（计算数学专业论文）带多个形状参数的bézier曲线和曲面.pdf

带多个形状参数的b 6 z i e r 曲线和曲面 摘要 b 6 z i e r 曲线和曲面是曲线曲面设计中的重要工具之一。然而，对于给定的 控制多边形，b 6 z i e r 曲线的位置是确定的，若要调整曲线的形状，则往往需要 调整控制多边形，这在实际应用中则显得不太灵活。本文运用在基函数中引入 参数的方法，通过改变参数的值来调节曲线形状。 本文首先介绍了带有形状参数的多项式基函数，分析了基函数的性质；然 后，基于这样的基函数定义了带有形状参数的多项式曲线，对相应的曲线性质 进行分析，研究了形状参数对曲线形状的几何意义。实例表明所定义的曲线不 仅具有b 6 z i e r 曲线的特性，而且在控制顶点不变的情况下，随着参数取值不同， 可产生不同的逼近控制多边形的曲线；最后，运用张量积方法，将曲线推广到 曲面，构造了带有多个形状参数的双二次张量积b 6 z i e r 曲面，介绍了它的性质， 通过图形展现了形状参数对曲面的调节作用。 通过本文研究表明：带有形状参数的b 6 z i e r 曲线和曲面为曲线曲面设计提 供了一种有效的方法。 关键词：c a g d ；曲线曲面造型；b 6 z i e r 曲线；单参数b 6 z i e r 曲线；双参数b 6 z i e r 曲线；f b 6 z i e r 曲线；张量积b 6 z i e r 曲面 b 6 z i e rc u r v e sa n ds u r f a c e sw i t hm u l t i p l es h a p ep a r a m e t e r s a bs t r a c t b 6 z i e rc u r v e sa n ds u r f a c e sa r eo n eo ft h ei m p o r t a n tt o o l sf o rd e s i g n i n gc u r v e s a n ds u r f a c e s h o w e v e r ，f o rag i v e nc o n t r o lp o l y g o n ，b 6 z i e rc u r v e sl o c a t i o ni s d e t e r m i n e d t oa d j u s tt h es h a p eo ft h ec u r v e s ，o n en e e d st oa d j u s tt h ec o n t r o l p o l y g o n ，w h i c hi sn o tf l e x i b l ei np r a c t i c a la p p l i c a t i o n s i nt h i st h e s i s ，t h em e t h o d i n t r o d u c i n gp a r a m e t e r si nt h eb a s i sf u n c t i o n si su s e d ，b yc h a n g i n gt h ev a l u eo ft h e p a r a m e t e rt oa d j u s tt h es h a p eo ft h ec u r v e s t h ep o l y n o m i a lb a s i sf u n c t i o n sw i t hs h a p ep a r a m e t e r sa r ei n t r o d u c e di nt h i s t h e s i sf i r s t l y ，a n dt h ep r o p e r t i e so ft h i sb a s i sf u n c t i o n sa r ea n a l y z e d t h e n ，t h e p o l y n o m i a lc u r v e sw i t hp a r a m e t e r sa r ed e f i n e db a s e do nt h e m ，t h ep r o p e r t i e so ft h e c o r r e s p o n d i n gc u