（控制理论与控制工程专业论文）基于小波变换的图像边缘检测算法的研究.pdf

武汉科技大学硕士毕业论文第1 页 摘要 边缘是图像的最基本特征，图像的大部分信息都存在于图像的边缘中。因此如何获取 图像的边缘，成为图像处理与分析技术中的研究热点。到目前为止，已有许多图像边缘检 测的算法，但由于边缘检测的复杂性和固有问题，在抗噪和边缘定位上都没有很好的解决。 因为图像边缘点和噪声在频域内多为高频信号，目前的算法大多不能解决从局部高频信号 中区分噪声和边缘的问题，小波变换的“时频 多尺度分析技术，为图像边缘检测提供了 新的技术途径。 小波分析是继f o u r i e r 分析之后的新的时频域分析工具。由于其良好的时频局部化特点 和多尺度特性，能有效地检测和分析信号的奇异点，在检测边缘的同时能有效地抑制噪声， 成为研究非平稳信号的有力工具，在信息处理领域中倍受重视，在图像处理技术中得到广 泛应用。 本文首先介绍了小波变换的发展和应用前景，概述了图像边缘检测技术的研究现状， 然后对经典的图像边缘检测算法进行分析，研究各算子的特点，总结出各自的优缺点，由 此引出小波变换应用于图像边缘检测中的研究。根据边缘检测的评价标准，参照最佳边缘 滤波器的设计需求，确定用于边缘检测的小波基的选取准则，并通过实验比较选择了四阶 b 样条小波作为小波变换的基波。在此条件下，采用小波局部模极大值多尺度方法进行边 缘检测。在使用小波模局部极大值过程中，针对局部模极大值的选取，采用沿梯度方向计 算模极大值；针对阈值的选取，采用分块自适应阈值的选取方法。对比于传统的模极大值 边缘检测方法，实验表明，本文的算法在取得较好的边缘检测效果的同时抑制了噪声。 关键词：边缘检测；小波变换；b 样条小波；局部模极大值；分块自适应 第1 i 页武汉科技大学硕士毕业论文 a b s t r a c t e d g ei st h em o s tb a s i cf e a t u r eo fi m a g e s ，w h i c hi n c l u d e st h em o s tp a r ti n f o r m a t i o no f i m a g e s s oo b t a i n i n gt h ee d g ei m a g eh a st u r n e di n t oah o ts p o ti nr e s e a r c ho ni m a g ep r o c e s s i n g a n da n a l y s i st e c h n o l o g y , s of a r ，m a n ya l g o r i t h m sh a v eb e e np r e s e n t e di ne d g ed e t e c t i o nf i e l d b u tt h ep r o b l e m si n a n t i - n o i s ea n de d g el o c a t i o nw e r en o tw e l lr e s o l v e db e c a u s eo ft h e c o m p l e x i t ya n di n h e r e n tp r o b l e m so fe d g ed e t e c t i o n t h er e a s o ni st h a tt h en o i s ea n de d g ew e r e b o t hh i 曲一f r e q u e n c ys i g n a l sa n di tw a sh a r d l ys o l v e dt od i s t i n g u i s hb e t w e e nn o i s e sa n de d g e s f r o ml o c a lh i 曲一f r e q u e n c ys i g n a l su s i n gc u r r e n ta l g o r i t h m s “t i m e - f r e q u e n c y m u l t i s c a l e a n a l y s i so f w a v e l e tt r a n s f o r mb r i n g sn e w w a y st oi m a g ee d g ed e t e c t i o n w a v e l e ta n a l y s i si san e wt o o lo ft i m e f r e q u e n c ya n a l y s i sa f t e rf o u r i e ra n a l y s i s i tc a l l e f f e c t i v e l ya n a l y z es i g n a ls i n g u l a r i t yp o i n ta n dd e t e c te d g e sw h i l er e s t r a i n i n gn o i s eb e c a u s eo fi t s g o o dt i m e f r e q u e n c yl o c a lp r o p e r t ya n dm u l t i s c a l ec h a r a c t e