（固体力学专业论文）弹性动力学边界元法的并行算法及其实现.pdf

海大学硕士学位论文 摘囊 随着高性能计算机的迅速发展，研究各种数值方法的并行算法显得越来越 重要。 目前弹性动力学的边界元法采用串行计算，在诗算大型问题时需要大量机 时。本文研究了弹性动力学边界元法的并行算法，可以大大捉离弹性动力学边 界元法的计算速度。 本文研究的弹性动力学边界元法的藏行算法申聚用l a p l a c e 反变换，因此 首先讨论了l a p l a c e 反变换的数值并镓算法。 对弹性动力学基本方程进行l a p l a c e 积分变羧，分离其中的时间变量，得 到变换域中便于边界元法实施盼椭涸型方稔，麟褥戡应甩边界元法进行求解。 在弹性动力学边界元法中要建立最终可壤鳃髓钱熬戮数方程组，需要在单元上 进行大量的数值积分。当单元数日较多聪，单薅老数德织分静计算量将耗费大 量时问。本文讨论了弹性动力学边界露涟麴繁繇簿法，就爱将弹性体的边界单 元与网络机群中的缝漂器令数相怼应，劳褥游灞糍滚湃荤元霸关的常数，如积 分点的形函羧撬i 嘉谢袋弦、瓣露城簿魏i 鏊鳜i 獭藏黪褥臻鹬癫褥到韵边界元 方程组；最屠遁斑泰震给避瓣l a p l a c e 艨囊瀚曛麟德雾程冀祛米求得豫憔动力 学问题在时间域中盼勰。 采用f o r t r a n 语富在机群系缝环境纂绫瓣蓼藻皆蝴韵弹性动力学边界元 法的并行计算程序。零文戳二壤弹撰铺袭灞蠲嘲黪蜓添溺峨舔境最基于l i n u x 平台的m p i 消息传递接口，对多譬边赛叠瀵猁滋惩7 墨辩符诂爨，其运行时间比 应用串行计算方法表爽减少了，络聚獯簸。 本文讨论的弹性动力学边界面法麓舞戆灞潼瓣戆藕耪溲魏嵩效率，为利用 边界元法求解大型复綮盼弹健动力学饲霪瓣攥渗瓣懿潜法。 关键词：弹性动力学，边界茏法，数德翻 蕊 、魇囊羧，薨移算法，消息传递， 通讯 海人学顺l 学位论文 摘要 随着高性能计算机的迅速发展，研究各种数值方法的并行算法显得越来越 重要。 目前弹性动力学的边界冗法采用串行计算，在计算大型问题时需要人量机 时。术文研究了弹性动力学边界元法的并行算法，可以大大提高弹性动力学边 界元法的计算速度。 本文研究的弹性动力学边界元法的并行算法中采用l a p l a c e 反变换，因此 酋先讨论了l a p l a c e 反变换的数值并行算法。 对弹性动力学基本方程进行l a p l a c e 积分变换，分离其中的时叫变量，得 到变换域中便于边界元法实施的椭圆型方程，就可以应用边界元法进行求解。 在弹性动力学边界元法中要建立最终可求解的线性代数方程组，需要在单元k 进行大量的数值积分。当单元数目较多时，单元上数值积分的计算量将耗费大 量时间。本文讨论了弹性动力学边界元法的并行算法，就是将弹性体的边界单 i 与网络机群中的处理器个数相对应，并行计算与边界单元有关的常数，如积 分点的形函数值、方向余弦、雅可比行列式等；然后并行求解所得到的边界元 方程组；最后通过本文给出的l a p l a c e 反变换的数值并行算法来求得弹性动力 学问题在时间域中的解。 采用f o r t r a n 语言在机群系统环境下编写了基于m p i 的弹性动力学边界元 l - 的并行计算程序。本文以二维弹性动力学问题为例，采用的环境是基于l i n u x 平台的m p i 消息传递接口，对多个边界元算例进行了并行计算，其运行时间比 应用串行计算方法大大减少了，结果很好。 本文讨论的弹性动力学边界元法的并行算法具有高精度和高效率，为利用 边界无法求解大型复杂的弹性动力学问题提供了好的方法。 关键词：弹性动力学，边界元法，数值l a p l a c e 反变换，并行算法，消息传递 通讯 v 海犬学俩： 学位论文 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h eh i g hp e r f o r m a n c ec o m p u t i n g ，r e s e a r c h e so nt h e p m a l l e la l g o r i t h mf o r t h e n u m e r i c a lm e t h o d sa r eb e c o m i n gm o r ea n dm o r e i m p o r t a n t a tp r e s e n t ，t h es e q u e n t i a lc o m p u t i n gi sw i d e l yu s e di nt h eb o u n d a r ye l e m e n t m e t h o d ( b e m ) f o re l a s t o d y n a m i c s h o w e v e r , t h es e q u e n t i a lc o m p u t i n gw i l ls p e n da l o lo ft i m ew h e nal a r g ep r o b l e mi ss o l v e d ，i nt h ep a p e r ，t h ep a r a l l e la l g o r i t h mi s p r