r v e sa r ea n a l y z e d ，a n dt h eg e o m e t r i cm e a n i n go ft h es h a p e p a r a m e t e r sa r es t u d i e d e x a m p l e ss h o wt h a tt h ed e f i n e dc u r v e sn o to n l yi n h e r i tt h e p r o p e r t i e so fb 6 z i e rc u r v e s ，b u ta l s oa r ea d ju s t a b l ei nt h es h a p ea n df i tc l o s e l yt o t h ec o n t r o lp o l y g o n l a s t l y , t e n s o rp r o d u c tm e t h o di su s e dt oe x t e n dt h ec u r v e st o s u r f a c e s t h es u r f a c e sw i t hm u l t i p l es h a p ep a r a m e t e r sa r ec o n s t r u c t e d ，a n dt h e p r o p e r t i e so ft h es u r f a c e sa r ea n a l y z e d t h eg r a p h i c sd i s p l a yt h ea d ju s t i v ee f f e c t s o ft h ep a r a m e t e r st ot h es u r f a c e s t h es t u d yo ft h i st h e s i ss h o w st h a tt h eb 6 z i e rc u r v e sa n ds u r f a c e sw i t hs h a p e p a r a m e t e r sp r o v i d ea ne f f e c t i v em e t h o df o rd e s i g n i n gc u r v e sa n ds u r f a c e s k e yw o r d s ：c a g d ；b 6 z i e rc u r v e s ；b d z i e rc u r v e sw i t ho n ep a r a m e t e r ； b 6 z i e rc u r v e sw i t ht w op a r a m e t e r s ；f b 6 z i e rc u r v e s ；b 6 z i e rs u r f a c e s 插图清单 图2 1b e r n s t e i n 基函数图形( 玎= 2 ，3 ) 5 图2 2b 6 z i e r 曲线图形( ，z = 2 ，3 ) 6 图3 1二次允一b e r n s t e i n 基函数图形1 2 图3 2二次和三次见b 6 z i e r 曲线图形1 4 图3 3二次筇一b e r n s t e i n 基函数图形1 6 图3 4二次和三次筇b d z i e r 曲线图形1 7 图3 5形状参数对二次筇一b d z i e r 曲线形状的影响2 0 图3 - 6名b 6 z i e r 曲线组成的花瓣图形2 0 图3 7筇b 6 z i e r 曲线组成的花瓣图形2 1 图4 1二次f b e r n s t e i n 基函数图形2 3 图4 2各单参数对二次f b 6 z i e r 曲线形状的影响2 5 图4 3二次f b 6 z i e r 曲线图形一2 5 图4 4花瓶图形2 7 图5 1双二次f b d z i e r 曲面图形3 0 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得盒壁互些态堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签字：莨殉五司签字日期：沙i d 年牛月i 易日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金g 曼王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权金g 曼工业盔 三l 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名： 桶彰姆 导师签名： 鹈乙五 签字日期：加l o 年斗月f 8 日签字日期：知，。