r i s t i c s s o ，a sap o w e r f u lt o o lo f r e s e a r c h i n gn o n s t a t i o n a r ys i g n a l ，i ti sp a i dm o r ea t t e n t i o ni nt h ef i e l do fi n f o r m a t i o np r o c e s s i n g a n di sw i d e l ya p p l i e di ni m a g ep r o c e s s i n gt e c h n o l o g y i nt h i sp a p e r , t h ep r o s p e c tf o rt h ed e v e l o p m e n ta n da p p l i c a t i o no fw a v e l e tt r a n s f o r m a t i o ni s i n t r o d u c e df i r s t l ya n dt h e nt h er e s e a r c hs t a t u so fi m a g ee d g ed e t e c t i o ni sg i v e n a f t e rs t u d y i n g t h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h ec l a s s i c a le d g ed e t e c t i o na l g o r i t h m ，s u m m i n gu pt h ea d v a n t a g e sa n d d i s a d v a n t a g e so fe a c h ，w a v e l e tt h e o r ya p p l i e di ne d g ed e t e c t i o ni si n t r o d u c e d a c c o r d i n gt ot h e e v a l u a t i o nc r i t e r i ao fe d g ed e t e c t i o n ，i nt h ec o n s i d e r i n go ft h eb e s te d g ef i l t e rd e s i g n ，w e i d e n t i f i e dt h ec r i t e r i af o rt h es e l e c t i o no fw a v e l e tb a s e sa n dc h o o s et h ef o u r t h - o r d e rb s p l i n e w a v e l e ta st h ew a v e l e tb a s e st h r o u g he x p e r i m e n t a lc o m p a r i s o n i nt h eb s eo fw a v e l e tm o d u l u s l o c a lm a x i m a , f o rt h es e l e c t i o no fl o c a lm o d u l u sm a x i m a , w ec a l c u l a t ei ta l o n gt h ed i r e c t i o no f g r a d i e n to ft h em o d u l u sm a x i m a ；f o rt h r e s h o l ds e l e c t i o n ，w eu s em e t h o do fb l o c k i n ga d a p t i v e t h r e s h o l d c o n t r a s tt oc o n v e n t i o n a lm o d u l u sm a x i m am e t h o d s ，e x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h e a l g o r i t h mi nt h i sp a p e ra c h i e v e db e t t e rr e s u l t sa tt h es a m et i m eh a v i n gg o o dn o i s es u p p r e s s i o n k e y w o r d s ：e d g ed e t e c t i o n ；w a v e l e tt r a n s f o r m a t i o n ；b - s p l i n ew a v e l e t ；m o d u l u sl o c a lm a x i m a ； b l o c k a d a p t i v e 武汉科技大学 研究生学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研究 所取得的成果。除了文中已经注明引用的内容或属合作研究共同完成的工作 外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名：二生日期：鞘 研究生学位论文版权使用授权声明 本论文的研究成果归武汉科技大学所有，其研究内容不得以其它单位的 名义发表。