（应用数学专业论文）一类差分方程的周期解与次调和解.pdf

摘要 本文研究一类二阶非线性差分方程周期解与次调和解的存在性与多重 性。第二章首先讨论了渐近线性情况下周期解的存在性，其次，把非线性项 在超线性情况进行了推广得到一个周期解，接着把比r a b i n o w i t z 意义下次线 性更弱的次线性条件进行推广，得到一个周期解。本文的一个主要结果是在 非线性项渐近线性的条件下，得到方程周期解的多重性，把泛函对应的矩阵 的特征值与方程周期解个数之间联系起来。第三章讨论了非线性差分方程次 调和解的存在性。通过运用个有效的估计泛函能量的技巧，得到了差分系 统次调和解存在性的几个充分条件。应用到单摆方程中，得到单摆方程次调 和解存在性的一个充分条件，改进了已有文献中结果，得到的充分条件更好 验证。 关键词 非线性差分方程：周期解；次调和解；环绕定理：临界点 a b s t r a c t t h i sp a p e rm a i n l yc o n c e r nw i t ht h ee x i s t e n c ea n dm n l t i p f i c i t yo fp e r i o d i ca n d s u b h a r m o n i cs o l u t i o n sf o rac l a s so fn o n - l i n e a rs e c o n d - o r d e rd i f i e f e n c ee q u a t i o n s i n c h a p t e r2 s o m es u f f i c i e n tc o n m t i o n sa r eo b t a i n e df o rt h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o - l u t i o n so fa s y m p t o t i c a l l yl i n e a rs e c o n do r d e re q u a t i o n s e c o n d l yw ei m p r o v es o m e k n o w nr e s u l t su n d e rt h ea s s u m p t i o n so fs u p e r l i n e a ra n d g e to n es o l u t i o n f o l l o w i n g ， s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s w h i c ha r ew e a k e nt h a ns u b l i n e a ri nt h es e n s eo fr a b i - n o w i t z a r eo b t a i n e df o r t h ee x i s t e n c eo fo n ep e r i o d i cs o l u t i o n o n em a i nr e s u l ti s t h a ts o m es r f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h i c ha r ea s y m p t o t i c a l l vl i n e a r , a r eo b t a i n e df o rt h e e x i s t e n c eo fm u h i p l i c i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n s a l s ow ea s s o c i a t et h ee i g e n v a l u e so f t h em a t r i xo ff u n c t i o n a lw i t ht h en u m b e ro fp e r i o d i cs o l u t i o n s i nc h a p t e r3 s o i n c s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e