年月留日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 致谢 值此论文完成之际，首先要衷心的感谢我尊敬的导师檀结庆教授! 感谢檀 老师在我学位论文选题、调研、撰写、修改等过程中所给予的悉心指导。 在选题、开题及完成论文的每一个阶段，檀老师都严格把关，并在课题的 研究思路上给以具有建设性的意见。对论文的审阅也同样耐心细致，大到论文 的框架，小到一个知识点，檀老师都是一样细心批阅纠正。在近三年的研究生 学习期间，檀老师以严谨务实、一丝不苟的治学态度和对学术问题的独到见解 深深地影响了我。檀老师知识渊博，科研经验丰富，不仅教给我知识，更教给 我独立分析问题、解决问题的能力。同时，檀老师也是我生活中的老师，他对 人的平和、亲切，对学生的关心爱护，教会了我平易近人的待人处事方式。在 我近三年的硕士阶段，檀老师在学习上和生活上给与的关怀与帮助，我将永远 铭记在心! 衷心感谢所有的授课老师，是他们传授给我了丰富的知识，促使我能够进 一步攀登知识的高峰! 衷心感谢我的同学们，和他们在一起的学习和生活时光将值得我永远纪 念! 最后还要特别感谢我的父母和家人，是他们不辞劳苦、任劳任怨的辛勤付 出以及对我精神和物质上的极大支持，使我最终得以完成学业。 再次感谢所有曾经给予我帮助的人! 作者：范菊娴 2 0 10 年3 月 第一章绪论 1 1 研究背景 计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ) ，简称c a g d ， 这门学科是随着航空、汽车等现代工业的发展及计算机的出现而产生与发展起 来的一门新兴学科，是涉及数学与计算机科学的边缘学科。由于计算机技术的 飞速发展和普及，使得计算机辅助设计与制造( c a d c a m ) 技术得到了迅猛的发 展，因此推动了许多领域的设计革命。c a d 、c a m 技术的发展及应用水平已 经成为衡量一个国家现代化水平的重要标志之一，作为它的理论基础和关键技 术，计算机辅助几何设计( c a g d ) 在其中起到了重要作用，它研究的内容是“在 计算机图像系统的环境中曲面的表示和逼近，它主要侧重于计算机设计和制 造( c a d c a m ) 的数学理论和几何体的构造方面。 在2 0 世纪6 0 年代，c o o n s 、b 6 z i e r 等大师开始这方面的研究，为计算机辅 助几何设计的发展奠定理论基础。所用的理论工具涉及到如逼近论、计算数学、 数值分析、代数几何、拓扑学、微分几何、抽象代数等数学学科中的许多分支， 同时与计算机图形学还有着密切的联系。尽管c a g d 所用的理论工具大部分都 可以追溯到很久很久以前，但开始成为一门新的学科却是上世纪6 0 年代末的 事。这主要归功于计算机的高速数据运算功能和强大的图形功能。随着c a g d 理论的不断发展，在飞机、船舶、汽车设计、模具设计、工程器件、生物工程、 医学诊断、动画制作及多媒体技术等众多领域都能看到其广泛的应用。它己经 使几何学从传统时代进入到数字化的信息时代。 很多工业产品在制造之前都要对其进行几何曲线曲面的设计，例如飞机、 汽车的外形零件。而通常对它们的形状只有一个大概的描述或知道它们都过的 一些空间点列。要进行设计就要考虑相关的曲线曲面的计算机处理、对曲线曲 面进行逼近与再生及在原有基础上进行局部修改的方法和效果。计算机辅助几 何设计主要研究的对象是所谓的自由型曲线曲面，计算机的出现使采用数学方 法定义的自由型曲线曲面得以在实际中进行应用。关键问题就是从形状信息的 计算机表示、分析、综合中找到一种数学方法来对形状进行描述。 计算机辅助几何设计的出发点是对形状进行数学描述。