本人完全了解武汉科技大学有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向有关部门( 按照武汉科技大学关于研究生学位论文收录工作 的规定执行) 送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅，同意 学校将本论文的全部或部分内容编入学校认可的国家相关数据库进行检索和 对外服务。 论文作者签名：至兰 指导教师签名：萎至 一 日 武汉科技大学硕士毕业论文第1 页 1 1 选题的背景和意义 第一章绪论 众所周知，人类所获取的信息约有7 0 ( 或8 0 ) 以上来自视觉，“百闻不如一见”、 “一目了然等，也就是说，人类通过自己双眼所观察到的世界进行缜密的分析与思考之 后，推动了科技的进步，也推动了整个世界的发展【l 】。图像中包含了人类所需要的感知世 界，进而认识世界、改造世界的大部分信息量。图像处理就是对图像信息进行加工处理， 以满足人的视觉心理和实际应用的要求【2 l 。随着计算机视觉、机器视觉等相关领域的发展， 图像处理的发展非常迅速，图像处理在信息处理中占有重要地位并且备受人们关注。首先， 视觉是人类感知外界的最重要手段，图像又是视觉的基础，因此数字图像处理成为心理学、 生理学、计算机科学等诸多领域的学者研究视觉感知的有效工具【3 】。 在m a r r 的视觉计算机理论中把图像边缘的获取看作是视觉的早期阶段，也就是整个 视觉过程的起点；通过对人类视觉系统的研究也可以看出，图像中的边缘非常重要，往往 仅凭一条粗略的边缘轮廓线就能识别出一个物体 4 1 。因此，如何获取图像的边缘和轮廓， 成为图像处理与分析技术中的研究热点。 边缘像素本质上是指局部图像范围内灰度的急剧变化( 称为奇异点) ，因此图像边缘就 是二维图像中奇异点的集合。物体形状、物体边界、位置遮挡、阴影轮廓和表面纹理等重 要视觉信息在图像中均有边缘产生。图像边缘是图像中最基本的特征，是分析理解图像的 基础。同时，边缘检测对于物体识别也是很重要的，首先，人眼通过追踪未知物体的轮廓 ( 轮廓是由若干段边缘片断组成的) 而扫视一个未知的物体，因此如果得到图像的边缘，能 使图像分析大大简化。另外，很多图像并没有具体的物体，对于这些图像的理解取决于它 们的纹理性质，而提取这些纹理性质与边缘检测有极其密切的关系。所以边缘检测使数字 图像分析处理的前提，检测结果的优劣影响着下一步图像压缩、计算机视觉、模式识别的 应用，所以对它的研究具有定的现实意义和理论意义。 小波分析( w a v d e ta n a l y s i s ) 是近2 0 年来发展起来的- - i j 新兴数学分支，它是f o u r i e r 分析划时代发展的结果。随着对小波理论的不断深入研究和广泛的实际应用，小波分析在 滤波、信号和图像处理【5 刁】等方面的优势已逐渐显露。由于小波变换具有良好的局部特性和 多尺度特性，可满足在多个尺度上提取边缘的需要，所以应用小波变换用于图像边缘检测 被认为是较为有效和有前途的方法。 1 2 图像边缘检测概述 边缘是图像最基本的特征，图像的大部分信息都存在于图像的边缘中，主要表现为图 像局部性的不连续性，是图像中灰度变化比较大剧烈的地方，也就是通常所说的信号发生 奇异变化的地方。边缘具有方向和幅度两个特征，沿边缘方向，像素值变化比较平缓；垂 直于边缘方向，像素变化比较剧烈，有可能呈现阶跃状，也可能呈现屋顶状边缘。因此， 第2 页武汉科技大学硕士毕业论文 边缘可以分为阶跃性边缘和屋顶状边缘，边缘检测的实质是采用某种算法来提取图像中目 标与背景间的交界线。我们定义边缘为图像中灰度发生急剧变化的区域边界，图像灰度的 变化可以通过图像的灰度分布的梯度图来反映，因此可以采用局部图像的微分计算来获得 边缘检测算子。 图像边缘检测的方法是：首先检测出图像局部特性的不连续性，再将它们连成边界。 传统的边缘检测方法是基于空间运算，借助空域微分算子进行的，通过将算子模块与图像 进行卷积合成，根据模块的大小和元素值的不同有不同的微分算子。因此，图像边缘检测 技术大概可以分为以下几种【8 】： ( 1 ) 检测梯度的极大值。由于边缘发生在图像灰度值变化比较大的地方，对应连续情 形就是说是函数梯度较大的地方，通过求导算子检测边缘，经典算子包括一阶微分s o b e l 算子、r o b e r t 算子和p r e w i t t 算子等。 ( 2 ) 检n - 阶导数的零交叉点。这是因为边缘处的梯度取得极大值( 正或负的) ，也就 是灰度图像的拐点是边缘。由分析学可知，拐点处函数的二阶导数为零。 ( 3 ) 统计型方法。如利用假设检验来检测边缘，d h m a i r m o n t 利用对二阶零交叉点的 统计分析得到了图像中各个像素是边缘的概率分布，并进而得到边缘检测的方法。 ( 4 ) 小波多尺度边缘检测。小波分析是继f o u r i e r 分析之后的新的时频域分析工具。由 于其良好的时频局部化特点和多尺度特性，能有效地检测和分析信号的奇异点，在检测边 缘的同时能有效地抑制噪声，成为研究非平稳信号的有力工具，在信息处理领域中倍受重 视，在图像处理技术中得到广泛应用。 