（应用数学专业论文）某些解析函数的性质.pdf

摘要 摘要 单叶解析函数理论是复变函数理论的重要分支，且在单位圆盘内的单叶解 析函数具有许多重要性质研究单叶解析函数通常先研究特殊解析函数类，这 些特殊解析函数类，除了本身具有研究价值以外，还可以作为对困难得多的一 般函数类一些情况的验证如何构造更为一般的新特殊解析函数类是单叶函数 理论的重要发展方向本文定义了两个新解析函数类z 吼( 口，) 和 ( 口，) ，并得到了这两类函数的一些性质 文中首先简要介绍了问题研究的背景及理论与实际意义，并且介绍了某些 尚待解决的问题另外，还简单介绍了本文的主要结果第二部分讨论了文 1 中近于凸函数类岛( 口，) 的h a d a m a r d 卷积性质、f e k e t e s z e 9 8 不等式，解决了 文 2 的两个遗留问题还引入新解析函数类z 易( 口，) ，得到函数类 z 色( 口，) 与类岛( 口，) 系数之间的关系，从而得到函数类z 吼( 口，) 的系 数估计和f e k e t e s z e 9 6 不等式，推广了一些作者的相关结果第三部分利用算子 引进了新解析函数类( 口，) ，利用微分从属关系得到系数估计、偏差定理、 覆盖性质、单叶半径、凸半径以及极值点等性质 关键词：近于凸函数；h a d a m a r d 卷积；f e k e t e - s z e 9 6 不等式；系数估计； 凸半径 a b s t r a c t a b s t r a c t t h et h e o r yo fu n i v a l e n ta n a l y t i cf u n c t i o ni sv e r yi m p o r t a n tb r a n c ho ff u n c t i o n s o fc o m p l e xv a r i a b l e a n dt h eu n i v a l e n ta n a l y t i cf u n c t i o ni nu n i td i s ca l s oh a ss o m e i m p o r t a n tp r o p e r t i e s s t u d y i n gt h eu n i v a l e n ta n a l y t i cf u n c t i o nu s u a l l yf o c u s e s o nt h e s p e c i a la n a l y t i cf u n c t i o n s ，w h i c hc o n f i r mt h em o r ed i f f i c u l tg e n e r a lf u n c t i o n sb e s i d e s t h er e s e a r c hv a l u eo ft h e m s e l v e s h o wt of o r mac l a s so fn e ws p e c i a la n a l y t i c f u n c t i o n si st h ei m p o r t a n to r i e n to fu n i v a l e n ta n a l y t i cf u n c t i o nt h e o r y i nt h i sp a p e r , w ed e f i n et w on e wa n a l y t i cf u n c t i o n s z b a ( 口，) a n dt 易( 甜，) ，a n dg e t c o r r e s p o n d i n gp r o p e r t i e s i nt h ef i r s tp a r t ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ft h ep r o b l e m r e s e a r c h i n g a n dt h e i rs i g n i f i c a n c ei nt h e o r ya n dp r a c t i c e w ea l s oi n t r o d u c es o m eu n s o l v e d p r o b l e m s i na d d i t i o n , w eb d e f l yi n t r o d u c et h er e s e a r c h e so ft h i sp a p e r i nt h es e c o n d p a r t ，w ed i s c u s st h eh a d a m a r dc o n v o l u t i o np r o p e r t i e sa n df e k e t e - s z e 9 6i