（运筹学与控制论专业论文）混合泊松分布及其性质.pdf

上海大学硕士学位论文 摘要 混合泊松分布在生物学、风险理论和精算数学等众多领域中有者广泛的应用。研究 混合泊松分布自然具有重要的理论和实际意义。 第一章，简单回顾了混合泊松分布的研究历史和一些相关问题的研究情况。 第二章，主要研究混合泊松分布类的随机控制序、失效率序及失效率函数。汪明j ， 混合泊松分布类相对其强度分布类的随机控制序( 失效率序) 是保随机控制序( 失效率序) 的，通过反例证明了强度分布类相对其混合泊松分布类的随机控制序却小一定是保随机控 制序的。熟知，泊松分布的另一简单而重要的性质是其失效率函数总足递增函数，通过反 例证明了混合泊松分布的失效率函数却不一定都是递增函数。 用混合泊松随机变量的观察值来估计其随机强度无论在理论和实际问题中都具有重 要的意义但却是一个困难的问题。第三章简单地概述了随机强度的渐近估计、最优线性 估计和贝叶斯线性估计等基本结果：给出了一类混合泊松分布类的随机强度的姒叶斯估计 特征刻划。进而把混合泊松分布类的随机强度的贝叶斯估计特征刻划拓广剑较一般情形 拓广了j o h n s o n 的工作：将随机强度的最优线性估计拓腱到最优多项式估计。 在风险理论、保险精算等研究领域和实际问题中经常会碰到混合泊松分布列的计算 问题。w i l l m o t 于1 9 9 3 年给出了强度分布密度满足特定一阶齐次微分方程的混合泊松分布 列的递推式，即著名的w f l l m o t 递推式第四章的主要工作足推广了w i l l m o t 的结渠，给 出了强度分布密度满足更一般的一阶微分方程情形的混合泊松分布列的递推式。 关键词：混合泊松分布，随机序，贝叶斯估计，w i l l m o t 递推式 v 上海大学硕士学位论文 a b s t r a c t m i x e dp o i s s a nd i s t r i b u t i o ni ss t u d i e de x t e n s i v e l yi nm a n yf i e l d ss u c ha sb i o l o g ym a t h e m a t i c s ， r i s kt h e o r ya n da c t u a r i a lm a t h e m a t i c sa n ds oo n i ti sv e r yi m p o r t a n tt os t u d ym i x e dp o i s s o n d i s t r i b u t i o ni nt h et h e o r ya n dp r a c t i c e i nc h a p t e ro n e , w er e v i e wt h eh i s t o r yo f m i x e dp o i s s o nd i s t r i b u t i o na n dt h ed e v e l o p m e n t so f s o m em a i np r o b l e m s i nc h a p t e rt w o ，w em a i n l ys t u d ys t o c h a s t i cc o n t r o lo r d e r f a i l u r er a t eo r d e ra n df a i l u r er a t e f u a c t i o n so f t h e f a m i l yo f m i x c dp o i s s o n d i s t r i b u t i o n s w ep r o v e t h a t i n t h es e n s eo fs t o c h a s t i c c o n w o lo r d e r ( f a i l u r er a t eo r d e r ) , n l ef a m i l yo ft h em i x e dp o i s s o nd i s t r i b u t i o n si so r d e r p r e s e r v i n gr e l a t i v et oi t sf a m i l yo ft h ei n t e u s i t yd i s t r i b u t i o n s ，a n dp r o v eb yt h ec o u n t e r e x a m p l e t h a tt h ef a m i l yo f t h ei n t e