第12讲 从“角的度量” 看测量教学.doc

第12讲 从“角的度量” 看测量教学主讲：杨利亚 江苏无锡市名师 江苏省江阴市讲师进修学校 张叶清 中学高级教师 上海市师范高等专科学校附属小学杨：各位老师，大家好今天我们一起来从“角的度量”看测量教学，为什么选这个题目呢？测量是空间和图形中一个重要的部分，而这个内容里面有很多的东西非常难，比如说角的度量。今天我们就来解剖这节课，讨论一些关于测量教学的问题。一、现状和原因的分析（字幕）张：我们先来了解一些基本情况：一般是怎样教学“角的度量”的？教学时遇到什么问题？产生这些问题的原因又是什么？（字幕）杨：我也多次教过角的度量，我一般是这样教的，首先认识量角器和角的的计量单位“度”，接着教学量角的方法“对点、对边、读刻度”，最后就进行大量的练习。张：但是象这样的教学经常遇到的问题有三个，第一是学生不会摆量角器，顶点和中心、零刻度线和角的一条边很难同时达到要求，最极端的错误是明明角在这里，量角器竟然会放到角的另一侧，也就是说角不在量角器的范围里边。第二种错误是摆好了量角器也不会读刻度，内圈和外圈分不清，70度读成110度，遇到65度这样的角更难理解，学生会读成75度、125度、115度。而第三个问题，整个课堂中灌输的味道实在太浓，学生真的成了接收灌输的容器。杨：你遇到的问题啊其实我也经常遇到，我认为产生这些问题的原因不能归结于我们自己讲解不清，指导不细，训练不够，恐怕这些原因只是表面的原因，我认为最根本的原因是学生对于量角器的本质不太明了。学生不明白“量角器就是单位小角的集合” （字幕）。因为量角的基本单位是度，而这个“度的角”实在太小，在量角器上根本不能反映出来，所以量角器的制作者往往把度分割线去掉大部分，就留下沿着圆周的一小部分，因此学生很难理解“量角器就是小角的集合”。而且学生不明白量角器上两圈刻度的作用和由来（字幕）。学生最熟悉的度量工具是“尺” “尺”上只有单向刻度，这是因为“尺”的摆放与读数比较容易；而用量角器量角时呢，如果只有单向刻度，那么量不同朝向的角的大小时是非常麻烦的，因此不得不加上两圈刻度，学生对此也不太理解。因此我认为：量角器的高度简约化、高度智慧化、高度截面化和学生已有经验之间的矛盾使得学生对于量角器的本质的认识产生了障碍。张：杨老师，我还认为还有一个原因，是学生对量角方法的本质不明。学生不明白量角的本质就是看测量对象中含有多少个单位小角。无论是长度、面积、体积、重量、角度的度量的本质都是用基本单位与当前所测量对象进行比较，例如：测量面积就是把被测量对象与单位面积进行比较，被测量对象中含有多少个面积单位它的面积就是多少；而量角的本质是看被测量的角中包含多少个单位角。正由于学生对于量角器的本质不明，学生才不会摆量角器。二、怎样从揭示本质的角度来改进“角的度量”的教学（字幕）杨：原因找到了，是由于学生对量角器和量角方法的本质不明。那么该怎样从揭示本质入手改进我们当前的教学呢？ 全国第八届课堂教学大比武的一等奖获得者强震球老师在这方面作了很好的探索，我们分两个段落来剖析他的教学方法和设计意图。首先来研究（一） 怎样揭示“量角的本质是看对象中含有多少个单位小角”“量角器的本质是单位小角的集合”（字幕）请看录像。案例12-1角的度量（江苏省江阴市实验小学 强震球）（字幕）1、录像观摩：2、讨论：杨：刚才这段录像其实可以分成两个段落1. 由角的大小的意义引出可以用单位角来度量角的大小2. 由单位角的使用不便引出要可以把单位角合并为半圆工具，并进行方法教学（字幕）我们来分析一下这两个段落的设计意图：张：由角的大小的意义引出可以用单位角来度量角的大小。这个段落其实是为了说明量角的本质是看大角里有多少个单位角。复习角的大小的含义，唤醒学生对角的大小的理解，为用单位角量角的大小打下铺垫；复习用活动角比较角的大小，用活动角来比较角的大小时的注意点“点对点，边对边”实际上是用量角器量角的方法的雏形，因此需要激活。本环节还通过学生的讨论与操作，引导得出用小角来比较的方法，比较了用活动角比大小和用小角比大小各自的优劣，突出了小角度量比较精确的特点。量角器的本质是单位角的集合，让学生悟出用小角测量的可行性与操作要点，可以为学生理解量角的原理打下坚实的基础。杨：第二个段落由单位角的使用的不便引出要把单位角集合为半圆工具，并进行方法教学。这个段落的目的在于揭示量角器的本质是单位角的集合。强老师呢，针对“用单位角比较”的优势和劣势非常准确地设问：能否保留“用小角比”的优势而改变操作不便的不足呢？