n e q u a l i t yo f c l o s e - t o c o n v e xf u n c t i o n s 毋( 口，) i n 【1 】a n ds o l v et h et w or e m a i n e dp r o b l e m si n 【2 】w e a l s oi n t r o d u c et h en e wa n a l y t i cf u n c t i o n s z b a ( 口，a ) a n dg e t t h e c o e f f i c i e n tr e l a t i o n sb e t w e e n z b a ( 口，) a n d 岛( 优，) a s ar e s u l t ，w eg e tt h e c o e f f i c i e n te s t i m a t e sa n df e k e t e - s z e 9 6i n e q u a l i t yo fz b a ( 口，) a n dg e n e r a l i z e s o m ea u t h o r s r e s u l t s i nt h et h i r dp a r t ，w ei n t r o d u c et h en e wa n a l y t i cf u n c t i o n s 砺( 口，) a n d o b t a i nt h ep r o p e r t i e sc o e f f i c i e n te s t i m a t e s ，d i s t o r t i o np r o p e r t i e s ， c o v e t i n gt h e o r e m s ，u n i v a l e n tr a d i u s ，c o n v e xr a d i u sa n de x t r e m ep o i n t sb yu s i n g d i f l f e r e n t i a ls u b o r d i n a t i o nr e l a t i o n s k e yw o r d s ：c l o s e t o - c o n v e xf u n c t i o n ；h a d a m a r dc o n v o l u t i o n ；f e k e t e - s z e 9 6 i n e q u a l i t y ；c o e f f i c i e n te s t i m a t e ；c o n v e xr a d i u s l v 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者虢匙芈1 m 年，月衫日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名g学位论文作者签名g 起翌匆 l1 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： “一。”。“| 。“| “i “j 一一一” ! 内部5 年( 最长5 年，可少于5 年) ；秘密l o 年( 最长1 0 年，可少于l o 年) ：机密2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 匕，。，7 。 一。、。 。j ? j ? j ，。j 一 。，。 3 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：起军匆 m 年，月巧日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 单叶函数理论的发展 十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西，德国数学家黎曼和维尔 斯特拉斯的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻的渗入到代数学、 解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支；同时，它在 热力学、流体力学和电学等方面也有很多的应用二十世纪以来，复变函数已 被广泛地应用到理论物理、弹性力学、空气动力学、地质学、自动控制学及天 体力学等方面，与数学中其他分支的联系也日益密切致使经典的复变函数理 论，如整函数、解析函数的边值问题等有了新的发展和应用并且，还开辟了 一些新的分支，如单叶解析函数理论、多复变函数论和广义解析函数论等 单叶函数理论大约兴起于1 9 世纪末2 0 世纪初，k o e b e 在进行代数曲线单值 化研究时发现了在单位圆盘内单叶解析的函数r ( z ) = z + 罗。