（信号与信息处理专业论文）二维金属光栅的偏振控制及透射特性研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 亚波长一维金属光栅具有集成度高、偏振特性好、光谱较宽、透射率和消光比较 高等优点，在改进和取代传统光栅元件方面有很大的潜力，因而引起了广泛的研究兴 趣。基于亚波长纳米工艺技术的表面等离子( s p p ) 偏振态控制研究是传统偏振态研究的 一个突破，但是由于一维金属光栅表现出明显的双折射效应，使得这种光栅的应用范 围受到了限制。论文将一维光栅的等效介质理论( e m t ) 推广n - - 维亚波长结构，建立了 金属表面等离子偏振控制器模型，实现任意线偏振入射光的高透射。 首先，介绍了金属光栅结构基于麦克斯韦方程组的两种数值计算方法：时域有限 差分法( f d t d ) 和严格耦合波法( r c w a ) 。通过理论分析及仿真计算，分析了二维金属光 栅的结构参数设计问题，包括二维正方形金属光栅和二维矩形金属光栅在两个方向上 的周期、占空比、槽深、入射光波长对输出光偏振态及透射特性的影响。 其次，利用时域有限差分( f d t d ) 算法，对一种特定的二维矩形金属光栅结构进行 了分析，并对输出光偏振态和透射特性进行了仿真。在优化结构参数下，当入射光( 波 长为5 5 0 n m ) 垂直入射的线偏振角为3 0 0 时，仿真结果实现了由输入线偏振态到输出圆 偏振态的转换。 再次，参考二维矩形金属光栅在实现圆偏振输出时的结构参数，通过空间角调制 的方法，实现了对二维矩形金属光栅由输入线偏振到输出任意偏振态的控制。仿真结 果表明t 输出光的偏振态理论上可实现全庞加莱球覆盖，并具有较高的透射率。 最后，综合等效介质理论和表面等离子激元( s p p ) b l o c h 模型，对比分析了两种亚波 长光栅结构：二维矩形金属光栅和二维椭圆柱金属光栅。对比分析了两种结构的透射 率及其相位延迟与入射光波长及偏振角的关系，尤其是两种结构在实现1 4 波片功能对 应的透射特性。仿真结果表明，在入射光偏振角为7 5 0 时，此时二维矩形和椭圆柱金属 光栅的透射率分别为0 7 7 和o 6 7 ，表明二维矩形金属光栅比二维椭圆柱金属光栅在实 现i 4 波片的功能上具有更好的透射效果。对应5 5 0 n m - - 8 0 0 n m 的入射光波长，两种光 栅在各自允许的入射角范围内均表现了较为平坦的宽带透射特性。 提出的二维金属光栅结构在偏振及高透射等特殊功能的光子集成器件中具有广泛 的应用前景，包括光纤通信、光互联、数据存储和成像等领域。 关键词：表面等离子亚波长光学；偏振态转换；双折射效应；二维金属光栅；透射率； 波片 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a b s t r a c t o n e d i m e n s i o n a ls u b w a v e l e n g t hm e t a l l i cg r a t i n g sh a v eb e e nc o n s i d e r e da so n eo ft h e m o s tp r o m i s i n gw a y st oi m p r o v ea n dr e p l a c et h et r a d i t i o n a lg r a t i n gc o m p o n e n t sf o rt h e i r a d v a n t a g e so fh i g hi n t e g r a t i o n , e x c e l l e n tp o l a r i z a t i o np r o p e r t i e s ，、7 l ，i d es p e c t n m a ，a n dh i g h t r a n s m i t t a n c ea n de x t i n c t i o n t h u s ，t h ep l a s m o n i cg r a t i n g sh a v er e c e i v e dg r e a td e a lo fi n t e r e s t f r o mt h er e s e a r c h e r s s u r f a c ep l a s m o np o l a r i t o n s ( s p p s ) p o l a r i z a t i o nc o n t r o lb a s e do nt h e s u b w a v e l e n g t hn a n o m e t e rp r o c e s st e c h n o l o g y i sab r e a k t h r o u g ho f t h et r a d i t i o n a lp o l a r i z a t i o n s t a t er e s e a r c h h o w e v e r , t h eo n e d i m e n s i o n a ls u b w a v e l e n g t hm e t a l l i cg r a t i n g sa r el i m i t e di n t h