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开口薄壁杆件静力及动力分析的一维数值理论和方法 摘要 开口薄壁杆件广泛应用于航空航天、土木建筑、桥梁、造船和机械 工程中。随着开口薄壁杆件在工程中的广泛应用，其数值方法的研究和 探讨也显得尤为重要。本文介绍了开口薄壁杆件受力和计算的主要特 征，根据这些特征以及符拉索夫开口薄壁杆件理论建立了开口薄壁杆件 静力和动力分析的数值计算方法。 本文利用符拉索夫开口薄壁杆件理论结合有限元法和样条函数法， 建立了开口薄壁杆件约束扭转分析的一维离散有限元法和样条里兹法 的数值计算模型。应用这两种方法对开口薄壁杆件的约束扭转进行静力 分析，并对两种计算方法进行比较。在静力分析的基础上，利用 h a m i l t o n 原理建立了开口薄壁杆件约束扭转动力分析的一维离散有限 元法分析理论和计算模型，并编制c 语言程序计算得到杆件约束扭转 振动的自振频率。 文中对于开口薄壁杆件弯曲荷载作用下的剪力滞后效应进行了分 析，并利用一维离散有限元法建立复杂荷载作用下开口薄壁杆件的静力 分析模型。将本文方法所得到的结果和三维有限元模型的结果进行比 较。在此基础上，建立开口薄壁杆件一维离散有限元法的动力分析理论 和计算模型。由此编制c 语言程序计算得到开口薄壁杆件的自振频率。 关键词：开口薄壁一维离散有限元剪力滞自振频率 o n e d i m e n s i o n a ln u m e r i c a lm e t h o d sf o r s t a t i ca n dd y n a m i ca n a l y s i s0 ft h i n w a l l w d b e a m sw i t h0 p e np r o f i l e a b s t r a c t t h i n w a l l e db e a m sa r ew i d e l yu s e di ns p a c e f l i g h t ，b u i l d i n ga n db r i d g e c o n s t r u c t i o n ，s h i pd e s i g na n dm e c h a n i s m t h e r e f o r e ，i ti sm o r ei m p o r t a n tt o d ot h er e s e a r c hw i t h i nt h ea s p e c to fn u m e r i c a la l g o r i t h m si nt h isa r e a t h i s p a p e ri n t r o d u c e st h es p e c i a ls o l v e dw a y sa n dt h es i g n i f i c a n tf e a t u r eo ft h e t h i n w a l l e db e a m sw h e nt h e ya r eo nt h el o a d a c c o r d i n gt ot h e s e ，a n da l s o b a s e do nv l a s o vt h e o r y , t h en u m e r i c a la l g o r i t h m so fs t a t i c a n a l y s i s a n d d y n a m i ca n a l y s i so ft h et h i n w a l l e db e a m sa r ed e v e l o p e d i nt h i s p a p e r , t h e r ea r e t w on u m e r i c a la n a l y s e sm e t h o d st h a ta r e d e v e l o p e db a s e do nv l a s o vt h e o r y o n ei so n e d i m e n s i o n a ld i s c r e t ef i n i t e m e m b e re l e m e n tm e t h o d ，w h i c hi sb a s e do nf i n i t em e m b e re l e m e n tm e t h o d ； a n dt h eo t h e ro n ei ss p l i n er i z em e t h o dw h i c hi sb a s e do ns p l i n ef u n c t i o n t h e s et w om e t h o d sa r ea p p l i e dt ot h es t a t i ca n a l y s i so fr e s t r i c tt o r s i o no f t h i n - w a l l e db e a m ss e p a r a t e l ya n dt h e nc o m p a r et h e i rr e s u l t sb e t w e e