19 6 3 年，美国波音 飞机的f e r g u s o n 首先提出用参数的矢函数方法表示曲线曲面，并引入参数三次 曲线，构造了由四个角点的位置及两个方向切矢来定义的f e r g u s o n 双三次曲面 片。从此，曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式。1 9 6 4 年， 美国麻省理工学院( m i t ) 的c o o n s 引入超限插值的概念，提出一种具有一般性 的曲面描述方法【2 j ，只要给定围成封闭曲线的四条边界就可以定义一块曲面片 ( c o o n s 曲面片) 。与f e r g u s o n 双三次曲面片相比，它们都存在形状控制与连续 的问题，它们区别在于将角点扭矢由零矢量改为非零矢量。1 9 4 6 年s c h o e n b e r g 提出的样条函数【3 】的概念，为解决曲线曲面之间的连接问题提供了一种可能。 用来进行形状描述的样条方法是样条函数的参数形式。样条方法在构造整体达 到某种参数连续阶的曲线曲面时非常方便，但是它没有局部形状调整的自由度， 其形状难以预测。 法国雷诺汽车公司的工程师b 6 z i e r 从1 9 6 2 年开始研究以“逼近为基础 的参数曲线表示法。以此为基础，完成了一种自由型曲线和曲面的设计系统 u n i s u r f 的设计，1 9 7 2 年在公司正式使用，并定义为b 6 z i e r 曲线。b 6 z i e r 方 法将函数逼近理论与几何表示结合到一种简单而直观的程度。这种方法是由控 制多边形定义曲线的新方法”l 。只要移动控制顶点就可以改变曲线的形状，而 且形状的变化完全在控制之中。b 6 z i e r 方法简单方便，出色地解决了整体形状 的控制问题，在c a g d 学科中占有重要的地位，为c a g d 的进一步发展莫定 了坚实的基础。但是b 6 z i e r 方法仍存在连接问题和局部修改问题。而且当特征 多边形边数较多时，多边形对曲线的控制减弱。 在l9 7 2 19 7 4 年期间d e 。b o o r 、g o r d o n 和r i e s e n f e l d 6 j 等受到b d z i e r 方法 的启发，提出了b 样条方法。b 样条方法不仅继承了b 6 z i e r 方法的优点，而且 克服了b 6 z i e r 方法存在的缺点，较成功地解决了局部控制问题，又在参数连续 性的基础上解决了连接问题，从而使自由型曲线曲面的描述问题得到了较好的 解决。 b 6 z i e r 曲线作为参数多项式曲线的一种，由于它采用了一组独特的多项式 基函数，即b e r n s t e i n 基函数，而b e r n s t e i n 基函数具有许多优良的性质，使得 b 6 z i e r 曲线也具有对称性、凸包性、几何不变性等良好的性质，从而成为计算 机辅助几何设计中表示曲线和曲面的重要工具之一1 7 8 l ，在c a g d 、数据拟合与 插值、计算机视觉等领域中，都发挥着着极其重要的作用。然而，对于给定的 控制多边形b 6 z i e r 曲线的位置是确定的，若要调整曲线的形状，则往往需要调 整控制多边形。这在实际应用中则显得不太灵活。有理b 6 z i e r 曲线和有理b 样 条曲线中的权因子具有调整曲线形状的作用【9 。2 】以及一些其它类型的形状可调 的曲线 1 3 - 1 8 】，但是有理曲线面更适合于作局部调整，对整体调控较难把握，而 且求导和求积比较复杂l l 叭。近年来许多学者比较关注在调配函数中引入参数， 通过改变参数的值来调节曲线的形状。叶正麟【2 0 】针对三次b 样条曲线提出一类 四阶门次b 样条曲线，利用刀的变化来修改曲线的形状，当刀一o o 时曲线整体地 逼近于控制多边形。邬弘毅1 2 l j 针对b 6 z i e r 曲线给出一类具有，+ 1 个控制点， z ( ，l 1 ) + 1 次的b 6 z i e r 曲线，只要改变，的值即能调控曲线形状，但这种性质的 获得是以曲线次数的升高为代价的。o r u c l 2 2 】等利用q 整数的方法构造了一类 q - b e r n s t e i n 多项式，并构造了相应的b 6 z i e r 曲线。