（通信与信息系统专业论文）双正交小波滤波器组设计及其应用研究.pdf

硕士学位论文 摘要 小波滤波器是小波分析理论在实际工程应用中的重要工具。随着小波变换在 模式识别、图像压缩、语音编码和信息隐藏等方面的广泛应用，小波滤波器设计 成为了近年来小波理论研究中一个重要的研究领域。尤其是在图像及信号压缩方 面，小波变换以其优越的时频分析特性，逐渐取代了传统的d c t 变换。但是，由 于小波理论产生的时间不长，小波滤波器的设计还存在许多需要完善的地方。因 此，本文首先分析了小波滤波器设计的基本方法，在此基础上，对图像及信号处 理中最常用的双正交小波滤波器组进行了深入研究及改进。 本文主要工作如下： ( 1 ) 深入研究小波变换理论和小波滤波器设计的基本方法。 ( 2 ) 针对c d f 9 7 小波系数为无理数的缺点，对c d f 9 7 小波滤波器组的完全重 构条件和双正交条件进行三角基函数变换和因式分解，并对求出的小波滤波器系 数进行优化设计，得到一组滤波器系数都为二进制分数的9 7 双正交小波滤波器 组，大大降低了离散小波变换的算法复杂度。 ( 3 ) e b f b 小波滤波器是基于伯恩斯坦多项式的偶数长双正交小波滤波器组， 本文针对伯恩斯坦多项式中参数的不确定性，提出了一种基于遗传算法的e b f b 双正交小波滤波器组的优化设计方法。通过实验证明了该小波滤波器具有更好的 幅频特性。 ( 4 ) 为了获得信号的最优小波变换，本文在双正交小波滤波器组系数有理化的 基础上，根据输入信号在尺度空间的最大投影原则，选择信号小波变换后低频部 分的能量与总能量的比值为优化的目标函数，设计了种适用于信号压缩的匹配 小波滤波器并给出了具体的应用实例。 本文利用m a t l a b 7 0 作为仿真实验平台，将设计出的小波滤波器具体应用于 图像与信号压缩中，验证和分析了所得滤波器组的优良特性。 关键词：小波变换；双正交小波滤波器；9 7 小波；e b f b ；匹配小波；图像压缩： 信号压缩 a b s t r a c t t h ew a v e l e tf i l t e ri sai m p o r t a n tt o o lf o rt h ew a v e l e ta n a l y s i st h e o r yi nt h ea c t u a l p r o j e c ta p p l i c a t i o n a l o n gw i t ht h ew i d e s p r e a da p p l i c a t i o n so fw a v e l e tt r a n s f o r mi n p a t t e r nr e c o g n i t i o n ，i m a g ec o m p r e s s i o n ，p r o n u n c i a t i o n c o d ea n di n f o r m a t i o n h i d e a w a y , t h ew a v e l e tf i l t e rd e s i g nb e c o m em o r ea n dm o r ei m p o r t a n ti nr e c e n ty e a r s e s p e c i a l l y i nt h e c o m p r e s s i o no fi m a g ea n ds i g n a l ，t h ew a v e l e t t r a n s f o r mw i l l s u b s t i t u t ef o rt h et r a d i t i o n a ld c tt r a n s f o r mb yi t ss u p e r i o rt i m ef r e q u e n c ya n a l y s i s c h a r a c t e r i s t i c h o w e v e lt h et h e o r yo fw a v e l e ti sv e r ys h o r ts i n c ew a v e l e tw a sp u t f o r w a r d ，s ot h ew a v e l e tf i l t e rd e s i g ns t i l lh a sm a n yp r o b l e m