（应用数学专业论文）信用风险下期权定价.pdf

信用风险下期权定价 朱永军 南开大学数学研究所 1 9 9 9 . 4 . 1 7 摘要 本文首先介绍了现代金融数学中的重要结果一一期权 定 价 的 三种 不同 方 法。 然 后 ， 按照m e r t o n 、j o h n s o n 、 s t u l z 、h u l l 、wh i t e 等人 的思 路， 利用风险中 性定价技 术， 给出带信用风险的欧式期权定价公式，并且作出二变 量、 三变量情形下的一个相应推广。其意义在于为大量的 o t c 市场上无盯市操作的欧式期权提供了一个定价公式。 关键字 : 风险中性定价、 期权、 信用风险、 未定权益 o p t i o n p r i c i n g u n d e r cr e d i t ri s k z h u y o n 幻 u n na n k a i i n s t i t u t e o f ma t h e ma t i c s n a n k a i u n i v e r s i t y ab s t r a c t i n t h i s p a p e r , w e fi r s t l o o k b a c k o n s e v e r a l ma i n r e - s u l t s o f o p t i o n p r i c i n g , o n e o f t h e m o s t i m p o r t a n t fi e l d s o f mo d e r n f i n a n c i a l ma t h e m a t i c s . t h e n , b a s e d o n t h e i d e a s o f me r t o n , j o h n s o n , s t u l z , h u ll a n d wh i t e , w e d e - r i v e a e u r o p e a n c a ll o p t i o n p r i c i n g f o r m u l a u n d e r c r e d i t r i s k b y t h e f a mo u s a p p r o a c h o f r i s k - n e u t r a l p r i c i n g . f u r - t h e r m o r e , w e e x t e n d o u r r e s u l t s t o t h e c a s e o f t w o v a r i - a b l e s a n d t h r e e v a r i a b l e s , r e s p e c t i v e l y . t h e p u r p o s e o f t h i s p a p e r i s t o p r o v i d e a p r i c i n g f o r m u l a f o r n o m a r k t o ma r k e t e u r o p e a n o p t i o n i n o t c ma r k e t . k e y w o r d s : r i s k - n e u t r a l a p p r o a c h , o p t i o n , c r e d i t r i s k , c o n t i g e n t 信用风险下期权定价 朱永军 南开大学数学所 引言 金融作为一门独立的学科， 还是本世纪初的事情。 初期情形与前几年国内 的情况差不多， 几乎完全着重于制度、 机构及相关的法律描述， 至多也不过增 加一些会计上的事情而已。 在那时，把 “ 贴现” 这样一个词用于投资 ( 例如在 考虑固定资本投资时便往往用上贴现一词)便算是一个不浅的工具。 随后， 在 a r r o w , d e b r e u , l i n t e r , m a r k o w i t z , m i ll e r , m o d i g li a n i , s a m u e l s o n , s h a r p , t o b i n 等先驱 和经济大师的努力下，金融经济才开始渐有长足的进展。 自 然， 今天重温金融进展的历史， 就思想的角度而言， 最重要的还是1 9 0 0 年法国的l o u i s b a c h e li 二的投机理论。 尽管在理论上和实践上，b a c h e l ie r 的投机 理论都不是一个完整的体系， 甚至有漏洞百出之嫌， 然则，他的思想，作为第 一次在证券研究中引入b r o w n i a n m o t i o n 来说， 确实有其独到之处。 