，矿具有许多重 。、，j ”= z ” 要性质，并对它进行了深入地研究，获得了一些经典的结果h u r w i t z 曾经也对 单叶函数进行了深入地研究，他们两个的研究成果为整个复变函数理论开辟了 一个崭新的领域，并提出了一些新的研究方法，使得复变函数理论的研究方向 开始逐步地从定性方面的研究转向定量方面的研究在其漫长的发展过程中， 出现了许多难而有趣的问题其中一些问题已经被解决，最大的突破当归属于 d e b r a n g e s 用参数法中的l o w n e r 方程解决了历时6 8 年之久的b i e b e r b a c h 猜想 但是还有许多问题等待人们去探索和思考，例如寻找最好的偏差定理问题、 g o l u z i n 问题、h a y m a n 常数问题、l i t t l e w o o d 问题以及进一步引进新的经典特殊 解析函数的拓广类，并深入研究它们的性质等正是这些问题继续推动着单叶 函数理论的发展，从而在更多的方面取得应用 第一章绪论 1 2 研究复变函数论的现状与发展趋势 目前在国内外，复变函数理论中单叶函数理论已趋于系统，单叶函数的研 究已开始进入从定性研究转向定量方面的研究对解析函数进行研究时，通常 是先研究特殊解析函数类，这些特殊解析函数类，除了本身具有研究价值以外， 还可以作为对困难得多的一般函数类的一些情况的验证如何构造更为一般的 新的特殊解析函数类是目前国内外专家正在研究的问题之一，也是以后发展的 热点问题目前国内外专家主要研究星象函数、凸象函数、近于凸函数以及这 些函数的子类等经典的特殊解析函数类的性质我们的目的是引进并研究更为 一般的新特殊解析函数类 1 3 本文的研究目的和结构安排 本文的研究目的是某些特殊解村r 函数类上的系数估计、h a d 锄a r d 卷积、 f e k e t e s z e 9 6 不等式、偏差定理、覆盖性质以及极值点等第二章进一步讨论了 李书海引进的扩展的近于凸函数类易( t 2 ，) 的h a d a m a r d 卷积性质、f e k e t e - s z e 9 6 不等式，从而解决了朱清新引进的函数类玩( 丢，。) 中相应的两个遗留问题引 进了更为一般的解析函数类z 邑 ，) ，得到其系数估计并讨论了 f e k e t e - s z e 9 8 不等式第三章我们利用算子引进了一类新的解析函数类 砺( 力，得到了类中函数的系数估计、偏差定理、凸半径、覆盖定理以及极 值点等 2 第二章有关近于凸的两类解析函数的f e k e t e s z e 9 5 问题 第二章有关近于凸的两类解析函数 的f e k e t e - s z e 9 6 问题 2 1引言 假设本文中出现的参数名，o f ，均满足：名 - 1 ，口【o ，1 ) ，【o a ) 设a 表示 在单位圆盘u ： z ：l z l 口，p ( o ) = 1 ， ( z ) s + ( 口) 营r e ( 矿( z ) ) ( z ) 口， 弛) k ( 口) r e ( 矿( z ) ) 厂( z ) 口， f ( z ) k ( 口) 营矿。( z ) s + ( 口) 设厂( z ) 彳，o p ， 则称厂( z ) 属于级近于凸函数类c ( 口，) c ( o ，0 ) = c 为熟知的近于凸函数 类 设厂( z ) 和g ( z ) 都在【，= z1 z i 1 内解析，若存在u = z ：l z l 等m m a x h 一) ，z u ( 2 2 ) 设【z ) a ，f e k e t e - s z e 9 6 首先提出a 上的系数泛函l a 3 一f 口；l ，o f l ，并 得到精确估计 i “口；1 1 + 2 e x p ( 舌) 一， 且对任意的f ( o f 1 ) ，等号均能成立 在文 1 中研究了扩展的近于凸函数类易( 口，) ，得到族中函数的积分表达 式、包含关系、端点性质、近于凸半径、偏差定理以及系数不等式在文 e 中 研究了岛( 去，。) ，得到偏差定理、单叶半径和旋转定理 国内外一些作者在文 3 卜r 1 1 中分别讨论了某些经典解析函数类及其子类 的f e k e t c - s z e 酌系数问题文 1 2 中均没有讨论易( 口，) 和玩( 三，。 