（固体力学专业论文）非线性偏微分方程的解法研究.pdf

博上学位埝文摘要非线性动力学是非线性科学的一个重鬻分支，而非线性偏微分方程的精确求解及其解法研究又是非线性动力学的一个主要内容。非线性偏微分方程的精确求蘩毅箕解法磷究终为嚣线瞧手喜学申耱蘩港戮究谖蘧箱热点阕鬟，较粪援酸性。蓦薪虽然已经提出和发展了许多求非线性偏微分方程精确解的方法，但由于求解非线性德微分方程没有也不可能有统一丽普适的方法。因此继续寻找一些有效可行的方法依然是一颁十分重疆和掇有价毽豹工襻。本文程垒面扫纳和总结现有各干中隶解j # 线性偏微分方程的主要方法的基础上，对非线性偏微分方程的解法进行了较失豢绫窝深入瓣疆突，提窭了尼糖隶菲线拣镳微分穷露壤璃麟瓣凝方法，并蠲这些新方法求解了许多物理和力学中非常重要的非线性偏微分方程，不但获得了已有的结果，而且得到了许多新的结果，丰富和发展了非线性偏微分方程解法研究豹内容。本文夔工终萁蠢较太豹瑾谂意义稳蔽蘑按篷。全文共分六章。第一章为绪论，简要地回顾了非线性偏微分方程提如的历史背景，全面归纳和总绩了国内外_ | 舞提出的求非线性偏微分方程精确解的一些主要方法，扼要地介绍了奉文研究的弱豹帮主瓣内容。第二章用力学的方法筒蕈遣导出了几个重要的非线性偏微分方程。第三章提出了一种求非线性偏微分方程( 组)壤确矮的变换一试探函数法，势翅该方法籁港建隶褥了诲多嚣线性穗微分方程姻大餐精确解，包括许多新解。第四章提出了一种求b u r g e r s 方程、k d v 方程和k d v - b u r g e r s 方程精确解的直接方法，用这种方法，不但能求得用第三章中的变换一试搽函数法求霭静掰商薅，逐麓袁褥糟第三章中麴交换试搽蘧数法不艇求得的许多新解。第五章提出了种由b u r g e r s 方程豹解和k d v 方程的解构造k d v - b u r g e r s 方程的解以及由k d v 方程的躺鞠k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方稷的勰构造k d v - b u r g e r s k u r a m o t o 方程的解的鼗加法，多 用该方法简洁谶求褥了k d v - b u r g e r s 方程和k d v - b u r g e r s k u r a m o t o 方程的若下精确解。所得结果与第三章嚏 疆变换一试搽丞数法求鹰的结果完全搬图。第六章提出了一静求楚些超越菲线毂偏微分方程精确解的辅助常微分方程法，并用该方法简洁地求得了s i n e g o r d o n 型方程、s i n h g o r d o n 型方程以及b o r n * l n f e l d 方程的大量精确解，包括许多薪簿。最后对本文的工 警避雩亍了蕊缭，著对今螽懿骚究方囱俸了爱望。关键词：非线， 生偏微分方程；精确解：变换一试探函数法；盥按镪法；囊加法辅鞠鬻微分蠢程法薹丝堡堡塞坌趸堡塑熬篁臻垒a b s t r a c tn o n l i n e a rd y n a m i c si so n eo ft h ei m p o r t a n tb r a n c h e si nn o n l i n e a rs c i e n c e ，w h e r e a ss t u d yo nh o wt os o l v en o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si so n eo ft h em a i nc o n t e n t si nn o n l i n e a rd y n a m i c s a sal e a d i n gs u 珥e c ta n dh o ti n t e r e s ti nn o n l i n e a rs c i e n c e ，s t u d yo nt h es o l u t i o nm e t h o do fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a sb e c o m em o r ea n dm o r ec h a l l e n g i n g a tp r e s e n t ，a l t h o u g han u m b e ro fm e t h o d sa r ep r o p o s e da n dd e v e l o p e dt oi o o kf o rt h ee x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，u n f o r t u n a t e l y ，n o ta l lt h e s ea p p r o a c h e sa r eu n i v e r s a l l ya p p l i c a b l ef o rs o l v i n ga l lk i n d so fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sd i r e c t l y ，a sac o n s e q u e n c e ，i ti ss t i l lav e r ys i