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摘要 在定性问题的决策中，a h p 是一种优秀的方法，其基础是对评价对象的两 两比较，并用比较结果构造判断矩阵，而这些都依赖于决策者选用的偏好关系。 常采用的偏好关系有s a a t y 的基于“商”的偏好关系以及模糊偏好关系，相应构 造的判断矩阵分别为正互反判断矩阵和模糊互补判断矩阵。本文首先对s a a t y a h p 的几种常见标度进行了比较分析，然后对正互反判断矩阵及模糊互补判断 矩阵的权重计算方法进行了归纳和总结；最后，本文提出了一种新的偏好关系， 即基于“差”的偏好关系，从而将反对称矩阵引入层次分析法，接着对新型偏好 关系下判断矩阵的构造、一致性的定义与性质以及权重的计算方法做了初步的研 究，最后用算例说明了新方法的应用，并做了相应的比较分析，结果表明采用基 于“差”的偏好关系构造反对称矩阵拓展了a h p 的应用范围，有一定的理论和应 用价值。 关键词：层次分析法；标度：判断矩阵；一致性；权重向量 a b s t r a c t t h eb a s i so fa h pi sj u d g e m e n tm a t r i x ，g e n e r a l l yi n c l u d i n ga h pj u d g e m e n t m a t r i xa n df u z z yr e c i p r o c a lm a t r i x ，w h i c hr e l yo ns a a t yp r e f e r e n c er e l a t i o na n df u z z y p r e f e r e n c er e l a t i o nr e s p e c t i v e l y t h i sp a p e rc o m p a r e ds e v e r a lf a m i l i a rr a t i os c a l e so f s a a t ya h pf i r s t l y ；a n dt h e n ，c o m m o nm e t h o d sf o rc o m p u t i n gp r i o r i t y v e c t o rf r o m a h p j u d g m e n tm a t r i xa n df u z z yr e c i p r o c a lm a t r i xw e r es u m m a r i z e d i nc h a p t e r3 ，t h e p a p e rp r o p o s e dan e wk i n do fp r e f e r e n c er e l a t i o n ，i e d i s t a n c ep r e f e r e n c er e l a t i o n ； f o l l o w e dt h i s ，as c a l ew a si n t r o d u c e df o rc o n s t r u c t i n ga n t i s y m m e t r i cm a t r i x ，a n d c o n s i s t e n c yo ft h em a t r i xw a sd e f i n e d ，t h r e em e t h o d sf o rc o m p u t i n gp r i o r i t yv e c t o r w e r es t u d i e d ；a tt h ee n d ，t w oe x a m p l e sw e r eu s e dt od e m o n s t r a t et h ea p p l i c a t i o no f 也eu e wm e t h o d ，a n dt h e ys h o w e dt h a tt h ei