ep o l a r i z a t i o na p p l i c a t i o nb e c a u s eo fi t sb i r e f r i n g e n e ee f f e c t i nt h i sp a p e r , b a s e do nt h e e q u i v a l e n tm e d i u mt h e o r y ( e m t ) o ft w o - d i m e n s i o n a ls u b w a v e l e n g t hg r a t i n gw h i c hi s p r o m o t e df r o mt h a to fo n e - d i m e n s i o n a ls t r u c t u r e ，ap l a s m o n i cm e t a l l i cp o l a r i z a t i o nc o n t r o l s t r u c t t t r ci sp r o p o s e d t h ea r b i t r a r yp o l a r i z e ds t a t eb e t w e e nt ea n dt m 哪w a v e sa r e a c h i e v e d 埘t 1 11 1 i g ht r a n s m i t t a n c e f i r s to fa l l ，w ei n t r o d u c et w on u m e r i c a lm e t h o d sf o rt h em e t a l l i cg r a t i n gs t r u c t u r e t h e s e m e t h o d sa l eb a s e do nt h em a x w e l le q u a t i o n s ：f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i nm e t h o df f d t d ) a n dr i g o r o u sc o u p l e d - w a v em e t h o d ( r c w a ) t h r o u g ht h et h e o r e t i c a la n a l y s i sa n ds i m u l a t i o n , t h ei n f l u e n c eo ft h ed e s i g np a r a m e t e r so nt h ep o l a r i z a t i o na n dt h et r a n s m i t t a n c ea r ed i s c u s s e d i nd e t a i l ，i n c l u d i n gt h eg r o o v ed e p t h , t h ep e r i o da n dt h ed u t yc y c l eo ft h es q u a r ea n d r e c t a n g u l a rm e t a l l i cg r a t i n ga l o n gx a x i sa n dy - a x i sd i r e c t i o n s ，a s w e l la s t h ei n c i d e n t w a v e l e n g t h s e x , o n d l y , ap r o p o s e dt w o - d i m e n s i o n a lm e t a l l i cr e c t a n g u l a rg r a t i n gi ss i m u l a t e db a s e d o n t h ef d t dm e t h o d , a n dt h ep o l a r i z a t i o nw a n s f o r m a t i o na n dt h et r a n s m i t t a n c ea r eo b t a i n e d w i t ht h eo p t i m i z e ds t r u c t u r ep a r a m e t e r s ，t h es i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h ec o n v e r s i o no f l i n e a ri i l p u tt oc i r c u l a rp o l a r i z a t i o ns t a t eo u t p u ti sr e a l i z e d , w h e nt h el i n e a r l yp o l a r i z e dl i g h t ( w a v e l e n g t ho f5 5 0 n m ) n o r m a l l yi n c i d e n t so nt h ep r o p o s e dt w o - d i m e n s i o n a ln a n o - s l r u c t t t r e 、撕t l lt h ep o l a r i