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基于有限元方法的圆柱直齿电磁齿轮爪极结构参数的研究 摘要 直齿圆柱电磁齿轮作为一种新型的磁力传动机构，具有能够向非导磁材料组 成的封闭空间传递动力的特殊功能。这种传动机构的主动轮与从动轮之间没有物 理接触，是通过磁场相互耦合产生的磁力来实现力矩和功率的非接触传递。 本文以电磁场的三维有限元分析方法为基础，对电磁齿轮的结构设计作了初 步探索；对有限元分析软件a n s y s 在电磁齿轮分析中的应用做了深入的研究。 主要研究内容有：首先，应用a n s y s 有限性元分析软件的a p d l 参数化语言编 写了通用的电磁齿轮三维建模程序，构建了直齿圆柱电磁齿轮的三维实体模型； 其次，应用3 d 标量势法对电磁齿轮的模型其进行了分析计算，得到了在不同爪 极结构参数下电磁齿轮的电磁转矩；最后，根据计算结果讨论了电磁齿轮转矩的 静态特性；研究了不同爪极结构参数对电磁齿轮传动转矩的影响：为今后电磁齿 轮的设计和研究工作提供打下了基础，具有一定的参考价值。 关键词：电磁齿轮爪极转矩三维有限元分析 c l a w - p o l es t r u c t u r ep a r a m e t e r sa n a l y s i so fs t r a i g h tp i l l a r e d e l e c t r o - m a g n e t i cg e a r sb yf i n i t ee l e m e n tm e t h o d a b s t r a c t a san e w t y p e o f m a g n e t i c t r a n s m i s s i o nm e c h a n i s m ，n o n - c o n t a c t e l e c t r o m a g n e t i cg e a rh a ss p e c i a lf u n c t i o nt h a t c a nt r a n s m i tt o r q u ea n dp o w e rt o c l o s e da r e ab ym a g n e t i cf i e l dc o u p l i n g t h e r ei sn op h y s i c a lc o n t a c tb e t w e e nd r i v e r g e a ra n dp a s s i v eg e a ro ft h i st r a n s m i s s i o nm e c h a n i s m t h i sp a p e rb a s e do n3 - df i n i t ee l e m e n tm e t h o d t h ee l e c t r o m a g n e t i cg e a r s s t r u c t u r ed e s i g ni s e x p l o r e di n i t i a l l y ；t h ea p p l i c a t i o no ff e ma n a l y s e ss o f t w a r e a n s y si ss t u d i e dd e e p l yi nm a g n e t i cf i e l da n a l y s e so fe l e c t r o - m a g n e t i cg e a r , m a i n s t u d i e sa sf o l l o w s ：f i r s t ，t h e3 ds o l i de l e c t r o m a g n e t i cg e a rm o d e l sa r eb u i l tb ya a p d lp r o g r a m ，t h i sp r o g r a mc a nb u i l da n y3 ds o l i de l e c t r o m a g n e t i cg e a rm o d e l s w i t hd i f f e r e n ts t r u c t u r ep a r a m e t e r s ；s e c o n d ，t h em a g n e t i cf i e l dc a l c u l a t i o no fm o d e l i sd o n ew i t h3 ds c a l a r - m e t h o d ，t h et o r q u e si nd i f f e r e n tc l a w - p o l es t r u c t u r ep a r a m e t e r s a r ea c q u i r e da f t e rc a l c u l a t i o n t h i r d , t h ec a l c u l a t i o nr e s u l t sa r ea n a l y z e da n d c o n t r a s t e d ，a c c o r d i n gt ot h er e s u l t s ，t h es t a t i ct o r q u ec h a r a c t e r so fe l e c t r o m a g