（理论物理专业论文）超弦的可积性研究.pdf

摘要 弦理论经典和量子的可积性在研究a d s c f t 对应中起着非常重要的作用，这方面 的研究引起了广泛的兴趣。本文中我们将研究不同描述方法的超弦( g r n s c h w a r z 超 弦和混合描述超弦1 在不同a 垮背景下的可积性。主要内容包括下面几个部分： 第二章中，我们对a d s 5 s 5 背景下运动着的g r e e n - s c h w a r zi i b 超弦进行了研究 本章包括三个部分：首先详细介绍z 4 阶化的李超代数脚( 2 ，2 1 4 ) , 然后给出a d s sx 妒背 景下的g r e e n - s e h w a r z 超弦的作用量，并写成在光锥坐标下的等价作用量形式；最后， 将给出g r e e n - s c h w a r z 超弦含有谱参数的l a x 联络以及m o n o d r o m y 矩阵 第三章中，x c a d & s 2 背景下运动着的混合描述超弦可积性进行研究首先， 根据五阶化的李超代数p s “( 1 ，1 1 2 ) 。构造出该背景下混合描述超弦的作用量。进一步 求出超弦的运动方程( e o m ) 和m a u r e r - c a x t a n 方程( m c e ) ，并把e o m 和m c e 做一个新 的组合；然后通过分别定义玻色流和费米流的h o d g e 对偶，我们证明e o m 和m c e 之 间存在扭曲的对偶对称性；最后根据扭曲的对偶变换，构造出带谱参数的l a x 联络 和m o n o d r o m y 矩阵 第四章中，a d s 3 s 3 流形础a m s u o ，1 ) s v ( 2 ) 群流形来描述，对a d s 3 和伊分别 傲t s t 变换，得到t 形变背景下弦理论的作用量根据t s t 变换，我们可以构造出a d s 和s 3 部分午形变背景下弦的l a x 联络，以及m o n o d r o m y 矩阵，来保证该系统的经典可 积性 第五章中，s l ( 2 ，r ) 与s u o ，1 ) 是局域同构的，a d s 3 流形也可以用s l ( 2 ，r ) 群流形 来描述，沿袭上一章的计算过程，同样可以得到a d s 3 部分的1 形变背景下弦的l a x 联 络 最后章，回顾利用b i z z 方法以及i n v e r s eb i z z 方法构造非线性s i g m a 模型的无 穷非局域守恒流。然后，我们把这种方法进行推广构造出w z w 模型的无穷非局域守 恒流。 关键词：超弦，g r e e n - s c h w a t z 超弦，混合描述超弦，扭曲对偶对称性，t s t 变 换，t 形变背景，l a x 联络，非局域守恒流，可积性 a b s t r a c t t h ec l a s s i c a t q u a n t u mi n t e g r a b i l i t i e si ns t r i n gt h e o r i e sa r ee x p e c t e dt op l a ya n i m p o r t a n tr o l ei ne s t a b l i s h i n gt h ea d s c f tc o r r e s p o n d e n c ew h i c hh a v ea t t r a c t e dm u c h a t t e n t i o n i at h ep r e s e n tt h e s i s ，w ew i l li n v e s t i g a t et h ei n t e g r a b i l i t i e so ft w od i f f e r e n t f o r m a l i s m s ( t h eg r e e n - s c h w a r zf o r m a l i s ma n dt h eh y b r i df o n n a l i s m ) f o rs u p e r s t r i n g i nv a r i o 滥a d sb a c k g r o u n d s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w es t u d yt h eg r e e n - s c h w a r zl i bs u p e r s t r i n gp r o p a g a t i n gi n t h ea d s s s sb a c k w o o d 。