e s e n t e df o rt h eb e mf o re l a s t o d y n a m i c s t h ep a r a l l e la l g o r i t h mf o rt h ei n v e r s el a p l a c et r a n s f o r mi su s e di nt h eb e mf o r e l a s t o d y n a m i c s ，t h e nt h en u m e r i c a lp a r a l l e la l g o r i t h mf o rt h ei n v e r s el a p l a c e t r a n s f o r mi sd i s c u s s e di nt h ep a p e r t h el a p l a c et r a n s f o r mi sa p p l i e dt ot h eb a s i ce q u a t i o n so fe l a s t o d y n a m i c s ，t h e n t h et i m ev a r i a b l e sa r ed i s c r e f i z e d t h eo v a le q u a t i o n sa r eo b t a i n e dt h a ta r ee a s i l y s o l v e dw i t ht h eb e m i nt h eb e mf o re l a s t o d y n a m i e s ，al a r g eo fn u m e r i c a li n t e g r a l s i nt h ee l e m e n t sa r ed o n ei no r d e rt og e n e r a t et h ea l g e b r a i ce q u a t i o n s w h e nt h e n u m b e ro fe l e m e n t si sv e r yl a r g e ，t h en u m e r i c a li n t e g r a li nt h ee l e m e n tw i l ls p e n da i o to ft i m e t h e r e f o r e t h ep a r a l l e lc o m p u t a t i o n a lm e t h o di sp r e s e n t e df o rt h eb e m t h et o t a lb o u n d a r ye l e m e n t sa r ed i v i d e di n t os e v e r a lg r o u p st h a ta r em a p p e do n t ot h e m u l t i p r o c e s s o rs y s t e m ，a n dt h e nt h ec o m p u t a t i o nr e l a t e dt oe a c hg r o u pi sc a r r i e do u t b ye a c hp r o c e s s o ri n d e p e n d e n t l y t h eg l o b a lb o u n d a r ye l e m e n te q u a t i o n sa r es o l v e d i np a r a l l e l t h e nt h es o l u t i o no ft h eb o u n d a r yv a r i a b l e si so b t a i n e di nt h el a p l a c e t r a n s f o r m e dd o m a i n f i n a l l y , t h es o l u t i o ni nt h et i m ed o m a i nc a nb eo b t a i n e dw i t h t h en u m e r i c a lp a r a l l e la l g o r i t h mo f l a p l a c ei n v e r s et r a n s f o r m t h ep a r a l l e lf o r t r a nc o d ei sw r i t t e nf o rt h eb e mf o re l a s t o d y n a m i c s t h e p r o g r a m m i n gs y s t e mi sb a s e do nt h el i n u xs y s t e ma n dm e s s a g ep a s s i n gi n t e r f a c e ( m p i ) i nt h ep a p e r , f o u rt w o d i m e n s i o n a le x a m p l e sa r eg i v e n c o m p a r e dw i t ht h e s e q