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带乘性噪声多通道非线性系统的状态估计 及反褶积算法研究 摘要 带乘性噪声系统在石油地震勘探、水下目标探测、通讯工程和语音处理等诸 多应用领域中都有重要应用。此类系统的状态估计、信号的反褶积估计等问题都 具有重要的理论研究价值和工程应用价值。本文针对类带乘性噪声多通道非线 性系统，研究推导了状态滤波、平滑以及随机输入信号的反褶积估计算法。 在工程实际中描述系统的数学模型往往是非线性的。本文基于扩展卡尔曼滤 波的方法对这一类带乘性噪声非线性系统进行了近似线性化处理，并考虑到在实 际工程中系统存在动态噪声和观测噪声相关的情况，对多通道带乘性噪声非线性 系统的状态滤波、平滑估计以及随机输入信号的反褶积估计等问题进行了进一步 的探讨主要有以下工作： 一、根据多通道带乘性噪声非线性系统的实际需要，基于投影定理，在系统 动态噪声与观测噪声相关的情况下，推导出一类多通道带乘性嗓声非线性系统滤 波估计递推算法，使其具有更为广泛的应用范围。 = 、在多通道带乘性噪声非线性系统的滤波算法基础上，应用新息序列的性 质和投影定理，推导出一套乘性噪声为多通道情况下的固定域状态次优平滑估计 的直接算法和间接算法。间接算法通过引入中问变量的递推表达，减少了运算量， 使算法更加实用。在此基础上，进一步针对系统动态噪声与观测噪声相关的情况 给出一套间接平滑算法。 三、在系统动态噪声与观测噪声不相关的情况下，以滤波和平滑算法为基础， 推导出多通道带乘性噪声非线性系统的随机输入信号固定域反褶积和固定点反 褶积算法。 四、通过进行计算机仿真实验，验证了各估计算法的有效性。 关键词：乘性噪声，多通道，非线性系统，状态估计，反褶积 s t u d yo fs t a t ee s t i m a t i o na l g o r i t h m sa n d d e c o n v o l u t i o na l g o r i t h m sf o rm u l t i - c h a n n e ln o n l i n e a r s y s t e m s w i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s e a b s t r a c t s y s t e m sw i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s eu n i v e r s a l l ye x i s ti nm a n ya p p l i c a t i o nf i e l d s ， s u c h 嬲o i ls e i s m i ce x p l o r a t i o n 。u n d e r w a t e rr e m o t et a r g e t sd e t e c t i o n ，c o m m u n i c a t i o n e n g i n e e r i n ga n ds p e e c hs i g n a lp r o c e s s i n g t h es t a t ee s t i m a t i o na n dt h er a n d o mi n p u t s i g n a l d e c o n v o l u t i o nf o rs u c hs y s t e m sa r ei m p o r t a n tt ot h e o r yr e s e a r c ha n d e n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n 。i n t h i s d i s s e r t a t i o n ，s t a t e e s t i m a t i o n a l g o r i t h m s a n d d e c o n v o l u t i o na l g o r i t h m so fr a n d o mi n p u ts i g n a l sf o rac l a s so fm u l t i - c h a n n e l n o n l i n e a rs y s t e m sw i t hm u i t l p l i c a t i v en o i s eh a v eb e e ns t u d i e d i nt h ee n g i n e e r i n gp r a c t i c e s ，m o s tm a t h e m a t i c a lm o d e l sa r cu s u a l l yn o n l i n e a r i n t h i sd i s s e r t a t i o n ，a p p r o x i m a t el i n e a r i z a t i o n so ft h en o n l i n e a rs y s t e m sh a v eb e e nd o n e b a s e do i le x t e n d e dk a l m a nf i l t e r a n dc o n s i d e r i n gt h es y s t e mn o i s ea n do b s e r v a t i o n n o i s eo f t h ec o m p l e xm u l t i - e h a u n e ls y s t e m sw