（测试计量技术及仪器专业论文）基于反射偏振分析物体三维重构.pdf

摘要 在计算机视觉领域，已经提出许多种测量不透明物体的方法；然而， 并没有提出成功测量透明物体( 如玻璃) 表面形状的方法。这篇论文提出 了一种简便，有效的测量透明物体表面形状的方法。 从物体表面反射的光会具有部分偏振特性。反射光的偏振度取决于入 射角，而入射角取决于物体表面的法线；因此能够通过确定偏振度来获得 物体表面法线。但这里存在一个歧义问题，偏振度与物体表面的法线不具 有一一对应的关系。因此为了获得正确的表面法线，必须解决这一歧义问 题。为了消除这个歧义问题带来的影响，论文利用表面的微分几何特性， 对物体进行旋转。 7 论文提出利用物体表面微分几何学特性的方法，这种方法通过两组数 据的对比消除歧义。其中一组是直接获得的物体的数据；另组是物体被 倾斜一个小角度后获得的稳定物体的数据。要用这个方法，必须比较物体 表面同一个点的两组数据，找出物体表面在旋转前后相互对应的同一点， 并比较该点的两组偏振度的数据。论文讨论了物体表面的几何特性与基于 微分几何知识的偏振度之间的关系，给出了一种方法，在物体表面上的共 同点处匹配这两组的偏振数据。 这篇论文中详细描述了偏振度与入射角的关系，及如何利用几何特性 如何唯一确定物体表面法向的方法。 关键词：偏振数字图像处理计算机视觉 a b s t r a c t i n t h e 王e l do fc o m d u t e rv i s i o n ，m a n vm e t l l o d sw h i c hm e a s u r et h e s u r f h c es h a p eo f o p a q u eo b i e c t sh a v eb e e np r o p o s e d ； h o w e v e r ， as u c c e s s f h l m e t h o dw h i c hm e a s u r e st h es u r f h c es h a p eo ft r a n s p a r e mo b j e c t ss u c ha s g l a s s e sh a sn e v e rb e e nd e v e l o p e d i nt h i sp a p e w ep r o p o s eac o n v e n i e n ta n d b e n e f i c i a lm e t h o dt om e a s u r ct l l es u r f a c es h a p eo f m m s p a r c mo b j e c t s t h el i g h tw l l i c hi sr e n e c t e df 如mt h es u r f a c eo fm eo b j e c ti sp a n i a l l y p o l a r i z e d t h ed e g r e eo fp 0 1 耐z a t i o nd 印e n d su p o nm e 缸c i d e n ta i l g l ew h i c h ， i nt u n l ，d e p e n d su p o nt l l es u a c en o r n l a lo ft h eo b e c t t h u s ，w ec a no b t a i n t 1 1 es u r f 如en o 瑚a lo ft h eo b i e c tb yo b s e i n gt t l ed e g r e eo fp o l 撕z a t i o n b u t u n f o n u n a t e l y ，t h ec o 玎e s p o n d e n c eb e t w e e nt h ed e g r e eo fp o l a r i z 血o na n dt h e s u r f a c en o m a li sn o to n et oo n c t h u s ，t oo b t a i nt h ec o r r e c ts u r f a c