g n i f i c a n tt a s kt og oo ns e a r c h i n gf o rv a r i o u sp o w e r f u la n de f f i c i e n ta p p r o a c h e st os o l v en o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h i st h e s i s ，b a s e do nac o m p l e t es u m m a r ya n de x a m i n a t i o no ft h em a i nm e t h o d sf o rs o l v i n gn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，af e wn e wa p p r o a c h e sa r ep r o p o s e dt os e e kt h ee x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f 强r e n t i a le q u a t i o n s b ym a k i n gu s eo ft h e s ea p p r o a c h e sp r o p o s e db ya s ，av a r i e t yo fe x a c ts o l u t i o n st om a n yp h y s i c a l l ys i g n i f i c a n tn o n l i n e a rp a r t i a ld i f i e r e n t i a le q u a t i o n sa r ee a s i l yp r e s e n t e d a m o n gt h e m ，s o m ea r ei nv e r yg o o da g r e e m e n tw i t ht h o s eo b t a i n e di ns o m el i t e r a t u r e s ；o t h e r sa r en e wo n e sw h i c hc a bn o tb ef o u n di nt h ee x i s t i n gl i t e r a t u r e st ot h eb e s t o fo u rk n o w l e d g e t h es t u d i e sa r eo fm o r ep r o f o u n d l yt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n di m p o r t a n ta p p l i c a t i o nv a l u e 。t h i sd i s s e r t a t i o mc o n s i s t so fs i xc h a p t e r s 。i nc h a p t e ro n e ，t h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n do fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sl o o k e db a c ko n ，t h em a i nm e t h o d sf o rs o l v i n go fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r es u m m a r i z e d ，a n dt h ep r i m a r yc o n t e n t so ft h i sd i s s e r t a t i o na r er e p o r t e da sw e l l i nc h a p t e rt w o ，s e v e r a li m p o r t a n tn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nm e c h a n i c sa r ed e r i v e d 。i nc h a p t e rt h r e e ，an e wa p p r o a c hc a l l e dt h et r a n s f o r m a t i o n t r i a lf u n c t i o nm e t h o di sp r o p o s e dt os o l v en o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n dm a n ys o l u t i o n si n c l u d i n gn e wo n e st ov a r i e t i e so fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ee a s 勰f o u n db ym g a n so ft h i sa p p r o a c h i nc h a