（应用数学专业论文）旋转的benard问题中线性算子谱的研究.pdf

摘要 旋转的b 6 n a r d 问题中线性算子谱的研究 摘要 所谓旋转的贝纳得( b 6 n a r d ) 问题就是一个从底部加热的旋转 的流体夹层，该问题常用来作为热对流研究的标准模型。 在本文中，我们在笛卡尔坐标系o x y z 中考虑一无限平行的平面 夹层r 2 ( o ，d ) ，其中z 轴是与重力方向相反，且其方向向量为 露= ( o ，o ，1 ) t 。绕z 轴旋转的夹层中充满了不可压缩流体且夹层从底部 加热。如果夹层底部和顶部的温度差较小，则黏性力和重力占主导， 因而流体处于静止状态，通常称为基态。当温度差增较大时，浮力 克服黏性力而起主导作用，此时基态会失稳进而产生对流。 本文从该问题所满足的方程b o u s s i n e s q 方程出发分别讨论了边 界条件为双自由面和双固壁时上述旋转的b 6 n a m 问题的线性化谱问 题。记线性化谱问题中所有特征值仃的实部的最小值为 彘( = m i n r e 盯 ) 。这里仃是衰减率而不是物理学中的增长率，所以彘就 标志着扰动衰减率的下确界。 本文主要研究在取定一些参数后，彘与旋转速率q 的关系以及 磊与瑞利( r a y l e i 曲) 数r 的关系。可得到以下结论：当取定其它参数 后，彘是鲤的增函数，且当q 专佃时，彘存在极限，且该极限依赖 于普朗特( p r a n d t l ) 数p r 和边界条件；当取定其它参数后，彘是r 的减 函数。 关键词：贝纳得问题，旋转，瑞利数，普朗特数，双自由面，双固 壁 摘要 o nt h es p e c t r u mo fl i n e a r i z e do p e r a t o ro f r o t a t i n gb e n a r dp r o b l e m a b s t r a c t a r o t a t i n g1 f l u i dl a ) ，e rh e a t e df b mb e l o wi sas t a n d a r dm o d e lu s e dt os t l j d y t h et h e m a lc o n v e c t i o n t h i si ss oc a l l e dt h er o t a t i n gb 6 n a r dp r o b l e m i nt 1 1 i sp 印e r ，w ec o n s i d e ra ni n f i n i t eh o r i z o n t a l l a y e rr 2 ( o ，d ) i na c a r t e s i a nr e f e r e n c e 仔a m e o x y zw i t hu n i tv e c t o r 后= ( o ，0 ，1 ) tf o rt h ez a x i s b e i n ga g a i n s t 伊a v i 妙t h el a y e r ，r o t a t i n ga b o u tz a x i s ，i sf i l l e dw i t ha n i n c o m p r e s s i b l en u i da n dh e a t e d 丘o mb e l o w b e c a u s eo ft l l ei r 山i b i t i n ge f f e c t o f v i s c o s i t ya n dg r a v i t yo fn u i d ，t h en u i dr e m a i n sa tr e s t ( i e b a s i cs t a t e ) w h e n t h et e m p e r a m r ed i f f e r e n c eb 叽v e e nt h eb o t t o ma n dt o po ft h el a y e ri ss m a l l h o w e v e r o na c c