en o h n a l ， w eh a dt os o l v et 1 1 i gm n b i g u i t yp r o b l e m t bd i s 锄b i g l l a t e 也i sp m b l e m ，w eu s e t h ed i 矗b r e 曲a 1 鼯o m e t r i c a lc h a r a c t e “s t i c so f t h eo b j e c ts u r f a c e w ed e v e l o p e dam e m o df o ru s i n g 廿l ed i 丘b r c m i m - g e o m e 砸c a lp r o p e n y o ft h eo b j e c ts u r f 她e t h i sm e t h o ds o l v e st h ea m b i g u i t yb yc o m p a r i n gt 、v o t y p e so fd a t a ，o n eo f 、h i c hi so b t a i l l e ds t r a i g h t f o r w 删yo b s e r v i n gt h eo b j e c t ， w h i l em eo m e ri so b t a i n e db yo b s e r v i n gt l l eo b i e c tw h i l e “i si n c l i n e da ta s l i 曲ta n g l e i nt l l i sm e t h o d ，w eh a v et oc o m p a r e l e s et 、od a t aa ti d e n t i c a l p o i m so nt h eo b j e c ts u r f h c e w e 丘n dt w oi d e n t i c a lp o i n t sb yc o n s i d e r i n gt l l e i n v a r i a mv a l u eo nt h eo b i e c ts u r f a c e ，a n d 、v ec o m p a r et 1 1 ed a t ao fp o l a r i z a t i o n a tt h e s et w op o i n t s w ed i s c u s st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h eg e o m e t r i c a l p r o p e r t vo no b i e c ts u i f a c ea n d 也ed e g r e eo fp o l a r i z a t i o nb a s e d o nt h e k n o w l e d g eo fd i 行b r e n t i a lg e o m e t r y ，a n d 、ep r o p o s cam e t b o df o rm a t c h i n g 慨p i e c e so f p o l a r i z a t i o nd a t aa ti d e n t i c a lp o i n t so nt h eo b j e c ts u 恤c e i nt l l i sp a p e r ，、v ed e s c r i b eh o ww ea p p l i e dn l em e t l l o du s i n gg e o m e t r i c a l d m p e n vt or e a lt r a n s p a r e mo b i e c t si no r d e rt oo b t a i nt h ec o r r e c ts l l r f a c e n o r m a lo f t r a n s p a r e n to b j e c t s k e y w o r d s ：p o l a i z a “o nd i g i t a