n t r o d u c t i o no fa n t i s y m m e t r i cm a t r i xt o a h pi se f f e c t i v ea n dv a l u a b l e k e y w o r d s ：a n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s ；r a t i os c a l e ；j u d g e m e n tm a t r i xc o n s i s t e n c y p r i o r i t yv e c t o r y 7 6 3 5 8 s 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名：i 彩参c l 砂。厂年月夕。日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名： 彗丛少，厂年占月夕。日 南京理工大学硕二| = 学位论文 层次分析法中判断矩阵的构造问题 第一章概论 l 层次分析法概述 美国运筹学家t l s a a t y 于7 0 年代提出a n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s ( a h p ) ， 它是对方案的多指标系统进行分析的一种层次化、结构化决策方法，它采用数学方法 将哲学上的分解与综合思维过程进行了描述，从而建立决策过程的数学模型，具有适 用性、简洁性、有效性和系统性等特点。作为规划、决策和评价工具，a h p 自问世以 来，已在世界各地得到迅速普及和推广，取得了大量的研究成果。a h p 的第一步工作 是建立层次结构，本文只就单层a h p 中的部分问题进行讨论。 1 1 层次分析法 1 1 1 构造判断矩阵 层次分析法的一个重要特点就是用两两重要性程度之比的形式表示出两个方案 的相应重要性程度等级。如对菜一准则，对其下的n 个方案进行两两对比，并按其重 要性程度评定等级。记a 。为第i 和第j 方案的重要性之比，表1 1 列出s a a t y 给出 的9 个重要性等级及其赋值。 x 比焉 极端重要强烈重要明显重要稍微重要 同样重要 l 量化值 975 31 表1 19 比例标度表 按两两比较结果构成的矩阵a 2 ( 臼l ) 。，称作判断矩阵。易见 o ，a , i = 1 且嘶 = 1 a i ( i ，j = 1 , 2 ，n ) ，即a 为正互反矩阵。 1 1 2 计算权重向量【2 a 5 1 为了从判断矩阵中提炼出有用的信息，达到对事物的规律性认识，为决策科学提 供科学依据，就需要计算判断矩阵的权重向量。 定义1 1 判断矩阵a _ ( a i j ) ，如对v i ，j ，k = 1 , 2 ，n ，成立2 a + a ，则称 a 满足一致性，并称a 为一致性矩阵。 定理1 1 一致性矩阵a 具有下列简单性质： ( 1 ) r a n k ( a ) 2 1 ，且存在唯一的非零特征值五。= n ，其规范化特征向量 w 2 ( w l ，w 2 ，w 行) 1 叫做权重向量，ka 口2w w j ； 南京理工大学硕士学位论文层次分析法中判断矩阵的构造问题 ( 2 ) a 的列向量之和经规范化后的向量，就是权重向量； ( 3 ) a 的任一列向量经规范化后的向量，就是权重向量； ( 4 ) 对a 的全部列向量求每一分量的几何平均，再规范化后的向量，就是权重向 量。 根据上述定理中的性质( 2 ) 和( 4 ) 即得到判断矩阵满足一致性的条件下求取权值 的方法，分别称为和法和根法。而当判断矩阵不满足一致性时，用和法和根法计算权 重向量则很不精确。特征向量法是a h p 的种基本方法，p e r r o n 定理为特征向量法 奠定了理论基础。 定理1 2 ( p e r r o n ) 记a = ( 口f ，) o 为正矩阵，p ( a ) 为其谱半径，则下列论断 m 成立： ( 1 ) a 的最大特征值旯m 戡存在、唯一，且五。