（应用数学专业论文）hardylittlewood不等式中常数c的最佳估计.pdf

摘要 h a r d y l i t t l e w o o d 极大算子m 及府最早是由h a r d y 及l i t t l e w o o d 提出 的它们在调和分析理论中是非常有用的工具然而，关于h a r d y l i t t l e w o o d 最大值不等式中最佳常数c 的估计更具有理论意义 本文主要研究了以下三个问题首先，引入洛仑兹空间l ( p ，q ) ，得到l ( p ，q ) 空间中的h a r d y l i t t l e w o o d 最大值不等式接着，利用空间与l ( p ，q ) 空间 的关系得到护空间中的h a r d y l i t t l e w o o d 最大值不等式最后，通过对函数 ，( z ) = e - 等的研究，给出当1 p 时h a r d y l i t t l e w o o d 最大值不等式中最 佳常数c 的下界的估计 关键词：h a r d y l i t t l e w o o d 极大算子；最佳估计；递减重排；l ( p ，q ) 空间 a b s t r a c t h a r d y - l i t t l e w o o dm a x i m a lo p e r a t o r sma n dm w e r ef i r s ti n t r o d u c e db yh a r d ya n d l i t t l e w o o d t h e s et o o l sa r eu s e f u li nh a r m o n i ca n a l y s i s w h i l e ，s h a r pe s t i m a t ea b o u tt h e c o n s t a n tci nt h eh a r d y - l i t t l e w o o dm a x i m a lf u n c t i o ni sm o r eu s e f u l t h ea i mo f t h i sp a p e ri st os o l v et h ef o l l o w i n gt h r e eq u e s t i o n s f i r s t l y ，i n t r o d u c et h e l o r e n zl ( p ，q ) s p a c e sa n dh a r d y - l i t t l e w o o dm a x i m a li n e q u a l i t i e so ni t t h e n ，u s i n gt h e r e l a t i o nb e t w e e nl ( p ，q ) s p a c e sa n d 2s p a c e s ，w eo b t a i nt h eh a r d y - l i t t l e w o o dm a x i m a l i n e q u a l i t i e so n 2s p a c e s l a s t l y , r e s e a r c h i n gt h es p e c i a lf u n c t i o n ( x ) = e - 鼍，g i v et h e l o w e rb o u n do f t h ec o n s t a n tc w h e n1 p o o k e yw o r d s ：h a r d y - l i t t l e w o o dm a x i m a lo p e r a t o r s ；s h a r pe s t i m a t e ； n o n i n c r e a s i n gr e a r r a n g e m e n t ；l ( p ，q ) s p a c e s 2 1 引言 h a r d y l i t t l e w o o d 中心极大算子m 与h a r d y l i t t l e w o o d 非中心极大算子 廊最早是由h a r d y & l i t t l e w o o d 提出自h a r d y l i t t l e w o o d 不等式得到以后，人 们就试图去估计最佳常数q ( 使不等式成立的最小常数c ) ，但是至今为止该问 题仍未完全解决 c a s e1一维非中心情况 当1 1 且满足方程： ( 1 - ；) o + 1 ) 一( 1 + ；) 9 一1 ) = o 例如g = 挈及h mg = 1 。