n e t i c g e a ra r ed i s c u s s e dd e e p l y ；t h ei n f l u e n c e sb yc l a w - p o l es t r u c t u r ep a r a m e t e r si ss t u d i e d t ot h es t a t i ct o r q u ec h a r a c t e r s t h i sp a p e ro f f e r ss o m et h e o r e t i c a lw a r r a n t st ot h ef u t u r e d e s i g na n d r e s e a r c ho fe l e c t r o m a g n e t i cg e a r s ，a n dh a v es o m et h e o r e t i c a la n d a p p l i c a t i o nv a l u e s k e yw o r d s ：e l e c t r o m a g n e t i cg e a r s ；c l a w - p o l e ；t o r q u e ；3 0 ；f i n i t ee l e m e n tm e t h o d 附：学位论文原创性声明和关于学位论文使用授权的声明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究在做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人 完全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：毪耋整 日期： 2 q q 2 生旦 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解贵州大学有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留或向国家有关部门或机构迭交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅；本人授权贵州大学可以将本学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：幽导师签名： 第一章前言 第一章前言 1 1 课题的背景及意义 近年来，磁力驱动技术得到了迅速的发展和广泛的应用，其主要应用在离心泵，搅拌釜、 电磁轴承等方面。在传动方面应用的比较少还处于起步阶段。传统的机械齿轮传动是机 械传动中最基本的传动方式之一，和其他机械传动比较，机械齿轮传动的主要优点是：工作 可靠，使用寿命长：瞬时传动比为常数；传动效率高；结构紧凑；功率和速度适用范围广等。 缺点是；齿轮制造需专用机床和设备，成本较高；精度低时，振动和噪声较大；不宜用于轴 间距离大的传动等。虽然传统的机械齿轮传动应用于国民生产的各个领域，但其自身又有 一些不可克服的缺点，为克服这些问题，人们试图寻找新的途径以解决这些问题，非接触磁 性齿轮传动的研究因此而展开，非接触磁性齿轮传动技术是磁力驱动技术的一个分支，它是 以现代磁学的基本理论，应用永磁材料或电磁铁所产生的磁力作用，来实现力或转矩无接触 传递的一种新技术。 电磁齿轮的研究尚处于起步阶段，相关资料很少，国内大多数研究的是永磁材料齿轮或 电磁和永磁材料相结合的磁性齿轮，同单纯靠电磁驱动的齿轮尚有差别。他们的研究也处在 初级阶段。而国外方面，多是研究永磁材料的磁性齿轮，并且已经在钟表等微机械中得到了 应用。目前我们还没有发现关于国外电磁齿轮方面的资料。可以说在电磁齿轮方面，不管在 国内、国外还是一个空白。因此，可以说电磁齿轮传动是一种新型的传动方式，它有着极大 的研究、设计、发展空间。电磁齿轮传动突破了传统的机械齿轮传动必须接触的框框，是机 械传动中的一次变革。目前，我们已经有了圆柱直齿电磁齿轮的模型，并能传递一定的转距。 但是有很多关键问题还没有解决。目前，我们已经有了圆柱直齿电磁齿轮的模型，并能传递 一定的转距。但是有很多关键问题还没有解决。例如，电磁齿轮中的磁场究竟是如何分布的； 电磁转矩应该如何计算；爪极的形状、材料、对数、长度、厚度等结构参数对传递转距有何 影响；气隙大小对磁场分布及转距有何影响；加载电流对磁场分布及转距有何影响；主动齿 轮的磁转角对从动齿轮转矩有何影响等等。解决上述问题是电磁齿轮设计的关键，对电磁齿 轮传动的研究具有很重要的意义 1 2 国内外研究现状 1 9 9 1 年日本学者i k u t a 提出了非接触式永磁齿轮( 如图1 - 1 所示) 。它是将永磁材料 按n ，s 极交错粘接成匮i 柱形状，通过两齿轮间祸合磁场产生的电磁吸力来传递转矩。 。赵克中，2 0 0 4 ； o 邱宣怀等，1 9 9 7 ； 。i l m t a kc ta 1 1 9 9 1 基于有限元方法的圆柱直齿电磁齿轮爪极结构参数的研究 国囤 固 图1 - 1 永磁齿轮传动 随后，越来越多的人开始研究非接触磁性齿轮。在国外相继有许多论文发表， d r h u a n g ，y d y a o ，s m l i n 和s j w a n g 通过计算机仿真相继研究了( h d f e b ) 直齿圆柱 磁性齿轮和直齿圆锥磁性齿轮磁力矩的特点与理论分析方法。