z a t i o na n g l eo f3 0 0 t h i r d l y , r e f e r e n c et ot h ep a r a m e t e r so f t h eg r a t i n gw i t hc i r c u l a rp o l a r i z a t i o ns t a t eo u t p u l t h ec h a r a c t e r i s t i c so fp o l a r i z a t i o na n dt r a n s m i t t a n c ea r ea c h i e v e db ys p a c ea n g l em o d u l a t i o n s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h ef u l lp o i n c a r 6s p h e r ec o v e r a g ec o u l db eo b t a i n e dt h e o r e t i c a l l y , a n dah i 曲t r a n s m i s s i o ni sa c h i e v e da sw e l l f i n a l l y , b a s e do nt h ee q u i v a l e n tm e d i u mt h e o r ya n d t h es p pb l o c hm o d e l ，t w ok i n d so f n o v e lm e t a l l i cw a v e p l a t e s 铷a n a l y z e dw i t ho p t i m i z e dp a r a m e t e r s ：t w o - d i m e n s i o n a l 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i i 页 r e c t a n g u l a rm e t a l l i cg r a t i n g sa n de l l i p t i c a lp i l l a r sm e t a l l i cg r a t i n g s f i r s t l y , f o rt h e s et w o s t r u c t u r e s ，t h er e l a t i o n s h i p so f t h el r a n s m i t t a n c ea n dp h a s er e t a r d a t i o nt ot h ei n c i d e n tl i g h ta n d t h ep o l a h z a t i o na n g l ea r ec o m p a r e da n da n a l y z e d e s p e c i a l l y , t h et r a n s m i s s i o np r o p e r t i e sa r e s t u d i e di nd e t a i l ，w h e nb o t ho ft h eg r a t i n g sa l ep e r f o r m e da sq u a r t e r - w a v ep l a t e s t h e s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tb 0 廿ls t r u c t u r e sc a l la c ta sq u a r t e r - w a v ep l a t e sw h e nt h ei i l p u t p o l a r i z a t i o na n g l ei s 7 5 0 t h ec o r r e s p o n d i n gt r a n s m i t t a n c e so fr e c t a n g u l a ra n de l l i p t i c a l c y l i n d e rg r a t i n ga r c0 7 7a n do 6 7 r e s p e c t i v e l y i na d d i t i o n , b o t hg r a t i n g se x h i b i tr e l a t i v e l y f l a tt r a n s m i s s i o ns p e c t r aw i t h i nt h ew a v e l e n g t hr a n g ef r o m 5 5 0n mt o8 0 0n mi nt h ep r e s e n c e o fd i f f e r e n ti n p u tp o l a r i z a t i o na n g l e s t w o - d i m e n s i o n a lm e t a l l i cg r a t i n gs t r u c t u r e sp r o p o s e di nt h i sp a p e rh a v ee x t e n s i v e a p