u s i t yd i s t r i b u t i o n sm a yn o to r d e r - p r e s e r v i n gr e l a t i v et o i t sf a m i l yo f t h e m i x e dp o i s s o nd i s t r i b u t i o n si nt h es t o c h a s t i cc e n t r e io r d e r a sw ek n o w , as i m p l ea n di m p o f l a n t c h a m c t e ro fp o i s s o nd i s t r i b u t i o ni st h a ti t 摹f a i l a r er a t ef a n c t i o ni si n c r e a s i n g , b u ta c o u n t e r e x a m p l ei sg i v e nt h a tt h ef a i l u r er a t ef a n o t i o no f t h em i x e dp o i s s o nd i s t r i b u t i o nm a yn o t b ei n c r e a s i n g i ti si m p o r t a n ti nt h et h e o r ya n dp r a c t i c et oe s t i m a t et h es t o c h a s t i ci n t e n s i t yb yt h eo b s e r v e d v a l u e so ft h em i x e dp o i s s o nr a n d o mv a r i a b l e i nc h a p t e rt h r e e ，as i m p l eb r i e fa c c o u n ti sg i v e n f o rt h em a i nr e s u l t so ft h ea s y m p t o t i c a l l ye s t i m a t e ，o p t i m a ll i n e a re s t i m a t ea n db a y e sl i n e a r e s t i m a t ea n ds oo n i ti sg i v e nt h a tt h ec h a r a c t e ro f t h eb a y e se s t i m a t eo f t h es t u c h a s t i ci n t e n s i t y o fnc l a s so fm i x e dp o i s s o nd i s t r i b u t i o n s , a n di ti se x t e n d e dt oam o r eg e n e r a lc a s e t h i sr e s u l t e x t e n d sj o h n s o n sr e s o i t i na d d i t i o n , t h eo p t i m a lp o l y n o m i a le s t i m a t ei so b t a i n e d i ti so f t e nn e e d e dt oc a l c u l a t eam i x e dp o i s s o nd i s t r i b u t i o ni nt h er i s kt h e o r y , i n s u r a n c ea c t u a r y a n do t h e ra o t u a lp r o b l e m s w i l l m o tr c c b r r e n c ef o r m u l ai sg i v e nb vw i l h n o tt oc a l c u l a t e t h e m i x e dp o i s o nd i s t r i b u t i o nw i t ht h ei n t e a s i t yd i s t r i b u t i o nd e n s i t ys a t i s f y i n gas p e c i a lf i r s t - o r d e r h o m o g e n e o u sd i f f e r e n t i a le