df o rt h ee x i s t e n c eo fs u b h a r m o n i cs u l o t i o n so fn o n - l i n e a r d i f f e r e n c e e q u a t i o n b y e m p l o y i n g a n e f f e c t i v e t e c h n i q u e t o e s t i m a t e t h e e n e r g y o ft h es u b h a r m o n i cs o l u t i o n s ，s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fs u b h a r - m o n i cs o l u t i o na r eo b t a i n e d a p p l y i n gt ot h ep e n d u l u me q u a t i o n ，s o m es u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r t h e e x i s t e n c e o f s u b h a r m o n l cs o l u t i o n s o f p e n d u l u m d i f f e r e n c es v s t e m a r eo b t a i n e dw h i c hi m p r o v es o m ek n o w nr e s u l t si nt h el i t e r a t u r e a l s o ，t h ec o n d i t i o n s mo u rp a p e ra r ee a s yt oc h e c k k e y w o r d s n o n d i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ；p e r i o d i cs o l u t i o n ；s u b h a r m o n i cs o h - t i o n ；l i n k i n gt h e o r e m ；c r i t i c a lp o i n t 一一 广州大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引 用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰 写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。 后果由本人承担。 学位论文作者签名：琦雩珥 本人完全意识到本声明的法律 日期：2 叼年占月毋日 广州大学学位论文版权使用授权书 本人授权广州大学有权保留并向国家有关部门或机构送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权 广州大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇 编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 导师签名： 嚣铹 卸硼 日期：娜年；月pe t 日期：了啤年月谭日 1 1 历史背景 第1 章绪论 单摆方程的研究最早可以追溯到四百多年以前。大约在公元1 6 0 0 年前 后，伽利略对运动理论进行了研究。他研究两点之间自然下落的最速路径问 题，成功地发现了“弦定理”，即一个物体从竖直圆一l - 任意一点沿弦下落到 最低点的时间相等。在弦定理被发现以后，伽利略就进一步得出两点之间沿 弧线比直线下落更快的结论。这个证明不是很严格，但是却把伽利略引导到 单摆实验。通过单摆实验建立了单摆方程一一个二阶非线性常微分方程。 单摆问题的提出激发了数学家的兴趣，他们努力地探讨这类非线性方程 的周期解。最初数学家们通过线性化得到一个近似的常微分方程，然后再求 近似方程的周期解。二十世纪初，a i l b e r t 弓i 进了计算变分问题的直接方法，“ 可以直接计算某些泛函的极值。