p l i c a t i o np r o s p e c t si np o l a r i z a t i o na n dh i 曲t r a n s m i t t a n c eo fp h o t o n i ci n t e g r a t e dd e v i c e s 1 1 1 e yc a nb eu s e di nt h ef i e l do fo p t i c a lf i b e rc o m m u n i c a t i o n , o p t i c a li n t e r - c o n n e c t s ，d a t a s t o r a g ea n di m a g i n g k e yw o r d s ：s u r f a c ep l a s m o ns u b w a v e l e n g t ho p t i c s ；p o l a r i z a t i o nt r a n s f o r m a t i o n ； b i r e f r i n g e n e ee f f e c t ；t w o - d i m e n s i o n a lm e t a l l i cg r a t i n g s ；h i 曲t r a n s m i t t a n c e ； w a v e p l a t e 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 1 1 表面等离子体的发展及应用前景 1 9 0 2 年，w o o d 在光学实验观测过程中，最先发现反射式金属光栅表现出对t m 偏 振态入射光的异常吸收现象，随后就报道了表面等离激元共振这一现象【l j 。1 9 4 1 年， 利用金属和空气接触面上激发的电磁波，f a n o 等人对这个现象进行了描述。19 5 7 年， r i t c h i e 等人提出了表面等离子体( s u r f a c ep l a s m o n ，s p ) 的概念，从而解释了高能电子穿过 金属薄膜时出现的能量吸收现象。1 9 8 4 年苏黎世m m 研究室的p o h l 等人成功研制了世 界上第一台近场扫描光学显微镜( n e a r - f i e l ds c a n n i n go p t i c a lm i c r o s c o p e ，n s o m ) 。随后 多种n s o m 技术的问世，这让在金属表面探测s p s 的研究有了可能。1 9 9 8 年，e b b c s c n l 2 】 等人发现，对于周期排列的亚波长金属小孔薄膜，当入射光垂直照射时，出现了透射 增强( e n h a n c e do p f i c a lt r a n s m i s s i o n ，e o t ) 现象。这一实验结果引起了人们对透射增强的 研究热潮【3 4 1 。2 0 0 3 年，b a r n e s 1 】等人对表面等离子激元的研究工作和发展进行了详细 的论述，并写成文章( s u r f a c cp l a s m o ns u b w a v c l c n g t ho p t i c s 发表在n a t u r e 杂志上， 于是正式地形成了表面等离子亚波长光学这一新兴学科。 表面等离子体激元( s u r f a c ep l a s m o np o l a r i f i o n s ，s p p s ) 是入射光的光子与被束缚在金 属表面上的电子之间相互作用，从而形成的一种混合激发态【l 】，这一概念是由r i t c h i e 等人提出来。在入射光波和电子的相互作用中，自由电子会与其具有相同共振频率的 入射光发生集体振荡，电场被局域在金属表面上，且沿着垂直方向上呈现指数衰减形 式。可以通过周期性的结构或者全反射瞬逝波的形式，光与s p p 之间进行波矢匹配进 而相互转化。光子和表面等离子的耦合和传输取决于入射光的频率、激发的波矢和入 射电磁场的偏振态。其中入射光的偏振态决定了与周期相关的b f i u o u i n 区域不同方向 上s p p 的激发与传播。基于表面等离子表现的性质，研究者开展了很多相关的理论与 实验研究工作。 目前，s p p s 作为纳米光电子学科中一个新兴的研究领域，引起了化学界、物理界、 生物界、材料界等多个学术领域的研究兴趣。利用表面等离子体效应可以制作纳米集 成光路，使得光学元件的尺寸能够大幅缩小，为纳米集成光路的实现创造了条件。 由于s p p s 沿着横向尺寸为亚波长量级，因而不存在传统光子晶体波导或光波导所 存在的衍射极限问题，在近场范围内有很强的透射增强效应。其传播距离与入射光波 长相比，可以达到数十倍的量级。基于这种性质使其在纳米光学的许多领域中有很广 泛的应用价值。如亚波长光学【5 】、高次谐波的产生【6 】等。目前，人们提出和研制了各种 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 表面等离子结构的波掣7 一，比如：金属条形表面等离子体光波导、金属v 型表面等离 子体光波导等。同时也研发了各种光学元器件，比如：偏振分束裂9 。1 3 1 、滤波器【1 4 , 1 5 1 、 光逻辑功能器伴1 6 1 等。