p t e rf o u r , a n o t h e rn e wa p p r o a c hn a m e da st h ed i r e c tm e t h o di sp u tf o r w a r dt os e e kt h ee x a c ts o l u t i o n so ft h eb u r g e r se q u a t i o na n dk d ve q u a t i o nt o g e t h e rw i t hk d v - b u r g e r se q u a t i o n ，s o m eo f w h i c ha r en o v e ls o l u t i o n sw h i c hc a nn o tb eo b t a i n e db yt h et r a n s f o r m a t i o n t r i a lf u n c t i o nm e t h o di nc h a p t e rt h r e e t nc h a p t e rf i v e ，at h i r dn e wa p p r o a c hc a l l e dt h es u p e r p o s i t i o nm e t h o di sp r o p o s e dt oc o n s t r u c tt h ee x a c ts o l u t i o n st ot h ek d v - b u r g e r se q u a t i o no rk d u b u r g e r s k u r a m o t oe q u a t i o nf r o mt h o s eo ft h eb u r g e r se q u a t i o na n dk d ve q u a t i o no rt h ek d ve q u a t i o na n dk u r a m o t o s i v a s h i n s k ye q u a t i o n t h er e s u l t so b t a i n e db yt h i sa p p r o a c ha g r e ew e l lw i t ht h o s eg i v e ni nc h a p t e rt h r e e ，i nc h a p t e rs i x ，af o r t hn e wa p p r o a c hn a m e da st h ea u x i l i a r yo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nm e t h o di sp r o p o s e dt oe x p l o r et h ee x a c ts o l u t i o n sf o rc e r t a i nt r a n s c e n d e n t a ln o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s + b ym e a n so ft h i sa p p r o a c h ，al o to fe x a c ts o l u t i o n sc o m p r i s i n gn o v e lo n e sa r ef o u n df o rs i n e g o r d o nt y p ee q u a t i o n sw h i c hi n c l u d et h es i n e g o r d o ne q u a t i o na n dd o u b l es i n e * g o r d o ne q u m i o nt o g e t h e rw i t hm k d v - s i n e g o r d o ne q u a t i o na n ds i n h g o r d o nt y p ee q u a t i o n sw h i c hi n c l u d et h es i n h - g o r d o ne q u a t i o na n dd o u b l es i n h g o r d o ne q u a t i o na sw e l la st h eb o r n i n f e l de q u a t i o n f i n a l l y , t h es u m m a r yo ft h i sd i s s e r t a t i o na n d ，t h ep r o s p e c to fs t u d y0 1 1t h es o l u t i o nm e t h o do fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r eg i v e n k e yw o r d s ：n o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；e x a c ts o l u t i o n ；t r a n s f o r m a t i o n * t r i a lf u n c t i o nm e t h o d ；d i r e c tm e t h o d ；s u p e r p o s i t i o nm e t h o d ；a u x i l i a r yo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nm e t h o di l湖南大学学位论文原创性声明本久郑重声明：掰堇交熬论文是本人在寻筛懿指导下獯立避李亍磷究掰取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内释外，本论文不包含任何其镌个人或集蟀已经发袭或撰譬豹疲票铭瀑。