基于这个思想，h a m e l 在1 9 2 2 年发表了一篇 文章，给出了无阻尼强迫单摆方程周期解存在性的一个充分条件，参考文 献【2 】。文章里，作者还把单摆方程推广到强迫项平均为零的周期函数上，得 到类似的结论。在文章的第二部分，作者通过r i t z 法找到了一个与周期解近 似振幅的解。此后，数学家们发表了一系列关于单摆类方程周期解的文章， 得到了周期解存在性的许多充分条件。 周期解存在性的充分条件的给出并不意味对单摆方程研究就结束。 在1 9 7 2 年，f u 6 i k 在他的专著里提到：最后，我们将介绍一些获得数学摆方程 周期解存在性的一些结果。这些结果并不意味着是单摆方程的最终完成，因 为单摆方程周期解存在性的充要条件还没有得到，参考文献【3 】。在f u 6 i k 的 引言的推动下，八十年代初期，c a s t r o 、d a n c e r 和w i l l c m 重新引进变分方法 来研究强迫摆动方程。通过山路引理，到得单摆方程的两个周期解。此后， 数学家们开始思考使得方程有周期解的右端函数的集合的性质、以及这个 集合里面的元素的性质。研究的方法是各种各样，包括p o i n c a r 6 保面积映射 法、l y a p u n o v s c h m i d t 约化法、上下解法、拓扑度理论以及临界点理论。 对于标准的强迫振动方程 矿+ c 矿+ a s i n y = h ( t ) 广州大学理学硕士学位论文 非线性算子茄+ c 岳+ a s i n ( ) 在二次连续可微的周期函数空间上的值域是闭 的。右端函数平均值在非线性算子值域当且仅当方程至少有一个周期解；右 端函数平均值在非线性算子值域所包围的开区域时，则方程至少有二个周期 解；非线性算子值域退化成一点时，方程至少有一个周期解。在这个方向， 还有一些未解决的公开问题，例如，从非线性算子值域内找一个具体的元 素；证明使得使算子值域不退化的平均为零的右端函数的集合是否是连续 的周期函数空间中的一个开的、稠密集等。对于能量保守的振动方程，算 予旷+ o s i n ( y ) 的正规值是平均为零的连续的周期函数空间的开的、稠密集， 而且右端函数与正规值集合中的菜一点之差魄范数小于一个任意正数时，单 摆方程就至少存在一个周期解。 上面阐述了标准振动方程周期解的存在性方面的结果，对于强迫振动方 程的研究远远不止这些情况。2 0 世纪八十年代初，强追振动方程成为混沌理 论的研究对象，参考文献 4 - 9 】。作为非线性方程定性理论和工程学的基础的 转动力矩的研究也有许多的成果，参考文献 1 0 ，1l 】。对于单摆型方程组如多 重强迫振动和高阶振动方程的研究，参考文献0 2 - 1 8 】。对于d i r i c h l e t 边值条 件的研究，参考文献 1 9 2 3 。 将无阻尼强迫振动方程差分化以后得到一个差分方程，再把得到的差分 方程推广到一般情况得到如下二阶差分方程 2 $ n l + ，( n ，z n ) = 0( 1 - 2 ) 郭志明教授和庾建设教授在2 0 0 3 年首次把临界点理论应用到差分方程的研 究，建立了方程( 1 2 ) 的变分框架，将方程( 1 2 ) 的周期解转化为某个泛函的临 界点，得到低维情况下超线性差分方程周期解的存在性的充分条件，参考文 献 2 4 】。应用变分框架研究高维次线性二阶差分方程及超线性h a m i l t o n 系统的 周期解，参考文献 2 5 ，2 6 。应用变分框架研究偏差分方程的边值问题，参 考文献 2 7 】。应用变分方法和结合环绕定理，研究4 阶以及2 n 阶差分方程，参 考文献 2 8 ，2 9 ；研究任意大于一阶非线性差分方程，可以参考文献【3 0 1 ；研 究变位势的h a m i l t o n 系统，参考文献 3 1 】。应用极大极小方法和m o r s e 理论研 究无穷远处共振的渐近线性差分方程，参考文献【3 2 】。应用极大极小方法和 鞍点理论研究e m d e n f o w l e r 方程边值问题，参考文献【3 3 】。应用山路引理结 合对角线方法研究二阶菲线性差分方程次调和解和共宿轨的存在性以及二阶 自伴方程的同宿轨的存在性，参考文献 3 4 ，3 5 1 。