利用表面等离子体共振( s u r f a c ep l a s m o nr e s o n a n c e ，s p r ) 产生的 特性，即表面等离子体具有表面局域和近场增强两个特性，使得局域电场增强，适用 于研制高灵敏度传感器【1 7 j s 。 1 2 亚波长金属周期光栅的应用前景 光栅作为一种常用的光学元件，其功能主要包括：偏振、色散、分束和相位匹配。 传统的光栅制作是通过金刚石刀刻划出来的，其面型各式各样。后来随着微加工技术 方面的发展，全息记录、光束蚀刻、平板印制等技术也相继可以用来制作矩形、正弦 式、梯形等多种轮廓形状表面的光栅。 亚波长一维金属光栅结构因其具有结构紧凑、易集成、偏振特性好、光谱较宽、 透射率和消光比高等特点，可以减少光路原件，增加光学系统设计的灵活性，具有改 进和取代传统光学元器件的潜力。随着微电子加工工艺的快速发展和光栅理论的不断 深入，人们渐渐发现当光栅周期小于入射光波长时，表现出强烈的偏振特性。一维亚 波长金属光栅具有显著的偏振特性即所谓的双折射效应：对于电场矢量方向垂直于栅 条的t m 波，光栅可近似等效为电介质，具有高透射；对于电场方向平行于栅条的t e 波，相当于金属膜，具有高反射。电场的偏振方向会影响到光的衍射，使得金属光栅 在透射或反射光谱方面表现出不同于一般衍射光学元件的性质，因此在亚波长光学方 面具有较大的应用潜力。亚波长金属光栅已被应用于光逻辑功能器件【1 6 1 ，传感器 1 7 j 8 ， 亚波长波掣7 ，羽，滤波片【1 5 】，光探测器【1 9 1 ，偏振分束器f 9 - 1 3 1 等领域。 在光学系统中，由于菲涅尔反射的原因，对于折射率较大的材料，界面的反射损 失严重，使得光学系统的透射性能下降。采用亚波长结构的抗反射概念制作的抗反射 元件 2 0 2 h 可以有效地提高系统性能，达到增强元件功能的目的。通过空间结构变化的亚 波长光栅制作的亚波长偏振分束器 9 - 1 3 还可以调整光的衍射能量，从而实现对分出的两 束光强度比的调节控制。利用亚波长金属光栅结构表现出的形式双折射效应，通过调 节亚波长金属光栅的深宽比，可实现1 4 波长的相位延迟功能阱】。与此同时，在偏振片、 波片的基础上，我们可以进一步设计集成的光环形器、光隔离器等微型器件，目前也 有很多学者对此方面进行了深入研究。利用亚波长金属光栅制作的新型激光共振腔， 可以有效地控制出射光束的强度分布和激光模式。利用亚波长结构的等效介质理论【2 3 - 2 5 】 制作出具有浮雕表面的亚波长透镜，提高了透射光的衍射效率；制作出的红外探测器 可以实现器件的微型集成化和规模化。这些元件被广泛应用于激光器、光纤光学传输 系统、光谱学、集成光学、光信息传递、光互联网等光学系统中。 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 1 3 国内外研究现状 近年来，表面等离子已经成为各国研究人员的一个研究热点。亚波长金属光栅的 研究主要表现为几个方面：( 1 ) 透射增强及其应用；( 2 ) 偏振相关及其应用，( 3 ) 基于纳米 金属光栅结构的s p r 传感器的灵敏度增强研究；( 4 ) 表面增强拉曼散射等。 1 3 1 国外研究现状 2 0 0 4 年，e l l i o t t t 2 6 】等人对周期性金属椭圆纳米孔阵列的偏振光透射谱进行了研究， 通过对入射光或透射光偏振态的选择控制，使这种金属膜阵列可以起到增强宽带透射 的功能。同年，g o r d o n t 2 7 】等人通过实验选择椭圆孔阵列椭圆的方向( 即主轴与工轴坐标 的夹角1 ，研究了椭圆孔的长宽比对极化率的影响，讨论了耦合输入和输出的表面等离 子体模式，在金属纳米光子偏振元件中有很大的潜在应用，如表面等离子体增强光学 传感和超高速光开关【2 8 】。2 0 0 9 年，哈佛大学虞南方【2 9 】等人通过在激光器出射端面集成 等离子体纳米器件的方法，从而控制了激光偏振态，这一成果刊登在在美国应用物 理通讯杂志的封面。2 0 1 0 年，s h c h e r b a b o w _ 【3 0 】等人通过角度调制和波长调制入射光通 过纳米缝阵列的偏振态，并将对应偏振态下的表示点通过归一化处理，映射到庞加莱 球上。 1 3 2 国内研究现状 表面等离子在我国的研究开展较晚，自2 0 世纪9 0 年代初开始，国家9 7 3 计划、 国家自然科学基金和国家8 6 3 等陆续设立专项资助该领域的理论、方法和关键技术研 究。 目前中科院、中科大、清华大学等纷纷从不同角度开展对亚波长周期结构的研究。 2 0 0 2 年，曹召剐2 0 1 等人利用等效介质理论( e m t ) 和严格耦合波理论( r c w a ) ，对二维抗 反射周期金属光栅的设计问题进行了研究。仿真计算了不同表面面型的金属光栅的占 空比对反射率的影响。2 0 0 3 年，陈四海【2 l 】等人为了降低一维金属光栅的偏振敏感性， 对中心波长为1 0 6 # m 红外光，将等效介质理论拓广到二维亚波长结构，分析了一种特 定的矩形柱状结构的透射特性，使得这种二维金属光栅在此工作波长下具有很好的增 透效果，替代了传统的消反射膜。2 0 0 6 年，张娜【l2 】等人利用严格耦合波理论分别分析 了金属光栅面型、材料和结构参量变化与偏振透射率和消光比之间的关系，实现了宽 带高透射的同时也提高了消光比。