e p f u r l a n i 研究出了磁性齿轮 力矩的二维分析与计算的方法。k a t a l l a h 和d h o w e 研究出一种高性能永磁齿轮，其力矩密 度为1 0 0 k i q m m 3 ，而一般的永磁传动最大能提供的力矩密度为4 0 - 8 0 k n m m 3 。x a t a u a h ， s d c a l v e r l e y 和d h o w e 研究出一种传递力矩密度大，效率高( 大于9 7 ) 的稀土永磁齿轮 传动装置。 在国内，1 9 9 6 年，熊清香等人在武汉大学学报上发表了“电磁齿轮磁场的分析与 计算”，研究了由永久磁铁和电磁铁组成的混合磁性齿轮周围磁场的分析与计算。1 9 9 8 年， 赵韩等发表了论文“稀土永磁钕铁硼( n d f e b ) 的磁性齿轮”，对采用n d f e b 材料的稀土永磁 齿轮的国际研究动态作了介绍，对径向磁耦合方式的永磁齿轮的结构、特点以及磁场分析手 段作了描述。之后，赵韩等人对稀土永磁钕铁硼磁性齿轮做了大量研究：介绍了永磁齿轮的 传动形式、结构类型以及与普通齿轮传动的异同点，建立了永磁齿轮传动磁场计算和有限元 分析的数学模型：基于磁性能计算的复杂性，提出了一种计算永磁齿轮传动力矩的有效方法。 根据永磁体等效电流模型理论，建立了径向磁化永磁齿轮传动机构传动力矩的三维计算数学 模型，并采用三维有限元法对模型进行了理论验证；根据电磁场理论，把稀土永磁齿轮传动 的磁场作用分为等效电流间作用、等效电流与介质磁化场作用和两个介质磁化场的作用三部 分。在利用积分方程法导出的磁场性能计算公式的基础上，导出了永磁齿轮传动中转矩的计 算公式，并对转矩特性进行了分析；用积分方程法建立了稀土永磁齿轮传动机构的物理模型 和数学模型，导出了用于计算其磁场分布及分布状态的离散计算公式，并在此基础上开发了 计算软件；根据永磁体的等效电流模型理论，建立了径向磁化永磁齿轮传动机构传动力矩三 维积分形式的计算数学模型，并采用三维有限元法对模型进行了理论对比验证。 1 3 非接触磁性齿轮传动的特点及应用 永磁齿轮传动具有很多优点”： 1 永磁齿轮传动能实现无接触传动。永磁齿轮传动和其他磁力机械一样，是依靠磁力 传递动力，实现主动轴与从动轴的同步回转。 2 因为磁场能够穿过非导磁材料进行力矩和功率传递，所以，永磁齿轮传动适宜用于向 。陈匡非，2 0 0 3 ； 2 第一章前言 密封空间进行力矩和功率传递。 3 主动轮与从动轮是简单的圆柱体，不需要加上轮齿。 4 它是非接触传动且无需润滑，因而传动平稳、清洁、无摩擦能耗、无油污、防尘防水 等。 5 永磁齿轮的启动力矩较低并具有过载保护作用。 电磁齿轮传动继承了永磁齿轮传动的上述优点，并且电磁齿轮的某些优点是永磁齿轮所 没有的，如： 1 ) 输出扭矩可调。通过改变控制电流而改变磁场强度，则可以调整输出扭矩。 2 ) 能自动离合。当需要离合时，截断载流线圈的控制电流，电磁齿轮就不具有磁性， 而成为离合器。 3 ) 不采用永磁铁，电磁绕组固定在箱体上，只有软铁磁极转动，转动惯量小。 4 ) 要实现对整个传动系统的调整与控制，主要是对电磁齿轮进行电控制，如改变控制 电流的大小，以达到改变电磁齿轮的磁感应密度的大小，磁力大小等等，从而改变整个传动 系统的传递扭矩，以满足不同场合的需要。 当然电磁齿轮也有缺点，比如需要外加电源、传动力矩较小、易锈蚀等。 电磁齿轮的上述优点使它在石油、化工、仪器仪表、食品加工、医疗器械等领域有较大 应用潜能，特别是当工作环境中有易腐蚀或有毒介质时，无接触传动机构更显示出它的独到 之处。 1 4 电磁齿轮结构及传动原理。 本文研究的电磁齿轮传动其原理如图卜2 所示，电流输人通电线圈以后，产生的磁通， 使轮齿带有磁性，从而实现磁性耦合，使两齿轮产生电磁吸力，从而传递转矩。它的每一个 轮齿为具有n 极或s 极磁性的爪极，所有爪极在齿轮外圆周上形成n 、s 极交错排列的圆 柱面，爪极数即齿数。由于n 与s 极总是成对出现，一对n 、s 爪极称为极对。电磁齿轮 传动的主磁通路径如图1 3 所示。磁通从导磁铁芯4 沿轴向经左爪极1 的法兰盘到左爪极， 再经过气隙磁场到从动轮，然后返回气隙磁场，经主动轮右爪极2 间隔环，线圈3 的导磁架， 回到导磁铁芯4 ，从而形成闭合。 若改变通电线圈中的电流大小，电磁齿轮的磁通密度也随之改变，电流增加，轮齿磁 通密度增大，电磁齿轮的传递转距提高：反之，则电磁齿轮的传递转距减小：若截断通电线圈 电流，电磁齿轮不具备磁性，而成为离合器。这样，圆柱直齿电磁齿轮是齿轮传动与离合器 两者合为一体的机电一体化传动。 。陈伦牟等，2 0 0 3 3 基于有限元方法的圆柱直齿电磁齿轮爪极结构参数的研究 图1 2 电磁齿轮原理图 1 5 电磁齿轮传动系统的组成及工作原理 图1 - 3 电磁齿轮传动时主磁通路径图 1 5 1 系统组成 一 电磁齿轮传动系统是电机、直流电源、电磁齿轮、传感器以及负载的总体合成。为研究 电磁齿轮的传动性能和各个参数对传动转矩的影响，设计此系统时不仅要求传动系统中各个 组成部件在装配时具有一定的快捷性及安装精度，同时，还要能很方便的调整各个组成部件 的位置，尤其是两齿轮的相对位置，要实现三维方向上的调整。因此以电磁齿轮传动系统由 图1 4 纵向t 型槽 图1 - 5 横向t 型槽 彩 第一章前言 纵向t 型槽( 见图卜4 ) 和横向t 型槽( 见图i - 5 ) 作为支承，从而可以保证各个组成部分 的安装精度，并可以较方便、快捷地实现二维方向上的调整。 