运用一个三临界点定理研 一2 一 究具有不连续非线性项的二阶差分方程，参考文献 3 6 1 。 1 2 预备知识 本文中我们用n 、z 、r 分别表示自然数、整数与实数；a 表示向前差分 算子，定义为= 善n + 1 一正n ，a 2 z n = ( z ”) ，n n ，任取o ，b z 且a 6 记z a ，6 】= o ，+ 1 ，n + 2 ，6 ，z f n 】= o ，n + 1 ，o + 2 ) ；r n 表示维向量 空问，是正整数：a - 1 表示矩阵a 的逆矩阵；t 是矩阵或向量的转置符号。 通过讨论相应的e u l e r 方程来确定泛函的极值点是古典变分理论的主 要内容。根据对应泛函的临界点确定其e u l e r 方程的解则是近代大范围变 分法( 即临界点理论) 的基本目的。泛函的极值点是一类特殊的临界点， 通过研究泛函极值点求解微分方程，可以追溯到十九世纪末p o i n c a r 6 ( 1 8 8 7 ) 及h i l b e r t ( 1 8 9 8 ) 等人的工作。临界点理论包括极小极大理论、几何指标 理论与m o r s e 理论，其中极小极大理论是寻找泛函临界点非常有效的方。 法。在应用到具体的泛函时，往往涉及到在相应映射簇下不变集簇的哥 构造。具体地说，设x 是一个b a n a c h 空间，i ：x r 1 是一个连续泛 函，r 是x 的一个子集簇，圣是x x 的一个映射簇，且r 关于垂是不变的， 即v a r ，v 妒圣，i p ( a ) r ，令 。2 措。s u 。p m ) ， 如果一o o c 0 ，对于每一个满足i i ( z ) 0 芝a $ 3 z ，都有k o 使得，i 船。n 恐口； 亿) 存在e o b l n 为及常数危 p ，使得j l a 口0 并且 q 垒 ( x 1 ) o r e l o 2 ，使得对于任意的r ； 州啦) 芝p z 2 m ，班 。， 则对于任意给定的正整数p 0 ，方程0 - 4 ) 至少存在三个以肼为周期的周期 解，其中至少有两个是非平凡周期解。 在文献中【2 4 】，我们可以看到，对于方程( 1 4 ) 的周期解的存在性。不一定要 求方程右端函数是超线性的。由此，周展等又把文献中的条件改进，并且推 广到高维空间中，参考文献【4 0 】。 一，一 广州大学理学硕士学位论文 定理1 2 ：假设f ( n ，z ) 满足下列条件： ( f 4 ) 存在正整数m 3 ，使得对于任意的( 口，z ) z r m ，f ( n + m z ) = f ( n ，z ) ，f ( n ，z ) o ； ( f 5 ) 存在常数6 0 ，o t ( 0 ，1 一c ( 务) ) 满足f ( n ，z ) 口2 ，y z r r a ，i z l 6 ； ( f 6 ) 存在常数p o ，7 0 ，以及p ，当m 偶数时，p ( 2 ，o o ) ，当m 奇数 时，p ( 1 + c o s ( t r m ) ，o 。) 满足 f ( n ，z ) p l z l 2 7 ， v n n ， i z i p ； 则方程( 1 3 ) 至少存在三个以m 为周期的周期解，其中至少有两个是非平凡周 期解。 应用变分结构，郭志明教授还研究了次线性差分方程。在文献 2 5 中，作 者研究了高维次线性差分方程( 1 3 ) 得到了如下结果； 定理1 3 ：假设f ( n ，z ) 满足下列条件： ( f 7 ) f ( n ，z ) c 1 ( zxr m ，r ) 并且存在正整数m ，使得对于任意的( n ，z ) z r m ，f ( n + m ，z ) = f ( n ，z ) ； ( f 8 ) 存在正常数毋和a ，1 o l 2 满足对于任意( n ，z ) z r m ，i z i r 1 ，都 有 0 o ，口2 0 和7 ，1 0 ，方程( 1 - 3 ) 至少存在- - + p m - 周期解。 最近唐春雷等把r a b i n o w i t z 意义下的次线性条件推广到一个更弱的次线性条 件，参考文献 4 1 l 。 