（凝聚态物理专业论文）电阻电容分路的约瑟夫森结中的混沌研究.pdf

摘要约瑟夫森结是一种典型的弱连接超导体，具有高度非线性，如非线性的，一矿关系、混沌等特性。约瑟夫森结具有广泛应用价值，可用于军事、医学、通讯、计算机等许多领域。并且开拓了一个新的超导应用领域一超导量子电子学。本文首先概述了混沌的基本知识、混沌控制的理论方法、约瑟夫森结的基本知识及应用。然后数值研究了电阻电容分路的约瑟夫森结的混沌特性，给出分岔图、吸引子及李指数，分析了进入混沌的方式，找到了系统处于不同动力学状态的参数区间；然后对混沌状态进行控制，使其进入稳定的周期状态，并对控制结果作了分析。关键词：约瑟夫森结混沌混沌控制数值模拟吸引子a b s t r a c tj o s e p h s o nj u n c t i o ni so n ek i n do ft y p i c a lw e a kl i n ks u p e r c o n d u c t o r s ，a n dh a sh i g hn o n - l i n e a rc h a r a c t e r i s t i c s ，s u c ha st h en o n l i n e a r 一vr e l a t i o n s h i p ，c h a o t i cp r o p e r t ya n ds oo n j o s e p h s o nj u n c t i o nh a sw i d ea p p l i c a t i o nv a l u e s ，a n dh a sb e e nu s e di nm a n yf i e l d s ，s u c ha sm i l i t a r y ，m e d i c i n e ，c o m m u n i c a t i o nt e c h n o l o g y ，a sw e l la sc o m p u t e rs c i e n c e m o r e o v e ri th a se x p l o i t e dan e ws u p e r c o n d u c t i v i t ya p p l i c a t i o na r e a s u p e r c o n d u c t i v eq u a n t u me l e c t r o n i c s t h i st r e a t i s ef i r s t l yi n t r o d u c e sc h a o t i cb a s i ck n o w l e d g e ，t h e o r ym e t h o d so fc h a o sc o n t r o l ，j o s e p h s o nj u n c t i o nk n o w l e d g ea n di t sa p p l i c a t i o n s t h e nc h a o sc h a r a c t e r i s t i c so fr e s i s t i v e - c a p a c i t i v e - - s h u n t e dj o s e p h s o n ( r c s j ) j u n c t i o na r em a i n l yi n v e s t i g a t e dn u m e r i c a l l y t h eb i f u r c a t i o nd i a g r a m ，a t t r a c t o ra n dl ea r ep r e s e n t e d ；t h er o u t eo fe n t e r i n gc h a o si sa n a l y z e d ；t h ep a r a m e t e rr a n g e sf o rd i f f e r e n td y n a m i c a ls t a t ea r ef o u n d t h ec h a o t i cs t a t ei sc o n t r o l l e de n t e r i n gt os t a b l ep e r i o d i cs t a t e ，a n dt h ec o n t r o lr e s u l ti sa n a l y z e d k e yw o r d s ：j o s e p h s o nj u n c t i o n sc h a o s c h a o sc o n t r o ln u m e r i c a ls i m u l a t i o na t t r a c t o r长春理工大学硕士学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的硕士学位论文，电阻电容分路的约瑟夫森结中的混沌研究是本人在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。作者签名：主生丝塑玺翊年三月塑日长春理工大学学位论文版权使用授权书本学位论文作者及指导教师完全了解“长春理工大学硕士、博士学位论文版权使用规定”，同意长春理工大学保留并向中国科学信息研究所、中国优秀博硕士学位论文全文数据库和c n k i 系列数据库及其它国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权长春理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。