ne a c h o t h e r o n e d i m e n s i o n a ld i s c r e t ef i n i t em e m b e re l e m e n tm e t h o dw h i c hi s b a s e do nh a m i l t o nt h e o r yi s a p p l i e d o nt h et h e o r e t i c a la n dn u m e r i c a l d y n a m i ca n a l y s i so ft h eo p e ns e c t i o nt h i n - w a l l e db e a m s a tl a s t ，t h e r ei sac p r o g r a mc r e a t e dt oc a l c u l a t e t h ef r e q u e n c yo ft h ef r e ev i b r a t i o no ft h e t h i n w a l l e db e a m su n d e rt o r s i o nl o a d i ti sa l s oi n c l u d e dt h ea n a l y s i so fs h e a rl a gi no p e ns e c t i o nt h i n - w a l l e d b e a m su n d e rt h ea p p l i c a t i o no ft r a n s v e r s a ll o a di nt h i sp a p e r t h es t a t i s t i c a n a l y s i sm o d e lo ft h i n - w a l l e db e a m su n d e rc o m p l e xl o a di sf o r m u l a t e db y o n e d i m e n s i o n a ld i s c r e t ef i n i t em e m b e re l e m e n tm e t h o d t h er e s u l t s o b t a i n e dw i t ho n e d i m e n s i o n a le l e m e n tm e t h o da r ec o m p a r e dw i t ht h o s e o b t a i n e d u s i n g s h e l le l e m e n t t h et h e o r e t i c a la n dn u m e r i c a ld y n a m i c a n a l y s i s o ft h e o p e ns e c t i o n t h i n w a l l e db e a m sa r eb o t hb a s e do n o n e d i m e n s i o n a ld i s c r e t ef i n i t em e m b e re l e m e n tm e t h o da n dt h e nac p r o g r a mi sc r e a t e dt oc a l c u l a t et h ef r e q u e n c yo ft h ef r e ev i b r a t i o no ft h e t h i n - w a l l e db e a m su n d e rc o m p l e xl o a d k e yw o r d s ：o p e ns e c t i o nt h i n - w a l l e db e a m s ；o n e - d i m e n s i o n a ld i s c r e t e f i n i t em e m b e re l e m e n t ；s h e a rl a g ；f r e q u e n c yo ft h ef r e e v i b r a t i o n 广西大掌硕士掌位论文 开口薄壁杆件静力及动力分析的一维数值理论和方法 第一章绪论 1 1 引言 在实际工程中，常常会遇到所谓薄壁杆件。由于它具有强度高、省材料的特点，所 以应用非常广泛。如桥梁工程和槽形梁( 柱) ，土木工程中的各种型钢，高层建筑中的 钢筋混凝土核心墙，以及航空工业中的机翼构件和造船工业中的船体结构等。因此，薄 壁结构的理论和计算方法的发展也成为必要。 薄壁杆件是指截面厚度较薄的杆件1 1 。几何特征是某一个方向的几何尺寸远大于 垂直该方向横截面上的特征尺寸6 ( 即横截面的最大尺寸，如直径、高、宽等) ，同时， 横截面上的最大厚度万 6 ，一般，三个方向的尺度a6 ，三，满足下列关系( 如图 1 1 ) ： k f 主：兰i ：2q 2 其中：j ( j ) 为壁厚，它是截面轮廓线的函数；6 为截面的最大宽度或高度；为薄 壁杆件的杆长。 图1 - ! 薄壁构件和实体构件的最大区别就是横截面上的翘曲变形不能再视为相对次要因 素而略去不计。