定理1 4 ：方程右端函数f ( n ，霉) 满足下列条件： ( f l o ) 存在正常数m 满足对于任意的( n ，功zxr m ，f ( n + tz ) = f f n ，z ) ； 一8 一 ( f 1 1 ) 存在正常数晒，j l 如，0 a 1 ， 满足下面条件： 一9 一 1 万 当 1 - 力 p m 嘲 n也 z ( f 1 8 ) 4 嘉 a 4 c 0 6 2 吾，当m 是偶数 的时候， 4 ，0 i z l 2 ，0 k ，有i ，( z ( 砷) i e 1 。 ( ，p ( ) ，z ( ) f e l 膨0 ( 2 3 ) 记妒b o ( 竹，：) = f ( n ，z ) 一；( a o o ( n 弦，z ) ，则有矽乞( n ，z ) = v f ( n ，z ) 一a 。( n ) z = o ( i z l ) 。对于任意的e 0 ，存在一个正常数尥 0 满足 l 妒0 ( 礼，2 ) l 0 记如( z ) = f ( 死，2 ) 一 ( 山( 托k z ) ，由假设( a 3 ) 管札 孙扣。 于是存在一个正常数p 满足对任意的r ， ls 岛i 如( ) l i ( a l 一 ) i n 任意z e ，恻l = p ， 盯m j ( x ) = ( m ，z ) 一 ( a 够。，) 一加( ) 月；lf l = 1 a l l l x l l 2 一 a ”i i z 0 2 一 ( a 1 一 ) | | z i l 2 ； ( a 1 一a ”) 恻1 2 令仃= ；( a 1 一) 矿，则有j ( z ) c r , v x 酷n a 廓。因此我们就证明 了g 盯 0 。与此同时，我们也验证了环绕定理中的条件m ) 。为了 应用环绕定理，我们只要验证忆) 。 对 岛，d v = 0 ， ，( t ，) = ( 历，t ，) 一f ( n ，) n = l m = 一f ( n ，) l 0 ， 于是茁e 净。下面，我们将使用环绕定理来证明另一个周期解的存在性。 由引理2 3 知，( 只s ) 条件成立。上面我们也验证了引理中的条件亿) 。 为了应用环绕定理，我们只要验证也) 令e a b l n 醋，t ，e o 和r r ，令z = r e + t ，。可以得到 m 了扛) = ；( m ，。卜f 国，) ：( 观霉) 一妻) 一m 五1 ( 如m ) ，)= ：( d 叩) 一) 一j ( 如m ) ，) 。t=l n = l ；( d r e r e ) 一娶m 互1 ( 如训卜w 一坛) s ：k r 2 一互1 ( _ c ) 薹( i 训2 ) + 腹m ：；k 户吒1 一e ) 薹咿奸地1 2 ) + 地m = ；k r 2 一( ；n 矿一( 一。2 + 坂m = ( ；a 。一；+ e ) r 2 一( ；一e ) o t ，8 2 + 贩m ( 2 - 6 ) 选取充分小的e o 满足( a 一一 + e ) 斛任 备二a q ，o ) 0 ，其中口= ( 百丽n 岛) o r e ：0 r o 这里， c = i n f _ m 。a v 墨j ( h ( x ) ) 而且r = 协a ，e ) ： i 砸2 御r 假设孑e 为泛函，对应于临界值c 的临界点，即t ，( _ ) = c 。如果苗i ，则定 理2 1 成立。否则，i ：虿。这时g = ，( 动= ，( _ ) = c ，于是就有 鉴了2 瓣搿州z ) ) ：型盔兰墨兰鎏圭兰鳖笙三 选取h 为恒等映射，即 = i d ，可以得到s u pj ( x ) = g 。由于 o 口 e 慨n 甜c q = ( 酝n 马) o 滗：0 r p ，对任意的z o q l ，j ( x ) 0 ，这里q 1 = ( 1 嚣n 玩) o 一r e ：0 r 0 ， 2 艇i n r f 。m a v x ，j ( ( z ) ) 并且 r l2 g ( 研，e ) ： i 瓤2 d ) 如果c ，则证明已经完成。否则，c = g ，s u p ，( z ) = g 一。由 z e q l 于，i a 。0 ，i a 。0 ，则，可以在q 1 和q 内部某一点达到它的最小值。但 是q n q l c e o ，而且t ，( z ) 0 对任意z e o 。因此存在一个临界点一e 满 肘茁而且，) = = g 。 