的 h a d a m a r d 卷积和f e k e t e - s z e 9 6 不等式 4 谢 第二章有关近于凸的两类解析函数的f e k e t e - s z e 9 6 问题 本章中我们继续研究扩展的近于凸函数类岛( 口，) ，建立h a d a m a r d 卷积定 理、f e k e t e - s z e g o 不等式，从而解决了文 2 中函数相应的两个遗留问题还引 进新解析函数类z 邑( 口，) 并讨论其系数估计和f e k e t e - s z e 9 6 不等式 2 2 函数类毋( 口，) 的h a d a m a r d 卷积 引理2 2 1 1 2 1 设伊( z ) ，办( z ) 是单位圆盘u = z ：h 1 ) 内的解析函数，满足 加) = 办( o ) = o ，矽( o ) o , h ( 0 ) o ，并且对每个适合h = h = 1p 2 复数o - ，f ，有 妒( z ) 幸等乃( z ) o ，o f z i o ，0 h l ，则 卜o ，o h 定理2 2 1 设盯，f 是满足h = h = 1 的复数，s ( z ) = z + 呸z 2 + 色( 口，) ， 伊( z ) = z + + 。少“是单位圆盘u = z ：h 1 ) 内的一个解析函数，且 妒( z ) 奉1 1 鬲+ r a zz o ，o i z i o ，缈( z ) 木厅( z ) = z ，0 等 汜5 ， 因为q g * g ( z ) 曲( 口) ，所以由( 2 5 ) 式即得厂( z ) 木缈( z ) b ( 口，) 证毕 注：在定理2 2 1 中分别取见= 。，口= 丢，= 。时，就得到 2 函数类中函数 的h a d a m a r d 卷积性质 推论2 2 1 设仃，r 是满足h = h = 1 的复数，厂( z ) z l o ( 口，) ， 6 第二章有关近丁凸的两类解析函数的f e k e t e s z e 9 6 问题 缈( z ) = z + + 。z 川在u - - z - l z l 1 ) 内解析，且 矽( z ) 宰等z o ，o ， 则厂( z ) 缈( z ) 8 0 ( 口，) 2 3 函数类色( 口，) 的f e k e t e s z e 9 6 问题 引理2 3 1 2 1 设w ( z ) = d f f + d 2 2 2 + 在u = z ：l z l 1 ) 内解析且满足 1 w ( z ) i m 则 l ，川l i d , 1 2 定理2 3 1i 发f ( z ) = z + a 2 2 2 + 幺( 口，) ，则对于口【o ，1 ) ，【o ，1 ) ， 五m a x 一口，一) 和任意实数，有 黼3+糌3一贮掣等坐业彬( a + 2 ) ( a + 1 ) 2( 五十2 ) ( 五+ 1 ) 3( 五+ 1 ) 4 4 ( 3 一口一2 p ) ( 1 一口) 8 ( 1 一) ( 力+ 1 ) 一3 ( 1 一口) ( 五+ 2 ) 3 ( 五+ 2 ) ( a + 1 ) 23 ( a + 2 ) ( 五+ 1 ) 4 + 赢蔫鬻3 1 哪o ， ( 五+ 1 ) 44 ( 旯+ 1 ) 2 + ( 一) ( a + 2 ) l 4 ( 3 一口一2 , a ) ( 1 一口) 8 ( 1 一p ) ( a + 1 ) + 3 ( 1 - 口) ( 五+ 2 ) 3 ( 五+ 2 ) ( a + i ) 23 ( a + 2 ) ( 五+ 1 ) 4 +赢篙孥鞠，o-比 等1 ， z ) 五+ 五m a x - a ，- p ，z u 换言之，存在g ( z ) = z + 2 2 2 + b 3 2 3 + 曼( 口) 和u 内满足l 驴( z ) 卜h 的解析函数 缈( z ) = 西z + 破z 2 + ， 使得 将厂( z ) ，g ( z ) 和妒( z ) 的幂级数展开式代入上式，比较两边系数可得 口2 2 丽1 - p4 + 冬 3 2 卜m 2 m 等柑等( 吐+ 引 镛帮产等删由以上两式可得 1 2 ( 2 + 2 ) ( 色一脏) = 4 ( 2 + 2 ) 6 3 + ( 允+ 1 ) 7 7 一( 五+ 1 ) 2 x b 2 d l ( 2 6 ) ( 2 7 ) + 7 7 畋+ 刁一( 1 一) x 彳一兰羔兰弓 ! 兰6 ； ( 2 8 ) 因为e - a f ( e e z ) = z + 口：口旧z 2 + a 3 e 2 旧z 3 + 仍属于幺( 口，) 所以不失一般 性，可以假定吩- , u a ；o 下面估计r e ( 吧一n ；) 由于g ( z ) = z + 6 2 2 2 + 6 3 2 3 + 蜀( 口) ，所以存在u 内满足1 w ( z ) l h 的解析函 数w ( z ) = w l z + w 2 2 2 + ，使得 8 错 第二章有关近丁凸的两类解析函数的f e k e t e s z e 9 6 问题 d 五g ( z ) 一 z f 1 + i1 2 f等1 ) w ( z ) 五十j 、7 w ( z ) 1 一 将g ( z ) 和w ( z ) 的幂级数展开式代入上式，经过一些运算可得 如= 哿们= 揣( w z 卅 将如= 哿小龋( 心+ 订) 代枷7 减得 1 2 ( 允+ 2 ) ( 力+ 1 ) 2 ( 