f i r s t l y , w e 蒯t h en e c e s s a r yf a c t sa b o u tt h e 互g r a d e d l i es u p e r a l g e b r ap s u ( 2 ，2 1 4 ) s e c o n d l y , t h ea c t i o no fs u p e r s t r i n gi sc o n s t r u c t e d ，t h e ni t c 缸b ew r i t t e ni nt h el i 曲t - - c o i t ec o o r d i n a t e s ，e q u i v a l e n t l y f i n a l ) , , w ed e r i v et h el a x c o n n e c t i o nw i t ht h es p e c t r a lp a x a m e t e rw h i c he n s u r 鹤t h ei n t e g r a b i h t yo ft h es y s t e m i nt h et h j r dc h a p t e r t h ei n t e g r a b i l i t yi nt h eh y b r i ds u p e r s t r i n gi si n v e s t i g a t e d i nt h ea d s 2 s 2b a c k g r o u n d f i r s t l y , a c c o r d i n gt ot h ez 4g r a d e dl i es u p e r a l g e b r a 叠钮( 1 ，1 1 2 ) w ec o n s t r u c tt h ea c t i o nf o rt h eh y b r i ds u p e r s t r i n gi na na d 为妒b a c k - g r o u n dw i t hr - rf l u x f u r t h e r m o r e ，w eg i v et h ee q u a t i o mo fm o t i o n ( e o u ) a n dt h e m a n r e r - c a r t a ne q u a t i o n s ( m c e ) ，a tt h e 蛐et i m e ，8n e wl i n e a xc o m b i n a t i o no f m c e a n de o mi sa l s om a d e b yt h ed e f l n a t i o no ft h eh o d g es t a ra b o u tt h eb o s o n i ca n d f e r m i o n l ec u r r e n t s tr e s p e c t i v e l y , i ti ss h o w nt h a tt h e r ee x i s t 88t w i s t e dd u a l i t y 玛巾 m e t r yb e t w e e nm c ea n de o m f i n a l l y , f r o mt h et w i s t e dd u a l i t yt r a n s f o r m a t i o n 雠 c o n s t r u c tt h el a xc o n n e c t i o nw i t ht h es p e c t r a lp a r a m e t e ra n dt h em o n o d r o m ym a t r i 兑 i nt h ef o u rc h a p t e r t h em a n i f o l da d s a s 3c a nb ed e s c r i b e da st h eg r o u pm a n i f o l d s v o ，1 ) s v ( 2 ) b yt s tt r a n s f o r m a t i o n so i l 铲a n da d s ar e s p e c t i v e l y , w ed e r i v et h e s t r i n ga c t i o ni n - d e f o r m e da d s 3 s 3b a c k g r o u n d s a c c o r d i n gt ot s tt r a n s f o r m a t i o n s ， w ec a nd e r i v et h el o c a ll a xc o n n e c t i o n sa n dt h em o n o d r o m ym a t r i c e si n7 - d e f o r m e d b 诎f o u n d bg e n e r a t e dt s tt r a n s f o r m a t i o n so na d s 3a n ds 3w h i c he n s u et h ec l a s s i c a l i n t e g r a b i l i t i e so ft h es t r i n gt h e o r i e s i nt h ef i v ec h a p t e r ，t h eg r o u pm a n i f o l ds l ( 2 ，r ) i sl o c a l l yi s o m o r p h i ct os v ( t ，1 ) ， t h em a n i f o l da d s 3c 孤a l s ob eu n d e r s t o o d 硒t h eg r o u pm a n i f o t ds l ( 2 ，r ) ，t h e nt h e h p r o c e s so fc o m p u t a t i o n si nt h e l a s tc h a p t e ri sr e p e a t e d ，w ea l s od e r i v et h el a xc o l d i e t - t i o ni n - y d e f o r m e db a c k g r o u n d sg e n e r a t e dt s tt r a n s f o r m a t i o no na d s 3 i nt h es i xc h a p t e r ，w er e v i e wt h ec o n s t r u c t i o no ft h ei n f i n i t es e to fn o n - l o c a l c o n s e l w e dc u r r e n t sf o rs i g m am o d e l b yt h eb i z zp r o c e d u r ea n di n v e r s eb i z zp r o c e d u r e f u r t h e r m o r e ，w eg e n e r a l i z et h eb i z zp r o c e d u r ea n di n v e r s eb i z zp r o c e d u r e ，a n dt h e i n f i n i t es e to fn o n - l o c a lc o n s e r v e dc u r r e n t sf o rw z wm o d e li sc o n s t r u c t e d k e y w o r d s ：s u p e r s t r i n g ，g r e e n - s c h w a r zs u p e r s t r i n g ，h y b r i ds u p e r s t r i n g ，t w i s t e d d u a l i t ys y m m e t r y , t s tt r a n s f o r m a t i o n ，3 , - d e f o r m e db a c k g r o u n d s ，l a xc o n n e c t i o n ，n o n - l o c a lc o n s e r v e dc u r r e n t s ，i n t e g r a b i l i t y i i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待 学位论文作指导教师签名：乓南高 多。7 年占月日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：彩l 、j ，寺 2 0 。7 年0 月7 由 1 第一章引言 1 ，1 弦理论 用统一的理论来描述自然界的四种摹本丰h 互作用是人们长期追求的目标，超弦理 论【1 ，2 1 ( 或m 理论) 是迄今为止最有希望能将四种基本相互作用统一起来的理论因此 在最近几十年，这个领域一直是全世界理论物理学家所关注的热门课题! 爱因斯坦建立相对论之后自然地想到要统一当时已知的两种相互作用：万有引力 和电磁力他花赞了后半生近4 0 年的主要精力去寻求和建立个统一理论，但未能取 得成功。现在，已知自然界中总共有四种基本相互作用而且在建立统一理论方面己取 得非常大的成功。粒予物理中的标准模型已经将除引力外的其余三种基本相互作用( 电 磁相互作用、弱相互作用和强相互作用】统一起来，并且取得了巨大的成功，它是迄今 为止最为精确的理论，然两标准模型驾不雉梅弓；力纳入它的理论框絮之中。 相对论和量子理论是现代物理的两大基石，广义相对论是目前为止描述引力最为 成功的理论，在小至太阳系，大至整个宇宙范围里。实验观测与理论很好地符合。但 在极端条件下。引出了时空奇异，显示了理论自身的不完善。就我们现在的认识水平。 量子理论和广义相对论是摺互不自洽的，因此量子理论和广义楣对论应该在一个更大 的理论框架里统一起来目前最有希望的候选者就是弦理论 一维的弦在d 维时空背景中运动时，弦会在时空中扫过一个二维的面，称为世界 面( w o r l d s h e e t ) 在世界面上，我们可以引入两个坐标参数r 和盯来插述它。弦在时空 中的运动可以看作将世界面n 口嵌入到d 维对空中，这里我f l ) 要求时空的维数d 满 足d 2 在弦理论中，反常相消的自治性条件限制了时空的维数对玻色弦理论而 言，对空豹维数是2 5 维磊对予超对称弦理论，要求时空筋缝数是l o 维。 