通常薄壁杆件在荷载作用下所产生的翘曲变形十分显著，沿杆长的分布 范围也较广，由此而产生的应力较大，在强度计算时应予以考虑。与平面变形相似，翘 曲变形同样导致杆件发生稳定、振动等问题。也就是说，在外荷载作用下，薄壁杆件除 发生拉伸、压缩、弯曲、扭转这四种基本的变形外，还将发生显著的翘曲位移。薄壁截 面视其轮廓线是否封闭而分为开口薄壁截面与闭口薄壁截面两大类( 如图1 2 ) 。尽管二 者在几何特征和受力特性上有类似之处，但在应力分布和变形特点上二者是不同的，应 分别进行研究。如果横截面沿长度方向不变且轴线保持为直线，则称为等直截面薄壁杆 件，本文的研究对象为等直截面的开口薄壁杆件。 l j 1 l 广西大掌硕士掌位论文 开口薄壁杆件静力及动力分析的一维数值理论和方法 a ) 开口薄壁截面b ) 闭口薄壁截面 图l 一2 薄壁杆件计算理论是在十九世纪四十年代以后逐渐发展起来的一个力学分支。对于 开口薄壁杆件理论，可以认为是从铁摩辛柯于1 9 0 5 年对工字形截面梁的弯曲扭转理论 进行研究而开始的，在1 9 2 9 年，瓦格纳( h w a n g n e r ) 对各种不同截面的开口薄壁截面 杆件的约束扭转进行了研究，到了二十世纪中期，前苏联学者符拉索夫比较全面地研究 了弹性开口薄壁截面杆件的约束扭转问题，并根据自由扭转时开口薄壁杆件的变形特 点，创立了经典的开口薄壁杆件的约束扭转理论，即忽略中面上的剪应变，假定横截面 周边在自身平面内保持刚性，由此建立了针对开口薄壁杆件的比较合理实用的计算方 法，对开口薄壁杆件约束扭转理论的研究做出了杰出的贡献。随着理论的发展和完善， 一些学者在基于符拉索夫理论的基础上开始进行数值方法的研究。有限元法是适应使用 电子计算机而发展起来的一种比较新颖和有效地数值计算方法。时至今日，有限元法的 应用和正确性已经勿庸置疑，但是由于开口薄壁杆件是三维空间结构，利用普通的有限 元法进行求解时离散量过大，计算耗费过高，特别是对于动力问题的求解非常复杂。因 此寻求一种新的高效节省的数值计算方法成为薄壁杆件结构工程应用的一大课题。 1 2 国内外研究概况 关于薄壁结构的静力及动力问题，人们发展了许多方法【2 】，例如以经典的符拉索夫理 论为基础的各种简化方法、以有限元法和有线条法为代表的数值计算方法等等。对于开 口薄壁杆件的研究是从对其对扭转理论的研究开始的。n a v i e r 在对截面为任意形状的直 杆扭转理论开展研究时，仍沿用了曾在圆形截面杆自由扭转理论及杆件弯曲理论中取得 成功的“平面假定，即通常所指的“南维尔假定，但遭到失败。d u l e a u 对横截面为长 方形的直杆进行的扭转试验，也证明了n a v i e r 假定在此种情况下是不成立的。为了解决 这类问题，巴黎学士学院力学部会员a c a u c h y 将“横截面翘曲”这一概念成功的引入 系统的理论研究体系之中，并成功的找到了细长长方形截面杆扭转问题的弹性解。在此 基础上，s t v e n a n t 于1 9 世纪5 0 年代提出了完善的自由扭转理论，即现在通常所说的“圣 维南扭转”理论。而l p r a n d t l e 于1 9 0 3 年提出的薄膜比拟法，使得圣维南扭转理论广泛 应用于薄壁结构中【3 】。1 9 0 5 年，s t i m o s h e n k o 在非均匀扭转的一般理论中取得突破性进 展，对横截面不能自由翘曲的约束扭转问题进行了成功的研究1 4 j 。随后，m a i l a r t 研究了 ( ( l 一 ，、 开口薄壁杆件静力及动力分析的一维数值理论和方法 弯曲与扭转耦合作用问题，并首次提出了在薄壁构件结构分析中非常重要的“剪切中心 概念。从2 0 世纪3 0 年代开始v z v l a s o v 的一系列研究论文、论著，成功地发展了开口 薄壁杆件在不考虑断面畸变情况下的扭转与弯曲相结合的经典薄壁理论，创立了经典的 开口薄壁杆件约束扭转理论【5 j ，这一理论采用了两个基本假设，提出了满足工程需要的 开口薄壁杆件约束扭转理论体系。尽管这一理论在实用性上自身存在一些缺陷，但是由 于其具有较好的计算精度，仍然被世界各国学者所普遍接收，为更进一步的深入研究和 改进奠定了基础。 薄壁杆件受弯作用下，翼板存在传力的滞后现象，即剪力滞后效应。国内外很多学 者都对这一问题进行了研究。r e i s s n e r 提出了基于最小势能原理的位移法来分析箱型梁 中的剪力滞效应f 6 】。c o u l l 和b o s e 提出一种余能方法来分析高层建筑中的框筒结构，考 虑了剪力滞后效应1 7 。在c o u l l 方法的基础上，龙驭球和辛克贵发展了薄壁结构静力分 析的余能法1 8 】，认为截面应力由v l a s o v e 所求应力和自平衡应力两部分组成并把自平衡 应力的参数作为未知函数，用多项式进行模拟。郭金琼 9 1 、吴幼明【1 0 l 1 、吴文清1 2 1 和韦 成龙i l 列等人也对薄壁箱梁的剪力滞效应从不同角度进行了分析。k o o 和c h e u n g 提出了 以混合变分原理为基础的混合解法【l 引，用一种系统的方法来确定未知函数，得出的应力 和位移都比较合理。k o o 和w u 提出了一种考虑剪切变形的位移变分法【l 副。