p - - * + o o g r a f a k o s ，m o n t g o m e r y s m i t h & m o t r a n i c h 证明该结论对。峰型函数”成立，但 猜测其对一般的f t e ( r 1 不成立至到目前为止该问题尚未解决 c a s e 3 n 维非中心情况 l g r a f a k o s 给出q ，。为满足方程【2 】： 一1 ) x p p x p 一1 一( g 一1 ) = 0 1 的唯一正数解其中g 为b e s i c o v i t c h 常数 c a s e 4 n 维中心情况 对p = 1 情况，a t o r c h i n s k y 给出g 的下界【8 】例如： g 业掣业l i m i n 。f c n 警 并且已知道q c 2 ，且对有g g - 1 对+ 1 p n 情况，e m s t e i n & j o s t r s n m b e r g 给出j 七使得对v p 、n 有： 七寺n 本文将给出1 ) = m x ：p ，( a ) t 故由定义2 2 知： ，( t ) = i n f a ：p ，( a ) t ) = s u p a ：p ，( a ) t = m a ：t t s ( 入) t ) = m p ， 口 注2 1 算子“”不是次可加的，即一般没有( ，+ g ) ( t ) ，+ ( ) 十矿( ) 成立；算子“t ”不是次可乘的，即对垤，( t g ) ( t ) ，( t ) 矿( t ) 不一定成立 例如，设a ，b 为可测集且满足：a n b 0 ，0 p ( a ) p ( b ) 记 ，( z ) = 厶( z ) ，9 ( z ) = ，b ( z ) 则，聿 ) = i o ，。c a ) i ( t ) 及矿( t ) = 1 t o , 。( m l ( t ) 且 ，+ ( t ) + 矿( t ) = o t u ( a ) u ( a ) s t p ( b ) ， t p ( b ) ， 进一步，对( ，+ g ) ( z ) = 厶( z ) + 如( z ) ，相应有： 0 t u ( a n b ) p ( a n b ) t p ( a u b ) t 2 u ( a u b ) ， 故，对v t ：p ( b ) 0 = ，( t ) + 矿( t ) 同理可证算子。+ ”不是次可乘的 ，的矿范数与递减重排广的矿范数有如下关系： 定理2 3 当0 o u 进一步，对p = o o 有： e s ss u pl ，( z ) l = i n f a ：p ，( a ) = o = ，+ ( o ) ( 2 6 ) 详细证明见【i o p p 2 0 2 1 下面我们将引入l o r e n t z 空间l ( p ，q ) 定义2 3 设( q ，e p ) 为o r 一有限测度空间及0 p + c o ，0 q + o 。，则 称由满足k o 。的所有f 一可测函数，组成的集合为l o r e n t z 空间l ( p ，q ) 其中k 定义如下t n ，= 泔瓷器t 罴 p o 鬻o , 0 篡 眨r ， 注2 2 当p = + o o ，0 q + o o 时，川l 。口 0 及 a f 使得临a 有l ，( z ) i c 则： i = 付”( 广( t ) ) 。譬付。( ( ，x ) + ) 。( t ) 譬2 偌 e a 警= + o o ，此与假设矛盾 注2 3 在范数相等意义下，l o , ，p ) = 2 事实上，取q = p 当0 p + o o 时，由i 钾的定义及定理2 3 可得： 0 ，0 卵= ( j ”t ( ，+ 0 ) ) ，譬) ；= ( j ”( ，+ ( t ) ) 一出) ；= ( j 矗l f ( x ) l d p ) ；= l i f i p 当p = + o 。时，由广的递减性及定理2 3 可得： 0 ，8 。