作者签名：避型盏垒皇年三月垫日指导导师虢堡垒塑垒磐互月纽日1 1 引言第一章绪论混沌是非线性系统最典型的行为【l ，2 j ，混沌的发现被著名物理学家福克( j f o r d ) 称为“是2 0 世纪物理学的第三次革命”。非线性现象广泛地存在于物理、化学、生命、社会、经济等各个领域，研究非线性现象及其规律的学科是非线性科学，非线性科学目前有六个主要研究领域，即混沌、分形、模式形成、孤立子、元胞自动机和复杂系统，混沌论被视为一种崭新的方法论，将成为人们认识、改造客观世界的新武器，所以混沌是当今世界瞩目的前沿课题和学术热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性，混沌动力学已经发展成为一门具有明确的研究对象和独立的理论框架的新兴科学。一、混沌定义混沌是确定论系统的随机行为的总称，它的根源在于非线性的相互作用。混沌不是混乱，它不同于平衡态，是一种序，是貌似无序的序。自然界中最常见的运动形态，往往既不是完全确定的，也不是完全随机的，而是介于两者之间，这就是研究确定论系统中随机行为的重要意义所在。要清晰地给混沌下定义，还要讨论确定的系统对初值的细微变化的依赖情况。有三种情况：( 1 ) 系统对初值的不敏感依赖，这样的系统是确定论系统。确定论系统的初值若改变很小，其结果的变化也很小，即观测的两次运动无差别。也就是说：“初值相同，则运动相同 ，单摆属于这种情况。牛顿力学常讨论这种确定论系统。因而形成了经典的确定论观念( 即只要知道初始条件就能确定以后任意时刻的状态) 。( 2 ) 系统对初值的敏感依赖，这样的系统是混沌系统。某些确定论系统的初值稍稍变化，经过一段时间后，差别却明显表现出来，测量出“运动各异 。在此情况下，以实验观察系统的运动是不可重复、不可预测的，表现出“随机性”。这就是混沌运动。( 3 ) 系统对初值完全的不依赖，这样的系统是非确定论系统，即随机系统，就是初值一点不影响以后的行为。对初值不敏感依赖的系统，可以是线性的也可以是非线性的。但对初值敏感依赖的系统必须是非线性的。确定论系统的随机性是因为非线性所致。由于混沌系统的奇异性和复杂性至今尚未被人们彻底了解，因此，迄今为止，学者们对混沌尚无一个统一的定义。l i y o r k e 3 0 】定义是影响较大的混沌的数学定义，它是从区间映射出发进行定义的，该定义可描述如下。l i y o r k e 定理：设厂( x ) 是，b 】上的连续自映射，若f ( x ) 有3 周期点，则对任何正整数玑厂( x ) 有刀周期点。混沌定义( l i y o r k e ) ：区间i 上的连续自映射厂( x ) ，如果满足下面的条件，便可确定它有混沌现象：( 1 ) 厂的周期点的周期无上界；( 2 ) 闭区间，上存在不可数子集s ，满足( i ) 对任：意x ，y s ，x y 时，l i m i n f l f ”( x ) 一f ”( y ) l 0月( i i ) 对任意x ，y s ，l i m i n f l f ”( x ) 一f ”( y ) i = 0月- - - + a o( i i i ) 对任意x s 和厂的任意周期点y ，有! i m s u p l f ”( x ) - f ”( y ) i 0此定义中，前两个极限说明子集的点x ，y s 相当分散而又相当集中，第三个极限说明子集不断趋近于任意周期点。根据上述定理和定义，对闭区间，上的连续函数厂( x ) ，如果存在一个周期为3 的周期点时，就一定存在任何正整数的周期点，即一定出现混沌现象。用李天岩的话来说，只要有周期3 ，就“乱七八糟”的，什么周期都有。该定义准确地刻画了混沌运动地几个重要特征1 6 】：( 1 ) 存在可数无穷多个稳定的周期轨道；( 2 ) 存在不可数无穷多个稳定的非周期轨道；( 3 ) 至少存在一个不稳定的非周期轨道。混沌现象的发现以及基于上述定义，使人们认识到客观事物的运动不仅是定常、周期或准周期的运动，而且还存在着一种具有更为普遍的意义的形式，即无序的混沌【7 】。正是有了混沌现象，人们发现，在确定论和概率论这两套体系的描述之间存在着由此及彼的桥梁。混沌的发现还使人们认识到，像大气、海洋这样的耗散系统是一个对初始条件极为敏感的系统，即使初始条件差别微小的两种状态，那么最终也会导致结果的很大差异，甚至两种结果变得毫无关系，这就是所谓的非线性确定性系统的长期不可预测性。混沌概念的提出，还使得人们能够将许多复杂现象看作是有目的、有结构的行为，而不再是某种外来的偶然性行为。除此之外，混沌还丰富了人们对远离平衡态现象的认识。物理系统在远离平衡条件下，既可通过突变进入更为有序和对称的状态，也可能经过突变进入混沌状态。然而混沌并不是简单的“无序”或“混乱”。而是没有明显的周期和对称，但它却具备了丰富的内部层次的“有序”状态。一般说来，在自然界中，混沌是更为普遍的现象。大家知道，在经典力学中，不论耗散系统还是保守系统的运动，都可用相空间中的轨道来表示【8 】。若运动方程不含随机项，它描述一种确定性的运动，混沌运动是确定论系统中局限于有限相空间的轨道高度不稳定的运动。