口3 一脏) = 1 6 ( 1 一口) ( + 订) + 2 ( 1 一口) ( 五+ 1 ) 刁一( 兄+ 1 ) 2x 叩l + ( 允+ 1 ) 2 刁畋 + ( 旯+ 1 ) 2 刁一( 1 一) x 彳一 1 6 ( 1 - a ) 2x 彳 7 7 1 6 ( 1 - a ) r e ( w 2 + 诉) 1 6 ( 1 一c z ) 1 w 2 + 1 6 ( 1 一口) r e 嵋 1 6 ( 1 一口) ( 1 一w ) + 1 6 ( 1 一口) r e 衍 = 1 6 ( 1 - a ) ( 1 - p 2 ) + 1 6 ( 1 - a ) p 2 c o s 2 呼0 ， 其中w l = p p 印，0 p 1 2 ( 1 一口) r e ( 允+ 1 ) 刁一( 兄+ 1 ) 2x w i d l = 2 ( 1 一口) ( 五+ 1 ) r 一( 五十1 ) 2x p r c 。s ( 缈+ 秒) ， 其中d r = 陀旧，0 ，1 ( 五+ 1 ) 2r r e d 2 ( 名+ 1 ) 27 7 蚓( 五+ 1 ) 27 7 ( 1 一i d l l 2 ) = ( 名+ 1 ) 27 7 ( 1 - r 2 ) ， ( 五+ 1 ) 2 7 7 一( 1 - f 1 ) x r e d ( = ( a + 1 ) 2 r - ( 1 - f 1 ) x r 2 c o s 2 0 ， 1 6 ( 1 - a ) 2x r e 衍： ，7 1 6 ( 1 一口) 2x 9 p p 2c o s 2 一f p ， ， 第二章有关近于凸的两类解析函数的f e k e t e - s z e 9 8 问题 所以 其中 1 2 ( 五+ 2 ) ( 见+ 1 ) 2r e ( 口3 一霹) 吵( x ) ， 少( x ) = 1 6 ( 1 一口) ( 1 一p 2 ) + 1 6 ( 1 - a ) p 2c o s 2 c p + ( 力+ 1 ) 2 r ( 1 - r 2 ) + ( 五+ 1 ) 2 - o - p ) x r 2 c o s 2 0 + 1 6 ( 1 一口) 2x p 2c o s 2 ( o + 2 ( 1 一口) ( 名+ 1 ) 7 7 一( 允+ 1 ) 2x p r c 。s ( 缈+ 口) 1 ) 当。 而4 丽( 2 + 1 ) 2 时，。x 上1 - f l 有 y ( x ) = 1 6 ( 1 - a ) ( 1 - p 2 + 1 6 ( 1 一口) p 2 c o s 2 缈 + ( 兄+ 1 ) 27 7 ( 1 _ r 2 ) + ( 见+ 1 ) 2 r l - ( 1 - p ) x i r 2 c o s 2 0 + 1 6 ( 1 一口) 2x 1 7 2c o s 2 a p + 2 ( 1 一口) ( 五+ 帅一( 旯+ 1 ) 2x c 。s ( 缈+ p ) = 1 6 ( 1 一口) 一3 2 ( 1 一a ) p 2s i n 2 伊+1 6 ( 1 一口) 2 x2 c o s p c o s 2 6 p r + ( 允+ 1 ) 27 7 + ( 兄+ 1 ) 2 刁，2c o s 2 0 + 2 ( 1 一a ) ( a + 1 ) r l p r c o s ( 呼o + o ) 一( 名+ 1 ) 2 矿2 一( 免+ 1 ) 2 ( 1 一力灯2c o s 2 8 2 ( 1 一口) ( 兄+ 1 ) 2 缈c o s ( 矽+ 印 1 6 ( 1 - 6 ) + 1 6 ( 1 一口) 2x + 2 ( 兄+ 1 ) 21 7 + 2 ( 1 一口) ( 旯+ 1 ) ，7 一( 五+ 1 ) 2 ，7 ，2 一( a + 1 ) 2 ( 1 一l 罗) x r 2c o s 2 0 + 2 ( 1 一口) ( 名+ 1 ) 2 泖 = 1 6 ( 1 一口) + 1 6 ( 1 一口) 2x + 2 ( 兄+ 1 ) 2r + 2 ( 1 一a ) ( 2 + 1 ) r 一c 五+ ，2 刁 ( + x c o s 2 0 ) ，2 1 0 2 ( 1 一口) 耵 第二章有关近于凸的两类解析函数的f e k e t e s z e 9 6 问题 = 1 6 ( 1 - a ) + 1 6 ( 1 一口) 2x + 2 ( a + 1 ) 21 + 2 ( 1 一a ) ( 2 + 1 ) r 一c力+t，2刁(t+!竽xcos叫卜 1 6 ( 1 一曲+ 1 6 ( 1 一翻+ 1 6 ( 1 一翻2x 1 6 ( 1 一曲2x ( 1 - - 6 t ) x +2c允+1)2刁+2c1一(名+1)77+：(2啊+1)：(1-a)2 x 2 + 2 c 旯+ 。2 刁+ 2 。一曲c 旯+ 1 ) 7 7 + ! 