= s u p ，( t ) = ，+ ( o ) = e s 8s u pi ，( z ) l = i f ，| i * 注2 4 ( i ) l ( p ，q ) 空间为线性空间 ( i i ) k 为l ( p ，q ) 空间的范数当且仅当1 q sp 或p = q = o o 详细证明见【1 0 p p 4 3 5 0 5 3三p ，q ) 空间上的h a r d y l i t t l e w o o d 不等式 上节注2 4 ( i i ) 说明，当1 墨q p 或p = q = 。o 时，l p q 为l 扫，q ) 空间的范 数本节第一部分将继续讨论当p , q 取何值时l p ，q ) 空间为赋范空间为此需 要引入函数l 函在引入i i l l h 之前先引入函数，”( t ) 定义3 1 函数f + ：【0 ，+ o o ) 【0 ，+ 】定义如下： 尸( ) = f ；r ，+ ( s ) 如 ( 3 1 ) 定r 3 2 对v f l ( p ，g ) ，定义i i f l l 函如下： ”，叫泔荔芸譬0 帅 p = ：o o , 0 篡 z ， 下面定理3 2 将说明当1 p 0 ， 则； ( 厂( r 嘶) 蝴一1 蛳1 ；( f 。( 州t ) ) q t - r - 1 ( 3 3 ) ( 上+ 。( 上+ ” ( 让) d u ) q t r - l d t ) ；( j ( + 。( o ) ) q t - l d t ) ； ( 3 4 ) 详细证明见a l b e m a r s s ，f j m a r t i n - r e y e s ，a n dp o r t e g as a l v a d o r an e wp r o o f o ft h ej b a r a c t e r i za _ t i o no ft h ew e i g h t e dh a r d yi n e q u a l i t y 定理3 2 当1 p + o 。，1 q + o o 或p = q = + o o 时， i i 1 1 ；, 为 工，曲空间的范数更确切地有： i i 1 1 瑚- o ，广( f ) 为单调递减函数，则由，+ ( f ) 及广( z ) 的定义 知 ，+ + ( t ) = = ；z ，+ ( s ) d s ：z ，( t ) d s = = - ，+ ( t ) 再由i l f l l 御与i l f l l ；。的定义知，i l f l l 瑚i l f l l ；。 ( i i ) 当1 p + o o ，及1 g + o o 时，在h a r d y 不等式中取r = q ( i 一；) 则： l l f l l 品= ( j ”( t ；广+ ( t ) ) 。譬) = ( 时”( f u ，( s ) d s ) q t 一。( 1 一) 一1 出) 口1 ( 口”( i f ( 卯t q ( 1 一 ) 一1 出) ； ， = 6 i l f l l w 当l p o = s u p 芦1 - j o t 广( s ) d s = s u pf 者名8 一；18 ；1 广( s ) d s ss u p 芦1 - j o ts j ( s u p u 1 f + ( t ) ) d s = m b8 1 1 p f j o t 8 - ；1 d s = 盎i l f l l 舻 当p = 0 0 ，q = 时，由f 及r 的单调递减性质知： i l f l l ；一= s 啪u pf ”( t ) 。骧l f f + 0 ) d s = ，+ ( o )= l i f l l 。 注3 1 当p , q 取以下值时，i l f l l 品不是l ( p ，口) 上的范数： ( i ) 0 p o o ，0 q 1 ， 7 口 ( i i ) 0 p o u p , 1 一, , ，晰f ) m 如删z p o ( 3 7 ) i，( z ) p ( b ( 茹，r ) ) = 0 其中b ( x ，r ) 为以z 为球心，r 0 为半径的闭球 引理3 3 存在与，无关的a ，q ：a 0 ，c 2 0 ，使得： g ，”( t ) ( m r ) + ( t ) c 2 f ”( t ) ( 3 8 ) 详细证明见c b e n n e n ta n dr s h a r p l y , i n t e r p o l a t i o no fo p e r a t i o r s ，p p l 2 3 - 1 2 4 利用定理3 2 及引理3 3 便可以得出工0 ，q ) 空间中的h a r d y l i t t l e w o o d 不等式，即： 定理3 4 如果1 p o ) ) 芸- i i f l l t 成立利用v i t a l i 覆盖引理可以证明 p = 1 情况 引理4 1 ( v i t a l i 覆盖引理)设b 1 ，岛，岛为舻中的球，则存在一 子集族豆。