这种轨道高度不稳定，是指随着时间的发展，相邻的相空间的轨道之间的距离会指数地增大。正是这种不稳定性，2从而使系统的长时间行为会显示出某种混乱性。对时间的或相空间的平均将呈现典型的随机行为。二、混沌发展历史1 9 6 3 年洛伦兹( l o r e n ze ) 在著名论文“决定论非周期流 中讨论了天气预报的困难和大气湍流现象，给出了三个变量的自治方程，即著名的洛伦兹方程【9 】。方程中某参数大于某固定值时其解为非周期的，看起来很混乱。这便是在耗散系统中，一个确定的方程却能导出混沌解的第一个实例，从而揭开了对混沌现象深入研究的序幕。1 9 7 1 年法国物理学家茹厄勒( r u e l ld ) 和荷兰数学家塔肯斯( t a k e n sf ) 为耗散系统引入了“奇怪吸引子”( s t r a n g ea t t r a c t o r ) 这一概念，提出了一个新的湍流发生机制，客观存在揭示湍流的本厨1 0 1 ，至今人们仍不完全清楚，但是，混沌现象的发现，对揭示湍流有很大启发。1 9 7 5 年美籍华人学者李天岩和美国数学家约克( y o r k ej ) 在美国数学月进发表了题为“周期3 意味着混沌的著名文章【1 1 1 ，深刻地揭示了从有序到混沌的演化过程。文章标题中的“混沌 一词便在现代意义下正式出现在科学术语之中。1 9 7 6 年美国数学生态学家梅( m a yr ) 在美国自然杂志上发表的题为：具有极复杂的动力学的简单数学模型：文章中指出【1 2 】，在生态学中一些非常简单的确定性的数学模型却能产生看似随机的行为。如人口( 或虫口) 方程，即著名的逻辑斯蒂( l o g i s t i c )模型。该模型看来似乎很简单，并且是确定性的，但参数在一定范围变化时，它却具有极为复杂的动力学行为，其中包括了分岔和混沌，从而向人们表明了混沌理论的惊人信息。1 9 7 8 年费根鲍姆( f e i g e n b a u mm ) 1 3 , 1 4 等人在梅的基础上独立地发现了倍周期分岔现象中的标度性和普适常数，从而使混沌在现代科学中具有坚实的理论基础。2 0 世纪8 0 年代以来，人们着重研究系统如何从有序进入新的混沌及其混沌的性质和特点。除此之外，借助于( 单) 多标度分形理论和符号动力学，还进一步对混沌结构进行了研究和理论上的总结。由于自然界中一些混沌现象的相继发现，通过计算机还可描绘各自的混沌图像，如美籍法国数学家曼德布罗特( m a n d e l b r o tbb ) 于1 9 8 0 年用计算机绘出世界上第一张m a n d e l b r o t 集的混沌图像。对于这种动力学特性的结构，分数维虽能描述自然输送中很多现象在几何上的不规则性，但是，由于它不能完全揭示出产生的相应结构的动力学特性，故g r a s s b e rp 等人于1 9 8 7 年提出重构动力系统的理论方法【l5 1 。通过由时间序列中提取分数维，l y a p u n o v 指数等混沌特征量，从而使得混沌理论进入到实际应用阶段。进入9 0 年代，基于混沌运动是存在于自然界中的一种普遍运动形式。所以对混沌的研究不仅推动了其他学科的发展，而且其他学科的发展又促进了对混沌的深入研究。因此，混沌与其他学科相互交错，渗透，促进，综合发展，使得混沌不仅在生物学、数学、物理学、化学、电子学、信息科学、气象学、宇宙学、地质学，还在经济学、人脑科学，基至在音乐、美术、体育等多个领域中得到了广泛应用。在非线性电路系统中，混沌信号由于具有内在的随机行为，它的非周期性、连续宽带频谱、类似的噪声等特性很适用于保密通信系统。特别是混沌同步的发现，使得以混沌理论为基础的保密通信领域步入了实际的应用。三、混沌特征的描述混沌运动，只出现在非线性动力学系统中，它是既普遍又极复杂的现象，它的定常状态不是通常概念下的确定性运动的三种状态：静止( 平衡) 、周期运动和准周期运动，而是一种始终局限在有限区域且轨道永不重复、性态复杂的运动。它有时被描述为具有无穷大周期的周期运动或貌似随机的运动等。与其他复杂现象相区别，混沌运动有着自己独有的特征【l 引，主要有：( 1 ) 有界性。混沌是有界的，它的运动轨线始终局限于一个确定的区域，这个区域称为混沌吸引域。无论混沌系统内部多么不稳定，它的轨线都不会走出混沌吸引域，所以从整体上来说混沌系统是稳定的。( 2 ) 遍历性。混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的，即在有限时间内混沌轨道经过混沌区内每一个状态点。( 3 ) 内随机性。一定条件下，如果系统的某个状态可能出现，也可能不出现，该系统被认为具有随机性。通常人们习惯于把随机性的根源归结为来自系统外部的或某些尚不清楚的原因的干扰作用，即外随机性，认为如果一个确定性系统( 能用确定的微分方程表示) ，在不受外界干扰的情况下，其运动状态也应当是确定的，即是可以预测的。但是对某些完全确定的系统进行数学模拟时发现，它们能自发地产生出随机性来。天体力学中的平面三体问题就是一个著名的例子。这些发现是令人惊奇的，在原来完全确定性的系统内部居然产生了随机性，我们称它为内随机性。混沌常被称为自发混沌、确定性的随机性等，它所强调的就是混沌现象产生的根源在系统自身，而不在外部的影响。内随机性的另一方面是局部不稳定性，一般来说，产生混沌的系统具有内在不稳定性而整体稳定性。