坌孑芒宇兰呈亏麦等 =，6(3一口一2功+兰尘二二兰叵兰q二!垒专暑三；毛掣 2 脚端时一南，令= 南删 ( ) = 1 6 ( 1 - 6 ) ( + ( 见+ 1 ) 2 1 一p 2 ) + 1 6 ( 1 一口) p 2c o s 2 c p + ( 2 + 1 ) 2 卵( 1 一，2 ) r l - ( 1 - f 1 ) x o r 2c o s 2 0 + + 2 ( 1 一口) ( 名+ 1 ) 7 7 一( 五+ 1 ) 2 c 。s ( 缈+ 臼) = 1 6 ( 1 一口) ( 1 一p 2 ) + 1 6 ( 1 - a ) p 2 c o s2 伊+ ( 兄+ 1 ) 27 7 ( 1 _ r 2 ) l 兰f l p 2c o s 2 f o + 2 ( 1 一口) ( 兄+ 1 ) r l p r c 。s ( 矽+ 乡) 生 筇一 ； 0一一， 吐堂刁 旦- 吖 秒+ 缈p 与。 +兄口一一 第二章有关近于凸的两类解析函数的f e k e t e s z e 9 6 问题 = 1 6 ( 1 一口) 一1 6 ( 1 一口) p 2 ( 1 - c o s 2 缈) + ( a + 1 ) 2 7 ( 1 - ，2 ) + 警, 0 2 c o s 2 t p + 2 ( 1 叫m 归c o s ( 州) - 2 ( 1 一口) ( 川) 2 。南c 。s ( 缈+ 口 蛳( 1 - o r ) 小+ ) 2r 4 掣 因为 ( 功= 一( 五+ 1 ) 2 ( 1 一力，2 c o s 2 9 + ( x ) = 妙( ) + ( ) ( x x o ) + 2 ( 一口) ( 允+ ) 刁+ 三警 1 6 ( 1 一口) 20 2 c o s 2 矽一2 ( 1 一口) ( a + 1 ) 2 c o s ( 缈+ 功， = 沙( ) + ( x x o ) e 一( 旯+ 1 ) 2 ( 1 一f 1 ) r 2 c o s 2 0 + 一2 ( 1 一口) ( 名+ 1 ) 2 c 。s ( 伊+ 乡) 蛳( 1 - 6 ) m + ) 2r + 掣 + ( x 一) ( 元+ ) 2 ( t 一) + 1 6 ( 1 一口) 2p 2 c o s 2 r p + 2 ( 一口) ( 兄+ ) 刁+ 三羔警 1 6 ( 1 一口) 2 ：1 6 ( 1 - 6 ) + ( 允+ 1 ) 2 矽+ 1 6 了( 1 二- 了6 歹一) 2 一南卜) 2 ( m ) + + ( 见+ ) 2 ( 一) + + 2 ( 一口) ( 五+ - ) 2 + 2 ( - 一口) ( 兄+ ，) 刁+ 三羔警 1 6 ( 1 一口) 2 1 6 ( 1 一口) 2 + 2 ( 一口) ( 见+ ) 2 + 2 ( 一口) ( 兄+ ) 2 x = 1 6 ( 1 一口) + 2 ( 1 一口) ( 五+ 1 ) 7 7 + ( 见+ 1 ) 2 ( 3 - 2 a - f 1 ) + 1 2 1 6 ( 1 一口) 2 卜 第二章有关近丁二凸的两类解析函数的f e k e t e s z e 9 6 问题 = 1 6 ( 1 - a ) + 名+ 1 1 2 ( 2 + 2 ) ( 3 一缸一肿一) + ( 1 一功2 ( a + 1 ) 2 3 ) 当一而4 丽( 2 * 1 ) 2 。时，一旦1 - p x 。，有 y ( x ) = 1 6 ( 1 - a ) ( 1 - p 2 + 1 6 ( 1 一口) p 2 c o s 2 c p + ( 兄+ 1 ) 2r ( 1 - r 2 ) + ( 五+ 1 ) 2 r l - ( 1 - f 1 ) x r 2c o s 2 0 p 2 c o s 2 c p + 2 ( 1 一口) ( 名+ 1 ) 刁一( 兄+ 1 ) 2x ；r c 。s ( 缈+ 秒) = 1 6 ( 1 一口) 一3 2 ( 1 - a ) p 2 s i n 2c o + 1 6 ( 1 一口) 2x p 2c o s 2 a p + ( 力+ 1 ) 27 7 + ( 力+ 1 ) 27 7 ，- 2c o s2 0 + 2 ( 1 一口) ( 五+ 1 ) ，7 p ，c o s ( 缈+ 秒) 一( 2 + 1 ) 2 刁，2 一( 见+ 1 ) 2 ( 1 一) 耵2c o s 2 9 一2 ( 1 一口) ( 力+ 1 ) 2x p r c o s ( 呼o + g ) 1 6 ( 1 一口) 一 1 6 ( 1 一口) 2x + 2 ( 名+ 1 ) 2r + 2 ( 1 一口) ( 旯+ 1 ) 刁 一( a + ，) 2 瑁 ，2 + 1 - 刁, 8 x r 2 c o s 2 0 + 2 ( 1 刁- 6 ) 耵 = 1 6 ( 1 一口) 一 1 6 ( 