玻色弦理论可以看作是标准的二维场论研究二维场论我们通常采用非线性口模 型的描述方法。这时，时空中豹坐标刀看成足世界面上的标量场。 一 我们知道十维的超弦理论，有五种不同自洽的理论形式，它们分别是：i 型超弦，i i a 型 超弦，l i b 型超弦、玛9 历杂化弦以及( 3 2 ) 杂化弦这些不一超弦理论可以用对偶 性建立起相互联系，在弦论的第二次革命时，w i t t e n 系统的研究了对偶性，说明这五 种超弦理论都可统一在十一维的m 理论巾 超弦理论成功地解释了( 极端) 黑洞的熵和辐射，这是第一次从微观理论出发，利 用统计物理和量子力学的基本原理，严格了导出了宏观物体黑洞的熵和辐射公式，利 用d - b r a h e 对黑洞熵的计算，是# 8 s t r o m i n g e r 和v a f a 等人在1 9 9 6 年完成的【3 1 超弦理论 对黑洞熵的计算利用了”强弱对偶性”，即在具有一定超对称的情形下，超弦理论中的 某些d - b r a h e 状态数在耦合常数的强弱对偶变换下保持不变。利用这种对称性，处于强 耦合下原本难于计算的黑洞熵可以在弱耦合极限下进行计算。在弱祸合极限下与原先 黑洞的宏观性质相一致的对应状态被证明是由许多d - b r a h e 构成，对这些d - b r a h e 状态 进行统计所得到的熵和b e k e n s t e i n - h a w k i n g 公式完全一致，这是超弦理论最具体的理 论验证之一，部分的说明了超弦理论是一个关于引力和其他相互作用力的正确理论 弦理论作为一种大统一的理论，经过许多理论物理学家的努力，已经取得了非常 大的成就。但是，由于其理论自身的复杂性( 高度非线性) ，因此我们对弦理论的认识还 是很肤浅的要达到终极理论的目标，我们还将存一段很长很长的路要走。 1 2a d s c f t 对应 1 9 9 7 年，m a l d a c e n a 提出的a d s c f t 对应【4 】，指出五维的a d s 时空中的l i b 超弦理 论，可以等价的用在a d s 边界的四维时空中具有共形对称性的 厂= 4 的超对称y a n g - m i l l s 规范理论来描述存在这种对应性一个最为直接的证据就是两种理论都有相同的 超群s v ( 2 。2 1 4 ) 我们也可以从另外的一个角度来说明这两种理论会存在等价性。l i b 超弦理论中d 3 膜在其视界附近的几何就是a d s 5x 妒n 个重合d 3 膜上的场论是 厂= 4 的u ( n ) 超对 称规范理论在规范理论中，耦合常数为g y u ，t h o o f t 常数为a = g y i t n 当a d s s 与铲的半径均为r 时，有 印= 4 1 r g , n c l 璧( 1 2 1 ) 这里m 为弦的耦合常数，d 为r e g g e 斜率当n 很大时，a d s 5 铲的曲率很小，此时的 超弦理论为微扰弦理论它对应的超对称规范理论是一个强耦合理论这两种理论的 耦合常数之间的关系为： a = 等= 盯m 4 弛= 峁m ( 1 2 2 ) 2 这里a 为t h o o f t 耦合常数，g y | i f 是规范场的耦合常数，r 是a d s s 和铲的半径，函为超弦 的耦合常数。这说明，强耦合的超对称规范理论对应于一个弱耦合的超弦理论 然而由于弦理论和规范场理论描述的不同，要给出a d s c f t 对应的直接证明是非 常困难的但在b m n 极限下【5 】，a d s c f t 对应已经得到比较好的证实在弦理论方 面，经典和量予韵可积性对研究a a s c 胛对应起着非常重要的作用，本篇学位论文的 主要精力就是研究a d s 时空及1 一形变的a d s 时空中超弦的可积性 1 3a d s 背景下的超弦 首先，我们介绍超弦的三种不同的描述方法其中两种标准的描述方法分别为： g r e e n - s c h w a r z ( g s ) 超弦模型【6 7 】，n e v e u - s c h w a r z - r a m o n d ( n s r ) 超弦模型【8 】，以及 最近由b e r k o v i t s 提出的混合描述超弦。 g r e e n - s c h w a r z 超弦的描述方式，是直接在十维时空引入费米子，而超弦的世界 面仍然是一个玻色的= 维面，这样，时空的超对称性自然满足虽然在弯曲时空中构 造g s 超弦的作用里是很容易的，但是由于局域的尤对称性的存在，我们不能把费米部 分的第一类和第二类约束区分开来的，所以对g r e e n - s c h w m z 超弦进行协变量子化是非 常困难的 超对称的另外一种引入方式是r n s 超弦模型，特点是在二维面上( 弦的世界面) 引 入超对称，费密场量在十维的时空中表现为玻色量的性质。因为r n s 超弦的作用量在平 空间中是自由的，因此它是很容易协变量子化的。