2 0 0 9 年，赵华君1 1 3 】等人综合等效介质理论和薄膜光 学的抗反射设计方法，设计了基于0 6 5 a m 工作波长的亚波长金属光栅偏振分束器，利 用严格耦合波理论对金属光栅的偏振分束特性进行了分析。其研究表明，当t m 偏振 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 入射时，亚波长金属光栅表现为介质膜特性，具有高透射：而当t e 偏振入射时，亚波 长金属光栅表现为金属膜特性，具有高反射。 1 4 课题的引入及研究意义 基于表面等离子的偏振态控制研究是亚波长光学研究的一个重要方面，本文研究 来源于国家重点基础研究发展计划( 9 7 3 计划) ( 2 0 1 1 c b 3 0 1 8 0 3 ) 子课题，并得到微细加工 光学技术国家重点实验室开放基金资助。作者主要负责基于表面等离子的新型纳米结 构中的偏振态控制研究。 在本论文中，针对一维金属光栅表现出的双折射效应，作者将一维亚波长光栅结 构拓广到二维亚波长光栅结构，这样使得介于t e 与t m 波之间的任意线偏振入射光均 可实现大部分高透射。 本论文对提出的几种特定的二维金属光栅结构进行了理论分析及仿真计算，实现 了输入线偏振态到输出圆偏振态的转换；输入的线偏振态到输出的任意椭圆偏振态的 转化；并实现了l 4 波片的功能，同时透射率也得到了提高。提出的二维矩形金属光栅 结构在偏振及高透射等特殊功能的光子集成器件中具有广泛的应用前景。 1 5 本论文的研究工作及结构安排 鉴于一维金属光栅所表现出的偏振控制局限性，本文在一维金属光栅的基础上， 建立了二维金属光栅结构。采用文献 1 3 】中提到的等效介质理论和薄膜光学的高透射设 计方法，设计出二维矩形金属光栅偏振控制模型的最佳优化设计参数，如入射波长、 入射角、矩形金属光栅周期、占空比和刻槽深度等。针对本文中特定的二维金属光栅 结构，研究了偏振态转换、透射率及1 4 波片特性。 作者在本论文中的工作主要分以下几个方面来进行： 第一章：绪论。分析了表面等离子和亚波长周期性金属光栅的应用前景，并结合 国内外研究现状，在一维金属光栅的基础上提出本论文研究的二维金属光栅。陈述了 课题的引入、论文的研究意义和论文的结构安排。 第二章：金属光栅结构的数值计算方法。详细介绍了严格耦合波法和时域有限差 分法。 第三章：亚波长金属光栅结构设计。利用等效介质理论和薄膜光学优化设计了一 维金属光栅的结构参数，并将此方法推广到二维金属光栅上，分析了两种( 正方形和矩 形) 金属光栅的结构参数变化( 入射光波长、周期、槽深、占空比) 对其偏振及其透射特性 的影响。 第四章：亚波长金属光栅偏振控制。通过对二维矩形金属光栅结构参数的优化实 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 现了输入线偏振到输出圆偏振的转换。并在优化的结构参数基础上，通过空间角度调 制的方法，实现了输入线偏振光到输出任意偏振光的转换，并将输出的偏振态对应表 示在庞加莱球上，同时分析了对应输出偏振态下的透射率。 第五章：两种亚波长金属波片的透射特性对比。首先分别搭建了二维矩形金属光 栅模型和二维椭圆柱金属光栅模型，并分别进行了理论分析，对比了两种光栅在实现 1 4 波片下的透射特性。 最后，论文对所做的工作进行了总结与展望，对在科研过程中帮助过作者的老师 和同学致谢，并附上参考文献和在硕士学位攻读期间发表的论文及专利。 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 第2 章金属光栅结构的数值计算方法 金属光栅结构的数值计算方法有多种，包括严格耦合波法、时域有限差分法、特 征值展开法、转移矩阵法等。本章主要介绍严格耦合波法和时域有限差分法。麦克斯 韦方程式组是宏观电场的基本方程组，如表2 1 所示，本章介绍的两种数值算法都是基 于该表中的方程推导出来的。 表2 1 麦克斯韦方程组的微分形式 t a b l e2 - 1d i f f e r e n t i a lf o r mo f c l a s s i c a lm a x w e l le q u a t i o n s 2 1 严格耦合波法 微分形式 安培环路定律 电磁感应定律 电场高斯定律 磁通连续定律 v h ：j + 挚 d t v 一一詈 v d = p v b = 0 严格耦合波理论( 融g o r o u sc o u p l e dw a v ea n a l y s i s ，r c w a ) t 3 1 - 3 2 1 可以用来精确分析周 期性结构中电磁场的衍射。相比其它数值分析方法，r c w a 不需要迭代，可以直接得 到光栅衍射m a x w e l l 收敛的稳定解。该算法的精确度主要由傅里叶级数展开的截断阶 数来决定，同时始终满足能量守恒定律。 r c w a 算法可以将多维的散射问题降低成一维，然后基于m a x w e l l 方程，电磁场 以及光栅的介电常数展开成傅里叶级数，建立耦合波方程求解，同时要考虑边界条件。 本论文以t m 偏振入射到一维金属光栅为例来简单说明r c w a 的原理。