（概率论与数理统计专业论文）关于风险价值与风险测度几点讨论.pdf

山东大学硕士学位论文 关于风险价值与风险测度的几点讨论 谢瑞 ( 山东大学数学学院，济南，山东2 5 0 10 0 ) 中文摘要 自2 0 世纪七十年代布雷顿森林体系崩溃以来，世界经济格局发生了重 大变革全球金融市场得到了迅猛的发展，随之而来的则是金融市场波动性的 加剧以及市场风险的复杂化重大金融灾难层出不穷，如巴林银行倒闭以及前 不久发生的法兴银行事件风险管理已是当今金融市场最关注的问题之一，研 究机构和金融机构投入大量的精力进行对风险度量理论和方法的研究上 2 0 世纪8 0 年代，时任j p 摩根银行的全球研究部总经理蒂尔古尔迪曼 首次提出v a r ，他认为。价值风险”要比。收益风险”更重要( 见j o f i o n 1 ) 从而v a r 方法的进入了人们的视线由于其直观、易懂的优点，成为国际金 融市场的主力风险度量方法之一 然而传统v a r 方法无法处理收益序列尖峰厚尾现象和波动率聚类现象， 因此对极端事件风险估计缺乏准确性极值理论是测量极端市场条件下风险 损失的一种方法，它具有超越样本数据的估计能力，并可以准确地描述分布尾 部的分位数a r m a g a r c h 模型则可以较好的描述波动率的时变特征 m c n e i l 4 】开始探讨了把极值理论和g a r c h 进行组合的可能性本文第一章 在遵循该研究思路基础上，在传统单纯采用极值理论( 假设被分析数据是独立 同分布的) g e v 分布和g p d 分布描述金融资产收益尾部特征的基础上，利用 a r m a g a r c h 模型获得近似独立同分布的残差序列，得到动态的v a r 并对中国上证指数自1 9 9 5 年1 1 月2 0 到2 0 0 8 年4 月1 7 日收盘价对应的对数 日收益率进行实证研究给出上证指数的v a r 值 v a r 不仅存在模型风险，a r t z n c r 等人 9 】还指出v a r 不满足次可加性 a r t z n e r 等人 9 】引入相容性风险测度作为一个公理化的工具度量风险，而在 同年彭实戈 1 0 引入了g 期望的概念g i a n i n 1 l 】将争期望应用到风险测 山东大学硕士学位论文 度中，江龙【1 2 做了进一步的研究，提出并证明了g 期望是相容风险测度的 充分必要条件本文的第二章我们分别回顾了相容风险测度和g 一期望的概念 及其关系并在连续完备市场中，利用一类特殊的满足相容性公理的g - 期望 对金融头寸进行风险定价，发现我们使用的这种相容风险测度风险定价与利 用传统的线性期望下等价鞅测度定价情形不同 1 i 关键词：风险价值；极值理论；相容风险测度；b s d e ；g 一期望 山东大学硕士学位论文 d i s c u s s i o n sa b o u tv a l u ea tr i s ka n dr i s km e a s u r e s x i e r u i ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，s h a n d o n g2 5 0 10 0 ，p r c h i n a ) a b s t r a c t ag r e a tr e f o r mh a st a k e np l a c es i n c et h ec o l l a p s eo ft h eb r e t o nw o o d ss y s t e m f o l l o w i n gt h er a p i dd e v e l o p m e n ti nt h eg l o b a lf i n a n c i a lm a r k e t , t h ei n t e n s i o no ff l u c t u a t i o n a n dt h ec o m p l i c a t i o no fm a r k e tr i s ki nt h i sw o r l dh a v eb e e nr a i s e dt oah i g h e rl e v e l c r u c i a l f i n a n c i a ld i s a s t e r so c c u r r e df r e q u e n t l yt h e s ey e a r s ，s u c ha st h ef a i l u r eo f b u s i n e s so f b a r i n g s b a n k , a n ds o e i e t eg e n e r a l ea f f a i rh a p p e n e dr e c e n t l y , a sac o n s e q u e n c e ，r i s km a n a g e m e n t h a db e e no n eo ft h eu t m o