= p ( a ) ； ( 2 ) 与兄。对应的规范化特征向量w = ( w 1 ，w 2 ，w h ) 7 为正向量，即w 中每 个元素似 o 。 因此，对于构造出的判断矩阵，就可以求出最大特征值所对应的特征向量，然后 规范化作为权值。 1 1 3 一致性检验2 】 在实际应用过程中，由于专家在进行两两比较时的价值取向和定级技巧以及重要 性等级赋值的非等比性，当判断矩阵的阶数n 2 时，通常难于构造出满足一致性的矩 阵来。但判断矩阵偏离一致性条件又应有一个度，为此，必须对判断矩阵是否可接受 进行鉴别，这就是一致性检验的内涵。 定理1 3 设a 。是正互反矩阵a 2 ( 口l ，) 的最大特征值，则必有五n ，其 中，等式当且仅当a 为一致性矩阵时成立。 应用上面的定理，则可以根据兄。2 n 是否成立来检验矩阵的一致性，如果五。， 比n 大得越多，则a 的非一致性程度就越严重。因此，定义一致性指标 r t 一以m x 一, 7 “ 。磊二i 一 和平均随机一致性指标r i ，见表1 2 。 南京理工大学硕士学位论文层次分析法中判断矩阵的构造问题 l 矩阵阶数 c i 样本均值( r i )矩阵阶数c i 样本均值( r i ) 30 5 1 4 991 4 6 1 6 4 0 8 9 3 1 l o14 8 7 4 51 1 1 8 5 1 1 1 5 1 5 6 61 2 4 9 41 21 5 4 0 5 7 1 3 4 5 01 31 5 5 8 3 f81 4 2 0 0 表1 2 平均随机一致性指标标准值 s a a t y 建议取一致性指标( c i ) 对随机一致性指标值( r i ) 之比，作为一致性检验判 别式，并称作一致性比率( 简记为c r ) ，即 c r ：旦 砒 如果c r 2 时，要构造满足一致性的矩阵通常是 比较困难的。但判断矩阵偏离一致性条件又应有一个度，如果超出这个度，那么这些 判断就不能真实反应比较对象间的关系，这个判断矩阵就不能接受。因而，层次分析 法中引入一致性概念，主要就是用于评判决策者构造出来的判断矩阵是否可以接受。 正是由于定性问题的复杂性，人们对一组事物进行两两比较时，所做出的定性判 断往往并不能总是保持完全一致，于是，层次分析法引入了一致性指标c r 作为衡量 判断矩阵一致性的标准，其中 c r ：旦a ：丑幽! 二! ， r n 一1 c i 为随机一致性指标，是给定的统计意义上的常数；并规定c r o ，i = 1 , 2 ，n ) 为待求的权重向量集， w ：( 丝) 为权重矩阵，妒为模型选用的偏差函数，从而构造不同的偏差函数就形 成了不同的方法。 3 1 2 1 最小二乘法 ( ，爿) = ( 口f w w ，) 2 。文献 3 3 构造了一个典型的二次型问题 m i nj = z t z s 2 a w = n w + z w d 显见 z = a n i w e t w = 1 通过构造l a g r a n g e 函数即可求解。 3 1 2 2 改进最小二乘法f ”】 缈2 毫老( 旷w , w ) 2 。显然涵黼的每枷自最小= 乘蝴相应项 南京理工大学硕= i 学位论文 层次分析法中判断矩阵的构造问题 乘以加权因子m w ，来得到，函数痧( ，一) 表示权重向量w 与判断矩阵a 总的偏离 程度，并把庐( ，彳) 在d 中的最小点作为判断矩阵a 所确定的权重向量，称为改进最 小二乘法。 在 3 4 中，作者证明庐( 缈，a ) 在d 中有唯一的最小点，从而可求取权重向量。 3 1 2 3 对数最小二乘法2 1 妒= 砉( 1 鼬 ，翟) ) o 在a 为嘎陛矩阵时= 蚩魁从而有 7 o “ w i y v l g a p = l g ( w ，) 成立，因而庐( ，爿) 2 0 。当a 不满足一致性时，将( 缈，彳) 取最小值 时的w 作为权重向量，利用l a g r a n g e 函数法很容易解得 ( a o ) = 型、i = 1 , 2 ，n 。 