单从数学的 角度而言，b a c h e li e r 引入b r o w n i a n m o t i o n 也远比e n s t e i n , w e i n e r 等人要早，更 何况是将其引入到金融中。 然而遗憾的是， 数十年来，人们根本就没有去理会 这位今夭看来伟大的学者。 直到5 0 年后， 才由 美国著名的经济学家s a m u e l s o n 重新发现了他的文章。 随后，正如b l a c k 和s c h o l e s 在他们1 9 7 3 年的文章中所提到的，s a m u e l s o n 等人都对于期权及相应未定权益定价做了许多贡献。 尽管他们多半依赖于效用 函数， 没有摆脱这种偏好的思想， 但在定价上显然有许多进展。 或许正是这种 巨大的进展，才促进期权交易的发展和c b o e 的成立。 1 9 7 3 年，b l a c k , s c h o l e : 的 ( 期权定价和公司债务一文终于为 政治经济 学杂志所发表。 这标志着基本金融资产或未定权益的定价理论的完整， 同时 也是金融数学获得蓬勃发展的一个开端。 金融业从此由简单描述的服务业跨人 一种高技术的行业， 并得以吸引一大批 “ 火箭科学家”投入到它的研究与新产 品的开发中。 b l a c k - s c h o l e s 公式在实际金融市场的深远影响，用 s a m u e l s o n的话来说就 是: 经济理论是用于理解世界的， 但从来没有人向经济学家求教如何酿制啤酒 或生产捕鼠器 而现代金融理论每日 为成千上万的人使用， 它的影响可见一 斑。 这也正是所谓的 “ 华尔街的第二次革命”的由来。 在其后的时间里，许多伟大的经济学家、 数学家投人到进一步的研究之 中， 其中以h a r r i s o n 和p li s k a ( 1 9 8 1 ) , h a r r i s o n 和k r e p s ( 1 9 7 9 ) 两篇文章尤为重要。 至此期权的定价理论在金融数学上才得以形成一个完整的体系。 期权定价的基本框架现在已 变得非常的清晰， 其方法不外乎三种: 第一种 是从无套利假设出发， 利用随机微分方法， 设法消除随机部分， 利用热传导方 程得到偏微分方程的解，此即b l a c k - s c h o l e 。 期权定价公式; 第二种是c c 、 等人 发展起来的风险中性定价， 其理论依据在于利用市场完全假设， 得到一个等价 鞍测度， 在风险中性环境中可以利用概率方法计算出期权的价格; 第三种方法 是所谓的c o x - r o s s - r u b i n s t e i n 模型，该模型首先用二叉树来描述股票 ( 即期权 的标的资产) 价值的变化， 得出离散情形的期权定价公式，然后利用求极限的 方法得出连续时间的b l a c k - s c h o l e s 公式。 罕此.期权宁价理论已十分成熟。然而，在 c b o e成立的同时，人们就注 意到另一种情况的存在， 即期权交易并不仅仅在期权交易所进行， 大量的期权 交易是在场外完成的。 例如欧美许多国家的o t c市场都十分发达，其交易量 是一个不可轻易忽视的事实。 在o t c市场中，存在大量的非盯市操作的期权， 它不象上市期权由交易 所监控期权交易的风险， 故这些期权的持有人都存在潜在的信用风险， 其主要 来源在于反方无力履约的可能性。 显然这些易受信用风险影响的期权的价格要 比 同类期权的定价来得复杂， 价格也相对来得低。 七十年代m e r t o n ， 八 十年代 j o h n s o n , s t u l z ， 九 十年代h u ll , w h it e ， 有许多著名的学者都对 这一问 题进行 过不 同程度的讨论。 本文试图利用一个简易方法推导一个易受信用风险影响的期权的定价公 式，并力图把它推广到一个更高维数的情形。 本文组织如下: 在第一部分， 介绍b l a c k - s c h o l e s 期权模型; 在第二部分， 介绍一下风险中性定价的体系; 在第三部分， 讨论二变量情形下易受信用风险 影响的期权的定价公式及在三变量情形下的一个推广; 第四部分是结论及相应 的问题。 在讨论问题之前， 我们在本文中有一个总体的前提， 我们将在此约束下讨 论问题 ; 假定1 : 允许使用全部所得用于卖空证券; 假定2 : 没有交易成本和税收，所有证券是高度可分的; 假定3 : 在衍生证券的有效期限内没有支付红利; 假定4 : 证券交易是连续的且对所有到期日 均相同; 假定5 : 假设状态变量遵从连续时间的扩散模型。 一、 一般的b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型 我们将讨论这样一个理想市场上的期权定价问题。 