u e n t i a lc o m p u t i n g ，m u c hc o m p u t i n gt i m ei ss a v e da n dg o o dr e s u l t sa r eo b t a i n e d t h ep a r a l l e lc o m p u t i n gf o r t h eb e mf o re l a s t o d y n a m i c si n t h i sp a p e ri s h i g h - p r e c i s i o na n dh i g h - e f f i c i e n c y a n dt h em e t h o dw i l lb eag o o do n et os o l v el a r g e p r o b l e m so fe l a s t o d y n a m i c s 、 k e y w o r d ：e l a s t o d y n a m i c s ，b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ，n u m e r i c a li n v e r s el a p l a c e t r a n s f o r m ，p a r a l l e la l g o r i t h m ，m e s s a g ep a s s i n g ，c o m m u n i c a t i o n v 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除j ，文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发 表或撰写过的研究成果。参与同工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：量! 墨基 曰期2 1 鞋圣目! 日 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：亟蠢：量。翮签名：陋日期：丝竖 i i 海人学硕i j 学位论义 1 1 引言 第一章绪论 随着高性能计算机的迅速发展，研究各种数值方法的并行算法显得越来越 重要。并行算法是提高计算速度，扩大求解规模的一种良好途径，是求解大型 工程问题的有力手段。 网络机群是近几年兴起的一种新的并行计算系统，它具有构建简单，成本 低廉，扩展性好。网络机群是由多台微机或工作站通过局域网连接，运行并行 程序，形成网络机群计算系统。一个总控制台或主程序负责调度各结点机上的 任务，在需要大规模计算时，各机器上启动并行程序。一般来说，网络机群技 术具有成本低、扩展性好的特点。目前网络机群的发展非常迅速，建立基于网 络机群的数值方法的并行算法是非常重要的。 弹性动力学问题的边界元分析有以下三个途径i l l ： ( 1 ) 时间域差分法与空间域边界元法的结合。这种方法简明直观，但边界 元离散的方程是非椭圆型的，有误差累积问题。为减小误差则需取较小的时间 步，从而增大运算量。 f 2 ) 时间域下直接求解。采用这种方法，每取一组时间初终值，就要对边 界积分方程中的时间变量积分一次。与前一种方法类似，此方法亦存在非椭圆 型方程的误差累积问题，只是由于所取基本解与时间有关，时间步可适当取大 蝗。 ( 3 ) 利用积分变换。可以认为是从不同角度对前述两种方法的改进。与时 蚓域边界元法相比，这种方法达到了将时间变量先行分离的目的。与差分边界 元法相比，这种方法更充分利用了边界元法的半解析性的一面，以积分变换取 代简单的差分法，带来了在变换域中求解椭圆型方程的好处，而且在变换域中 求解弹性动力学问题与求解弹性静力学问题很相近，还带来了程序编写的方便。 本文采用的就是这种方法，但有不便之处，因其边界元求解过程是在变换域中 进行的，涉及到大量的复数运算，而且数值积分反变换运算量大，所以数值积 分反变换对弹性动力学边界元法至关重要。 本文中的弹性动力学边界元法采用的积分变换是l a p l a c e 积分变换，然而， 目前l a p l a c e 反变换均采用串行计算，当应用弹性动力学边界元法解决工程问 题删，串行计算需要大量的机时，因此有必要研究弹性动力学边界元法和 l a p l a c e 反变换的并行算法及其在解决工程问题时的应用。 海人学坝f j 学位论文 1 2 并行计算概述p 9 随着科技的发展，对高性能计算的需求不断提高，除处理器本身计算能力 的提高之外，并行处理是种提高计算能力的好方法。并行计算是提高计算速 度，扩大求解规模的一种良好途径。 并行计算产生于二十世纪七十年代，世界上第一台并行计算机是1 9 7 2 年诞 生的i l l i a c i v ，并行机已经经历了三十多年的发展，它们对推动计算机技术 的飞速发展和高性能计算在各个领域的应用做出了重要贡献。同时，它为求解 大型弹性动力学边界元法问题提供了有力的手段。 