li m a g ep i o c e s s i n gc o n l p u t e rv i s i o n 2 长春理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的硕士学位论文，基于反射偏振分析 物体三维重构是本人在指导教师的指导f ，独立进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人 完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：叠盏巡蛑旦月盟日 长春理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“长春理工大学硕士、 博士学位论文版权使用规定”，同意长春理工大学保留并向国家有 关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅。本人授权长春理工大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：磋互耋2 q q 年鱼月兰芝日作者签名：! 趸! 丝2 q q 年坠月兰芝日 指导别签名：挚蝉。竖年旦月望同 1 1 引言 第一章绪论 计算机的诞生，对人类的生活和生产产生了巨大的推动作用。近年来， 随着计算机技术的飞速发展和三维建模技术的日益完善，以及计算机视觉 理论技术的不断突破，虚拟显示、三维动画等计算机三维技术均获得了巨 大的发展，其不但在制造业、建筑业、军事科技、地理信息系统等领域得 到广泛的应用，而且逐步进入了大众生活，尤其在广告业、影视娱乐等方 面备受重视，而其对于历史遗留文明古迹及艺术作品的数字化保存更是有 相当大的现实意义。而实现虚拟现实和三维动画的一个关键问题是如何创 建和实现实体的三维模型。 三维模型具有直观、逼真、可以从多个角度进行观测等诸多优点，是 二维图形所不可比拟的。面对现今现代化生产的快速发展和需求，三维建 模能够减少设计费用和缩短设计周期，创造出巨大的经济效益。因此，三 维建模是一项前景诱人而又十分有趣的领域，有着很高的研究价值。 基于光偏振分析对物体进行三维建构，具有方法简单、处理数据量小、 成本低的优点，有很好的应用前景。本课题的研究对开发新的非接触测量 物体形状光电检测技术具有理论和实践双重意义。 1 2 课题来源、研究目的及意义 1 2 1 课题来源 本任务是国家自然科学基金项目“基于反射偏振分析重建物体形状 与反射特性研究”的一部分。 1 2 2 研究内容 本文重点对由前步得到的带有偏振信息的图像进行数字图像处理， 得到物体的三维模型。 主要研究内容如下： ( 1 ) 对物体表面的反射光进行偏振分析，得到了物体表面反射光偏振 度与表面法向之间的对应关系； ( 2 ) 基于这种对应关系之间会产生岐义，采用对物体进行小角度旋转 来消除这种岐义： ( 3 ) 对物体表面进行简单建模。 1 2 3 研究目的及意义 基于观察获取物体的形状和反射特性( m o d e lf r o mo b s e r v a t i o n ) 是计 算机视觉的一项重要研究内容，并应用到各个不同领域之中，如历史文明 古迹、文化艺术作品的数字化保存以及医学研究中的牙齿、骨头等的计算 机辅助视觉分析，还有制造业、建筑业、军事科技、地理信息系统等领域 的广泛应用，以及广告业、影视娱乐等与人们生活息息相关的一些领域的 应用。而完整的描述一个物体对于基于机器视觉完成的工业检测、物体识 别、机器人视觉以及计算机图形学中合成图像的真实描述都具有重要作 用。本文的研究对于开发新的非接触测量物体形状的光电检测技术具有理 论和实践双重意义。 1 3 三维物体建模技术发展现状 在上世纪8 0 年代初，m a r r 提出了视觉的计算理论，比较系统地和一 般性地揭示了用二维图像恢复三维物体形态地可能性和基本方法。此后在 这一理论指导下，众多学者辛勤探索，提出了各种从图像的结构或非结构 特征信息恢复形状的s h a p ef r o mx 方法，如由明暗恢复形状( s h a p ef r o m s h a d i n g ) 的方法通过在一定的约束条件下从平滑变化的灰度图恢复出表 面取向的信息，由纹理恢复形状( s h a p ef r o mt e x t u r e ) 方法是由图像的纹 理及纹理梯度来确定表面深度的变化。