o u n to fb u o y a n c y ，t h eb a s i cs t a t ew i l lb e c o m eu n s t a b l ea n d t h et h e m a lc o n v e c t i o ns e t si nw h e nt h et e m p e r a t l j r ed 确f - e r e n c ee x c e e d sa c r i t i c a lv a l u e w r es t a nt h i sp a p e rw i t hb o u s s i n e s q e q u a t i o n ss a t i s f i e db yt h ea f o r e s a i d p r o b l e m ，t h e nt h el i n e 撕z e ds p e c t r a lp r o b l e mo fr o t a t i n gb 6 n a r dp r o b l e mi s c o n s i d e r e df o rs t r e s s - 行i e ea n dr i g i d b o u n d a 巧c o n d i t i o n s l e t 彘 b et h e m i n i m u mv a l u eo ft h er e a l p a r t so ft h ee i g e n v a l u e s 仃i nt h es p e c t m m p r o b l e m ( 磊= l l l i n r e 盯) ) h e r e ，仃i st h ed e c a ym t er a t h e rt h a nt h eg r 0 、以h r a t ei np h y s i c s ，s o 磊 i n d i c a t e sm es m a l l e s tl o w e rb o u n do ft l l ed e c a yr a t eo f t h ep e r m r b a t i o n s i nt h i sp 印e rt 1 1 ed 印e n d e n c eo f 磊 o nt h er o t a t i o nr a t e 砬a n dt h e r a y l e i g h n u m b e rri s g i v e nf o rs o m ep a r a m e t e r s i tf o l l o w st h a t 磊 i n c r e a s e sw i t ht h e 圉o w t ho ft h em t a t i o nm t ea n dt h el i m i to f 彘 e x i s t sa st h e r o t a t i o nr a t ea p p r o a c h e s + t h ev a l u e so ft h el i m i td e p e n do np r a n d t l n u m b e ra n dt h eb o u n d a 拶c o n d i t i o n s o t h e r w i s e ，彘 d e c r e a s e sw i t ht h e 目o 、肌ho ft h er a y l e i g hn u m b e r k e y 、v o r d s ：b6n a r dp r o b l e m ，r o t a t i o n ，r a y l e i g hn u m b e b p r a n d t ln u m b e r s t r e s s - 1 r e e ，r i g i d 符呼说明 符号说明 速度场对应的扰动 温度场对应的扰动 压力场对应的扰动 膨胀系数 平均密度 重力加速度 运动黏度 热扩散系数 瑞利( r a y l e i 曲) 数 线性稳定的临界瑞利( r a y l e i 曲) 数 非线性稳定的临界瑞利( r a y l e i g h ) 数 普朗特( p 啪d t l ) 数 三维的拉普拉斯( l a p l a c e ) 算子 二维的拉普拉斯( l a p l a c e ) 算子 梯度算子 转置 对工求，l l 阶偏导数 a 刍= a ，a ， 砌c u d 后= ( a 。