i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s ea r ec o r r e l a t e da t t h es a m et i m e ，s t a t ef i l t e r i n ge s t i m a t i o n ，s m o o t h i n ge s t i m a t i o n sa n dr a n d o mi n p u t s i g n a l sd e c o n v o l u t i o ne s t i m a t i o n sh a v eb e e ns t u d i e df o rt h es y s t e m s t h ef o l l o w i n g h a v eb e e nf i n i s h e d ： 1 a c c o r d i n gt ot h ep r a c t i c a lr e q u i r e m e n to f c o m p l e xm u l t i - c h a n n e ls y s t e m sw i t h m u l t i p l i c a t i v en o i s e ，t h ed i s s e r t a t i o nd e d u c e daf i l t e r i n ga l g o r i t h mf o rm u l t i c h a n n e l n o n l i n e a rs y s t e m sw i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s eu n d e rt h ec o n d i t i o nt h a ts y s t e mn o i s ea n d o b s e r v a t i o nn o i s ea r cc o r r e l a t e da tt h es a m et i m eb a s e do nt h ep r o j e e t i o nt h e o r e m t h ea p p l i c a t i o nr a n g e so f t h i sa l g o r i t h ma r em o l ee x t e n s i v e 2 b a s e do nt h ef i l t e r i n ga l g o r i t h m s ，ad i r e c ts m o o t h i n ga l g o r i t h ma n da ni n d i r e c t s m o o t h i n ga l g o r i t h mw e r ed e d u c e db yu s i n gi n n o v a t i o nm e t h o da n dt h ep r o j e c t i o n t h e o r e m b e c a u s et h ei n d i l e c ta l g o r i t h mu s e da ni n d i r e c tv a r i a b l e 。, s ot h ea l g o r i t h mi s m o l ea p p l i e dt h a nd i r e c ta l g o r i t h m a n dt h e na ni n d i r e c ts m o o t h i n ga l g o r i t h mh a s f u r t h e rb e e ng i v e nf o rt h es y s t e mw h i c hd y n a m i cn o i s ea n do b s e r v a t i o nn o i s ea r e c o r r e l a t e da tt h es a m et i m e 3 w i t ht h er e s u l t so ff i l t e r i n ga n ds m o o t h i n ga l g o r i t h m s ，af i x e d - f i e l d d e c o n v o l u t i o na l g o r i t h ma n daf i x e d p o i n t sd e c o n v o l u t i o na l g o r i t h mf o rr a n d o mi n p u t s i g n a l so f t h en o n l i n e a rs y s t e m sw i t hm u l t i p l i c a t i v en o i s eh a v eb e e nc o n d u c t e du n d e r t h ec o n d i t i o nt h a ts y s t e mn o i s ea n do b s e r v a t i o nn o i s ea r eu n c o r r e l a t e d 4 t h ec o m p u t e rs i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h ea l g o r i t h m sa r ca v a i l a b l e k e yw o r d s ：m u l t i p l i c a t i o nn o i s e , m u l t i - c h a n n e l , n o n l i n e a rs y s t e m s , s t a t e e s t i m a t i o n ，d e c o n v o l u t i o n 独创声明 本人声明所里交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得 洼i 垫退趸基丝登要挂型壹盟丝：奎拦亘窒2 或其他教育机构的学位或证书使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人 授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后 适用本授权书) 学位论文作者躲羡晏互 导师签字 签字日期：沙d 7 年月日 。 