市场上只有两种资产， 第一种为风险资产， 其收益带有一定的随机性， 它的价格随着时间的变化而变 化，并且满足随机微分方程 d s t =从( ,u d t +o d a t ) 其中p 和。 为正常数， 分别用来衡量该风险资产的收益率和波动率，1 3 为概 率空间( s 2 , f t , p ) 上的一个标准布朗运动。 第二种资产是所谓的无风险资产， 它 的收益率是固定的，设其为， . 于是这种证券的价格过程满足 胡: =r ,3 , d t 在前面的假设下， 我们引入未定权益( 衍生证券) 的概念。 这里的未定权 益是指一个合约， 它给合约的持有者带来的收益依赖于 s ， 的变化。 我们这里 主要讨论看涨的欧式期权， 看涨欧式期权指的是其持有者可以在到期日以敲定 价格 k买进一定数量的某种股票，该期权在到期日 的价格或者说收益显然为 m a x s t 一 k , 0 . 一般的欧式未定权益在到期日 的收益是以到期日 股价s t 为自 变量的函数9 ( s t ) - 下面我们讨论看涨欧式期权的定价问题。 引入i t o 引理: 若连续半鞍 xt =xo +mt +a t 是 一连续局 部鞍， 其中m二 m t , y t ; 0 t o o . a 二 a t , t t ; 0 : 00 是两个 连 续、 非减适应过程的差， 若f ( t , z ) : 0 , 00 ) / r d *r e c t ,z 那么 f t a _ f ( t , x t ) 一 f ( 0 , x o ) + j o 8 t f ( s , x , ) d s ) d 州 黔 + 睿 td aa8x, f(一 )db ,() d l ， 一 (9 1 j o d x ; d x ; f ( 3 ， 二 ， ) d ( m% mj ) 如果初始时刻投资者在证券市场投入一定数量的资金， 按照预先制定的投 资策略并根据未来股价的变化不断调整他在股票和债券上的投资， 且在到期日 以前既不向证券市场追加投资， 也不从市场上撤走资金， 这样的策略称之为自 融资策略。 如果执行自 融资策略的结果是在到期日 获得与欧式看涨期权完全相 同的收益， 那么由无套利假设， 该投资者在初始时刻投入的资金数量就应是欧 式看涨期权的现价。 下面我们来具体实现这个过程。 设按上述的自 融资策略， 投资者t 时刻在股票和债券上的投资分别为。 和 b t ， 当然它们都是随机过程。 根据已有的信息决定投资的额度在数学上就意味着 a 和6 : 应为可料的。自 融资限制要求它们满足 d ( a t 又+b , 风) =a t d s t +b t d fl t 上式的意义是显而易见的， 左边表示在t 时刻该投资组合的价值变化，右边的 积分表示到亡 时刻为止投资者在股票和债券买卖上的赢利 ( 或亏损) 。由于这 样一个投资组合复制了欧式看涨期权，于是有下式成立: c ( s t , t ) =a t s t +b t )3 t 同时，有 d c ( 5 t , t ) =a t d s t + b , 暇 又由i t o 引理有 、 ( : :，:) 二 c a (又 ， 。); 十 委 c . , 2 s 2 + c t(s , t) 十 c , (s t ,t )o s d b t 这徉，有 a t =c .* ( s e , t ) : 二 o f l c ( s t , t ) 一 c , ( s t , t ) 5 ) 由此我们可以得到欧式看涨期权价格c ( s t , t ) 所满足的偏微分方程 - r c (s t, t) + c t(s t,t) + r s c ,(s t, ) 、 告 c (s t, t) 一 。 边界条件是 c ( s t , t ) 二9 ( 5 t ) c ( o , t ) 二e 一 t t ) 9 ( 0 ) 为了解上述方程，作替换 _ _2 r .s t = “ e , t 一 1 一 弃 i c ( .s t , t ) = k e t 0 i u ( t , y ) 其中。 一 ， / 2 ( k ， 一 1 ) , p = - 1 / 4 ( k , + 1 ) 2 , k , = 乡则问 题化 成热方 程 u , =u ( 二 ， ， ) f ( 0 , 1 / 2 a 2 t / r 约束为 u ( 0 , y ) = m a x ( e l / 2 ( k , + t )v 一 。 