，a 。，一2 ) t c l j r l j = ( a ，一a 。，0 ) t 矩阵彳的逆 0 ，l ，2 ，) 石方向上的波数 y 方向上的波数 ( 一兰，三) ( 一兰，兰) 口口d6 v i i 玎 秒 p 口 p g y 七 尺 足 如 n 赴 v ， 凸 伊 z 口 6 p 符号说明 q 口 q r ( p ) 2 ( 埘 州一曲 旋转矢量 口的第三个分量 p 上的平方可积函数全体 d 2 d z 2 导数 r ( q ) 中的范数 北京化工大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：扬娃姐 扬亟室自 日期：2 q q 昼生旦窆目 关于论文使用授权的说明 学位论文作者完全了解北京化工大学有关保留和使用学位论文 的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北 京化工大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 保密论文注释：本学位论文属于保密范围，在上年解密后适用 本授权书。非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授 权书。 作者签名：杨娃姐 揖鲑绢 导师签名： 日期：2 q q 墨生旦窆目 日期：2 q q 璺生5 旦窆目 第一章概述 1 1 引言 第一章概述 在自然界的许多地方都可以观察到随时问和空问的演变而形成的图案，我们称为 时一空斑图。在对这些斑图形成机理的研究过程中提出了一些非常重要和基础的问题。 同时在过去的三十多年里有关模拟失稳以及相应的动力学分析、斑图的形成及稳定 性，以及对斑图定性的、实验的和数值方面的分析等都取得了长足的进展，从而促使 “非线性科学”这一新的交叉学科的产生。该科学主要是研究各个领域的复杂现象， 其中稳定性理论是一个非常重要的组成部分。在稳定性理论中，流动稳定性一直以来 都是流体力学的中心问题之一，在大气、海洋等自然界以及航空、航天、风工程、材 料制备等工程领域普遍存在的。研究流动的稳定性，就是要研究流动对于扰动的响应 特性，即流动是否稳定、稳定性条件、不稳定流动的演化等等。流动稳定性理论作为 一个系统的理论，最初是为了解释流动从层流转捩为湍流的机制而形成的，它的发展 经历了一个很长的过程，直到现在也还不能完全解释从层流到湍流的转捩机理，但是 在其发展的过程中，提出了许多新的研究方法和理论，它的实际作用并不仅仅局限于 转捩问题。实际上，自然界和工程技术中的很多问题，或者本身就牵扯到流动稳定性 问题，或者可以利用流动稳定性理论中的一些概念和方法。因此，流动稳定性的研究， 早已不是一个仅有理论价值的纯学术问题，它的研究对于了解自然现象，解决工程技 术问题都起到了重要作用。 在斑图的形成、演化和选择的过程中有几个著名而经典的例子，其中贝纳得 ( b 6 i l a r d ) 对流是最著名和最受关注的，它是由热对流引起失稳并最终过渡到湍流的 一个典型的例子。这是因为，一方面与其相关的实验较易设计，实验中出现的斑图易 观察；另一方面，它有较整齐的模型( o b e r b e c k b o u s s i n e s q 方程组) ，这样可以从理 论上加以研究和预测，然后通过与实验结果相对比来认识斑图形成的机理。 由于描述b 6 n 莉系统的模型是非线性的，直接对它进行理论上的研究会比较困 难。对于这种非线性问题，一般的处理方法是：先将非线性问题线性化再研究线性算 子的谱，但是这种线性化是否可行，也就是说线性分析的结果是否可以作为非线性问 题的结果，这两种结果是否一致，还有待于研究。 