s tc o n c e r i l $ o nt h ef i n a n c i a lm a r k e t a c a d e m i ca n df i n a n c i a li n - s t i t u f i o n sp a ym u c ha t t e n t i o nt ot h er i s km e a g u g eo nb o t ht h et h e o r e t i c a la n dm e t h o d i c a l r e s e a c h v a rw a sp r o p o s e df o rt h ef i r s tt i m eb ys t e r d g u e r d d y , t h eg e n e r a lm a n a g e ro ft h e g l o b a li n s t i t u t i o no ft h ej p m o r g a ni n1 9 8 0 s ，w h oc o n c e i v e dt h a t ”r i s ko fv a l u e ”i sm o r e i m p o r t a n tt h a n r i s ko fp r o f i t ”( j o r i o n t ) t h e nv a re n t e r e di n t op e o p l e se y e s i g h t , a n d b e c a m eo n eo ft h em a i nm e t h o d so fr i s km e a s u r e si nt h ei n t e r n a t i o n a if i n a n c i a lm a r k e tf o r i t sd i r e c t i l e s sa n du n d e r s t a n d a b i l i t y b u tt h et r a d i t o n a lm e t h o d so f v a rc a nn o td e s c r i b ec a s e so f h e a v yt a i lo f r e t u r ns e r i e s a n do n e so fo fv o l a t i v i t y , r e s u l t i n gt h ep r e c i s el o s so fr i s ke s t i m a t i o no fe x t r e m ee v e n t s e x t r e m ev a l u et h e e r yi sam e t h o dw h i c hc o u l dm e a s u r et h el o s sa tt h ec o n d i t i o no fe x t r e m e m a r k e t i ti sc a p a b l et oe x c e s ss a m p l e ，a n dd e s c r i b ep r e c i s e l yq u a n t i lo nt h et a i lo fd i s l r i b u - t i o n a r m a g a r c hm o d e lc a l ld e s c r i b et h ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i co f v o l a t i v i t y t h ea r t i - c a li n t r o d u c eg e v , g p da n da r m a g a r c hm o d e lt og e td y n a m i cv a r , a c c o r d i n gt ot h e r e s e a r c ho fm c n e i l 4 u s i n gc l o s i n gp r i c e sd a t ao fc h i n as h a n 幽a ic o m p o s i ti n d e xf r o m 11 2 0 19 9 5t o4 17 2 0 0 8 ，w ec o m p u t ev a rw i t ht h r e ed i f f e r e n tm e t h o d s ( a r m a g a r c h ， g e 、，_ g a r c h 。