与其它的计算方法相比，并行计算具有至少以下几个特点口】：( 1 ) 加快速度， 即在更短的时间内解决相同的问题或在相同的时间内解决更多更复杂的问题， 特别是对一些新出现的巨大挑战问题，不使用并行计算是根本无法解决的：( 2 ) 节省投入，并行计算可以以较低的投入完成串行计算的任务；( 3 ) 物理极限的约 束，光速是不可逾越的速度极限，设备和材料也不可能做得无限小，只有通过 3 _ - q 5 才能够不断提高速度。 但是，由于传统的大型并行计算机价格比较昂贵，一般科研和工程单位难 以承担。随着计算技术的飞速发展，近年来兴起的网络机群计算是一种新的分 布存储的松散耦合的多处理机，无论在计算能力和计算速度，都比旧计算机系 统优越。而且，网络机群并行计算系统具有构建简单、成本低廉、扩展性好等 特点，适合广大的单位使用。 网络机群技术作为并行计算硬件环境发展的一个重要方向，其基本原理： 多台微机或工作站通过局域网连接，运行并行程序，从而形成网络机群计算系 统。出一个总控制台或主程序负责调度各结点机上的任务。各结点机平时则是 作为普通微机使用，在需要大规模计算时，各机器才启动并行程序，进行并行 计算。 网络技术的快速发展使传输速率得到了很高的提升，成本却下降了，这样 就更加促进了网络机群计算的发展。本文的研究工作就是基于网络机群这一并 行环境而展丌的。在网络计算机系统中，采用消息传递方法实现进程间的通信。 基于消息传递的并行编程环境是m p i ( m e s s a g ep a s s i n gi n t e r f a c e ) 。m p i 消息传递 的过程如图1 1 所示。 海人学坝l 擘位论文 图1 1m p i 消息传递过程示意图 从图1 1 可以看出，m p i 的消息传递过程大致是可以分为三个阶段1 2 1 ： 消息装配阶段：将需要发送数据从发送缓冲区中取出，加上消息信封等形 成一个完整的消息。发送缓冲区中变量的类型必须和相应的发送操作指定的类 型相匹配。 消息传递阶段：将装配好的消息从发送端传递到接收端。发送操作指定的 类型必须和相应的接收操作指定的类型相匹配； 消息拆卸阶段：从接收到的消息中取出数据送入接收缓冲区，接收缓冲区 中变量的类型必须和接收操作指定的类型相匹配。 在实际操作中，并行计算常常比传统的串行计算节省时间，其主要原因就 是在网络机群计算系统，由一个总控制台或主程序负责调度和协调各结点机上 的任务。 并行程序是通过并行语言来表达的，并行语言的产生方式主要有三种”j ： 设计全新的并行语言；扩展原来串行语言的语法成分，使它支持并行特征：不 改变串行语言，仅为串行语言提供可调用的并行库。 设计一种全新的并行语言可以完全摆脱串行语言的束缚，从语法成分上直 接支持并行，可以使并行程序更方便和自然的书写，程序也更容易在并行机上 实现。但是，由于并行计算至今还没有统一标准，不像串行计算那样有统一一的 冯诺依曼模型可供遵循，并行机、并行模型、并行算法和并行语言的设计和 丌发千差万别，虽有多种全新的并行语言出现，但至今还没有任何一种并行语 言能成为人们普遍接受的标准。设计全新的并行语言的难度和工作量都很大。 标注是一种重要的对串行语言的扩充方式，它对串行语言的并行扩充变为 海大学硼“j ：学位论文 原来串行语者的注释。这样并行程序用串行编译器来编译，标注的并行扩充部 分将不会起到作用，而是会把孩程序作为一般的串行程序处理；若使用扩充后 的并行编译器来编译，并行编译器就会根据标注要求将原来的串行执行部分转 为并行执行。对串行语言并行扩充相对于设计全新的并行语言来说实现的难度 降低了，但是需要重新开发编译器来支持扩充的并行部分。 仅提供并行库是一种对原来的串行程序设计改动比较小的并行化设计方 法。采用这种方法，仍然可以使用原来的串行编译器而不需要修改，编程者只 需要在原来的串行程序中加入对并行库调用就可以实现并行程序设计。 静 霞 林 提供并行库扩充语法成分新语言 改动多少 图1 ，2 并行语言的实现 图1 2 给出了并行语言的实现方式和实现难度之间的关系 2 1 。对于这三种 并行语言的实现方式，目前最常用的是第二种和第三种方式，特别是第三种方 式。既然m p i 并行程序是在原来串行程序基础上的扩展，在许多地方和串行程 序是相同的，串行程序设计的许多经验是可以应用到并行程序设计中的。本文 的研究就是采用了m p i 并行程序设计这种方式。 目f i 7 i ，并行计算已经应用于很多的领域，很多的科技人员都在从事并行计 算，例如：研究边界元并行计算的若干主要算法，包括单域边界元法、多子域 边界元法求解线性代数方程组的并行算法1 3 】；研究分布内存多处理机上幼有限 元法( 印f i n i t ee l e m e n t ) 的并行计算”】；在无网格方法基础上，研究不可压缩粘性 流的大规摸并行计算”】；研究有限元法应用的并行波前解法1 6 1 。总之，并行计 算已经广泛的应用于各种各样的数值计算，是提高计算速度，扩大求解规模的 一种良好途径，是求解大型弹性动力学边界元法问题的强有力手段。 嗣前，并行技术不断完善，已从实验阶段走向实用阶段，在很多领域都有 ，泡大学坝i j 学位论文 j 艮好的应用。实践表明，大量的并行应用程序都能在机群系统上有很好的效率。 随着对机群计算系统研究的进一步深入，特别是高效通信机制的开发，机群系 统的通信性能会接近专用的互联网络，并行编程环境和工具更加完善，有望在 机群系统上解决粒度更细的应用问题，使并行处理系统的应用领域更加广泛。 