该传动系统的驱动电机选用y c t 电磁调速电动机；及j c z 型扭矩转速传感器及其仪表， 检测电磁齿轮的输入、输出的扭矩、转速和功率及效率：负载可以选择发电机、磁粉制动器、 电涡流( 或水力、电力) 测功机等，本课题选用c z 型磁粉制动器。其传动系统设计如图卜6 所示。 2 3 45 1 c z 型机械座式磁粉制动器2 k z 型智能转矩转速传感器 3 _ 散测传动机4 _ i c z 型智能转矩转速传感器 5 _ - y c t 电磁调速异步电机 图l - 6直齿圆柱电磁齿轮传动装置图 该传动系统结构简单，可实现以下系统功能： 1 ) 扭矩、转速、功率及效率的实时同步检测、输出、显示( 数字、模拟) 。 2 ) 扭矩的控制。 3 ) 转速的控制。 4 ) 输入扭矩、转速，输出扭矩、转速及效率曲线实时显示。 5 ) 历史数据及曲线存储、回放、编辑。 i 5 2 电磁齿轮传动系统工作原理 当电机带动传感器转动时，装在传感器内部扭力杆上的外齿轮和装在套筒内的内齿轮发 5 基于有限元方法的圆柱直齿电磁齿轮爪极结构参数的研究 生相对运动，在各线圈内感应出近似正弦波的信号，在扭力杆不加负载时( 即轴处于自由状 态) 两端检测线圈所输出的信号有一个固定的相位差( 可通过补偿零使转矩显示为零) 。当 加载器作用，即扭力杆加上负载后，扭力杆被扭转，从检测线圈输出的信号发生相位差的变 动，其变化的大小与传递的扭力成正比，这相位差的变化值反映了所需测量的扭力。两个电 压信号的频率相等，且与转速成正比。将传感器的两个电压信号输入测量仪，经过仪表将电 压信号进行放大、整形检相、变换成计数脉冲，然后计数和显示，便可直接读出扭矩和转速 的测量结果。其中，通过控制器改变输入电流的大小，可以达到调节电动机的转速以及加载 器的转矩的目的。 电磁齿轮传动装置用于电磁齿轮的转速、转矩测量及效率检测，其连接原理如图卜7 所示， i 6 课题研究的内容 图1 - 7 连接原理图 本文以电磁场三维有限元分析方法为基础，应用a n s y s 分析软件构建直齿圆柱电磁齿轮 的三维实体模型，并对电磁齿轮模型的磁场进行了仿真计算；研究了电磁齿轮爪极结构参数 对其电磁转矩产生的影响；研究了电磁齿轮从动轮的静态转矩特性主要研究内容如下： 1 ) 基于电磁齿轮的传动机理，对电磁齿轮的结构设计作初步的研究，包括电磁齿轮各 个部件材料的选择，不同爪极数目的齿轮相互配合的条件，线圈参数的设计计算以及爪极形 状的研究等： 2 ) 运用a n s y s 的a p d l 参数化语言编写通用的电磁齿轮三维建模程序，通过此程序可建 立任意结构参数的电磁齿轮模型； 3 ) 利用a n s y s 软件3 d 标量势法( s c a l a rm e t h o d ) 对电磁齿轮磁场进行仿真计算，并 运用a p d l 参数化语言编写三维转矩计算程序； 4 ) 根据计算结果分析电磁齿轮从动轮的静态转矩特性，分析爪极对数、爪极长径比、爪 极厚度以及加载电流、气隙厚度等参数对电磁齿轮传动转矩的影响。 6 回卤 第一二章电磁齿轮有限元分析方法研究 第二章电磁齿轮有限元分析方法研究 2 1 有限元方法简介 有限元方法是近似求解数理边值问题的一种数值技术。这种方法大约有5 0 年的历史。 它首先在本世纪4 0 年代被提出，在5 0 年代开始用于飞机设计。后来，该方法得到了发展并 被广泛应用于结构分析问题中。在其它领域问题中的应用虽不太广泛，但有不断增加的趋势。 目前，作为广泛应用于工程和数学问题的一种通用方法，有限元方法已相当著名。工程应用 基础理论中的许多空间分布规律，在数学物理方法上都可归结为边值问题的求解。如理论力 学和结构力学中的受力及应力分布，热物理学中的热传导，流体力学中的流动情况，电磁理 论中的相互作用，都是边值问题的具体体现。 有限单元法的数学基础是变分原理和加权余量法。其基本求解思想是把计算域划分为有 限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分 方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借 助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便 构成不同的有限元方法。因此有不同的求解方法，其中加权余量法是一种重要方法。有限元 方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元 方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数， 用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个 单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。 根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的 选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有 三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和 高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有跟元计算格式。