sn e e dt oc o n s u m m a t e t h e r e f o r e ，t h i sa r t i c l eh a sa n a l y z e dt h ee s s e n t i a lm e t h o do ft h ew a v e l e tf i l t e rd e s i g n ， i nt h i sf o u n d a t i o n ，w eh a v er e s e a r c ha n di m p r o v et h o r o u g h l yt h eb i o r t h o g o n a l w a v e l e tf i l t e rg r o u pw h i c ha r eu s e dm o s tc o m m o n l yi nt h ep r o c e s so fi m a g ea n d s i g n a l t h em a i ni m p o r t a n tw o r ko ft h i sp a p e r ： 1 d e e p l ys t u d i e dw a v e l e ta n a l y s i st h e o r ya n dw a v e l e tf i l t e rb a n k sd e s i g n t e c h n o l o g y 2 i nv i e wo ft h ec o e f f i c i e n t so fc d f 9 7w a v e l e tf i l t e ra r ei r r a t i o n a ln u m b e r , w e u s et h et r i g o n o m e t r i cf u n c t i o nt r a n s f o r mt of a c t o r i z et h ep e r f e c tr e s t r u c t i o na n dt h e b i o r t h o g o n a lc o n d i t i o n so fb i o r t h o g o n a lw a v e l e t sf i l t e rb a n k s ，t h e no p t i m i z et h e c o e f f i c i e n t so ft h eo r i g i n a l9 7w a v e l e tf i l t e rb a n k s ，c o n s e q u e n t l yan o v e l9 7w a v e l e t f i l t e rb a n k sw i t hb i n a r yd i g i tc o e f f i c i e n t sc a nb eo b t a i n e d t h i sa r i t h m e t i cc a nr e d u c e t h ec o m p l e x i t yg r e a t l y 3 e b f bw a san e wc l a s so fe v e n - l e n g t hb i o r t h o r g o n a lw a v e l e tf i l t e rb a n k sb a s e o np a r a m e t r i cb e r n s t e i n d u et ot h eu n c e r t a i n t yo fp a r a m e t e r so ft h eb e r n s t e i n p o l y n o m i a l ，ad e s i g nm e t h o df o ro p t i m i z i n ge b f bf i l t e rb a n k sb a s e do ng e n e t i c a l g o r i t h m sw a sp r e s e n t e d t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l ts h o w st h a tt h en e wf i l t e rb a n k s h a v eb e t t e ra m p l i t u d e - f r e q u e