此外，模拟人的视觉功能，通过把 两个不同视点得到的一对二维图像进行组合，建立起周围表面的深度，重 构世界的三维表示，这是双目体视法( b i n o c u l a rs t e r e o ) ，并由此发展7 更一般形式的由运动恢复形状的方法( s h a p ef r o mm o t j o n ) 。随着激光技 术和三维传感技术的发展，如三位激光扫描仪，可以从一个视点获得精确 的三维场景结构，通过多视点距离画像的拼接就可以得到物体的几何结 构。 对于从图像获取物体表面形状的研究，s a t o 和i k e u c h i 介绍了一种 方法，通过分析在运动光源下得到的彩色图像序列中估计出物体的形状。 l u 和l i t t l e 则从一个旋转光滑物体的黑白图像序列中估计出反射函数， 然后利用估计的反射函数恢复出物体的形状。i k e u c h i 和s a t o 首先提出 了同时利用黑白图像和距离图像来测量物体的表面形状的技术。他们首先 从距离图像恢复物体的形状，然后利用被恢复的物体形状来估计反射参 数。k a y 和c a e l i 用一幅距离图像和4 到8 幅在不同照明条件下获得的强 度图像估计了每+ 个象素的反射函数参数，这种方法可以处理具有不同反 射特性的物体表面，但参数估计不稳定，特别是镜面分量不是很强时。最 近，s a t o 和i k e u c h i 研究了一种新的方法，通过距离图像和彩色图像序 列测量物体的形状。 一般图像反映的是从物体表面反射出来的光强分布，而光线经过物 体反射后会变成具有一定偏振态的光波，光波的偏振态应该包含有比强度 图更丰富的目标信息，根据光波偏振态的变化可以反演出被测目标的纹理 结构、表面形态和材料类型等。在利用光的偏振特性方面，k o s h i k a w a 利 用一个偏振光源通过偏振度来分析物体表面的反射，得到了金属物体表面 的形状。w 0 1 f f 则通过分析物体的偏振特性确定物体表面的法线。s a i t o 等人对物体的偏振度进行了分析，之后应用了所得的偏振度来确定透明物 体表面的方法；但是，由这样的偏振度可以得到两个可能得表面法向量， 他们并没有提供解决这种歧义的办法。m i y a z a k i 等人通过在红外波段引 入热辐射偏振解决了这个歧义问题。 对于物体形状的恢复，国内很多学者从不同方面进行了深入研究。 杨孟洲等提出一种从真实世界照片中重建三维场景模型的算法。他们根据 空间稀疏分布的不同视点出的真实场景中颜色纹理的一致性来建立达到 照片级真实程度的三维模型。熊汉伟等提出一种便捷的3 d 曲面建模方法， 首先在物体表面绘制网格曲线，由相机从不同角度摄像，然后经过图像处 理、网格匹配及相机标定等步骤，重构物体表面的曲面模型。马少鹏、金 观昌等则由计算机生成光栅并通过液晶投影仪投影到待测物体的表面，用 c c d 相机采集图像并存储到计算机中，用时域相位解包方法进行处理。有 关利用物体反射偏振特性进行物体形状测量方面的研究，国内尚未见报 道。 在这篇论文里，为了解决这个歧义性问题，引入了两个视角的偏振分 析。这个方法从两个视角获得两组偏振数据，论文的做法是从同一个摄像 机通过小角度旋转物体观察物体两次。这个方法首先使用s a i t o 等人在参 考文献 4 0 所提到的方法得到偏振度，这个偏振度对于表面取向确定有一 个歧义问题( 一个偏振度测量结果对应两个表面取向) ，而新视角下所得 的偏振度便解决了这个歧义问题。通过对比在表面上相同点的偏振度，即 能唯一确定物体的表面取向。 