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 孕艋扩 | 签字日期：o 年厂月、日 电话： 邮编 带乘性噪声多通道非线性系统的状卷估计及反裙积算法研究 1 引言 1 1 选题的意义 现代控制理论是建立在状态空间法基础上的，是自动控制理论的重要组成部 分。现代控制理论所能处理的控制问题包括线性系统和非线性系统，定常系统和 时变系统，单变量系统和多变量系统。它的理论体系大致包括系统理论、最优控 制理论、最优滤波理论与系统辨识等。 最优控制理论是设计最优控制系统的理论基础，主要研究受控系统在指定性 能指标实现最优时的控制规律及其综合方法。要实现最优控制，往往首先要获得 系统状态变量信息，但是由于实际工程测量装置的种种限制，经常不能量测出系 统的全部状态，即反馈到计算机的量测信号只是系统状态的部分信息。而被控系 统和量测系统往往带有无法准确测算的随机干扰。因此工程上要实现闭环系统的 最优控制，首先要对系统进行尽可能精确的状态估计，其中包括滤波估计、平滑 估计，有时还要估计其它信号如随机输入信号的反褶积估计等。 目前发展较成熟的是经典线性系统的最优估计理论，它通过对实际系统建立 数学模型来进行状态估计，该理论在状态估计理论中具有重要的地位。它基于如 下的数学模型： 工( _ j + 1 ) = a ( k + l ，| ) 工( | ) + b ( _ j ) 似七)( 1 1 1 ) z ( 七) = c ( i ) t ) + v ( j | )( 1 。1 2 ) 其中，颤| i ) 是系统状态向量，彳僻+ l ，七) 、b ( i ) 和c ( 七) 是具有适当维数的确 定矩阵该数学模型将随机干扰作为加性噪声处理，即系统动态噪声州七) 和观 测噪声“七) 。k a l m a n 、b u c y 等人【啦懂于这一经典模型最早提出了状态最优滤波 的递推算法，迄今为止在这一理论范围已取得了众多的成果，并广泛应用于空间、 通讯、导航等诸多领域。 事实上纯粹的线性系统经常不能很好的描述实际系统。因此将实际系统近似 简化成上述经典线性系统模型得到的估计结果有时是不能令人满意的。如石油地 震勘探、语言处理、通讯工程等，由反褶积形式描述的观测模型中，不仅有加性 噪声的干扰，同时要进一步考虑到系统的时变性、非线性畸变、能量衰减等各种 复杂甚至不确定因素。此类因素在数学上可以近似归结为乘性噪声，这类观测模 型中含有乘性因子的随机系统称作带乘性噪声的随机系统，其观测模型为： ： ) = n ( k ) c c k ) x ( k ) + “j ) 其中( 七) 代表乘性噪声。 ( 1 i 3 ) 带乘性噪声多通道非线性系统的状态估计及反褶积算法研究 实际中许多系统的数学模型可能还带有更复杂的非线性环节，例如火箭的制 导和控制系统，飞机和舰船的惯性导航系统，通讯系统以及雷达目标跟踪等，都 是典型的复杂非线性系统因此研究非线性系统的状态估计问题是非常有必要 的。随机非线性系统一般可用如下非线性差分方程描述： 苫( i + 1 ) = 烈后) ，似七) ，七】( 1 1 4 ) ：( 后) = h i x ( 七) ，v ( t ) ，k 】( 1 1 5 ) 上述模型描述了一类广义随机非线性系统，用经典的线性滤波理论对此类系 统对估计问题求解极为不方便。为使估计问题便于解决，可以对上述模型做出适 当调整： x ( k + i ) = 矿 “| i ) ，后j + l i x ( k ) ，k j w c k )( i i 6 ) z ( k ) = h t x ( k ) ，k l + “) ( l 1 7 ) 在非线性数学模型的基础上引入乘性噪声会使得系统形式更加复杂，也比处 理带乘性噪声线性系统和一般非线性系统更加困难。本文所讨论的状态估计以及 其它随机信号估计问题，是以如下一类带乘性噪声的非线性离散随机系统模型作 为研究基础： x ( k + 1 ) = 矿【x ( 七) ，k 】+ l i x ( k ) ，七】w o ， d i ：e 以七) = o ，c t w w ( 七) ，w u ) = q ( t ) 磊 其中 ：； z ”：e “七) ) = 0 ，c o “以七) v ( 力 = r ( 七) 磊 d 3 ：( ，( 七) 独立于( “七) ，v ( 七) ，x ( o ) ) d 4 ：e x ( o ) = g o ，v a r x ( o ) = p ( o ) d s ：c o v x ( o ) , w ( 露) ) = 0 ，c b v x ( o ) ，“七) = 0 d 晚u ( 后) = d i a g u i ( 七) ，”2 ( t ) ，“。