上述经典的一阶微分算子( r o b e r t s 算子、s o b e l 算子、p r e w i t t 算子) ，二阶微分算子 ( l a p l a c e 算子、马尔算子等) 2 1 。这些算子简单易于实现，具有很好的实时性，但对噪声 敏感、抗噪声性能差，边缘不够精细【1 3 】。相比之下，基于最优化算法的c a n n y 算子具有信 噪比大和检测精度高的优点，被广泛应用。 由于原始图像往往包含噪声，而边缘和噪声在空间域上表现为灰度有比较大的起伏； 在频率域上反映均是高频分量，这就给准确地检测边缘带来了困难，常常会在检测边缘同 时加强了噪声。近年来出现一些新的边缘检测算法，能抑制噪声的同时能更好地检测边缘 的细节信息，像小波分析、形态学、分形理论、模糊学、人工智能和遗传算法等方法。 在m a r t 的视觉理论【1 4 】中，人的视觉是在不同尺度上大小有序的一张草图，在小尺度 时，图像的边缘细节信息较为丰富，边缘定位精度较高，但易受到噪声的干扰；在大尺度 时，图像的边缘稳定，具有较强的抗噪性，但边缘定位的精度较差【1 5 】。小波的多尺度特性 可以很好的模仿人的视觉特性，将它们的优点结合起来，在不同尺度上进行综合处理得到 较为理想的边缘。多尺度边缘检测基本思想是：沿梯度方向分别用几个不同尺度的边缘检 测算子在相应点上检测模极大值的变化情况，并通过阈值处理，再在不同尺度上进行重构 得到最终边缘图像，可以较好的解决边缘定位和噪声干扰之间的矛盾。 从图像边缘检测的角度看，小波变换【1 6 】【1 7 】具有以下几个优势： ( 1 ) 小波分解提供了一个数学上的完备描述； 武汉科技大学硕士毕业论文第3 页 ( 2 ) 小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大地减小或去除所提取的不同特征之间 的相关性； ( 3 ) 具有“变焦”特性，被称为“数学显微镜，在低频段可用高频分辨率和低时间分 辨率，在高频段可用低频分辨率和高时间分辨率； 边缘检测的过程主要是图像的灰度变化的度量、检测和定位。边缘检测对于物体的识 别是很重要的，是目标区域的识别、区域形状提取和机器视觉等图像分析领域十分重要的 基础，同时也是图像分割，纹理分析和图像识别所依赖的重要特征。 边缘检测在图像处理中主要有以下重要应用【1 8 】： ( 1 ) 图像分割 图像分割是数字图像处理中的关键技术之一。图像分割是将图像中有意义的特征部分 提取出来，其有意义的特征有图像中的边缘区等，这是进一步进行图像识别、分析和理解 的基础。 利用计算机进行图像处理通常有两个目的：一是产生更适合人观察和识别的图像，二 是希望计算机能自动识别和处理图像。无论为了那一种目的，图像处理中关键的一步就是 对含有大量各式各样景物信息的图像进行分解，分解的最终结果是图像被分解成一些具有 某种特征的最小成分：称为图像的基元。相对于整幅图像来说，这种基元更容易被快速处 理。 ( 2 ) 图像识别 图像识别【1 9 1 2 0 】广泛应用于文字识别、条形码识别、人脸识别和车牌识别等领域。 图像识别可在分割的基础上选择需要提取的特征，并对某些参数进行测量，再提取这 些特征：最后根据测量结果作分类。为了更好地识别图像，还要对整个图像作结构上的分 析，对图像进行描述，以便对图像的主要信息得到一个解释和理解，并通过许多对象相互 间的结构关系对图像加深理解，以便更好地帮助识别。所以图像识别是在分割后的每个部 分中，找出它的边缘，形状及纹理等特征，即特征抽取( 有时也包括图像分割) ，以便对图 像进行分类，并对整个图像作结构上的分析图像识别的输入是图像( 一般是经过处理过的 图像) ，输出是类别和图像的结构分析，而结构分析的结果则是对图像作描述，以便对图像 的重要信息得到一种理解和解释。 ( 3 ) 纹理分析 纹理是对图像的象素灰度级在空间上的分布模式的描述，反映物品的质地，如粗糙度、 光滑性、颗粒度、随机性和规范性等。纹理是区域属性，并且与图像分辨率( 或称尺度) 密 切相关，纹理具有重复性、规则性、方向性等等。当图像中大量出现同样的或差不多的基 本图像元素( 模式) 时，纹理分析是研究这类图像的最重要的手段之一。 对构成图案的要素形状、分布密度、方向性等纹理进行图像特征提取的处理叫做纹理 分析，纹理分析有着广泛的实际应用，例如产品检测，医学诊断，遥感检测等等。 第4 页武汉科技大学 硕士毕业论文 1 3 小波理论的形成和发展 小波变换( w a v e l e tt r a n s f o r m ) 的概念是1 9 8 4 年法国地球物理学家j m o r l e t 在分析处理 地球物理勘探资料时提出来的【2 1 1 。小波变换的数学基础是1 9 世纪的傅里叶变换，其后理 论物理学家a g r o s s m a n 采用平衡和伸缩不变性建立了小波变换的理论体系，对m o r l e t 的 这种思想进行可行性研究，根据母小波函数的尺度、平移可以对任意信号进行分析，为小 波分析的形成开了先河。1 9 8 5 年，法国数学家y m e y e r 第一个构造出具有一定衰减性的 光滑小波，创造性的构造出一个真正的小波基。