对于权函数，伽辽金 ( g a l e r k i n ) 法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身， 而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取n 个配置 点。令近似解在选定的n 个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0 。插 值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但 最常用的多项式插值函数。 有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格 朗日( l a g r a n g e ) 多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点 取已知值，称为哈密特( h e r m i t e ) 多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然 坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的 几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形 单元应用的最早。近来四边形等参元的戍e f j 也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元， o 金键铭，1 9 9 8 ； 7 基于有限元方法的圆柱直齿电磁齿轮爪极结构参数的研究 常采_ l j 的插值函数为拉格朗日插值直角坐标系中的线性插值函数及_ 二阶或更高阶插值函数、 面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。 有限元法是以变分原理为基础的一种数值计算方法。与其它数值方法相比较，有限元法 的突出优点是： 1 ) 有限元网格可以很方便地模拟不同形状的边界面和交界面。 2 ) 可以考虑非线性磁性材料和不同磁极配置等因素的影响，可以详细观察磁路中各部 分的磁场分布情况 3 ) 边界条件的处理容易并入有限元数学模型，便于编写通用的计算机程序。 2 2 有限元方法的基本步骤 对于有限元方法；其基本思路和解题步骤可归纳为： 1 ) 建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初 边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。 2 ) 区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相 互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比 较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐 标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。 3 ) 确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值 条件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元具 有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。 4 ) 单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再 将近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数( 即单元中各节点 的参数值) 的代数方程组，称为单元有限元方程。 5 ) 总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则 进行累加，形成总体有限元方程。 6 ) 边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件( 狄里克雷边界条 件) 、自然边界条件( 黎曼边界条件) ，混合边界条件( 柯西边界条件) 。对于自然边界条件， 一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法则对 总体有限元方程进行修正满足。 7 ) 解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封 闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。 2 3 电磁齿轮磁场分析的二维有限元方法o o 祝长生等，2 0 0 4 8 第二章电磁齿轮有限元分析方法研究 电磁齿轮的铁芯和爪极采用高导磁率软磁材料制成，转轴_ j 不导磁的材料制成，并假设： 忽略绕组漏磁通；忽略铁芯的磁阻，只考虑空气部分的导磁性；忽略磁性材料的 磁滞和涡流。 