对线性算子谱的研究有以下两方面的重要性：( 1 ) 直接来自物理学与工程的需 北京化t 大学顾l ：学位论文 要。例如求振动的频率、判定系统的稳定性等都涉及相应算子的本征值或本征值的分 布。在量子力学里，能量算符是r 空间上的一个自伴算子，其本征值对应这该系统束 缚态的能级，特别地，光谱就是某个算子的本征值的分布。( 2 ) 通过本征值或更一 般的谱的研究来了解算子本身的结构，从而用以刻划相应方程的解构造。例如通过矩 阵的本征值，我们可以刻划这矩阵的不变子空问，写出它的标准形，并且彻底弄清楚 相应其次或非其次方程解的结构。 本文第一章阐述了与稳定性和谱相关的一些知识，以及古典的b 6 n 莉系统；第 二章建立了旋转的b 6 n 莉系统的数学模型并对该模型进行化简；第三章讨论当边界 条件为双自由面( s t r e s s 舶e ) 时旋转的b 6 n a r d 系统的线性算子的谱；第四章讨论边 界条件为双固壁( r i 百d ) 时旋转的b 6 n a r d 系统的线性算子的谱；第五章将第三章和 第四章得到的一些结论进行对比。 1 2 文献综述 所谓稳定性，是指一个系统在运动的过程中，或在干扰力的作用下，是否保持 原来的状态。稳定性的数学理论，就是为设计稳定的动力系统，避免不稳定的事故发 生提供一整套数学理论和方法，因而它在国民经济中的巨大作用和现实意义是不言而 喻的。流动稳定性理论作为一个系统的理论，最初是为了解释流动从层流转捩为湍流 的机理而形成的。 由于b 6 n 莉系统可以很好的解释流动稳定性理论和对流问题中的许多物理和数 学方面的问题，因而受到极大的关注。长时间以来，人们用该系统来模拟大气层中的 热对流现象，并对该系统进行大量的理论和实验研究。 1 2 1 古典的b 白a r d 系统及其物理背景 图卜1 2 第一章概述 考虑一平行夹层( 如图1 ，1 ) ，夹层问的距离是d ，夹层中充满了流体，夹层从 底部加热，保持温度为毛，项部的温度为互( 毛 石) 。靠近底部的流体受热大，密 度小于上面的流体，由于浮力( = 嘶噌丁，口是膨胀系数，为平均密度，g 为重力 加速度) 的作用，底部的流体有向上的趋势，但是流体的黏性和热散发能力又来阻止 这种上升运动( 即s t a b i l i z i n gf o r c e 鼍孚，其中y 为运动黏度：七为热扩散系数) 。如 口 果丁( = 毛一互) 较小，则黏性力占主导，因而流体处于静止状态( 通常称为基态，b a s i c s t a t e ) 。这时流体内部只有热传导。但是当r 增大到某个临界值时，浮力会克服黏 性力的阻力而打破静止状态，进而出现流体的热对流运动( c o n v e c t i o n ) 。 如果假设在外力项中密度是温度的线性函数，在其它项中为常数，同时其它流 体参数不随温度变化( 这就是所谓的b o u s s i n e s q 近似【1 1 ) ，且流体是不可压缩的，则 下下 可以得到关于基态( 即无对流时的定常解口= o ，r = 一肚+ 兀，= 华) 的无量纲化 口 后的扰动方程组，通常称为0 l b e r b e c l 【- b 0 u s s i n e s q 方程组 a ，玎一一页汐露+ 阳v + v p = o v 比= o p r a f 秒一秒一页0 后+ p r “v 秒= o 其中，后：( o ，o ，1 ) t ，尺( ：壁壁j ) 为瑞利( r a y l e i g h ) 数，p “：兰) 是普朗特( p r a n d t l ) c 数。口= ( “，w ) t 、秒和p 分别表示速度场、温度场和压力场所对应的扰动，表示三 维的l a p l a c e 算子，这里的t 表示转置。 边界条件：流体夹层点( o ，d ) 通过无量纲化后变为点( 一吉，吾) 。通常的边界条件有 以下几种：无穷远处、两介质界面处、固壁处、自由面处【2 1 。本文主要讨论固壁处和 自由面处。 两介质的界面可以是气、液、固三相中任取两不同相的界面，也可以是同一相不 同组成的界面。