怼本文豹磅究傲蠢重要羹湫戆个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果瞧本人承掇。作者撩名：锄丸毫日期：础3 月f 6 目学位论文版权使用授权书本学佼论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保蜜势藏匿家有美部门或攘橡送交论文憨复印传饔奄予叛，龛诲论文被查阅和借阅。本人授敉湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，霹以采用影印、缩印绒扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。本学位论文属于l 、保密飘，在年熬密质适磊零授权书。2 、不保密团。( 谤在竣上程应方礁内打“4 ”作者签名：谕翘亳刷秘各狮盯dwf l曩麓：如。年3 层1 5 露目期：扫r p 0 年；月i 厶日博l 上学位论文1 1 谍题的提出第1 章绪论1 6 8 7 年，人类历史上最伟大的科学家n e w t o n 出版了划时代的巨著自然科学之数学原理，奠定了经典力学静大厦。在这部书中，n e w t o n 从力学的基本襁念( 质量、动量、惯性、力) 和基本意律( 运动三定律) 出发，运用他所发明的微积分这一强有力的数学工疑，不但从数学上论证了万有引力定律，而且把经典力学确定为竞整藤严整戆接黎，把天诲力学和遗覆上瓣麴体力学统一起来，实瑗了物理学史上的第一次大综合。动力学系统是力攀中豹终统命题，冠蓬基予n e w t o n 力学凝建立豹遴勘拄稍微分方程即为动力学窳统。自然科学和工程技术中的动力学系统从本质上讲都是菲线性系统，这是因为反浃系统特征和彩响系统运动瓣许多阂素都是菲线性的，例如非线性的物理因豢、几何因素、结构因素等。而线性系统只是真实的动力学系统的一种理想模型，当影晌系统运动规律的嚣线性因素很小时，它在一定程度上能近似地接述系统的囊实运动援德。毽是，对动力学系统的这种理想化薨非慧是可靠的，当系统的非线性因素的影响不可忽略时，线性模型就完全失效。这就鬟使人稻去试谈帮磅筑各耱尊线谴因素对系统热态帮逶动蔑律懿影虢，扶露建立系统的非线性动力学掇制模型，于是，一门区别于经典n e w t o n 力学的新兴学科一菲线毪动力攀就盛瀚面生了1 1 4 l 。舅一方面，囱予菲线往动力学系统其磊线径系统所没有的丰富而复杂的动力学特性，人们需要利用域控制这些性质，这就促进了非线能动力学的进步发髓。因而，在上一饿纪，龟括非线性动力学在内的罪线性科学得到了飞速灼发展势取得了巨大的成功。方嚣，人们发现各秽非线性现象广泛存在于弹性力学、缩构力学、流体力学、天体力学、多剐体力学、机器夫旗力学、飞嚣器动力学、魄磁缓理论、凝聚惑理论、超导葶爨超雾荛理论、控制璎论、电予学、化学反成动力学、生物力学、地球科学、大气科学、变通流问题以及拄会发震交纯甄律耱经济运抒瓣律等各个鑫然、j 生会经济秘工穗技术领域。努一方面，一些推动2 1 世纪发展的商新技术，如玻色一爱因斯坦凝聚、遗传与基因工程、光导与巍纤通讯、混沌通讯、缡米技术、等离予体技术帮超导技术等都与非线性科学密切相关，非线性科学难在越来越成为跨学秘的研究前沿，一些学者已将非线性科学誉为继相对论和量子力学之后，2 0 世纪自然科学的“第三次大革鑫”，曼从曩前寒毳，葵发震气势之磅薅鳃不亚予量予力学当年之壤风。非线性动力学的控制方樱为非线性常( 偏) 微分方程( 组) ，非线性动力学的许多瓣题懿霹以归终为求瓣j 线性穰激分方瑟f 龌) 的惩遂。莽线性糯擞分方程( 缀) 绩确非线性偏微分方襁的解法研究簿鹣磺变奁壤诠毒羹应麓上其舂鬟要戆徐篷，蠢为精撩鼹可醢是鐾逮摅述簿线。睦编微分方程( 组) 的许多重要性质：能比较满意地解释过去很多不能解释的现象，如木照的红斑殷其它特援、激光打靶中密度坑以及红外线外移等现象都道过 i 究对应的菲线性方程褥到了准确的解答，又懿邋过求解考虑糕经效应和横商暝性效成的肖限变形均匀弹性细轩中几何非线性波的波动方襁，能较好地解释弹性杆中的振荡孤波车霎激波匏簧撂【5 】；辖确瓣可爱来羧裂数壤方法彝近戗方法懿嶷好与否，利闱精确解人们可以验证在相间控制参数条件下得到的数值解的可靠饿；精确解能为重大工稷的安全设计提供参考依据和指导作用，如最近销人冲“l j 邋过求得非线浚弹往秆中戆滚囊方程驹孤浚解发褒：在菲绫瞧洚瞧抒孛蕊矮馥鼹浚转蘧着黥量的聚集，谢可能使得爱扰动结构的局部鹰变、应力大于初始扰动的相应的最大醢，当某处褥材料缺陷时，容易造成该处楗辩的非线性断裂，从丽导致绩构的破环，由诧穗们指赛在工程结构酶动态设计和动态分轿中应该考虑这一阔趣。