大部分学者 分析时差值函数采用多项式，阶数低时，收敛速度较慢，阶数高时，计算稳定性较差。 为了解决这些问题，x i n 在能量法的基础上，利用势能驻值原理，提出了半解析半离散 的方法l l 们。分析了薄壁杆件的静力和动力问题。除了能量法外，另一种被广泛采用的方 法就是有限元法。由于开口薄壁杆件是三维立体结构，而应用传统的有限元进行分析， 要占用大量的计算机内存，特别是对于动力问题的计算时间耗费很大，效率低下。1 9 6 8 年c h e u n g 首先提出有限条法l l7 1 ，与传统有限元法相比较，这种方法自由度减少，计算 量小，但是对于混合边界条件的结构等复杂情况的计算就比较困难。近年来，吴秀水利 用势能原理提出了以杆端截面横向位移和结点纵向位移为未知量u 引，与一般有限元法不 同的是其单元的未知量数目是不固定的，这种方法减少了计算量，但线性函数仍有一些 精度不足。为了解决这些问题，王全风引入了样条函数，建立了样条有限杆元法i l 圳。但 是该方法对于长细薄壁杆件的计算误差较大。杨绿峰等人，提出了样条李兹法和广义参 数有限元法1 2 叭，并且分析了开口薄壁杆件的约束扭转，得到的结果精度较高。 在开口薄壁杆件静力分析发展的同时，对于动力问题的研究也取得了一定的成果。 对于开口薄壁杆件的振动问题的研究，最早开始于符拉索夫在1 9 4 0 年提出的理论，后 来有些学者也提出过相同的理论。我国的胡海昌、钟万勰等人对于符拉索夫理论进行了 完善1 2 ，解伯民也曾放弃中面无剪应变的假设而只根据截面周线不可变形这样一个假设 提出了薄壁杆件振动的一般理论【2 2 1 。他的理论虽然比较准确，但从实用方面看来，带来 了许多数学上的困难。在符拉索夫理论的基础上，开口薄壁杆件振动理论不断发展，许 多国内外的学者也对开口薄壁杆件动力分析的数值方法进行探索和研究，南昌航空工业 学院的张英世教授对于开口薄壁结构的约束扭转振动进行了研究1 2 3 j ，并对变截面开口薄 广西大掌硕士掌位论文 开口薄壁杆件静力及动力分析的一维数值理论和方法 壁杆约束扭转振动的主振型函数的正交性作了讨论。袁向荣【2 4 】、沈荣瀛【2 5 】和唐友刚2 6 】 等人研究了翘曲位移对于薄壁杆件的振动的影响以及弯扭耦合振动的特点。r i c a r d o d a n i e la m b r o s i m 等人对符拉索夫理论进行了改进，引入了剪力滞后效应建立了开口薄 壁杆件振动微分方程【2 7 】。w yl i 和王全凤【2 9 】等人对于剪力滞效应对薄壁杆件振动的 影响进行了探讨。以上研究都为开口薄壁杆件动力分析做出了重要的贡献，但是可以兼 顾正确反映开口薄壁受力情况又能减少计算耗费的数值计算方法仍是学者研究的重要 方向，本课题正是基于这样的考虑进行研究，利用有限元法和样条函数法，得到一种光 滑度高，离散未知量少的开口薄壁结构的数值计算方法。 1 3 研究的内容和意义 符拉索夫的开口薄壁杆件约束扭转理论在开口薄壁杆件的工程应用和数值计算上 都有广泛的应用，本文所研究的内容就是通过分析国内外开口薄壁结构的实验研究和理 论成果，充分利用v l a s o v 开口薄壁杆件的基本理论并结合有限元的方法和样条函数法。 充分发挥两种方法的优势，通过合理的假设，将三维问题简化为一维离散数值问题，从 而建立一维开口薄壁杆件有限元理论和方法。得到开口薄壁结构的数值计算模型。 1 3 1 本文所做的工作 一、建立开口薄壁杆件约束扭转一维离散有限元法的静力和动力分析的数值模型 ( 1 ) 推导建立开口薄壁杆件约束扭转分析的一维离散有限元法计算模型，并编制相应 的c 语言程序； ( 2 ) 建立开口薄壁杆件约束扭转分析的样条里兹法计算模型，并编制相应的c 语言 程序，比较一维离散有限元法和样条李兹法两种方法的精确度问题； ( 3 ) 推导建立开口薄壁杆件约束扭转振动的一维离散有限元法的分析模型，并编制相 应c 语言程序，求解开口薄壁杆件的约束扭转自由振动的动力特征，即振动频率和振型 函数。 二、建立开口薄壁杆件在复杂荷载作用下的一维离散有限元法的静力和动力分析数值模 型 ( 1 ) 推导建立开口薄壁杆件复杂荷载作用下一维离散有限元法的静力分析数值计算 模型，并编制相应程序计算位移和内力，并与解析解进行比较； ( 2 ) 推导建立开口薄壁杆件复杂荷载作用下一维离散有限元法的动力响应方程，并编 制相应程序求解开口薄壁杆件复杂荷载作用下自由振动的振动频率及振型函数。 1 3 2 本文研究的意义 综上所述，开口薄壁结构的解析理论已经得到不断的发展、完善，在实验方面的成 果也越来越多。但是由于解析理论在实际工程中的应用范围的局限性，实验研究很容易 受到环境因素和其他条件的限制，因此对于开口薄壁杆件静力及动力问题的数值分析和 4 广西大掌硕士掌位论文开口薄壁杆件静力及动力分析的一维数值理论和方法 计算方法的探讨成为国内外学者研究的一个热点。国内外的学者对于开1 3 薄壁杆件受力 特性的研究也已做了许多工作，各种理论和方法各有优缺点。但是所有的研究的理论和 方法也都受到一定的限制。因此，寻找一种可以兼顾正确反映开1 3 薄壁受力情况又能减 少计算耗费的数值计算方法仍是学者研究的重要方向。 