2 3 i 建立积分方程 由于电磁齿轮的磁场能量不随时间的变化而变化，故主、从动电磁齿轮电磁场为静态场。 可以列出三维静态场磁场有限元分析的麦克斯韦方程组： v x h 一，( 2 - i ) v b 一0( 2 - 2 ) 各向同性介质电磁性质的本构关系： b “h( 2 3 ) 在分析和计算电磁场问题时，为使问题得到简化，通过引入矢量磁势4 把磁场变量分 离开来，形成一个独立的磁场偏微分方程，这样有利于数值求解。它的定义如下： b v a( 2 - 4 ) 利用式( 2 1 ) 、式( 2 3 ) 和式( 2 4 ) 可得到： 三v x ( v x 彳) ；j ( 2 5 ) 上式左边为： 三v ( v 彳) i l v ( v 爿) 一土v ：彳( 2 - 6 ) pp 为了确定磁势彳的唯一性，应对它的散度加以限制，对于静态场采用库仑规范作为限 定条件，即： v a 1 0( 2 7 ) 根据式( 2 5 ) 、( 2 - 6 ) 、( 2 7 ) 式得到磁势的偏微分方程为： v 2 4 - 一f ，( 2 - 8 ) 考虑结构的对称性，电磁齿轮按二维场计算，采用直角坐标系，j ，磁势矢量a 沿z 轴方 向只有一个标量分量，：和彳：，其余分量为零，l l p v 2 爿= 等+ 等： c z - 。， 对整个电磁齿轮，其二维非线性恒定磁场的求解问题可转化成如下的边值问题： 9 基于有限元方法的圆柱直齿电磁齿轮爪极结构参数的研究 鲫址等+ 等一小号 r i ：爿：= 0 ( 2 1 0 ) l ：丝；0 o n 式中y 为磁阻率，y 。三。q 为求解场域，包括爪极和轴颈铁芯部分，l 指电磁齿轮最外 层的圆周，称为第一类边界条件；r 2 指电磁齿轮爪极截面，称为第二类边界条件。 将式( 2 - 1 0 ) 转换为下列等价的变分问题： j ( a z ) 。归v 2 仆m 胁骈【拳2 + ( 2 h ；4 拗确( 2 - 1 1 ) ir 1 ：4 0 也就是说，在给定的求解场域和边界条件下，求出使能量泛函，( 4 ) 达到极小值的函数 4 ，y ) 。 2 3 2 单元分析 如果将求解域。离散成n 个三角形单元，在某个三角单元e 内，构造关于z ，y 的磁 势线性插值函数z ，_ ) ，) ，即 雹 ，y ) 一口l + o 2 x + a 3 ) ， ( 2 - 1 2 ) 以此近似该三角单元内待求的磁势函数鸳o ，) ，) 。标号e 代表三角形单元p 。待定系数 口l ，口2 和口3 可由该三角单元p 节点上的待定磁势函数值( 分别记为4 ，a j 和以) 和节点 坐标来确定。将待定磁势函数值代入式( 2 - 1 1 ) ，可联合解得 骐啪m hh， 第二章电磁齿轮有限元分析方法研究 式中q = x j y 。一x y ，b l 兰y 一y 埘，c f - 靠一工，而口j ，b ，c ，c 。各系数则 可按tj ，m 指标顺序置换而得：。= 委( 包c ，一6 一) 为三角元e 的面积。 将式( 2 一1 3 ) 代入( 2 一1 2 ) ，可得到三角元e 上的磁势线性插值函数为 鸳_ ) ，) 。去磊瓴+ 以x + c k y 地磊4 孵y ) ( 2 - 1 4 ) 式中孵o ，y ) 。去。t + 钆x + c , y ) 称为三角元e 上的线性插值基函数单元插值基 函数：o ，y ) 又称为形状函数，它取决于单元的形状及其相应节点的配置，且砬具备完备 性、一致性、相容性等条件。 、 将式( 2 1 4 ) 以矩阵形式表示为 棚一舢咖眦 倍 由于基于在相关的三角单元的公共边及公共节点上函数取值相同，若将每个三角单元上 构造的函数乃o ，_ ) ，) 拼合起来则可得到整个q 域上的分片线性插值醢数互 ，_ ) ，) 。有 v a ；o ，_ ) ，) 一 蝉 d x 噬 妙 。互去= 瞄b 。，j 乏】 三2 。t b ，。t ，。 c z 一e ， 骝等2 + ( 等) 2 蚴一驺吐n 吐蚴一三旧删。1 7 ) 式中【k 】。称为单元磁场能系数矩阵，有 基于有限元方法的圆柱直齿电磁齿轮爪极结构参数的研究 b 。b i + c j c f b b i + c i c i 包+ c 。c f b i b i + t i c i b b i + cj c i b m b + c 。， 巨+ c 。c 。 b p 。+ cj c 。 b 。+ c 乒m 显而易见，单元磁场能系数矩阵【k 】。为一对称阵，其元素的一般表达式为 磁- 硝一去 以+ c c t ) 容易得到单元能量泛函为： o ，k f ，埘) ，。】- j 乃卜，。防】+ ，。：防】 一i a ： ：【k l 托 ，一们：z 】蚴 ( 2 - 1 9 ) 为了对式( 2 2 0 ) 第二项进行离散化，为简化分析，用三角单元重心处的磁势恐近似 代替三角单元内4 ；值，即一三一( a i + 4 + 以) 3 ，并假设三角元内y 为一常量，可得 ，。：肼；】一- a ； p 。 式中电流密度向量 p k ，为三阶列阵，其元素的一般表达式为 只- j ：a 。3 ( 2 - 2 1 ) ( 2 2 2 ) 在总体合成前，各向量或矩阵进行扩充： 一： 。一 4 ，。，【量】。一【露】。， p k 一 两。【豆】。系在原式( 2 1 8 ) 所示的【k 】。