在这个基础上引导学生把单位小角合并起来，这样就非常巧妙揭示了量角器的本质是单位角的集合。本环节还强化了用“简易量角器”测量角的大小的方法。简易量角器上没有刻度，但是正因为没有刻度，学生就只能数出得数了，对学生掌握量角的方法反而减少了很多干扰，更利于学生掌握量角的方法。（二）怎样让学生明白量角器上两圈刻度的作用和由来（字幕）1、 导入：杨：到现在为止，学生明白了量角器是小角的集合，量角的本质也明白了，但是学生还不明白两圈刻度的作用和由来，那么强老师接下来会怎样呢呢？让我们接着看下去。2、 录像观摩案例12-2 角的度量（江苏省江阴市实验小学 强震球）（字幕）3、 讨论：杨：这部分内容的教学还是可以分成两个阶段：第一个阶段由这种半圆工具度量不准确引出要把单位小角分得更细些第二个阶段由细分后的半圆工具读数不便引出要加刻度，进而引出两圈刻度（字幕）拿这两个段落设计意图又是什么呢？张：我认为，前一段落中老师用的单位角比较大，具有便于操作、便于学生掌握原理和方法的作用，但是真正使用的量角器中的单位角是1度的角，1度的角非常小，具有度量准确的优点。因此强老师就从单位角太大度量不准确入手启发引导学生得出：要把单位角分得更细些。学生实际使用的量角器的靠近中心部分是没有分割线的，使得学生不易理解量角器是单位小角的集合，强老师演示量角器的动态演变过程用意就在于弥补这个不足。杨：第二个段落是由细分后的半圆工具读数不便引出要加刻度，进而引出两圈刻度。与直尺相比，量角器有两圈刻度，这是理解量角器的构成的一大难点。这个环节中强老师精心设计了读数不便的现实情景，让学生产生要加两圈刻度的想法，这样一来刻度成了学生自己的作品，当然它的由来、作用、使用方法就不言自明了。在平时的教学设计之下，量角的方法是要由教师一个步骤一个步骤地示范讲解的，但是在本课的教学前提之下，量角的方法当然不再需要教师拼命死灌了，量角的方法只是学生的思维的自然延伸，因此完全可以由学生自己得出了。三、整个课堂设计的核心思想（字幕）杨：为了捕捉整堂课设计的主要思想，我们来完整地来看一下整节课的五个段落：1. 由角的大小的意义引出可以用单位角来度量角的大小；2. 由单位角的使用的不便引出要把单位角合并为半圆工具；3. 由这种半圆工具度量不准确引出要把单位角分得更细些；4. 由细分后的半圆工具读数不便引出要加刻度，进而引出两圈刻度；5. 完整总结量角方法，进行相应练习（字幕）这个段落呢刚才大家没有看到从这五个段落和他们之间的相互联系中我们也可以看出强老师在设计这节课时有哪些重要设计理念呢？张：我认为在本课当中，强老师非常重视揭示知识和方法的本质，揭示本质是本课的第一个设计理念。量角器的本质是“单位角”的集合，角的度量的本质是看被测对象中含有多少个“单位角”，促使学生对这两个本质充分而又深刻地理解是上好这节课的逻辑基础，强老师的教学策略的设计就是围绕这样的主题展开的。杨：但是强老师揭示本质不是通过灌输来实现的，而是通过动态建构来实现的，因此动态建构是本课设计的第二个理念。建构主义的教学理论强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构，建构的过程是从“不平衡”到“平衡”的不断反复的过程（字幕）。这节课里，强老师能够追踪量角器设计者的思考轨迹，凸现种种矛盾冲突，不断激发学生深入思考，展示了知识的形成过程，让学生理解“量角器的本质”，理解“量角方法的本质”。也就是说，强老师试图把学生的角色从“量角器的使用者”提升成为“量角器的制作者”，引导学生进行对量角器的再创造，在探索和实践的过程中掌握知识的原理，在建构工具的同时建构方法。四、延伸讨论（字幕）1、导入：杨：老师们，空间和图形中的测量内容非常丰富，具体而言包含下列内容：意义：长度、角度、周长、面积、表面积、体积、容积算法：一些图形的周长、面积、表面积、体积、容积的计算方法（字幕）强老师的角的度量的教学中最突出的就是把握本质和动态建构，那么这样的理念对于如此丰富的测量教学的内容有没有什么指导意义呢？2、教师对于测量本身的数学理解非常重要。张：强老师的课使我们教师对于量角的本质、量角器的本质（的认识）有了新的提高，我觉得教师对于测量本身的数学理解非常重要。杨：对呀，你要让学生理解知识的本质，那么教师不理解本质怎么行呢？而且理解要深刻要深刻要达到哪些要求呢？我看主要有下面这些要求：1. 理解测量的本质是看测量对象中含有多少个基本单位2. 理解为什么有的测量工具是专门化固定化？有的测量工具却是临时性质？3. 