由于是t m 偏振入射，所以只考虑骂，b ，e 三个分量，因此表2 一l 中m a x w e l l 方程写成时谐形 式【3 3 】： 鲁e ；一杀e ；= j w l , t o h y g ( 2 - 1 ) 1 0 一_ a z l h ；= 鹏( 工，调 ( 2 2 ) 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 丢h ：= 鹏如郴；( 2 - 3 ) 将( 2 - 3 ) 式代入( 2 1 ) 式后，将周期性光栅区域的光波按照空间傅里叶展开，有 h ；= e u y m ( z ) e 一跆 e ；= 移啦e s ：( z 妒 2 4 ，o 艉 将( 2 q 式代人( 2 - 1 ) 式，就得到了耦合波方程p 训 量呼k o e 。誊一p 去未= ( 等) 2 ；譬朋蟛一磁 q 巧 其中有 乞= 去芦口哮出 弘题扩哮出 但巧 设z 7 = k o z ，( 2 5 ) 式写成矩阵形式，故有【3 3 】 z 郴 - u , - 列 陋7 ， 式中b = k 。e k 。一i ，其中噩表示为对角矩阵，其中第( f ，力元素表示为砭。露表示由 介电常数的谐频分量构成的二维矩阵，它对应的咖脚元素表示为 乞= 去童去，掣训表示为靴矾( 2 - 7 嗣以简化为 参f u y j = i e a i i u y j ( 2 8 对于金属光栅而言，通过( 2 - 8 ) 式数值计算的收敛性较差。因此，可将( 2 8 ) 式进行修正后 简化为 参【u y j - i e 。b l f u y 】( 2 - 9 ) 其中，b 7 = k 。e k 。一i ，e - 1 是e 的逆矩阵。 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 ( z ) = 主。 一c p 一钒z + p 一钒c 州，) ( 2 - 1 0 ) 瓯。+ 心= ；w 辨，一 c + 矿d 水半h 剖如拇胁 但。1u 成。 + 甜牛 ? 哪w x l p c + 一 ( 2 - 1 2 ) 莓弦d + = 乙 剐卅= 嘲叫 。3 罢w w i p - j l 犍p 亿，4 ， x ，z l ，z l 分别为对角元素矿d 备番的对角矩阵。 k + 珊牛 了哪w x l l w x 豫讲捌们亿 - n - f ，= - 骨 口 口 p i tk 0 竺, 盟：o sej i 噬；l 一聋1 f 型 陋1 6 ) 噬钺r e ( 等) ( 半) - “ 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 程推导比一维情况复杂的多，但理论基础基本是一样的。 2 2 时域有限差分法 时域有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i nm e t h o d , f d t d ) 是求解任意电磁场 问题的一种通用数值方法。它原理简单，易于实现，单次计算就能包含很大的频率范 围。在f d t d 中，时域的麦克斯韦方程被中心差分方式进行离散化来近似方程的偏导 数，得到的有限差分方程以一种交替的方式计算：电场分量立即计算，而磁场分量则 在下一个时刻计算。这个过程重复进行，直到得到所需的结果。 2 2 1 三维直角坐标中的f d t d 差分方程 本章介绍三维情况下时域有限差分算法的基本知识，为了突出关键问题，我们尽 量简化分析。先假设我们研究的是各向同性非磁性线性介质，同时随着时间变化，介 质的参数不变。这种介质在无源区域中产生的电磁变化过程，其m a x w e l l 旋度方程【3 5 】 满足的形式如下： 根据欧姆定律：j = o r e ，在直角坐标系中，展开方程组( 2 1 7 ) 可以得到如下与其等 效的六个电磁场分量，其所满足的标量方程为【3 5 】： 堡=昙单一孥一啦)a o = 一i _ 上一- 一盯扛l t 、a y a z 一 堡o t = 丢( 亟o z 一誓一训y j、h 。 荸= ( 姿一要一c r e z ) - = - = 一l 一一 d td x曲 - 讽5 7 - = 去( 鲁一争、玉砂7 堡=i“(ae,oto x 一鸟o z = 一一l 7 亟= 三罄一鸟 a t“、巩融7 ( 2 - 1 8 - e ) ( 2 - 18 一f ) 沁一击e一沁孤i毫百 一， = = e h 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 上述方程组中，层、日分别表示电场强度、磁场强度，o r 、和分别表示介质的 电导率、磁导率和介电常数。首先将变量空间通过某种格式的网格来分割开来，将网 格上的未知量来作为我们计算的对象，这样来把变量空间的连续变量离散化。通过 m a x w e l l 方程建立差分方程比较复杂，不仅要能在伍弦互d 这个四维空间中进行，同时还 能保证电场、磁场的六个分量得到计算。建立高精度差分方程的关键问题在于，能通 过合理的方式离散六个未知电磁场量。通过中心差分等式，其空间和时间的差分方程 可以近似为： = 丛生堑些旦幽+ 。( 缸：) 一价， 竺! 价，、 ( 2 19 ) = 竺：垫：坐竺：盟k 。( z ) r 7 a t 针对不同的元件面型、网格划分方式、维度等这些具体情况，利用上述方程可以 得到计算机进行迭代计算的具体差分形式。 