1 4 一些重要的假设 成功运用本文的方法所需要做一些重要的假设： l 物体在摄像机的象平面被作为垂直投影面观察； 2 物体是透明的，固体的； 3 折射率为已知，并且在物体的任意部分是连续变化的； 4 物体表面是光学平滑的； 5 物体表面是几何平滑并且是封闭的； 6 在物体表面的高度曲线上没有“间断点”； 7 物体表面全部前向全被包含在摄像机的视角范围内； 8 从物体表面直接被反射的光应该被观察到，而反射两次或更多次的 散射光则不应当被观察； 9 由内部反射而产生的反射光是非偏振的，并且他们在物体表面的所 有点都保持一致； 1 0 区域划分的界限是由操作者给出的； 1 1 甚至在本文对物体进行小角度旋转之后，区域划分结果都不会变； 1 2 由操作者本人给出适当的旋转方向； 1 3 即使本文对物体施行了小角度的旋转，物体依然遵守这些假定。 实际上，假设2 并非强制性的。本文的方法对不透明物体依然有效。 一些凹陷的物体违背了假定8 ，并且产生一种非严谨的物体外形。由 假定1 0 ，有完整凹陷部分的物体一个在任何方向都内陷的表面 自然不能被本文的方法建模。 本文小角度旋转物体以获得从两个不同的角度观察而得偏振数据。本 文的方法假定物体内部没有内部反射，并且对物体施行的旋转角度非常 小。然而，在某些情况下，内部反射不能避免。因此，需要根据假定9 来从输入数据中减去一个修正值，即由内部反射造成的强度，来减少内部 反射造成的影响。本文认为这样的经验修证要比输入未处理的原始数据更 能得到令人满意的结果，虽然，这样的假定在理论上并非常常正确。 本文的方法需要对输入偏振数据使用一个区域划分方法，以及在划分 区域之后对区域进行分类。如果这个物体是复杂的，并且被旋转了很大角 度，那么区域分类将会频繁变化，并由此违背假定“。另外，如果这些 区域呈拓扑分布，举例来说，如果它分离，消失或重生，那么这样的一个 度量显然也违背了假定。 在透明物体中有比非透明物体中更多的内部多重反射。本文的方法， 即能测量出透明物体形状的方法也可以在任何的非透明物体上呈现健壮 性。因此，为了验证本文方法的健壮性，本文把本文的方法应用到透明物 体t 。 图2 1 ：( a ) 透明的心形玻璃图片，( b ) 获得的这个物体的图形 6 2 1 简述 第二章偏振分析 从大多数物体表面反射的光可以大致分成两部分，表面反射和体反 射。入射光在表面有一部分被反射，而另一部分穿透入物体内部。穿透到 非透明物体内部的光在物体内部的色素元之间随机反射，最后又从介面反 射回入射空间。在物体表面的镜面反射光被称作表面反射，而从物体内部 散射回入射空间的漫反射光被称作体反射。在这篇论文罩本文只考虑透明 物体，更倾向于分析其表面反射。 一般来说，自然光是非偏振的，在其进入一个偏振介质或者在一个表 面反射之后光的偏振态会发生改变，而本文关心的是反射光偏振度的测 量。光滑、透明物体的界面相对于非透明物体的界面而言散射或者吸收的 光线更少，可以忽略，而入射角、反射角也一样。因此，一旦反射角和入 射角的方向已知，即能参考观察者的方向确定表面的取向，如图2 2 所示。 这里，入射平面为表面法向量和光源所确定的平面。既然本文仅分析光滑 透明的物体，那么观察而得的向量被包含在入射平面内。本文将重新定义 入射平面和反射角的方向分别为妒和p ，然后利用反射光的偏振度来确定 这两个角。 平行于入射平面方向的反射率只，垂直于入射平面方向的反射率只， 定义为 c = 这里p 为入射角，n 为物体相对于空气的折射率。满足c = o 的入射 角被定义为布儒斯特角，用表示。布儒斯特角满足以下等式 需 口一口s s一2 2 一 一+ 口一口n n s s 、i_，一、l_， 形一形 + 一+ 胛一 ，f_，ilt、 一 一 一聆一聆+ 一+ 图2 2 ；物体表面向量 t a l l 铭= n ( 2 2 ) 2 2 确定入射平面的方向 如( 2 1 ) 所示，反射光的强度随振动平面的振动方向变化；因此，当 旋转放置在c c d 相机前面的偏振片时，本文能观察到物体图像表面亮度的 变化。这种变化可以用旋转角度的正弦函数来描述。本文把观察得到的强 度的最大值和最小值定义为l 。和i m m 。反射光的总亮度i ，。等于最大亮度 和最小亮度的和，关系式如下：， “2 意k ，2 赤”“ q 3 由这个等式可以看出，平行于入射平面的方向提供最小亮度。换句话 说，由测量获得最小亮度的那个角度，本文能确定入射平面的方向角西 ( o 茎痧2 z ) 。这样入射平面的方向就有两种满足条件的取值，办。