1 3 边界元的并行计算研究现状 并行计算是将给定的计算尽可能均匀地分配给计算网络中各个处理机并行 分布处理的过程。并行算法是在并行计算机和向量计算机上求解问题的数值方 法，多个可以相互协作地运行的并发进程的集合，应用于对给定问题的求解， 节省计算时间。工程广泛应用的计算力学方法有有限元方法、边界元方法和其 它数值分析方法。这些方法都不同程度地在网络并行系统上得到了实现。 近年来，并行计算已经广泛的应用于有限元法中。有限元法主要计算量集 中在单元计算上，对于三维问题尤其如此1 7 , 8 1 。单元计算包括形函数的确定及其 导数计算、局部坐标与整体坐标之间变换、单元刚度系数积分、单元荷载向量 计算以及单元刚度矩阵组装等。各单元的计算相互独立，单元计算具有直观的 并行性。可将单元计算分配给各网络结点并行完成。可采用不同的并行计算方 案，例如：当单元数目与网络结点数目相同时，所有单元的计算可同时进行： 当单元数目与网络结点数目不同时，将计算区域划分若干子块，使子块上的单 元数目与网络结点数相同。1 9 9 1 年a y o s h i o k a 等研究了有限元法中处理机间数 据的独立和交换，这是很普遍的，然而区域分解是一种典型的方法一】。1 9 9 2 年 r a m e s h 用机群计算机系统解决核进展问题。这种系统的性能与通信速度紧密相 关，适合于粗粒度问题的计算f l ”。 经过几十年的发展，边界元法目前已成为工程中重要的数值分析方法，但 由于边界元法的定解方程具有非对称满阵的系数矩阵，解题规模受到了很大的 限制，用微机求解自由度数较大的问题还有困难。因此，研究网络并行环境下 的边界元并行算法来提高边界元法的解题规模，对于促进边界元法在：【程的应 用具有重要意义i ”。而且，一般情况下边界元方法计算精度高于有限元法，其 应用已日趋广泛。随着计算机硬件的发展，并行算法的进一步改进，边界元法 将能求解规模更大的问题，从而在复杂工程问题的工程分析中占有重要位置。 在边界元法的并行计算方面，1 9 9 0 和1 9 9 1 年d a v i e s 等研究了在边界元法 中使用t r a n s p u t e r 和分布式计算机进行并行计算，数据的分解是靠处理器问分 布的边界节点。另一种方法是，通过局域网的工作站机群计算，这是种新的 海人学顺l 、学位论义 j f 行计算机资源 1 1 , 1 2 1 。1 9 9 1 年胡宁、张汝清提出了边界元方法分区处理的并行 锋法 1 3 1 ，该算法由多个c p u 并行地对各区进行静凝聚，并串行组集和求解界 面方程。最后并行返回各子区求解内点应力和位移。他们提出的这种新的边界 元分区算法，在e l x s l 6 4 0 0 程序级的共享内存式并行机上实现其并行程序。1 9 9 6 年k a m i y a 等研究了工作站机群上的并行自适应边界元i l ”。提出了自适应边界 唯元方法的并行运行，这是建立在误差分析的基础上。自适应方案的过程分解 成两部分：一部分是传统的边界元法分析，另一部分是样品点误差分析。这两 部分由不同的工作站并行的运行。1 9 9 7 年s o n g 等研究了分布存储处理机上边 界元计算的并行进程【i ”，在分布式内存计算机系统上提出了求解边界值问题的 并行边晃积分算法。他们主要研究影响系数矩阵产生的并行化和由此产生的线 性系统的解，这是边界积分表达式的两个主要部分。提出的分布式并行边界积 分算法在多处理计算机平台的每个计算结点产生部分影响系数矩阵。1 9 9 7 年 n o r i o 等研究了分布存储处理机上边界元计算的并行进程1 1 6 1 ，考虑了区域分解 问题的并行边界单元计算的算法。在这种方法里，假定了虚拟内边界的边界条 件，并行地运行每个子区域的边界单元分析。这些假定条件根据数值结果和并 行计算过程可以改变。u z a w a h e 和s c h w a r z 的方法没有区域重叠，在内边界j 二 作为其它的方案而使用。这些方案在机群计算机系统上运行。1 9 9 7 年王人鹏等 给出了实现边界元并行分布计算的一种新方法 1 7 1 。它将边界元离散节点分为与 计算网络所拥有的处理机台数相对应的若干组，以此实现任务分配，独立地计 算形成每组节点对应的离散边界元积分方程，最后利用迭代方法并行求解分布 的边界元方程组。以弹性问题为例。在i n m o st 8 0 0t r a n s p u t e r 系统上实现了边 界元计算。2 0 0 0 年、2 0 0 1 年尹欣和姚振汉等使用l i n u x 系统和p v m 平台，通 过局域网建立了一个网络机群并行计算环境f 1 “1 ，研究了网络机群环境下的边 界元并行算法，针对边界元法所形成的线性代数方程组具有非对称满阵的系数 矩阵，他们建议使用行存储的并行g a u s s j o r d a n 消去法。 为了降低对计算机存储的要求、提高计算效率，边界元大规模计算通常采 用分域解法，子块的系统矩阵在消去外部自由度后只需要保留与界面自由度相 关的子块和界面自由度与外部自由度耦合的子块。这种计算方案系统能对内存 进行重复使用，便于求解大规模工程问题。 