刘根洪【2 3 】等通过将参数f 重 新参数化，提出广义b 6 z i e r 曲线和曲面。梁锡坤 2 4 1 通过将参数，有理参数化提 2 出b e r n s t e i n b 6 z i e r 类曲线，但曲线不具有对称性。韩旭里 2 5 , 2 6 j 构造了一种带一 个形状参数的三角多项式曲线。苏本跃l z j 等构造了一类b 6 z i e r 型三角多项式曲线。 王刘强【2 8 】等提出了一类三角函数多项式曲线t - b 6 z i e r 曲线。该类曲线可以精确 表示一些二次曲线和超越曲线，但缺乏灵活的形状可调性，且计算复杂。张纪 文【2 9 】以s i n t ，c o s t ，f ，1 为基底，构造了带一个形状参数的c 曲线。这些曲线 能精确表示圆锥曲线，也能通过形状参数的不同取值改变曲线的形状。韩旭里 【30 1 、吴晓勤【3 、程黄和【3 列、刘植【3 3 】通过提高多项式的次数得到一组带有参数a 的( 门+ 1 ) 次多项式基函数，通过对参数取不同值而达到形状调节的目的。 由于基函数在曲线、曲面设计中起着基础和关键的作用，因此希望可以构 造新型的调配基函数调节曲线的形状，使之更利于曲线曲面的设计。本文在 b e r n s t e i n 多项式优良性质的基础上，结合前人一系列的研究成果，通过引入参 数来重新构造多项式基函数，使得它继承了b e r n s t e i n 多项式的优良性质，用其 生成的曲线也具有与b 6 z i e r 曲线类似的性质。通过改变形状参数的值，可以得 到不同程度逼近控制多边形的曲线，从而更加灵活的对曲线形状作整体和局部 修改。 1 2 主要研究内容 本文的主要内容是有关b 6 z i e r 曲线和曲面的研究。作为基础，本文在第二 章介绍了b 6 z i e r 曲线的定义及性质，b 6 z i e r 曲线的矩阵形式和b 6 z i e r 曲线的升 阶、降阶。第三章介绍了韩旭里等提出的带一个形状参数的b 6 z i e r 曲线和严兰 兰等提出的带有两个形状参数的b 6 z i e r 曲线，并对相应的曲线性质作了深入的 分析，研究了形状参数对曲线形状的几何意义，最后给出了应用实例。第四章 在第二章和第三章的基础之上，对b 6 z i e r 曲线做了进一步的推广，构造了带有 多个形状参数的b 6 z i e r 曲线，该曲线不但具有原b 6 z i e r 曲线的优良性质，而且 形状调节的能力更强，文中分析了形状参数的对曲线形状的调节作用。第五章 首先介绍了张量积b 6 z i e r 曲面的定义和性质，在此基础之上构造了带有多个形 状参数的双二次张量积b d z i e r 曲面，介绍了它的性质，通过图形展现形状参数 对曲面的调节作用。第六章对全文作出总结与展望。 第二章b 6 z i e r 曲线 b 6 z i e r 曾是法国雷诺汽车公司的工程师，1 9 6 2 年他提出了独创的构造曲线 曲面的方法，即以“逼近”为基础的参数曲线表示法，并以此种方法为基础， 发展了一套自由型曲线曲面的设计制造系统( u n i s u r f 系统) ，于l9 7 2 年在雷 诺汽车公司正式使用。他所构造的曲线被称为b 6 z i e r 曲线。由于b 6 z i e r 曲线采 用了多项式基函数，使得它具有许多优良的性质，一经问世，就受到工业界和 c a g d 学术界的广泛重视，并成为计算机辅助几何设计( c a g d ) 中最基本的造型 工具。本章主要介绍b 6 z i e r 曲线的定义及基本性质、b e r n s t e i n 基函数的性质， 以及b d z i e r 曲线的矩阵形式和升阶、降阶等内容。 2 1b 6 z i e r 曲线的定义 定义2 1 给定( n + 1 ) 控制点只r d ( d = 2 ，3 ；i = 0 ，l ，刀) ，对，“o ，1 】，称参数 曲线段 厂( ，) = ，：，( 忍，互，；，) = 只忍，( ，) ( 2 1 1 ) 为的行姗z i e r 慨其峨( ，) = 伊。y 1 ，嚣1 川为揿b e r n s t e i n 基 函数，这里q = 瓦景焉。由控制点( i = 0 , 1 , - - , n r ) 组成的多边形昂，眉，叫控 制多边形或特征多边形。 