有x ( t ) 0 首先断定。( t ) 是有界函数如若不然，则存在t l a t 。使得 。( 。1 ) = 。幻i n a 。x s t ，z ( 8 ) 这样，从( 2 2 3 ) 可得 。0 1 ) 口+ 艘。( 8 ) sd + z ( t 1 ) r 欧拉型无界时滞微分方程的振动性研究 这就产生了矛盾，因此我们有m = l i m m l p 。( t ) 0 ，0 t o o ( 2 2 4 ) 不可能有最终正解 证明反设方程( 2 2 4 ) 有一个最终正解z ( t ) ，那么存在t ，使得当 a t l t o 时，有z ( a t ) 0 从而对任意t t 1 ，我们有一( t ) s0 和z ( a t ) z ( t ) 由于p l n 吉 j ，则存在c 0 使得 p l n c ；1 ( 2 2 5 3 于是 印) + ；z ( t ) 即) + p i 2 ( 越) = o ，y t t 1 ， 或者 器+ 净 从耐到t 积分上式并利用( 2 2 5 ) ，我们有 h 鑫+ c ( ；) 2 上式与( 2 2 8 ) 矛盾，从而证明了该引理 我们还可以得到比引理2 2 3 更为一般的引理，也就是下面的 引理2 2 4 假设 ( 1 ) p i 0 ，0 0 ，z ( t ) 0 ，( ) t t o 记 ) = 器 于是得到 础) = z ( d e 印( r 妒( s ) 如) ，毒簿= 唧( 。一妒( s ) 幽) 由( 2 2 9 ) 可得 ) + 耋a 唧( 。刊幽) g 0 ，a 卢， g l n ：1 ，令 如) 刮旷知) a s ， ( 2 2 1 1 ) 那么z ( t ) 最终为单调递减的正值函数 证明显然有一( t ) = 矿( t ) 一 y ( z t ) + 和( o t ) ，由此可得 邢) = 一字( a t ) 0 如若不然，则存在 t l t o 使得z ( t 1 ) 0 由于e c t ) t l 对任意的t t 2 ，成 立 。) z ( t 1 ) 0 ，。( t ) z ( 亡2 ) 利用( 2 2 1 1 ) ，可以得到 印) = 印) + ，。o tq _ 。小) d s z m ) + e ：小) d s z ( t 2 ) + i 。t 一 s _ o t 删j 尸a , t1 8 d s - - ：( t 2 ) + q l n ：( 趱( s ) ) z ( 如) + 耐m 9 a x 垒( 8 ) 由引理2 2 2 可知( t ) 在，o 。) 上不是非负函数，这就产生了矛盾引 理证毕 欧拉型无界时滞微分方程的振动性研究 定理2 2 6 假设 ( 1 ) 0 q i 1 ， 那么方程( 2 1 9 ) 的每一个解都振动 证明反设方程( 2 1 9 ) 有一个非振动解( t ) 不妨设可( t ) 最终为正 ( t ) 最终为负时证明相似，故略令 印) = u c t ) 一r 知) d s 由引理2 2 5 可得z ( t ) 最终为正并且0 z ( t ) 时，根据引理1 2 3 可知方程( 2 2 1 2 ) 无最终正 解这就产生了矛盾定理证毕 定理2 2 7 假设 ( 1 ) 0 啦 暑1q t ，銎1 q i l a 鲁1 ， ( 3 ) 跺1 慨一琅) l n 。1 - ：，这里口= m a x a a ，o l 2 ， ， 那么方程( 2 1 1 0 ) 的每个解都振动 证明反设方程( 2 1 1 0 ) 有一个非振动解u c t ) 不妨假设( t ) 最终为 正鲈( t ) 最终为负时，证明相似故略令 y ( te ) = ) 一 f 警( s 则 1n1n1n ，o ) = 矿( t ) 一q , y c z , t ) + e q l y ( c q t ) = 一( p t q , ) u c 啦t ) ：时，方程( 2 2 1 3 ) 无最 终正解这就产生了矛盾定理证毕 令q i = 0 ，i = 1 ，2 ，n ，利用定理2 2 7 ，我们可以建立下面的推论 推论2 2 8 假设( 器1 p d l n 五1 ，其中n = m a x n l ，a 。