例如物体在空气中的运动，物面就是气、固两介质的界面；海洋中的 水面就是空气和水两相的界面；河流中清水和浊水的界面就是同一水相而密度不同的 界面等等。 ( 口) 双固壁( n 舀d ) 边界条件，也称为无滑边界条件，是两介质界面处边界条件 的重要特例，此时两介质中有一个是固体，另一个是流体( 可以是气体或液体) 。当 北京化t 人学硕i ：学位论文 固体壁面不可渗透时，粘性流体的质点将粘附于固体壁面上，于是在固体壁面处流体 的运动速度与固体壁面的运动速度相等，这就称为粘性条件或无滑移条件。因此 吐：三= 1 ，l z o = w l 对! = o ( 6 ) 双自由面( s t r e s s 仔e e ) 边界条件，此时剪应力为零，这是j 下常条件下气一液 界面处的边界条件，是两介质界面处边界条件的另一重要特例。例如河流海洋的水面 就是一例。此时气相( 如空气) 不一定处于静止状态，只要它的运动不太强于液体的 运动，则由于气体的密度和粘性大大地小于液体的值，因此由于惯性力和黏性力引起 的压力及应力变化和液体相比可忽略不计。因此我们可以近似地认为气相在界面处的 应力张量为一风磊，其中岛是气相的常压( 例如可以是大气压力) 。因此 ：圭= 连= w l z 过尸 对这两种边界条件p 均满足：乡ii = 0 z = 主 另外由连续方程v 口= o 易得对双固壁的情形还有见w i 1 = o ；对双自由面情形 扫士互 有硬w i 1 = o 。 庐工乏 b 6 n a r d 系统的稳定性分析，包括线性分析和非线性分析。研究旋转b 6 n a r d 问题 的非线性稳定性为我们认识对流现象和对流控制提供了很大的帮助。 研究稳定性的传统出发点是本征值分析，它是基于研究扰动方程线性化后线性 算子的谱。这种分析方法分为两步：首先把层流的扰动方程线性化，然后寻找线性化 问题的不稳定本征值。以这些不稳定本征值对应的本征函数作为初始条件的解，将随 着时间的增k 指数增长，此时自然认为流动是不稳定的。 对于一些流动，如t a y l o r _ c 0 u e t t e 流和b 6 n a r d 对流，本征值分析结果与实验结果 符合的很好，但对于一些由剪切引起的流动，本征值分析结果与实验结果相差很大， 平面平行剪切流就是这方面的一个例子。对于双固壁边界条件，线性稳定性分析给出 平面p o i s e u i l l e 流稳定的临界r e ”o l d s 数r 巳= 5 7 7 2 ，但是当尺p 1 0 0 0 时，实验中就 已经观察到湍流的存在。同样在双固壁边值条件下，线性稳定性分析表明，平面c o u e n e 流对于任何r e y n 0 1 d s 数都是稳定的，即此时平面c o u e t t e 流线性稳定的临界r e ) ，i l o l d s 数为艇= 佃，但是当尺p 3 6 0 时，实验中就已经观察到其不稳定性。许多年以前人 们就已经注意到这种亚临界失稳现象。对于双自由面边值条件，人们普遍认为这种情 4 第一章概述 形比前者稳定。在这种边值条件下，鼬o n e r o 和m u l o n e f 3 1 以及x u 【4 1 都证明了，平面平 行剪切流线性稳定的临界r e y i l o l d s 数均为尺巳= 佃引。 因此线性稳定性分析的重要性在于它给出不稳定的充分条件【6 j 】。在上述提到的 线性化谱问题中，特征值盯形成了一个可数集，且盯的实部r e 仃在这个集合内可取到 最小值，记作彘。r e 仃在物理上称为衰减率，则彘就称为衰减率的下确界，用来估 计扰动衰减快慢。 实际上，各种问题的数学模型中，线性的问题很少，一般都是非线性的。一般说 来，线性的稳定性分析会比非线性的稳定性分析简单些。因而对于一个系统的稳定性 分析总是从线性稳定性开始。 1 2 1 1 方程( 卜1 ) 的线性稳定性分析l 】 对方程( 卜1 ) 进行线性稳定性分析，首先要略去方程中的高阶项价v 以和加v 口。线 性稳定性分析又称为微扰分析，因为这种线性近似只有在扰动很小时才有意义。系统 稳定性是指对所有可能的微扰动而言。