，岛，瓯满足： ( 1 )反两两无交，= 1 ，2 ，m ( 2 )p ( u 凤) 击p ( ub k ) 定理4 2 ( h a r d y - l i t t l e w o o d 不等式) 设f ( 舻) ，则： ( 1 ) p = 1 时，存在与f 无关的常数c 使：卢( 砑，( z ) 口) ) 鲁l l f l t - ( 2 ) p 1 时，存在与，无关的常数c 使：f 1 氟4 f f f ，硎川， 证明：只须证( 1 ) 成立 对比品= m f n ) ，由廊，定义知j 玩使得： 可b 厶i ，i 如 a且 岛 z e 晶覆盖昂 由v i t a l i 覆盖引理知，：t b l ，b 2 ，鼠使得： 蠢 u 岛2u 玩2 忍 i = 1z e 。 由 志厶如p ( 瞰) 旭” 知 胞) n ) ) s 小k u b j )= 墨p ( 岛)p ( ( m ，) ( z ) n ) ) s 小 b j )= e p ( 岛) ，= 1，= 1 壹：岛l 肚= 三亿马i i d z g l l l l l ( 其中c 与k 无关) 口 至此，我们已经得到h a r d y b i t t l e w o o d 最大值不等式中常数c 的存在性， 下一步的工作就是去试图寻找使不等式成立的最小常数c 然而，正如第一节 前言所述，该问题直到目前仍未解决本文下一节将通过对函数，( z ) ：e 一譬的 研究来估计当1 p + o o 时，不等式中常数c 的下界 51 p + 。o 时h a r d y l i t t l e w o o d 不等式中最佳常数c 的下 界估计 本节将通过对函数，( 茁) ：e 一譬的研究，来讨论当1 p ；所以有： ( m ，) ( z ) = 丽1z + 6 、( z ，) 出 ( 5 3 ) 由于6 ( z ) 为已( ) 的极大值点，知( 6 ( z ) ) = 0 由于对比。o ，( z ) ：e 一譬在原点两侧具有不同的单调性，知 ( z 。+ 6 ( z 。) ) ( z 。一6 ( z 。) ) ，即在x o , 6 ( z 。) ) 处曼挚0 故由隐函数存在性定 理知6 ( z ) 在z 。处为光滑函数，再由( 5 3 ) 式知( m f ) ( x ) 在z 0 处为光滑函数 引理5 1对z 0 ，有： ( 蚓= 盟型告坠型 ( 5 4 ) 1 2 及 ( m b ) = 趔型崭旺她 ( 5 5 ) 证明：先证( 5 4 ) 式成立由( 5 2 ) 式及( 6 ( z ) ) = 0 ，知； o ：必兰! 盟! 丛嬖型删 o l oj 可得： ( m ，) ( z ) ：矗( 6 ( 卫) ) ：丝型业掣竺燮 下证( 5 5 ) 式成立( 5 3 ) 式两边对z 求导可得： ( j l 彳，) ( z ) = 一鲁碧j ：譬留，o ) d t + i 1 两【，( z 十d ( 。) ) ( 1 + ( z ) ) 一，( z 一6 ( $ ) ) ( 1 一( z ) ) 】 = 趔掣崩型龇 口 推论5 2( m i ) ( x ) 在( 一o o ，0 ) 上为增函数；在( 0 ，+ ) 上为减函数 证明：当z 0 ，即( m f ) ( x ) 在( 一o o ，0 ) 上为增函数 同理可证( m f ) ( x ) 在( 0 ，+ o 。) 上为减函数。 口 利用( m f ) ( x ) 在y 轴两侧单调性，可得6 ( z ) 具有如下重要性质 弓i 理5 3 当z 0 时，i ( z ) i 1 证明：不妨设z 0 ；q 1 ，q 2 为( m f ) ( x ) 在( 一o o ，0 ) 上的两个相邻拐点，且 q l q 2 0 ；$ 1 0 ，x 2 0 且q 1 z 1 现q 2 0 ；厶为m 在翰处的切线， i = 1 ，2 由于( m ，) ( z ) 在( 一o 。