g p d g a r c h ) v a rh a st h em o d e lr i s k , a n da r t z n e r 9 p o i n t e do u tt h a ti td o e sn o ts a t i s f yt h es u b i i i 山东大学硕士学位论文 a d d i t i v ep r o p e r t y j i a n g 12 】d i ds o m ef u t h e rr e s e a c hi na p p l y i n gt h eg - e x p e c t a t i o ni n t ot h e r i s km e a s u r e s ，i n t r o d u c i n gt h eg - e x p e c t a t i o na n dp r o v i n gt h a ti ti st h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o no f t h ec o h e r e n tr i s km e a s u r e s i nc h a p t e r2 ，w er e v i e wt h en o t i o n so f c o h e r e n t r i s km e a s u r e ，g - e x p e c t a t i o n ，a n dt h e i rr e l a t i o n s h i pa sw e l l i nac o n t i n u o u sc o m p l e t em a r k e t ， b ym e a s u r i n gt h er i s ko f af i n a n c i a lp o s i t i o nu s i n gac e r t a i ns e q u e n c eo f g e x p e c t a t i o ns a t i s - l y i n gt h ec o h e r e n c ea x i o m ，w ef i n dad i f f e r e n tc a s eo fr i s kp r i c i n gi np r o f i to ft h i sc o h e r e n t r i s km e s u r ew i t hu s i n gt h ee q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r ei nt h ef l a l n eo fc l a s s i c a ll i n e a r e x p e c t a t i o n k e y w o r d s ：v a l u ea tr i s k ；e x t r e m ev a l u et h e o r y ；c o h e r e n tr i s km e a s u r e s ； b s d e ；g - e x p e c t a t i o n 。 i v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：j 蝉 日 期：童丝牮丝日 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 一：蜱翩签名俩嗍学日 山东大学硕士学位论文 第一章基于极值理论 c a r 的实证分析 随着全球经济的高速发展，金融市场得到了迅猛的发展，金融产品不断创 新，使得金融市场的波动性的加剧以及市场风险的复杂化上世纪发生的重大 金融灾难如美国加州奥兰治县财政部门破产、巴林银行倒闭，以及前不久发 生的法兴银行事件，突显了金融机构中风险管理的重要性市场风险管理的基 础和关键便是怎样将风险定量化，也就是风险度量问题j p 摩根基于风险价 值v a r 理论，首先发展出全面的市场风险管理方法，他们的产品一风险矩阵 r i s k m e t r i c 成为被全世界广泛使用的风险管理工具由于v a r 直观、易懂，已 成为金融市场中广泛认可的风险度量方法 我们本章将介绍极值理论两个分支8 m m ( 8 l o c km a x i m am e t h o d ) 分支与 p o t ( t e a k so v e rt h r e s h o l d ) 分支的主要代表模型g e v 模型和g d p 模型及其在 v a r 中的应用，并对上证指数通过g e v - g a r c h 方法、g d p - g a r c h 方法以 及传统g a r c h v a r 方法进行实证研究我们首先给出v a r 、极值理论的相 关介绍m c n e i l 2 】等学者也开始探讨了把极值理论和g a r c h 进行组合的可 能性在遵循上述学者的研究思路基础上，把极值理论和a r m a g a r c h 模型进行组合，建立基于g a r c h 和极值理论的金融资产风险度量方法 1 1v a r 介绍 j o r i o n 1 中全面介绍了v a r 并给出了投资组合的风险价值( v a r ) 的正式 定义是：在一个目标投资期t 内，在给定的置信水平c 下所能承受的预期最大 损失xv a r 在数学上的严格定义如下： 设x 