和如， 它们被定义为如= 疵d + 丌，这里0 墨疵d 万，仃2 刀。 既然本文假定物体表面是封闭的、光滑，那么本文能在物体的封闭边 界上取得法线方向；表面法向指向物体封闭边界的投影形体的外部。使用 封闭边界的矿为初始条件，本文把的这个约束条件扩展到整个表面，假 定物体表面所有在正对相机的方向上的部分是并非内凹的，最后，本文即 能确定整个表面的庐值。 2 3 确定入射角 d o p ( 偏振度) 的定义即为 p = 甓， ( 2 - t ) 当光为非偏振时d o p 值为0 ，而当光为线偏振时值为1 。当入射角和反射 角都在布儒斯特角的时候，能观察到线偏振光。 乜 型 禳 遘 剡2 3 ：偏振度( d o p ) 与入射角之间的关系( n = 1 5 ) 入射角 ( 度射魉) 8 把( 2 3 ) 和( 2 1 ) 代入到( 2 4 ) ，本文即可把偏振度p 表示为 p ：垫挈塑掣粤粤堑塑掌塑 ( 2 5 ) p 2 i ( 五万i 瓦i 百忑五矿 “” 偏振度p 为折射率以和入射角口( o 口州2 ) 的函数。因此，通过给定 条件f 由数据中提取获得的d o p ，本文即能确定入射角口。 图2 3 表示了偏振度d o p 和入射角之间的关系，这里水平轴和垂直 轴分别表示入射角和d o p 。如图所示，即使在本文不知道光源强度的情况 下，本文也能通过d o p 获得入射角。通过这个函数本文可以看到，函数在 布儒斯特角的时候有一个极值，而且除了在布儒斯特角有一个d o p 值( 观 察获得) 之外，其他地方都有两个可能的入射角与之相对应。而解决这个 不能一一对应的歧义问题将在后面的章节中阐述。 第三章通过旋转物体来消除歧义 在这个章节里将介绍一种解决偏振度与入射角之间不能一对应的歧 义问题和获得物体表面法向的方法。本文旋转物体来获得不同观察方向的 偏振数据。 3 1 内容概述 在上一章中解释了如何依据偏振数据计算表面法线，并且简要说明 了其中所存在的偏振度p 与入射角臼之间对应不明确的问题：本文不能根 据测得的几个可能的表面法线来唯一确定真实的表面法向量。本文由偏振 数据获得入射角曰( 0 p ，2 ) 和入射平面的倾角矿( o 2 ，r ) ，而 既然本文定义了如图3 5 所示的坐标系，那么入射角等于仰角，入射平面 角等于方位角。所以如果获得这两个角口和西，就能确定表面法向量。正 如本文前面讨论的那样，只要能确定庐，就能解决p 角的不确定性的歧义 问题。在这章解释了如何通过旋转物体法来确定目和获得正确的表面法向 量。 为满足必要条件，本文建议对物体旋转一个比较小的角度。摄像机 旋转物体须符合从各个方向能对物体进行观察的要求。本文通过比较从两 个观察点获得的偏振数据解决这个歧义的问题，因此必须比较物体上同一 点的两组偏振度数据，即本文必须找出这些点上的两组数据，也即描述物 体表面上同一点的两组数据。为了达成这一目的，本文介绍了物体表面的 几何特性并利用这些连接点作为匹配点。 首先，本文解释高斯几何基本理论，在接下来3 2 部分内容中根据曲 率值对表面进行分类，在3 4 部分解释“折叠点”的定义。 在3 5 部分中把偏振度数据按照本文所述方法分割到某些个区域中， 并简要说明本文如何区分每个区域。在3 6 部分中，本文由几何特性而描 述一种寻找匹配点的方法。在3 7 部分中，给出了证明本文能由偏振数据 得到不变的几何特性的值。 最终，证得通过计算匹配点偏振度的不同能唯一确定仰角( 等于入射 角) 口。在3 8 部分内容中 从而，本文得到如下结论： 1 把偏振度分割为b 一0 、b n 、bb 区域。( 3 5 节) 2 本文能直接区分出b o 区域和b n 区域，如3 5 节所示。 3 在b b 区域，能找到偏振度最小，且表面法向量平行于物体旋转方 向的点，相应的，可以利用此点作为匹配点。本文计算两匹配点偏振度的 不同，从这些不涮出发即能解决这一问题。 3 2 高斯曲率 本文认为在点p ，由单位法向量和单位切向量组成的平面为交叉截面 s 。本文称这平面为法截面，本文用c 表示法向平面和表面相交的部分的 曲率。本文用七，描述c 的曲率。( 图3 1 ) 欧拉定理 假设t 。不是通过s 上p 点任意切向量x 的常量。