混沌态与有序态的不同之处在于，它不仅具有整体稳定性，还有局部不稳定性，所谓局部不稳定性是指系统运动的某些方面( 如某些维度上) 的行为强烈地依赖于初始条件。( 4 ) 分维性。混沌态具有分维性质，但其非整数维不是用来描述系统的几何外形，而是用来描述系统运动轨线在相空间中的行为特征。分维性表示混沌运动状态具有多叶、多层结构，且叶层越分越细，表现为无限层次的自相似结构。混沌系统在相空间中的运动轨线，在某个有限区域内经过无限次折叠，便构成了一个有无穷层次的自相似结构一奇怪吸引子。( 5 ) 普适性。混沌是一种无周期的“高级 有序运动。在研究混沌的过程中，可以4发现某种标度的不变性，代替了通常的空间和时间周期性；所谓普适性，是指在趋向混沌时所表现出来的共同特征，它不依具体的系统方程或参数而变。具体体现为几个混沌普适常数，如著名的f e i g e n b a u m 常数等。普适性是混沌内在规律性的一种体现。( 6 ) 统计特征，正的l y a p u n o v 指数以及连续功率谱等。l y a p u n o v 指数是对非线性映射产生的运动轨道相互间趋近或分离的整体效果进行的定量刻画。对于非线性映射而言，l y a p u n o v 指数表示n 维相空间中运动轨道沿各基向量的平均指数发散率，当l y a p u n o v 指数小于零时，轨道间的距离按指数消失，系统运动状态对应于周期运动或不动点：当l y a p u n o v 指数大于零时，则在初始状态相邻的轨道将按指数分离，系统运动对应于混沌状态：当l y a p u n o v 指数等于零时，各轨道间距离不变，迭代产生的点对应分岔点( 即周期加倍的位置) 。对混沌系统而言，正的l y a p u n o v 指数表明轨线在每个局部都是不稳定的，相邻轨道按指数分离。但是由吸引子的有界性，轨道不能分离到无限远处，所以混沌轨道只能在一个局限区域内反复折叠，但又永远互不相交，形成了混沌吸引子的特殊结构。同时正的l y a p u n o v 指数也表示相邻点信息量的丢失，其值越大，信息量丢失越严重，混沌程度越高。混沌现象很复杂，但不至于无序，根据不同科技工作者的需要，现在常用的描述混沌特征的方法有：吸引子，功率谱【1 9 】，李雅谱诺夫特征指数，分维。( 1 ) 吸引子吸引子存在于耗散系统中，通常人们把与外界有物质和能量交换的、开放的、远离平衡态的系统称之为耗散系统。下面考虑由个一阶微分方程面d x = ，( 力( 1 1 )描述的运动，式中x = ( x l ，而，x n ) ，f 0 ) 不明显地依赖于f 。以( x i ，x 2 ，h ) 为坐标轴构成了系统的相空间( , p h a s es p a c e ) ，相空间的一个点代表系统的一个状态。通过相空间的一点有唯一的一条积分曲线。一组代表点的运动表现为相空间中的流。大家知道，守恒系统的相空间体积在运动过程中是保持不变的，因而不存在吸引子。而耗散系统则不同，其相空间体积在运动过程中是不断收缩的，即相空间的体积元( d y ) = d x l d x 2 妣的变化率应满足i i d ( d y ) ：壹0 粤：掣( 1 2 )( d y ) d t 、7智叙，魂午苏，、。( 1 2 ) 式也可看作是耗散系统的定义。通常( 1 2 ) 式不一定在相空间的每一点都成立，只要y o f , 苏。对相空间有关区域的体积积分小于零即可。于是( 1 2 ) 式的特殊情况可表为0 f , 0 x ，= 常数 0：= l 三芝f = l 吾c 。s _ ，f = g c o s ( y 。, ，一-c o s ( y l 。) 为正，r c o s ( y i ，) 二时，a 2 0 ，即定态解是稳定的；3 3r c s j j 的混沌特性研究3 3 1 分岔图、吸引子分析一、以夕为控制参数我们取：o 5 9 2 0 ，同时固定其他参数值：毛= 0 ，乇= 1 5 3 2 ，q = 0 2 ，数值求解方程( 3 2 ) ，得到结电压u 随9 变化的分岔图，如图3 2 所示。g图3 2 系统汐随参数夕变化的分岔图由图3 2 可见，当9 值较小，即o 5 9 0 6 时，系统处于混沌状态，并且在夕= 0 5 6附近有周期窗口；随9 值的增加，当0 6 夕 o 。6 4 时，系统处于7 周期运动状态；当0 6 4 9 0 7 4 时，系统又是混沌状态，且在夕= o 7 0 附近有周期窗口；当o 7 4 9 0 9 0 时，系统处于5 周期运动状态；当0 9 0 9 1 0 2 时，系统处于混沌状态，并在9 = 0 9 6 附近有周期窗口；当1 0 2 9 1 8 时，系统是3 周期运动状态；当1 8 夕 2 ，0 时，系统是l 周期运动状态。总体上看，在我们选择的参数范围内，随夕值减小系统以阵发方式进入混沌态，并且内部有周期窗口出现。根据图3 2 ，分别选g 为1 8 5 ，1 5 3 ，o 9 8 ，o 8 5 ，其对应的吸引子( u - s i n y )及时序( u f ) 如图3 3 3 4 所示。根据时序图中u 幅值随时间f 的变化规律能直观看出系统是混沌运动还是周期运动，也能看出是几周期运动。由图3 3 - 3 4 可见参数g取上述4 个值时，系统相应地分别处于l 周期状态、3 周期状态、混沌状态、5 周期状态。可见图3 3 3 4 和图3 2 的结果一致，这就证明了图3 2 的重要性及其结果的正确性。