窆( 南口酊) 2 。1 j = l 3 1 2 4 最小偏差法 咿，舻i 1 荟n ( i w j + 瓦w i - 2 ) 溯显然 0 ，并且当且仅当a 满足 一致性时o ( w ，一) 取得最小值，从而( 矿，爿) 可以衡量判断矩阵满足致性的程度。陈 宝谦在 3 5 中证明( ，a ) 在d 中存在唯一最小解，并且也是方程组 喜( 吼老确啦，n 在d 上的唯一解。 3 1 2 5 金菊良等的方法【3 6 1 月n 矿( 矿，4 ) = l a 。w k 一”w ji n 。显然，妒( ，爿) 值越小，则判断矩阵的一致性 l = l = l 程度越高；( 矽，a ) = o 时，a 为一致性矩阵。金菊良等用加速遗传算法解此优化问题 1 9 南京理工大学颂l ：学位论文层次分析法中判断矩阵的构造问题 得到了较好的结果。 以上方法有一个相同的特点，即都是在构造偏差函数的基础上来求取权值，从而 尽管方法不同，构造的偏差函数各异，但都有着相同的原理。在此之外还有雷功炎利 用相对熵计算权重的方法i ”】；特别的，e u c h o o 和w c w e d l e y 在 3 8 中总结了1 2 种 偏差函数，原理相同，不多赘述。 总的说来，在目前常用的计算正互反判断矩阵权重的方法中，列正规化法等只考 虑判断矩阵一列的影响，所以计算精度不高；特征值法是目前最常用的方法，它计算 判断矩阵的最大特征根所对应的特征向量并归一化后作为权重，该法的不足是，在权 重计算时没有考虑判断矩阵的一致性条件以及决策者在构造判断矩阵时的心理因素， 从而有了几种改进的方法；基于偏差最小化的方法都是利用判断矩阵所有元素的信 息，并根据尽可能满足一致性条件而构造相应的优化问题来求取权重，在理论上是相 互等价的。 3 2 模糊互补判断矩阵权重向量的计算 近年来，有关模糊互补判断矩阵的研究受到人们的关注，其理论与方法的研究取 得了一些成果。下面首先对模糊互补判断矩阵及其相关概念做简要的介绍，然后对已 有的排序方法进行归纳和总结。 考虑有n 个对象a 。，i = 1 , 2 ，n 的评价问题，在评价过程中，所采用的决策信息 是决策者针对评价对象提供的一类模糊互补判断矩阵。 定义2 6 【3 9 1 设二元对比矩阵p = ( p ，若对v i ，j = 1 , 2 ，n ，满足性质 0 p ，1 p 。= 0 5 ，p 。+ p n = 1 ，则称p 为模糊互补判断矩阵。 其中，p ，n n 理n n x , i na ，优于a ，的程度，具体规定： ( p ，。0 5 表示a ，与a ，同样重要： ( 2 ) o p 。 o 为常数。韦振中在 5 3 中证明，经变换后a 为咳，口 标度的判断矩阵，而关于a 的取值，则不尽一致；在 4 7 中肖四汉取a = 9 ，在 4 4 5 中，作者取口= 吾，在 5 4 3 中宋光兴取值为3 i ，并证明若p 满足加性一致性，则变换 后所得的矩阵为一致性矩阵。 3 2 4 2 方法2 a ，= p 。p 矿i ，j ，。显然，变换后的矩阵是正互反判断矩阵，并且，若p 是乘 性一致性矩阵，则变换后a 是一致性的。【5 0 1 3 2 4 3 方法3 刚 南京理工大学顶士学位论文层次分析法中判断矩阵的构造问题 使用此公式的前提零对v i i , 去一1 + i 2 荟np ， 。 通过以上的变换，模糊互 f f - j j 断矩阵就变成了正互反判断矩阵，而且，虽然变换 后矩阵中的偏好信息在形式上发生了根本性变换，但决策者对任意两个方案优劣关系 做出的判断并没有改变，原有偏好信息的一些特点被完整地传递到新的偏好信息形式 中。因此，利用已有的正互反判断矩阵的排序方法即可间接得到矩阵p 的权重向量。 在上述四类排序方法中，相对来说，第类方法缺少一定的理论依据，基于加性 一致性和乘性一致性的排序方法都只考虑了能满足致性定义的一种表示方法，然后 从偏差最小化的角度去求取权值，而第四类方法首先将判断矩阵转化为正互反判断矩 阵，然后用正互反判断矩阵的方法进行排序。