2 2b e r n s t e i n 基函数的性质 由b e r n s t e i n 基函数的定义可以得出它具有下列性质： 性质1 ：单位分解性尽，。( ，) = 1 ，o s ，l 性质2 ：非负性0 s 忍。( f ) 1 ，0 ，1 性质3 ：对称性e ( ，) = 统咖( 1 - t ) i = o ，l ，以 性觚端点眠”) = 器蒜州啡是 性质5 ：递推关系e ，。( f ) = ( 1 - t ) b , 川( 1 一f ) + t s , - i , n - i ( f ) 性质6 ：导数关系b 砌( f ) = 刀【忍- l , n - i ( f ) 一e 加l ( f ) 】i = o ，1 ，聆 4 性质7 ：最大值局。( ，) 在，= 云处达到最大值。 图2 1 ( a ) 和( b ) 分别给出了玎= 2 和疗= 3 时的b e r n s t e i n 基函数图形。 ( a ) 图2 1 ( b ) b e r n s t e i n 基函数图形( 门= 2 ，3 ) 2 3b 6 z i e r 曲线的性质 性质1 ：b 6 z i e r 曲线的递推关系 ( 昂，丑，只；f ) = ( 1 一，) ，：，一。( 咒，互，只一l ；f ) + t r 一l ( 墨，置，；，) 性质2 ：端点性质 ( 1 ) b 6 z i e r 曲线r ( e o ，丑，只；f ) 以气为起点，以只为终点； ( 2 ) b 6 z i e r 曲线( 只，弓oo 只；f ) 与首、末边相切，首、末端切矢的模长分别等 于控制多边形首、末边边长的n 倍，即： r 1 ，；l ( o ) = 只l ( o ) = ，z ( 丑一r ) 【( 1 ) = 只 i ( 1 ) = ，2 ( 一只一。) 性质3 ：凸包性b 6 z i e r 衄线落在其控制多边形的凸包之中。 性质4 ：对称性由控制顶点忍，鼻，只生成的b 6 z i e r 曲线与控制顶点 ，只巾，昂生成的b 6 z i e r 曲线相同，只是方向相反。即： 乇( 昂，鼻o * o 只；f ) = ( 只，只一。，忍；1 一，) 性质5 ：几何不变性与彷射不变性b 6 z i e r 曲线的形状仅依赖于控制顶点， 而与坐标系的选取无关。 图2 - 2 ( a ) 和( b ) 分别给出了刀= 2 和，= 3 时的b 6 z i e r 曲线的图形。 5 图2 - 2 b 6 z i e r 曲线图形( 刀= 2 ，3 ) ( b ) 2 4b 6 z i e r 曲线的矩阵形式 b 6 z i e r 曲线方程，( f ) = ( 异，墨，只；，) = 只忍，。( ，) 0 t 0 ，且s a ( c o ，q ，厶) = 七，( 七= o ，l ，刀) 。 ( 1 ) 当k 为奇数时，根据引理，则厶 0 ，产生矛盾，故式( 3 1 4 ) 成立。 ( 2 ) 当k 为偶数时，根据引理，则巳 o 。另一方面，厂( f ) 在【o ，l 】上是连续函 数，f ( o ) = c o ，f ( 1 ) = 巳。假设f ( t ) 在( 0 ，1 ) 上有k + 1 个根，即有奇数个根，则 f ( 1 ) = 巳 s ，即 v 。 v ： v ，所以本文构造的曲线对控制多边形有更好的逼近效果。 4 4 曲线的拼接 设两条二次f b 6 z i e r 曲线分别表示为： 22 1 ( ，) = p 岛，：( f ) ，【o ，l 】；眨( ，) = 杉岛，2 ( r ) ， o ，l 】 i = 0 ，o 其中， - 2 口2 ， - 2 j 2 ，且 - 2 a + p l ，- 2 + v 1 。 定理1 当三点名，最( = 1 o ) ，k 共线时，式( 4 2 1 ) 表示的曲线是g 1 连续的，并且 可以选取合适的形状参数，使该曲线c 1 连续。 证明由式( 4 2 2 ) 可知：，i ( 1 ) = ( 2 + ) ( 最一露) ，吃( 0 ) = ( 2 + 口) ( k v o ) ， 由此可见，当三点鼻，最( = v o ) ，k 共线时，式( 4 2 1 ) 表示的曲线是g 1 连续的，若 ( 一只) ：七( k v o ) ，那么可以选取：七( 2 + 口) 一2 或口：墨竺一2 ，此时 后 ( 1 ) = 吒( 0 ) ，即式( 4 2 】) 表示的曲线c 1 连续。 