又翔非线性弦振动方程的孤波解可以指导在工糨索道及商架缆线的设计巾控制某一形式豹秘始振凌速度褥戮摆夏作蹋熬孤波樊，到总的遥度振幅将减小，扶嚣使褥索道上的缆车运行平稳或高架缆线上的承载物维持平衡1 1 ”。因此，非线饿偏微分方程( 缀) 的精确求解及其解法研究，一直是蛾几十年米非线性科举研究中极为重要饔矮为活跃的蓊港漂鬏襄热点滴鼹。1 2 非线性偏微分方程提出的历史回顾t 8 3 4 年焚国工程师r u s s e l l 骑马在爱丁馕礁近的一条运河旁看见两馘马拉着条船在运河中快速行驶着，当这条船突然停止时，在船头附近产生了一个光滑的、豫小由毯一撵豹瘩滚，然痿这个窳波囊拜糖头疆1 2 1 4k m h 豹速度自罄逡动，蒡显它的形状和速度保持不变，他骑码追出了3 k m 左右才看到这个水波的离度逐渐减少，最后在邀河的一个拐弯处消失掉，他搬这种水波称为孤立波并在一篇题为论波动静报告中搐述了匏所褒襄到煞这静奇妙现象l 瓣l ，这是公谈静有哭疆立渡静首次报道，限于当时的数学理论和科学水平，r u s s e l l 无法从理论上给予这种现象以骚潢的解释。扶那激后，诲多人都尝试逶过建立熟数学模溅扶理论上寒鳃释这种现象，但直末获藏功。直到6 0 年后的1 8 9 5 年，荷兰阿妈斯特好大学的著名教授k o r t e w e g 和他的学生d ev r i e s 1 4 仔细研究了浅水波运动，在长波近似和小振幅假定下建立了攀淘运动豹浅东滚逡魂方翟，方鳃凌了这令滔蘧。壤镪疆建立熬方程为a u 一6 “一a u + 空：0( 1 1 )西瓠缸该方程就是熟知豹k d v 方程，它是最早键懑豹一个菲线涟穰微分方程。毡稍获褥了该方程的孤立波解博上学位论义吣，f ) = 2 誓”c f )( 1 2 )如果令亭= x c t ，那么”在善一“平碰上的图如图1 1 所示。u 图1 1k d v 方程的孤立波解”在f 一“平面上的图形从图1 1 容易看出，k d v 方程的孤立波解”在f 一“平面上的图形与r u s s e l l 在爱丁运河上所观察到的孤立波形一致，这就从理论上圆满地解释了r u s s e l 所观察到的现象，从而从理论上证明了孤立波的存在。然而这样的孤立波是否稳定? 两个孤立波碰撞后是否变形? 这些问题一直困扰着人们。因此，在没有新的发现之前，孤立波的研究一直处于停滞不前的状态，这样k d v 方程默默地度过了漫长的6 5 年，只是偶尔在文献被提一下，有时甚至被忘掉。一直到了2 0 世纪5 0 年代，由于f e r m i ，p a s t a 和u 1 a m 的工作，才出现了新的局面。他们将6 4 个质点用非线性弹簧连接成一条非线性振动弦，初始时这些谐振子的所有能量都集中在一个质点上，而其它6 3 个的初始能量都为零。由经典统计物理的能量均分定理可预言，只要非线性效应存在，就会有能量均分现象出现，就可导致系统由非平衡态向平衡态过渡。即只要有任何微弱的非线性相互作用但实际计算结果却使得他们大吃一惊即上述达到能量平衡的观点对于非线性系统是错误的，经过很长时间后，几乎全部能量义回到了原先的初始分布，这就是著名的f p u 问题。由于当时只在频率空间来考察，未能发现孤立波解，所以该问题未能得到正确的解释。后来人们把晶体看成具有质量的弹簧组成的链条，并近似模拟这种情况，t o d a 【”1 深入研究了这种模式的非线性振动，果然得到了孤立波解，使f p u 问题得到了正确的解答，从而激起了人们研究孤立波的兴趣，许多人都加入到了这一行列。1 9 6 0 年，g a r d n e r 和m a r ik a w a 在分析无碰撞磁流体波的模型方程时，又一次导出了k d v 方程。1 9 6 5 年美国著名数学家k r u s k a l 和z a b u s k y i ”】对k d v 方程的孤立波解进行数学模拟，他们发现两个孤立波碰撞后，不改变波形和传播速度。这一结果使人们感到惊喜，极大地激发了许多物理学家和数学家对它的研究热情，从而掀起了研究孤立波的热潮。自k o r t e w e g s hd ev r ie s 导m k d v 方程后，k d v 方程。一次又一次地在不同的背景巾，作为捕述多种多样的物理现象的模型方稗被推导出来，现在不断发现相非线性偏微分方程的解法研究当广泛的一鬟乏 鏊透弱嚣线牲 车蒡l 下戆滚动方程，在长波近蠡鬟鞠小戆显为有鬻数振幅假定卜，均可归结为k d v 方程，例如：( 1 ) 冷等离子体的磁流体波的运动；( 2 )菲线蛙晶格的振动；( 3 ) 等离子体的离子声波；( 4 ) 在滚、气两种漫合态的压力波的运渤；( 5 ) 在个管底下部的流体的转动；( 6 ) 在低温下菲线桎繇格的声子波包静熟激发；( 7 ) 在弹性杆中的纵向色散波的传播；( 8 ) 血管中血液的流动；( 9 ) 凝聚态物理；f l e ) 超导物理；1 1 ) 生物糖蘧等。今天，k d v 方糗可技视为嚣线性数学甥理懿基本模型方程之一。