1 4 边界元并行计算存在的问题 ( 1 ) 目前对边界元并行计算的研究较少，且基本限于静态和线性问题，对 6 并行计算机资源 1 l , 1 2 j 。1 9 9 1 年胡宁、张汝清提出了边界元方法分区处理的并行 算法”，该算法由多个c p u 并行地对备区进行静凝聚，并串行组集和求解界 面方程。壤后并行返回各子区求解内点应力和位移。他们提出的这种新的边界 元分区算法，存e l x s l 6 4 0 0 程序级的共享内存式并行机上实现其并行程序。】9 9 6 年k a m i y a 等研究 r 工作站机群上的并行自适应边界元”“。提出了自适应边界 单元方法的并行运行，这是建立在误差分析的基础上。自适应方案的过程分解 成两部分：一部分是传统的边界元法分析，另一部分是样品点误差分析。这两 部分由不同的工作站并行的运行。1 9 9 7 年s o n g 等研究了分布存储处理机上边 界元计算的并行进程”，在分布式内存计算机系统上提出了求解边界值问题的 井行边界积分算法。他们主要研究影响系数矩阵产生的并行化和由此产生的线 性系统的解，这是边界积分表达式的两个主要部分。提出的分布式并行边界积 分算法在多处理计算机平台的每个计算结点产生部分影响系数矩阵，1 9 9 7 年 n o r i o 等研究了分稚存储处理机上边界元计算的并行进程【l “。考虑了区域分解 问题的并行边界单兀计算的算法。在这种方法罩，假定了虚拟内边界的边界条 件，并行地运行每个子区域的边界单元分析。这些假定条件根据数值结果和并 行计算过程可以改变。u z a w a h e 和s c h w a r z 的方法没有区域重叠，在内边界上 作为其它的方案而使用。这些方案在机群计算机系统上运行。1 9 9 7 年王人嘴等 给出了实现边界元并行分布计算的一种新方法【】”。它将边界元离敞节点分为与 计算网络所搁有的处理机台数相对应的若干组，以此实现任务分配，独立地计 算形成每组节点对应的离散边界元积分方程，最后利用迭代方法并行求解分布 的边界元方程组。以弹性问题为例，在i n m o s t 8 0 0 t r a n s p u t e r 系统一k 实现了边 界元计算。2 0 0 0 年、2 0 0 1 年尹欣和姚振汉等使用l i n u x 系统和p v m 平台，通 过局域网建立了一个网络机群并行计算环境【1 “”j ，研究了网络机群环境下的边 界元并行算法，针对边界元法所形成的线性代数方程组具有非对称满阵的系数 矩阵，他们建议使用行存储的并行g a u s s j o r d a n 消去法。 为了降低对计算机存储的要求、提高计算效率，边界元大规模计算通常采 用分域解法，子块的系统矩阵在消去外部自由度后只需要保留与界面自由度相 关的于块和界面自由度与外部自由废耦合的子块。这种计算方案系统能对内存 进行重复使用，便于求解大规模工程问题。 1 4 边界元并行计算存在的问题 ( i ) 目酊对边界元并行计算的研究较少， ( 1 ) 目前对边界元并行计算的研究较少， 6 旦基本限于静态和线性问题，对 旦基本限于静态和线性问题，对 海人学坝1 学位论义 较为复杂的非线性问题和动力学问题未见研究。 ( 2 ) 以前对边界元并行计算的研究是针对基于p v m 平台的并行向量处理 机。目酊由于机群式并行计算机发展迅速，需要研究针对基于m p i 平台的机群 式并行计算机的并行算法。 ( 3 ) 边界元法形成的代数方程组是满阵的，目前也需要进一步研究其相应 的并行计算方法。 ( 4 ) 与边界元法相关的一些数值方法，如l a p l a c e 变换，目前也未见相应的 并行算法的研究。 1 5 本文的主要研究内容 本文首先针对弹性动力学边界元法中采用的数值l a p l a c e 反变换，讨论了 l a p l a c e 反变换的数值并行算法。然后研究了弹性动力学边界元法的并行算法。 最后采用f o r t r a n 语言，在机群系统环境下编写了基于m p i 的弹性动力学边界 元法的并行计算程序，对多个算例进行了求解。 具体地讲，本文的主要工作为： ( 1 1 本文讨论了l a p l a c e 反变换的数值并行算法。 ( 2 ) 研究了弹性动力学边界元法的并行算法：首先将弹性体的边界单元与网 络帆群中的处理器个数相对应，并行的计算与边界单元有关的常数，如积分点 的彤函数值、方向余弦、雅可比行列式等；然后并行求解所得到的边界元方程 组：最后通过本文给出的l a p l a c e 反变换的数值并行算法来求得弹性动力学问 题在时间域中的解。 ( 3 1 采用f o r t r a n 语言，在机群系统环境下编写了基于m p i 的弹性动力学边 界7 法的并行计算程序。 r 4 ) 对多个算例进行了计算，并迸行了多方面的比较和分析。 海人学坝卜学位论文 第二章弹性动力学的l a p l a c e 变换一边界元法 2 1 引言 将l a p l a c e 变换应用于弹性动力学边界元法，对弹性动力学的基本方程进 行l a p l a c e 积分变换，分离其中的时间变量，就可以得到变换域中便于边界元 法实施的椭圆形方程；然后再用与弹性静力学边界元法相类同的步骤求解，利 用边界元法进行数值求解后，得到了l a p l a c e 变换域中的位移和面力值：然后 通过l a p l a c e 反变换就得到了弹性动力学问题在时间域中的解。 