（信号与信息处理专业论文）自适应与分数阶非平稳信号处理的研究.pdf

摘要 相当长一段时间内，人们对信号的分析仅仅局限于平稳情况。尽管人们经常面临大 量的非平稳信号，受理论条件的限制，人们不得不将非平稳假设为平稳。根据对信号的 种种假设，在许多情况下的处理效果是可以接受的。但更多情况下是不能接受的。对信 号进行种种假设的目的是方便人们对信号进行处理时能够抓住事物矛盾的主要方面。如 果假设有一定偏差，甚至是错误的，那么错误的假设将导致错误的结果，这就使信号处 理工作本身失去了意义。正因为如此，2 0 世纪8 0 年代以后，非平稳信号的处理就成为 亟待解决的问题，并受到人们的广泛关注，因而很自然地成为现代信号处理研究的热点 之一。本文以自适应和分数阶傅立叶变换为主要技术路线，对非平稳信号处理的若干问 题进行了深入研究，主要贡献如下。 给出了基于二阶循环统计量的改进l m s 算法。 给出了周期自适应滤波器的自适应滤波器组直接实现结构。 给出了周期自适应滤波器的基于时间基函数展开的实现结构。 给出了线性周期时变系统的系统周期一种自适应估计算法。 给出了循环平稳随机信号的l p t v 时交参数信号模型及该模型参数与信号循环统 计量之间的关系。 给出了基于序列顺序置乱的信号白化算法：混沌序歹1 i l 序白化算法和伪随机序列 乱序白化算法。 给出了基于输入信号乱序白化的改进l m s 算法。 将小波神经网络引入时变参数信号模型中，给出了基于小波神经网络的自回归时 变参数信号模型。 给出了基于分数阶傅立叶变换的模糊函数，研究了它们的性质，重点讨论了分数 阶模糊函数在三次相位信息提取中的应用。 给出了基于分数阶傅立叶变换的倒谱。 给出了线性调频型分数阶傅立叶变换的一种自适应数值计算结构和算法。 本文共分七章，按照如下方式组织。 。 首先，在回顾主要时频分析方法的基础上，简要给出随后各章所要用到的一些专业 背景知识和本文的主要研究内容。 其次，研究了平稳( 或循环平稳) 随机信号通过线性时不变( 或周期时变) 系统后 输出信号的循环平稳性质。根据这些性质，给出了适于循环平稳输入的改进l m s 算法， 并从算法梯度估计噪声方面讨论了改进算法的性能。在线性周期时变系统这种特殊系统 中，针对经典的自适应滤波器不能工作的问题，给出了适用于这种系统的周期自适应滤 波器结构及算法。 第三，循环乎稳随机信号的循环谱密度等循环统计量也是一种描述信号的非参数方 法，它与其它的参数化描述方法之间必然存在联系。本文对循环平稳随机信号的非参数 化方法和时变参数信号模型法之间的关系进行研究，并给出它们之间显式( 解析表达式) 的内在联系。给出了循环平稳随机信号的l p t v 型时变参数信号模型。 第四对非平稳随机信号的时变参数信号模型法，特别是对于时变参数表示为一组 时l 训基函数的线性组合问题进行研究。在前人工作的基础上，采用小波函数为基函数， 给出基于小波神经网络的时变参数信号模型，并对其应用进行研究。 第五，时频分析中的基函数选择十分重要。好的基函数可以有效地将信号的主要特 征浓缩于有限的几个展开系数中。分数阶傅立叶变换可以看作是傅立叶变换的推广，具 有更广泛的代表性，将分数阶傅立叶变换与经典二次时频分析方法结合，可以得到分数 阶w i g n e r 分布等广义化的分布。研究了广义化分布的主要性质和主要应用。 第六，在非平稳信号中，线性调频信号是一类应用广泛而又十分特殊的信号，滤波 器频率特性未知的扫频滤波器是一个时变系统，研究线性调频信号通过这样一个系统后 的复原问题。 最后，对全文研究工作进行了总结，对下一步研究工作作了展望。 关键词：非平稳；时频分析；自适应；线性周期时变系统；时变信号模型 小波神经网络；分数阶傅立时变换；倒谱 a b s t r a c t f o ral o n gt i m e t h es t a t i o n a r ys i g n a l sa r eo n l yc o n s i d e r e d n l o u g hm a n yn o n s t a t i o n a r y s i g n a l sa r ee n c o u n t e r e d t h es c h o l a r sh a v et os u p p o s e 廿l a ta 1 1s i g n a l sa l es t a t i o n a r y u n d e rt h e h y p o t h e s i s ，t h ep r o c e s s i n ge f f e c ti sa c c e p t a b l ei nm a n ys c e n e s b u ti ti s n ta c c e p t a b l ei nm o s t o fs c e n e s t h ep u r p o s eo f h v p o t h e s i si sc o n v e n i e n c ef o rp r o c e s s i n gs i g n a l i ft h eh y p o t h e s i s i s n tf i tf o rt h et u r es c e n e e v e ni ti s w r o n g i tw i l lr e s u l ti na nu n r e l i a b l ec o n c l u s i o na n d p r o c e s s i n gw o r kw i l l b ei n s i g n i f i c a n c ef o ra n y o n e b e c a u s eo ft h ec o n c e p t 。