，o ) 上为增函数，则( m 州z ) 在( 口l ，q 2 ) 上为凸函数或 凹函数 c a s e l ( m f ) ( x ) 在( q l , q 2 ) 上为凸函数 由弓i 理5 1 知( m ) ( z ) 过点( x l + d ( z 1 ) ，( z 1 + 6 ( $ 1 ) ) ) ，( z 2 + j ( z 2 ) ，( z 2 + 6 ( z 2 ) ) ) 由( m f ) ( x ) 在( q 1 ，q 2 ) 上的凸性及x l z 2 f ( x l + 6 ( z 1 ) ) 1 3 又，在( 0 ，+ o o ) 上为减函数知： x 2 + 6 ( x 2 ) x l + 6 ( x 1 ) 即。z + 6 ( z ) 在( 一0 0 ，0 ) 上为严格减函数 所以： 1 + ，( z ) 0 即： ( z ) 一1 c a s e 2 ( m f ) ( x ) 在( q l ，q 2 ) 上为凹函数 由引理5 1 知( m f ) ( x ) 过点( x 1 - - 6 ( z 1 ) ，( z l 一6 ( z ) ) ) ，( z 2 6 ( z 。) ，( z 。一6 ( z 2 ) ) ) 由( m f ) ( x ) 在( q 1 ，q 2 ) 上的凹性及z l x 2 6 ( z 2 ) 即：x 一6 ( z ) 在( 一o o ，0 ) 上为严格减函数 所以： 1 一( z ) 1 其他情形同理可证 记； s ( 茹) = j ( z ) 0 6 ( z ) 1 4 z 0 z = 0 z 1 ( 3 ) 。里( z + s ( z ) ) = + o o。! 瓣b ( z s ( z ) ) = i n f ( s u p p o r t ( f ) ) 。骂 + s ( z ) ) = 一o o 。一l i m ( x 一8 ( z ) ) = s u p ( s u p p o r t ( f ) ) 我们对h a r d y l i t t l e w o o d 不等式中最佳常数c 的下界的估计方法为： 针对函数，( z ) = e 一譬，先构造函数，( ) 使得，( 妒) i 细( 动= i i f l l 笔，；然后，利用 j ( 妒) 的e u l e r l a r g a n g e 方程来求使，( ) 最小的加= 8 0 ( x ) 为简化符号，记 g = m f 具体构造过程如下 由引理5 1 有： f ( x + s ( z ) ) = g ( z ) + 9 ( z ) 8 ( z ) ( 5 7 ) 及 f ( x s ( 霉) ) = g ( x ) 一口( z ) 8 ( z ) ( 5 8 ) ( 5 7 ) 式两边p 次幂后同乘以1 + s ，( z ) ，在从一0 0 到+ o o 上积分： j ! - i - 。o o 【9 ( z ) + g ， ) s ) 】p ( s 7 ( z ) + 1 ) d x = f - + 等of ( x + s ( z ) ) p ( s ( z ) + 1 ) d x = 麝f p ( x ) d x ( 5 9 ) = i i f l l 2 ， 同理由( 5 8 ) 式可得： ，+ 。l q ( z ) 一夕( z ) s ( z ) 】p ( s ( z ) 一1 ) o b = i l f l l l ( 5 1 0 ) 设； o 1 ，定义函数f ( z ，y ，z ) ； f ( x ，y ，z ) = o 函0 ) + 9 ( z ) 刎9 仁+ 1 ) + ( 1 一n ) 函( z ) 一g ( z ) ! ，】9 0 1 ) 其中( z ，y ，z ) 满足： ( 1 ) 一0 0 z + o 。 1 5 ( 2 ) 一编 y 踹 ( 3 ) 一o o 1 ，及一i 黠 y 1 ) ，( 5 1 5 ) 式及f 为关于z 的线性函数知： f ( x ，s ( z ) ，8 ( z ) ) 一f ( x ，8 0 ( z ) ，s ；( z ) ) = 【f ( x ，s ( z ) ，s ( z ) ) 一f ( x ，8 0 ( z ) ，s 7 ( z ) ) 1 + 【f ( x ，8 0 ( z ) ，s ( z ) ) 一f ( x ，s o ( x ) ，矗( z ) ) 】 ( 0 2 f ) ，8 0 ( z ) ，s ( z ) ) ( s 0 ) 一印( z ) )+ p 3 f ) ，8 0 ( z ) ，s ：( z ) ) ( s ( z ) 一s ： ) ) ( 5 1 6 ) ( 秽3 毋2 f ) ( z ，y ，z ) = p g 0 ) o b ( z ) + 9 ( z ) 暑】p 一1 一( 1 一o ) b ( z ) 一g 扛) ! 