有限元法是解决各种复杂工程 问题的一种行之有效的数值分析法，应用范围及其广泛。但是应用普通的有限元法计算 开口薄壁杆件的静力及动力问题时，由于开口薄壁杆件是三维立体结构，要占用大量的 计算机内存，特别是对于动力问题的计算时间耗费很大，效率低下。本文j 下是基于这种 考虑，利用有限元法适用性强、易于编写程序的优点，结合开口薄壁杆件的受力特性， 充分利用成熟的v l a s o v 薄壁理论，通过合理的假设，将三维问题简化为一维离散数值 问题，从而建立一维开口薄壁杆件静力及动力分析的有限元法的理论和算法。为开口薄 壁结构进一步的可靠性分析和抗震性能奠定基础，为实际工程中开口薄壁结构的可靠性 设计和抗震设计提供实用、准确的理论工具。 广西大掌硕士掌位论文 开口薄壁杆件静力及动力分析的一维数值理论和方法 第二章开口薄壁杆件约束扭转的静力及动力分析 开口截面薄壁杆件可以看作是一种长柱壳，柱壳的中面与其截面的交线称作截面的 外形轮廓线。在扭转荷载作用下，按照传统的薄壳理论来计算，是十分复杂的。符拉索 夫参照开口薄壁杆件自由扭转时的变形规律，抓住薄壁杆件约束扭转变形时的主要特 点，采用两个基本假设，从而合理简化了计算，建立了满足工程需要的开口薄壁杆件约 束扭转理论，并为更深入的研究奠定了基础。 符拉索夫开口薄壁杆件约束扭转理论的三条假设如下【4 】： ( 1 ) 刚性周边假设：在小变形条件下，横截面周边在自身平面内保持刚性，即不变形； 在出平面方向( 杆轴方向) 可以翘曲。 ( 2 ) 符拉索夫假设：中面上的剪切变形为零。即认为相交于某点的母线与外形轮廓变 形后仍保持为直角。 ( 3 ) 虎克定理成立。 2 1 开口薄壁杆件的约束扭转理论 我们已经知道，非圆截面受扭时，杆截面上各点将产生不同的轴向位移，从而使截 面出现凹凸变形即翘曲现象。如果这种翘曲不受杆件的支撑条件和载荷方式等的阻 碍，则这种扭转称为自由扭转或纯扭转。实验表明，在自由扭转中杆件表面纵线上任意 两点仅发生相同的平行移动。这表明各断面翘曲相同，所有纵向纤维并未发生轴向应变， 断面没有法向应力，只有和外扭矩相平衡的剪应力；此外，由于自由扭转时截面可自由 翘曲，故杆件纵向纤维不会发生弯曲。 2 1 1 矩形截面狭条的自由扭转问题 在进行开口薄壁自由扭转分析时，首先假定杆件受扭时横断面的周边在原平面内的 投影不变形。这样同一横断面上各处的扭角可以认为是相同的。如图2 1 所示狭条矩形 断面受扭矩m ，( 在所观察的截面上逆时针方向为正，反之为负) 作用，它是断面上剪 应力的合力。这种剪应力的方向必与周边平行，且形成与扭矩同方向的回流。又因扭矩 本身是一反对称的内力，故剪应力可作为沿厚度成反对称的线性分布。边缘有最大值 m a x ，在距厚度中点为玎处的值为 r l f j 7 = 杀f 一 ( 2 1 1 ) t z 剪应力及扭转变形与扭矩的关系可通过薄膜比拟予以建立，下面只做近似分析【3 0 】： 沿长边方向的厚度内，剪应力合成为剪力流，两端相距以6 计，则狭条断面上形成 的扭矩为： 广西大学硕士掌位论文 开口薄壁杆件静力及动力分析的一维数值理论和方法 ( g 6 ) ；，+ ( g ；，) 6 = ， t r 1 m t 图2 1 于是最大剪应力为 f 懈= 燕= 巍 亿心， 狭条矩形断面在自由扭转时发生的变形表现为各断面不等的扭转角位移曰，可用实功原 理导出扭率掣与扭矩m 。的关系为： 炉g 口 亿， 令j ，：嬖为狭长断面自由扭转的抗扭常数( 圣维南扭转常数) ，或抗扭惯矩。在自由扭 转的杆件上m ，为常数，称为自由扭矩，为表述方便改写为m 胃，故有 m = g i f t ，0 = m g i , ( 2 1 3 a ) 此式表明等截面狭条杆自由扭转时的扭率口为常数，其中g i ，为断面的抗扭刚度。 2 1 2 开口薄壁杆件的自由扭转 通过由若干狭条组合而成的开口薄壁断面如图2 2 所示。由于假设薄壁断面周边不 变形，则整个断面各个壁段具有一致的扭转角，全杆的扭率与扭矩之间也应存在式( 2 1 3 a ) 的关系。其中每块狭条f 承担着扭矩，m 胁= 陋，) 。0 7 ，而全断面上有m h = m 胁，当 g 值一致时，于是可得 广西大掌硕士掌位论文 开口薄壁杆件静力及动力分析的一维数值理论和方法 卜z ，i a = j 1 6 f ? 虹 _ l ( 2 1 4 ) 刨 图2 - 2 断面结点处存在应力集中现象，所以应加大结点处的板厚。相应地，断面的抗扭惯 性矩应引入一个修正系数口。即 一a 1 - b ，f ? ( 2 1 4 a ) 式中，口取值为：角钢1 0 ，槽钢1 1 2 ，t 型1 1 5 ，i 型1 2 0 等。 2 2 开口薄壁断面的扇性几何性质 2 2 1 扇形面积( 扇形坐标) 图2 3 扇性坐标是用来表示开口薄壁杆件中线上任意一点的轴向位移时所采用的广义坐 标。坐标系均采用右手系，如图2 3 所示，设x 轴与杆件的母线平行，且过截面形心d 。 在薄壁杆横断面上，以某点m 。为曲线坐标5 的起点，以断面内的任一点b 为极点。m 。 互fljl划jj 广西大掌硕士掌位论文开口薄璧杆件静力及动力分析的一维数值理论和方法 是壁中线上曲线坐标为s 的任一点，p ( j ) 是点b 至点m 。