n a t u r a l l y ，t h e s t u d ) o tn o n s t a t i o n a r ys i g n a lp r o c e s s m gb e c o m e sah o t s p o ti nm o d e ms i g n a lp r o e e s s m g d o m a i n af e wp r o b l o ma b o u tn o n s t a t i o n a r ys i g n a li ss t u d i e dd e e p l yb yu s i n gb o t ha d a p t i v e a n df r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r mt h e o r ya sm a i nr o u t e t h ec o n t r i b u t i o n so ft h i sp a d e ra r ea s f o l l o w s 。p r e s e n tam o d i f i c a t i o nl m s a l g o r i t h mb a s e d o n q u a d r a t i cc y c l o s t a t i s t i c 。p r e s e n tak i n do fs t r u c to f p e r i o d a d a p t i v e f i l t e rb a s e do nf i l t e rb a n k ， p r e s e n tak i n do f s t r u c to f p e r i o d a d a p t i v e f i l t e rb a s e do nt i m eb a s ef u n c t i o ne x p a n d 。p r e s e n ta n a l g o r i t h m t oe s t i m a t et h e p e r i o d o f l p t v s y s t e m 。p r e s e n tat i m e - v a r y i n g p a r a m e t r i cm o d e l t h a ti sl p t v t y p e a n ds t u d yt h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nm o d e l p a r a m e t r i c sa n dc y c l o s t a t i s t i c so f i t so u p u t s i g n a l p r e s e n taw h i t e n i n gs i g n a l a l g o r i t h mb a s e do nd i s o r d e r i n gs e q u e n c e o n eb a s e so n c h a o ss e q u e n c e ，a n o t h e rb a s e so n p s e u d or a n d o ms e q u e n c e ， p r e s e n tam o d i f i c a t i o nl m s a l g o r i t h m b a s e do nw h i t e n i n g i n p u ts i g n a l 。aw a v e l e tn e u r a ln e t w o r ki si n t r o d u c e di n t oa t i m e v a r y i n gp a r a m e t r i cm o d e l b a s e d o i lw a v e l e tn e u r a ln e t w o r k ，a l la r t i m e - v a r y i n g p a r a m e t r i cm o d e l i sp r e s e n t p r e s e n ta a m b i g u i t y f u n c t i o nb a s e do nf r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m i t sp r o p e r t i e sa r e s t u d i e d t h e a p p l i c a t i o n i sd i s c u s s e d c a r e f u l l y t h a th o wt oe x t r a c tc u b