虽然r n s 超弦存在漂亮的 厂= 1 的 世界面上的超对称，但是时空的超对称却很难验证的进一步，我们不知道怎么利 用r n s 方式来描述带r o m a n d - r o m a n d 荷的超弦 几年前，b e r k o v i t s 提出一种新的结合g r e e n - s c h w a r z 和n s r 描述的优点超弦的描 述方式，因此，被命名为超弦的混合描述这种新的混合描述超弦被研究在a d s 2 妒背景【9 1 0 1 ，a d & 伊背景【1 l ，1 2 ，1 0 】，在a d s s 妒背景中的纯旋量的描述出现 在【1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 】像g s 超弦一样，这种混合描述或者纯旋量的描述的超弦把时空的变 量作为基本场，对r o m a n d - r o m a n d 场来说，具有简单的顶角算子；也像r n s 超弦。它 的作用量在平空间是自由的，因此量子化也是直接的该描述的作用量破坏了一对称 性，取而代之，在十维空问中满足b f l s t 不变性，在四维和六维中满足 厂一2 世界面 上的超共性不变性进一步，文献【4 1 1 中，在量子情形，纯旋量超弦的作用量仍然保 3 持b r s t 不变性。 再者。j 4 d s 5 s 6 背景下的i i b 超弦理论，由于背景中含有r a m o n d - r a m o n d 四阶 反对称张量场a ，用超弦的r n s 形式来描述是非常困难的1 1 9 】，而采用具有明显时空 超对称的g s 超弦的形式是比较方便的1 9 9 8 年m e t s a e v 和t s e y t l i n 【2 0 利用陪集的方 法，是将玻色的世界面嵌入到陪集超空间嘉罱5 鲁中，超空间的玻色坐标是1 0 个， 费密坐标是3 2 个利用陪集构造出a d s s s 5 背景下运动的g r e e n - s c h w a r zi i b 超弦的 作用量。此模型可以看作是一个在陪集菇罱5 ；上，含有w j 附z u m i n 0 _ w i t t 项的 二维非线性口模型。它在取平直极限时就回到1 0 维闵空间的g r e e w s c h w a r z 超弦的作用 量 2 t 1 此模型不仅具有整体p s v ( 2 ，2 1 a ) 超对称性，同时还具有超弦世界面上局域的 超对称性k 对称性 在这之后，陪集的方法被广泛应用，并且构造出其它的i l 缶界弦模型，其中包括a d s 3 x s 3 【2 2 ，2 3 ，刎及a d s 2 s 2 【2 5 ，2 6 1 背景下运动的g r e e n _ s c h w a r 互i i b 超弦等，这些背景 基本上都是1 0 维超引力d 膜解在视界附近的时空下面我们列出几种常见的a d s 背景 及其对应的d 膜位形和陪集： a d s 背景d 膜位形超陪集 a d s 5 s 5d a p s u ( 2 ，2t 4 ) s o ( 4 ，1 ) s o ( 5 ) p s u ( 1 ，1 1 2 ) 2 a d s 3 伊d 1 d 5 s o ( 2 ，1 ) x s o ( 3 ) a d s 2 铲 d o d 4 p s u ( i ，1 1 2 ) s o ( 1 ，i ) x s o ( 2 ) 还有很多非临界超弦理论的陪集模型被建立，例如舢岛s 1 【2 z ，a d 岛s 1 【2 8 1 a d s 2 和a d & f 2 9 等背景下运动的g r e e n - s c h w a r zi i b 超弦。 4 第二章a d s 背景下g r e e n - s c h w a r zi i b 超弦的可积性 4 溉妒时空是d = 1 0 ， 厂= 2 的l i b 超引力理论中具有最大对称性的解之一 由于背景中存在着r a m o n d - r a m o n d 形式场，在此背景下的l i b 超弦作用量的r a m o n d - n e v e u - s c h w a r z ( r n s ) 形式非常复杂。一种比较方便的作用量形式是采用g r e e n - s c h w a r z ( c s ) 形式。m e t s a e v 和t s e y t l i n1 2 0 】利用超陪集的方法，是将玻色的世界面嵌入到碚集 超空间未翟；中，构造出a d 兔驴背景下运动的g r e e n s c h w a 穆i i b 超弦的作用 量 最近几年，a d s 背景下运动的g r e e n - s c h w a t zi i b 超弦的的可积性被许多作者讨 论过印，3 l ，3 2 ，3 3 】等。