为描述投资组合未来市值变化的随机变量，f c 的为x 的概率分布 函数，置信水平为c ，则 f a r = - i n f l x l f ( x ) c 1 根据上述定义，计算v a r 涉及三个要素：资产组合的持有期的长短，置信水 平的大小，未来资产组合价值函数的分布特征选择持有期时，主要是考虑新 交易发生的频率、风险数据的频率和进行对冲操作的频率等因素通常，持有 期是一天或个月对于置信水平的选择，反映了金融机构对金融风险的态度 和承受能力、风险资本需求、监管要求以及统计和比较的需要，国际上一些著 名金融机构大都取9 5 一9 9 之闻，我国的金融机构普遍选取9 5 山东大学硕士学位论文 我们在这里介绍一下v a r 方法的基本模型 考虑一个投资组合，假定p o 为给投资组合的初始价值，r 为持有期内组 合收益率，则在持有期末，组合的期末价值可以表示为：p = e o ( 1 + 厂) 假定 收益率，的期望收益率和标准差为p 和矿，给定的置信水平c ，假设在此置信 水甲c 下，证券组合的最小价值为p - p o ( 1 + 广) ，r 是对应的最低收益率 绝对v a r 为： v a r = r 二p = 一p o ， 由以上定义我们可以看出，如果能找到组合的最小价值p 或者最低收益率 ，就可以求出v a r 值由于证券组合的价值过程是一个随机过程，并且组 合的初始价值为确定值，所以对应组合的收益也是一个随机过程，当持有期确 定后，组合的收益就是一个随机变量我们假定期末收益的概率密度函数为 八一，则对于置信水平c 下的证券组合收益率最小值厂，有 h = 以触 这里分布函数可以是离散的也可以是连续的，可以厚尾也可以瘦尾，这个表达 式都是有效的我们看到如果要找出组合收益，的分布，则v a r 便可以确定 传统的v a r 方法多假设资产价格过程满足几何布朗运动( 早在1 9 0 0 年 b a c h e l i e r 2 】发现价格服从随机漫步模型) ，收益率序列相互独立且服从正态分 布这个假设还认为收益具有常数波动率，也就足方差是不随时间变化的 然而金融数据的实证分析还表踢，收益率序列波动性会出现集聚效应，即收 益率在较大的波动后通常跟随着较大的波动，较小的波动后面跟随着较小的 波动这种方差的时变特征无法用传统的可以用条件时间序列模型来描述 不同于历史波动模型，这统计模型族能够更有效地利用，时亥所获得的信息 集来估计随时间变化的均值和方差1 9 8 2 年e n g l e 首先提出提出了a r c h 模 型，随后b o l l e r s l e v 推广了这一模型，推导出般自回归异方差模型，通常用 g a r c h 表示( 可参考t e r e n c e 4 ) g a r c h ( p ，q ) 模型的形式为： 假设一证券收益序列y t ，t l 服从如下模型： 2 乃 = c + 是l 毋卜j + ，+ 羔i e e f 一， e f 2 o t z t ， 砰= 七十墨。g t 吐。+ 名。彳巧乞 山东大学硕士学位论文 其中g a 0 f = 1 ，2 ，p ；a j o ，j = 1 ，2 。，q ；距l g ，+ 名l a 0 ，这里条件方差一= v a r ( e , 1 7 t 1 ) ，巧一1 为时刻f _ l 及之前的全部信息 的集合，残差( ：，) 晓l i i d ，亿) = 0 ，v a t ( z , ) = 1 大量的经验研究发现对大部分的金融时问序列而言g a r c h ( 1 ，1 ) 模型就 已经足够了这种描述的优点在于模型简洁，并且参数少，因此对数据的拟合 非常合适它可以系统地显示相关簇群的波动，缺陷在于它是一种非线性函 数，参数需要通过似然函数的最大化估计得到，这涉及到数值最优化方法特 别的，对于g a r c h ( 1 ，1 ) 模型，假设测量残差e f 服从正态分布并且相互独立， 我们有丁个观测值，则它们的联合密度函数是密度函数与每一时间周期f 的密 度函数的乘积，最优化对数似然函数的最大值为： 所a x l ( o b ) 2 善h 删咖善( h 去+ 差一半) 其中日表示模型中所有未知参数，厂( ) 表示总体的分布密度函数 1 2 极值理论及在v a r 中的应用 v a r 方法只关心超过 c a r 值的频率，而对于超过v a r 值之后的损失分布 情况没有涉及因此v a r 只是市场处于正常变动下市场风险的有效测量，它不 能处理价格变化极端情况另外传统的v a r 方法无法准确地预测历史数据中 从来没有发生过的重大风险这就需要对尾部的分布单独进行精确的估计 2 0 世纪9 0 年代末起源于水利学的极值理论，是顺序统计理论的一个分 支作为一种参数估计方法，极值分布只研究极端值的分布情况，它可以在总 体分布未知的情况下，依靠样本数据，得到总体中极值的变化性质，具有超越 样本的估计能力根据尾部指数的大小，很多著名的分布可以划归到极值分 布之中去 1 9 4 3 年g n e d