e p h a s e i n f o r m a t i o n b y t h ef r a c t i o n a la m b i g u i t yf u n c t i o n p r e s e n tad e f i n i t i o no f c e p s t r u mb a s e d o nf r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m p r e s e n tas t r u c ta n dak i n do f a l g o r i t h mf o rn u m e r i c a ls o l u t i o no f f r a c t i o n a lf o u r i e r t r a n s f o r mt h a ti sl i n e a rf r e q u e n c ym o d u l a t i o ns t y l e t h e r ea r es e v e n c h a p t e r si nt h i sp a p e r t h ec o n t e n t so f t h i sp a p e r a r ea sf o l l o w s f i r s t l y , b a s e d 0 1 1 r e v i e w i n gt i m e f r e q u e n c ya n a l y s i sm e t h o d s ，a f e wb a c k g r o u n d k n o w l e d g e s a r em e n t i o n e d t h em a i nr e s e a c hc o n t e n t sa r ea l s oo u t l i n e d s e c o n d l y , t h ec y c l o s t a t i o l m r yp r o p e r t yo fo u t p u ts i g n a li sd i s c u s s e d ，w h e nas t a t i o n a r y ( o rc y c l o s t a t i o n a r y ) s i g n a lp a s s e sal i n e a rp e r i o dt i m e v a r y i n g ( o rt i m ei n v a r i a n t ) s y s t e m b a s e do nt h e s ec h a r a c t e r i s t i c s ，am o d i f i c a t i o nl m s a l g o r i t h mt h a ti s f i tf o rc y c l o s t a t i o n a r y i n p u ti sp r e s e n t e d t h em o d i f i c a t i o na l g o r i t h mp e r f o r m a n c e i sd i s c u s s e do nt h eg r a d i e n t e s t i m a t en o i s es i d e i nl i n e a rp e r i o dt i m e v a r y i n gs y s t e m ，t h ec l a s s i c a la d a p t i v ef i l t e rc a n n t w o r kc o r r e c t l y t w os t y l e so f p e r i o da d a p t i v ef i l t e ra r e p r e s e n t e d ，w h i c ha r ef i tf o rt h i sk i n do f s y s t e m ， t h i r d l y , m a n yc y c l i cs t a t i s t i c so fc y c l o s t a t i o n a r ys i g n a i ，s u c ha sc y c l i cs p e c t r a ，a r eu s e d t od e s c r i b e c y c l o s t a t i o n a r ys i g n a l t h ed e s c r i p t i o n i sa l s oa n o n p a r a m e t r i c o n e t h e r e l a t i o n s h i pm u s t e x i s tb e t w e e ni ta n dt h ep a r a m e t r i co n e ，a n dt h er e l a t i o n s h i pi ss t u d i e di nt h e t h e s i s ，af e wa n a l y t i c a l e x p r e s s i o n s a r e p r e s e n t e d t o b r i n g