q u a t i o n i nc h a p t e rf o u lt h er e c u r r e n c ef o r m u l ai sg i v e nf o rt h e m i x e dp o i s o nd i s t r i b u t i o nw i t ht h ei n t e n s i t yd i s t r i b u t i o nd e n s i t ys a t i s f y i n gam o r eg e n e m l f i r s t - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n , w h i c he x t e n d sw i l l m o t sr e s u l t k e y w o r d s ： m i x e dp o i s s o nd i s t r i b u t i o n ，s t o c h a s t i c o r d e r ，b a y e s - e s t i m a t e ，w i l l m o tr e c u r r e n c ef o r m u l a 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：在翼丝日期：鲤： ：厦 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅：学 校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) h 日期：鲤： z 上海大学硕士学位论文 第一章绪论 l 1 泊松分布和混合泊松分布 在我们每个人的一生中，都会遭遇不可预料的各种各样的“悲”和“喜” 的稀有事件，如交通事故、被盗、重大疾病、解雇、股市获得暴利等等。这些 稀有事件发生的次数是我们最为感兴趣的问题之一，它通常是服从泊松分布或 混合泊松分布的。 设某汽车司机在一年内所遭遇的不至致命的交通事故次数为，那么是 服从参数为五的泊松分布的，即 p ( _ = 护鲁一 t 地l 加， 其中a 0 称为的强度，它通常是与一年内的行程、交通状况、i j 机本人的 驾驶技术等因素有关的。五= e n 的直观意义是其司机在一年内所遭遇的交通事 故平均次数。在这一问题中，我们注重的是单一汽车司机所遭遇的交通事故次 数。但实际上，对于交通管理部门或保险公司，考虑某一城市或某一司机群体 在一年内遭遇的交通事故次数更具有实际意义。设若干个汽车司机在一年内遭 遇到的交通事故次数为，尽管假设他们各自的行程基本相同，交通状况类似， 但由于他们的驾驶技术或心理素质是有差别的，因此他们各自遭遇交通事故次 数的强度五是各不相同的。此时，我们把这些司机遭遇交通事故次数的强度视 为一个随机变量a ，单个司机遭遇交通事故次数的强度 即为a 的取值。即使 每个司机遭遇交通事故次数的强度是无法知道的，但如果知道这一司机群体的 随机强度的分布( ) ，那么交通事故次数是服从混合泊松分布的，即 p ( 叫叫筹e - ) = c 鲁p “( d 2 ) ，i = 0 ，1 2 ， 其中( ) 称为的强度分布或先验分布或结构分布。而a 称为的随机强度。 上海大学硕士学位论文 记为一m e ( a ) ，或一m p ( g ( ) ) 。 混合泊松分布又称为加权泊松分布或条件泊松分布，即在给定随机强度 a ；五的条件下，酌条件分布是参数为旯泊松分布 p ( = _ j l a 叫= 丢e ，k = 0 , 1 , 2 , - - - 以a 为其随机强度的混合泊松随机变量是泊松的，当且仅当p ( a = 五) = 1 或 d a = 0 。由简单计算知 e n = e a d n = 占a + d a e a 。 由此，混合泊松分布相对于泊松分布是“过度分散”的。d a 称为随机强度的 变差，而e a = d ( n a ) 直观地称为泊松变差。另外，将表述为 n = ( 一a ) + a ， 注意到 e o v ( n a ，a ) = 研( r a ) a 】= e ( 研( 一a ) a i a i ) = 0 ， 由此，我们可以直观地把a 解释为“信号”，而一a 直观地解释为“噪声”。 通过上述问题的叙述，我们已直观地感觉到在保险、中用混合泊松分布作 为某一司机群体遭遇交通事故次数的分布比之用泊松分布更为符合客观实际。 