，那么 方程( 2 1 1 0 ) 的所有解都振动。 注2 2 9 定理2 2 7 推广了文【l3 】中的结论，同时推论2 2 8 也不同 于文【1 3 】的定理4 ，即 定理d 假设( 冬- p i ) ；( 器。i n 圭) i 1 ，那么方程( 2 1 7 ) 的所有解振 动 2 3 例子 下面我们举例说明推论2 2 8 不同于定理d ( 即文【1 3 】中的定理4 ) 并 给出定理2 2 6 和定理2 2 7 的应用 例2 3 1 考虑时滞微分方程 一( t ) - 4 - 磊1 ( e - 2 t ) 一面1z ( e - i t ) = o ，t t 。 o ( 2 3 1 ) 显然有 p g o ，o n 卢 o ，( 2 3 2 ) 这时 n ：五1 ，化：；，叮l ：熹，q 2 ：熹，a l ：e ，q 2 ：e ，尻：e ，岛：e - 2 n 2 磊，化2 i ，叮1 2 磊，q 2 2 面，a 1 2 8 。，0 2 28 ，觑。1 ，恳。 1 4 欧拉型无界时滞徽分方程的振动性研究 通过简单计算我们发现定理2 2 7 的所有条件均满足，因此方程( 2 3 2 ) 的所有解振动 例2 3 3 考虑时滞微分方程 一( t ) + 互瓦1 ( e - 3 t ) 一面1 茹( e 一2 t ) = o ，t t o 0 ( 2 3 3 ) 易知 厕( 1 n 击+ l n 圭) = 磊5 ；， 根据推论2 2 8 ，方程( 2 3 3 ) 的每个解均振动 高校教师在职硕士学位论文 第三章具有欧拉形式的一阶中立型微分方程解的振动性 3 1 引言 自上世纪七十年代以来，随着以中立型泛函微分方程为数学模型的 应用课题的大量涌现( 如博弈论、细胞中酶反应动力学等) ，人们对中立 型泛函微分方程的研究工作越来越重视，并取得了非常丰富的结果 g y b r i 和l a d a s 【2 】以及e r b e 等【5 所著的专著汇集了这方面的结果 关于常系数和常数时滞的中立型微分方程 ( z 0 ) 一c z o 一) + p i x ( t t ) = 0 ，t t o ， ( 3 1 1 ) 这里0 c o ，枞 0 ( 3 1 2 ) 近年来，已有一些文献( 如【1 8 - 2 0 】等) 研究下列具有变系数和变时 滞的中立型微分方程 爰p ( 幻一壹i = 1 p i ) z ( t 一兀 ) ) 】+ 薹g ，( t ) 。 一( t ) ) = 。，t 如，( 3 1 3 ) 这里n ( t ) ，q j ( t ) ，矗( t ) ，乃( t ) e ( t o ，+ o o ) ，矿) ，且l i r a h 一瓦( t ) ) = c o ， l i m “一o o a t ) ) = o o ，i = 1 ，仉j = 1 ，m 作者利用分析技巧和比较原 理，建立了此类方程所有解振动的一些充分条件 在这一章，我们讨论下列具有e u l e r 形式的无界时滞中立型微分方 程： 磊d ( z ( t ) 一凹( 耐) ) + ；z ( a t ) - - o ，t t o o ， ( 3 1 4 ) 欧拉型无界时滞微分方程的振动性研究 其中0 c 1 ，0 。， ( 3 1 5 ) 这里0 c 1 ，0 1 下证= 黼毛a 。反设 知a ，那么最终有 爰( 扣吣) ) = 咖( 以d + 等”( ) 。 