1 / 2 ( k ， 一 ) a ， 0 ) 同时，在边界条件 f ，我们有解 u ( t , y ) = 2 蔗 仪 u ( 0 , z ) e t o 一 : 尸 即有 其中 c ( s t , t ) = s , n ( d , ) 一 k e 一 r (t 一 t ) n ( d 2 ) n ( 二 ) 是标准累积正态分布函数，且 d , _ i n s t / k + ( 二 +1 / 2 u 2 ) ( t一 t ) t, j t 二 t i n s o +( ， 一1 / 2 , z ) ( t一 t ) 这就是著名的b l a c k - 5 ch o l e s o ,/ t一t 期权定价公式。 二、风险中性定价方法 风险中性定价是 c o x 和r o s s 在1 9 7 6 的 期权定价的替代随机过程一文 中提出的。其后，h a r r i s o n 和p li s k a 在1 9 8 1 的 连续交易理论中的鞍和随机积 分文章中作了进一步的完善。 该方法的基本思路是这样的: 假定风险资产s t , 期权c t 满足 d s t =s t ( i t d t +o d b t ) d )3 t =r 八d t 为了陈述的方便，引入 定理1 :( 1 ) 如果市场 m无套利，那么存在一个顺序可测过程 0 : 0 , t *r ( 即市场风险价格过程) ，使 i ( t ) 一 ， ( t ) =o ( t ) e7 ( t ) , 0 t t a .s ( 2 ) 反之，如果以上过程中的0 存在，并满足条件 0 ii h ) i一 “ 0 0 a .s . e 。 一 f .t b (t)d w (t)一 ，/ 2 f o ile (t)ila dt, 一 1 那么市场 m无套利。 引 人g i s a n o v 定 理: 设w二 w t = ( 州1) ， 司d ) ) , -t i ; 0 ! ( 、 是 一d 维 标准布朗运动，且 p w 0 =o =1 ， 其中 i t 满足通常性条件，可测适应过程 x= x : 一 拼 ， ， x , ) ) , f , ; o - : 0 0 满足 _i r t_ r ; n . , .1. _ _ p f o (x ,-) d t ( 0 0 一 ， g d , u i - 0 0 一 (x ) 三 一 睿 芜 场 、)d州 、，一 蚤 丈 tjjx ,ijds 是一个鞍，对任意一个固定的t，定义测度 p t ( a ) =e ( 1 a z t ( x) 那 么 ， 随 机 过 程w= 讯一 ( 侧， ) ， w id l ) , ., e ; 0 k 一 e e - r ( t - ) k is t k 作变换 _x一拜1 x二 二 则上式化为 e 。 一 (t - t ) e ln z i in 二 in k 一 e , - , (t - t) i in x i. k 1 r。 一 、 - t)e z e - z (t ) 。 一 x 1 i。 一 、 一 :。 c= - p i=)e - 2 二 . 1 2 7 f o j i n x了2 7 r v j i n k 一下 1一 (t - t) v 西o 1 1 . + m 。 一 l 2 d ， 一 k 。 一 (t - t) n ( d 2 ) 作变换 x二 二 x一 则上式变为 。 一 哎: 一 :)。 。 1+ 冬关 二 j址 竺 匕 二之 玉 e - f * x z 2 2 d 一 k 。 一 ( t - t ) n ( d 2 ) 口 1 一 了 1 又因为 e - (: 一 。 ) 十 。 ， +z+ a1 + y e - (: 一 ， )+ h , s + 一 i )( : 一 : ) + 零( : 一 ， ， =5 及 ( l n k一 ( u l ) 口1 一 叮1 ( i n k一 i n s 一( ， - 万) ( t 一 t ) ) 2 一 , / t一t d l 所以上式等于 c ( 二 ， t ) = z n ( d l ) 一 k 。 一 ， (t - t) n ( d 2 ) 1 0 其中n ( d i ) , n ( d z ) 定义如前。 虽然这种处理手法， 在数学上比计算一个热方程来得漂亮， 但其中有一个 相当大的缺点，即在处理的时候，我们似乎只考虑了两个时期。 这样，一种连 续交易模型在这里是做了两期的处理， 并没有过多考虑中间动态的复制过程， 从思 想上说， 应是比 较简 单。 其后许多 期权的定价， 如lo o k b a c k o p t io n ， 等等， 大都是从这样的类似于两时期的处理， 利用概率测度来直接计算。 至于为什么 要这样做，自然是有其方便之处。同时，作为一个期权，尤其是欧式期权，这 是一个过剩期权， 它可以定义为风险资产头寸相应的无风险资产来复制， 所以 有两个时期也足以定价。 但这种处理方法， 对于美式期权却是不适宜的，我们 在以下的处理中也需要采用类似的手法。 