事实上，早在二十世纪初，p 6 1 y a ( 1 9 3 0 ) 1 、e g g e n b e r g e r ( 1 9 2 4 ) 2 饽利用负二项 分布作为保险业中索赔次数的分布，并证实了比之用泊松分布更符合客观实际。 而负二项分布即是以r 一分布为其强度分布的混合泊松分布。 混合泊松分布的一般概念由d u b o u r d i e u 3 】于1 9 3 8 年最先提出d u b o u r d i e u 和l u n d b e r g 4 应用其于精算数学中用来描述某一时自j 段内疾病与意外事故索 赔次数的分布。但实际上，p 6 1 y a 和e g g e n b e r g e r 等已先，丁他们将混合泊松分布 的有关个例( 负二项分布) 应用于精算数学中。由于混合泊松分布在保险精算 领域获得了重要而广泛的应用，进而发展形成了概率论中的一个重要分支一 混合泊松随机过程，更值得惊喜的是，已发展到霞泊松过程或随机环境中的泊 松过程。 上海人学硕士学位论文 有关混合泊松分布的研究已获得了不少重要结果，尤其是关于其具有不同 随机强度的混合泊松分布的个例的研究十分广泛。 g r e e n w o o da n dy u l e ( 1 9 2 0 ) 5 和n e w b o l d ( 1 9 2 6 ) 6 首先给出了随机强度是 r 一分布的混合泊松分布的研究强度分布为r 一分布的混合泊松分布实际上即 是负二项分布。特别地，强度分布为指数分布的混合泊松分布即为几何分布。 这说明某些混合泊松分布比泊松分布似乎更“简单”( 我们直观上总足认为混合 泊松分布比泊松分布更“复杂”) 。j o h n s o n 7 于1 9 5 7 年给出了随机强度a 的 b a y e s 估计的重要结果：设j v 是一混合泊松随机变量，其随机强度为a ， 姒 ，则a 的b a y e s 估计a ：= e ( a i n ) 是n 的线性函数当且仅当a 服从r 一 分布或单点分布。关于随机强度是r 一分布的混合泊松分布，p a n j e t 扶得了计算 b = p ( n = n ) 的p a n j e r 递推式( 1 9 8 1 ) 【8 】： n = o + 皇) 雠i ，月= l ，2 ， 其中a r ( ，) ，口= 上p + l ，6 。口r - _ + a l 设a 是一非负随机变量，称它是服从平移r 一分布的，若有密度函数 f ( x ) = 帅) ，- l p _ 肌一“ 若混合泊松随机变量的随机强度是平移r 一分布的，则称它是服从d e l a p o r t e 一 分布的。d e l a p o r t e 一分布由d e l a p o r t e 9 于1 9 6 0 年提出。r u o h o n e n ( 1 9 8 8 ) 1 0 、 w i l l m o ta n ds u n d t ( 1 9 8 9 ) 1 1 】和s c h r 6 t e r ( 1 9 9 0 ) 1 2 1 相继纣d e l a p o r t e 一分布进行了 广泛而深入的研究。 g o o d 于1 9 5 3 年引入了广义逆高斯分布【1 3 】，强度分布为广义逆高斯分布 的混合泊松分布称为s i e h e l - 分布。j o r g e n s e n 、s i c h e l 、w i l l m o t 、p a n j e ra n d w a n g 1 4 - 1 7 对s i c h c l - 分布，特别是对它的某些特例进行了“泛而深入的研究。 设a 是一非负随机变量，称它是服从负r 一分布的，若它有密度丽数 ( 分卫 八功。南。1 一如， 上海大学硕士学位论文 其中， 0 。当，= 一妄时，a 称为逆高斯分布的。负f 一分布足广义逆 高斯分布的特款。强度分布为逆高斯分布的混合泊松分布称为逆岛斯一泊松分 布。逆高斯泊松分布由h o l l a 1 8 于1 9 6 7 年引入。s i c h e l 、w i l l m o t 和j r g e n s e n 等相继对其进行了更深入的研究，并拓广至s i c h c l 分布的研究。特别值得提 的是，w i l l m o t 给出了计算混合泊松分布的较一般的处理方法，即著名的w i l l m o t 递推式：设a 是一非负连续型随机变量，其密度函数p ( | ) 满足如下条件 1 ) f 。“) 留= 1 ，o s ，o o ， 其中b + i = 只l = 玑。= o ，p - t = o ，乃，_ = e - 。