口 接着，本文还将超线性的情况作了进一步的推广，得到了如下的结论： 定理2 2 ：假设方程( 1 3 ) 右端函数满足如下条件： ( a 4 ) 对于任意( 凡，z ) zxr m ，f ( n ，z ) o ； ( a d 存在常数k = 【警】一1 ，0 0 ，7 o ，p 0 ，当m 是偶数时，p ( 2 ，+ o o ) ，当m 是 奇数时，p ( 1 + o ( 击7 r ) ，+ o 。) ，对于任意n z ，h 仃，满足f ( n ，。) 芦2 一，y ； 则方程0 4 ) 至少存在一个非常数周期解。 为了证明定理2 2 ，我们考虑如下定义在向量空间e 上的泛函： m 妒( z ) = 由z 。1 2 - f ( n ，) 】 ( 2 7 ) n = 1 类似于上一节的讨论，我们可以把( 2 - 7 ) 式定义的泛函改写成： 妒( z ) = ；( a p x ，p x ) 一f ( n ，) n = 1 2 0 至：至旦塑璧墼立垄垒主兰茎垡 ：；( 眈，垆量跏川 ( 2 - 8 ) 显然，h q ( 2 - 7 ) 定义的泛函和由( 2 1 ) 定义的泛函之间有关系： 1 ；f ，( z ) = 一，( z ) 因此，泛函( 2 - 7 ) 第一部分与泛函( 2 1 ) 第一部分有相同的特征值，类似于上一 节的讨论，可以把向量空间e 进行相同的分解。 记 丫= m a x i f ( n ，z ) 一p l ：1 2 + ，y 1 ，l z ，i z i 矿l 3 1 = ，y + 1 由假设( a 6 ) f ( n ，z ) p i ：1 2 1 1 ，z z ，z r ， ( 2 9 ) 为了证明定理2 2 ，根据引理2 2 对空间e 进行分解，记u = o 易，k = 置黝，先来验证( p s ) 条件。 引理2 4 ：假设右端函数f 满足( a 6 ) ，则由( 2 7 ) 式定义的泛函满足( p s ) 条件。 证明：从e 任意选取序列 茁( 砷) 满足当膏一o 。，( z ( ) ) 一0 ，且存在常数q 0 ，对于任意的_ | c 引l 】，i j 0 忙) ) i a 。则对于任意的七z 【1 】， 一g 驯忙渺m ，) _ 喜跏删 s ；x , 一l l 棚1 2 一卢i 0 2 + 7 z m = ( ；a 一一硎l ) 1 1 2 + 7 z m ， 因此，我们得到 i i z ( k ) l i 2 够一；凡) 一1 m m + 白) 因为p a 。，所以 z ( ) 有界由于e 是有限维空间，于是 $ ( 。 在一个收 敛子列，满足( p s ) 条件。 口 定理证明：因为o o ，则，0 ) p 0 令 y 2 口+ 1 期， 其中t ，让【期置訇由( 2 9 ) 得 吵( 掣) = ；( d y ， m v ) 一f ( n ，鲰) ，i = l 一一，当m i o o 一2 2 一 由( a 5 ) 得 m 饥 m + n 油扛 由假设( a 4 ) 和( 2 - 9 ) 得 卿) = ；溉沪差跏，) t i = = 1 扣i i ”1 1 2 一卢o t ，1 1 2 + m 吖 = ( ；k p ) 胁u 2 + 饥m 饥 以对所有的t ， 令 a = 口：h r u ( y ：y e ，1 1 y 1 1 = r ， b = a 易n ，0 p 0 下证虿不是常数解。因为c o ，而对于任意z 局，d 1 ( a 4 ) 得 m 妒( z ) = 一f ( n ，) 0 ， 嚣= l 因此面不属于马，即虿不是常数。 口 本文的条件比文献【4 0 】中的条件要弱，因为在条件( a 5 ) 中，k = 1 就是文 献【删中的条件。 考虑差分方程( 1 3 ) ，次线性条件使得对应的泛函f ( n ，石) 上下无界，参考 文献 2 5 】。唐春雷给出了比r a b i n o w i t z 意义的次线性条件更弱的一个次线性条 件，并且证明了在这个意义下差分系统( 1 3 ) 有一个周期解，参考文献【4 l 】。 下面本文给出两个结果，第一个结果条件控制泛函有下界，另一个推广了唐 春雷文章中的结果。 