f o r t ht h e r e l a t i o n s h i p a t i m e v a r y i n gp a r a m e t r i c m o d e lo fl p t v t y p ei sa s op r e s e n t e d f o u r t h l y , t h et i m e v a r y i n gp a r a m e t r i cm o d e lo fn o n s t a t i o n a r y , e s p e c i a l l y , d e c o m p o s i n g t i m e v a r y i n gp a r a m e t r i ct o l i n e a rc o m b i n a t i o no fb a s ef u n c t i o ni ss t u d i e d b a s e do no t h e r s c h o l a r s w o r k ，t h en e wt i m e - v a r y i n gm o d e li sp r e s e n t e db yu s i n gw a v e l e tn e u r a ln e t w o r ka s b a s ef u n c t i o n t h ea p p l i c a t i o no f n e wm o d e li sa l s os t u d i e d f i f t h l y , i ti sv e r yi m p o r t a n tt os e l e c tab a s ef u n c t i o nf o rt i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i sw o r k g o o dc h o i c ew i l lb ev e r ye f f i c i e n t b e c a u s e 也e g o o d b a s ef u n c t i o n sc a nc o n c e n t r a t es i g n a l c h a r a c t e r i s t i c si n t oaf e wc o e 伍c i e n t s a sar e p r e s e n t a t i v et r a n s f o h n t h ef r a c t i o n a lf o u r i e r t r a n s f o r mi sc o n s i d e r e da sag e n e r a l i z e df o u r i e rt r a n s f o r m c o m b i n i n gf r a c t i o n a lf o u r i e r t r a n s f o r i l la n dc l a s s i c a lq u a d r a t i ct i m e f r e q u e n c ya n a l y s i st om a k en e wf r a c t i o n a lq u a d r a t i c t i m e f k q u e n e ya n a l y s i s ，s u c h a sf r a c t i o n a l w i g n e r d i s t r i b u t i o n t h e p r o p e r t i e s a n d a p p l i c a t i o no f t h e i l e wt i m e f r e q u e n c ya n a l y s i sa r ea l s os t u d i e d s i x t h ，t h ec h i r ps i g n a li sas p e c i a lo n ei nn o n s t a t i o n a r ys i g n a l s ，a n di ti su s e dw i d l y t h e s w e p t f i l t e rw i t ht l u k n o w nf r e q e u c yc h a r a c t e r i s t i ci sat i m e v a r y i n gs y s t e m h o wt or e c o v e ra c h i r ps i g n a lt h r o u g hs w e p t f i l t e ri ss t u d i e d l a s t l y ，t h es u m m a r y o ft o t a lr e s e a r c hi s g i v e n ，a n dp r o s p e c to fn o n s t a t i o n a r ys i g n a l p r o c e s s i n g i sg i v e n ， k e yw o r d s ：n o n s t a t i o n a r y t i m e f r e q u e n c ya n a l y s i sa d a p t i v e l i n e a rp e r i o dt i m e v a r y i n gs y s t e m t i m e - v a r y i n gp a r a m e t r i cm o d e l w a v e l e tn e u r a ln e t w o r kf r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m c e p s t r u m 致谢 作者首先要感谢导师王宏禹教授。