自k d v 方程提出来后，人们又黼续在不周的物理和工程实际背景中提出了许多非线性偏微分方程，如b u r g e r s 方程、k d v 方程、m k d v 方程、b o u s s i n e s q 方程、k d v - b u r g e r s 方稷、k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程、k d v - b u r g e r s k u r a m o t o 方程、非线性k l e i n ，g o r d o n 方程、b b m 方程、s i n e g o r d o n方程、s i n h g o r d o n 方稷等等，贼予篇幅，不再详细会绥。现畿已提出的奇物理意义帮实用价德的菲线幢偏锾分方程已有忍酉个h ”，嚣疆着辩学技术豹抉速发震，在备个不同学科中不断有大量新的非线性偏微分方襁被提出。1 3 菲线性偏微分方程的解法综逐众所周知，许多意义重大的彝然科学獬工程技术问题都归结为非线性偏微分方程( 组) 的磷窥。菲线褴编微分方程 懿求鼹爨难缛多，豳为藤者的一些基本性质如叠加服理等对前者不再成立，因弼很滩用统的方法对前者加以处理。大多数情况下，非线性偏微分方程( 组) 的求解只能依赖于数值方法，但数值解无法包禽原方程解所表示纳无穷情况的企局特征。另外，在有些情况下，久稻并不糯要知道一些个剩勰觳暴俸数值，两希望了解方程熊静一般定性特征，这些特征 皇往熊镬我 越闽题的认识熙趣深裹。这榉，求菲线性偏微分方程馊1 1 耩确解的工作，就照示了很熏要的理论和应用价值。特别是非线性偏微分方程( 组) 的精确解可以定羹地袭征由非线性偏微分方程( 组) 描述的系统的许多麓要性质，因为只有首先求褥了獾述系统的菲线镶偏微分方程( 组) 的解，方能谈键上对系统熬经态耪行秀进行魄较吴钵熬分拆，毽才能谈褥主对系统窍了比较准确的了鳃鄹把握；此外，菲线性馈微分方程f 缎) 的糕确勰能比较满意地解释过去缀多不能解释的现象。如木鼹的红斑及其铝特征、激光打靶中密度坑以及红外线外移等现象都通过研究对应的非线性方程( 组) 得到了准确的解答；更为重要豹是对于非线性偏微分方程( 缢) 的数德簿来说，精确解有劲予验算数禳解静精度翻鉴裂蹶馒霜蠡冬近钕方法戆薤好奄季。困毙，非线性镶微分方程( 缀) 豹精确求解及其解法研究，一盥是避几十年来广大力学、物理学、地球科学、生命科学、应用数学和正程技术料学正作者致力于研究的极为重要和最为活跃的前沿课题和热点问题，它在非线性科举的研究中占有极其重蔟的地位。到秘前为止，虽已提出了许多求解菲线性偏徽分方程潼i ) 的强有力豹好方法( 详觅1 3 藩线楼偏徽努方攫的鳃法壤述) ，毽由t - 薅线牲臻缀分方程组) 糖臻浆鳃瓣霎蠢困难，至今嶷没有蒋遍适用的精确求解非线性馕微分方程( 组) 的方法，因此，继续罨找一些有效可行的方法并精确求得非线性偏微分方程( 组) 的解乃鼙新解仍怒一项十分重要和有价值的工作。本文难是蒸于此目的，在全面归纳和总结现有各种主要的精确求解尊线链编微分方程镄i ) 方法翡基碱土，箍密凡种求j 线毪偏叛分方程( 缝) 精确解的激方法，并臻这些方法糕确求辫诲多在数学、物理秘力攀等谗多秘学镁域都十分蘑要的非线性偏微分方程暖1 ) ，进一步丰富羊发展非线性偏微分方程( 组) 解法研究的内容。媾圭学建埝文1 4 2 主受内容如前所述，许多重要的动力学系统都可以用特殊的非线性偏微分方程( 鳃) 来兹透，叛蠛代程学技术孛懿瓣蘧隽蜚景憝棼线整壤镦分方程( 缀兹磷究，不仅是应用数学的一个主要内容，而且也是非线性科学尤其是非线性动力学韵一个重要内容。非线性偏微分方程( 缎) 的精确求解及其解法研究作为非线性科学中一个新出现的前沿研究课题，极其挑战性。本文_ 谯全面归纳和总结现有各种主要的求解蘸线往德擞分方程f 组) 方滚熬基穑上，掇窭了凡耱耩确求艇 线性德徽分方程偿l 豫自有效方法，并角这些方法求得了诲多在数学、物理芹嚣力学等许多科学领域都十分重要的非线性偏微分方程( 组) 的大趣精确解，其中觎括许多新解，为今后进一步讨论这些解的物理意义以及将它们应用于工程实际奠定了坚实的理论基石盎。第一肇罄宠简要遣醚蹶了j 线毪镶徽分方程提出的掰史背景，然蓐对迄令为止国内外所提出的求非线性偏微分方程( 组) 精确解的一些主要方法进行了综述，最后介绍了本文的研究目的和研究内容。第二誊鼹固体力学尤熬是连续介质力攀的基本理论秘基本方法简单地母出了凡令重要戆簿线往猿徽分穷程。第三章通过引入一个新的交换，结合利用试探函数法，提出了一种求非线性偏微分方程( 组) 精确解的变换一试探函数法，并用该方法简洁地求得了一类非线性偏微分方稷的许多精确解，所得解不但镪括甩现有方法求得的解，还包括崩现毒方法不戆求褥嚣谗多巍躲，然嚣，l 冬该方法推广妥诲多羽豹菲线往穰徽分方程( 纽) 求得了其大量精确解镪括新解。第四糍利用第三章中所日l 入的一个变换，提出了种求b u r g e r s 方程、k d v方程和k d v - b u r g e r s 方稔糟确解解的直接方法，用这种方法，无需日l 入试探函数，藏霹壹接求德b u r g e r s 方程、k d v 方程秘k d v - b u r g e r s 方壤豹萋予显式糖确簿，所得解不缎包括第三章中所求得的所有解，还包括第三牵巾所不能求得的许多薪解，进一步补充和完善了箱三章中的结柴。