e n d o 2 中给出的极值定理表明：极值的极限分布与 本身的分布是相对独立的从整体上看，极值理论模型可以分为两个主要分 支，个比较旧的b m m 分支；另个是比较新的p o t 分支，分别对应着g e v 模型与g p d 模型下面我们参考m c n e i l 5 】，m c n e i l ，f r e y , e m b r e c h t s 6 】，简 要介绍一下极值理论的两个模型，并给出基于g e v 和g d p 模型的v a r 计算 一，g e v 模型 定义1 2 1 广义极值分布( g e n e r a l i s e de x t r e m ev a l u ed i s t r i b u t i o n ) 3 山东大学硕士学位论文 标准的g e v 分布： 舭) = 卅e x p - 删( 1 + 叫f x ) - 1 置 其中1 + 弘 0 h 的分布只有三种形式，当f = 1 1 - 1 时。风( 曲为f r e c h e t 分布；当f = 一仃- 1 时，为w e i b u l l 分布；当f = 0 时，为g u m b e l 分布我们可以通过图1 直观看 一下g e v 分布的形状可以清楚看到，f r e c h e t 分布用来描述那些极值无上界 有下界的分布，w e i b u l l 分布用来描述极值有上界无下界的分布，g u m b e l 分 布用来描述极值无上界也无下界的分布 圜 ： i 。心， 图1 g e v 分布图 非标准的g e v 分布为：峨“矿( x ) = 凰( o p ) 力，其中f 为形状参数， p 为位置参数，旷为尺度参数f 也被称为尾部指数，它的绝对值越大则原始 分布的尾部便越大，是衡量原始分布厚尾性的重要指标 定义1 2 2 最大值收敛域( m a x i m u md o m a i no f a t t r a c t i o n ) 设置，恐，疋独 立同分布，坛= m 似，鹄。，咒) ，如果有岛，以及非退化分布坝砷，使得 一， l i mp ( 二二竿) = l i mp ( c 。工+ 磊) 圭i t ( x ) 。 月。 a n ”1 0 则称，在的最大值收敛域内，记作f m d a ( h ) 定理1 2 3 如果对于某个非退化的分布h ( x ) ，有f m d a ( h ) ，则日必为广 义极值分布中的一种 4 山东大学硕士学位论文 g e v 在极值理论中的地位如同正态分布在大数定律中的地位我们常见 到的很多分布函数都可以根据它们的尾部状况划分到前面的三种广义极值分 布中去例如原始分布为正态分布，对数正态分布、指数分布、g a m m a 分布 的尾部分布都收敛到g u m b e l 分布；原始分布为t 分布、c a u c h y 分布、p a r e t o 分布的尾部分布可以收敛到f r e c h e t 分布；均匀分布，b e t a 分布的尾部分布为 w e i b u l l 分布对于在应用中我们应该如何选择这三种极值分布，我们可以使 用前面定义1 2 1 中的统表达式，这样再利用数据将其中的参数估计出来， 由此确定使用怎样的极值分布事实上，金融领域中最常用的是f r e c h e t 分布 下面我们来对g e v 分布的参数进行估计设有样本置，墨，。，利 用b m m 方法将这i t i l l 个数据分成1 1 1 段，每一段中有1 3 个数据，求出每一段的 最大值幅i ，m , a ， ，然后用极大似然法估计出f ，矿 我们可以得到g e v 分布的密度函数： 一加 耋茹三荔翟；q 置 其中1 + f 孚 0 从而得到似然函数 l ( f ，t 。o - ；坛l ，坛2 ， ) = 圣ll n k 矿( i ) = - - m i n t r 一( 1 + 1 d 翟i ( 1 + f 盥警兰) 一翟i ( 1 + f 竽) 取( ，卢，使得l ( 孑，卢，= m a x ( ( f ，p ，e r ；i ，m 2 ，) 即可 当然，对于m n 组数据的分段也很重要，n 太小，精度不够；n 太大，则 m 较小，估计出来的方差变大，因此实际中要在两者闻权衡 下面我们来看如何利用极值理论来求v a r 值 ， 我们实际考虑的v a r 实际上是极值的一个分位点，因此我们可以利用估 出的极值分布来计算由前面得到的g e v 分布：疗= e x p ( 一( 1 + 于孚) ) 一，则 它的上口的分位点为：卢+ 苦( ( 一t n ( i 一口) ) 吖一1 ) ，我们现在考虑的是损失的 v a r ，即对应 - 、 啪= 丘+ 筹( ( 一i n ( 1 一嘞。