n c yc h a r a c t e r i s t i c 4t oo b t a i nt h eb e s tw a v e l e tt r a n s f o r mo fag i v e ns i g n a l ，t h ep a p e rp r o p o s ea m e t h o dw h i c hc h o o s et h er a t i oe n e r g yo fl o w f r e q u e n c yd o m a i nt ot o t a ls i g n a la s o b j e c t i v ef u n c t i o nt oo p t i m i z et h eu n c e r t a i np a r a m e t e r si nf i l t e rc o e f f i c i e n t sb a s e do n r a t i o n a l i z i n gt h ec o e f f i c i e n t so fp o p u l a rb i o r t h o g o n a lw a v e l e tf i l t e r sa n dt h ec r i t e r i o n t h a tm a x i m i z i n gt h ep r o j e c t i o no fas i g n a lo n t ot h es c a l es u b s p a c e t h e nw ec a ng e ta 硬士学位论文 m a t c h i n gw a v e l e tf i l t e rw h i c hi ss u i t a b l ei ns i g n a lc o m p r e s s i o n c o r r e s p o n d i n g l y , w e h a v eg i v e nt h ec o n c r e t ee x a m p l e w eu s e dm a t l a b 7 0a st h es i m u l a t i o np l a t f o r m ，a p p l yt h ew a v e l e tf i l t e ra b o v e i nt h ec o m p r e s s i o no fs i g n a la n di m a g e ，c o n f i r ma n da n a l y z et h eo b t a i n e df i n e c h a r a c t e r i s t i co f w a v e l e tf i l t e rb a n k s k e yw o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m ；b i o r t h o g o n a lw a v e l e tf i l t e rb a n k s ：9 7 w a v e l e t ： e b f b ；m a t c h i n gw a v e l e t ；i m a g ec o m p r e s s i o n = s i g n a lc o m p r e s s i o n 1 1 1 双正交小波滤波器组设计及其应用研究 插图索引 2 1 小波基函数的时频分析窗口6 2 2 小波分解与综合滤波器组1 1 2 3 多级小波分解1 1 2 4 二维可分离小波变换1 1 2 5 双正交小波滤波器组1 2 3 1 二元抽取示意图一1 4 3 2 二元插值示意图1 4 3 3 等效易位结构图1 5 3 4 等效分解结构图1 5 3 5 双正交二通道小波滤波器组1 6 4 1 本章小波滤波器组结构示意图2 7 4 2c d f 9 7 小波运算结构图2 9 4 3 改进的9 7 小波运算结构图3 0 4 4 本章9 7 小波与c d f 9 7 小波尺度函数与小波函数变化图3 1 4 5 三幅标准测试图像原图像及经过4 级小波压缩后的图像3 2 5 1 基本遗传算法框图一3 6 5 2 砜，凰的频率幅度响应4 1 5 3 分解端尺度函数和小波函数图4 2 5 4 原l e n n a b m p 与压缩后图像4 2 6 1 原始输入信号及压缩后信号4 