在攻读博士学位期间，王老师远见卓识的启发、 循序渐进的指导、语重心长的教诲给我留下了十分深刻的印象。同时，王老师锲而不舍 的钻研精神、一丝不苟的治学态度和积极向上的人生观也对作者产生很大的影响。在当 今学术界一丝浮华的背后，作者看到以王老师为代表的一批学者，他们专注于自己的事 业。“为人性僻耽佳句，语不惊人死不休”是他们的真实写照。他们是中国学术界的“脊 梁”、是中国科技水平进步的希望。虽然作者与王老师在年龄上相差悬殊，但在讨论专 业问题时，为培养作者独立工作的能力，王老师从不简单地直接否定作者一些现在看来 十分幼稚的思路和直接给出相应结论，而是循循善诱地引导作者以一个探索者的身份， 在科学的迷宫中寻找适于自己登堂入室的路径。“金子”很重要，但“点石成金”的手 指头更重要。感谢王老师给予我这样的“手指头”。科学探索在外人看来是很艰苦的工 作，但只有深入其中的人才能体会个中苦辣酸甜，才能有苦尽甘来的喜悦，这也是王老 师言传身教使我坚定自己研究方向的原因。 作者还要感谢殷福亮教授。在攻读博士学位期间，殷老师为作者提供了进行工作的 必要科研条件。没有这些条件，也就不会有作者的这些研究成果。殷老师或许没有意识 到，他几年前的一个不经意的决定，完全改变了作者的人生轨迹。作者从未对他说过谢 谢，这仅仅是因为任何感谢的话语也难以表达作者内心的感激之情。 作者怀着激动的心情提到如下这些老师。邱天爽教授，在攻读博士学位期间向邱老 师请教了许多问题，邱老师不但热心地给予解答，还提供一些数据供作者实验使用，从 而使作者的研究成果更具说服力。毛德祥教授，在本科阶段做毛老师的科研助手期间是 十分快乐的日子，至今仍让作者时时记起。仲崇权教授，在电子设计大赛及后来其它一 些事情上( 包括办理博士毕业一些手续) 对作者帮助颇多。由此可以进一步追溯到作者 高中的吕英男老师、初中的佟明德老师、小学的杨中英老师。他们对电子技术的爱好和 对作者的悉心指导，才使作者从如白纸一张的懵懂几童走到专业的前沿并对电子技术几 近痴迷。由于作者当时的年幼无知和数学知识的缺乏，对所传授的理论知识重要性认识 不足，辜负了老师们的一片苦心。现在唯以加倍努力学习、工作，以减轻一些对儿时虚 度光阴所产生的后悔感觉。 大连理工大学信号专业教研室的郭成安教授、孔祥维教授、李建华副教授、马晓红 副教授对作者打下比较深厚的理论基础也起到不可替代作用。郭成安教授在百忙之中对 本文提出了许多中肯的修改意见。马晓红副教授使作者在处理各种社会问题方面获益非 浅。作者也要感谢王洋博士为作者提供实验数据。 最后，作者要感谢父母对我学业的大力支持，在本应需要作者赡养与扶助的时候， 他们却还在照顾作者的生活起居。虽有“鸦反哺、羊跪乳”，但父母的养育大恩也难报 万中之一。 创新性声明 在王宏禹教授( 我的导师) 指导下和国家自然科学基金( 6 0 1 7 2 0 7 2 ) 的资助下，本论 文是作者在攻读博士学位期间的个人研究成果。在作者所有可能的检索范围内，除了专 业领域的公认知识( 如快速傅立叶变换算法等) 、文中特别加以标注和致谢中所罗列的 内容外，论文中不包含他人已经公开的研究成果。由于某种原因( 如作者未学习过俄语， 也未检索过俄语文献) ，作者不否认他人在同一时期彼此独立地做出类似的研究成果， 但作者也声明论文中研究成果的表述方式不会与他人雷同。作为申请博士学位的论文若 有不实之处，本人承担一切相关责任。 关于论文使用授权的说明 作者在攻读博士学位期间，研究成果的知识产权属于大连理工大学。本人保证毕业 后，发表其它攻读博士学位期间的研究成果时，署名单位仍为大连理工大学电子工程系。 大连理工大学有权保留本论文的复印件和相应的电子版本；大连理工大学可以采用印 刷、影印、缩印或其它复制手段保存本论文及与论文相关的信息：大连理工大学可以公 布论文的全部或部分内容；他人对论文的查阅和借阅也委托大连理工大学以适当方式和 手续进行，并提供必要的便利。 日期： 2 q 鲤生目 自适应与分数阶非平稳信号处理的研究 第一章前言 摘要：时频分析是非平稳信号分析与处理研究的主线。沿着这条主线，在回 顾主要时频分析方法的基础上，简要给出随后各章将要用到的一些专业背景知 识，同时也给出本文的主要研究内容。 关键词：时频分析；时变参数信号模型；循环平稳；自适应滤波 1 1 引言 随着人类步入信息时代。作为信息载体的信号及相关处理技术获得了迅猛地发展。 另一方面，电子器件制造技术和性能的飞速发展为复杂、高性能的信号处理算法的实现 提供了可能。信号处理逐渐从电子技术中分离出来，成为一个独立的学科。