1 9 8 7 年，m a l l a t 巧妙的将计算机视觉领域 的多尺度分析的思想引入n 4 , 波分析中小波函数的构造及信号按小波变换的分解与重构， 从而成功的统一了在此之前所提出的具体小波函数的构造，研究了小波变换的离散化情 形，并将相应的算法m a l l a t 算法有效的应用于图像分解与重构。与此同时，比利时女数 学家d a u b e c h i e s 构造了具有有限支集的正交小波基，这样，小波分析的系统理论初步得到 了建立。1 9 9 0 年，崔锦泰和王建忠构造了基于样条函数的所谓单正交小波函数，并讨论了 具有最好局部化性质的多尺度分析的生成函数及相应的小波函数。同年，b e y l k i n ，c o i f m a n 等将小波变换应用于算子理论。1 9 9 1 年，j a f f a r d 及l a u r e n c o t 将小波变换应用于偏微分方 程数值解，而w i c k e r h a n s e r 等将m a l l a t 算法进一步深化，得到了小波包算法。1 9 9 4 年， w i ms w e l d e n s 提出了由提升方案构造的第二代小波变换，这种小波不仅包括第一代小波的 所有优点，而且还具有更快的快速算法和同址计算【2 2 1 。此后，小波变换蓬勃发展，它作为 一种数学理论和方法在科学技术和工程界引起了越来越多的关注和重视。尤其在工程应用 领域，特别是信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘测、流体力 学、电磁场、c t 成像、机器视觉、机械状态监控与故障诊断、分形、数值计算等领域被 认为是近年来工具和方法上的重大突破 2 3 1 2 4 1 。 小波分析方法是一种窗口大小( 即窗口面积) 固定但其开关可改变，时间窗和频率窗都 可改变的时频局域化分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨 率，而在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，正是这种特性使得小波变 换对信号具有自适应性，所以被称为数学显微镜。小波变换的过程就是对基本小波函数做 平移和尺度伸缩后与待分析信号做内积运算，因此，小波变换就是个函数空间的集合。同 时，小波变换可以看作是一种具有多粒度的分类器，可以根据需要对函数空间进行细化和 精化的分解，也就是进行“多分辨率 的分析【2 5 1 。 小波变换的时频窗口特性与短时傅里叶变换的时频窗口不一样，因为平移参数f 仅仅 影响影响口在相平面时间轴上的位置，而伸缩参数a 不仅影响窗口在频率轴上的位置，也 影响窗口的形状。这样小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，即在低频 时小波变换的时间分辨率较低，而频率分辨率较高；在高频时小波变换的时间分辨率较高， 而频率分辨率较低，这正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点。这便是它优 于经典的傅里叶变换具有更好的时频窗口特性。因此小波变换是检测突变信号强有力的工 具，能很好地表现突变点的奇异性，利用小波奇异性检测方法来区分图像边缘具有很大的 优越性，通过多分辨率分析来分析图像信号，从而获得最满意的效果。 武汉科技大学硕士毕业论文第5 页 与f o u f i e r 变换、g a b o r 变换相比，小波变换是时间( 空间) 频率的局部化分析，它通过 伸缩平移运算对信号( 函数) 逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率 细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了f o u r i e r 变换的困难问题，成为继f o u r i e r 变换以来在科学方法上的重大突破【2 6 】。 由此可见，小波变换具有以下特点和作用： ( 1 ) 具有多分辨率( m u l t i r e s o l u t i o n ) ( 也叫多尺度( m u l t i s c a l e ) ) 的特点，可以由粗到细地 逐步观察信号。 ( 2 ) 可以把小波变换看成用基本频率特性为( 彩) 的带通滤波器在不同尺度a 下对信 ，一、 号做滤波。由于傅里叶变换的尺度特性，设( f ) 的傅里叶变换是( 彩) ，则吵i 三i 的傅里 a 叶变换为i a g ( a t o ) ，因此这组滤波器具有品质因数恒定，即相对带宽( 带宽与中心频率之比) 恒定的特点。 ( 3 ) 选择适当的基小波，使( f ) 在时域上为有限支撑，y ( 缈) 在频率上也比较集中， 便可以使小波变换在时、频两域上都具有表征信号局部特征的能力，这样就有利于检测信 号的突变和奇异点。 小波变换因其突出的时频变换特性，以及小波基函数选择的灵活性，在图像处理中有 多个方面的广泛应用： 1 ) 小波变换在图像压缩中的应用 从小波变换所具有的频域特性来看，从傅里叶变换可知，图像的数据信息大多集中在 低频部分，而高频部分的信息很弱，对人眼视觉的影响也小。一幅图像经过小波变换后， 大部分信息集中在低频部分，而其余部分只有很弱的表示细节的信息，因此，如果只保留 该总数据量1 4 的低频部分，对其余三个部分的系数不存储或者传输，在解压时，这三个 子块的系数以0 来代替，得到的图像与原图像相差也不是非常大。