9图图图图图图图图图图图图图图图图图图图图 硕士学位论文 附表索引 表4 1 本章9 7 小波与c d f 9 ，7 小波滤波器的系数值 表4 2 两种滤波器重构图像的p s n r 表6 1 两种输入信号对应的滤波器 表6 2 信号压缩后的比特率与峰值信噪比 v 2 8 3 l 4 9 4 9 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体己经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名：李狮硼日期：切g 年陀月2 7e t 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密囱。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：套i 1 1 1 槲 导师签名：歹茂以“ 日期：沙l f 年p - 月刀e t 日期：乃一占年h 月j d 日 。 硕士学位论文 1 1 研究背景和意义 第1 章绪论 小波分析是2 0 世纪8 0 年代后期形成的一个新兴的数学分支，它被认为是2 0 世纪现代分析学与数学的完美结合，对于它的研究是当今科学与工程技术最热门 的课题之一。小波变换最早是由法国地球物理学家m o r l e t 于8 0 年代初在分析地 球物理信号时作为一种信号分析的数学工具提出的，1 9 8 9 年，m a l l a t 将计算机视 觉领域内的多分辨率分析的思想巧妙地引入小波分析中，统一了在此之前提出的 各种离散正交小波基的构造方法，给出了m a l l a t 算法【1 1 ，从而将小波变换与多采 样率滤波器组联系起来，奠定了离散正交小波变换在图像处理中的应用基础。 然而，正交性对于紧支小波基来说是一个很苛刻的条件，大大限制了小波基 的类型。这主要体现在除了h a a r 小波外，没有任何紧支集正交小波具有对称性( 线 性相位1 。可是线性相位在图像处理等应用中及其重要。因此，c o h e n 、c h u i 等科 学家放宽条件，提出了双正交小波基的构造方法1 2 l 。随后，v e t t e r l i 等人又深入研 究了完全重构滤波器组( p e r f e c tr e c o n s t r u c t i o nf i l t e r b a n k s ：p r f b ) 和双正交小波基 的密切关系，建立了双正交小波滤波器组的基本理论，将小波与信号处理中的予 带编码完美地联系在一起，为小波在图像编码中的应用开辟了新的前景p 】。 近年来，随着理论研究的不断深入开展，小波分析已经广泛应用于许多领域， 而作为离散小波理论与工程应用的基础，小波滤波器组的设计也得到了空前的发 展。只有设计出性能日益完善，满足不同处理要求的小波滤波器组，小波变换理 论才能在模式识别、图像压缩、信息隐藏和图像去噪等方面发挥越来越大的作用。 尤其是在图像及信号压缩领域，当今社会已经进入信息时代，信息的存储、交流 和传播占有越来越重要的地位。随着社会经济、科学技术的不断进步以及信息时 代带来的信息爆炸，需要存储和传输的信息成几何倍数增长。从一维信号到二维 图像，从静止图像到动态视频，其数据量的增长对存储设备和通信信道提出了更 高的要求。如遥感应用中的数字卫星云图，每一帧图像的数据量可达几十兆字节， 若不进行压缩，则无论传输或存储都很难达到其实用化的目的，因此对图像与信 号进行压缩就成了研究的一个热点问题。 双正交小波滤波器组的出现和发展为图像与信号的压缩与编码注入了新的活 力。与使用d c t 变换的经典j p e g 方法相比，小波变换为非平稳的信号与图像信 源提供了一种多尺度的描述形式，同时，它良好的空间方向选择性和人眼的视觉 特性非常吻合，所以它在图像与信号压缩中的有着更好的应用前景。 双正交小波滤波器组设计及其应用研究 1 2 国内外研究现状及存在的问题 1 9 8 4 年，法国地球物理学家m o r l e t 与理论物理学家g r o s s m a n 首次提出了“小 波”( w a v e l e t ) 的概念，给出了按一个确定函数妒的伸缩平移系展开函数的新方法和 进行信号表示的新思想，从而形成了连续小波变换的理论体系。随后，m e y e r 证 明了一维小波的存在性，并构造了具有一定衰减性质的光滑小波函数。