第五章通过仔细分析b u r g e r s 方程、k d v 方程、k d v - b u r g e r s 方程、k u r a m o t o + s i v a s h i n s k y 方壤、k d v - b u r g e r s k u r a m o i o 方稷这些菲线性镛微分方程静特点，撬出了一耱由b u r g e r s 方程酌繇謇霸k d v 方程豹鳞掏造k d v - b u r g e r s 方程的解以及由k d v 方糨的解和k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程的解构造k d v - b u r g e r s ，k u r a m o t o 方程的解的叠加法，并用该方法简涪地求得了k d v b u r g e r s方程和k d v - b u r g e r s k u r a m o t o 方程的若。r 精确鳃，所得结果与第三章中髑变换一试探垂数法求褥瓣籍栗竞全毒霸藏。第 章通过引入一个辅助常微分方税，将求解超越j # 线性偏微分方程的问题一7 非线性偏微分方穰的解法研究转化为隶瓣j 蓠g l a 蠡骥魏鬻镦分方程的溥蘸，提窭了嵇求装些超越i 线经褊 羧分方程精确解的辅助常微分方程法，并用该方法简洁地求得了s i n e - g o r d o n 型方程( 包括s i n e g o r d o n 方程、双s i n e ，g o r d o n 方程、m k d v - s i n e - g o r d o n 方程等1 以及s i n h ，g o r d o n 漤方程f 壤括s i n h g o r d o n 方程、双s i n h g o r d o n 方程) 的大鬣精确瓣析解，其中宵许多是以前从未樽到的新群，然后将该方法进一步推广用于求解b o r n ，i n f e l d 方程，月梯获褥了其大量精确瓣毒蓐鼹，獒中包括缀多薪解。最后对全文进行了总结，并时未来的研究方向作了展望。1 4 ，3 主要创新点本文的主要创新点在于提出了几种求非线性偏微分方獠( 组) 精确解的新方法，并用这些新方法求解了许多在数学、物理和力举等许多科学领域都十分重要麴潦线毪侮徽分方程( 缀) ，获褥了这些菲线整攘微分方程组) 豹大量錾瓣，扶孬丰富和完善了非线性偏微分方程解法研究的内容，为今后进一步讨论所得解的物理意义以及将它们应用予工程实簸奠定了坚实的理论基础。具体表现在下列几个方面。1 通道引入一个新的变换，采用两个试探函数，对现有的试探函数法进行了鸯效款改进，镬之戆求餐诲多嚣线牲馕微分方程( 缀) 鳇大量耱确解，惫錾许多掰解，拓展了现有的试探函数法的癍用范硝；2 借助于上面所弓i 入的新变换，不用设试探函数。直接求得了b u r g e r s 方程、k d v 方程嚣k d v - b u r g e r s 方程豹诲多糖确惩；3 首次将只适用于线性偏微分方程的叠加法推广和拓臌到非线性偏微分方程岭求解上，从而扩大了叠加法的应用范围；4 通过引入一个辅韵常微分方程，首次系统追求褥了菜爨用通常的方法难汉求解的超越非线性偏微分方程的许多精确梓，包括大量新解。8 ，博上学位论文第2 章力学中几个非线性偏微分方程的简单推导2 1 引言众所周知，一切实际的物理系统在本质上都是非线性的，线性系统往往只是实际系统在某种意义上的近似表示。在自然界中，有许多现象可以用偏微分方程来描述，而用线性偏微分方程描述的自然现象，往往忽略了许多因素，其解不能准确地反映所描述的自然现象，而大量的自然现象则需要用非线性偏微分方程来描述，如在团体力学，流体力学，固体物理，非线性光学，基本粒子物理，等离子体物理，激光物理，超导体物理，凝聚态物理，低温物理，核物理，化学物理，光纤通讯，大气科学，海洋和分子生物学等许多不同的科学领域中就建立了大量的非线性偏微分方程1 9 7 。1 0 ”，本章我们给出力学中几个重要非线性偏微分方程的简单推导。2 2 几个非线性偏微分方程的力学导出2 2 1b u r g e r s 方程细长弹性杆的纵向振动是弹性力学中引人关注的问题之一，这个问题的线性模型已有较深入的研究，但对细长弹性杆的非线性纵向振动研究得很少。本节利用一维有限变形的几何方程和k e l v e n v o i g t 体描述的材料模型，建立有限变形粘弹性细杆非线性纵向振动的控制方程，进而利用多尺度法得到非线性力学和非线性数学物理中非常著名的b u r g e r s 方程。考虑一无限长，均匀的等截面细杆。因为杆足够细，所以假定各物理量只是x和t 的函数，即本问题是个一维问题。我们知道，在连续介质力学中，有两种描述有限变形的方法，即l a g r a n g e 描述法和e u l e r 描述法。本文采用l a g r a n g e 描述法。为了方便，假定x 为l a g r a n g e 坐标轴，盯、e 分别为l a g r a n g e 描述下的纵向应力、纵向应变。对于均匀的等截而细杆，由动量守恒定律可得在l a g r a n g e 描述下不计体力的纵向运动方程为p 。掣：篓( 2 1 )p o i 丁2 = 一l z l j口其中p 。为杆的初始质量密度，为杆的纵向振动位移。假定材料的本构关系近似由k e l v e n v o i g t 模型来描述，并假定弹性元件具有线性性质，则非线性偏微分方程的解法研究仃：+ ”一0 e( 2 2 )其中e 为弹性模量，r 为粘性系数。