在实际应用中，为了提 高压缩比，还会进行多尺度小波变换，以及与其它编码方式相结合的方式来完成。 2 ) 小波变换在图像融合中的应用 图像融合实际上是将采用不同方式所获得的某个目标物信息综合起来获得一个对目 标物的好的显示效果。在保证分辨率的前提下，对一个场景进行拍摄时，常用的方法之一 是将该场景用若干幅局部照片拍摄下来，之后再将这些照片融合成一幅图像。因此要获得 一张全局照片的核心是对相邻两幅图像的重叠部分的准确检测。 如果采用小波变换，在低频区域中进行重叠部分的检测至少有两个好处： ( 1 ) 处理的数据量大幅度减少。因为如果做两次小波变换的话，处理数据量是原来的 1 1 6 ； ( 2 ) 低频部分只反映场景的概貌，细节部分不在低频子块中反映，这样可以抵抗细节 对检测的干扰。 3 ) 小波变换在图像边缘检测中的应用 作为研究非平稳信号的有力工具，小波在边缘检测方面具有以下优点： 第6 页武汉科技大学硕士毕业论文 ( 1 ) 改变了过去高斯算法计算量大的缺点，而且以较少的计算量便可以得到较理想的 图像处理结果。 ( 2 ) 具有多尺度分析的特点。小波变换不仅能够有效的反映图像的灰度变化，而且还 能尽可能的去除噪声的干扰。 ( 3 ) 随着第二代小波的产生，其独特的算法结构、快速的运算能力和低存储的需求更 加有利于满足不同需求的新边缘检测方法的产生。 由于以上特点，基于小波变换的图像边缘检测方法研究较传统方法更具现实意义，有 巨大的研究潜力，所以受到国内外学者的关注。 4 ) 小波变换在图像增强中的应用 小波变换用于图像增强的原理是：对原图像进行了小波变换，得到的小波变换系数矩 阵分别表示的是不同的频率特性。因此，对其中低频、次低频、次高频、高频四个子块以 不同的增强系数进行处理，对低频系数加权进行增强，而对高频部分加权进行弱化，再进 行小波逆变换之后，就可达到图像增强的目的。 5 ) 小波变换在去除图像噪声中的应用 利用小波变换去除噪声的原理是：由于噪声大多属于高频信号，因此，当进行小波变 换后，噪声信息大多集中在次低频、次高频以及高频子块中，为了达到较好的去噪效果， 可以对不同尺度小波变换下的次低频、次高频和高频子块进行抑制，保留低频予块的信息 不改变，便可以对图像噪声进行很好的去除。 6 ) 小波变换在图像配准中的应用 图像配准研究的目标是找到自动化程度高、鲁棒性强、适应性好、速度快、精度高的 配准算法，求得待配准图像间的平移、旋转、比例因子、甚至是畸变关系等参数。利用小 波变换做图像配准时，首先对图像进行小波变换，由变换后的模的局部极大值点得到图像 的边缘。在此基础上，进一步提取边缘上满足一定条件的点作为特征点，如其模大于一个 阈值，或者其模是周围某个邻域内的极大值点。小波变换生成的是图像数据的多分辨率表 示，即使在低分辨率下也保留了原始数据的绝大部分重要特征。应用这些多分辨率的数据， 采用由粗到细的参数搜索和优化策略，开始时在低分辨率下搜索，然后在较高分辨率下优 化和校正，这样可以大大减少搜索的范围，加快配准的速度。 1 4 本文研究的内容和章节安排 本文主要围绕小波变换应用于图像边缘检测进行深入研究。首先对小波变换的理论进 行概要的归纳整理，以及经典图像边缘检测算法进行系统的理论研究，重点放在以小波理 论为基础，分析小波作为边缘检测算法的理论依据，研究一种小波变换为基础的图像边缘 检测的方法，并研究其具体的应用和发展方向。 本文的主要研究内容与安排如下： 第一章对图像边缘检测技术的研究现状和发展进行概述，并对小波理论的形成和发展 进行介绍。简单介绍本文研究的主要内容和各章节安排。 武汉科技大学硕士毕业论文第7 页 第二章对小波变换的基本原理进行分析，然后针对数字图像中常用的多分辨率分析 ( m r a ) 进了详细的阐述，根据多分辨率理论介绍了著名的m a l l e t 分解和重构算法，为小波 多尺度边缘检测方法做理论上的准备。 第三章介绍了经典边缘检测算子的原理，包括一阶微分算子、二阶微分算子和经典的 c a n n y 算子等，并通过仿真实验做出比较和评价，为新的边缘检测算法提出要求。 第四章提出一种基于改进的小波局部极大值的多尺度边缘检测算法，对比软硬阈值方 法，通过实验仿真验证了这种算法的优越性。 第五章全文总结与展望。首先对全文进行了总结，分析小波理论应用于图像边缘检测 中存在的问题，然后，提出基于小波变换的图像边缘检测算法的发展方向和需要解决的技 术问题。 第8 页武汉科技大学硕士毕业论文 第二章小波变换的基本理论 小波分析是当前数学中迅速发展的新领域，同时它理论深刻，应用十分广泛。小波分 析在数学领域的许多学科、信号处理、计算机识别、图像处理方面已经取得了具有科学意 义和应用价值的重要成果【2 7 1 。 本章介绍的小波的基本理论包括小波的概念、连续小波、离散小波的性质以及小波的 多分辨分析理论与算法。 2 1 小波的定义 小波，即小区域的波，是一种特殊的长度有限( 紧支集) 或快速衰减，且平均值为o 的 波形【2 8 】。小波是傅里叶分析和调和分析的基础上发展起来的- f l 应用数学，是分析非平稳 信号时一频特性的有力工具。小波分析的基本思想是用一族函数去表示或逼近一个已知函 数，这一族函数称为小波函数系，它是通过一个基小波函数沙经过平移和尺度伸缩构成 的。 