信号处理技 术的应用范围也慢慢扩大到生物医学、地球物理、射电天文、机械工程、通信系统等生 产、生活和科研的各个方面呻、“6 “”4 ”。“、”。 随着信号处理应用领域的不断扩大，各种新的信号类型不断涌现，这在客观上对各 种信号处理算法的性能提出了更高的要求，也促使人们在理论上和方法上对各种信号处 理问题向更广、更深的层次进行探索。信号处理研究的重点从确定性时间信号过渡到平 稳随机信号就很好的体现了上述观点。在“自然辨证法“”看来：“那些断定为必然的 东西，是由种种纯粹偶然所构成的；而被认为是偶然的东西则是一种必然性隐藏在里面 的形式。”信号处理是由研究确定性时间信号起步的。由于从严格意义上讲，完全封闭 的系统是不存在的，任何系统都要与外界进行物质、能量或信息的交换，因此任何系统 都要受到外界条件的影响。这种影响使得系统输出的任何信号都具有某种或大或小的随 机性，因而具有更广泛代表性的随机信号很自然地就成为人们研究的重点。由于人们常 常要面临大量非高斯、非平稳、非周期、不具有各态历经性的信号和时变、非线性、非 因果、非最小相位的系统。例如：高频电磁波在大气中传播时，表现出来的衰落不是服 从高斯分布，而是服从瑞利分布；由于地球围绕太阳而形成的季节性气温的变化就呈现 出明显的非平稳性( 各个季节的气温不是常数) ；核爆炸过程不具有各态历经性；地球 的各个地层对人工地震波反射时，作为系统的各个地层是一个混合相位系统。绝对意义 上平稳信号和时不变系统是不存在的。人们发现非平稳信号、时交系统具有更广泛的代 表性。信号处理是要通过数学上的分析及相应算法实现来提取可能“隐藏”在有限个数 据样本中的重要信息。2 0 世纪8 0 年代以前，由于理论条件的限制，对随机信号的分析 仅仅局限于平稳情况。对于非平稳信号没有好的处理手段和方法之前，往往就要把非平 稳信号假设为平稳的。对信号进行种种假设的目的是方便人们对信号进行处理时能够抓 住事物矛盾的主要方面。如果假设有一定偏差，甚至是错误的，那么错误的假设将导致 错误的结果，这就使信号处理工作本身失去了意义。正因为如此，2 0 世纪8 0 年代以后， 非平稳信号处理就成为亟待解决的问题，并受到人们的广泛关注，因而就很自然地成为 现代信号处理研究的热点之一”“。 信号类型的多变性和信号的时变性是客观存在的。任何企图以一成不变的方法处理 各种信号，并且能取得好的效果都是不可能的。因此，根据信号本身的特点自适应地处 理信号的思想就很自然地成为人们的选择。广义上的自适应信号处理是指处理方法、处 理过程及处理参数等方面能够随着信号的变化而变化，因而其也常常被称为信号内容自 自适应与分数阶非平稳信号处理的研究 适应( s i g n a lc o n t e n ta d a p t i v e ) 。自适应的方法适合于非平稳信号的处理，并且已经在非 平稳信号处理中有了许多成功的应用。典型的如雷达信号检测中的自适应门限n ，时频 分析中的自适应核函数二次时频分布。”1 等。因此本文将自适应理论和技术作为研究的 主要技术路线之一。自适应滤波理论和技术是自适应信号处理的主要内容，从某种意义 上讲，正是自适应滤波理论才将自适应信号处理的发展推到了一个新的高度。自适应滤 波器在确定初始条件和工作过程中一般不需要使用关于信号的先验知识，通过自学习来 适应外部环境，从而达到最佳的工作状态。从原理上讲，自适应滤波器的这种特性非常 适合于非平稳信号，并且已经有学者进行了一些尝试”“，但实际应用的效果并不能令人 完全满意。由于自适应滤波器的理论基础是平稳随机信号处理的有关部分，虽然其在工 作中也能忍受信号中含有稍许非平稳的分量，但对于循环平稳等非平稳信号则不能很好 地工作，很多情况下，甚至不能工作。这就促使人们在理论上和应用上研究适于循环平 稳等非平稳信号的自适应滤波理论。 人们习惯上将滤波器理论和谱估计称为信号处理的两大支柱”“，而经典谱估计的数 学基础就是傅立叶变换，傅立叶变换的重要性由此可见一斑。傅立叶变换在数学的调和 分析中也占有极其重要的地位。t u k e y 提出的f f t 算法是傅立叶分析走向在线实时处理 最有力的推动o 。傅立叶分析在生产、生活和科研的各个领域所取得的成就确实可以用 成果丰硕来形容。但是，人们在实践中也逐渐意识到傅立叶分析的局限性。傅立叶分析 使用的是单频率、无限长度的正弦基函数，将一个信号分解为一系列简单的正弦波加权 和。基函数的特点限制了傅立叶分析只适用于平稳信号。尽管傅立叶分析的结果可以给 出各个正弦波的幅度( 加权值) ，但其不能得出任何关于各个正弦波产生、变化和消失 的信息。这也是人们不得不寻求其它工具来分析非平稳信号的原因之一。在尽量保持傅 氏基函数的特点的基础上，针对傅立叶变换基函数不具备时频局部性的问题，人们提出 了h i l b e r t h u a n g 变换和分数阶傅立叶交换。在h i l b e r t h u a n g 变换中，由于其隐含采用 了来自信号的时交窄带基，随着信号的变化，基函数也在自适应地变化，因此其可以看 作是傅立叶变换的一种推广。分数阶傅立叶变换一开始就着眼于从改变基函数入手， 采用较简洁的线性调频信号作为基函数“”1 。这种基函数既与正弦波基函数有天然的联 系，本身又能体现一定的时频局部性质，因而分数阶傅立叶交换可以看作是一种广义化 的傅立叶变换。