一1 ) 即为我们用g e v 估出的置信水平为口的v a r 值 二，g p d 模型 5 山东大学硕士学位论文 g p d 模型是对样本中超过某一充分大的阈值的所有观测值进行建模，被 认为是实际应用中十分有用的模型之一 定义1 2 4 广义p a r e t o 分布( g p d ) ： 刚= l _ 茹霈v 笛 其中卢 0 ，当f 0 时，x 0 ，当f 0 的情况，我们可以由前面g e v 中的结论知： e ( f ) = o o ，k 1 f 而0 f 1 时，有e ( = 南 我们首先要了解下面两个概念： 定义1 2 5 条件超限函数：随机变量x 超出阈值甜的条件分布f ，有 凡( 曲= p - - u 工i x l ，) = f ( x f + u 币) - f 广( u ) 即凡( 工) 6 山东大学硕士学位论文 超限期望函数：已( h ) = e 一u l x ”) 相对于g p d 分布在中的作用，我们来回顾下面的定理： 定理1 2 6 ( p i c k a n d s b a i k c m a d eh a a n ) f m d a ( h c ) 铮存在卢( “) ，使得 l i r a 。_ 即s 印o ，即一。i f 。( 曲一g f 颢。) ( x ) i = 0 详细介绍可参见m c n e i l ，f r e y , e m b r e c h t s 6 由该定理可以看出，对于x 一 ，它的极大值的极限分布对应的形状参数和它超过某个阈值的条件分布的 形状参数相同，而且我们知道对于基本上所有的连续分布从中抽样得到最大 值的极限分布都是极值分布，从而由上面定理知道，g p d 分布可以拟合多数 的连续分布超过阈值之后的样本分布 有了上面的定义和结论，我们如何来对于那些比阈值大的点用g p d 来进 行拟合呢? 假设置，局，咒一只j f 吐f m d a ( h t ) ，我们首先设定阈值 u ，再比较一下样本和u ，设共m 个样本观测值超过阈值，我们将超过阈值 的样本重新记为墨，忠，兄战，然后在做变换巧= 髟一材，利用g p d 来拟 合这些数据 g p d 分布的密度函数可写为： “力= l 兰二；砷- 1 1 膳；三： 由此可得似然函数 i n ( f ，卢，h ，砘) = 翟ll n g f a ( y i ) = 一帆1 n 卢一( 1 + j f ) 名l 胁( 1 + f 芳) 其中卢 0 ，1 + f 善 0 我们取卢，f 使得上面的似然函数取最大即可假定估 计出的参数记为孑，声，我们下一步就看一下如何来拟合整体，以及如何来算出 原来函数的分位点 我们可以看到，若x 甜， f ( x ) = p 工 “) 尸 z f ) = p ( s 一” x 一” i t ) p ( x “) = 凡0 一u ) f ( o 对于瓦似一“) ，我们可以近似看做g p ( 工一“) ，而最“) 则可以由经验估 计最“) = 等得到，从而反工) = 鲁( 1 + 孑学) 一 7 山东大学硕士学位论文 对于口1 一等，相应的口分位点应该是 弘d 州譬( 惫( 1 刊t 1 ) ， 则对于损失的置信度为1 一口的v a r ，我们可以求得： 眦川譬( 惫( 1 叫t 1 ) 在g p d 模型中一个重要的问题，就是如何确定阈值“选择合适的阈值甜 是正确估计分布参数f 和卢的前提如果“太高会导致太少的超额样本数，使 估计的参数方差很大而“太小则无法保证超额分布的收敛性，使估计产生大 的偏差通常的方法是根据样本的超限期望图估计将样本观测值进行排序后 得到，五1 ) 五2 ) ，则样本的超限期望函数为； p ( 材) ：至掣，七：朋i n ( i x i 】 玎一尼一i 根据定义1 2 4 和定义1 2 5 中p ( ) 的定义，有 咖) = 蹦一“p 垆错，川 对最佳的阈值u , e ( u ) 关于“是线性的因此我们要寻找”，使p ( 甜) 为近似线性 函数 三、g a r c h - v a r 上面都是计算的静态的v a r ，这种无条件极值理论虽然直接研究金融资 产收益率分布的尾部，但它忽略了金融资产收益率分布是时变的，即假设资产 收益率是独立同分布的a r m a g a r c h 模型虽然采用了条件均值和条件 方差，可以得到动态的v a r ，但却关注整个分布，而不是直接对风险度量所 关心分布的尾部进行建模这里我们给出结合a r m a g a r c h 模型与极值原 理计算v a r 的步骤； 1 利用原始数据用伪极大似然( q m l ) 方法估计a r m a g a k c h 模型的 参数： 2 利用极值理论，计算随机扰动项e r 的v a r 3 根据前两步的结果，来计算原始数据的v a r 。 