也就是说只要有了分岔图，我们就能从中发现参数g 取不同值时系统的动力学状态及进入混沌的方式。由图3 3 和图3 4 中的( a ) ( c ) 可以看到分岔级联的过程，即随阻尼参数g 的减小系统由l 周期解( 1 周期运动) 进入3 周期解( 3 周期的运动) ，之后就进入混沌态，周期数逐渐增加，这称为分岔级联【3 4 1 。由图3 3 和图3 4 中的( b 卜( d ) 可以看到阵发性混沌( 也叫间歇性混沌) ，即系统由周期解直接进入混沌解，接着又回到周期解的似层状区域解现象，这就是间歇性混沌现象，它表示为：周期解混沌解一周期解。o 8o 6o 4o 20 03_ 0 2o 4o 6o 81o七50 oo 5s i m( a ) = 1 8 5- 0- o 50 00 51 0劬唧( c ) = o 9 81 51 on 5o o3o 51 0- 1 510- 0 50 o0 51 o3 i n r图3 3 不同g 值时u - s i n y2 4( d ) = 0 。8 53o 8o 6o 4o 2o o3_ o 2- 0 4旬6820- 12 5 03 0 03 5 00( a ) = 1 8 55 0 05 5 0( c ) ：0 9 8以岛为控制参数1510t0 532012 5 03 0 03 5 04 0 04 5 0 05 t( b ) = 1 5 35 2 5 03 0 0婀图3 4 不同g 值时u f 图我们取：0 8 乞q 0 ，同时固定其他参数柏o4 5 05 0 05 5 0t( d ) = o 8 5：g = 1 0 ，屯= o 6 5 ，q = 0 5 ，数值求解方程( 3 2 ) ，得到u 随乙变化的分岔图。其结果如图3 5 所示。2 5o 81 o1 21 41 61 82 0地图3 5 系统u 随变化的分岔图由图3 5 可见，在屯较小，即o 8 1 1 5 时，系统处于1 周期运动状态；随厶增加，当其等于1 1 5 时，系统进入2 周期状态，接着是4 周期状态、6 周期状态、4 周期状态；当1 2 4 i a 1 4 3 时，系统又处于2 周期状态；当1 4 3 i a 1 6 时，系统处于内部有周期窗1 2 1 得混沌状态；当1 6 i a 1 6 8 时，系统是3 周期运动状态；当1 6 8 厶 2 0 时，系统处于混沌状态，且内部有周期窗1 2 1 出现。由于前面根据图3 2 3 4 证明了分岔图的重要性及其结果的正确性，所以根据图3 5 ，可直接给出如下的结果：由图3 5 看到了不完全级联的过程，即随直流电流的增加，系统由l 周期解( 1 个周期的运动) 进入到2 ，4 ，6 周期解( 多周期的运动) ，然后又返回到4 ，2 周期解，之后才进入混沌状态，而没有直接进入混沌，这称为不完全级联p 5 1 ；在选择的参数范围内，系统随l 的增加以阵发方式进入混沌状态，且内部有周期窗口。3 3 2 李指数分析由混沌动力学理论可知，l y a p u n o v 指数是系统轨道长期稳定性的一种量度，它可以定量地描述系统相空间中相邻两点相互分离或靠近的快慢，或奇怪吸引子中轨道分离或靠近的快慢，是表征系统运动特征的物理量。正的l y a p u n o v 指数表示系统变量摄动的加剧，也就是相空间中轨道的发散，即混沌。负的l y a p u n o v 指数表示系统变量摄o6284o，32211l巷g动的衰减，即相空间中轨道的靠近。对于一个n 维系统，有n 个变量，就有n 个l y a p u n o v指数，它们对应描述轨道沿每个变量方向的收缩或扩张的快慢。通常将所有的l y a p u n o v指数的值从大到小排列成l y a p u n o v 指数谱。所有的l y a p u n o v 指数来共同刻画系统的稳定性。对任何系统来说，只要存在周期吸引子，则所有的l y a p u n o v 指数就都为负的。对于混沌吸引子，必须有正的l y a p u n o v 指数。通常把只有一个正的l y a p u n o v 指数的吸引子称为混沌吸引子，具有两个以上正的l y a p u n o v 指数的吸引子称为超混沌吸引子，也就是说系统处于超混沌状态。因此，只要计算得到系统的l y a p u n o v 指数谱，就能判断系统处于什么样的状态。首先我们用图3 2 的参数值，数值求解归一化方程组( 3 2 ) ，得到系统的最大李指数随参数g 变化的情况，由图3 6 可见在g 的取值范围( 0 5 ，2 o ) 内存在8 个区间使系统的最大李指数为负值，即o 5 9 4 g 0 6 4 8 ，0 6 4 9 g 0 6 7 0 ，0 6 8 6 g 0 7 13 ，o 7 4 g o 9 0 7 ，1 0 2 g 2 0 和g = o 5 7 ，0 9 3 7 ，0 9 6 8 附近。表示只要g 的取值处于这8个区间，系统就处于周期状态，而g 取其他值时，系统则处于混沌状态，这里的结论和图3 2 的一致。我们根据最大李指数的负或正可以判断系统是处于周期状态还是混沌状态，但无法进一步判断系统是处于几周期状态，通过分岔图能进一步判断系统是处于几周期状态，然而用最大李指数来判断系统是处于周期状态还是混沌状态时能较清晰地找到控制参数的边界值，所以系统的分岔图和最大李指数达到了互补的效果。葛矗ea 暑口暑 口 z l 声 暑z 口g图3 6 系统的最大李指数入。