1 一口) 2x + 2 ( 兄+ 1 ) 27 + 2 ( 1 一口) ( 见+ 1 ) 7 7 七+ 1 ) 2 刁 ( 1 + 彳b 1 s 2 乡卜 = 1 6 ( 1 - 6 ) - 1 6 ( 1 一口) 2x 2 ( 1 - a o x r + 2 ( 力+ 1 ) 2r + 2 ( 1 一口) ( 名+ 1 ) 7 7 七州2 刁( + 半加 +( 力+ ，7 ( + ，一抬一| ； 一一 x 业堂刁 三 盟等|、 一 刁 b 第二章有关近于凸的两类解析函数的f e k e t e s z e 9 6 问题 州”十一1 6 ( 1 - t z ) 2x 叫川n 叫h m + 1 ) ”糕蜀 1 6 卜小一1 6 ( 1 - a ) 2x 叫川n 叫h m + 1 ) 带蓍 = 1 6 ( 1 - a ) 一三三q 铲+ 3 2 ( 1 一) + 三三紫 3 6 ( 1 - o r ) 2 ( 1 - f 1 ) ( 2 + 2 ) 2 2 2 ( 五+ 1 ) 24 ( a + 1 ) 2 + 3 ( 1 一f 1 ) ( 2 + 2 ) pi 娟( 3 - a - 2 f 1 ) + 坐监毯等业 3 6 ( 1 - a ) 2 ( 1 - f 1 ) ( a + 2 ) 2 2 ( 五十1 ) 2 i4 ( 五+ 1 ) 2 + 3 ( 1 一) ( 五+ 2 ) l 4 ) 当一而4 丽( 2 + 1 丽) 2 时，x 一可r ，令五= 一而r ，则 y ( _ ) = 1 6 ( 1 一口) ( 1 一p 2 ) + 1 6 ( 1 - a ) p 2c o s2 缈+ ( 兄+ 1 ) 2 , 7 ( 1 - ，2 ) + ( 五+ 1 ) 2 刁一( 1 一f 1 ) x 1 r 2c o s 2 0 + + 2 ( 1 一口) ( 允+ 1 ) 7 7 一( 兄+ 1 ) 2 而 p 瑚s ( 缈+ 9 ) = 1 6 ( 1 一a ) ( 1 - p 2 ) + 1 6 ( 1 - a ) p 2 c o s 2 缈+ ( 允+ 1 ) 2r ( 1 - 厂2 ) m + 1 ) 2 7 r 2c o s 2 0 - ( m ) 2 ( ，卅( _ 南卜砌目 ( _ 南卜础卿( t 叫( 川) 秽c 。s ( 伊卅 1 4 第二章有关近丁凸的两类解析函数的f e k e t e s z e g o 问题 _ 2 ( 1 叫( 川) 2 ( _ 1 与1 p r c 。s ( 伊卅 = 1 6 ( 1 一口) 一1 6 ( 1 一口) p 2 ( 1 - c o s 2 o ) + ( 2 + 1 ) 27 7 ( 1 一，2 ) + ( 兄+ ) 2r r 2c o s 2 0 + ( 旯+ ) 2r l r 2c o s 2 0 一三鱼譬三号羔p 2c 。s 2 缈 + 2 ( 1 一口) ( 五+ 1 ) 伊，c 。s ( 缈+ 秒) + 三掣卯，c 。s ( 伊+ p ) = 1 6 ( 1 一口) 一1 6 ( 1 一口) p 2 ( 1 一e o s 2 呼o ) + ( a + 1 ) 27 7 一( 旯+ 1 ) 2r ，2 ( 1 - c o s 2 0 ) + ( 兄+ ) 2f i r 2c o s 2 0 一三鱼譬三p 2c 。s 2 伊 +2(1一口)(五+1)纪p，c。s(妒+矽)+三掣纪p，c。s(缈+口) 1 6 ( 1 - 6 ) + 2 ( 川) 2 7 4 警+ 2 ( 1 叫帅+ 学 因为 沙f x l ：f 五、+ 沙7x l f x 一五、l = ( 五) + ( x 一五) 一( 见+ 1 ) 2 ( 1 一) 厂2 c o s 2 0 + 1 6 ( 1 一2彦c o s 2 呼o - 2 ( 1 一口) ( 名+ 1 ) 2p r e o s ( 缈+ 臼) 1 6 ( 1 - o r ) + 2 ( 川炀+ 可1 6 ( 1 - 6 ) 2 + 2 ( 1 叫帅+ 掣 + ( 而一x ) ( 兄+ 1 ) 2 ( 1 一) + 1 6 ( 1 一口) 2 ：1 6 ( 1 - 6 ) + 2 ( 旯+ 1 ) 27 7 + 1 6 ( 可l - a ) 2 + 2 ( 1 一口) ( 川) 2 + 2 ( - 一口) ( 名+ ) 刁+ 三学 1 5 第二章有关近于凸的两类解析函数的f e k e t e - s z e 9 5 问题 + ( 一跏川) 2 ( w ，+ 一x ( 五+ ) 2 ( ，一) + 1 6 ( 1 一口) 2 1 6 ( 1 一口) 2 + 2 ( 一口) ( 允+ t ) 2 + 2 ( - 一口) ( 名+ ) 2 = 1 6 ( 1 一口) + ( 见+ 1 ) 2 刁+ 2 ( 1 一口) ( 兄+ 1 ) 7 7 一x ( 名+ 1 ) 2 ( 3 - 2 c t - f 1 ) + = 1 6 ( 1 - 叻+ 1 6 ( 1 - 力+ 1 6 ( 1 一口) 2 3 2 ( 1 一叻( 1 一力1 2 ( 1 + 2 ) ( 3 2 a 一纠( 1 一纠+ ( 1 一曲2 兄+ 1 = 1 6 ( 2 一口一) + 3 2 ( 1 1 - a 百) ( 1 一- f 1 ) ( 旯+ 1 ) 2 ( 旯+ 1 ) 2 定理2 3 i 证毕 注：在定理2 3 1 中分别取元= 。