8 山东大学硕士学位论文 1 3 实证结果 我们采用上海证券交易所公布的日收益综合指数为原始数据( 数据来源： 大智慧) ，样本空间选自1 9 9 5 年1 1 月2 0 日2 0 0 8 年4 月1 7 日，样本容量为 3 0 0 1 个指数序列如图3 所示 在开始对该数据进行实证研究前需要说明一下：我们在进行v a r 计算的 时候，实际上是寻找收益率序列分布的下5 分位点，这是因为风险管理者 感兴趣的是收益为负的风险而前面介绍的极值理论关心的是收益分布的右 尾，基于极值理论的v a r 则都是通过找出序列的极大值来计算v a r 所以需要 可以对我们计算出收益率数据进行处理，将所有收益率序列全部再求负值， 对新的序列分析计算出v a r 后，我们再对v a r 值求负，得出实际v a r 一、模型形式和参数的确定 图3 上证指数序列图 我们定义收益率为r ，- i np ，一i np 0 l ，可得3 0 0 0 个收益率数据从收益率 序列图及直方图( 图4 ) ，可以看到序列具有明显的尖峰后尾现象；用e v i e w s 软件给出收益率基本统计量( 表1 ) ，从j b 检验可以显著的拒绝正态性假设 9 山东大学硕士学位论文 图4 收益率图 m e a n0 。0 0 0 5 21 s t d d e v 0 0 1 7 4 8 2 s k e w n e s s0 2 7 58 9 8 k u r t o s i s8 1 1 2 9 0 0 j a r q u e b a r a 3 3 0 5 7 7 8 p r o b a b i l i t y 0 0 0 0 0 0 0 表1 基本统计量 对收益率序列进行单位根a d f 检验( 见表2 ) ，因为检验的统计量是比 显著性水平为1 的临界值还小，所以拒绝原假设，该收益率序列不存在单位 根，是平稳序列 型： a d ft e s ts t a t i s t i c ： 2 2 6 0 7 3 6 1 c r i t i c a lv a l u e 3 4 3 5 6 5 c r i t i c a lv a l u e 一2 8 6 3 0 lo c r i t i c a lv a l u e 2 5 6 7 6 m a c k i n n o nc r i t i c a lv a l u e sf o rr e j e c f i o no f h y p o t h e s i so f au n i t 表2 a d f 检验 我们取r = i ，m = i ，p = i ，q = l ，且认为z ，一n ( o ，1 ) ，则有a r m a g a r c h 模 r r = c + 妒l 尺卜i + o i e t - i + ，f ，= o t z f ， 砰= 七+ g i 旷各i + 彳l 毒l 利用m a t l a b 编程估计其参数，参数输出结果为； 山东大学硕士学位论文 co 0 0 1 2 6 1 7 驴1 o 1 5 9 3 6 口i o 3 0 6 4 6 k 1 0 4 8 5 e 0 0 6 g l 0 9 1 1 3 7 彳1 0 0 8 6 4 8 4 表3 g a r c h 模型参数估计结果 二、v a r 的计算及回测 我们取前3 0 0 天的数据来计算第3 0 1 天的v a i l ，以前3 0 1 天的数据来计 算第3 0 2 天的v a r ，依此类推，可得到2 7 0 0 个v a r 数据，为了判断g a r c h 模型选取的准确性，我们将计算出的v a r 与实际收益率画在同一图中( 图5 ) 进行对比，程序见附录 图5 g a r c h 模型下的v a r 我们还可由程序得到实际收益率低于v a r 的天数为1 5 7 ，约占5 8 1 三、极值分布在 c a r 中的应用 山东大学硕士学位论文 在前面的g a r c h 型中，我们取乙一n ( 0 ，1 ) 现在我们分别假设乃服从广 义极值分布( g e v ) 及广义p a r e t o 分布( g p d ) 结合g a r c h 计算v a r 的步骤如下： 1 由a r m a ( 1 ，1 ) 一g a r c h ( i ，1 ) 模型模拟数据求得z t ，o r ，； 2 从前一步得到的标准残差，用极值分布计算出残差的v a r 值蕊； g e v ： f a r ：声+ 竺【( 一t n ( o 9 5 ) ) i 一1 ) u gpd：，、 廊：“+ 拿( 4 - c o 0 5 ) ) 一f 1 ) 1 ” 3 原模型v a r ，_ 胁+ o r ，v a r ，此处胁= c + 妒l 尺卜1 + o l e t - ! 按照上面的计算步骤，我们将算出的v a r ( 程序见附录) 与实际收益率画 在同一图中( 图6 、图7 ) 图6 g e v 模型下的v a r 由程序计算得到在g e v 模型下，实际收益率低于v a r 的天数为6 7 ，约 占2 4 8 在g p d 模型下实际收益率低于v a r 的天数为1 2 7 ，约占4 7 0 1 2 山东大学硕士学位论文 图7 g p d 模型下的v a r 四、对结果的分析 1 在g a r c h 模型下，实际损失超过v a r 的天数占到数据总量的5 8 1 ， 略高于我们设定的分位数5 ，说明用此模型模拟收益率将略低估损失 2 在g p d 模型下，实际损失超过v a r 的天数为数据总量的4 