w i l l m o t 递推式给出了计算混合泊松 m ： 分布列的一个较为普遍的方法，它可以直接应用于d e l a p o r t e 分布、逆高斯泊 松分布等混合泊松分布列的计算。 强度分布分别为b e t a 分布、均匀分布、截断正态分布、对数正态分布和截 尾r 一分布的混合泊松分布分别称为b a t a - p o i s s o n 分布、u n i f o r m p o i s s o n 分布、 t r u n c a t e d n o r m a l p o i s s o n 分布、i o g n o r m a l p o i s s o n 分布和t a i l t r u n c a t e df p o i s s o n 分布。q u i n k e r t ( 1 9 5 7 ) 1 9 和g u r l a n d ( 1 7 5 8 ) 2 0 分别将b a t a - p o i s s o n 分布应用于保 险精算和生物学的研究。b h a t t a c h a r y a 和h o l l a ( 1 9 6 5 ) 2 1 x u n i f o r m p o i s s o n 分 布进行了研究并应用于保险精算。有关t r u n c a t e dn o r m a l p o i s s o n 分布的研究可 以追溯到k u p p e r ( 1 9 6 2 ) 2 2 和p a t i l ( 1 9 6 4 ) 2 3 等的工作有关l o g n o r m a l p o i s s o n 上海大学硕士学位论文 分布的研究可以参见b u l m e r ( 1 9 7 4 ) 2 4 】和s h a b a n ( 1 9 8 8 ) 2 5 的相关文献。 t a i l t r u n c a t e df p o i s s o n 分布的研究可以参见k e m p ( 1 9 6 8 ) 2 6 的文献。 用混合泊松随机变量的观察值来估计其随机强度无论在理论和实际问题中 都具有十分重要的意义设是一混合泊松随机变量，其随机强度为a ，称使 得e ( a ：一a ) 2 达到最小的n 的线性函数a ：= 口+ 6 为a 的最优线性估计。参见 b l l h l m a n ( 1 9 7 0 ) 2 7 或g r a n d e l l ( 1 9 7 6 ) 2 8 的相关文献知，a 的最优线性估计是 t 。蔫+ 熹肌 其中以= e a ，吒2 = d a 。我们称a ：= e ( a i n ) y g a 的b a y e s 估计。如前所述， j o h n s o n 7 - 于1 9 5 7 年给出了a 的b a y e s 估i , t a ；, g n 的线性函数的充要条件，而 在混合泊松过程中相应的结果是由l u n d b e r g 4 于1 9 6 4 年给出的。另外利用 随机序列的各种收敛性可以给出随机强度a 的各种渐近估计。设m 是以a t 为 其随机强度的混合泊松随机变量，在非常一般的假设条件下，a d e l la n dd el a c a l ( 1 9 9 3 ) 2 9 1 给出了a 的渐近估计及其收敛阶，即l i m 二m = a ，a ef 由收敛阶。 1 2 本文的研究内容 混合泊松分布理论的研究历经近一个世纪，其理论已相当完善。本文所研 究的内容仍是一些经典的问题，作为混合泊松分布研究的补遗，仍具有一定的意 义。 有关随机序的研究始于h a r d y 、l i a l i w o o d 和p 6 1 y a 关于一阶停止序的研究 工作。迄今，随机序在可靠性理论、排队论和精算数学等众多学科领域中有着 广泛的应用。r o s s 3 0 、s h a k e d 和s h a n n i k u m a r 3 t 以m u l l e r 和s t o y a n 3 2 的 著作较全面而系统地介绍了随机序的研究成果及其在相关领域的应用。混合泊 松分布在生物数学、风险理论和精算数学等众多领域巾有着j 。泛的应用。研究 混合泊松分布类的随机序自然具有重要的理论和实际意义。第二章，我们主要 上海大学硕士学位论文 研究混合泊松分布类的随机控制序、失效率序及失效率函数。我们证明了混合 泊松分布类相对其强度分布类的随机控制序( 失效率序) 是保随机控制序( 失 效率序) 的，而通过反例证明了强度分布类相对其混合泊松分布类的随机控制 序却不一定是保随机控制序的。而熟知，泊松分布的另一简单而币要的性质是 其失效率函数总是递增函数，但我们通过反例证明了混合泊松分布的失效率函 数却不一定都是递增函数。 