4 5 曲线的应用 两段同次的f b 6 z i e r 曲线，可以方便灵活地进行拼接。如图4 - 4 ( a ) ( d ) 所示 的花瓶图形，图中花瓶瓶身曲线由8 段二次f b 6 z i e r 曲线构成，可以通过调整 每一段曲线的参数口，肛y 的值，得到不同形状的花瓶图形。 2 6 ( c ) 酗4 - 4 花瓶图形 第五章张量积b 6 z i e r 曲面 5 1 张量积b 6 z i e r 曲面的定义和性质 d ec a s t e l j a u 可能是首先考虑这类曲面【4 0 】的，b 6 z i e r 在较d ec a s t e l j a u 稍晚 时候开始了曲面的研究。1 9 6 2 年，b 6 z i e r 独创了生成这一类曲面的方法，并很 快公诸于世，推广开来。 5 1 1 张量积b 6 z i e r 曲面的定义 定义5 1假设运动的曲线是以为甜参数的m 次b 6 z i e r 曲线 r ( 甜) = 只e 一( z ，) ，o u 1 i = o 定义它的m + 1 个控制顶点分别沿着在空间的m + 1 条曲线运动。又假设这m + l 曲 线都同是，为参数的刀次b 6 z i e r 曲线 ，( v ) = z 如( d ，0 v l i = o 组合这两个方程，就得到张量积曲面 r ( u ，v ) = 只，e ，。( 甜) 哆，( v ) ( 5 1 1 ) i = 0j - - - 0 其中z = o ，1 ，m ；歹= o ，l ，n ) 称为曲面的控制顶点，控制顶点沿u 和v 分别构 成m + 1 个和刀+ 1 个控制多边形，一起组成曲面的控制网格。由式( 5 1 1 ) 表示的 张量积b 6 z i e r 曲面说成是m x n 次的。 5 1 2 张量积b 6 z i e r 曲面的性质 除变差减少性质外，b 6 z i e r 曲线的其他所有性质都可以推广到b 6 z i e r 曲面。 性质1 ：b 6 z i e r 网格的4 个角点正好是b 6 z i e r 曲面的4 个角点，即 r ( 0 ，0 ) = 蜀，o ，( 1 ，0 ) = 圪，o ，r ( 0 ，1 ) = p o ，r ( 1 ，1 ) = 己，j t 。 性质2 ：b 6 z i e r 网格最外一圈顶点定义b 6 z i e r 曲面的4 条边界；b 6 z i e r 曲 面边界的跨界切矢只与定义该边界的顶点即相邻一排顶点有关。 性质3 ：几何不变性与彷射不变性 性质4 ：对称性 性质5 ：凸包性质 性质6 ：移动一个顶点，将对曲面上参数为”；二，1 ，：上那点r ( l ，上) 处影 1 研力m1 , 1 响最大。 2 8 5 2 带多个形状参数的双二次张量积曲面定义和性质 521 带多个形状参数的双二次张量积曲面定义 定义5 21 设有3 3 个控制顶点f ，( f = 0 ，1 ，2 ，= o , 1 ，2 ) ，对于s t o ，1 】定义其 相应的张量积曲面： 22 r ( s ，f ) = f ，4 ，( 5 一：o ) ( 521 ) i d j = 0 其中，岛2 ( j ) ，t ：( f ) 为二次f - b e r n s t e i n 基函数。称式( 521 ) 所定义的曲面为 【0 ，1 o ，l 】上带有形状参数口，肛，p 的职二次f - b z i e r 趋面。 522 张量积b g z i e r 曲面的性质 可以证明双二次f - b d z i e r 曲面具有与双二次b 6 z i e r 曲面相似的几何性质。 性质l ：f b 6 z i e r 网格的4 个角点正好是f b z i e r 曲面的4 个角点，即 r ( o ，0 ) = r r ( 1 ，o ) = 名p ，r ( o ，1 ) = b ，r ( 1 ，1 ) = 只，。 性质2 ：f - b d z i e r 网格最外一圈顶点定义b z i e r 曲面的4 条边界，f b d z i e r 曲面边界的跨界切矢只与定义该边界的顶点即相邻一排顶点有关。 