这些方法，孰优孰劣? 该如何比较? 这 些还有待深入的研究。 以上总结了基于“商”的偏好关系及模糊偏好关系下的a h p 的权重向量的计算方 法，这些对新方法的设计有积极的启发意义；并且，承前文之所说，如将基于“差” 的偏好关系引入a h p ，又该如何构造判断矩阵、如何求取权重呢? 这些正是下一章的 内容。 黪 = 吼 南京理工大学硕士学位论文层次分析法中判断矩阵的构造问题 第三章反对称矩阵在a h p 中的应用 层次分析法自从2 0 世纪7 0 年代由美国运筹学家s a a t y 提出以来，在许多领域得 到了广泛的应用和研究。但从构造的判断矩阵来看，主要是s a a t y 的基于“商”偏好 关系的正互反判断矩阵和基于模糊偏好关系的模糊互补判断矩阵，本章提出一种新的 偏好关系，即基于“差”的偏好关系，从而将反对称矩阵引入层次分析法，并对新型 矩阵下的a h p 方法展开了研究。 1 反对称判断矩阵 1 1 引言 层次分析法自提出以来，得到了广泛的应用和发展，随后二十多年的研究，使得 a h p 方法不断完善。但纵观a h p 的发展历程就不难发现，对于单准则下的排序问题， s a a t ya h p 研究人员的兴趣主要集中在矩阵元素的改进、标度的创建和选取、判断矩 阵一致性的度量和改善、权值的求取以及残缺判断矩阵的处理方法研究等方面，而其 中一个基础性工作就是在选取一种标度的基础上构造正互反的判断矩阵。 因而，s a a t y 的a h p 方法以正互反判断矩阵为基础，而要构造正互反判断矩阵则 有两个的基本的前提： ( 1 ) 同一准则下，比较对象间的差别是客观存在的，并且这种差别可用两者的重 要性之比的形式反映出来； ( 2 ) 决策者的判断能基本反映这种差别。 既然两者之间的重要性程度之比是客观存在的，并且决策者的判断能基本反映这种差 别，那么，是不是可以这样认为：比较对象之间客观存在的差别还可以用重要性之差 的形式表现出来，并且这种差别也能由决策者的判断来体现? 其实，在现实生活中并不乏这样的例子。例如，在体育比赛中，打分制被广泛采 用，可以认为，评委们给不同选手不同的得分，他们必然能够洞悉选手间的差别，并 能用打分的形式基本准确地描述这种差别。因而，下面以“差”的偏好关系为基础， 构造反对称的判断矩阵。 1 2 反对称判断矩阵 如何将反对称矩阵引入层次分析法呢? 假设有这样一个评价问题：对于上层准则 c ，有n 个评价对象a ，a ：，a 。，该如何对此进行排序? 决策者以c 为标准，对这 n 个对象，就相互之间的重要性程度进行两两比较，并用a 。表示a 。比彳的重要性程 度之差，这样就得到了判断矩阵a = ( 口f ，) 。 根据以上描述，以。，表示a ，比么i 的重要性程度之差，那么若设 南京理工大学硕士学位论文 层次分析法中判断矩阵的构造问题 a 。( ，记= 1 ，2 ，n ) ) 的重要性以数值形式可以表示为w k ，那么显然有 a 2 w i w i ， ( 3 - 1 ) 从( 3 1 ) 式出发，则很容易看出对v f ，j ，k i ，a 满足下列性质 ( 1 ) a f 。a j 。； ( 2 ) a 。= 0 ； ( 3 ) a * + 瓯= a 。 ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 定义3 1 层次分析法中构造的判断矩阵4 = ( 口口) 称为反对称判断矩阵，如果 对v f ，1 ，均有以p = 一a j i ，a i = o 成立。 定义3 2 层次分析法中构造的判断矩阵彳= ( a 扩) 称为一致性反对称判断矩 阵，如果对v f ，k ，均有口。+ 瓯= 吼成立。 定义3 3 对于反对称判断矩阵4 = ( 口扩) ，w = ( w l ，w 2 ，w n ) 1 称为a 的 权重向量，若对v f ，j ，有瓯= w f w ，成立，且w i o ，w j = i 。 