理解测量单位统一的必要性4. 理解测量单位和测量对象的一致性 这一条我解释几句：长度是一维的，长度单位也是一维的；面积是两维的，面积单位也是两维的；体积是三维的，体积单位也是三维的这其中就有一致性呀5. 理解专门的测量工具是测量单位的集合。6. 理解为什么一些专门的测量工具上要加刻度？7. 深刻理解测量概念本身的内在含义（以上字幕逐条出）深刻认识测量概念本身的含义是一件非常重要的事情，很多测量概念是非常抽象难懂的，比如什么是面积？什么是体积？教师绝不应该满足于会机械地背出几个定义，如面积的定义老师就背啦“物体表面或围成的平面图形的大小叫做他们的面积”，其实会背这样的定义很简单，但是你对面积的真正意义完全是可能一知半解的。我曾经让一个学生比较两个长方形的面积，当学生比出结果后我问他原因，那个学生说却说“那个长方形边框比较长”。你看这里边学生关注的根本不是面积啊，他关注的是周长。我认为，教师对于测量概念必须要有非常本质的而不是字面的理解，还是以面积为例，面积的本质是什么，面积的本质是“面的大小”而不是“边的长短”，把握概念的本质有什么标志呢？下面我举两个例子，这两个例子应该很能说明问题。有一次，吴正宪老师教学面积的意义，她先让两个学生比赛涂色，一个学生涂面积比较大的一个长方形，还有一个学生涂一个面积较小的正方形，看谁先涂完。我认为学生在这个过程中关注的才真正是面的大小。还有一位老师教学面积意义时，他一开始就布置学生比较两个房间的大小，结果有的学生用尺去量，有的学生用报纸去铺地，铺完之后说哪个房间用的纸多哪个房间的面积就大。我认为第二个学生对于面积的含义恐怕也是真正理解的。3、把技能训练课提升为思维发展课。张：我认为强老师的这堂课不象很多老师一样，把测量课仅仅当作技能训练课、手工操作课，在强老师的课堂里，学生的思维能力得到了很大的发展，解决问题的策略得到了很大的提升，这一点非常值得我们学习。因此我认为改进测量教学第一个要做到的就是：把技能训练课提升为思维发展课。杨：要把技能训练课提升为思维发展课，我觉得应该做到下面几条：（）杜绝测量概念教学中的浅表化、文字化，要追求概念理解的深刻化、本质化。（）杜绝测量单位、工具教学的机械化，要追求教学过程中的生成性。（）杜绝测量公式教学过程中的短平快，要追求在公式推导过程中学生的实质发展。（字幕）其实前两点我们在前面的讨论中已经涉及很多，关于第三个方面我在这里补充一个例子。教学平行四边形的面积计算时，我们一般先引导学生把平行四边形变形为长方形，然后就提出三个问题“平行四边形的面积和长方形面积有什么关系？长方形的长和平行四边形的底有什么关系？长方形的宽和平行四边形的高有什么关系”，最后在问题讨论的基础上得出计算公式。但是也有人不是这样上课的，他的教学分为三步：第一步跟我们一样，引导学生把平行四边形割补成为长方形，求出面积。第二步呢跟我们不一样了，他在方格纸上画了大量的平行四边形，要求学生想象，要想出割补的过程求出面积。第三步问学生：要求平行四边形的面积需要知道哪些条件？怎样求？为什么？我很欣赏这位老师的第二个教学段落，让学生想象割补过程求面积看似浪费了时间，但是在这个过程中平行四边形和长方形之间的内在联系得到了极大的重视，学生的空间想象能力也得到了很大的提高。我对第三个教学段落也非常欣赏，他的问题是“要求平行四边形的面积需要知道什么条件？怎样求？为什么？”，而我们给他们提的问题是什么呢？ “面积和面积有什么关系？长和底有什么关系？宽和高有什么关系”两种提法相比较，显然这一位老师的提问比较宏观，题目比较大，这样一来，学生就能比较系统地完整地进行思考，而我们体的问题呢就把知识嚼得太碎了，就降低教学过程中的认知水平。 4、把学生提升为知识和工具的发明者。张：强老师设计课堂教学时的大胆也值得我们学习，一般的老师只满足于教会学生量角，根本不敢让学生创造量角器，正因为设计的大胆才导致了课堂的灵动。其实，这实际上不仅仅是大胆与否的问题，更是应该不应该的问题，这涉及到我们如何看待学生的问题，教师越是小看学生，培养的学生越是高分低能，越是把学生看做具有很大的潜能的创造者，学生就越是能朝着这个方向发展。当然过分高估学生肯定不行，但是别忘了学生的创造只是在教师引导下的再创造，在这个前提下我们设计课堂教学时不妨胆子更大些、步子更大些。因此我认为改进测量教学第二个要做到的就是：把学生提升为知识和工具的发明者。 我们要相信学生学习和创造的能力，同时要发挥教师的引导作用。 5、促进提升的前提是追溯前人认知发展的轨迹。杨：要在动态建构中促进学生对数学