比较早的工作【3 4 1 ，通过把s 5 部分看作s o ( 6 ) 4 线性的s 晒m 模 型，g r e e n - s c h w a r , zl i b 超弦的经典可积性和非局域守恒荷被提出对非对称的陪集 超空间甄i 瓦g u i f 2 i , 2 瑟4 b ，b e n a - p o l c h i n s k i - r o i b a n 【3 5 1 发现a d s 5 s 5 背景下g r e e n - s c h 删l r z i i b 超弦的的无穷守恒流，它保证系统的可积性，在文献f 3 q ，作者利用扭曲的对偶交 换，构造出带谱参数的l a x 联络本文，我们把超弦的作用量写成超迹的形式( 利用的 是超群的基础表示) ，然后和用扭曲的对偶变换，构造出系统的无穷守恒流 在本章中，结构如下：我们首先介绍z 4 阶化的李超代 l 受p s u ( 2 ，2 1 4 ) ：给出在a d & x 铲背景下的g r e e n - s c h w a r zi i b 超弦的的作用壁；最后我们利用扭曲的对偶变换，约逢 出该超弦的l a x 联络以及m o n o d r o m y 矩阵 2 1 毛阶化的李超代数p s “( 2 ，2 1 4 ) 李超代数蛳( 2 ，2 1 4 ) 砒a 用8 8 的超矩阵肘来描述； 肚a 丢) “， 该超矩阵的每个部分是4 4 分块矩阵，其中a 和d 是g r a 鹧m a n n 偶的，面x 。y 是g r s a s m a n n 奇的必须要求超矩阵m 的超迹消失，e p g t r m = t t a t r d = 0 。还必须满足下面的 条件： h m + m f h = 0 5 ( 2 1 2 ) i 是4x 4 的恒等矩阵由于日的选择，玻色部分朋订d 分别属于代数t ( 2 ，2 ) 和t ( 4 ) ，条 件( 2 1 2 ) 表明费米矩阵x 和y 满足下面关系式： y = 一x t ( 2 1 5 ) 李超代数s u ( 2 ，2 1 4 ) 的玻色部分是由下面的代数组成： 托( 2 ，2 ) 园s u ( 4 ) o 姐( 1 ) ( 2 1 6 ) 但由于其中t i ( 1 ) 部分是由给出，与其余的代数元的对易关系为零所以，可以把这个 恒等代数元去掉，它还是形成封闭的李超代数，这个代数就记为p 蹦( 2 ，2 1 4 ) ，而这个代 数没有8 8 的基础表示 我们定义自同构，m f t ( m ) 。q ( m ) 满足： q c 炉ik a t k k d t k ) ， 协 ， 在这里，a 是矩阵a 的酱通转置，4 4 矩阵k 的满足j f 2 = 一，并取， 6 因为= 1 ，n 的本征值是护( 其中p = 0 ，1 ，2 ，3 ) 因此，蜀阶化的李超代数3 t ( 2 ，2 1 4 ) 能j 表示超矩阵m 可以被分解为： m ：胪+ m 2 + 材1 + m a 、_ 、，- ，、- - 、，一 e v e n o d d 这里， ( 2 1 1 0 ) i m n ，m j 咒”【m o d4 ) l 1 1 ) 必须指出的是 f o = s o ( 4 ，1 ) xs d ( 5 ) 予代数，q ( 7 _ f o ) = f o 形是李超代数s u ( 2 ，2 1 4 ) 的 其它的玻色代数元；氕1 和卯是为李超代数的费米代数元。 由表达式( 2 1 9 ) ，矩阵m p 的具体表达式： 胪= j + f l ( m ) + n 2 ( m ) + f l a ( m ) ) 二；( 从鬣。+ 昙j 江u 。， 彬= ；( m q ( m ) + n 2 ( m ) 一舻( m ) ) = ；( a 一：k 。一三。k ) ， ( 2 土- 。， m 1 = ；( m i q ( m ) 一舻( m ) + i q 3 ( m ) ) = ；( y 一；：x 。xx + 芋y k ) ， c z 工，t ， m 3 = ；( 肘+ l o ( m ) 一舻( 肘) 一艘( 肘) ) = ；( y + ；：x 。kx 一：p k ) c z 上t s ， 进一步。可以把超矩阵m 写成g r a 镕m a j l n 偶的韶分和g r a m n 裔的部分： m = f 0 。+ ， 红。= 因此，m 也可以写成下面的形式： 肘o ( a 。三) ，= ( ：言) ， ；( + 蚝娲) ， m 2 = ；( 一蚝屹砥) ，( 2 1 1 6 ) ；( + t 冠屹砥) ，m 3 = ；( 一t 忍配) ，( 2 - 1 7 ) 7 拖和瓦定义为： 讯= ( 苫三) ，氟= ( ：二) 2 2a d s sxs 5 背景t g r e e n - s c h w a r zi i b 超弦的作用量 在a d s sxs 5 背景下运动的超弦可以被表述为非线性盯模型，它的靶空间是下面的 陪集： p碉su(丽2,21雨4)so(4 s o ( 5 ) ( 2 川 ，1 ) x 。 李超代数p s u ( 2 ，2 1 4 ) 对应的超群p s u ( 2 ，2 4 ) 是a d s s s s 超空问的等长不变群超弦的 作用量是由非线性盯模型加上拓扑的具有k 对称性f l c j w e s s - z u m i n o - w i t t e n 项 由超群p s v ( 2 ，2 1 4 ) 的群元g ，构造下面的左不变流： ，= g - x d g = 蟛+ 比 ( 2 2 2 ) o 、，o 一_ ，_ 一 # n e a o d d 在( 2 2 2 ) 中2 是玻色流。