随g 变化然后我们用图3 5 的参数值，数值求解归一化方程( 3 2 ) ，得到系统的最大李指数随直流偏置电流艺变化的情况( 如图3 7 ) ，对该图放大后可见在艺的取值范围( o 8 ，2 o ) 内存在3 个区间使系统的最大李指数为正值，即1 4 3 i d 1 4 4 5 ，1 5 0 i d 1 5 1 ，和屯= 1 5 5 8 附近，当屯取1 6 8 i d o 0 3 2 时，被控制的系统处于周期状态。口= o 0 6时的5 周期吸引子及时序图如图3 9 所示，同时控制前的混沌吸引子及时序图如图3 1 0所示。u=砂万0 o oo 0 20 0 40 0 6o 0 8o 1 0a 【图3 8 控制后系统u 随q 变化的分岔图( 屯2 1 5 ，g = 1 0 ，i o = o 6 5 ，q = 0 5 )o lo，0 50 ，00 5h t( a )( ”图3 9 控制后的5 周期吸引子及时序图( 口- 0 0 6 其他参数同图3 8 )4 5 0642o86zzzzll荟gl 匦，l 炒( a )图31 0 控制前得混沌吸引子及时序图( 0 = 1 5 0 其他参数同幽3 5然后以作为控制参数，取= o ，a = oi ，m = m q ，0 = 15 0 ，其他参数的值和罔3 5相同，用这些参数值求解方程组( 37 ) ，得到最大李指数随m 变化的情况，见图3 1 1 。闰3 i i 最大李指数 m a x 随m 变化由图3 1 1 可见：m 在( 0 ，10 ) 范围内有1 0 个区b j ，即：0 1 1 3 m 0 13 6 ，0 1 7 m o2 1 ，0 2 9 m 03 l ，o3 6 m 06 8 ，o7 m o7 8 ，o9 3 m 10 和m = o0 3 ，0 0 6 ，08 ，0 9 附近，最大李指数为负值表明此时系统被控制到周期状态，我们根据上图选择m = o4 ，0 5 ，1 0 三个值，分别求解方程( 37 ) ，分别得到1 3 周期吸引子、5 周期吸引子、5 周期吸引子，这两个5 周期吸引子及时序图和图3 9 相似；1 3 周期吸引子及时序图如图3 1 2“o ?所示：s i n t( a )图3 1 2 控制后的1 3 周期吸引子及时序图最后我们也研究了初位相作为控制参数时的情况，发现系统也可以被控制到周期状态，例如：初位相= 2 0 ，口= 0 2 ，垅= 1 3 时，原来的混沌状态能被控制进入2 周期状态，其吸引子及时间序列如图3 1 3 。i ，( a )图3 1 3 控制后2 周期吸引子及时序图( = 2 0 ，口= 0 2 ，m = 1 3 )可见我们得到的周期吸引子图3 9 ( a ) 、3 1 2 ( a ) 和3 1 3 ( a ) 等都是镶嵌在原混沌吸引子 图3 1 0 ( a ) 中的不稳定轨道，原因在于我们用的是弱周期扰动方法，该方法不会产生新的轨道，而是使混沌吸引子中的不稳定轨道被稳定了，原来混沌的状态被控制进入稳定的周期状态。3 2第四章结论与展望本文通过数值研究给出了：结电压u 随阻尼参数g 及偏置直流电流屯的分岔图和相关的吸引子、时序图以及最大李指数。在所选的参数范围内找到了出现混沌的参数区间，分析了进入混沌的方式，该系统随阻尼参数g 的减小、偏置直流电流0 的增加都是以阵发方式进入混沌，但分别采用分岔级联、不完全级联的道路。通过外加弱周期扰动的方法，实现了对混沌状态的稳定控制，使其进入到稳定的周期状态，并对结果进行了分析：获得的周期轨道都是镶嵌在原混沌吸引子中的不稳定轨道，原因在于我们用的是弱周期扰动方法，该方法不会产生新的轨道，而是使混沌吸引子中的不稳定轨道被稳定了，原来混沌的状态被控制进入稳定的周期状态。约瑟夫森效应已成为当代电子技术极为关注的课题之一。迄今为止，它已经在国防、医学、科学研究和工业等各方面都得到了应用，在电压标准、弱磁场探测等方面的发展则更加迅速。现在，在计算机领域，利用该效应制成的元件已经被作为逻辑及记忆元件使用。人们对它的研究正在逐步深入。由于对约瑟夫森结的研究受超导器件和低温实验条件的制约，所以采用数值模拟对约瑟夫森结的特性进行研究是一种简便而又有效的方法。同时约瑟夫森器件作为高度非线性系统，已用来从实验上研究和观测混沌现象，随着超导技术的进一步发展，约瑟夫森效应的应用将更加广泛。本文中的研究结果将对约瑟夫森效应的应用起到一定的理论指导的作用。参考文献 1 王兴元复杂非线性系统中的混沌电子工业f f 版社2 0 0 3 2 刘式达，梁福明，刘式适等自然科学中的混沌和分彤北京人学出版社2 0 0 3 3 3 黄润生混沌及其应用武汉大学出版社2 0 0 0 4 吕金虎，陆君安，陈上华混沌时间序列分析及其府用武汉人学m 版社2 0 0 2 5 关新平，范正平，陈彩莲等混沌控制及其在保密通信中的应用固防t 业i j 版社2 0 0 2 6 赵耿，方锦清现代信息安全与混沌保密通信心用研究的进展物理学进展2 0 0 3 ，2 3 ( 2 ) ：2 1 2 。2 5 5 7 陈关荣。吕金虎l o r e n z 系统族的动力学分析、控制与| j 步科学出版社2 0 0 3 8 p g r e s s b e r g e r ，g e n e r a l i z e dd i m e n s i o no fs t r a n g ea t t r a c t o r s j p h y s l e t t t 9 8 7 ，9 7 ( 2 ) ，1 2 4 1 3 0 9 e n l o r e n z d e t e r m i n i s t i cn o n p e r i o d i cf l o w j j a t o m s s c i 1 9 6 3 2 0 ( 1 ) ：4 4 5 1 1 0 d r u e l l e ，f t a k e n s 。