性质3 ：几何不变性与彷射不变性 性质4 ：凸包性质 5 23 双二次f b * z i e r 曲面图形 当d 厉v 取不同值时，可以得到不同程度接近其控制多面体的双二次 f - b 6 z i e r 曲面。如图5 - 1 ( a ) ( d ) 所示：口，届，r 的取值分别为口= 0 ，卢= 2 ， 卢2r = 0 ；a = 2 ，= 1 ，卢= - 4 ，r = o ；口= p = 1 ，= v = 0 ；a = 卢= 2 ， = p = 一1 。 。，：，争 分，! i ，企 图5 - l 双二次f o b 6 z i e r 曲面图形 第六章总结与展望 6 1 总结 b 6 z i e r 曲线是一种参数多项式曲线，采用了一组具有许多优良的性质基函 b e r n s t e i n 基函数来构造，从而使b 6 z i e r 曲线也具有对称性、凸包性、几何不变 性等良好的性质，成为计算机辅助几何设计中表示曲线和曲面的重要工具之 一。然而，对于给定的控制多边形b 6 z i e r 曲线的位置是确定的，若要调整曲线 的形状，则往往需要调整控制多边形，这在实际应用中则显得不太灵活。本文 在b e r n s t e i n 多项式优良性质的基础上，结合前人一系列的研究成果，通过引入 参数来重新构造多项式基函数，使得它继承了b e r n s t e i n 多项式的优良性质，用 其生成的曲线也具有与b 6 z i e r 曲线类似的性质。通过改变形状参数的值，可以 得到不同程度逼近控制多边形的曲线，从而更加灵活的对曲线形状作整体和局 部修改，并运用张量积方法，将曲线推广到曲面。 6 2 展望 下一步的工作是寻找更加合适的参数条件，使其能够更好的对曲线、曲面的形状 进行调控，这是一项任重而道远的任务。 参考文献 【l 】f e r g u s o n ，jc m u l t i v a r i a b l ec u r v ei n t e r p o l a t i o n j j o u r n a lo fa c m ，19 6 4 ， 11 ( 2 ) ：2 2 1 - 2 2 8 【2 】s c h o e n b e r g ，ij c o n t r i b u t i o n st ot h ep r o b l e mo fa p p r o x i m a t i o no fe q u i d i s t a n t d a t ab ya n a l y t i cf u n c t i o n s j q u a r t a p p l m a t h 1 9 4 6 ，4 ( 1 ) ：4 5 9 9 3 】c o o n s ，sa s u r f a c e sf o rc o m p u t e ra i d e dd e s i g no fs p a c ef i g u r e s t e c h n i c a l r e p o r t ，m i t , l9 6 4 4 4b 6 z i e r , p m a t h e m a t i c a la n dp r a c t i c a lp o s s i b i l i t i e so fu n i s u r f , i n ：b a r n h i l l r e a n dr i e s e n f e l d ，re e d s c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n a c a d e m i c p r e s s ，n e wy o r k ，1 9 7 4 ，1 2 7 - 15 2 【5 】d e b o o r ，c o nc a l c u l a t i o nw i t hb s p l i n e j j o u r n a lo fa p p r o x i m a t i o nt h e o r y ， 19 7 2 ，6 ( 3 ) ：5 0 6 2 【6 】6g o r d o n ，wj a n dr i e s e n f e l d ，reb s p l i n ec u r v e sa n ds u r f a c e s ，i n ：b