基础上，按节点编号序展开行与列，构 成n 阶方阵，其中除行、列数分别为i ，m 时存在有9 个原【k l 的元素外，其余各行、 列的元素都应为零元素； 乃。系在原三阶列阵 p ) 。基础上，按节点编号顺序展开行，构成 n 阶列阵，其中除行数分别为i ，m 时存在有3 个原 p k 的元素外，其余各行元素都 应为零元素。 1 2 押：一。帆 k k 足 巧略 f “，p 州 k k k 上啦 = 蚴孔嘭 够曲 k 1 k 第二章电磁齿轮有限元分析方法研究 晟后可求出单元能量泛函为 ，。阮】_ 尹1 ： 7 【甩似：) 一似： 7 e l 。 2 3 3 总体合成 总体能量泛函，【4 】为整个q 域上的单元能量泛函总和，即 i a 小，r ，一耋l 随，= 三似( 薹闻。卜卜托，1 耋c 动。) ：卜，r 卜三i ，。随】= 言似：) 7 i 习露l 扣：卜托) 7 【z 【动。l e i 、f - 1、c - l， ( 2 - 2 3 ) - 三似 k l t a , 一翻 p ( 2 - 2 4 ) 式中畅。荟巧，只。荟只，“用一“川 由多元函数极值条件，旦；0( f ；1 ，2 ，n ) ，可导得二维泊松场的有限元方程 0 , 4 d 为 暖】0 t ) 1 p ) ( 2 - 2 5 ) 式中【k 】为系数矩阵，：) 为待求的磁势函数列向量， p 为电流密度列向量。式( 2 2 5 ) 归结为一非齐次的线性代数方程组。 2 3 4 边界条件处理 因为电磁齿轮之外的空气中仅有非常少的磁通，所以，可以近似地将电磁齿轮之外空间 设为零磁势参考点，即对应的边界条件l 上有：a z1 4 1 0 。 2 3 5 求解及后处理 对以上方程组经强加边界条件处理后，即可求出离散解。求解方法一般有两类：第 一类是线性化方法，如线性化迭代法、牛顿一拉弗逊法等；第二类是通过求解目标函数 的极小值来获得非线性方程组的解，如最速下降法、共扼梯度法等优化算法。 在非线性场的分析中，还涉及到铁磁材料磁导率或磁阻率y ( y4 1 1 m ) 的计算。采用 向量= 磁位a 为待求量时，对应于逐次迭代逼近的计算过程，通常由前一次迭代算出的b 值 基于有限元方法的圆柱直齿电磁齿轮爪极结构参数的研究 在磁化曲线上查取相应的h 值后，由r 。h b 算得磁阻率。而查取磁化曲线简单而有效 的数学处理方法是插值法。对应丁磁化曲线不饱和段( 直线段) ，不必设置插值样点，因为 这时p 或y 是常数；对磁化曲线的弯曲段，应设置较多的插值样点，以保证计算精度：在 磁化曲线完全饱和段( 直线段) 上，则可应用最后的二个或三个插值样点，分别采用线性或 抛物线的外插运算。 由式( 2 4 ) 磁势4 的定义，可求得磁感应强度b 似，) ，j 值为 丑一以i + b y 7 一鲁于一警7 ( z - 2 6 ) 当a 或b 求出后，可利用经典电磁理论的m a x w e l l 应力法、虚位移法等分别求出作用 于爪极上的电磁力，力矩等。 2 4 电磁齿轮三维有限元方法。 三维有限元方法求解步骤非常类似于二维情形。 由式( 2 9 ) 可知三维非线性恒定磁场的求解问题可转化成如下的条件边值 q ：v ：彳。粤+ 粤+ 粤。一 缸 a ，a z l ：a 一0 ( 2 2 7 ) 叫 r ：一0 帆 对应的泛函f 似) 为： ，一瓜t 量t c 等一2 + c 訾一2 + c 警一争2 ，。： 一，+ 4 ，+ 4 j ：) m v 为了离散( 2 2 8 ) 式，将体积y 划分为m 个小体积单元，例如四面体单元、三棱柱单 元或矩形块单元。在有n 个节点的第p 个单元内，磁势的三个分量以，a y 和以可表达成 群一；一 ，r 鹾) “) 7 。 一 巧一；群。 。) 7 蟛卜“) 7 。， ( 2 - 2 9 ) ， 形一簏。 。r 鹾) 叫嬲。) o 金键铭，1 9 9 8o 1 4 第二章电磁齿轮有限元分析方法研究 将式( 2 2 9 ) 代入到式( 2 2 8 ) 中，得到属于第e 个单元的泛函f ( 彳) 部分，再取它对 一三，彳：和爿；的偏导数，得到 拳。【磁】傅) + 隧】何) + 【琏】能卜) 司a f l 【】傅) + 【霸】何) + 【】“卜辑 营嘏, a e ) + 【吲坳+ 阪m ) 瑚 式中 蚴t 瓜，i 1i ( o i 砂n o i n 砂 r 。+ 警华p 峨卜皿。爿半华+ 掣掣卜 瞪，也文警掣+ 竽竽p 【k 二卜也。石1 下o n 8 1 0 n r e r d y p ，口_ ) 爿p q 雠卜瓜。 。y ，d v p 毗y ，z 对所有单元进行组合，并加强驻点条件后，我们可得到方程组： 臀 2 萋( 瞰】留) + 暖】店) + 霞】店) 一霞 - o 薏 。薹c 瞰e ，四川霹，店h 霹，曰，一癣 一斜 薏 2 荟m ( 瞰】露) + 暖】店 + 瞳】露 一谚) ) o 即 一 一 一 一 一 一 基于有限j 亡方法的厕柱直齿电磁齿轮爪极结构参数的研究 【k 。m ， + 【k 】即，卜【】似： ；倾 【k ，】翻， + 【k ，】 爿，+ 【足，】 爿： = p ， 【k 。】 4 + 【k ，】“，+ 【k 。】翻： 一 也 用矩阵形式表示为： x 。 k ” k 。 x 。 k k 。 k 。 k 。 k 。 4 a y 一： 也 以 b ： 在加强了狄利克雷边界条件后，即可用上式求解每个节点上的磁势。 一2 5 麦克斯韦方法计算磁场力。 ( 2 3 9 ) ( 2 - 4 0 ) 按照电磁场理论，磁场对于载流导体和铁磁物体的作用力是通过媒介传递的。在磁场媒 介质( 真空或空气) 中存在有应力，即沿磁力线( 磁感应强度线) 方向的张力和在磁力线垂直方 向的压力。在磁力线方向，这些力趋向于缩短物体问的距离，而在横向则趋向于把物体挤开。 按麦克斯韦公式，对于稳态或缓变磁场作用于真空( 或空气) 介质中任一单位表面积上的电磁 应力为 p - 二o b ) b 一= l 曰2 玎 ( 2 4 1 ) z oz z o 式中，n 为沿该表面法线方向的单位矢量，b 为该表面处的磁感应强度欠量。 磁场对某一物体的作用力，可以通过计算包围该物体的任一封闭表面s 上应力p 的面 积分而得到，即 f p d s ( 2 - 4 2 ) 式( 2 - 4 1 ) 和式( 2 - 4 2 ) 是计算磁场作用力的一般表达式，它适用于磁场对任何物 体佃括载流导体、软铁磁体或永磁体) 的作用力计算，只要该物体是一刚体，取包围该物体 的任一封闭表面s 均可得到相同的计算结果。麦克斯书公式与磁场对电流的作用力公式是完 全等价的，这由以h 推导可以证明。对于一般的情况，物体中既有传导电流，又有磁化电流 j 。，则单位体积的磁场力为 | - j x b + j 。x b 由式( 2 - 4 3 ) ，作用于物体上的磁场力为 。盂庆龙等，1 9 9 2 1 6 ( 2 - 4 3 ) 第二章电磁齿轮有限元分析方法研究 f ；r ( j + j 。) b d v = r 【v ( h + m ) l x b d v 。印。旦) b d v 一 o 由向量分析等式 ( v 昙o ) x b - - b x ( v 廿) y _ _ - 五1 v p 剖 由于矢量形式的高斯变换，有 俨叼丢肌瑶v 一瑶螂 和 伊p 丢户y 。p 卜暑卜 由于v b 一0 ，故 f = j ：( v 丢) 尉y = 俨v ，丢一扣( 伊言户矿 2 瑶脚一扣( 伊舻 协。， 。纠玄踟一去盯l 嬲 这就证明了麦克斯韦公式与磁场对电流的作用力公式是等价的。这里应当指出，磁场对 电流的作用力公式是直接计算作用于元电流上的力，而麦克斯韦公式是通过计算传递该力的 媒介质中的应力来计算作用力。前一公式是作用于物体上体积力密度的体积分，而后一公式 是表面应力的面积分。同时，由式( 2 4 3 ) 还可以看出，单位体积力f 只局限于有电流f 传 导电流和分子电流讳! 在的空间，与积分区域s 2 边界的选取无关。因此任何包围该物体的边 界，只要它们是在真空( 或空气) 中形成封闭表面，而在它们之间不存在其他载流导体或铁磁 物体，那么总的磁场作用力f 的计算结果是一致的。这也就说明了与式( 2 - 4 3 ) 等价的麦克 斯韦公式( 2 4 8 ) 所表示的磁场力f 其计算结果与积分边界的选取无关。应用麦克斯韦公式 计算电磁铁的电磁吸力是很方便的。这时只需要取一积分表面包围衔铁即可，用有限元等数 值计算方法计算出磁感应强度b 的离散值，再分别计算积分途径中每一三角形单元中的作 用力，然后迭加。 2 6 虚功方法计算磁场力。 假定物体在磁场力方向上发生微小的“虚位移”，根据不同情况下电源供给系统的能量， 系统增加的电磁场能，静电场力和磁场力做的功之间的关系就可方便地求出物体受到的静电 。孟庆龙等，1 9 9 2 ； 1 7 一 一 一 一 基于有限元方法的圆柱直齿电磁齿轮爪极结构参数的研究 场力和磁场力 对于磁场区域q 中一物体t ( 铁磁物体、载流导体或者两者兼有) ，设其沿g 方向坐标变 化如，而场域中其余物体坐标均不改变，则按照功能转换关系可求得作用于物体上的磁场 力，。 设物体虚位移为如，相应的能量平衡关系为 d 讳：一d w , 一d i 吒一d h ， ( 2 4 9 ) 式中，d 为磁场力所作的机械功，即 d 一f 如 其中，f 为磁场作用于物体t 上的力： d ，e 为区域q 中由电路系统输给磁场的能量，即 积s 皆j d t d v 其中，e 为电场强度矢量，- ，为电流密度矢量，矿为区域q 的体积： d - 吆为场域q 中磁场能量的增量，即 d 既- 吖日。棚户矿 其中，h 为磁场强度矢量，b 为磁感应强度矢量： d 以为从场域q 内通过边界s 流出到场域外的能量，由坡印廷定理， d w ：。j = ( x 何) n d t d s2 j = v ( h ) d t d s ( 2 5 3 ) 其中，e h 称为坡印廷矢量，n 为边界s 法线方向的单位矢量。 因此由能量平衡关系，磁场力f 做功为 ，。如一d 形一d w 一d w r o p ，励+ 日d b + v 但n ) d t i d v ( 2 - 5 4 ) 沿由方向的作用力为 ，。塑二堡二塑( 2 - 5 5 ) ，i ； 若将区域q 取为无穷大，则d f 以一o ，这时 f 。d w , - d w ( 2 5 6 ) 喀 下面进一步分析在虚位移过程中各项功能之间的关系。首先分析由电路系统输给磁场的 能量d - e ，这一能量是由与电路相联的电源所提供的。 由电磁场理论可知，欧姆定律的微分形式为 + e 一 ( 2 5 7 ) ) ) p q 号 一 一 量三兰皇蹩塑丝复堡垄坌堑查生翌壅 式中为由外界电源电动势所决定的电场强度：e 为导体中由丁二磁场变化而产生的电 场强度；p 为导体介质的电阻率；，为电流密度。写成能量平衡方程式为 e o j d t + e j d