( | | ) d 7 c o v ( w ( k ) , v ( d ) = 0 u ( 七) 的统计特性如下： e 【，( 后) = f ( 七) = d i a g 锄。( 七) ，m ：( 女) ，m 。( t ) ( 七) = ( 口( 七) ) 。，。 f ( t ) = ( 材f ( _ | ) ) 。， 其中 嘲( i ) = e 恤，( 七) ， 毛( 七) = m ，( 女) 卅，( t ) ( = e l 坼( t ) 一( 七) 】【叶( d 一肌( t ) 】， f ( | | ，s ) = e t f ( 七) 一月( | ) 】【”( s ) - m ，( s ) 】j = 0 ，( 七s ) 上述条件表明， u ( t ) ) 、 v ( ) ) 、( 以七) ) 可以是非平稳白噪声序列，它们之 间必须是不相关的。 2 2 2 一类多通道带乘性噪声非线性系统的递推滤波算法 假设在k 时刻，已经得到滤波值x ( k k ) 。对非线性系统的数学模型进行线性 化，将矿和_ 1 1 分别围绕“七七) 和x ( k k 1 ) 展开成泰勒级数【l o 】，取得其线性项， 便得到原系统的如下线性近似模型： x ( k + d = 彳( | + l ，露) z ( 七) + f ( 七) + 占( 七) “t ) z ( | i ) = u ( t ) c ( t ) j ( i ) + u ( t ) d ( i ) + v ( k ) 其中 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 带乘性噪声多通道非线性系统的状态估计及反褶积算法研究 a ( k + l ，七) = a 烈石( t ) ，k ) a ( x ( k ，七) ) b ( ) = f ( x ( k k ) ，七) c ( j | ) = a h ( x ( k ) ，k ) a x ( k k 1 ) 鳆| | ) = 州七，t ) ，k ) - ( a 伊( _ j ) ，k ) a x ( k k ) ) x ( k k ) d ( k ) = h ( x ( k l k - 1 ) ，k ) - i 却( m ) ，k ) o x ( k k 1 ) k ( | i ，七一1 ) 令 s ( t ) = 以x ( k ) x7 ( t ) p ( k k - i ) = e 譬( k k 1 ) 譬7 ( k k 1 ) ) p ( k ) = e 舅( _ i j i ) z 7 ( 七七) 根据文献【3 】的算法2 4 1 ，有如下结论： 状态滤波估计 x ( k k ) = x ( k k 1 ) + k t z ( t i k 1 ) 状态一步预报 x ( k k 1 ) = 烈x ( t i l k 1 ) ，k 1 ) 状态一步预测误差 譬( k k - 1 ) = x ( k ) - x ( k k - 1 ) = a ( t k 1 ) 舅( 七- 1 _ j 一1 ) + b w ( k - 1 ) p ( k k - 1 ) = 耳聋( k k - 1 ) z 7 ( k k 1 ) = 一( | ，七一1 ) p ( | | 一1 ) 彳7 ( 七，k 1 ) + 联_ j 一d q ( k 1 ) b 7 ( _ j 一1 ) 状态估计误差 i ( t t ) = z ( 七) - x ( k k ) = x ( k ) - x ( k k - 1 ) - k ( k ) ? ( k k - 1 ) p ( k ) = e 譬( 七_ i ) 舅7 ( k k ) ) = 【，一k ( k ) m ( k ) c ( k ) e ( k k 1 ) 增益矩阵 足( 七) = ，( 七，七一1 ) c 7 ( _ | ) f ( 七) r ，( 七) 其中 心( t ) = v a r ；( k k - 1 ) = f ( j i ) o 【c ( | | ) p 7 ( k k o c 7 ( t ) 】+ r ( k ) + ( t ) o c ( 七) ，( 七) d 7 ( 豇) 】+ ( t ) 0 【d ( | ) ，( 七) c 7 ( 七) 】 + ( 七) o 【d ( t ) d 7 ( _ j ) 】+ ( 女) o 【c ( 七) s ( 后) c 7 ( t ) 】 此处0 是指两矩阵的点乘例如： 彳= ( ) ，占= ( b u ) ，a o b = ( 嘞“) 。 状态相关矩阵 s ( t ) = 一( 七，k l 梦( | | 一1 ) 彳7 ( 七，k 1 ) + 口( 七一d q ( k i ) b 7 ( 七一1 ) 9 ( 2 2 3 a ) ( 2 2 3 b ) ( 2 2 3 c ) ( 2 2 3 d ) ( 2 2 3 c ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 4 ) 带乘性噪声多通道非线性系统的状态估计及反橱积算法研究 + 彳( 七，k i ) ，( 七一l y7 ( t - i ) + f ( | 一l v l ( t 1 ) + f ( | 一1 ) y 1 ( 七一1 ) 爿1 ( 七，k - 1 )( 2 2 1 5 ) 状态均值 “_ j ) = e 工( 七) = 彳( 七，七一1 ) _ ，( | 一1 ) + 改_ | 一1 )( 2 2 1 6 ) 以上是文献【3 】中关于一类带乘性噪声多通道非线性系统的滤波结果，本文 将在后面的章节中引用上述结论。 