1 9 8 6 年， m a l l a t 和m e y e r 提出了多分辨率分析的理论框架，为小波基的构造提供了一般的 途径。多分辨率分析的思想是小波的核心，它是理论与应用的结晶。至此，小波 分析才真正成为一门学科。之后，科学家们构造出了大量的小波，其中包括具有 指数衰减的b a t t l e l e m a r 小波和第一个双正交小波t c h a m i t c h i a n 小波【4 1 1 9 8 8 年， 美籍比利时女数学家d a u b e c h i e s 给出了具有紧支集和任意有限正则度的小波函数 的一般构造方法1 9 8 9 年，m a l l a t 提出了实现小波变换的快速算法一m a l l a t 塔式 算法，它的地位相当于傅立叶变换中的f f t ，从而为小波理论的工程应用铺平了 道路 。 1 9 9 2 年，c o h e n 、d a u b e c h i e s h 等人提出了双正交小波滤波器组的概念并给出 了相应的设计算法，并设计出了著名的c d f9 7 小波滤波器组l 矾。随后，国内外 众多学者对双正交小波滤波器的设计展开了如火如荼的研究。1 9 9 5 年， s w e l d e n s 5 】【6 】系统提出了小波构造与计算的提升格式方法，1 9 9 8 年d a u b e c h i e s 、 s w e l d e n s t 7 】等又进一步对常见的正交和双正交小波进行了提升格式分解。1 9 9 6 年，s t r a n g 8 】借助数值分析的方法设计出了系数简单的9 7 小波滤波器。1 9 9 8 年， w e i 9 】等人利用完全重构滤波器的思想讨论了c o f i m a n n 双正交小波的构造，2 0 0 0 年，t a y 1 0 】等则进一步利用多相位矩阵多项式的概念构造了几种特殊长度的双正交 小波滤波器。 尽管人们利用各种不同的方法提出了一些双正交小波的构造，但是，常见的 构造双正交小波滤波器的方法仍然存在许多需要进一步研究的问题。例如目前所 得的小波滤波器系数大都是唯一的，不能根据实际应用的需要自适应的选择。我 们知道，小波变换理论是一种新型的变换框架，它与f o u r i e r 变换一个显著的区别 就是其变换的多样性和灵活的选择性。不同的小波变换在不同的应用中，性能指 标经常显示出明显的差别。如何根据不同的实际问题，选择最合适的小波滤波器 进行处理一直是信号分析中的难点和重点。另外，小波变换以其良好的能量集中 性质在图像压缩中明显优于其他变换，而成为j p e g 2 0 0 0 标准的变换方案。但是 与d c t 相比，其计算过程复杂，运算量大，硬件实现成本高。并且，目前我们所 使用的双正交小波滤波器组大部分是对称的，对称小波虽然具有很多优良的性质， 但是它却缺乏时移不变性及半采样延迟特性，而这恰好是图像压缩中一个及其重 要的性质。 2 硬士学位论文 因此，在双正交小波滤波器组设计理论及其应用研究方面三个非常重要的问 题是： ( 1 ) 设计压缩性能更好并且便于硬件实现的二带小波滤波器组； ( 2 ) 研究具体针对某一特定信号的匹配小波滤波器组的设计算法； ( 3 ) 设计满足时移不变性的反对称双正交小波滤波器组。 1 3 本文主要工作及章节安排 论文研究了小波变换原理和基于小波变换的双正交滤波器组设计方法，利用 m a t l a b 进行了功能仿真，验证了所设计出的小波滤波器的优良性能。本文所做 的主要工作包括： 1 分析了小波变换的基本原理并将其与多采样率滤波器组结合起来，深入研 究了双正交小波滤波器组的设计方法。 2 针对目前双正交小波滤波器组设计中存在的一些问题，设计和改进了三种 滤波器组，并将设计出的滤波器组应用于图像和信号处理中，用实验证明了所得 小波滤波器组的优良性能。 本文具体章节安排如下： 第二章主要介绍了小波变换的基本理论。包括连续小波变换与离散小波变换， 多分辨率分析，m a l l a t 算法和双正交小波基的概念。 第三章主要分析了小波滤波器组设计的基本知识及正交小波滤波器与双正交 小波滤波器组设计的基本方法，并给出了小波滤波器组优良性的评价指标。 第四章针对j p e g 2 0 0 0 标准中所采用的c d f 9 7 小波系数为无理数，计算复杂度高， 不利于大规模集成电路实现的缺点，对c d f 9 7 小波进行了改进，提出了一种系数为二进 制系数的9 7 d , 波滤波器组，并与原c d f 9 7 小波进行了比较。 