对于这个问题的数学研究是首先假定扰动，秒 和p 在x 方向和y 方向以p ：( 一三，三) ( 一孕，孚) 为周期，其中口，6 分别称为x ，y 方向 口口d d 的波数。由于南e f i 蛳似洲小( ) t z 2 ( z 为整数集) 在即) 构成完备的标 准正交系。因此“，w 和9 均可展成如下形式的f o 谢e r 级数 厂( j ，少，z ，f ) = 五( z ，f ) e 懈+ 即任何一个扰动可表示为某些基本模态( m o d e s ) 的叠加。因此要研究系统对于 扰动是否稳定，只需要分析系统对所有模态是否稳定。这些模态都有形式 缈( z ，f ) 4 南肿从z y 因系统的稳定性是对任何扰动，因而必须考虑口和6 取任何实数的情形。为了在 方程( 卜1 ) 中消去压力项跏，用算子“c u r l 作用方程组( 卜1 ) 中关于的方程， 若令国= 后c u r l ，则在不考虑非线性项的情况下有 旦竺：缈( 1 2 )= 缈ll z ) a 即缈表示涡度( v o n i c 时) 的第三个分量。 北京化t 人学硕i j 学位论文 同理，再用算子“刚饥r l ”作用方程组( 卜1 ) 中关于“的方程，则得第三个分 量应满足的方程为 昙w ：2 w + 页- ，秒( 1 3 ) a 这罩，2 表示用拉普拉斯( l a p l a c e ) 算子作用两次，：= 簧+ 导称为平面的l a p l a c e 算子。 于是由前面的讨论，可假设缈、w 和秒有下列形式 缈= 面( z ) “呐。+ y 一们】 w = 以z ) 一4 毛。+ 雎2 y 卜们1 p = 歹( z ) 曲。+ 撕z y 卜叫1 上式中盯为常数，可以为复数。把这些表达式分别代入方程( 1 1 ) ，( 舍去v 口) 、( 卜2 ) 和( 卜3 ) 得到 f ( p ；一，2 + p r 盯) 歹( z ) = 一7 页诫z ) 一面( z ) = ( 谚一，2 ) 历( z ) ( 卜4 ) l ( 谚一r 2 ) ( d ；一，2 + 盯) 诃( z ) = 爵2 歹( z ) 上式中厂2 = 口2 砰+ 6 2 霹，谚= 軎。 方程组( 卜4 ) 对应的边值条件为 酢) = 喇= 酢) 项加0 ，z = 圭 引z ) = = 诃= 配) _ o z = 三 ( 边界为双固壁) ( 1 5 ) ( 边界为双自由面) 由于方程组( 卜4 ) 中的第二个方程独立于其它两个方程，所以第二个方程对所 讨论的问题没有影响。因而只需讨论由另外两个方程和上述对应的边值条件组成的定 解问题，即考虑方程组 j ( 噬一，2 + p r 仃) 万( z ) = 一瓦以2 ( 1 6 ) 【( 谚一，2 ) ( 谚一，2 + 仃) 双z ) = r r 2 歹( z ) 和边值条件( 卜5 ) 构成的本征值问题，其中盯为本征值问题的参数。基态的稳定性 取决于彘的符号。这里 彘= “n r e 盯) 6 第一章概述 当彘 o 时基态稳定。彘= o 为临界情形，此时基态的 稳定性不确定。彘是控制参数r a y l 西曲数尺，p r a n d t l 数p r 和波速，的函数，比如 彘= 厂( 尺，p r ，) 。可能有许多r 的值对应于彘= o ，那么对应于彘= o 的最小的尺的值 就是线性稳定的临界值兄。 实际上对于给定的p r ，彘= 0 给出了r 关于，2 的函数关系，而，2 是任何实数( 代 表不同的模念) 。r 是尺的对于，2 的最小值。容易证明，仃没有纯虚根【1 7 】，这表明当 尺越过r 时，失稳后的对流运动是定常流。通过求解方程组( 卜6 ) 对应与不同边值 条件的定解问题得到：当边界条件为双自由面时，足= 6 5 7 5 ；当边界条件为双固壁 时，砖= 1 7 0 7 7 6 ；当边界条件为一个自由面，一个固壁时，足= 1 1 0 0 6 5 。 s c h m i c h 和m i l v e n o n 对双固壁的情形作了实验得出足= 1 7 7 0 1 4 0 ，显然与理论 结果基本相同。