中线的垂距。则当点m 由m 。沿 壁中线沿逆时针方向运动至点肘时，直线段b m 扫过的扇形面积的二倍就等于： 国b ) = 【p ( s ) d s ( 2 2 1 ) 其中：缈g ) 为扇性坐标，m 。为扇性零点，点b 为扇性极点。 所以说，扇性坐标是在选定零点和极点后，以面积值表示的壁中线上任一点位置特 性的广义坐标，其量纲是【长度2 】，并规定当b m 沿逆时针方向运动时所得的国( s ) 为正， 反之为负。薄壁杆件断面上任一点的纵向位移、纵向应变及应力都与扇性坐标有关。扇 性坐标以及与扇性面积有关的其它量称为薄壁杆件横断面的扇性特性，它们在薄壁杆的 扭转分析中非常重要。 2 2 2 扇性静矩，主扇性面积，主扇性极点，主扇性零点 在薄壁杆件的计算中还常遇见扇形面积的积分，定义如下： s 甜2 肛 ，孀2j 4 删 i 掣2 点a r z d , 4 ( 2 2 2 ) 式中，s o , 横截面的扇性静矩( 量纲i r ) ； 乞，l 分别为断面关于y 轴和x 轴的扇性惯性矩( 量纲i l l 5 ) 。 在开口薄壁杆件的约束扭转中，我们定义：满足使扇性静矩和扇性惯性矩为零的扇 性面积称为主扇性面积，用表示；主扇性面积的静矩和扇性惯性矩称为主扇性静矩 和主扇性惯性矩，分别用s 曲、k 、厶，表示。依据定义，有 s 础= h d a = 0 i 曲z = 工c o b v d a = 0 k = 协z d a = 0 ( 2 2 2 a ) 上面的积分是在整个截面上进行的。为了满足( 2 2 2 a ) 式，可调节极点b ( y 。，元) 的位置和 确定扇性面积的坐标起点m 。，使扇性面积满足( 2 2 2 a ) 式，则这个极点亦即相应于主扇 性面积的极点称为主扇性极点，主扇性极点用b 表示，( 2 2 2 a ) 式中的下标b 表示该量是 关于主极点b 的。下面给出主扇性极点和主扇性零点的具体计算方法【3 1 1 。 首先给出扇性极点改变时扇性面积的变化公式。为简单计，先把极点放在坐标原点， 如图2 4 ，这时元素出的微元扇性面积为： d o j = p c 2 d p = ( y 2 + z 2 ) d p = y 2 d p + z 2 d p ( 2 2 3 ) 注意到 y = p cc o s f l ，z = p cs i np ；d y = - p cs i n p = 一z d l | b ，d z = p cc o s f l d f l = y d f l 则上式可写为： d t o = y d z z d y ( 2 2 4 ) 广西大掌硕士学位论文 开口薄壁杆件静力及动力分析的一维数值理论和方法 现取两个扇性极点a ( y 。，z 。) 和b ( y b ，z 。) ，设b 是主扇性极点，彳为任选极点，如图 2 5 所示，利用式( 2 2 4 ) 得： d c o 。= ( 少一y 。) d z 一( z z 。) 妙 d o s 6 = ( y y 6 ) d z 一( z z 6 ) d ) ， ( 2 2 4 a ) d c o b d c o 。= 一( j ，6 一y 。) d z + ( z 6 一z 。) 妙 d 图2 - 4 图2 5 设极点曰与彳的相对坐标差为口。和口：，即 a y 2 yb y o q z2z b z d 则 d ( r o b 一吼) = 口：d y 一口，d z 积分该式得： lz = k y 2 d a ，iy = 2 d a ，i 掣= z y d a ， s ：= 工刚， s y = a ，s = d a ， ，。= 工国。y 以，l 形= 工国。z d a ，s 。= 工缈。d a ， i y t i y zs捌蚓io。a-ss s s s ? j ： ：i - 口： = ： ”j 【。j ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 并注意到记 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 广西大掌硕士学位论文 开口薄壁杆件静力及动力分析的一维数值理论和方法 如果选取形心坐标系，并将极点a 选在形心，则s y = 0 ，s ：= 0 ，并注意到这时 y 。= 0 ，z 。= 0 这时计算得 = 专 口y = y 占一y 月= 特 口：= z 曰一z = 一糟 ( 2 2 1 0 ) 式中，s 是杆件的断面面积；，：、l 、i y , 分别是截面对形心坐标轴z 、y 轴的截面惯性 矩及惯性积。然后由式( 2 2 7 ) 求出主扇性面积。式( 2 2 1 0 ) 就是形心坐标系中主扇性极点 坐标表达式。 如果选取形心惯性主轴坐标系，这时s y = o ，s ：= o ，厶= o ，极点a 任选，上式 可以简化。代入式( 2 2 9 ) 得到： y ay = i 唧 一，：口：= ，础 ( 2 2 9 a ) 一s p = s 。 于是解得 ， q 2 亏 吒一等 ( 2 2 1 1 ) = 一墅s 代入式( 2 2 7 ) 求出主扇性面积 咆一百i o i o z 少一等z 一等 由式( 2 2 11 ) 和式( 2 2 5 ) 即可求得主扇性极点的坐标 旷矿铲等 妒y 。