o nt h en a t u r eo ft u b u l e n c d j c o m m u n m a t h p h y s 1 9 7 1 2 0 ( 1 ) ：4 8【1 1 t y l i ，j a y o r k e ，p e r i o dt h r e ei m p l i e sc h a o s j a m e r m a t h m o n t h l y 1 9 7 5 8 2 ( 2 ) ：2 0 3 - 2 0 8 1 2 3r m a y s i m p l em a t h e m a t i c a lm o d e i sw i t hv e r yc o m p l i c a t e dd y n a m i c s j n a t u r e ，1 9 7 6 2 6 1 ( 1 ) ：3 0 3 6 1 3 m j f e i g e n b a u m q u a n t i t a t i v eu n i v e r s a l i t yf o rac l a s so fn o n l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n s j j s t a t p h y s 1 9 7 8 ，1 9 ( i ) ：2 3 - 2 8 1 4 m j f e i g e n b a u m 。t h eu n i v e r s a lm e t r i cp r o p e r t i e so fn o n l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n s j s t a t p h y s 1 9 7 9 2 1 ( 6 ) ：4 1 2 - 4 2 0 1 5 3p g r e s s b e r g e r ，g e n e r a li z e dd i m e n s i o no fs t r a n g ea t t r a c t o r s j p h y s l e t t 1 9 8 7 ，9 7 ( 2 ) ，1 2 4 1 3 0 1 6 邹恩，李祥飞，陈建国混沌控制及其优化心用国防科技大学出版社2 0 0 2 1 7 刘秉正非线性动力学与混沌基础东北师范大学出版社1 9 9 4 1 8 刘秉正生命过程中的混沌东北大学 j 版社1 9 9 9 1 9 m j l e a m y ，0 g o t t l i e b ，n o n l i n e a rd y n a m i c so fa t a u ts t r i n gw i t hm a t e r i a ln o n l i n e a r i t i e s j j o u r n a lo fv i b r a t i o na n da c o u s t i c s ，2 0 0 1 ，1 2 3 ：5 3 6 0 2 0 o c t a v i om b i f u r c a t i n g ，c h a o t i ca n di n t e r m i t t e n ts o l u t i o n si nt h er f b i a s e dj o s e p h s o nj u n c t i o n j p h y s r e v b ，1 9 8 4 ，2 9 ：1 2 3 1 1 2 4 2 2 1 方锦清混沌控制及其应用前景科技导报1 9 9 4 ，2 3 ( 5 ) 2 2 w l d i t t o ，l ，m p e c o r a ，s c i e n t i f i ea m e r i c a n ，a u g u s t1 9 9 3 ，p 6 2 2 3 m i o g o z n f e k ，i e e et r a n s ，c i r c u i t ss y s t ，1 9 9 3 。4 0 ：6 9 3 2 4 p e c o r alm 。c a r r o l ltl s y n c h r o n i z a t i o ni nc h a o t i cs y s t e m s p h y s r e v l e t t ，1 9 9 0 ，6 4 ( 8 ) ：8 2 1 。