近些年来，它已经引起了信号处理界的重视。由于分数阶傅立叶变换适 合于处理非平稳信号，特别是线性调频信号( 或近似线性调频信号) ，本文也将分数阶 傅立叶变换理论作为研究的主要技术路线之一。并且将其与经典二次时频分析相结合， 以期提高相应算法的性能。 1 2 非平稳信号分析与处理的非参数化方法 时频局域性质是非平稳信号的最根本和最关键的性质。建立在平稳随机信号处理理 论基础上的谱分析( 包括经典和现代方法) 描述的是信号的整体频率特性“，并不能体 现出信号的非平稳性，即时频域的局部特性。针对这一问题，人们将单纯的时域分析和 频域分析推广为时频域分析，也就是研究时变谱。”。与平稳随机信号的分析方法类 似，非平稳随机信号的分析与处理也可采用非参数化方法和参数化方法。其中非参数化 时频分析方法主要可分为：线性时频表示( 相当于信号幅度) 、二次( 双线性) 时频表 示( 相当于信号能量) 和高阶时频表示。本文不涉及高阶时频表示，其相关内容可见于 参考文献 3 8 、3 9 】。 自适应与分数阶非平稳信号处理的研究 1 2 1 线性时频表示 线性时频表示主要有以下几种：短时傅立叶变换、戈勃展开、小波变换和分数阶傅 立叶变换。 1 、短时傅立叶变换s h o r tt i m ef o u r i e rt r a n s f o r m ，s t f t ) 非平稳信号x ( ，) 的短时傅立叶变换s t f t ；( t ，国) 可定义为“ s t f t x ( f ，) = p ( f ) w ( r t ) e - j ”d f ( 1 ，1 ) 其中，( 1 + 表示取共轭( 在以后各章中，该符号的意义均同此) 。很明显，上述短时傅 立叶变换的思想是将经典谱分析理论中的直接法“”引入到非平稳信号处理中，具体做法 就是将原始信号乘上一个以t 为中点的窗函数w ( f r ) 再做傅立叶变换。加窗的目的是 将数据截短以便提取感兴趣时间段的信息。为了克服数据截短带来的频谱泄漏“”等不利 影响，窗函数通常需要具有低通性质“”j 。由于短时傅立叶变换中隐含假设信号x ( o 是短 时平稳的，为了取得好的时频分析结果，就需要对窗函数进行精心选择，一般情况是， 窗函数宽度应该与信号短时平稳宽度相适应。”。在信号特性未知的情况下，g a b o r 给出 一种满足信号中“不确定性原理”等式成立的窗函数”、“1 。 2 、戈勃展开( g a b o re x p a n s i o n ，有时也称戈勃变换) 通用的g a b o r 展开解析表达式可定义为。州， z p ) = 口，。h ( t m t ) e ”甜 ( 1 2 ) g a b o r 展开与短时傅立叶变换有一定的相似性。对g a b o r 展开的另外一种理解是基 函数h ( t m t ) e j 。可看作由一个母函数自( 0 经适当的时移( m r ) 与频移( p 一“) 产生的。最 初g a b o r 给出的 ( ，) 为高斯函数， 忡) = 去e ( 1 3 ) 其时宽与频宽的乘积达到信号处理中“不确定性原理”给出的下限“”3 ，事实上，h ( 0 d z 可以选择其它类型的函数。由于短时傅立叶交换和戈勃展开中所使用窗函数的宽度固 定，因而其时频分辨率固定。实际应用中常常希望对低频成分分析时，频率分辨率高一 些；而对高频成分分析时，时间分辨率高一些。这就要求窗函数宽度能随频率变化。小 波变换就是能满足该要求的一种线性变换“”1 。 3 、小波变换( w a v e l e tt r a n s f o r m ，w t ) 小波变换继承了上述戈勃展开的思想，但它没有频移，而是通过一个函数( 母小波) 在时间上简单的伸缩和平移构造具有时频局部化性质的一组正交基来将时域信号变换 到“尺度域”( 与时频域密切关联，在某种意义上可以认为与时频域等效) 上。法国数 自适应与分数酚菲早稳信号魁理的研究 学家m e y e r 首先证明了存在一个函数妒( r ) 满足 西( 2 i t 一女) j , k z 2 ( 】4 ) 是l 2 ( r ) 空间的一组具有时频局部特性的正交基“”1 。此后比较重要的工作还有m a l l a t 提出的塔式快速算法和多分辨率分析的概念”：比利时女数学家d a u b e c h i e s 提出的紧支 撑小波函数的构造方法。”等。小波变换的定义为， ( a ，6 ) = j 邝) 妒：，。( o a t ( l 5 1 其中，以0 是原始的时域信号，。( r ) 为小波函数。小波函数是由母小波函数妒( r ) 经伸缩 和平移变换得到的。 “忙去妒( 争“ “ ( 1 6 ) 其中，口称为尺度因子，b 称为平移因子。为了使小波变换的逆交换存在，母小波函数伊 应满足如下被称为容许条件的不等式， c ，哗舨帕 ( 17 1 其中，少( ) 是p ( r ) 的傅立叶变换。当小波变换的逆变换存在时，逆变换的解析表达式 可写为， 儿，2 古謦眵脚 s ， 参考文献 5 6 】给出了小波变换的一些主要性质。在连续小波变换中，由于口、b 这两 个因子是连续取值的，因恧小波基具有很大的冗余度+ 不是正交基。可以证明：对日、b 进行适当离散化，能够得到正交基“。较常用的正交小波基是口= 2 “，b ：n 2 ”的情况。 