用混合泊松随机变量的观察值来估计其随机强度无论在理论和实际问题中 都具有十分重要的意义，但却是一个困难的问题。在第二章，我们简单地概述 了随机强度的渐近估计、最优线性估计和贝叶斯线性估计等基本结果。关于随 机强度的贝叶斯估计最有名的结果是j o h n s o n 7 于1 9 5 7 年给出的，它 j 随机强 度的贝叶斯估计的线性特征给出了一类混合泊松分布类的刻划。我们的主要工 作是拓广了j o h n s o n 的工作，给出了另一类混合泊松分布类的随机强度的贝叶 斯估计特征刻划。进而把混合泊松分布类的随机强度的贝叶斯估计特征刎划拓 广到较一般情形。另外，我们将随机强度的最优线性估计拓展到最优多项式估 计。 在风险理论、保险精算等研究领域和实际问题巾，经常会碰到混合泊松分 布列的计算问题。混合泊松分布列计算的复杂与否，视其强度分布而定，所以， 要给出混合泊松分布列计算的一个普通的方法实际上是一个很困难的问题。若 强度分布密度满足如下一阶齐次微分方程 ( t ) - - 鬻嘣( ，) 删纬 其中玎( ，) 和g ( ，) 均是多项式。w i l l m o t 3 3 - f - 1 9 9 3 年给出了强度分布密度为“( ) 的混合泊松分布列的递推式，即著名的w i l l m o t 递推式。它给出了计算混合泊 松分布列的一个较为一般的方法，可以直接应用于d e l a p o r t e 分布和逆高斯一 泊松分布列的计算。第四章的主要工作是将w i l l m o t 递推式拓广到其强度分布 密度满足更一般的一阶微分方程情形。即假设强度分布密度满足如下一阶微分 方程 6 上海大学硕士学位论文 州m ( ，) + 筹w ( ，) 绵 其中r ( ，) 是一连续函数，r l ( ) 和g ( ，) 均是多项式，我们给出了以( ) 为其强度分 布密度的混合泊松分布列的递推式。 上海大学硕士学位论文 第二章混合泊松分布的随机序 有关随机序的研究始于h a r d y 、l i t t l e w o o d 和p d l y a 关于一阶停止损失序的 研究工作 3 4 ，迄今，随机序的概念得到了广泛的拓展，其研究成果十分丰富，应 用非常广泛。目前，研究较深入、应用较广的随机序有停止损失序、随机控制 序、失效率序、似然比序，随机凸序等。它们在可靠性理论、排队论、统计学、 风险理论、精算数学等众多学科领域中有着广泛的应用。r o s s 3 0 、s h a k e d 和 s h a n n i k u m a re 3 1 以及m t i l l e r 和s t o y a n 3 2 的著作较全面、系统地介绍了随机 序的研究成果及其在相关领域的应用。k a s s 、h e e r w a a r d e n 和g o o v a e r t s 3 5 的著作系统地研究了随机序在风险管理和保险精算领域中的应用。 混合泊松分布在通信理论、风险理论、精算数学等诸多领域巾有着j “泛的 应用，研究混合泊松分布类的随机序自然具有重要的理论和应用意义。本章， 我们主要研究混合泊松分布类的随机控制序、失效率序以及失效率函数。熟知， 时齐泊松分布类依随机控制序、失效率序均构成一个全序集，即任一时齐泊松 随机变量序列在上述两个随机序的意义下是单调的当且仅当其强度序列在实数 自然序下是单调的。然而，混合泊松分布类与其强度分布类之间并不具有上述 类似的双向保序性。我们证明了混合泊松分布类相对其强度分布类的随机控制 序( 失效率序) 是保随机控制序( 失效率序) 的，但是强度分布类和对其混合 泊松分布类的随机控制序却不一定是保随机控制序的。时齐泊松分布类的另一 简单而重要的性质是失效率函数总是递增的。然而，混合泊松随机变量的失效 率函数却不一定都是递增的。 2 1 随机控制序与失效率序 随机控制序与失效率序是两个最为常见的随机序。本节，我们对这两个随 机序的有关概念作简要的介绍。 定义2 1 设x 和y 是两个随机变量，b ( ) 和耳( ) 分别是它们的分布函数记 s 上海大学硕士学位论文 最( ) = 1 - 以0 ，元( ) = 1 - 耳( ) ，它们称为生成函数! 若对一切实数x ，有 瓦( x ) 瓦， 则称x 依随机控制序的意义小于y ，且记为x y 有关随机控制序一个熟知的例是泊松随机变晕关于它的强度是依随机控制 序递增的。设随机变量只( 五) ，则对任意的非负整数盯， 弘，= 薹鲁。，删 z ， 蹴栌d - = 薹c 志一争屯志e 一t ，z ，。 