层次分析法中构造判断矩阵的目的在于把决策的思维过程数学化，然后由此导出 各个评价对象的权重向量，以达到决策的目的。对于一致性的反对称判断矩阵有以下 定理： 定理3 1 a 为一致性反对称判断矩阵的充要条件是j 影= ( w l ，w ；，w ：) 1 使 删v j 小n 2 w i 前将。妒悄一羲轰n 称w 舢 的权重向量。 证明：充分性显然。下证必要性。 对v a o ，且甜 孥 口。声令“= a ( 显然以反映在准则c 下评价对象彳，的相对 重要程度) 。因为a 为一致性反对称判断矩阵，故而可设对w ，有 南京理工大学硕士学位论文层次分析法中判断矩阵的构造问题 “1 ，一w l 。 从而以= wl a l j = 一a l j o 。 下证上面所得到的影= ( w l ，w ；，w ：) 。对v f e ，均有a ，= “一谚成立。 a 为一致性反对称判断矩阵 ，f 矾= a ，。+ 口= a l j - a 。j = w l w ：， - 若a 为一致性反对称判断矩阵，则j 0 = ( w i ，w ；，w ：) 。使得对v f e ， 有岛= w i 一谚，且a 的权重向量为w = ( 虹， 生) 7 ，4 弋x w l ，f ，即 w ：w ： w = ( 丢，j k ) r ( 3 5 ) 2l i ， 2 j j 行口一儡，? 日一a ， 必要性成立。证毕。 从( 3 5 ) 式可以看到，即便在a 满足一致性条件时，求出的权重向量也是不唯一 的；从后文的算例可以发现，这是对s a a t yk b l p 的重大改进，而同时也带来了一定的 麻烦，因为得到的权重依赖于参数a ，那么a 取何值时得到的权重才是最合理的? 这 依赖于实际问题的需要，也有待更深入的研究。 这样，我们就将反对称判断矩阵引入了层次分析法，但是该如何构造这种判断矩 阵呢，是不是该有一定的规则? 构造的判断矩阵是否能满足一致性? 如何衡量矩阵所 满足的一致性程度? 又该如何从判断矩阵获取权值以达到决策的目的? 这些问题将 在下节得到解答。 2 反对称判断矩阵下的层次分析法 将反对称判断矩阵引入层次分析法无疑遇到了许多的问题：首先，该如何构造反 对称判断矩阵呢? s a a t y 在初创a h p 时用了1 9 标度法，在这里是否也该构造出一 定的标度，以便于构造判断矩阵? 其次，构造的判断矩阵反映的是决策者的感觉，而 正如s a a t y 层次分析法中遇到的问题一样，感觉在很多情况下是不一致的，那么是否 有一个指标可以反映判断矩阵的一致性程度? 这样的指标又该如何去寻找? 最后，构 造判断矩阵的目的在于获取权值，对于一致性的判断矩阵，定理3 1 已给出求取权值 的方法，而对于不具有一致性的判断矩阵，又该如何求取权值呢? 下面就对这些问题 2 9 南京理工大学硕士学位论文 层次分析法中判断矩阵的构造问题 展开讨论。 2 1 反对称判断矩阵的构造 应用a h p 时的一个基本步骤是构造判断矩阵，因而如何构造判断矩阵是a h p 的研 究及应用人员共同关心的问题，而这归结为标度的选取问题，因为，若没有确定的标 度，则决策者在应用a h p 过程中构造判断矩阵就缺少相应的规则，这样他们就无法相 对统一的将感觉上的差别用数学的形式表现出来，显然这是不利于决策工作的。 s a a t y 在创立a h p 之初，用实验验证i 9 分制得到的结果与光照度定律一致， 同时又因为1 9 5 6 年m i l l e r t 6 认为人们在处理事物时，同时处理的对象不能超过9 个， 从而a h p 采用了1 9 标度。因而，这里可以采用l n l i n 9 标度，用以构造判断矩阵， 如下表所示。 a ，比a 。极端重要强烈重要明显重要稍微重要同样重要 i 量化值 l n 91 n 7l n 51 n 31 n 1 表3 ，li n l 1 n 9 标度表 如何更好地量化判断时的感觉呢? 有没有更好的标度? 如前文所说，在日常生活 中，打分制，尤其是l