定理2 3 ：假设方程右端函数f ( n ，：1 满足下列条件： ( a t ) 存在正整数m n ，使得对任意的( n ，z ) z r p 满足f + t z ) = f ( n ，。) ； ( a 8 ) 存在正数尬 0 ，肘j 0 ，0 口 1 ，满足对于任意的( n ，z ) z r 一都 有v f ( n ，2 ) m 1 l z l “+ m 2 ； ( a 9 ) 对于任意的r , z ，当2 一o o 时，有一缸f ( ，z ) 一一； 则方程( 1 3 ) 至少存在一个m 一周期解。 定理证明：考虑由( 2 7 ) 定义的泛函，先来验证泛函的( 尸s ) 条件。按引 理( 2 2 ) 的方式，我们把空间进行分解，e = 马。醋，其中岛是零特征 值对应的特征子空问，醋为蜀的正交补空间。对于任意z e ，z = z + 童，其中虿e o ，童酣，由于空间e 中范数的等价性知：存在正常数q 满 足a 娅0 ：丰 忙峪+ 1 ，于是就有 m 【f ( ) - f ( n ，_ ) l n = l = i ( v f ( n ，虿+ s 磊) ，氟) d s i mmm 2 即刚+ 2 尬矧。+ 1 + 尬刚 4 a 馨m | - | 缸a t + 寄。磊0 2 + 2 m 。，ll l z 1 l 蚪1 + m 2 v - m l l 童, , 1 1 对于( 2 7 ) 定义的泛函有 m m 妒( 石) = 弓l ，a x 。1 2 一f ( n ，z 。) fi=l一，l=1 m ， mm = ；l 1 2 一【f ( 叩。) - f ( n ，- ) 1 一f ( n ，- ) n = 1n = 1n = l ；a 1 1 1 孑1 1 2 _ 4 m ： m 铲i a 1 一i a l 2 一z 西m 例州一 m 衙例一f ( n ，动 = 等蚓1 2 2 m d l 茁l l n + 1 g 一 如 面吲i 一f ( - ) 一4 胼m 同缸a 1 = 知孑n 2 m d i z i i 时1 肠一尬何例+ m | - i 孙( 一f ( n ，- ) 肛i 缸一4 聊叫a 1 ) ( 2 1 0 ) 当忙0 一o o 时，等价于恫i + 归i f o o ，即i 一0 ( 3 时，或者1 1 i 1 1 i o o ，或 者归0 一o o ，对( 2 l o ) 式进行分析，当骖j | 一时，夸阍1 2 - 2 m d l 童l l a + l a 一 尬、丽恫i - - + o o i 当恻l 。o 。时，有i _ 1 2 a ( 一mf ( m z ) | _ 1 2 n 一4 嘶驯a 1 ) 。 o o 于是，- 当l l x l i o o i i 寸，都有( 2 l o ) 右端式趋向于正无穷大，即当l l x l i 广州大学理学硕士学位论文 o o 时妒( 石) 一o o ，泛函是强制的，于是存在一个有界的极小化序列，而空 间e 是有限维的，所以，极小化序列存在一个收敛子列。由于泛函是连续可 微的，因此必在某一点达到极小值，即泛函存在一个临界点。 口 定理2 4 ：假设方程右端函数f ( n ，) 满足下列条件： ( a i o ) 存在正整数m n ，使得对任意的( n ，z ) z r ，满足f + t z ) = f ( n ，z ) ； ( a t l ) 对于任意的z 都有 。l i mz v f ( n ，z ) 一2 f ( n ，z ) 】= 一o o 例 4“ ( a 1 2 ) 对于任意的嚣z ，存在0 a 岛有， 2 f ( n ，z ) 一( z ，v f ( n ，z ) ) ；1 于是，对于鲫 q 有 2 f ( n ，s z ) 一( s 蜀v f ( 跗) ) i 1 ， 由于下式 未( 掣) ：s ( v f ( n , s l x ) , x - ) - 2 f ( n , s x ) 9 1 晒。= 兰d s ( 去) d s 、 5 2 7 s 3 一e s 6z e 酽。 令s 1 ， 于是， 即 j ( 。熹c 掣，如。未c 去，幽 f ( n r , s x ) 一f ( n ，z ) 石孑1 一磊1 ， s e j 。 c 墨掣f(叩)+孬1一歪18 z e 5 。二c 于是 o 1 罂乎兰字s 1 唑簪( f 伽，$ ) + 互虿1 一云1 ) = f ( z ) 一磊1 所以有f ( m z ) 去由e 的任意性知，当一o o 时，有f ( n ，功一将向 广州大学理学硕士学位论文 量空间黟分解， e = 局。