那么存在两个单位 切向量z 和置，有如下特性： 1 k 是k 的最大值， 。，是。的最小值。 2 墨和五是正交的。 3 当x 和置的夹角表示为角妒时， 图3 1 ：法截面 k = kc o s 2 伊+ 后s i n 2 矿 主曲率的定义 k ，和“：被称做点p 的主盐率，置和五被称做主方向。由墨和n 构成的平面，五和n 构成的平面都被称为主平面。如果。= ，= k ， 这点被称为中心。 高斯曲率和平均曲率的定义 = 以，+ 女x ：被称为点p 的高斯曲率，如果p 是中心( k = k ，= k ) 那么 = t 2 。日= 寺( + k ：) 被称做平均曲率。 在下面的部分内容中，本文将简单描述一下毛即k 和屯即b ，。 3 3 表面种类 根据高斯曲率对表面进行分类( 图3 2 ) 。 为了简便起见本文为图3 2 中的各种表面命名，从上向下，从左向右 依次为：椭圆形、双曲线形、平坦面形、圆柱面形、环面形、猴鞍形面、 光滑曲面形、钟形面。在椭圆形面上世 o ，在双曲线形面上k o 、 t ) 如图3 2 所示的特征而实现的。图3 2 中每 种表面的高斯曲率芷、平均曲率何和主曲率毛，如如表3 1 所示。注意， 在表中所描述的环形面的曲率、光滑面的曲率、钟形面的曲率是这些面上 的虚线点的曲率，而猴鞍形面的是其中心点的曲率。 1 4 环鞘形 光溺翔懈形钟形黼 蚓3 2 ：基j 二高斯曲率的表面分类 3 4 折叠点 在图3 3 中，本文描述了一维曲线表现成二维平面及其曲率之间的联 系。 曲线用 = ( ，) 描述，如图3 3 ( a ) 所示。图3 3 ( b ) 中表示了曲线上每 一点的仰角口，图3 3 ( c ) 中描述了曲线的法向量到单位圆( 高斯圆) 的 高斯映射。 在最上面的一行所示的向上凸起的曲线有正的曲率，而在第二行的向 下凸起的曲线有负的曲率，第二行下面的那些行里描述的曲线曲率为o 。 正如第二行下面的行所表示的一样，有两类曲线曲率为零：一类是直线， 另一类是折叠点。 表两分类曲率w 虢的分类 k 0 ，搿 o 。k o 嚣( 0 椭蚓形 8 1 0 ，茸2 ok l 0 ，k 2 o k 0 、 0 i 琏2 0 ，8 0 0 “l o 、k 2 8 群嚣o 日 0 代? 二o 尤l 盎0 3 o k = o ， 0 。= ( 】封 a ，拣? = ，“l = o ，k 2 0 ，k 蒜f 1 抒 0 ；摊2 = ok 1 = n ，k 2 o 表3 1 ：表面分类及曲率 6 通过检查仰角口图形的变形点( 图3 3 ( b ) ) ：本文确定在变形点的仰 角臼是极大或极小。如果在某点其仰角是是局部最大的，那么在其相邻 的点就没有比极大值纯。，再大的角了。在这种情况下，当本文沿着，追踪 高斯圆上的点时，在某一点追踪方向将会反转。如果在某一点的仰角是极 小值，那么在铱。的相邻点处就没有比它更小的值了。既然这样：当本文 沿着r 追踪高斯圆上的点时，在某一点追踪方向将反转。本文定义这个变 形点为折叠点。 本文将采用一种类似的定义用二维表面描述三维空间。本文定义“折 叠点”为类似曲线产生的变形点，由表面和包含表面法线的任意平面交叉 而产生的曲线。 现在来看看在3 3 节中描述的每种表面上是否有一个折叠点。除非高 斯曲率为o ，否则折叠点是不会出现的。图3 4 描述了高斯映射的实例， 由平坦面、圆柱形面、环形面、猴鞍形面、光滑曲面和钟形面到高斯球体 的高斯映射。 平坦面被映射为商斯球面上的一点，圆柱形面被映射成高斯球面上的 一条曲线。环形面被映射为相对某一点点对称的图像。k = o 处的点被映 射成高斯球面上的一个点；如果本文从k 0 的点，本 文将经过k = 0 的点，k = o 的点不是一个折叠点。猴鞍形面上也有一个 被定义为折叠点的点，此点如图是该面的中心点( k = o ，且h = o ) 。光 滑形面上也有一个被定义为折叠点的点，如图是一虚线( 世= o ，且 h = 0 ) 。图中钟形面有一被定义的折叠点，是一虚曲线( k = o ) 。 本文用这个术语“折叠曲线”来定义由折叠点构成的曲线。 对于图中钟形面：k o 的下表面被映射到折叠曲 线的南部，而在折叠曲线那里k = 0 。