第五章分析了e b f b 小波滤波器组的设计原理，运用遗传算法对其系数优化过程进 行改进，得到一组幅频特性更好的反对称小波滤波器组。 第六章介绍了匹配小波滤波器的概念，研究了最优匹配小波滤波器组的设计及其在 语音信号压缩中的应用，以最常用的9 7 d x 波为例，给出了算法的详细步骤，并通过实验 证明了该小波滤波器组对特定信号压缩的优越性。 最后是结束语，对全文的内容进行了总结，并展望了未来的工作。 双正交小波滤波嚣组设计及其应用研究 第2 章小波分析的基本理论 传统的信号分析是建立在傅立叶变换的基础之上的，但是傅立叶变换只是一 种全局的变换，要么完全在时间域，要么完全在频率域，因此无法表述信号的时 频局部性质，而时频局部性质是非平稳信号最基本和最关键的性质为了分析和 处理非平稳信号，在傅立叶分析理论的基础上，提出并发展了一系列新的信号分 析理论：g a b o r 变换、短时傅立叶变换( s h o r t t i m e f o u r i e r t r a n s f o 珊，简记为s 删、 时频分析、小波变换、分数阶傅立叶变换( f r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m 。简记为 f f t ) 、线调频小波变换等1 1 1 1 3 1 。 短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法它的思想是：选择一个 时频局部化的窗函数，假定分析窗函数g o ) 在一个短时间间隔内是平稳( 伪平稳) 的，移动窗函数，使，o ) g o ) 在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各 个不同时刻的功率谶。由它的定义可知其窗函数的大小和形状均与时间和频率无 关而保持固定不变，这对于分析时变信号来说是不利的，高频信号一般持续时闯 很短，而低频信号持续时间较长。因此，我们期望对于高频信号采用小时间窗， 对于低频信号则采用大时间窗进行分析。在进行信号分析时，这种变时窗要求与 s t f l r 的固定时窗( 窗不随频率而变化) 的特性是相矛盾的。这表明s t f t 在处理这 一类问题时己无能为力。此外在进行数值计算时，人们希望将基函数离散化，但 g a b o r 基无论怎样离散，都不能构成一组正交基，因而给数值计算带来了不便。 这些都是g a b o r 变换的不足之处，但恰恰是小波变换的特长所在。小波变换不仅 继承和发展了s t f t 局部化的思想，而且克服了窗口大小不随频率变化，缺乏离 散正交基的缺点，是一种比较理想的进行信号处理的工具。 2 1 小波变换 2 1 1 连续小波变换 小波变换可以分为两类，一类是连续小波变换，另类是离散小波变换。 连续小波变换也称为积分小波变换。设任一函数，( f ) p ( r ) 。取妒( f ) 为一个小波 函数，妒( t ) e l 2 僻) ，且妒o ) 满足容许条件： 巳一上瞥 其中， 妒 ) 为矿( f ) 的傅立叶变换，则小波变换定义如下： 4 ( 2 1 ) 硕士学位论文 ( w w f ) ( a , b ) = 击弘烈等冲 ( 2 2 ) 其中班肋枷。记啪) 2 击烈等) 。 小波变换又可以写成内积的形式： ( ，) 6 ) = 杪( f ) ，( r ) ) ( 2 3 ) 式中岛6 和f 均是连续变量。信号，( f ) 的小波变换( 睨力( 口，6 ) 是岛6 的函数，口称为 尺度因子，6 称为平移因子。伊( f ) 又称为基本小波或母小波。纯。( f ) 是母小波经移 位和伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，简称为小波基。针对具体 的应用场合，设计不同的小波基函数是实现信号最佳分解和处理的必要前提，也 是小波理论研究的重要内容。 当所用的基本小波满足小波容许条件式( 2 1 ) 的情况下，小波变换的逆变换存 在，( f ) 可以通过其小波变换盯 6 ) 表示为： ，( f ) = 麦二二扣( a , b ) e o j ( t ) a o a b ( 2 4 ) 由小波容许条件( 2 1 ) 可知，要满足小波容许条件必须要满足9 ( 0 ) = 0 ，也就是说 l 刍 ) 必须具有带通性质，也就是说妒( f ) 必须是正负交替的振荡波形，使得其平均 值为0 ，这便是称之为“小波”的原因。 