此表明函数u ( t ) = t 知v ( t ) 最终单调递减这样对于充分大的t ，成立 ( n 矿o v ( a t ) 咖 ( t ) ， 或者 v ( a t ) a k 口( = a v ( t ) ， 而这与( 3 2 1 ) 矛盾引理证毕 引理3 2 2 设f ( t ) 为方程( 3 1 4 ) 的最终正解并且记 z ( t ) = u ( t ) 一c y ( a t ) ( t ) = z ( ) 一c z ( a t ) 则 ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 1 ) z ( t ) ，w ( t ) 也是方程( 3 1 4 ) 的解，且有；z ( t ) 具有一阶导数，加( t ) 具有二阶导数 欧拉型无界时滞徽分方程的振动性研究 ( 2 ) e ( t ) o ； ( 3 ) ( t ) 0 ，( 力 0 证明( 1 ) 将2 ( t ) 和叫( t ) 分别代入方程( 3 1 4 ) 并进行简单计算可得 结论 ( 2 ) 由假设，可取t l t o 满足：当t t 1 时，有p ( t ) 0 ，口( 犀) 0 ， 和f ) 0 这样由( 3 1 4 ) 可得 邶) = 一；g ( 肋 0 ，那么最 终有z ( t ) 0 使得当t 屯时，有z ( t ) 一芦 由( 3 2 3 ) 可得 y ( t ) = 2 ( t ) + c 暑f ( 耐) 一p + c y ( a t ) t 2 ，则对于= 1 2 ，成立 ，( 喜) 咐( 嘉) 利用数学归纳法可得；对于k = 1 ，2 ，有 掣( 喜) o 至此，我们就完成了该引理的证明 1 9 高校教师在职硕士学位论文 3 3 主要结果 在这一节，我们建立方程( 3 1 4 ) 的所有解振动的一个充分必要条件 并由此给出一些显式充分条件；而对于方程( 3 1 5 ) ，我们则建立了它 的每个解振动的显式充分条件主要结果可概述下面的几个定理 定理3 3 1 设p 0 ，0 c i ，且0 卢 0 ( 3 3 1 ) 证明当c = 0 时，方程( 3 1 4 ) 变成方程( 2 1 7 ) ，这样，应用文 1 3 1 的定理1 可得所要证明的结论。下面讨论0 0 ，( t ) 0 再令 一 = 卅酬，嚣， 由( 3 3 3 ) 及引理3 2 2 可知：对于n = 1 ，2 ，成立 象一( a 啪+ 弘( 鲫= o ，t 如 o ， ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) ( 3 3 4 ) 型里垂墨壁兰垄坌查堡堕塑茎丝墨壅 以( o = 一；一。 ) ，( 3 3 5 ) 和 w n ( t ) o ，以( t ) 0 ( 3 3 6 ) 定义集合 “= a 0 ：t 吒( t ) + 兰( t ) 0 ，则存在m 0 使得 f 【a ) = - , x + c , x c t 一1 + 尹归一1 m ，v x 0 ( 3 3 7 ) 由( 3 3 4 ) 及( 3 3 6 ) - - f 得 ( 1 - ) 皈 ) + 孚( 鲁t ) o 或者 啪，+ 若( 鲁t ) 如 此表明a l = 羔n 器1 根据引理2 2 1 和引理3 2 2 有 驴h ( 鬻) 2 仙鲁j 毛豆凡 令a k 并设j i ( t ) = t x w , ( t ) 根据( 3 3 5 ) 和( 3 3 7 ) 并注意到( t ) 为单调 递减函数，通过计算可得 叱- ( t ) + 苎# ，( t ) = 一譬州犀) + ( a + m ) p - l 懒) 一一- 妒( 。t ) 】 p i 妒( 【一p 矽一3 + ( a + m ) ( 1 一m 一1 ) j = p 一1 妒( t ) 卜i 矽卢一1 + a c a a 一1 + m ( 1 一一1 ) 】 p 一1 妒( t ) 一r e + m ( 1 一一1 ) 】 o ，0 c 1 且0 卢 0 ( 3 3 9 ) 根据定理3 3 1 ，我们只须证明当( 3 3 8 ) 成立时，有( 3 3 9 ) 式成立。为此， 令，1 ( a ) = p ，2 ( a ) = 1 一一这样，我们只需证明：对于a o ， 有，l ( ) ，2 ( a ) 容易证明 ( a ) 有唯一极小值点知= l l n ( ) = 一i i l i l 口 且最小值为卵l n ( ) 令 g ( 入) = ( a ) 一，2 ( a ) = 旱p 一 + 一 一1 对0 一暑南，则有 ( a ) 一，2 ( a ) 0 也即，当a