图2 1f d t d 离散中的y e e 元胞 f i g 2 - 1y e ec e l li nf d t dd i s c r e t e 如图2 1 所示为在f d t d 离中磁场和电场各节点空间分布的y e e 元胞。从图中可以 看出，每一个电场分量周围围绕着四个磁场分量，同样，每一个磁场分量周围围绕着 四个电场分量。这种电磁场分量的空间取样方式不仅符合法拉第感应定律和安培环路 定律的自然结构，而且这种电磁场分量空间相对位置也适合于麦克斯韦方程的差分计 算。可以准确地描述电磁场的传播特性。与此同时，电场和磁场按照间隔彼此相差半 个时间步来交替进行时间抽样，这样就使得m a x w e l l 的旋度方程离散后成为显式差分 方程，因而不必对矩阵求逆计算，就可以通过迭代时间来运算。因次，对于已知的对 应电磁场的初始值和边界条件，通过时域有限差分算法就能逐步推进地求解的下一时 刻对应的空间电磁场的排布。如表2 2 所示为在y e e 元胞中，电场和磁场沿着坐标轴各 分量的节点与时间步的半整数和整数取值的规定。 掣笋半掣 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 表2 - 2y e e 元胞中冒、日各分量节点位置 t a b l e2 - 2n o d ep o s i t i o no f e c o m p o n e n ta n dh c o m p o n e n ti ny e e c e l l 要研究金属光栅对入射光的偏振特性，就需要将f d t d 的三维形式表示出来，基 于光栅的面型，我们选用直角坐标来表示。先设点恸力为b 的节点，即有 垆o + l 2 ，j ，k ) ，抽样时刻f = ( n + l 2 ) a t ，于是( 2 - 1 8 一a ) 离散式表示为 ( i + 1 2 ，_ ，七) 望坠丝业立塑螋 a t + a ( i + 1 2 ，舻) 型盟丝鬯善幽 ：丝：! = g 芝圣：芝兰：查2 = 垡：i ! g 型兰：= 笙兰：生2 ( 2 - 2 0 ) a y 日y v 2 ( i + 1 2 ，k + l 2 ) 一z e y + 啦( i + 1 2 ，歹，k - l 2 ) z 为了在离散式中只显示所需表示的各个场分量节点，也为了使f d t d 随时间推进 的算法具有更稳定的解。我们把( 2 2 0 ) 式平均值近似后，整理后可得 巧1 ( i + 1 2 ，j ，k ) = c a ( m ) e ( i + 1 2 ，j ，j ) + c a ( 聊) 1 堡堑堂坐堕等型塑丝幽 ( 2 21 ) l缈 日2 ( i + 1 2 ，j f ，k + l 2 ) 一日2 ( i + 1 2 ，j ，k - 1 2 ) l 一_ f 一j 同样，( 2 1 8 - b ) 与( 2 1 8 - c ) 式的离散式可以表示为 e ( f ，j + l 2 ，| j ) = 翻沏) e ( f ，i + v 2 ，j | ) + c a ( m ) f 望塑生监竺坦芒竺盟型螋( 2 2 2 ) t x z 彤+ l ，2 ( f + 1 2 ，+ 1 2 ，j | ) 一研+ v 2 ( f 一1 2 ，+ 1 2 ，露) i 一一a x j 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 五，1 0 ，j ，k + 1 2 ) = c a ( m ) e ( f ，j ，足+ 1 2 ) + 凹( m ) f 型坠丝塑塑三竺；塑坐螋( 2 - 2 3 ) l 蹦 彤+ 啦( f ，+ 1 2 ，七+ 1 2 ) 一f + l 2 0 ，歹一1 2 ，j | + 1 2 ) 缈 j 以上( 2 2 2 ) 式、( 2 2 2 ) 式、( 2 2 3 ) 式为f d t d 中电场的时间推进计算公式，其中( 2 2 1 ) 式中，z = ( i + 1 2 ，k ) ，( 2 2 2 ) 式中m = ( f ，j + l 2 ，k ) ，( 2 - 2 3 ) 式中m = ( f ，j ，k + l 2 ) 。以上参 数c a 例和c b ( m ) 分别表示为 ( 竺! 一仃( 聊) 1 一! ! 竺! 垒 翻( 所) 2 硒a t2 = 砸2 e ( m ) 址2 2(肌)(2-24) ，2 卒1= 菇 a t2 2 e ( m ) 类似的，设点吣z ) 为甄的节点，即有垆( f ，+ 1 2 ，k + v 2 ) ，抽样时刻仁n a t ， 于是( 2 18 - d ) 式离散表示为 艇，+ 1 2 ，后+ l 2 ) 翌垫趔幽型冬坚塾出幽 +f + 啪，+ 1 2 ，j i + l 2 ) 堡垫型幽型雩型塑出幽( 2 - 2 5 ) = 竺! ! ：型三：墨! ! 二望! ! ：兰三：竺一矍g ：z ! ：墨型三2 二垡g ：墨笙型 & 岭 上式整理后可得 彤+ v 2 ( f ，j + l 2 ，k + l 2 ) = c p ( m ) i - 1 ；叫2 ( f ，j + l 2 ，k + l 2 ) 一 c q ( m ) 1 壁坐型掣兰幽一 ( 2 2 6 ) iz 盟业掣 yi 同样，( 2 1