小波函数的确切定义为：设( r ) 为一平方可积函数，也即( f ) r ( 尺) ，则对它进行 伸缩和平移后为： 劓= 一( 等l 口r , r r ( 2 - 1 ) 若其傅立叶变换y ( 缈) 满足条件 o = 工学国如 ( 2 - 2 ) 则称( f ) 为一个基本小波或小波母函数，并称式( 2 2 ) 为小波函数的容许性条件。 由以上小波的定义可知，小波函数具有以下两个特点【2 9 】： 第一是“小 ：它们在时域都具有紧支集或近似紧支集。原则上讲，任何满足可容许 性条件的r ( 尺) 空间的函数都可作为小波母函数。但一般情况下，常常选取紧支集或近似 紧支集的( 具有时域的局部性) 具有正规性的( 具有频域的局部性) 实数或复数函数作为小 波母函数，以使小波母函数在实频域都具有较好的局部特性。 第二是“波动性”：由于小波母函数满足可容许性条件，则必有汐( 缈) 1 。：。= 0 ，也即直 流分量为零，由此判定小波必具有j 下负交替的波动性。用傅里叶分析与小波作对比，傅里 叶分析所用的正弦波在时间上没有限制，从负无穷到正无穷，但小波倾向于不规则与不对 称的波形；傅里叶分析是将信号分解成一系列不同频率的正弦波的叠加，同样小波分析是 将信号分解成一系列小波函数的叠加，而这些小波函数都是由一个母小波函数经过平移与 尺度伸缩得来的。从直观上说，用不规则的小波函数来逼近尖锐变化的信号显然要比光滑 的正弦曲线要好，也更容易获取信号的局部特性。 武汉科技大学硕士毕业论文第9 页 2 2 连续小波变换 将任意r ( 尺) 空间中的函数厂( f ) 在小波基下展开，称这种展开为函数( f ) 的连续小波 变换，其表达式为： 嘿( 口，巾( 巾) ) = 去少( 等卜 ( 2 - 3 ) 满足容许性条件式( 2 2 ) ，其中口，f r 且a 0 分别为伸缩和平移的参数( 也称频率参数a 和 时间参数f ) 。 由以1 - - _ 定义，可以看出小波变换和傅里叶变换一样，也是一种积分变换，喝( 口，r ) 为 小波变换系数。但是与傅里叶变换不同的是，小波基具有尺度口和平移f 两个参数，所以 函数一进行小波变换，就意味着将一个时间函数投影到二维的时间一尺度相平面上，这样 有利于提取信号函数的某些本质特征。 若采用的小波满足“容许性 条件，则连续小波变换存在着逆变换，逆变换公式为： 巾) = 石1 土了d ae 吗( 叩) 虬川d r = 丢1 土7 d ae 毗一去缈( 净 q 4 在小波变换过程中，所采用的小波必须满足容许条件，反变换才存在，同时因为 汐( 缈) l 。= e 少( fe - j o t 出i 。= o ，即痧( o ) = o ，则“容许性 条件在y ( f ) r ( 尺) 下可以等 价地表示为： e 沙( f ) 出= o 分析上式可知，能用做基本小波( f ) 的函数至少必须满足i t ( 彩= o ) = 0 或 j ( f ) 出= o ，即y ( 国) 必须具有带通性质，且( f ) 必是正负交替的振荡波形，因此所对应 的图形一定上下波动，函数值正负相间，均值为0 ，这就是称为“小波 的原因。另外， 当小波函数用于开窗函数时，要求非零值尽可能集中在一个较小的区域内( 紧支集) ，也就 是小波函数具有能量高度集中的性质，小波函数的表现形式为一段主要集中在某个区域内 的波动函数。 另外，对基本小波的要求不仅要满足容许条件，而且要对( f ) 施加所谓的“消失矩条 件 ，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于去噪和数据 压缩a 因此，要求沙( f ) 的前以阶原点矩为0 ，即 f t r l l l ( t ) d t = o p = 0 一n - 1( 2 5 ) 式( 2 5 ) 表明，y ( f ) 同任意，l 一1 阶多项式正交。我们称该小波函数具有以阶消失矩。 上述要求在频域内表示就是：沙( 国) 在缈= 0 处有高阶零点( 一阶零点就是容许条件) ， 第l o 页武汉科技大学硕士毕业论文 即 妙( 国) = ( 一切) “( 缈) o ( 国= 0 ) 0 ( 2 - 6 ) 式( 2 5 ) 和( 2 6 ) 就是消失矩条件。 除以上要求外，为了减小重构误差对人眼的影响，在量化或者舍入小波系数时，我们 必须尽量增大小波的光滑性或者连续可微性。这是因为人眼对“不规则 误差比“平滑 误差更加敏感，我们要强加“正规性 条件，一般来说，高的消失矩就等价于高的正规性。 从连续小波变换的定义可知小波变换是线性变换，同时由于小波变换的冗余性，连续 小波变换可以在信息无损的情况下进行离散化。连续小波变换对于理论分析具有重要的意 义，但实际应用中更多的用到的是离散小波变换。 2 3 离散小波变换 在实际应用中，为了方便地使用计算机进行分析、处理，信号s ( t ) 都要离散化为离散 时间序列。对于连续小波变换，其伸缩和平移参数口和f 也必须离散化，使之转化为离散 小波变换，记为d w t 。 从上节连续小波变换的定义我们知道，由于参数a 和f 是连续变化的，小波基函数 。，( t ) 具有很大的相关性，所以一维信号厂( f ) 做小波变换成二维的喝( 口，f ) 后，它的信 号是有冗余的，其冗余性体现在不同点的睨s ( a ，r ) 满足重建核方程。