咣= 寺 ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) 由此可见，主扇性极点与无关，即与计算扇性面积的起始点选择无关，所以主扇性极 点纯属截面的几何性质。 特别应当指出的是，截面主扇性极点b 就是截面的剪切中心。亦可称为弯曲中心或 扭转中心。 广西大掌硕士掌位论文开口薄璧杆件静力及动力分析的一维数值理论和方法 2 2 3 扇性惯性矩 积分 l = p 2 d a ( 2 2 1 24 ) 称为扇性惯性矩。如果饥是主扇性面积，则 乙2 上珊b 2 d a ( 2 2 1 5 ) 称为主扇性惯性矩。将式( 2 2 7 ) 代入上式，并整理得： i 曲= ，棚一口，。，+ 口：，衄+ 筇。 ( 2 2 1 6 ) 以上就是开口薄壁杆件约束扭转分析中出现的截面几何特性，是为了计算简化而建 立的一种广义坐标，其详细用法将在下面一节介绍。 2 3 开口薄壁杆件的约束扭转理论 薄壁杆件受到扭转作用时，如果某些断面的纵向翘曲受到约束，则在杆件横截面上 不仅有剪应力存在，而且还有正应力。这时，薄壁杆件在扭矩作用下，将不仅发生扭转， 同时往往还发生弯曲。这种扭转称为约束扭转或弯曲扭转。 2 3 1 开口薄壁杆件约束扭转的位移 如图2 3 所示为任意横截面的开口薄壁杆件，采用右手坐标系，x 轴与杆件母线平 行且过形心d 。图中m 。为曲线坐标s 的起始点，在该点j = 0 ，曲线坐标沿外形轮廓线 量取，逆时针方向为正。这样杆件中面上任一点m 可由两个坐标x 和s 完全确定。当杆 件受扭变形时，点m 将发生切向位移v ( x ，s ) 和纵向位移u ( x ，j ) 即翘曲位移，其中切向位 移v ( x ，s ) 以过m 点的正切线方向( 逆时针方向) 为正；纵向位移u ( x ，s ) 以与x 轴方向一 致为正。根据符拉索夫开口薄壁杆件约束扭转理论的假设( 1 ) ，薄壁杆件在受力变形时， 特别是当外荷载仅为扭转荷载而无横向外力时，杆件的切向位移可以看作是由杆件在自 身平面内做刚体转动而产生的。因而截面上某点m ( x ，j ) 的切向( s 方向) 位移为： v ( x ，s ) = 从j ) p ( 工) ( 2 3 1 ) 式中，p ( x ) 截面x 绕扭心b 转动的角度0 ； p ( s ) 扭心b 到点m 的切线之垂距。称点b 为极点，p 为极径。 这里仍以石表示轴向坐标，s 表示壁中线的曲线坐标。以后不再说明。 从杆件中面上肘点附近取出一片d x d s 的微元，如图2 - 6 所示，根据假设( 2 ) ，中 面上的剪应变应为零，于是由弹性体的几何方程得m 点的剪应变为： 扎：丝+ 堡：ok 5 瓦+ 瓦- u叫 将式( 2 3 1 ) 代入上式，并注意到外轮廓线不变形，即o ( x ) 与j 无关；沿壁中线s 按逆时 针方向积分，可得： 广西大掌硕士掌位论文 开口薄壁杆件静力及动力分析的一维数值理论和方法 图2 - 6 一 一 u ( x ，j ) = 一【0 7 ( x ) p ( s ) d s + n o ( x ) = 一0 ( x ) 【p 出+ 材o ( x ) ( 2 3 2 ) 式中，“。( x ) 是任意积分函数，它表示x 截面上j = o 处的纵向翘曲位移。 在上式中，由( 2 2 1 ) 式知r p ( s ) 出称为点m ( x ，s ) 的扇性坐标缈( s ) ，将式( 2 2 1 ) 带入( 2 3 2 ) 得： u ( x ，s ) = 一0 ( x ) c u ( s ) + 甜n ( x ) ( 2 3 2 a ) 2 3 2 开口薄壁杆件约束扭转的应力 一、开口薄壁杆件约束扭转的法向应力 由弹性力学几何方程知m 点的纵向正应变为 0 u 气2 瓦 将式( 2 3 2 a ) 带入上式得： 占埘= _ o u = 一口。( x ) 缈( s ) + 甜：( x ) ( 2 3 3 ) 根据第一条基本假定，断面周边在自身平面内保持刚性。故沿j 方向的正应变占s = 0 。 根据假定( 3 ) ，虎克定理成立。可以得到如下结论： 2 贵姐i 毛 ( 2 3 4 ) 令 巨= 南 这里e l 称为薄壁杆件的折算弹性模量，t 是材料的泊松比，e 为材料的弹性模量( 注： 由于一般很小，故有时取e = e ) 。 将式( 2 3 3 ) 代入式( 2 3 4 ) ，得： 盯。= 一e 1 0 。( x ) c o ( s ) + e l u o ( x ) ( 2 3 5 ) 广西大掌硕士掌位论文 开口薄壁杆件静力及动力分析的一维数值理论和方法 薄壁杆件约束扭转时，断面x 上的轴力、绕z 轴和绕j ，轴的弯矩m ：和m ，都等于零， 仅有扭矩m ，作用。由n = i 。吼幽= o 和式( 2 3 5 ) 得： p ”( 石) 【缈( j = “：g n ( 2 3 6 ) 当扇形坐标选取恰当，即选取主扇性极点和主扇性坐标时，由式( 2 2 2 a ) 中第一式可知： i ( o o ( s = 0 将它代入式( 2 3 6 ) ，可得 “：( x ) = 0 因此，式( 2 3 5 ) 可以简化为： 仃。= 一e i p 。