】p 一1 ) 在上式中令可= s 。x ) = 一p 黠得： ( 毋3 毋2 f ) ( z ，y ，z ) = p g ( z ) 【q ( 1 一p ) p 一1 一( 1 一口) ( 1 + 卢) p 一1 】矿一1 ( z ) 取： ( 1 + p ) p _ 1 口2 ( 1 + p ) 1 p - 1 + ( 1 - f l ) p - 一1 则： ( 毋3 秽2 f ) ( z ，y ，z ) = 0 即，( 毋：f ) ( z ，y ，z ) 关于。为常数 在( 5 1 6 ) 式中用s ：代替s 7 即得( 5 1 4 ) 式。 口 引理5 68 0 属于，的定义域，且有： i ( s o ) = r ( o ) 蚓i 备 其中r ( q ) = r l ( 口) + p b r 2 ( a ) ；r l ( q ) = a ( 1 一卢) 一( 1 一n ) ( 1 一卢) ” r 2 ( a ) = a ( 1 一p ) 9 - i - ( 1 一o ) ( 1 一) 证明；先证s 。属于，的定义域 设一o o 6 + c o ，由s o ( z ) = 一卢黯及分部积分公式可得： f bf ( x , s o ( z ) ，s ；( z ) ) 出= 片r l g p ( z ) 一r 。g p ( z ) 岳黠) 如 = r ( n ) 七9 ，( z ) 如+ r f g p 帅+ l ( j a ) 一帮) 1 8 ( 5 1 7 ) 当6 一十o o 时，由于，( z ) = e 一譬具有紧支撑，故，p + 6 ( 6 ) ) ：0 由( 5 4 ) 及( 5 5 ) 式： 卵) = 业掣 所以： 9 ，( 6 ) - _ 等铲 i 9 9 ( l b 。) j = 6 ( 6 ) 又； i b + i a ( 8 俐( ，) ) fs6 ( 6 ) 1 6 + s u p ( s u p p o r t ( f ) ) l ，9 ( 6 ) = d ( ；) 故： 帮= 俨( 扣( b ) - - - - , 。 同理可证当口一一o o 时： 嬖单一。 夕，( n ) 一 又由0 p 1 知即属于，的定义域，且，( s o ) ：r 陋) l l g 慨 口 引理5 7 m ) ，( 印) ，即i i m f l l 各南f f ，f | 备 证明： 设一o o n b + o o ，由引理5 5 及分部积分公式可得 f ：f ( x ，s ( z ) ，s ( 茹) ) 如：露 f ( z ，8 ( z ) ，s ( 2 ) ) 一f ( x ，s o ( z ) ，s ：( z ) ) 】d z + f ：f ( x ，s 。( z ) ，s ：( z ) ) d z 2 片【( 如f ) ( z ，s 0 ) ，晶扛) ) ( s 0 ) 一8 0 0 ) ) + ( 0 3 f ) ( x ，s o ( z ) ，s ：( z ) ) ( 8 ( z ) 一s ； ) ) 】d z + j 曹f ( x ，s o ( z ) ，s o ( x ) ) d x = 片【( 秽z f ) ( z ，s o ) ，s ： ) ) 一差( 如f ) ( z ，印 ) ，s ：( z ) ) 】( s ( z ) 一8 0 0 ) ) d z + ( 毋3 f ) ( 6 ，8 0 ，8 ：( 6 ) ) ( s ( 一8 0 ( b ) ) 一( 0 3 f ) ( a ，8 0 ( a ) ，s ：( 口) ) ( s ( o ) 一8 0 ( a ) ) + 七f ( x ，s o ( x ) ，s ：( z ) ) 如 由引理5 4 知第一部分积分为0 当b 一+ o 。时，由于，( z ) = e 一譬具有紧支撑，故，( 6 + j ( 6 ) ) = 0 由( 5 1 3 ) 知s o ( x ) = 一p 争罄辛s o ( b ) = 3 s ( b ) 1 9 又： 所以。 