如果一点从足 0 的点行至k o ( 3 3 ) d sd s z 偏振度p 对仰角目的微分( 详见方程3 1 3 和图3 9 ) 具有以下性质： o ( o o p 以) ( 3 4 ) 等 o ( 铭 时b b 区域映射到高斯球的布儒斯特曲线的南部。这 种状况下，在折叠曲线上仰角口是最大的。由方程( 3 1 ) ，( 3 5 ) ( 3 7 ) 和( 3 8 ) ，在这点偏振度p 对仰角口的一阶和二阶微分公式如下： 塑：o 霉， ( 3 1 0 ) 垡：塑堡 o 。 出| d s 出。 所以，考虑方程( 3 - 3 ) ，偏振度p 正如所期望的，是最小的。 首先，本文证明了，在最北面的仰角目的折叠线，偏振度p 是一条折 叠曲线，这时，b b 区域映射到高斯球上布儒斯特曲线的北部。然后，本 文证明了在最南面的仰角p 的折叠线，偏振度p 也是一折叠曲线，这时， b b 区域映射到高斯球上布儒斯特曲线的南部。 pl o 0 八 一 3 8 偏振度的差异 稚懦觚特角 闺3 9 ：偏振度的引出图 偏振缝陶 8 编缀度 微分圈 最后，本文解释了消除了表面法线的歧义的方法，这种方法通过比较 物体旋转一个小角度前后的匹配点的偏振度来达到本文的目的。 本文认为折射率n 是一常量；因此，偏振度p 仅是仰角目的一个函数。 如果旋转角是阳偏振度p p 卓甜) 在p 周围的泰勒展开公式是： p ( p + 阳) = p ( 占) + p ( 疗) 韶+ d ( ( 甜) 2 ) ( 3 1 1 ) 所以，如果甜足够小，两个偏振度的差是： p ( 口+ 韶) 一p ( 目) = p ( 口) 甜 ( 3 1 2 ) 偏振度p 对仰角口的微分为： 粤：竺擎兰当尘坐妞! 塑掣1 3 ) lll d 目 n 2 一s i n 2p f 聆2 一s i n 2 口一胛2s i n 2 口+ 2 s i n 4p 1 2 。7 该式的图像如图3 9 所示。 偏振度的微分d 户d 占，当o p 岛，取正值，而当铭目9 0 。时，取 负值。 本文不必知道旋转角；然而，本文可以假设已知旋转的方向。显然， 方位角己被确定。所以，本文能确定硒的标号。由此，通过利用方程 ( 3 1 2 ) 计算在匹配点的偏振度的差值的符号，本文能确定仰角口比布儒 斯特角更大还是更小。 从而，本文能确定在b b 区域的仰角p 是在0 口s 吼范围，还是在 吼口9 0 。范围内。 从图3 9 中，本文也可以看到偏振度p 在o 口岛范围内是逐渐递增 的；在岛日9 0 。范围内是逐渐递减的。即偏振度p 与仰角目在o 臼靠 是一一对应的，在巩口9 0 。范围内同样也是一一对应的。所以，如果本 文能正确的确定仰角口在b b 区域的0 s 口兰吼范围内或是在臼兰9 0 。 范围内；本文即能由偏振度p 的值确定唯一的仰角口。 4 1 实验装置 第四章实验 图4 1 表示了测量装置。本文使用一个球形的散射器作为光源，这个 散射器接收来自3 个3 0 0 w 的白炽灯光的照射，这3 个灯各呈1 2 0 。角分布。 球形散射器由乳白玻璃构成，它的直径为4 0 c 研，这个球形散射器作为一 个非偏振的球形光源，并且从所有方向上均匀照射位于球心的一个物体。 因为本文只通过表面反射来确定表面法向，并且表面反射只在入射角与反 射角相等时才发生，所以有必要为了从整个物体表面观察表面反射来从各 个方向照亮物体。物体通过在球体顶部的一个小孔来通过c c d 摄像机观 察，还有一个偏振适配器放置在小孔和相机之间。 当自然光透射入乳白玻璃散射器中光会变成非偏振的，而随机散射 入散射器。在散射器和物体之间的距离相对于物体的尺寸足够大，因此， 被观察的从物体表面反射的光来源于与球形散射器表面法向相同的散射 方向。对于这个发散角，光并非偏振。因此，这个球形散射器提供的是非 偏振光。 4 2 测量过程 图4 1 ：实验装置 一个透明物体是以一种复杂的能产生内部多重反射的方式来反射和 传播光的，而这种多重反射妨碍本文的观察。本文把物体放置在一个黑色 的管子上来阻挡来自物体背后的光，然而，一一些干扰仍然存在。而且，干 扰降低了偏振度。为了克服来自它的干扰，本文从输入数据中简单的减去 一个非偏振光，提高偏振