三、 信用风险下期权定价 如前所述， 我们在这里只讨论带信用风险的欧式期权定价。自 然， 这种期 权的定价不同于一般期权， 其根本原因在于， 该种期权大多是在o t c 市场上交 易，不易作盯市操作， 所以期权的多头 ( 或持有人)在定价时会要求比同类无 信用风险的或可盯市操作的期权来得要低。 虽然我们在这里处理信用风险同实 际中信用等级方法不太一样， 但本质上是一致的。 只是我们并不依赖于信用等 级评定的方法。 之所以称本质上是一致的，即是说，无论如何考虑信用风险， 实际上都是涉及到对方的支付能力间题。 即: 一旦对方自己的资产价值低于某 个值， 不管对方作为一个公司或个人都会违约， 无法承担应承担的经济义务。 所以在定价上， 尽管省去许多实际的东西， 但本质上仍需要有一个界限标准。 这种标准， 我们将其处理为一种外生变量， 因为实际设置此种限制往往是预先 确定的。 至于要内生化，则并非我们所要讨论的情况。 我们的讨论，实际上是两大部分 : ( 1 )两个变里的情况 我们首先要讨论的是两个变量的情况， 在这里首先要假定反方的资产价值 为v ， 显然它应大于期权预期支付的价值 ( 否则就没有意义) 。 这里v包括反方 所有的资产价值， 包括可盯市操作的和不能盯市操作的。 记期权的标的资产价值为st, 假定 s 和v满足如下扩散过程: 誓 一 ; 十 “ ,dz d vv 一 。十 o d w 其中z , w都是标准布朗 运动， 其瞬时相关系数为p . 这里假定z , w都是可交 易资产。 信用风险是这样处理的， 在到期日 或期权交割日t . 如果反方的价值v t 低 于某个外生变量d ， 则为有信用风险发生。另外， 记 d为t时刻未达的索陪 量( c l a im o u t s t a n d in g a t 劝， 也即反方在到期日 的总负债。 所以， 一旦信用风险 发 生 ， 只 有(1 斋 v td 部 分 的 名 义 量 可以 赔 偿。 其 中。 表 示 的 是 反 方由 于 破 产 或 重组等所需要花费的比例部分，也假定是一个外生变量。 自 然， 如果反方的价值v t 大于d ， 就不存在破产或重组的成本问题， 也不 存在信用损失问 题， 即 期权的持有人可以 得到期权完全的名义量， 即m a x s t , 0 . 在这些假定下， 我们可以利用前面的方法， 就是仍假定无套利，可以证明 依赖于s , v的衍生证券定价不依赖于风险偏好。 这样，在风险中性下，有 譬 一 ，* 十 。 ,dz d vv 一 ，d 。 十 二 d w 其中z , w是厂下的布朗运动。 对其应用i t 。 引理有 db s= d i nv = (一 v 22 )d t 、 。 ，二 (一 2 z )d t + o d w 从以上两式可知 i n s t 、w ( i n s t +( ， 一2 )(t 一 t ) , 17 , v t - - t ) 记为 n ( a , , - t ) 。 、 一 、 (b 。 + (一2 )(: 一 :)，、 二 ) 记为 n ( a z , - 2 ) 并且瞬时相关系数为p . 这样i n s t , i n v t 服从标准二元正态分布函数。从而对 于信用风险下看涨期权的价值为 c ( s t , t ) = e - ( t - t ) e m a x ( s t 一 k , 0 ) ( i iv t ? d + ( 1 一 a ) v t / d iv t 1 d 1 ) 1 其中e - 指风险中性或等价较测度p下s t , v t 的期望。k为执行价格 ( 期权) ， c ( s t , t ) 也可以写成 c ( s , t )= 。 一 (t - t ) ( e s t is t k , v t d - 一 e k i 肠 k , 外 d + e s t ( 1 一a ) v t / d is t k , v t d . 一 e k ( 1 一 a ) v t / d is t v t d ; 时，由反方按前面的方法支付; 在v t d 1 * 时，由担保人按外二侧 支付，但当街 d ， 时，由反方按前面 的方法支付。 其中d , 几， d 1 都是外生变量。 显然， 这只是一种简单的推广， 我们同样可以考察其它的安排。 例如把担保人也完全考虑进去， 从而形成其它 形式的风险定价模型。 依前面的处理方法， 我们同样可以在无套利条件下， 利用资产的风险价格 做一个无风险组合， 得到一个与风险偏好无关的偏微分方程。 这样，我门就可 以利用风险中性定价方法。