器一s ( 毋3 f ) ( 6 ，s 0 ( 6 ) ，8 ：( 6 ) ) ( s ( 6 ) 一8 0 ( 6 ) ) = q b ( 6 ) + 9 ( 6 ) s o ( 6 ) 】， + ( 1 一o ) 曲( 6 ) 一9 ( 6 ) s o ( 砷p ) ( s ( 6 ) 一s o ( 6 ) ) = c g p ( b ) s ( b 、 = c 帮 _ 0 ( b _ + o 。) 其中c 为某一常数 同理可得，当a 一一o o 时，( 0 a f ) ( a ，8 0 ( o ) ，s ：( o ) ) ( s ( ) 一s 0 ( 口) ) 一0 所以； i ( s ) 2 i ( s o ) 口 由引理5 7 知，对比： o 1 都有i m f h 2 ，丽1i i f l l 故只需证 j n o ： 咖 1 ，使r ( 咖) = e ) 呻即可 定理5 8 使不等式： i i m f l i l , c 扫) i p 成立的最小常数c ) 为； ：s 州u p 盟喾 证明：由引理5 7 知； r ( a ) a ( 1 一卢) p 一( 1 一口) ( 1 + p ) p + 尹口r 2 ：竺( 2 = ! ) ! f = 曲f ! 垒二f ! = 型查】 a p - - 与+ 0 一a ) p 击- l p 对t ( 1 ，+ 。o ) ，定义 ”) ：堕避善监 可得，( t ) 在( 1 ，+ o o ) 上单调递减，且存在唯一的r ： 使得( t ) = 0 令： 历p + r 肛等 蜘= 再等等矿 r ( 咖) = 蔫龄等掰 2 p ( p - 1 、r p ( ；若+ 1 ) p “【( 焉) 叫+ l j 2 石莉蔫旆面雨丽1p 【( r 1 ) ( 一 + ( r + 1 ) ( 一寺】p 一1( r 1 ) ( 2 尹+ ( r + 1 ) 2 尹) = 【面雨2 r 招p - 1 】9 = ( r ) 呻 = c ( p ) _ p ( 5 1 8 ) 口 参考文献 【l 】1 l ，g m f a k o sa n dj k i n m m e n ，s h a r pi n e q u a l i t i e sf o rm a x i m a lf t m c t i o u sa s s o c i a t e dw i 也 g g e n e r a lm e 鹅v x e s b u l l l o n d o nm a t h 1 9 9 1 f 2 】l o u k a sg r a t k o s s t e p h e nm o n t g o m e r y - s m i t ha n do l e x em o t r t m i c h ，as h a r pe s t i m a t ef o r t h eh a r d y - l i t t l e w o o dm a x i m a lf o u n c t i o n s t u d i am a t h e m a t i c a 1 3 4 ( 1 9 9 9 ) 5 7 - 6 7 ， 1 3 】l g r a f a k o sa n ds m o n t g o m e r y - s m i t h b e s tc o n s t a n t sf o ru n c a n t r e dm a x i i 砌f u n c t i o n s ， b u l l l o n d o nm a t h 8 0 c 2 9 ( 1 9 9 7 ) 6 0 - 6 4 【4 】g h h a r d ya n dj e l i t t l e w o o d ，am a x i m a lt h e o r e m w i t hf u n c t i o n - t h e o r e t i ca p p l i c a t i o n s ， a c t am a t h 5 4 ( 1 9 3 0 ) 8 1 1 1 6 【5 】a d m e l a s ，t h eb e s tc o n s t a n tf o rt h ec e n t e r e dh a r d y - l i t t l e w o o dm a x i m a li n e q u a l i t y a n n a l so fm a t h 1 5 7 ( 2 0 0 3