醋， 其中，岛表示由特征值为零的特征向量生成的予空间，而璐为岛的正交补 空间。任取z e o ， 堆) ：一；，d 计量m 川 = f ( n ，z 。) - o o ，当- o 。 对于z 醋，由( a 1 2 ) 有 m t ，( z ) = - 2 x v d 茹+ f ( m ) t l = j m 一；a l i i z i l 2 + f ( n ，) 一tl=1 一；q - 一天) 忙i 1 2 一一o o ，当肛。一o o 对于差分系统0 - 2 ) 的研究，当右端系统有一些好的性质的时候，有一些 更好的结果。贺铁山对右端是偶泛函的情况进行了研究，建立了周期解与泛 函中第一项矩阵特征值之间的一个对应关系，参考文献 4 5 1 。下面，本文把 贺铁山的结果进行了改进，得到了在非线性项渐近线性的情况下，周期解与 泛函中第一项矩阵特征值之闻的关系。 定理2 5 ：假设( n ，z ) 满足下列条件： ( a 1 3 ) ，c ( z r ，r ) 关于z 是奇的，并且存在正整数m ( m 2 ) 使得对于任 意的( 礼，z ) ( z r ) 有( n + t z ) = ，( 仃，z ) ： ( a 1 4 ) 当一o o ，对于任意的n z 都有( n ，z ) = o ( 竹) z + d ( h ) ，其中a ( n ) 是 关于n 的函数，记a = m a x n ( n ) ； 一2 矗一 第2 罩周期解的存在性与多重性 ( a 1 5 ) 当一o 。对于任意的7 1 , z 都有，( ，l ，z ) = a ( n ) z + o ( i z l ) ，其中p ) 是 关于n 的函数，记p = m i n p ( 礼) ； 则当8 奄= 4 s i n 2 等，7 y 程( i 一2 ) 至少存在4 一 鼬个非零周期解； 当a a 【韵，方程( 1 2 ) 至少存在2 ( m 一2 南) 一2 个 非零周期解； 当n 知= 4 s i n 2 警，方程( 1 2 ) 至少存在句+ 2 个非零周期解； 当q a 鞠，方程0 - 2 ) 至少存在2 m 个非零周期解 定理证明：由前面的分析，可以知道差分方程( 1 2 ) 的周期解可以转化成为如 下泛函的l 临界点 j ( 茁) = 【；i 1 2 - - f ( n m ，) 】 1 n = 1 经过简单的计算泛函可以化成如下形式 m ) ：l x t b x - - mf ( n ，) ， n = 1 其中f ( m x n ) = f ( n ，z ) 幽类似于上一节的讨论，得出引拘特征值形 如h = 4 s i n 2 铬，其中詹= 1 ，2 ，m 一1 。把特征值对应的特征向量生成一 个子空间，则有一个特征子空间序列k ，u ，m 期 当i z l o o 时， 积分得 令 ，( 忆，z ) = a ( n ) z + o ( i z l ) ， f ( n ，z ) = 互1 n ( n ) z 2 + 。( z 2 ) 九( 曲( z ) = f ( n ，z ) 一百1 n ( n ) z 2 2 9 可以得到 丸( n ) ( z ) = o ( z 2 ) ，以( 帕( z ) = d ( h ) ， 于是，对于任意的e 1 0 ，存在 磊，使得对于任意的( n ，z ) z r ，都 有礼( 呐( z ) 0 。显然，五b + ln 昌ce ，并且存在 从点+ 1f l 母到s + 1 ) 一1 的奇同胚映射 妒：e 岛+ 1 n 昌_ s ( 2 j + 1 ) 一1 ( 钆砚，z 坍t ) 一( 等，等，警，挚) 当一o 时， ，z ) = p ( n ) z + o ( i 。i ) ， 积分得 f m ，。) = ；p ( n ) 。2 + 。( ) 令 如( z ) = f ( 郴) 一；p ( n ) z 2 ， 可以得到 如( n ) ( z ) = o ( 户) ，( 。) ( z ) = o ( i z l ) ， 于是，对于任意的f 2 0 ，存在尥。，使得对于任意的( n ，：) z r ，都 有妇( z ) ，则a 的特征值a o ，a 1 ，a 2 ，k ，a 吖一1 ，a m 一2 ，a 吖一都小于a 。定义e 的2 后+ 1 维线