下面分析参数的变化 与缈盯( f ) 特性的关系【3 0 】： 令a = a l , r = ，则 厂( q ，f 。) = i r s ( ) 歹( o a t = 专 j c oe 吉睨厂( 口一虬r ( ，) 如如 瓦f i ( r ) 出 = j c oe 事( 口一l 专以) 歹吣q 出卜r 如 = j c oe 孝厂( 口，f ) ( 口，口i l 一沙如( 2 - 7 ) 其中，乃( 口，q ，f ，) = 7 1 上虬，( f ) y 电，f l ( f ) 出，称为再生核，式( 2 - 7 ) 称为重建核方程。 从上式可知，当虬，( t ) 与少唧1 ( t ) j 下交时，( 口，口。，f ，r ) = 0 ，即这时w 缈f ( a ，f ) 对 厂( 口。，z 1 ) “没有贡献，也就是在理想情况下，离散后的小波基函数，。( f ) 满足正交完 备条件，此时小波变换后的系数没有任何冗余度，这样大大地压缩了数据，并减少了计算 量，实现了小波变换的快速算法。 根据以上分析，只要对参数口和f 进行合适的离散化，就可以保持信息的不丢失，这 就是离散小波变换的核心思想1 3 1 1 。 武汉科技大学硕士毕业论文第1 1 页 ( 1 ) 尺度参数a 的离散化： 目前常用的方法是对尺度进行幂数级离散化，取a = a o 肼，a o 0 r m = 0 + 1 ，2 ，此时对 一， 一一 应的小波函数 a o2 缈ia o ( t - - l ) i ，j = o ，l ，2 。 ( 2 ) 位移参数f 的离散化：先考虑j = 0 的情况，取a = 2 0 = l 时，此时小波函数为 虬，( f ) = y ( ，一r ) ，通常对f 进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。为了不丢失信息，我 们要求采样间隔f 满足n y q u i s t 采样定理，即采样频率大于或等于该尺度下频率通带的二 倍。所以每当m 增加l ，尺度a 增加一倍，对应的频率减小一半，可见采样频率可以降低 一半而不致引起信息的丢失，也就是采样间隔增n - - 倍。因此在尺度j f 下，i 南z j z g t ( a o 吖t ) 的 宽度是少( f ) 的a 0 7 倍，因此采样间隔可以扩大a 。7 倍，下面是离散化后且不会损失信息的小 波函数，记为屹( t ) ： 口。孑i f ， ( t - k a o j ) = j 杪 - i t - 后 ，后z ( 2 - 8 ) 一维离散小波变换定义为： w z f ( a o j ，) = f ( t ) 屹风( f ) 扔j = 0 ，l ，2 ，七z ( 2 9 ) 口0 和应该选择的尽可能小，使得网格点尽可能密，这样才能保证信号重构的精度较 高。 在实际的应用中，通常采用动态的采样网格，这样可使小波变换具有“变焦距 的功 能，最常用的是二进制的动态采样网格【3 2 1 ，即取a o = 2 和r o = 1 ，这相当于对连续小波尺度参 数a 进行离散化，而平移参数f 仍然连续不被离散。此时每个网格点对应的尺度为2 ，平 移为2 ，k ，得到相应的小波为： ， 竹，。( t ) = 22 y ( 2 t k ) ，k z ( 2 - l o ) 该小波称为二进小波( d y a d i cw a v e l e t ) 。二进小波介于连续小波和离散小波之间，由于 它只是对尺度参数进行离散化，在时间域上的平移量仍保持着连续变化，所以二进小波变 换具有连续小波变换的时移共变性，这个特点是正交离散小波所不具有的。因此二进小波 对信号的分析具有变焦距的作用，如果想进一步观看信号更小的细节，只需要增加放大倍 数，即减小值：反之，如果想了解信号更粗犷的内容，只需减小放大倍数，既增加j 值。 这也是小波被称为数学显微镜的主要原因，因此它在奇异性检测、图像处理方面都十分有 用。二进小波必须满足小波母函数的容许性条件，才能作为基本小波，同时二进小波的信 息量是冗余的，也就是二进变换系数之间具有一定的相关性，和前面介绍的连续小波和离 散小波变换系数一样，二进小波变换系数之间的关系满足重建核方程。 2 4 多分辨率分析 前面提到，二进小波的信息量仍然是冗余的，为了减小它的冗余量，直至得到一组正 第1 2 页武汉科技大学硕士毕业论文 交基，也就是正交小波基。m a l l a t 提出的多分辨率分析完美的解决了以上这个问题，实现 了正交小波基的统一构造。同时，m a l l a t 在这一框架下给出了信号和图像分解为不同频率 通道的算法及其重构算法，即完成了正交小波变换及其重构的数字算法的实现【3 3 铘】。因此 多分辨分析在正交小波变换理论中具有非常重要的地位。 多分辨率分析( m r a ，m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ) ，又称为多尺度分析，是建立在函数 空间概念上的理论。m r a 不仅为正交小波基的构造提供了一种简单的方法，而且为正交 小波变换的快速算法提供了理论的依据，其思想又同多采样滤波器组不谋而合，使我们又 可将小波变换同数字滤波器的理论结合起来。 图2 1 给出了三层多分辨分析的基本结构，在该结构中，分解关系为： s = 4 + d l + 易+ d 3 图2 1 三层多分辨率分析树