7 0 ，略低 于5 ，说明用此模型较好的模拟了收益率数据，其计算的v a r 能较好的预测 实际损失，但略微保守，这也体现了极值理论相对传统v a r 方法的优点：更 精确的处理了厚尾问题，对极端事件的发生起了很好的预防作用 3 在g e v 模型下，实际损失超过v a r 的天数为数据总量的2 4 8 * , ，远低 于5 ，说明用此模型计算出的v a r 过于保守，在投资与风险管理的决策中， 能够较好的防范风险，但也增加了失去收益的可能性当然，计算结果依赖于 分组的组数和每组的数据量，如何分组也会影响计算结果，程序还有待改进 4 两个极值模型g p d 模型和g e v 模型，g e v 模型通过对数据进行分 组，然后在每个小组中选取最大的个构成新的极值数据组，并以该新数据组 进行建模计算；g p d 模型则通过事先设定一个阀值u ，把所有观测到的超过 这一阀值的数据构成的数据组因此g e v 实际求的是极值的v a r ，因此所得 结果偏高 1 3 山东大学硕士学位论文 5 结合极值理论的v a r 方法在实际应用中还存在障碍，这是由于极值方 法计算的v a r 比传统v a r 方法( 如j p 摩根提出的方差- 协方差法) 计算的 v a r 要大很多然而，既然极值方法是保守的，那么对于波动性较大的市场使 用此方法是很有意义的 1 4 山东大学硕士学位论文 第二章关于g 期望相容风险定价的讨论 在金融市场实际操作中，人们利用分散性投资的方法来降低风险，因为投 资组合风险小于各组成部分风险之和这在数学中的描述就是风险的次可加 性，是风险测度应具有的重要属性然而，a r t z n e r 等人【9 】对v a r 进行验证 后，发现v a r 并不满足次可加性因此从理论上来说，v a r 是一个存在缺陷 的风险测度 我们这章将首先介绍相容风险测度定义前面讨论的 c a r 方法是寻找损 失分位数进行度量，而这章我们则主要是对金融头寸定价来进行度量风险 b l a c k s c h o l e s 公式是期权定价主要方法，它从经典数学期望出发，利用等价鞅 测度定价但随着金融产品的日益复杂化，线性期望已经无法满足市场需要 很多数学家与经济学家致力于对非线性期望的研究彭实戈 1 0 通过倒向随 机微分方程b s d e 引入了g - 期望与条件g 期望的概念，从而在一定框架下建 立了非线性数学期望理论g a n i n 1l 】阐述了g 期望在风险测度中的应用 江龙【1 2 做了进步的研究，提出并证明了g - 是相容风险测度以及凸风险测 度的充分必要条件陈增敬和何坤 13 中找出了g 期望与各种风险测度问的 联系我们依据陈增敬和何坤 1 3 】中的结论，给出由一特殊g 函数生成的满 足相容性公理的g 期望，在连续时间完备市场假设下利用其对金融头寸进行 风险定价其中前三节为预备知识，详细证明可参见相关文献 2 1 风险测度的定义 令q 为金融市场中所有可能状态的集合，够为定义在q 上所有需要估计 其风险大小的金融头寸的集合这里我们考虑鸟= l 2 ( q ，厂，p ) 风险测度p 就 是个映射p ：9 _ r ，满足下面两个条件： ( 1 ) 单调性：y x , y 够，如果x y ，则有p p ( y ) ( 2 ) 平移不变性：如果c r ，则有p + c ) = p + c a r t z n e r 等人 9 提出了相容性风险测度的定义，随后f f i l m e r 和s c h i e d 1 4 】给 出凸风险测度的定义 定义2 1 1 风险测度p 称为相容的，若其满足以下条件： ( 1 ) 次可加性：p 陇+ x 2 ) sp ) + 户僻) ，蜀，墨g ； ( 2 ) 正齐次性：p ( 鹕= 印c 的，对所有实数 0 成立； 1 5 山东大学硕士学位论文 ( 3 ) 单调性：p p ( y ) ，当x 】，； ( 4 ) 甲移不变性：p ( x + ( r ) = ，( 柳+ 口，对所有实数( r 成立 定义2 1 2 风险测度p 称为凸的，若其满足以下条件： ( 1 ) 凸性：p ( 2 x l + ( 1 一a ) x 2 ) 扣( * ) + ( 1 一a ) p ( x z ) ，v a 【0 ，l 】x i ，局g ； ( 2 ) 正规性：p ( 0 ) = 0 ； ( 3 ) 满足定义2 1 1 中的条件( 3 ) 和( 4 ) 2 2b s d e 与g 期望 彭实戈【1 0 】介绍了由一类倒向随机微分方程( b s d e ) 导出的g - 期望我 们要x cg - 期望进行研究就需要先介绍一下b s d e 和g 期望概念和一些性质 假设t 【0 ，) 是个给定的正实数，( r r , ) o 鲻r 为完备概率空间( q ，厂，竹 上的小维标准布朗运动，且= 1 假设( 再) o s g r 是由此布朗运动生成的完 备的自然矿信息流，即 元= o - 职；05s t ) va t ，t 【0 ，刀， 其