小波基函数纯。( r ) 的傅立叶变换为： 妒。j ) = | 口i q , ( a c o ) e 1 ” ( 2 5 ) 可见随着尺度因子a 的变换，用来分解信号的小波函数优。( f ) 的频谱的中心频 率和通带的宽度相应的发生变化。当口较小时，纯。( f ) 的时域波形较窄，在频域上 中心频率较大，通带较宽；当口较大的时候纯。( f ) 在时域上波形较宽，在频域上中 心频率较小，通带宽度较窄。其时频分析窗口如图2 i 所示。 由以上的分析，我们可以得到如下几点结论： ( 1 ) 尺度的倒数三在一定意义上对应于频率口，即尺度越小，对应的频率越 高，尺度越大，对应频率越低。如果我们将尺度理解为时问窗口的话，则小尺度 信号为短时间信号，大尺度信号为长时间信号。这一点同信号时频分布的自然规 律示相符的，在实际生活中高频信号必然持续时间很短，低频信号必然持续时间 很长。 ( 2 ) 在任何b 值上，小波的时、频窗口的大小f 和a c o 都随频率国( 或尺度 的口) 的变化而变化，这是与短时傅里叶变换中的基g 。( f ) = g ( t f ) p 的不同之 双正交小波滤波器组设计及其应用研究 处。 ( 3 ) 在任何尺度口、时间点b 上，窗口面积a t a t o 保持不变，也即时间、尺 度分辨率时相互制约的，不可能同时得到提高。 ( 4 ) 由于小波母函数在频域具有带通特性，其伸缩和平移系列就可以看作是 一组带通滤波器。通常我们将通带宽度与中心频率的比值称为某一带通滤波器的 品质因数，即q - a t o 经过尺度伸缩后，由前面所述，可得品质因数为： q 。垃丝q j 由以上分析可知，小波基函数妒。j ( f ) 作为带通滤波器，其品质因数不随尺度变化 而变化，这就是我们前面提到过的恒q 性质可见小波分析体现了自适应分辩的 思想，这也是小波变换被称为“数学显微镜”的原因 a = 0 5 ，2 t o o 口= 1 ， a = 2 ，o ) o 2 t 2 j lb e 图2 1 小波基函数的时频分析窗口 2 1 2 离散小波变换 连续小波变换在理论上具有很好的信号分析和处理特性，但是尺度因子a 和 平移因子b 是连续变化的，很难利用计算机或者硬件实现，于是，人们提出了离 散小波变换。在连续小波变换的定义中口，b e r ；a 一0 ，为方便起见在离散化中总限 制a 取正值。选取4 4 ：，是整数，口。是大于1 的固定伸缩步长，b - i , b o a ：，6 b 为 常数，k 为整数，对应的离散小波函数c p s ，| , ( f ) 即可记为： o ) 。口妒苎磐) 。口。一z c f ( a o i t - k b o ) ( 2 6 ) 0 相应的离散小波变换表示为： 6 硕士学位论文 e j2 l f ( t ) r p j t ( o a t = ( 2 7 ) 需要指出的是这里的离散是针对连续的尺度因子a 和平移因子6 的，而不是针对 时间t 的，因此有时也称这种小波变换为离散栅格上的小波变换。 为了正确地选择和b o 的值，使得c ，。能够完整的表征原来的信号，( f ) ，从而 引出了如下的“框架理论”。当由基本小波妒( f ) 经伸缩和移位引出的函数族妒。( f ) 满 足下述性质时，便称妒“( f ) 构成一个框架： 爿w l f b i i f l l 2 ( 2 8 ) ， t 且0 4 b 。 c 2z 。， 觑；卜月，2 】 、 双正交小波滤波器组设计及其应用研究 那么有 ；”豇警 是某个尺度函数妒( f ) r 僻) 的傅立叶变换。 此外小波函数妒( f ) 也由h ( n ) 确定，关系如下； 驴 ) - 音g ) 妒 ) 、，二 g ( ) - e 。扣h + 石) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 2 2 2m a l l a t 算法 离散小波变换的快速算法是m a l l a t 算法设某任意的，( f ) 巧。在巧。空间的 展开式为： ，( f ) - ；a c j - l t 2 椰7 2 0 ( 2 - j * t - k ) ( 2 2 8 ) 将，o ) 分解一次，即分别投影到嵋，空间为： f q ) - c 肛2 叫7 2 妒( 2 - t - k ) + d 雎2 - 2 q o ( 2 - j t - k ) ( 2 2 9 ) 。