由此，瓦( 功作为强度五的函数是单调递增的，即泊松随机变量关于它的强度 是依随机控制序递增的。 下述命题是熟知的，它用实数自然序给出了随机控制序的表述。 命题2 2 设工和】，是两个随机变量，则下述条件是等价的： 1 ) 石】， 2 ) 存在概率空间( q ，3 ，p ) 及其上的随机变量x 和】，使得它们的分布函数分 别和x 与y 的分布函数相同，且p ( x y ) = 1 ， 3 ) 对一切单调递增函数，( ) 有髟( x ) z f ( j ，) 定义2 3 设x 是一非负整值随机变量，令 五( 疗) ：! 盟，：o ，1 ，2 ， 尸 = t ) 我们称a ( n ) ，0 是x 的失效率函数。如果x 的失效率函数关于胛是递增的，那 么称彳是一个递增失效率( i f r ) 随机变量；如果x 的失效率函数关于月是递减的， 那么x 称是一个递减失效率( d f r ) 随机变量。对于非负连续型随机变量，可类似 地定义失效率函数。 9 上海大学硕士学位论文 如果我们每隔一个单位时间观察一次某种元件的使用寿命，那么失效率 五伽) 即表示历时疗一1 个单位时间的元件在时间区间( n - 1 ，h 】内失效的概率所 以，x 是i f r p f r ) 的即表示在一个单位时间内，越老的元件越容易( 越不容易) 失效 设随机变量只( 旯) ，那么的失效率函数为 五( ) = p ( n = n ) p ( n = | ) ：互。1 争之一z 珂!怎t ! = 嚷雨斋而) - i ，n = o , l , 2、台( 打+ 1 ) ( h + 2 ) ( 拧+ t ) 显然的失效率函数a ( ”) 关于疗是单调递增的，所以，泊松随机变量是i f r 的。 利用失效率函数给非负随机变量类规定的序，称为失效率序，由下述定义给 出。 定义2 4 设z 和j ，是两个非负整数随机变量，它们的失效率函数分别为以) 和以( n ) ，若对一切月o 有 以( ) 以( ) ， 则称x 依失效率小于】，且记为x - y 。 | i r 对于连续型非负随机变量类可以类似地定义失效率序。事实上，利用生存 函数比的单调性可以将上述失效率序的概念拓广到一般随机变鼍类。 定义2 s 设x 和y 是任意两个随机变量，其生成函数分别是瓦( ) 和瓦( ) ，若 瓦( x ) 耳( 功是石的单调增函数，则x 称依失效率序小于y 。 命题2 6 设x 和y 是两个随机变量，若x o 的单点分布。 下述定理阐述了混合泊松分布类的随机控制序与其强度分佰类的随机控 制序之间的关系。 定理2 8 设n j - m e ( a 1 ) ，2 脚，( a ：) 1 ) 若a - 吾a ：，则l 吾2 ， 2 ) 虽然有一吾2 ，却不一定有a 吾a 2 证明：1 ) 设脚( a ) ，那么有 p ( 疗) = f ，( 疗卜= 五) 识( 五) = 喜。f 一争畈( 上海大学硕士学位论文 由于a t 吾a ? ，即瓦，( 五) s 及：( 兄) ，有 尸( l 刀) 户( n 2 功， 一0 注意到l 和2 都是非负整值的，所以讥r ，有 尸( n l 曲sp ( n 2 功 2 ) 我们通过给出反例证明之设a ，的分布函数为e ( 曲，a ：的分布函数为 五( 功，且e ( x ) 和e ( 功满足如下关系： a ) 当0 加f 等e 。霉( 姚川2 一 0 ， 那么p ( l n ) - p ( 2 功 = f 鲁。( j i ( 小丘( 功) 出 = j ：鲁一( e c x ) 一元( 功) 出+ f 鲁“( 耳( x ) 一最( 砌幽 由反( x ) 和最( x ) 的假设条件知 以l o ) 一尸( n 2 o ) 棚 一r矿 一烈 一 擞 竺” 氰 0 o r b 呷0私阵 上海大学硕士学位论文 = f e 。( 霉( 功一丘( x ) ) 出o ， 由此，v 盯0 ， 又显然有 于是推得 即 ：i 一e - z ，- - i ( x ) 一元( x ) ) 出f 手丘( z ) 一元( x ) ) 出， i ：一鲁。( 丘( x ) 一元o ) ) 出j ：一鲁( 丘( x ) 一元。”出 f 手j i ( x ) 一丘( x ) ) 出f 鲁一。( 五( x ) 一元( x ) ) 出， c 一鲁叶( 露( 功一丘( 功) 出f 鲁“( 五( x ) 一丘( x ) ) 出， 尸( i 功一以2 功。f 争1 ( 丘( 功一五( x ) ) 出o v 月 于是证得2 吾- ，至此t 定理证毕。 