，口= 三，= o 时，就得到文 2 中函数类 岛( 丢，。) 的f e k e t e _ s z e 酌系数不等式 推论2 3 i 设f ( z ) = z + a 2 2 2 + 岛( 口，) ，则对于口 o ，1 ) ，【o ，1 ) 和 任意实数，有 1 6 第二章有关近于凸的两类解析函数的f e k e t e s z e 9 8 问题 q 一i t2(2-ct-f1)+t4(1-a)(1-f1)一(3-2a-f1)(1一)+(1一口)2，h， 33 。7、 7 j 。1 。 2(3-ct-2f1)。(1-a)4(1-fl)-3(1-a),u 33 + 孪丛吐警，m 0 。 2 + 3 ( 1 - f 1 ) n 叩 2(3-a-2f1)+(1-a)4(1-fl)+3(1-ct),u + 1 3 ( 1 - a ) 2 ( 1 - f 1 ) 丁u 2 ，o 鸬， 。 2 - 3 ( 1 - f 1 ) i t 一叫 掣+ _ 4 ( 1 - a ) ( 1 - f 1 ) + ( 3 - 2 a - f 1 ) ( 1 一) + ( 1 一口) z m 鸬 33l 、 。7、7 j 。 其中“2 一可。f 2 两，段2 可f 2 万 推论2 3 2 设( z ) = z + 呸z 2 + 8 0 ( 0 ，0 ) ，则对于任意实数，有 口，一口；l 其中朋一詈，鸬= 詈 昙一4 ， 。， j 2 + 生望+ 二生，l o ， 3 2 + 3 “1 。 。 2+生望+姜，o如323 。 。 2 + 4 ， 2 2 4 函数类z b a ( a ，) 的f e k e t e - s z e 9 8 问题 我们引进一类新的解析函数： 定义2 4 1 设尺h 一1 】，若存在g ( z ) 幺( 口，) ，使得厂( z ) a 满足下 列条件 1 7 第二章有关近于凸的两类解析函数的f e k e t e s z e 9 6 问题 z 2 d ；二z w r + 2 ( 1 + ) z i d w + ( 1 + o w ：( 1 + 0 ( 2 + p ) d z g ( z ) ( 2 9 ) 宓比 则厂( z ) z b a ( 口，p ，) ，其中w = d 丑厂( z ) 定理2 4 1 若f ( z ) = z + t 1 2 2 2 + z b a 【口，p ，) ，! j ! u 有 悱i 踹坐笺并剑揣舻2 a 泣 证明：设厂( z ) = z + a 2 2 2 + z 易( 口，p ，) ，由定义2 4 1 知，存在 g ( z ) = z + 6 2 2 2 + 毋( 口，p ) 使得( 2 9 ) 式成立由( 2 9 ) 式我们比较等式两 边系数得 ：7 呈笔烘钆，刀；”r ( 嘲，一1 】( 2 1 1 ) ” ( + 门) ( + 以+ 1 ) ” 。、。 其中n 是正整数 e h ( 2 1 1 ) 可知，要想估计i 1 只要求出l 既i 的上界即可由文 1 中定理5 i 可知 俳i 坐署剑揣舻2 亿埘 由( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 既得( 2 1 0 ) 式成立 推论2 4 1 若厂( z ) = z + 9 1 2 2 2 + z 玩( 口，p ，) ，则有 i a ki!；iij：!：揣!【!j：!：!：!j!掣，z=2，3， 定理2 4 2 若厂( z ) = z + 嘭z 2 + z 幺( 口，p ，) ，则有 1 8 第二章有关近丁凸的两类解析函数的f e k e t e - s z e 9 6 问题 l 口3 一，卜 其中乃= 器+ 芎搿一! 三 ! ：二三竺二二；苫i t ! 掣，厂 ，3 ( 五+ 2 ) ( 五+ 1 ) 23 ( 元+ 2 ) ( 五+ 1 ) 3(+ 1 ) 4 “” 4 毛( 3 一口一2 p ) 。( 1 - 口) e s k 。( 1 - f 1 ) ( 2 + 1 ) - 3 k 2 ( 1 - a ) ( 2 + 2 ) r 3 ( 旯+ 2 ) ( 力+ 1 ) 23 ( 名+ 2 ) ( 五+ 1 ) 4 + 3 k ：2 ( 1 一口) 2 ( 1 一) ( 旯+ 2 ) ，2 ( 五+ 1 ) 4 4 毛(