考虑有限变形时，应变一位移关系可表示为。：譬+ ( 譬) ：( 2 3 )将( 2 2 ) 式、( 2 3 ) 式代入( 2 1 ) 式中，整理后可得用位移表示的弹性细杆的纵向运动方程为害= 去c t + 芸+ 詈嘉，窘+ 去c ，+ 警，意c z m在( 2 4 ) 式中，若令c o ：、旦，：譬，则波速为v 风出c = c 。i + e4r 02 u -( 2 5 )由上式可以定性地看出，波速不再是常数c 0 ，而和线性应变p 。以及粘性系数r l有关。当口斗0 时，c 随e 。的增大而增大，这意味着在加载过程中，后行的大扰动传播的速度大于先行的小扰动传播的速度，波形剖面在传播过程中将被压缩而变得突陡，就可能导致激波的形成。粘性系数玎代表着耗散效应，有抑制波形陡峻的作用，二者相互作用的结果就有可能得到稳定传播的波形。下面我们用摄动理论中的多尺度法来得到小的但为有限幅值的波运动的近似方程。不妨设为右行波的形式，由线性方程行波的特点看出，波函数的取值仅与它们的相f = x c t 有关，而与f 无关。因此令s = 卜x 为快变尺度，令一= 捌，f = 甜为慢变尺度，其中s 为小量。引入和r l e 量纲相同的量，则可得无量纲化小参数s = r l 肛( 由于玎和e 相比是小量) ，并设解为妒= 耐( j ，x ，t ) + s 2 戎( 5 ，一，) + ( 2 6 )把( 2 6 ) 式代入( 2 4 ) 式，并令s 的同次幂项的系数相等，同时略去o ( e3 ) 等高次项，整理可得黧o s o x + 去黧o s o t + 击2 c 堕o s 尝o s 一+ 老2 c 争= 。，：2o 出。令“：些，则( 2 7 ) 式变为丝+ 上丝+ 上“o u 1 一0 2 u ：o( 2 8 )o x o t 2 c jo s2 c oo s 2如果非线性奇变只是t 的函数，则，卜式第一项可略去( 如果非线性奇变只是一的函数也有类似的结果) ，且令x = 2 c 。j ，口= 一2 c ：，同时将撇号去掉，9 1 1 j 应满博l 学位论文足下列方程祟+ “祟+ 口窘= 0( 2 t 9 )西缸鼠2。此即非线性力学和非线性数学物理中非常著名的b u r g e r s 方程。2 2 2k d v 方程k d v 方程是非线性数学物理中的一个基本模型方程，现在不断发现，相当广泛的批描述弱非线性作用下的波动方程，在长波近似和小的且为有限的振幅假定下，均可归结y g k d v 方程，如冷等离子体的磁流体波的运动：非谐振晶格的振动；等离予体的离子声波；在液、气两种混合态的压力波的运动；在一个管底下部的流体的运动；在低温下非线性品格的声子波包的热激发；在弹性杆中的纵向色散波的传播等。本节利用约化摄动法，通过建立非线性弹性杆纵向振动的非线性双曲型方程组，在远场渐近意义上和小振幅情况下，根据远场简单波理论，导出非线性力学和非线性数学物理中非常著名的k d v 方程。设杼无限长，质量密度为常数p 。，平均横截面积为s ，在任意形状的等截面承受轴向拉、压的突加载荷。当材料服从二次非线性本构方程口= e ( e + e 1 p2 )( 2 1 0 )并计入横向惯性效应之后，则其纵波运动方程为警一2磐砌擒20tt 0o x丝o x 塑o x 2 一堕s 盟o x 2 0 t 2 = 。( 2 j i )22。0 厶i一”。1 ，其中庐为杆的纵向振动位移，e = 娑是应变，c ；= 旦为线弹性纵波速度，e 为弹性模量，e 为材料系数，j 为杆横截面的极惯性矩，v 为泊松比。为了应用约化摄动法求解方程( 2 11 ) ，引入下列变换k = 譬，= 祟( 2 1 2 )于是，方程( 2 11 ) 可写为下列非线性双曲型矩阵方程而o v + 彳警+ 珥3 ( q 瓦0 蝎耖= 。( 2 1 3 )苴中y = c 一，7 ，彳= ：。c ；。f e i y ，- = - j v 2 soo，k 。= k ；= i ： ，世，= h 。= ，= 。下面我们在远场渐近意义上和小振幅情况下，南( 2 1 3 ) 式导出k d v 方程。远非线性偏微分方程的解法研究场渐近的基本思想是不考虑问题的初始细节以及方程固有的性质，而i 考虑经过足够长时间和足够远距离时系统的渐近行为特性，而且远场的自由度应当比原方程的自由度减少。该思想的理论根据是“与定常态相邻的区域必是简单波区域”这一重要的f r i e d r i c h s 定理。理论研究证明，在小振幅情况下，非线性双曲型方程组可用诸如b u r g e r s 方程、k d v 方程、非线性s c h r o d i n g e r 方程等简单波在渐近意义上来描述。为此，设y 的远场定态解为矿”) _ 【c 0 ，o 】7 ，则4 = 一一= e 0 1 一l 。下面我们先求解以的本征问题l o a 02 厶。( 2 1 4 )1 4 r = 厶r、其中三。、r 分别为a 。的左右本征向量。求解上面本征问题得五o = c o ，o = + l c o ，t - 1 】7 ，r = c o ，- t - l 】7( 2 1 5 )以下考虑厶= c o 的右行波。将矿在y o 的邻近用小参数s 展开为矿= y ( o ) + s v