b 6 1 1 a m 对夹层上面是自由面的用溶化的鲸脑油和石蜡作实验，也得出 与理论大致相同的结果。 1 2 1 2 方程( 卜1 ) 的非线性稳定性分析【1 】 线性稳定性分杉r 只能给出稳定的必要条件，从而用线性稳定性理论判别是稳定的 系统很可能实际上是不稳定的。前人利用能量方法( l y a p u n o v 直接方法) 给出了基态 稳定的充分条件，基本思想如下：考虑动能 e ( f ) = 划口峨仞+ p r 俐i ( 研) ， 其中q = p ( 一圭，争，p = ( 一詈，三) x ( 一詈，詈) ，口，6 o 【8 9 1 0 1 ，对e ( r ) 求导，并结合使 用基态下加微扰的方程及边界条件。为使系统能稳定，要求e ( f ) o ，这样得到的e ( f ) 要求当卜佃时，e ( f ) 一0 ，由此得到系统控制参数r a y l e i g l i 数应满足的条件，实 际上是得到一个变分问题，然后求解该变分问题，便可得到临界的r a y l e i 曲数啦，如 称为非线性稳定的临界值，显然与所考虑的能量泛函有关。 下面就是前人利用能量方法对方程组( 卜1 ) 进行非线性分析的具体过程。考虑 动能 e ( f ) = 吉咄h 1 2d 矿+ p rl 口2 d 矿) 7 北京化工人学硕1 ：学位论文 其中，q 呐( 一圭，争 对e ( f ) 求导，同时利用方程( 卜1 ) 和其对应的边界条件得 刖= l 比挚y 巾l 秒挚卜7 ) = 一l l v 1 2d 矿一l i v 目1 2d 矿+ 2 压l 洲y 9 d ( 卜去) 其中d = l i v 口1 2d y + l i v 秒1 2 d y 占：m 。型“l _ 8 ) 再一唑肛，午”叫 这里日是所有满足边值条件的容许函数的全体。易证d c o e ( f ) ，c 0 为常数。从 而若尺 心，则有 郴喇岬一庙 即e ( f ) e ( 训一毋 于是当尺 ，且f 增大时，e ( f ) 趋于0 。 这表明，当r 啦时，对任何初值，扰动的能量当f 专时趋于零。因此，基态 是无条件稳定的。 求解变分问题( 卜8 ) 需要将该问题转化为微分方程的定解问题。该微分方程通常 称为欧拉一拉格朗同( e u l * l a g r a n g e ) 方程9 1 。变分问题( 卜8 ) 对应的e u l e r - l a 鲫l g e 方程为 ，( - ) 口= 廊一叩( 1 _ 9 ) 【( ) 9 = 尺w 其中，刀是由于v 口= 0 ( 即m 是s o l e n o i d a lf i e l d ) 而引入的。这样，变分问题就化为 本征值问题，定解条件为前面给出的三种边值条件之一。为了解这个定解问题，用线 性算子万= ( a 。，a 。，一：) 作用方程( 卜9 ) 中关于“的方程，从而得到 第一章概述 f 2 w = 压( 一：) p 【( ) 臼= 压w 其中用线性算子万= ( a 。，a 。，一：) 作用于一个向量y = ( k ，) 的含义是 万y = ( a 。k ，a ：，一：圪) 。从该方程中消去目得 ( 一) 3 w = 尺( 一2 ) w ( 1 1 0 ) 再利用 w = 硪z ) e 和”y 卜们1 方程( 卜1 0 ) 就变为关于访( z ) 的常微分方程，然后再解该方程和访( z ) 的边值条件一起 所构成的本征值问题，可得砧= 足。 由此可知对该系统而言，线性稳定分析给出的稳定性条件是既充分又必要的。像 这样完美的结果很少见。 1 2 2 旋转的b 缸a r d 系统 当在上面古典的b 6 1 1 a r d 系统加入旋转口= ( o ，o ，跪) t ( 即绕z 轴旋转) 后，也就是 假设夹层放置在一个以角速度钽绕z 轴旋转的平台上( 如图l 一2 ) ， 图l - 2 对上述加入旋转q = ( o ，o ，砬) t 的b 6 n 删系统进行线性稳定性分析表明：旋转对基流 有稳定的作用，即可以抑制对流的产生。而且实验与线性分析结果符合得较好【i l 。 