8 2 4【2 5 l m p e c o r aa n dt l c a r r o l l ，p h y s r e v a ，1 9 9 1 ，4 4 ：2 3 7 4 2 6 e o t t ，c g r e b o g ia n dj a y o r k e ，p h y s r e v l e t t ，1 9 9 0 ，6 4 ：i1 9 6 2 7 方锦清非线性系统中混沌的控制与同步及其胞用前景( 一) 物理学进展，1 9 9 6 ，1 6 ( i ) ：卜1 2【2 8 s t e p h e nw i g g i n s i n t r o d u c t i o nt oa p p l i e dn o n li n e a rd y n a m i c a ls y s t e m sa n dc h a o s ，s p r i n g e r v e r l a gw o r l dp u b l i s h i n gc o r p n e wy o r k ，1 9 9 0 2 9 kp y r a g a s c o n t i n o u sc o n t r o lo fc h a o sb ys e l f - c o n t r o l l i n gf e e d b a c k j p h yr e va ，1 9 9 2 ，1 7 0 ( 6 ) ：4 2 1 4 2 8【3 0 j a c k s o nea e n t r a i n m e n ta n dm i g r a t i o nc o n t r o lo ft w o d i m e n s i o n a lm a p s 【j p h y s i c ad ，1 9 9 1 ，5 9 ：2 5 3 2 6 5 3 1 z h il i ，c h o n g z h a oh a n ，a n ds o n g j i a os h i ，“m o d i f i c a t i o nf o rs y n c h r o n i z a t i o no fr o s s l e ra n dc h e nc h a o t i cs y s t e m s j ，。p h y s i c sl e t t e r sa3 0 1 ( 2 0 0 2 ) 2 2 4 - 2 3 0 3 2 s i n h asc ，h e n r i c h sjt ，r a v i n d r ab ag e n e r a la p p r o a c hi nt h ed e s i n go fz c t i v ec o n t r o l l e r sf o rn o n l i n e a rs y s t e m se x h i b i t i n gc h a o sj i n tjb i f u r c a t i o na n dc h a o s 2 0 0 0 ，1 0 ( 1 ) ：1 6 5 1 7 8 3 3 薛月菊，冯汝鹏连续时间耦合系统中时窄混沌的白适应模糊拎制 j 物理学报，2 0 0 1 ，5 0 ( 3 ) ：4 4 0 4 4 4 3 4 裴文江，黄俊，刘文波，于盛林自适应延迟反馈拎制混沌 j 混沌控制理论与应用，1 9 9 9 ，1 6 ( 2 ) ：2 9 7 3 0 0 3 5 b r a i m a ny ，g o l d h i r a c hi t a m i n gc h a o s t i cd y n a m i c sw i t hw e a kp e r i o d i cp e r t u r b a t i o n p h y s r e w l e t t ，1 9 9 1 ，6 6 ，p p 2 5 4 5 2 5 4 9 3 6 f a n gj i a n - s h ue t a l a na n a l y t i c a ls t u d y f o rc o n t r o l l i n gc h a o si nd o f f i n go s c i l l a t o r w i t h w e a kp e r i o d i cp e r t u r b a t i o n c h i n p h y s l e t t 。2 0 0 1 ，1 8 ( 3 ) 。p p 3 3 4 3 3 6 3 7 王光瑞等混沌的控制、同步与利用北京：国防丁业出版社，2 0 0 1 3 8 ab e deh 。w a n gh ，c h e nrc s t a b i l i z a t i o no fp e r i o dd o u b li n gb i f u r c a t i o na n di m p l i c a t i o n sf o rc o n t r o lo fd y n a m i c a ls y s t e m s j p h y sd ，1 9 9 4 ，7 0 ：1 5 4 1 6 4 3 9 罗晓曙。用数字有限脉冲响应滤波器拎制混沌 j 物理学报，1 9 9 8 ，4 7 ( 7 ) ：i 0 7 8 1 0 8 3 4 0 王忠勇混沌系统的小波基控制 j 物理学报1 9 9 9 ，4 8 ( 2 ) ：2 0 6 2 1 2 4 1 赵思真，。赵思正，混沌蚓步及其在保密通信中的应用 j 通信保密，1 9 9 7 ，1 ：8 1 3c 4 2 王玖，仇洪冰，郑继禹混沌保密通信方法探讨 j 通信保密，1 9 9 7 ，1 ：3 - 8 4 3 胡岗，萧井华，郑志刚混沌控制i ：海：上海科技教育出版社，2 0 0 0 4 4 b a h u b e r m a n ，e ta l ，n o i s ep h e n o m e n ai nj o s e p h s o nj u n c t i o n s a p p l p h y s l e e t 1 9 8 0 ，3