由于 i ( k k - 1 ) = ：( 七) - z ( k k - 1 ) = z ( k ) - m ( k ) h ( x ( k k 1 ) ，_ 】 ) = c ，( 后) c ( 七) 善( 七) + u ( 七) d ( 七) 4 - v ( 七) - m ( k ) d ( k ) - m ( k ) c ( k ) x o k k - 1 ) = m ( d c ( k ) i ( k k 1 ) + ( 的一 f ( t ) 】d ( 七) + 【u ( 后) 一 f ( 七) 】c ( _ i ) “t ) + v ( 七) ( 2 2 1 7 ) 由以上结果可以推出 e 舅( t k 1 ) z 1 ( k k 1 ) ) = e 譬c k k - 1 ) m ( k ) c ( k ) i ( k k - i ) + ( u ( t ) 一肘( t ) ) c ( 七) x ( 七) 】1 ) = p ( k k 1 ) c 1 ( ) m 1 ( 七)( 2 2 1 8 ) 其中( 2 2 1 8 ) 式是进一步的补充表达式，并将用于第三章平滑算法的推导。 2 3 噪声相关时带乘性噪声非线性系统的递推滤波算法 在2 2 节介绍的算法中，系统动态噪声和观测噪声是不相关的，考虑到复杂 环境中二者之间相互独立的条件可能不满足，甚至是相关的。本节将就系统的动 态噪声( 以) ) 和观测噪声( v ( j | ) ) 在同时刻相关时，推导出状态滤波的递推算法。 仍然考虑2 2 2 节中所描述的系统： “七+ 1 ) = 一( + l ，七) x ( 女) + i ( d + b ( k y h ，( 七)( 2 2 1 ) ：( 七) = u ( d c ( k ) x ( d + u ( ) d ( | | ) + v ( )( 2 2 2 ) 假设该系统符合2 2 1 中的d 1 d 6 的全部条件，但假定系统动态噪声和观 测噪声在同一时刻是相关的，即把条件d 7 放宽为 d 7 ：c o v ( w ( j t ) ，v ( | ) ) = e w ( k ) v 1 ( t ) = r ( t ) 显然这减弱了系统关于噪声统计特性的约束，使系统更具一般性。下面将给 出噪声相关情况下系统的滤波算法。 定理2 3 ：对于式子( 2 2 1 ) 、( 2 2 2 ) 所描述的系统模型，假设条件d i d 6 均 满足，且满足条件d 7 ，则有如下的状态估计递推算法： 状态滤波估计 i o 带乘性噪声多通道非线性系统的状态估计及反摺积算法研究 x ( k ，七) = x ( k k 1 ) 4 - k 。z ( 七k 1 ) 状态一步预报 x ( k k - 1 ) = 烈“i l _ i 一1 ) k - 1 ) 4 - b ( k - 1 ) w ( k - i k - i ) 状态一步预测误差 舅( k k - d = 工( t ) 一x ( k k - 1 ) = a ( k ，k - d i ( k - i k - 1 ) + b w ( k - 1 ) p ( k k - 1 ) = 联i ( t 七一1 ) 譬2 ( k k - d = 4 ( _ i ，k - 1 ) p ( k - 1 ) a7 ( 七，k - 1 ) + b ( k - 1 ) q ( k i ) b 1 ( 七一1 ) + e ( t 1 ) 1 ( 七一d r 7 ( _ | 一1 ) 占7 ( 七一1 ) 其中 4 ( t ，k - 1 ) = a ( k ，k - i ) - 忍( 七一1 ) f ( _ j 一1 ) c - i ) 蜀( 七- 1 ) = a ( k ，k - 1 ) k ( k - 1 ) + b ( 七一1 ) f ( _ i 一1 ) 1 ( k - i ) 增益矩阵 置( t ) = p ( k k - d c 7 ( | ) ，( ) r ( 七) 其中 r l ( _ j ) = v a r y ( k k 1 ) = 。 f ( _ j ) o 【c ( ) 尸7 ( k k d c 7 ( | | ) 】+ r ( k ) + ( ) o c ( t ) ，( 七) d 7 ( t ) 】+ ( | | ) o 【d ( j | ) ，7 ( t ) c 7 ( t ) 】 + ( | ) 0 【d ( t ) d 7 ( 七) 】+ ( t ) o 【c ( 七) s ( j | ) c 7 ( 七) 】 此处。是指两矩阵的点乘。例如： a = ( 吩) ，b = 嘞) 。，a ( d b = ( 呀“) 。 状态相关矩阵 s ( k ) = a ( k ，k 1 ) s ( k i ) a 7 ( 七，t 1 ) 4 - b ( k 1 ) q ( k i ) b 7 ( 七一i ) + 彳( 七，k 1 ) j ( k i ) i 7 ( 七一1 ) + f ( 七一d i 7 ( 七一1 ) + f ( 七一l h 7 ( 七一1 ) 彳7 ( 七，k - 1 ) 状态均值 _ ，( 七) = e x ( 后) = a ( k ，k - i ) a k - i ) 4 - “七- 1 ) 下面将给出定理2 3 的证明 证明：根据投影定理和新息序列的性质1 4 6 , 4 刀得， z ( k k - 1 ) = p r o j z ( k ) z i - l = 肘( 女) c ( 女) k l k - 1 ) + m ( k ) d ( k ) z ( k l k - 1 ) = z ( k ) - z ( k k - 1 ) x ( k k - i ) = a ( k ，k - 1 ) x ( k - l k - 1 ) + f f k 1 ) +