本章将对弹性动力学基本方程、l a p l a c e 变换域中弹性动力学方程的基本 解、l a p l a c e 变换域中弹性动力学边界积分方程、边界积分方程的离散等方面进 行洋细的描述。 2 2 弹性动力学基本方程 连续的、均匀的、各向同性的弹性体在体积力z ( x ，f ) ，面力( x ，r ) 和边界约 束。卜 ，位移“，b ，f ) 和应力仃。g ，t ) 在j 、变形条件卞满足如下的弹性动力学基本方 程式 i , 2 3 - 2 7 i ： 运动微分方程 c i c ；) 。，) + q 。伍，r ) + 乃口，) = 嘉伍，) ( ：) 其中= g i ，x ：，) v ，且 c t2 j 竽 g = 污 z ， 分别是弹性体内膨胀波和畸变波的传播速度，五和是拉梅常数，p 为体密度。 物理方程 o q ( x ，r ) = p ( c ? 一2 c ；) ，。( x ，f 蜿+ c ；0 。( z ，r ) + z l j , i 伍，f ) ) j x ey ( 2 3 ) 其中皖为k r o n e c k e rd e l t a 应力和位移满足如下的边界条件 ! 塑查堂塑：! 兰垡笙兰 一一 ，f ) = 盯月，= r 肛，f ) 爿s 限4 1 “，伍，f ) = 氓似，) 彳s “ 和初始条件 甜，口，o + ) = 伍) x v 鲁“。扛，0 + ) = 昙) x 矿 ( 2 5 ) 其中s ，、s ”分别表示已知面力和位移的边界，s 。y s “= s ，s is “= m ，扣， 为s 上某点处的外法线的方向余弦，i 似，r ) 、虿，f ) 分别为已知面力和位移分量， 协，。 和 昙似) 分别为弹性体的初始位移和初始速度场。 运用积分变换求解弹性动力学问题，就是通过积分变换将上述弹性动力学 基本方程交换为变换域中的基本方程，利用弹性动力学边界元法求解变换域中 的基本方程。得到变换域中的相应的未知量的解，再由数值反变换得到时间域 中的解。 2 3l a p l a c e 变换在弹性动力学基本方程中的应用【2 “2 7 采用如下形式的l a p l a c e 积分变换 f ( 5 ) = 【船) = r 厂 “霈 ，( ) 纠陬叫= 去e ( 桫。d s ( 2 6 ) ( 2 7 ) 其中s 为复变量，s = 口+ f 。 将l a p l a c e 变换( 2 6 ) 作用于时间域中的弹性动力学基本方程式( 2 ，1 ) 一( 2 5 ) 并且令 u ，( x ，s ) = l ，( x ，f ) 】 ，似，s ) = 三b 。( ，) j i ( x ，s ) = 球，( x ，f ) 】 只似，s ) = l i p ，) 】 q f ( x ，s ) = 比，伍，f ) 】 伍，s ) = 上眈伍，洲 9 f 2 8 ) 海人学删 j 学位论文 根据l a p l a c e 变换的性质，得到l a p l a c e 变换域中弹性动力学基本方程。 运动微分方程 ( c ? 一c ；妙叫+ c ；v ”，一s 2 u ，= 一j 1 x ，矿 ( 29 ) 其中 x ，= p 巧( x ，s ) + 昙“，。+ s “扣1 c z ，。， 是l a p l a c e 变换域中弹性动力学的运动微分方程的相应体积力项。 边界条件 王= ，s - 肛) 2 只口，s ) z f f 2 1 1 1 u ，= q f ，s ) x s “ 。 物理方程 。( 工，s ) = p 噼一c ；) 蚱，( x ，s ) + c ；0 。( x ，s ) + ，。 ，s ) ) j x v ( 2 1 2 ) 公式( 2 9 ) - ( 2 1 2 ) 就是弹性动力学问题在l a p l a c e 变换域中的基本方程。利用弹性 动力学边界元法对其进行求解，就得到l a p l a c e 变换域中的应力、应变和位移 场，再由数值l a p l a c e 反变换求得到时间域中的解。 2 4l a p l a c e 变换域中弹性动力学方程的基本梓m 。8 1 对于任何问题，在利用边界元法进行求解时，都需要推导出边界积分方程， 而要推导边界积分方程，基本解是必不可少的。在利用l a p l a c e 变换一边界元法 求解弹性动力学问题时，须在l a p l a c e 变换域中应用边界元法，则首先须推得 l a p l a c e 变换域中弹性动力学方程的基本解。 l a p l a c e 变换域中弹性动力学方程的基本解的表达式始见于1 9 6 8 年c r u s e 的工作。在此之前，d o y l e 、s t e i n b e r g 和e u b a n k s 等也做了这方面的工作。 在不考虑体积力的情况下，s o m i g l i a n a 、l u r i e 和i a c o v a c h e 先后证明得出， 若矢量g i 满足条件 卜专斟妒_ 1 秽0 2 、) - o ， 则 海大学硕士学位论文 圹v 1 0 2 舶小和。 