人们对小波函数的要求”3 主要有：( 1 ) 时域紧支撑；( 2 ) 频域紧支撑；( 3 ) 有解析表达 式；( 4 ) 对称：( 5 ) 2 e 交。令人遗憾的是：完全满足这些要求的小波函数至今也未找到。 能部分地满足这些要求的常用小波。“7 3 有：( i ) h a r f 小波；( 2 ) 墨西哥草镗小波：( 3 ) m o r l e t 小波；( 4 ) m e y e r 小波：( 5 ) 样条小波；( 6 ) d a u b e c h i e s 小波。 4 、分数阶傅立叶交换( f r a c t a lf o u r i e rt r a n s f o r m ，f r f t ) 设，。为分数阶傅立时变换算子( 口邸为代表分数阶的分数) ，f 为普通傅立时变换 算子。按照n a m i a s 的提法”，分数阶傅立叶变换的通用定义可以概括为满足以下三条 性质的一种线性变换， 三 ( 1 ) 线性：( 2 ) f2 = f ；( 3 ) f ”= f 。f 9 自适应与分数阶非平稳信号处理的研究 最常用的分数阶傅立叶变换的解析定义式有两种。它们是如式( 1 9 ) 所示的针对连续 信号的线性调频型和如式( 1 1o ) 所示的针对离散信号的加权型。更一般的定义是在参 考文献 2 0 中给出的在自对偶群上定义的广义分数阶傅立叶变换。 x 。( “) = x ( u ) 、竺e s 掣c o t ak e j 学2 ”“一出 v 2 疗 兰、 x ( - u ) 口= 2 n z a = ( 2 n + 1 、万 ( 1 9 ) 一竿浯+ 器+ 等+ 器 在式( 1 9 ) 、式( 1 1 0 ) d p ，工( ) 为原始的时域信号，x 。( ) 为分数阶傅立叶变换结果。“，k 分别为分数阶傅立叶变换域的连续取值和离散取值的自变量。在式( 1 1 0 ) 中，z ( 一) 为x ( ) 的离散傅立叶变换( d f t ) 。 由于式( 1 ，9 ) 在目前实践中应用较多，以后备章中涉及到分数阶傅立叶变换时，也主 要使用该式，相应的一些结论对使用式( 1 1 0 ) 的情况也不难推出。当分数阶傅立叶变换 的解析定义式采用式( 1 9 ) 时，其主要性质“”1 唧如下： ( 1 ) 线性性质：若信号x ( r ) 、y ( r ) 的分数阶傅立叶变换为x 。( “) 、匕( “) ，则饿( f ) + b y ( f ) 的分数阶傅立叶变换为a x 。( u ) + 6 圪( “) 。 ( 2 ) 时移性质：若信号x ( 0 的分数阶傅立叶变换为石。( “) ，则x ( f f ) 的分数阶傅立叶 r 2 变换为x ( “一f c 。s a ) e 专“”。 ( 3 ) 频移性质：若信号x ( f ) 的分数阶傅立叶变换为x 。( “) ，则x ( t ) e ”的分数阶傅立叶 m z 变换为x 一a ) s i n 口1 丁“”“”。 ( 4 ) 尺度变化性质：若信号x ( f ) 的分数阶傅立叶变换为x 。( “) ，则x ( c t ) 的分数阶傅立 懒为层焉- e j - - ；c o l t ( 1 - - - ：；：) 哪盖) ，肌满足t a n 肛2 ( 5 ) p a r s e v a l 性质( 能量守恒) ：若信号x ( f ) 、y 的分数阶傅立叶变换分别为x 。( “) 、 圪 ) ，则j 1 x ( f ) 1 2 斫= ix 。) 1 2d u ， 卜( f ) y ( r ) 出= p 。( “) o ) a u 。 分数阶傅立叶变换是完成从r 域到“域映射的一种变换，式( 1 9 ) 的相应变换核函数 k ( ，u ) 为， 岛适应与分数阶菲平稳信号处理舶研究 k 。( f ，“) = 6 ( t “、 厅巧三5 西，掣( ，。 葛_ 8 2 核函数k 。( f ，“) 的其它主要性质“如下 口= 2 n r r 口= ( 2 n + 1 1 丌 ( 1 ) 变量互易性质：k 。( f ，“) = k 。( “，f ) 、k 。( 一t ，“) = 砭( f ，一“) ( 2 ) 共轭性质：k 。( f ，“) = ( f ，“) ( 3 ) 旋转相加性质： j k 。( f ，“) k 口( “，z ) a u = k 。+ p ( f ，z ) ( 4 ) 正交性质：k 。( r ，“) k ：( f ，z ) 出= j q z ) ( 5 ) 当口= 三时，玩( f ，“) 2 j 去叩一脚，等效为傅立叶变换的核函数。 l 2 2 二次( 双线性) 时频表示 随机信号的线性变换仍为随机信号。为了考察随机信号时频分布情况，需对上述线 性对频表示求篚谱，近似计算可以求幅频特性的平方。二次时频表示则省略平方过程， 直接计算“信号能量”在时频平面上的分布。二次时频分布的基础是w i g n e r 分布，常 用的许多时频分布都可由它演化得到“。 1 、维格纳分布( w i g n e r d i s t r i b u t i o n ) w i g n e r 分布最初主要应用于理论物理的量子力学领域，后来才被介绍到信号处理 中，并获得广泛的应用“。1 。确定信号x ( o 的w i g n e r 分布