肚和d 雎，为，尺度上的展开系数，并且有： c m c ，( f ) ，咖，( f ) 一 。；。，吖2 。m 妒( 2 叫圳) 2 妒( 2 山一七渺 令2 。j t 一七一2 - j t ，贝有2 - ( s o f n 一2 - ( ，母f + 2 k 一厅，故： 由式( 2 2 2 ) & p 得： ( 2 3 0 ) c 一艺q 一1 j 2 刈一。矿( 2 训棚f 一。一2 k ) ( 2 7 f ) a t ( 2 3 0 a c j 一ec i _ b h ( n 一2 t ) ( 2 - 3 2 ) 同理有： d j tc 卜l ，g 辟一2 七) ( 2 3 3 ) 以上两式就是小波分解的计算公式，可见在知道信号在空间e 得分解系数的情况 下，利用系数 o ) ，g o ) 就可以得到在空问巧，的分解系数。 由类似的思路可以推导出重构算法。由于_ 一。- _ o ，巧上，因此 硬士学位论文 以l 。= 谚，。+ 仍。 d = 肛 = h ( k 一2 ”m ，+ g ( k 一2 呻吼。 ( 2 3 4 ) ，# = m 上式两端同时和，( f ) 做内积即得 m- te e = h ( k 一知一+ g ( k 一2 崛， ( 2 3 5 ) #h=m 即为小波重构的表示式。 容易证明式( 2 3 2 ) 与( 2 3 3 ) 和( 2 3 4 ) 以及( 2 3 5 ) 与图2 2 所示的滤波器组结构等效。 分解低通和高通滤波器的单位冲击响应分别为 ( 一拧) ，g ( - n ) ，综合的低通和高通滤 波器分别为以胛) ，g ) 。 图2 2 小波分解与综合滤波器组 图2 3 多级小波分解 图2 4 二维可分离小波变换 以上算法容易推广到多级变换的情况，即对巳，。做类似c j 。的分解得到q 扎。和 t 小，同样对q + 1 。可以继续进行分解a 各级分解的算法和实现的滤波器组结构相 双正交小波滤波器组设计及其应用研究 同，如图2 3 所示。 当对图像信号进行处理时，相应地可以通过一个行变换和一个列变换来实现， 如图2 4 所示【1 蜘 2 3 双正交小波基 在图2 2 所示的正交小波分解对应的滤波器组结构中，分解端滤波器和综合 端滤波器的系数相同。只是时间进行了反转，低通通道为h ( - n ) , h 伽) ，高通通道为 s ( - n ) , g o ) 已经证明紧支撑的正交小波都不具有线性相位，即 o ) ，g ( n ) 的系数不 具有对称性。相反双正交小波对应的滤波器的系数具有对称性，因而具有线性相 位双正交小波对应的滤波器组的分解端和综合端的滤波器系数不同，因而有更 大的自由度，其对应的滤波器结构如图2 5 所示，其低通通道的分解和综合滤波 器分别是k ( z 1 ) ， 0 ) ，高通通道的分解和综合滤波器分别是g ( z _ 1 ) 9 0 ) 。特别地如 果h 一j i ，虿则就退化为正交小波的情况。此外，为了满足完全重构性，各滤波器系 数还必须满足如下条件： h ( z 。1 ) l j i ( z ) + j i ( _ z 。1 ) _ i l ( 一z ) - 2( 2 3 6 ) 9 0 ) - z l ( 屹4 ) h ( z ) 一一z - i g ( 一z 1 ) ( 2 3 7 ) r 2 3 8 ) 2 4 本章小结 图2 5 双正交小波滤波器组 本章主要介绍了小波变换的基本概念。重点分析了多分辨率分析、m a l l a t 算 法与滤波器组之间的关系。从而引出了小波滤波器组的概念。下一章将研究小波 滤波器组设计的基本概念与具体方法。 硕士学位论文 第3 章多采样率滤波器组设计 多采样率滤波器组是数字信号处理领域在8 0 年代中发展起来的技术。把它和 小波变换联系起来，彼此互相促进，既丰富了小波变换的理论基础，也拓宽了它 的应用前景。此外，还降低了小波变换的工作量。 3 1 多采样率滤波器组与信号处理 多采样率是指在一个信号处理系统中，存在多个不同的数据采样率，它与单 速率滤波器的不同之处在于多了抽取器和插值器2 0 世纪8 0 年代中后期，以子带 编码为主要应用背景的完全重构( p e r f e c tr e v a l u a t i o n ：p r ) 滤波器组理论的产生和 发