j 1 ，3 是费米流。在a 溉xs s 背景下g r e e n s c h w a r zi i b 超弦 的作用量可以写成为： 2 0 ，3 3 1 只懈= 一；颤厂铲船t r o 筇露瑶+ ，c e o f l 。1 。，3 ) ， ( 2 2 3 ) 它是动能项和w e s s - z u m i n o - w i t t e n 项之和。筇对称性要求蓐= 圭l ，1 2 兰e r o - = 1 。 卵= v , - 可9 , j ，为简单起见，由于共型规范的存在，我们固定世界面的度规为：7 卵= 击凹( 一1 ，1 ) 利用光锥坐标红= ，- 4 - 盯，以= ( 西4 - 国) ，在a d s 5 s s w j 曩t g r e e n - s c h w a r z l i b 超弦的作用量( 2 2 3 ) 可以进一步写成为： s a s = 萨一i ；s t r ( 肆j 三) + i 1 ，c ( s t r ( j 兰4 ) 一s t r ( 肆卫) ) 】， ( 2 - 2 4 ) 这里令、x = 1 ，下面我们只考虑k = l 时的情形该作用量是p s ( ，( 2 ，2 1 4 ) 俐， 在局域的s o ( 4 ，1 ) xs d ( 5 ) 变化下，作用量也是规范不变的 对群元9 变分幻= g s x ，因此流j = g - t 由的变分为： 6 j = 一g - 1 5 9 9 - 1 以9 + 擘“赴妁= 魂6 x + i 以，6 硼( 2 2 5 ) 8 为了得到流j 呈( p = o ，1 ，2 ，3 ) 的变分，可根据( 2 2 2 ) ，把6 x 分解为疆= 6 x 柳+ 6 x 1 + s x ( 2 ) + 6 x ( 3 ) ，6 x p p 。因此可以得到： 6 理= a 士6 x o + 【皿，6 x o l + 【丑，5 x 3 】+ 【置，6 x 2 】+ 【礁，6 x 1 1 ， 6 正= o 6 x 1 + 【礁，6 x 1 1 + 【礁，6 x o 】+ 【礁，6 x 3 】+ 【礁，6 x 2 】， 6 礁= 赴6 x 2 + i 埋，6 x 2 l + 【礁，5 x 1 】+ 【礁，6 x o 】+ 【礁，腿3 】， 6 礁= 赴疆3 + 【理，6 x 3 】+ 【以，6 翻+ 【礁，6 x 1 1 + 【j 呈3 ，5 x o 】 ( 2 2 6 ) 根据以上结果，对g r e e n s e h w a r zi i b 超弦的作用量( 2 2 4 ) 进行变分，即可得到运动方 程： d + j 兰一d 一只= 一【肆，j 三】+ 3 【辟，正】， d + 卫一d 一肆= 一【置，j 兰1 + 3 【肆，j 竺】， d + z + d - 正= 【蠢，卫1 一【肆，z 】 这里，d 士= 以+ 【埋，j 由于该李超代数是五阶化的，流厶可以分解为： ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 4 = 肆+ 卑+ 肆+ 肆， 正= 肥+ 卫+ 卫+ j 兰 ( 2 2 1 0 ) 利用( 2 1 1 1 ) 和( 2 2 1 0 ) ，m a u r e r - c a r t a n 方程外正一a - 4 + 【4 ，l 】= 0 可以写成为： a + z a - 肆= 一【肆，z 】一【肆，z 】一【辟，j 三】一l 肆，正】， ( 2 2 1 1 ) d + 卫一d 一霹= 一【以，j 三】_ 【辟，卫】， ( 2 2 1 2 ) d + 正一d 一砖= 一【辟，z 】_ 【肆，三l ， ( 2 2 1 3 ) d + z d 一毋= - 【肆，卫】一【肆，z 1 。 ( 2 2 1 4 ) 2 3a d 岛s 5 背景t g r e e n - s c h w a r zi i b 超弦的可积性 为了构造扭曲的对偶变换，首先，必须定义玻色流的h o d g e 对偶，其中，世界面上 的坐标为x p = x ”( r ，力， 乃= 俪镰以 ( 2 3 1 ) 9 这里，趵= ( ：) ，t ，= c l 口，和e ：= 一e ：，= 一e 1 2 = e 2 1 = - 进一步，可以 很容易得到： 3 r = g l # n3 0 = 3 0 * d o = 勃c 2 1 = 五( 2 3 2 ) 值得注意的是，h o d g e x ：j 偶变换只适用于玻色流j 2 ，而j 0 在h o d g e 对偶变换下是不变 的 根据候伯字等人的文章1 3 1 ，对于流刀( a ) o = r ，盯) ，可以引入一系列扭曲的对 偶变换： 刀( a ) = i f ， 刀( a ) = i ( a + a 一2 ) 露+ 抄一a 一2 ) 砰， 刃( a ) = a 毋， 刃( ”= r 1 霹， ( 2 3 3 ) 在这里，我们很容易验证刀( a ) ，刃( a ) ，刃( 砷a n d 斧( a ) 满足上边的m 8 u r e