定理中丘( 功和冠 ) 满足的关系如下图所示： 上海大学硕士学位论文 五 ) ，n i m p ( a 一) ，2 m v ( a z ) 若a t ；a 2 ，则t ；2 枷卜揣= 窀箬 ：笪2 型竺。川，： f 丽, 2 n - i e 一。删觎 f 等e “露( 五) 以 ，f 等e 。丘( 五) 烈 r 南e “丘( 五) 烈i ：而。i , n - i e 。元( 五) 烈 1 扩l 一 f 刀e “露( 力a 隗f 矿1 e “元( x ) d z f 矿k “露o ) d a f o e “元o ) d a f r ox ( 功”1 e 一”露( 功瓦o ) 出咖f f “砂) “e j ”丘( x ) 瓦( x ) c & 砂， s or ( v - x ) ( x y ) n - i e 。x + y ) 耳( 曲丘 ) 出砂o 而 f f o ，一曲( 功n - i e 叫x + y ) 丘( 最( x ) 出砂 = j o , - x ) ( x y ) - e - 丘o ) 五o ) 出咖 6 y + ( y x ) ( 叫) ”1 p 一”丘 ) e ( y ) 出砂， j ，v 1 4 上海大学硕士学位论文 o 一) ，) ( 砂) “f ”7 丘( x ) 元o ) 出砂 x y = f j c v 一善) ( 劝”1p 一“”( x ) 丘( y ) d x d y i s y 当石s y 时有 即 器s 器， 丘o ) 瓦( x ) 丘( 工) 冠o ) 所以有 h c v - x ) ( 砂) ”p 一”门露o ) 元o ) a x a y f ( y - x x x y ) “p 巾丘( x ) 瓦o ) 西回， j s r 即 f f 0 - x ) ( x y ) “f 叫”最( x ) 元( 力出砂o 由此证得n i 丢2 ，定理得证a 上述定理给出了混合泊松分布类的失效率序与其强度分布类的失效率序 之间的关系。 问题：设a ，和a 2 是二非负随机变量，l 和n ：是二非负整值随机变量，且 n i - m p ( a t ) ，2 一m p ( a 2 ) ，l ；v 2 ，那么a 一吾a z ，或a 一；a 2 是否成立? 下面我们讨论混合泊松分布的p 一稀疏是否保序的问题。 定义2 1 0 设和n p 是二非负整值随机变量，若。有分布列 尸( 。= 七) = 以饼p g “) ， k = o ，1 ，2 ， 其中0 p a i + 1 ) _ ，l ，a o ( n ) = a o ( n + 1 ) ，即五( h ) 五仰+ 1 ) ，此时n 的失效率函 数是递增的，是i f r 的；当y 1 时，巳( 胛) 口+ 1 ) 1 ，a o ( n ) = 订。+ 1 ) 即 五( ) 五o + 1 ) ，此时的失效率函数是递减的，是d f r 的定理证毕 下面我t f 再给t l ：l - - 个混合泊松随机变量足i f r 的例 例设n m p ( a ) ，其中a 有如下密度函数 f ( x ) = 石南 “( 1 叫“一，州。1 ) ， 上海大学硕士学位论文 其中c ( 口，6 ) = j = p 石“( 1 一曲6 1 出是规范化常数，0 口 b + 是二实常数，则 当a = l 。b = 2 时n 是i f r 的。 证明：p ( = t ) = 志j ：去x 。( 1 一曲“。出 = 丽i 等器产小o ，- _ ，c ( 口，6 ) 七!r ( 七+ 6 ) 。 州= 石南薹j ：去c - 叫“出 =丽1刍=i1c(a筹小o 1 ，2 ，6 ) 怠硝r + 6 ) 7。 所以 ! 坐兰盟：土! 尘尘! 鱼二尘1f ( k + a ) f ( b - a ) p ( n = t ) 怠蹦r ( ”+ 6 ) 肘 r ( 女+ 6 ) ：! 生! 丛! 尘 j 三f i + 1 1 玎r ( k + a ) f ( n 十6 1 ： !垡虫：竺! 二! 虫 訇( 女+ 1 ) ( | i + j ) ( 女+ 6 ) ( 七十j 一1 + 6 ) 注意到上式中级数的第一项的值为1 现在取口= i , b = 2 ，那么 ! 坐兰盟： !垡! l 垡尘 p ( n = t ) j 磊( 女+ 1 ) 一( t + ，) ( t + 2 ) ( 女+ + i ) ：!堡! ! 匀( 七+ 1 ) ( t + ，) ( 七+ j + 1 ) 邓妻1 - - 0 志 j 1 1 ， 邓+ d 粪 即的失效率函数 上海人学硕十学他论文 那么 础，= 赤姜。 而1 一丽1 邓+ 2 ) ! p 一豺邯+ 1 ) ! 。一妇 邓“m