在风险中性定价的意义下，v t , s t , h t 满足 =r d t +a , d z 二r d t 十o己 w =r d t +a h d q ds-sdv一vdh-h 其中: ， w , q 均是布朗运动，它们的瞬时相关系数矩阵为 侧 利用i t 。 引理，有 d l n s =( ， 一 。 爹 / 2 ) d t + a , d z d ln v= ( ， 一 心/ 2 ) d t + v d w d l n h=( ， 一 嵘/ 2 ) d t + a h d q 从而， i n s t 、n ( i n s t + ( ， 一 ， 了 / 2 ) ( t 一 t ) , a . j t -t ) i n v t 、n ( in v t + ( ， 一 。 v / 2 ) ( t 一 t ) , a 侧 t . - t ) i n h t 、 n ( l n h t + ( ， 一 。 h / 2 ) ( t 一 t),-4 训 t - t ) 1 6 同时有前面的相关系数矩阵 、几.口/ 33).1 j12 pp 23 pll内 23 111 一卫pp 2声口.、 一一 a 这样，买人期权的价值为 c 二 。 一 ， 一 1 e m a x ( s t 一 k , 0 ) ( 1 i v t ? d + ( 1 一 。 ) v t i d i d i v t d + ( ( 1 一 a ) d i / d iv t d + ( 1 一 。 ) v t i d i v t d t , h t _ d l ) 这里d l , k , v t k , v td + e s t ( 1 一 。 ) 协i d is t ? k , d k , v td , h t k , v t d = k e n 3 ( p 1 一i n k p 2 一i n d 口1口2 + o o , a )( 2 ) e - s t ( 1 一 a ) v t i d is t k , d j v t k , v t k , d ; k , v t k , d j k , d i k , v t d i k ( 1 一 a ) d “ ， 、 ， x / 1 1 一 i n k# : 一 i n d i i n d 1 + 1 4 3 e一工 v31。 d一 、0 1 ，a ; , e i s t ( 1 一a ) v t i d i s t - k , v td i , h t k , v t d i , h t d 2 o i p 1 a 一2 a ,_ k( 1 一a )。 ， 、 ， i a ， 一i n k =c 一2 丫 9t 刀、改l i n d i 一“ z i n d 1 * 一 ( 1 3 叮2口3 以上便是定价公式的各分式，综合一下便可得出定价公式等于 。 一 ( t - ) ( ( 1 ) 一 ( 2 ) + ( 3 ) 一 ( 4 ) 一 ( 5 ) + ( 6 ) 一 ( 7 ) + ( 8 ) 一 ( 9 ) ) 这样，我们就完成了对于三变量情形下期权的信用风险定价。 四、结论 信用风险 一直为金融 行业所关注， 七十年代、 八十 年代s t u l z , j a r r o w , h u l l , w h i t e 等为它的研究作出了重大贡献。本文在他们的基础上做了一些简单的推 广。 其中所使用的方法， 即风险中性定价方法得益于他们的启发。 我们在本文中 利用风险中性方法推导出了两变量情况下的信用风险期权定价公式及三变量情 况下的信用风险定价公式， 并得出相应的显式解。 同时， 我们的解把b l a c k - s h o l e s 定价模型当 做一个 特例， 即在没有信用风险下， 我们的定价模型即 是b l a c k - s h o l e s 公式。 我们的定价模型可以应用于广泛的o t c市场上的那些不可进行盯市操 作的期权定价，对于实际应该会有比 较大的应用。 当然这只是一个简单的推广， 以后笔者将继续在导师史树中教授的指导下 完善信用风险下期权的定价，并把它同实际更好地结合起来。 re f e r e n c e s 1 b l a c k , f . a n d m. s c h o l e s . 