r c a r t 肌 方程( 2 2 1 1 ) 、( 2 2 1 2 ) 、( 2 2 1 3 ) 和( 2 2 1 4 ) 根据上述的扭曲的对偶变换( 2 3 3 ) ，我们构造出含有谱参数的l a x 联络： k = 更+ 更七文七文 = 刀+ ；( 酽+ r 2 ) 砰+ ；( 铲一a 一2 ) t 嚣+ a 嚣+ a 一1 霹， ( 2 3 4 ) 它等价于： a + ( a ) = 肆+ 妒鼻+ a 4 + a - 1 肆， a 一( a ) = 艘+ a - 2 j 三+ a 卫+ a - i z ( 2 3 5 ) 很明显，l a x 联络a 士( a ) 满足可积系统的相容性条件( 或者说是零曲率条件) ： a + a 一一a a + + 【a + ，a 一】= 0 ( 2 3 6 ) 进一步，利用l 戤联络( 2 3 4 ) 或者( 2 3 5 ) ，可以构造出m o n o d r o m y 矩阵? ( a ) ， t ( a ) = p e x p 一j c 屯( a ) 由) ( 2 卸 ，打 由标准的方法【3 5 ，3 7 ，3 8 ，3 9 ，从超弦的l a x 联络和m o n o d r o m y 矩阵出发，可自然的构 造出无穷的非局域守恒荷，因此可以保证系统的经典可积性。 2 4 小结与讨论 本章中，我们采用的是利用超迹描述的超弦作用量，并写成光锥坐标下等价的作 用量形式；进一步，利用候伯宇等人【删提出的扭曲的对偶变换， ；导到a d s 5 s s 背景 下g r e e n - s c h w m zi i b 超弦的带有谱参数的l a x 联以及m o n o d r o m y 矩阵，因此a d & s 5 背景下g r e e n - s c h w a r zi i b 超弦至少在经典意义下是完全可积的 值得指出的是，本章所用到的超弦作用量的超迹的描述形式，以及扭曲的对偶变 换可以直接推广到其它的临界弦模型，例如，a d s 3 s 3 和a d s 2 妒背景下的g r e e n - s c h w a r zi i b 超弦，而对于非临界弦模型，也值得我们去研究另外，g r e e n - s c h w a r z l i b 超弦的k 对称性要求k = 4 - 1 ，本部分只考虑了k = l 时的超弦，而对于k = - 1 时超 弦的l a x 联络和m o n o d r o m y 矩阵，也是一个有趣的课题 第三章a d s 背景下混合描述超弦的可积性 最近，b e r k o v i t s 提出一种结合g r e e n - s c h w a r z 和n s r 挂i 述的优点超弦薪的描述方 式混合描述文献【9 ，1 0 1 给l t a d s 2xs 2 背景下混合描述的超弦，a d 畏s 3 背景下出 现在【1 1 ，1 2 ，1 0 l ，而a 蕊xs 5 背景下的纯旋量的描述被研究【1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 1 。 超弦的这种混合描述或者纯旋量描述是对超弦进行协变量子化的有意思的方案， 因此也引起了广泛的兴趣而它的可积性研究也有很多的报道f 4 0 ，4 1 ，4 2 ，4 3 】等本章 的研究主要参考文章【4 3 】，对a d 岛s 2 背景下运动着的混合描述超弦的经典可积性进 行研究 本章包括三个部分：首先，给出在a d s 2xs 2 背景下运动着的混合描述超弦的作 用量；通过定义玻色流和费米流的h o d g e 对偶，我们发现m c e 和e o m 之间存在扭曲 的对偶对称性；最后，根据构造的扭曲的对偶变换，可以得到该超弦的l a x 联络以 及m o a o d r o m y 矩阵 3 1a d s 2x 铲背景下混合描述超弦 在a d s 2 s 2 背景下运动的超弦可以被表述为非线性盯模型加上拓扑的w e s s - z u m i n o - w i t t e n ( w z w ) 项，它的靶空间是下面的陪集：【9 ，4 3 】 p s u ( 1 ，1 1 2 ) u ( 1 ) u ( 1 ) 李超代型k p s u ( 1 ，1 1 2 ) 对应的超群p s u ( 1 ，1 1 2 ) 是a d 铲超空间的等长不变群 李超代数s u ( 1 ，1 1 2 ) 可以用4 a m 超矩阵来表示，这个超矩阵由对角的玻色矩阵和 斜对角的费米矩阵构成的。 。 肘= ( ：x d ) ， c s u ， 其中该超矩阵的每个部分是2 2 分块矩阵。a 和d 是g r a s s m a n n 偶的，而x 。y 是g r a s s m a n n 奇的该超矩阵m 必须要求超迹消失，r p s t r m = s t r a s t r d = 0 ，同时还必须满足下 面的条件： h m m t f l = 0 ( 3 。1 。2 ) 日= o s n 怕， 是蜊矩阵，i 是相应的2x2 的恒等矩阵。条件( 3 1 2 ) 表明： a = - u s