( x ) ( s ) ( 2 3 5 a ) 二、开口薄壁杆件约束扭转的剪应力 由于开口薄壁杆件在约束扭转时相邻截面翘曲不等( 式2 3 2 a ) ，因此约束扭转正应 力盯。在各截面也不相等；为了平衡截面间约束扭转正应力之差，在杆件纵截面中将有 剪应力产生；同时根据剪力互等定理，在杆件横截面上也必将出现与之相等的剪应力， 即杆件约束扭转时伴随约束扭转正应力盯。而产生的附加剪应力，我们称之为扇性剪应 g 。凼 a m f d f 一 警出) t c l 。s 仃m + _ o 出i 出 ， 图2 7 力或二次剪应力，用f 。来表示。因此，杆件的横截面上作用的剪应力f 由两部分组成， 其一是自由扭转剪应力，另一是扇性剪应力f 。即 f2l + t h ( 2 3 7 ) 为了确定壁中面上任一点m ( x ，s ) 处的剪应力r 。( x ，s ) 。从杆件中面上点m 附近取出 一个d s d x 的微元，如图2 7 所示，( s ) 表示壁厚，由于壁厚，( s ) 较小，可以认为f 。沿 壁厚均匀分布。现在考虑微元x 方向的平衡，并整理得： 广西大掌硕士掌位论文 开口薄壁杆件静力及动力分析的一维数值理论和方法 ，堡+ 丝也：o 瓠a s ( 2 3 8 ) 由上式可以求得： l g ，j ) = 一等出蝇g ) ( 2 3 9 ) 其中t o g ) 是任意积分函数，其物理意义表示截面上s = 0 处的剪应力。 如果把曲线坐标的起始点j = 0 置于截面开口处，并且当此处纵向剪力为零，即t o g ) = 0 ， 将式( 2 3 5 a ) 代入式( 2 3 9 ) ，得： t o j ( x ，s ) = ；上秒”( x ) s 。( s ) ( 2 3 9 a ) 这就是扇性剪应力的表达式。从上式可以看出，当x 为常数时，横截面上的扇性剪应力 f 。的分布规律与此断面上各点的主扇性静矩s 珊( j ) 的分布规律相同。 综上所述，开口薄壁杆件约束扭转时，截面上的剪应力由两部分组成。一是自由扭 转剪应力，一是弯曲剪应力f 。；分别产生自由扭矩m 片和约束扭矩m 。大量计算证 明，作为断面上剪应力的一个主要组成部分的自由扭转剪应力f h 是不可忽略的。事实 上，它所引起的剪应变远大于弯曲剪应力引起的剪应变。这就是不计与弯曲剪应力f 。相 应的剪应变的原因。 2 3 3 双力矩与约束扭矩 前面我们已经求得约束扭转时杆件截面上的扇性法向应力和扇性剪应力，现在要把 它们同相应的内力联系起来。在初等梁弯曲理论中，弯曲法应力盯相应的内力是弯矩 m ；在薄壁杆件理论中，与扇性法应力仃。相应的内力称为弯扭双力矩或简称双力矩， 它是一个广义内力，用符号b 表示，并定义为( 其方向规定为截面上部左侧受压右侧受 拉为正，反之为负) ： b ( x ) 2 上盯。c o d a ( 2 3 1 0 ) 将式( 2 3 5 a ) 代入式( 2 3 1 0 ) ，得 b ( x ) = 一e l ，。秒。( x ) ( 2 3 11 ) 式中，l 是主扇性惯性矩： ，。= p 2 d a ( 2 3 1 2 ) 根据式( 2 3 1 1 ) 可求出口。 ) ，再回代到式( 2 3 5 a ) ，得： b o y 盯2r ( 2 3 1 3 ) 这就是扇性法应力盯。与双力矩b 之间的关系式。它表示扇性法应力沿杆长随截面双力 矩变化，而在固定截面上按主扇性坐标缈分布。 广西大掌硕士掌位论文 开口薄壁杆件静力及动力分析的一维数值理论和方法 现在，我们来建立扇性剪应力与相应内力问的关系。从前面的讨论中可以看出，双 力矩对应于约束扭转正应力。这里要讨论的弯扭力矩则对应于约束扭转剪应力。与简单 梁理论中定义的截面横剪力相类似，弯扭力矩定义为( 以在所观察的截面上逆时针方向 为正，反之为负) ： m 。= i 。f 。，d 缈 ( 2 3 1 4 ) 将式( 2 3 1 1 ) 两边求导一次，求出目”( x ) ，然后代入式( 2 3 9 a ) ，得： 以) ：一掣蹦s ) ( 2 3 1 5 ) m l 将上式代入式( 2 3 1 4 ) ，整理得： 帆：竺：一e l 叭x ) ( 2 3 1 6 ) 这就是弯扭力矩的表达式，它表明双力矩与约束扭矩之间存在着简单的微分关系，就像 简单梁理论中弯矩与剪力的关系一样。 将式( 2 3 1 6 ) 代入式( 2 3 1 5 ) ，得： l ：一警 ( 2 3 1 7 )l2 一产【厶j j 甜 现在来考虑截面上的总扭矩。在2 3 2 中已经讨论过开口薄壁杆件约束扭转时，截 面上的剪应力由两部分组成，一是自由扭转剪应力，一是约束扭转剪应力r 。自由 扭转剪应力产生自由扭矩m ，约束扭转剪应力产生弯扭力矩m 。这两种扭矩之和构 成了约束扭转薄壁杆件横截面上的总扭矩m ，： m ，( x ) = m 。( x ) + m ( x ) ( 2 3 1 8 ) 2 4 开口薄壁杆件的约束扭转分析的一维离散有限元法 随着科学技术和电子计算机的飞速发展，使我们可以方便而廉价的利用电子计算手 段来解决薄壁杆件结构的计算问题；有限元是适应使用电子计算机而发展起来的一种比 较新颖和有效的数值方法。而根据薄壁杆件的材料特性和受力特性，本章利用一维离散 有限元法进行分