为时间域中的运动微分方程( 2 1 ) 的解。当考虑体积力时， 提出此时式( 2 1 2 ) 中的矢量g ，应满足下式： ( 2 1 4 ) s t e i n b e r g 和e u b a n k s 毒等 ( v 2 一虿1 矿0 2j ) 岛力一是 c z 朋， 1 9 6 6 年，d o y l e 讨论了l a p l a c e 变换域中的弹性动力学运动微分方程( 2 7 ) 的解。设x ，的二阶导数是分片连续的，则u ，存在分片连续的四阶导数，这样在 任何有界正则域中，存在一个矢量g ( x ，) 具有分片连续的四阶导数。且满足 叫v 2 一和一 - 一和， 卜献v l 井卜去z c z 当式( 2 1 5 ) 成立时，通过代入可知式( 2 1 4 ) # jl a p l a c e 变换域中的弹性动力学 运动微分方程( 2 7 ) 的解。这种结论可推广到无限域。 幽式( 2 - 1 5 ) ，可构造矢拿q 为 g ，( p ) 2 丽筹b m k ：( p ，p _ ) 呐炒( 2 1 8 ) 其中场点岛p 。( 圪为无限正则域) 。奇异核函数形式如下： 对二：维问题 一2 ，e 诋b ) j ( 2 t 。， 对三维问题 删一o ) = 锗 ( 2 z 。) 这里e 为第二类修正的b e s s e l 函数，r 为场点，p 和p 。之间的距离为 r = k ，o ) 一j ，0 瓣，o ) 一一扫。蚌( ：2 1 ) 4 - _ = e ( p 叮) ( 2 2 2 ) 这罩a ( p 一口) 是d i r a c 6 函数，即一表示作用在口点的单位集中力。 海人学坝j j 学位论文 将式( 2 2 0 ) 代入式( 2 1 6 ) ，得到相应于单位集中力的矢量6 的表达式为 q 。) = 磊纛医：，日) 一蜀。羽) 】( ：) 考虑沿各坐标轴的单位集中力作用，则g 可用张量g , j 来表示。注意到 g i = g 6 。k e 产g , j e k 瓯为k r o n e c k e rd e l t a ，q 为单位矢量，可得 删= 抟岛小舳洲 进一步，由式( 2 1 4 ) 和式( 2 2 2 ) ，可得如下的奇异张量： 叼2 去链也i ，) 其中函数，矿的表达式为： 对二维问题 ( 2 2 4 ) f 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 舻黔型曾删 ：， 眦：( 舟筹如 其中k o 、k 。和k 2 分别是第二类零阶、一阶和二阶修正的b e s s e l 函数。 对三维问题 妒= 孚+ ( 雾卜c 21 e - s r c 2 一筹f 嘉+ - c 。ii e - s r c i 一 = ( 斋+ 等+ ) 孚- s t 一阵) ( 舅+ 等+ 孚 。1 2 勋 u ：是在l a p l a c e 变换无限域中单位集中力作用下弹性动力学运动微分方程f 2 9 1 的解，即为方程( 2 9 ) 的基本解。 将基本解的表达式( 2 - 2 6 ) 代入物理方程( 2 1 2 ) 和边界条件( 2 ，1 1 ) 中，并注意 到关系式( 2 2 4 ) ，可得到相应的面力张量为 海人学坝l 学位论文 巧= 去c 愕一吾 ( 吼嘉螺_ ) 一；( v ，9 乃嘉) 一z 警 ，嘉 十睁悟警一黔划 伫。2 2 5l a p l a c e 变换域中弹性动力学边界积分方程2 6 用贝蒂互等定理建立边界积分方程，具有明确的力学意义，但对非力学领 域的问题应用边界元法造成了困难。1 9 7 8 年b r e b b i a 用加权余量法建立了弹性 静力学的边界积分方程，说明用贝蒂互等定理和加权余量法建立的边界积分方 程是相同的，为边界积分方程的建立提供了一个更为简捷的方法。用加权余量 法建立边界积分方程是直接从所需求鳃问题的数学模型出发的，所以也适用于 非力学领域的问题。只要所需求解问题的定解方程及相应的基本解存在，就可 以由加权余量法来建立边界积分方程。 对弹性动力学问题而言，不论用贝蒂互等定理，还是用加权余量法，所建 藏的边界积分方程是相同的。为简单起见，采用加权余量法来推导l a p l a c e 变 换域中的弹性动力学的边界积分方程。 对l a p l a c e 变换域中的弹性动力学基本方程( 2 9 ) 和( 2 1 2 ) 应用加权余量法， 并假设初始条件和体积力为零，可得 f 噼一c d u , ，似，s ) + 四，s - s 2 u j ( x ，s 她d 矿 一一- ，眈一r ，) v ；e s + f 。娩一v , ) r ；d s 。3 式中u j 和z 分别为对应于加权场的位移和面力。设毛为对应于的应力场， 则 巧= 盯二仇( 2 3 1 ) 列式( 2 ，2 8 ) 进行分部积分，得 i ( ( c ? 一c ；) u ；，+ c ；u j ，+ s 2 u j ) u ，d v = 一f 删舔+ f 。9 驷一f 。l u ) d s + f ，u t j d s 2 蚴 取权函数彰和f 为上节所得的基本解，则由式( 2 3 0 ) n # 一u ，0 ) = 一f ，只v ；d s + 【。o , 巧d s l 。t ,