对该问题进行非线性分析，寻找稳定的充分条件时，出现以下情况。 若仍考虑最简单的能量泛函，即动能 9 北京化t 人学硕。i ：学位论文 e o ) 2 专 l i 脚1 2d y + p rl 俨d 矿) 经过简单计算发现，旋转参数鲤对非线性稳定的临界值尺，没影响，即用通常的动能 根本无法度量到旋转的作用。为此人们就设法将动能进行推广，即设法构造一个复杂 的能量泛函( 这个能量泛函可能涉及速度和温度的高阶导数，这个泛函在数学上是合 理的，暂时还无法解释其物理意义) ，使之能够度量到旋转的作用。这样的能量泛函 构造起来很难，这种方法就称为推广的能量泛函方法或l y a p u i l o v 直接方法【4 坨”1 。 一般来讲，由线性稳定性方法得到的临界值足与由能量方法得到的临界 r a y l e i g h 数心是不同的。因此，构造一个能量泛函e ( f ) ，使得吃与足尽量靠近，就 成为推广的能量泛函方法的一个主要任务。 1 3研究方法及结论 本文只考虑加入旋转口= ( o 0 ，鲤) t 的b 6 i l a r d 系统。本文通过数值方法研究旋转 的b 6 i l a r d 系统在边界条件分别为双自由面和双固壁情形下，扰动衰减率的下确界彘与 旋转速率鲤之间的关系，以及该下确界与r a y l e i 曲数之间的关系。 当边界条件为双自由面时，通过理论化简可得到关于特征值盯的一个代数方程， 然后利用数值方法直接对该方程进行求解，从而得到六与砬之间的关系、彘与尺之 间的关系：磊随着鲤的增大而增大，磊随着尺的增大而减小，此外彘的变化还依赖 于p r 。 当边界条件为双固壁时，利用c h e b y s h e v t a u 方法对线性化谱问题进行数值计算， 从而得到一些结论，例如彘与鲤之间的关系、彘与r 之间的关系等等。 l o 第- 二章旋转的b n a r d 系统的数学模型及j c 稳定性分析 第二章旋转的b 6 n a r d 系统的数学模型及其稳定性分析 2 1 旋转的b 6 n a r d 系统的数学模型 在古典的b 6 n a r d 系统中引入旋转刃= ( q ，鼠，砬) t ，研究旋转对对流的影响，这 对认识大气中对流的产生和对对流的控制有较大的理论指导意义。 对基态的扰动方程组由c h a i l d r a s 锄a r 给出【，对该方程组使用下面的特征 孰圳d ：俐州冉u = 号；如( 警) ；u ； 秒卅既p = 孚；r = 譬：p r - 丢：矗= 署( 其中所有带木，的量都是无dj cd 量纲的) ，为了表达方便，然后统一将木号去掉，就可得到关于基态的无量纲化后 的方程组【1 ： a ，口一朋一页矽j | + 2 口搿+ 口v 口+ y p = 0 v = 0 ( 2 1 ) p 旧，秒一秒一瓦口露+ p 埘v 秒= o 其中z ( 一圭，丢) ，即= ，1 ，w ) t ，后= ( o ，o ，1 ) t ，岛是流体密度，p r 是p 瑚d t l 数， r 是系统控制参数：r a y l e i 9 1 1 数。即，秒和p 分别代表速度场、温度场和压力场所对应 的扰动，代表三维的拉普拉斯算子，代表二维的拉普拉斯算子，t 代表转置， g ，口，r 和l ，分别为重力加速度，热膨胀系数热传导系数和黏性系数。假定，目，p 在x 方向和y 方向以尸：( 一三，三) ( 一孕，孚) 为周期，其中口，6 分别称为工，y 方向的波数。 口口dd 边界条件为： 双自由面( s 缸s s 仔e e ) 吼”：见1 ，：w ：p ：o ，z ：要( 2 2 ) 双固壁( r i 百d ) h ：口：o z = 三( 2 3 ) 2 2 模型的化简 北京化丁人学硕士学位论文 为了消去方程( 2 一1 ) 中的压力项即，我们应用分解 口= c u r l c u r l 妒露+ c 谢y 露+ 厂= 占矽+ 占沙+ 厂( 2 - 4 ) 其中 万= c u r l c u r l 后= ( a 舡，a 归，一2 ) t ，占= c u r l 七= ( a y ，一a j ，o ) ，厂= ( z