1 9 7 3 . t h e p r i c i n g o f o p t i o n s a n d c o r p o r a t e l i a b ili t i e s , j o u r n a l o f p o l i t i c a l e c o n o m y , 8 1 :6 3 7 - 6 5 4 2 c h u n g , k e d . bo s t o n : l . , a n d r . ,wi l l i a m s , 1 9 9 0 . a n i n t r o d u c t i o n t o s t o c h a s t i c i n t e g r a t i o n , 2 d bi r k h a u s e r 3 1 c o x , j . , s . r o s s , a n d m. r u b in s t e i n , 1 9 7 9 . o p t i o n p r i c i n g : a n s i m p l i fi e d a p p r o a c h j o u r n a l o f f i n a n c i a l e c o n o m i c s , 7 : 2 2 9 - 2 6 3 . 4 1 d u ff ie , d . 1 9 8 8 . s e c u r i t y m a r k e t s : s t o c h a s t i c m o d e l s . b o s t o n : a c a d e m i c p r e s s 5 1 d u ffl e , d . 1 9 9 2 . d y n a m i c a s s e t p r i c in g t h e o r y , p r i n c e t o n u n i v e r s it y p r e s s 6 1 h a r r i s o n , m . t i e s ma r k e t s a n d d . k r e p s , 1 9 7 9 . ma r t i n g al e s a n d a r b i t r a g e i n m u l t i p e r i o d s e c u r i j o u rna l o f e c o n o m y t h e o r y , 2 0 : 3 8 1 - 4 0 8 7 1 h a r r i s o n , m . a n d s . p li s k a , 1 9 8 1 . m a r t i n g a ls a n d s t o c h a s t i c i n t e g r al s i n t h e t h e o r y o f c o n t i n u o u s t r a d i n g , s t o c h a s t i c p r o c e s s e s a n d t h e i r a p p l i c a t i o n s , 1 1 : 2 工 8 - 2 6 0 8 h u ll , j . a n d a . w h i t e , 1 9 9 5 . t h e in p u t o f d e f a u l t r i s k o n t h e p r i c e s o f o p t i o n s a n d o t h e r d e r i c a t i v e s e c u r i t i e s , j o u rna l o f b a n k i n g & f i n a n c e , 1 9 : 2 9 9 - 3 2 2 9 h u ll , j . 1 9 8 9 . o p t i o n s , f u t u r e s , a n d o t h e r d e r i v a t i v e s e c u r i t i e s . e n g l e w o o d c l i ff s , p r e n t i c e - ha ll 1 0 c a m p b e ll , j o h n y . , a n d r e w w. l o a n d a .c r a ig m a c k in l a y , o f f i n a n c i al ma r k e t s , p r i n c e t o n u n i v e r s i t y p r e s s , p r i n c e t o n , 1 9 9 5 . th e ec o n o me t r i c s n e w j e r s e y 2 2 1 1 j o h n s o m, h . a n d k . s t u l z , 1 9 8 7 . t h e p r i c i n g o f o p t i o n w i t h d e f a u l t r i s k , j o u r n a l o f f i n a n c e , v o l : x l i i . n o . 2 : 2 6 7 - 2 7 9 . 1 2 k a r a t z a s , i . a n d s . s h r e v e , 1 9 8 8 . b r o w n